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Hidrostática
Hidrostática
Hidrostática: parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o fluido em repouso.
Princípio de Pascal
Em um fluido parado, a pressão exercida sobre uma área aumenta de acordo com a altura da coluna de líquido sobre a área em estudo.
Logo: Pb > Pa
Princípio de Pascal
P g h
gdz
dy
dx
Z
Y
X
dm = .d
Balanço de Força de um Elemento Fluido
Força Resultante = Força de Campo + Força Superficial
Força de Campo (gravitacional)
Força Superficial (pressão)
Aplicando a 2° Lei de Newton
Princípio de Pascal
dVgdmgFdB
dzdydxpFdS
0gp
Campo gravitacional atua apenas na vertical
O gradiente de pressão será zero nas direções horizontais
A variação de pressão gerada pela gravidade é no sentido e direção da gravidade e todo o
ponto de um mesmo fluido, com mesma altura, tem pressões iguais
Princípio de Pascal
0gp
Pressão absoluta e manométrica
Manômetro de Membrana
pmanométrica = pabsoluta - patmosférica
Exemplo 1 – pág. 22
1) Manômetros de Bourdon são colocados no sistema dado a seguir.
Se as pressões manométricas PA, PB e PC forem respectivamente 3,0
atm, 2,8 atm e 2,0 atm, sabendo-se que a pressão atmosférica é 1 atm
qual é a pressão absoluta do recipiente A?
a) 2 atm
b) 5 atm
c) 6 atm
d) 6,8 atm
e) 8,8 atm
Resolução - Exemplo 1 – pág. 22
O manômetro PC mede a pressão de 2 atm acima da atmosférica (1 atm), o
manômetro PB mede a pressão 2,8 atm acima da pressão PC e o
manômetro PA mede 3 atm acima do anterior. Logo a pressão absoluta fica:
P’c = Pc-Patm
P’b = Pb-Pc
P’a = Pa-Pb
P’a+ P’
b+ P’c = Pa-Patm
Pa = P’a + P’
b+ P’c +Patm
Pa = 3+2,8+2+1 Pa =8,8 atm – alternativa e).
P’c = pressão relativa no ponto C, que é a pressão dada pelo
manômetro de Bourdon (P’c = 2 atm)
Pa = pressão absoluta no ponto A.
Exemplo 2 – pág. 22
2) A figura ao lado representa um tanque
fechado e pressurizado, exposto ao ar
atmosférico, contendo ar e óleo (Peso
específico igual a 8 kN/m³). O tanque
possui uma janela de inspeção quadrada
com 0,5 m de lado cuja borda superior está
localizada 2 m abaixo da superfície do óleo.
Um manômetro instalado no topo do tanque
indica uma pressão de 64 kPa. Nessa
situação, afirma-se que o módulo da força
resultante (kN) que atua na janela é de:
a) 19,5
b) 20
c) 20,5
d) 45,5
e) 82
Resolução - Exemplo 2
A janela se encontra em uma região, onde existe apenas óleo
A força resultante atuando sobre a janela pode ser calculada como
a pressão atuando no meio da janela vezes a sua área. F = P.A.
Pressão no meio da janela
Distribuição de Pressão na Janela
A pressão no meio da janela é a pressão medida
pelo manômetro (que está sujeito à pressão
atmosférica assim como a janela e, portanto
essa influência se anula na força sobre a janela)
somada com a coluna de óleo acima dela: ρgh
Patm g
Resolução - Exemplo 2
Por que a pressão no meio da janela?
