Upload
dangtram
View
436
Download
26
Embed Size (px)
Citation preview
HIMPUNANMATEMATIKA
Program Studi Agroteknologi
Universitas Gunadarma
Pengertian Himpunan
Notasi Himpunan
Cara menyatakan Himpunan
Macam Himpunan
Diagram Venn
Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Ruang Lingkup
Pengertian Himpunan
Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.
• Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z
• Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z
• Notasi : - p A p anggota A
- A B A himpunan bagian dari B
- A = B himpunan A sama dengan B
- = ingkaran
∩∩
∩
∩
Penyajian Himpunan
Penyajian Himpunan
cara daftar A = {1,2,3,4,5}
berarti: himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.
cara kaidah A = {x; 0 < x < 6}
berarti: himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.
Himpunan semesta (universal set)
Notasi: U atau S
Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan
Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam
himpunan semesta
Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}
A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan
A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4}
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan
B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen dari B.
Diagram Venn:
U
AB
Himpunan Bagian (Subset)
bagianhimpunan
sejatibagianhimpunan
himpunansumberset,Super
NOTASI :
5,3,2,1P
1,3A
3,2,1D
PA
1B
2,1C
F
2,5,3,1E
AP
AB
PE
BD
AF
Himpunan kosong (null set)
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : atau {{ }}
Contoh
(i) Himpunan bilangan genap yang ganjil
(ii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(iii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iv) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
Operasi Himpunan Irisan (Intersection)
A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B}
Gabungan (Union)
A U B = {x; x Є A atau x Є B}
Selisih
A - B = A|B {x; x Є A tetapi x Є B}
Pelengkap (Complement)
Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U – A
Beda setangkup (symmetric difference)
Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2,…, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:U
1 2
53 6
8
4
7A B
Diagram Venn
Gabungan ( A U B )
Irisan
Lanjutan ........
• Selisih ( A – B = A|B )
• Pelengkap / complement ( Ā )
Operasi Terhadap Himpunan
1. Irisan (intersection)
Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
2. Gabungan (union)
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B =
{ 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A = A
3. Komplemen (complement)
Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B
dinotasikan oleh
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
4. Selisih (difference)
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7},
maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅
Beda setangkup antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka
A⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
5. Beda setangkup (symmetric difference)
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan
B = { 1, 2, 3, 4, 5 },
maka A⊕ B = { 1, 4, 7 }
Hukum Aljabar Himpunan
Kaidah Idempoten
a. A U A = A b. A ∩ A = A
Kaidah Asosiatif
a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Kaidah Komutatif
a. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif
a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U
( A ∩ C )
Lanjutan ............
Kaidah Identitas
a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø
c. A U U = U d. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan
a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø
c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U
Kaidah De Morgan
a. (A U B)= A ∩ B b. (A ∩ B) = A U B
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 22. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa
A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A (B C) (A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN
2. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa
(A B) (A B) = A
Bukti:
(A B) (A B) = A (B B) (Hukum distributif)
= A U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
LANJUTAN...
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B
Bukti:
A (B – A) = A (B A) (Definisi operasi selisih)
= (A B) (A A) (Hukum distributif)
= (A B) U (Hukum komplemen)
= A B (Hukum identitas)
LANJUTAN...
Latihan
1) Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkanhimpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :
U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }
A = {2,3,5,7}
B = {1,3,4,7,8 }
Kemudian selesaikan :
(a) A – B (c) A ∩ B (e) Ā ∩ B (g) A ⊕ B
(b) B – A (d) A U B (f) Ā U B
2. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A ( A B) = A B dan
(ii) A ( A B) = A B
Latihan
QP
P
R
QS
-1
-2
1
03 2
5
6
4
9
87
-3
10
Sebutkan seluruh anggota himpunan di bawah ini:
S=…
Q=… RP
RQP
PQR
RQP
RQP
R’=… RQP
3.
FINISH