I. HIMPUNAN MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Pengayaan 1.6 Soal-soal 1 Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan himpunan ? 2. Berikan contoh himpunan 3. Berikan contoh yang bukan himpunanMATDAS, FPMIPA, UPI [CK]2 Definisi Himpunan Himpunan adalah Kumpulan objek-objek (benda-benda real atau abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]3 Contoh Himpunan Kumpulan mahasiswa FPMIPA UPI Kumpulan anak-anak SD Isola Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur kurang dari 10 tahunMATDAS, FPMIPA, UPI [CK]4 Contoh bukan himpunan Kumpulan anak-anak yang berambut gondrong Kumpulan makanan yang lezat-lezat Kumpulan anak-anak yang pandaiMATDAS, FPMIPA, UPI [CK]5 Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A, B, C, atau ditandai oleh dua kurung kurawal, { } Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kecil ; a, b, c, Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x e A Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis y e B Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A) dan disebut bilangan kardinalMATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 6 Macam-macam Himpunan Coba sebutkan macam-macam himpunan yang anda ketahui !MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]7 Macam-macam Himpunan Himpunan kosong Himpunansemesta Himpunan Bilangan Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite) Himpunan Terhitung (countable) dan Tak Terhitung (uncountable)MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]8 Macam-macam Himpunan Himpunan kosong Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengan simbol atau {}. Himpunansemesta Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S. Himpunan Bilangan, terdiri dari ; Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, } Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, } Himpunan Bilangan Bulat : Z = { , -1, 0, 1, } Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q e Z, q=0} Himpunan Bilangan Real : RMATDAS, FPMIPA, UPI [CK]9 Macam-macam Himpunan (lanjutan) Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite) Himpunan terhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga,yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyai n elemen. Contoh A = {a, b, c, d} ,B = C = {} MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]10 Macam-macam Himpunan (lanjutan) Himpunan tak terhingga (infinite atau denumerable) adalah himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga. Contoh Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dsb.MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]11 Macam-macam Himpunan (lanjutan) Himpunan Terhitung (countable) dan Tak Terhitung (uncountable) Himpunan Terhitung adalah himpunan terhingga atau denumerable. Jadi Contoh ; A = {1, 2, 3, 4} merupakan himpunan terhitung/ countable sebab A mempunyai n elemen (yaitu 4 buah anggota) B = himpunan bilangan ganjil merupakan himpunan terhitung/ countable sebab B himpunan denumerableHimpunan denumerable n elemen Himpunan terhingga Himpunan Terhitung MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Kosong 12 Macam-macam Himpunan (lanjutan) Himpunan tak Terhitung (uncountable) adalah adalah himpunan yang tidak terhitung. Contoh : R = Himpunan bilangan real interval [0,1]MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 13 Relasi Antar Himpunan Jika diberikan dua buah himpunan, bagaimana hubungan antar kedua himpunan tersebut ? MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]14 Relasi Antar Himpunan Himpunan sama Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya. Himpunan equivalen Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A _ B Himpunan Kuasa Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]15 Contoh Himpunan Kuasa Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari Aadalah : 2A = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A} Jika m adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah 2m MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 16 Diagram Himpunan Coba sebutkan diagram himpunan yang anda ketahui ! MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]17 Diagram Himpunan Terdiri dari : Diagram Venn Diagram Garis Diagram Cartess MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]18 Diagram Venn Cara penulisan diagram Venn A BC MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]19 Diagram Garis Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb; AB D C MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]20 Diagram Cartess Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.Jika A = {x : 0 s x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan sbb; 0123 MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 21 Operasi pada Himpunan Apa yang dimaksud dengan operasi pada himpunan ? MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]22 Operasi pada Himpunan Irisan A B = {x : xeA dan xeB} Gabungan AB = {x : xeA atau xeB} Penjumlahan A + B = {x : xeA, xeB, xe(AB)} Pengurangan A B = A \ B = {x : xeA, xeB} Komplemen Ac = {x : xeA, xeS} MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]23 Penjumlahan dan Pengurangan dalam Diagram Venn A + B = {x : xeA, xeB, xe(AB)} A B = {x : xeA, xeB} AB BAA MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]24 Sifat-sifat Operasi Himpunan Sifat komutatif A B = B A dan AB = B A Sifat asosiatif A (B C) = (A B) C A(BC) = (AB)C Sifat distributif A (BC) = (A B)(A C) A(B C) = (AB) (AC) Sifat Komplemen A Ac = ,AAc = S,(Ac)c = A,Sc = ,c = S (A B)c = Ac Bcdan(AB)c = Ac Bc MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]25 Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan) Sifat pengurangan A - A = ,A = A,A B = A Bc A - (BC) = (A - B) (A - C) A - (B C) = (A - B)(A - C) Sifat identitas A = ,A S = A,A = A, AS = S Sifat idempoten A A = A,AA = A Sifat himpunan bagian (A B) _ A, (A B) _ B, (A - B) _ A Jika A _ B, maka A B = A, AB = B,Bc _ Ac dan A(B A) = B MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]26 Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan) Hukum De Morgan (A B)c = Ac Bcdan(AB)c = Ac Bc Sifat refleksif A = A, A _ A,A ~ A Sifat simetrik Jika A = B, maka B = A Jika A ~ B, maka B ~ A Sifat transitif Jika A = B dan B = C, maka A = C Jika A _ B dan B _ C, maka A _ C Jika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ CMATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 27 Prinsip dualitas Jika kita menukardengan dan S dengan dalam setiap pernyataan tentang himpunan, maka pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya. Contoh Dual dari (SB) (A) = A adalah( B)(A S) = A MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]28 Himpunan Berindeks J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks {A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks dan ditulis;{Ai : ieJ} = {A1, A2, A3, A4} Jika K = {1, 2, 3, n}, maka{Ai : ieK} = {A1, A2, , An} dan {i Ai : ieK} = {A1 A2 An} Jika K = {1, 2, 3, }, maka{i Ai : ieK} = {A1 A2 } MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]29 Contoh himpunan berindeks Jika A1 = {1 } A2 = {1, 2} An = {1, 2, , n} Tentukan {i Ai : 1 s i s n} dan {i Ai : 1 s i s n} Jawab : {i Ai : 1 s i s n} = {A1 A2An}= An {i Ai : 1 s i s n} = {A1 A2 An}= A1 MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]30 Partisi = {B1, B2, , Bn} disebut partisi dari A, jika memenuhi kedua sifat berikut ; 1) A = B1B2Bn 2) Bi Bj = , untuk setiap i j, 1 s i s n,1 s j s n MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]31 Contoh partisi P = {1, 2, 3, }, Q = {1, 3, 5, }danR {2, 4, 6, }, maka Q dan R adalah partisi dari P, sebab QR = Pdan Q R = MATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 32 Soal latihan 1. Jika A dan B suatu himpunan buktikan bahwa A (A B) = A 2. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan A4 A6 3. Misalkan Ai = [i, i+1], ie{bil bulat}, tentukan A3 A4 dan A3A4

4. Misalkan Dn = (0, 1/n), ne{bil asli}, tentukan D3 D7 dan D3D7

5. Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3} MATDAS, FPMIPA, UPI [CK]33 Soal-soal 1. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan ieP Ai , P = bil prima 2. Misalkan Ai = [i, i+1], ie{bil bulat}, tentukan

i Ai

3. Misalkan Dn = [0, 1/n], neA={bil asli}, tentukan ieA Di

4. Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), neA={bil asli}, tentukan ieA DiMATDAS, FPMIPA, UPI [CK] Back to Menu 34