1) A janela tem largura uniforme;
2) A janela não está inclinada;
Pressão no meio da janela
Distribuição de Pressão na Janela
Pressão no meio da janela
0,5m
0,5m
0,5m
0,5m
Resolução - Exemplo 2
A força resultante é:
Alternativa c)
3 3
3
64 64 10 8 10 2, 25
82 10
P kPa gh Pa Pa
P Pa
3 282 10 0, 25 20,5F P A Pa m kN
0,5m
0,5m
Manômetros
Manômetros
Exemplo 3 – pág. 23
3) Considere o sistema abaixo:
Qual a condição que deve existir
para que a pressão manométrica em
A seja igual a ?
a) pA >>> pB
b) pB >>> pA
c) pA = pB
d) l1 = l2
e) l1>>> l2
2B g l
Resolução - Exemplo 3 – pág. 23
A pressão manométrica em B é:
Por comparação, para obter o
valor desejado para a pressão em
A, é preciso que ela seja igual à
pressão em B.
Alternativa c).
2BBglp
Exemplo 4 – pág. 24
4) Uma corrente de solução salina (μ = 1100 kg/m³) tem sua vazão
medida por um medidor de orifício dotado de manômetro invertido,
como se verifica no esquema acima. Qual a queda de pressão
corresponde à leitura manométrica indicada em Pa, sabendo-se que o
fluido manométrico é um óleo com massa específica igual a 900 kg/m³
e que g = 10 m/s²?
a) 180
b) 200
c) 400
d) 1800
e) 2200
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24
Seguindo o procedimento apresentado anteriormente:
1) Indique cada ponto relevante com um índice. Os pontos importantes
são os pontos a serem medidos, as interfaces entre 2 fluidos ou pontos
com a mesma altura de outros pontos.
A A’
B
1 2
h
Os pontos 1 e 2 se referem aos
pontos a serem medidos. Os
pontos A e B representam a
interface entre a solução salina e
o óleo, e o ponto A’ representa o
ponto de mesma altura de A e,
portanto de mesma pressão.
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24
2) Indique a diferença de pressão entre cada 2 pontos vizinhos
utilizando o Princípio de Pascal
A A’
B
1 2
h
2,0hgPP2,0hgPP
2,0gPP2,0gPP
hgPPhgPP
salinaB2salinaB2
óleoABóleoAB
salina1AsalinaA1
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24
3) Some todas as equações que foram encontradas no passo 2.
A A’
B
1 2
h
2020
21
,ghg,g
hgPPPPPP
salinasalinaóleo
salinaBABA
Resolução - Exemplo 4 – pág. 24
4) O lado esquerdo indicará a diferença de pressão entre os pontos a
serem medidos e o lado direito seu valor numérico.
A A’
B
1 2
h
Pa.,.
,gPPsalinaóleo
40011009002010
2012
Alternativa c)
Pressão Estática
Pressão de Estagnação
Exemplo 5 – pág. 25
5) O esquema acima descreve um Tubo de Pitot localizado no centro
de um duto de 200 mm de diâmetro, empregado para transferência de
gasolina. Considerando o coeficiente do medidor como unitário e a
razão entre as velocidades média e máxima como 0,8 para o intervalo
de interesse, a vazão de gasolina, em m³/s, é:
(Dados: ρÁgua = 1000 kg/m3
ρ gasolina= 667 kg/m3
g = 10m/s²)
a) 0,025
b) 0,035
c) 0,042
d) 0,050
e) 0,065
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25
O tubo de pitot, nesse caso, não apresenta nenhum orifício ou tomada
que meça a pressão estática;
Pode-se assumir que o equipamento mede apenas a pressão total ou
de estagnação, que será dada pelo manômetro acoplado ao tubo de
pitot.
Pa,..
ghP.manomOHestag
100010101000
2
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25
A pressão estática é dada pela altura da tomada do tubo de pitot até a
parede do cilindro pela qual passa o instrumento.
O tubo de pitot está medindo no centro do tubo, a altura que deve ser
utilizada para o cálculo da pressão estática é D/2.
Assim, a pressão estática é dada por:
Pa,..
DgP
gasolinaestat
6671010667
2
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25
Sabendo que:
Pestag = Pestat + Pdinam
e que:
2
2
1VP
gasolinadinam
Temos que:
gasolina
estatestag)PP(
V
2
s/m)(
V 1667
66710002
Resolução - Exemplo 5 – pág. 25
A partir da informação de que a razão entre a velocidade média e a
velocidade máxima é 0,8, temos que:
s/m,,V,V
Vmedio
max
medio 8018080
Uma vez que o tubo de pitot mede a velocidade no centro do tubo, pode-se
considerar que a velocidade medida será a máxima.
Por fim, a vazão média de gasolina será:
s/m,,
,AVQmediagasolina
3
2
02504
2080
Alternativa a)
Empuxo e Estabilidade
hbaixo > hcima
Utilizando a definição de pressão:
Temos que:
Pelo Princípio de Pascal:
cimacimaghP
baixobaixoghP
cimabaixoPP
APFA
FP
APF
APF
baixobaixo
cimacima
Empuxo e Estabilidade
A diferença entre essas duas forças é
chamada de Empuxo.
Como há diferença de valor entre as
pressões, chegamos a:
cimabaixoFF
Empuxo e Estabilidade
Sendo:
AppFcimabaixoE
AhhgFcimabaixoE
AhgFE
AhV
imersofluidoEgVF
Empuxo e Estabilidade
imersofluidoEgVF
Empuxo e Estabilidade
O empuxo em geral ajuda na estabilidade destes corpos. Isto
acontece porque o empuxo aplicado pelo fluido no corpo é
sempre aplicado no centro de massa do fluido deslocado.
Empuxo e Estabilidade
Equação para a Estabilidade
Exercício 3 – pág. 26
3- Uma pedra de massa 0,2 kg está em equilíbrio,
totalmente submersa na água e parcialmente
sustentada por um dinamômetro, que marca 1,5 N.
Sabendo-se que a densidade da água é 1000 kg/m³ e
considerando-se que a gravidade local igual a 10 m/s²,
o volume da pedra, em cm³, vale
a)30
b)35
c)40
d)45
e)50
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Petróleo – 2010)
Resolução - Exercício 3 – pág. 26
T E
P
Diagrama Corpo Livre 0F 0PET
N5,1TEnunciado
VgE
mgP
0mgVg5,1
]m[10x5]s/m[10x]m/kg[1000
]N[5,1]s/m[10x]kg[2,0
g
5,1mgV 35
23
2
Sabendo que 1m3 = 1x106cm3
Então, V = 50 cm3 Alternativa e)
Exercício 4 – pág. 27
4) A figura a cima representa quatro recipientes diferentes preenchidos com um
mesmo líquido, à mesma temperatura. Sabendo-se que os quatro recipientes estão
abertos para a atmosfera, conclui-se que a(s) pressão(ões) no fundo do(s)
recipiente(s)
a)X é maior que no fundo dos demais recipientes.
b)Y é maior que no fundo dos demais recipientes.
c)Z é maior que no fundo dos demais recipientes.
d)Q é maior que no fundo dos demais recipientes.
e)X,Y,Z e W são iguais.
(PETROBRAS – Engenheiro de Processamento – 2010)
Resolução - Exercício 4 – pág. 27
1) Todos os recipientes têm a mesma altura de fluido
2) Todos os recipientes estão abertos para a atmosfera
3) Todos estão preenchidos com o mesmo fluido, à
mesma temperatura
hx = hy = hz = hw
Todos têm Patm
ρx = ρy = ρz = ρw
Sabendo que a Pressão no fundo do recipiente é calculado por:
ghPPatmfundo
Pelas observações acima, podemos concluir que:
Px = Py = Pz = Pw
Alternativa E)
Exercício 5 – pág. 27
5) A figura ao lado ilustra um manômetro com tubo em U, muito utilizado para
medir diferenças de pressão. Considerando que os pesos específicos dos três
fluidos envolvidos estão indicados na figura por γ1, γ2 e γ3 a diferença de pressão
PA - PB corresponde a
a)
b)
c)
d)
e)
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos
Mecânico– 2010)
332211 hhh
332211 hhh
113322 hhh
113322hhh
3/)( 332211 hhh
Resolução - Exercício 5 – pág. 27
334B33B4
22242242
11A211A2
hPPhPP
hPPhPP
hPPhPP
Aplicando o Principio de Pascal:
Somando as equações acima, temos:
332211AB3322114B24A2hhhPPhhhPPPPPP
113322BAhhhPP Alternativa C)
Exercício 1 – Pág. 90
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2008)
1) A diferença de pressões devida ao atrito entre duas seções de uma
tubulação que conduz água é monitorada por um manômetro de mercúrio,
conforme mostrado na figura.
Considerando que as massas específicas de água e do mercúrio são ρHg e
ρH2O, respectivamente, a diferença de pressões PA – PB vale
a) (ρHg – ρH2O)gh
b) (ρHg + ρH2O)gh
c) ρHggh
d) ρH2Ogh
e) ρHggh/2
Resolução – Exercício 1 – Pág. 90
h1
h2
Pelo esquema, sabe-se que:
h = h1 – h2
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
A H O A H O
B H O B H O
Hg Hg
P P gh P P gh
P P gh P P gh
P P gh P P gh
Aplicando o Principio de Pascal:
Somando as equações acima:
2 21 2 1 2 1 2A B H O H O HgP P P P P P gh gh gh
1
2
1’
1' 1P P
Resolução – Exercício 1 – Pág. 90
h1
h2
Pelo esquema, sabe-se que:
h = h1 – h2
2 2
2
2
1 2 1 2 1 2
2 1
A B H O H O Hg
A B H O Hg
h
A B Hg H O
P P P P P P gh gh gh
P P g h h gh
P P gh
1
2
Alternativa A)
Exercício 22 – Pág. 100
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2010)
22) A figura abaixo mostra um manômetro diferencial colocado entre as
seções P e Q de um tubo horizontal no qual escoa água (peso específico
igual a 10 kN/m3). A deflexão do mercúrio (peso específico igual a 136
kN/m³) no manômetro é de 500 mm, sendo o mais baixo dos níveis o mais
próximo de P. Com base nessas informações, conclui-se que a pressão
relativa em
a) P excede a pressão relativa em Q em
6,3 metros de coluna d’água.
b) P excede a pressão relativa em Q em
7,3 metros de coluna d’água.
c) P excede a pressão relativa em Q em
63 metros de coluna d’água.
d) Q excede a pressão relativa em P em
6,3 metros de coluna d’água.
e) Q excede a pressão relativa em P em
7,3 metros de coluna d’água
Resolução – Exercício 22 – Pág. 100
1. Peso específico da água igual a 10 kN/m3
2. Peso específico do mercúrio igual a 136 kN/m³
3. Deflexão da coluna de mercúrio de 500 mm
4. O mais baixo dos níveis está mais próximo de P PP > PQ
kPa63PP
5,010136PP
hPP
QP
QP
20HHgQP
Para calcular a pressão em coluna da
água basta dividi-la pelo peso
específico da água
2 2
/ 63 / 6,3 de coluna d’águaP Q H O H OP P kPa m
Alternativa A)
Exercício 23 - Pág. 84
23) Uma esfera metálica oca flutua com 1/3 do seu volume acima da água.
Qual a fração de volume da esfera ocupada pelo metal?
Dados: densidade da água ρágua = 1,0 x 103 kg/m3
densidade do metal ρmetal = 8,0 x 103 kg/m3
(A) 1,0
(B) 0,66
(C) 0,017
(D) 0,083
(E) 0
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Eng. de Equipamentos Júnior -
Terminais e Dutos - 2012)
Volume da Casca
0verticalnaForças
PE
mgsubmersoVolumegágua
gVVV3
2g
metalrRRágua
Resolução – Exercício 23 - Pág. 84
3
3
2 2 1 101 1
3 3 8 10
0,917
águar
R metal
r
R
V x
V x
V
V
Fração da Parte Oca
Fração da Metal é dada por:
Alternativa D) 083,0V
V
V
V1
V
V
R
Metal
R
r
R
Metal
Resolução – Exercício 23 - Pág. 85
gVVV3
2g
metalrRRágua
54) Duas pequenas janelas de observação são instaladas em um
reservatório de água cilíndrico, conforme mostrado na figura. Sendo g a
aceleração da gravidade local, a diferença entre as pressões atuantes nas
janelas 2 e 1 (p2 – p1) é
(A) ρH2O gh2
(B) ρH2O g(h1+h2)
(C) ρH2O g(h1+h3)
(D) ρH2O g(h2+h3)
(E) ρH2O g(h1+h2+h3)
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos
Júnior - Eletrônica - 2012)
Exercício 54 - Pág. 88
Pressão Exercida por uma coluna d’água:
ghPágua
A diferença (p2 - p1)
2água12
332água12
3água32água12
ghpp
hhhgpp
ghhhgpp
Alternativa A)
Resolução – Exercício 54 - Pág. 88
Exercício 27 - Pág. 81
27) Uma partícula de massa 140,0 g é vista afundando, totalmente
submersa, em um copo de água, com a aceleração de 7,0 m/s2.
A força de resistência ao movimento, em Newtons, que atua na partícula é: Dado: considere g = 10,0 m/s2.
(A) 0,42
(B) 0,98
(C) 1,40
(D) 2,40
(E) 4,60
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos
Júnior - Mecânica - 2012)
Alternativa A)
amcorponoatuantesForças
20,14 10 7 /
0, 42
r
r
r
Peso Força resistiva m a
Força resistiva Peso m a
F m g a
F kg m s
F N
Resolução – Exercício 27 - Pág. 81
Exercício 20 - Pág. 100
20) A equação da hidrostática representa o comportamento da
pressão p, em uma massa fluida incompressível (ρ constante). Nessa
equação, Δ representa o operador
a) Divergente e é expresso por
b) Divergente e é expresso por
c) Gradiente e é expresso por
d) Gradiente e é expresso por
e) Rotacional e é expresso por
Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos- 2010)
0g p
ˆˆ ˆi j kx y z
x y z
ˆˆ ˆi j kx y z
x y z
ˆˆ ˆi j kx y z
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100
Vetores unitários e operações vetoriais: Produto escalar de dois vetores Produto vetorial de dois vetores Assim temos: {lembrem-se cos(0°) = 1; cos(90°)=0} Operador vetorial diferencial “nabla”
( ) cos vwv w vw
[ ] { sen }vw vwv w vw n
ˆ ˆ 1i i ˆ ˆ 1j j ˆ ˆ 1k k
ˆ ˆ 0i j ˆˆ 0j k ˆ ˆ 0k i
ˆˆ ˆi j kx y z
vwn
Vetor
perpendicular
a v e w
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100
Gradiente é obtido aplicando-se o operador nabla à função e indica o sentido e a direção de maior alteração (máximo) no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Divergente é a multiplicação escalar do operador nabla pela função vetorial. É um operador que mede magnitude da fonte ou poço/sorvedouro de um campo vetorial em um dado ponto. Ele pode ser entendido como o escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.
ˆˆ ˆp p pp i j k
x y z
ˆˆ ˆ , campo vetorial
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
x y z
x y z
yx z
F F i F j F k
F i j k F i F j F kx y z
FF FF
x y z
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100
Rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja, multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial. Este operador calcula o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a uma superfície infinitesimal.
ˆˆ ˆ campo vetorial
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
Determinante
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
x y z x y
y yx xz z
F F i F j F k
F i j k F i F j F kx y z
i j k i j
Fx y z x y
F F F F F
F FF FF FF i j k
y z z x x y
Resolução – Exercício 20 - Pág. 100
a) Divergente e é expresso por errado
b) Divergente e é expresso por errado
c) Gradiente e é expresso por certo
d) Gradiente e é expresso por errado
e) Rotacional e é expresso por errado
ˆˆ ˆi j kx y z
x y z
ˆˆ ˆi j kx y z
x y z
ˆˆ ˆi j kx y z
Alternativa C)