Hélicoïde

In[180]:= x[u_, v_] := {u Cos[v], u Sin[v], v }

Graphe de l’hélicoïde

In[207]:= max = 4;maxV = 3 π;ParametricPlot3D[x[u, v], {u, -max, max}, {v, 0, maxV}, PlotStyle →

{Opacity[0.7], RGBColor[0.9, 0.6, 0.], Specularity[White, 100]},Ticks → None, Boxed → False, Axes → None, Mesh → None]

Out[209]=

Calcul de la première forme fondamentale

In[210]:= xu = D[x[u, v], u];xv = D[x[u, v], v];EE = Simplify[xu.xu];FF = Simplify[xu.xv];GG = Simplify[xv.xv];un = {{EE, FF}, {FF, GG}};MatrixForm[un]

Out[216]//MatrixForm=

1 00 1 + u2

In[217]:= Simplify[Cross[xu, xv]]Out[217]= {Sin[v], -Cos[v], u}

In[218]:= Simplify[%.%]Out[218]= 1 + u2

Calcul de la seconde forme fondamentale

In[219]:= n = {Sin[v], -Cos[v], u} Sqrt[1 + u^2];

xuu = D[xu, u];xuv = D[xv, u];xvv = D[xv, v];ee = Simplify[n.xuu];ff = Simplify[n.xuv];gg = Simplify[n.xvv];deux = {{ee, ff}, {ff, gg}};MatrixForm[deux]

Out[227]//MatrixForm=

0 - 1

1+u2

- 1

1+u20

et de l’opérateur forme qui est visiblement pas symétrique

2 heli.nb

In[228]:= s = Simplify[Inverse[II].III];MatrixForm[s]

Out[229]//MatrixForm=

0 - 1

1+u2

- 11+u23/2

0

Cependant ses deux vecteurs propres sont orthogonaux

In[232]:= {{vp1, vp2}, {v1, v2}} = Eigensystem[s]

Out[232]= -1

1 + u2,

1

1 + u2, 1 + u2 , 1, - 1 + u2 , 1

vérification des relations des vecteurs propres

In[233]:= Simplify[s.v1 ⩵ vp1 v1]Out[233]= True

In[235]:= Simplify[s.v2 ⩵ vp2 v2]Out[235]= True

et tel qu’annoncé, les vecteurs propres v1 et v2 sont orthogonaux :

In[236]:= Simplify[v1.un.v2]Out[236]= 0

heli.nb 3

2

exercice (c)

Les expressions de xu, xv et pour le vecteur normal ont été obtenues par cal-

cul direct.

Clear[h, sch, xu, xv]h[x_, y_] := Log[Cos[x]%Cos[y]]sch[x_, y_] := {x, y, h[x, y]}xu[x_, y_] := {1, 0, (Tan[x]}xv[x_, y_] := {0, 1, Tan[y]}n[x_, y_] := {Tan[x], (Tan[y], 1}%

Sqrt[1 + Tan[x]^2 + Tan[y]^2]Calcul des deux premières formes fondamentales

In[80]:= EE = xu[x, y].xu[x, y];FF = xu[x, y].xv[x, y];GG = xv[x, y].xv[x, y];{EE, FF, GG}

Out[83]= 1 + Tan[x]2, %Tan[x] Tan[y], 1 + Tan[y]2

In[86]:= ll = Simplify[D[xu[x, y], x].n[x, y]];mm = Simplify[D[xu[x, y], y].n[x, y]];nn = Simplify[D[xv[x, y], y].n[x, y]];{ll, mm, nn}

Out[89]= %Sec[x]2

Sec[y]2 + Tan[x]2, 0,

Sec[y]2

Sec[y]2 + Tan[x]2

Calcul des courbures sur S1 et S2

In[345]:= sp = Simplify[Inverse[{{EE, FF}, {FF, GG}}].{{ll, mm}, {mm, nn}}];

MatrixForm[sp]

Out[346]//MatrixForm=

% Sec[x]2 Sec[y]2

Sec[y]2+Tan[x]23&2Sec[y]2 Tan[x] Tan[y]Sec[y]2+Tan[x]23&2

% Sec[x]2 Tan[x] Tan[y]Sec[y]2+Tan[x]23&2

Sec[x]2 Sec[y]2

Sec[y]2+Tan[x]23&2

sur S1 et S2 la courbure de Gauss est donc

In[508]:= K = FullSimplify[Det[sp]]

Out[508]= %Sec[x]2 Sec[y]2

(Sec[y]2 + Tan[x]2)2

mais je préfère la forme que j’en ai déduite :

In[538]:= Kprime = (Cos[x]^2 Cos[y]^2

(1 ( Sin[y]2 Sin[x]2)2;

FullSimplify[K ( Kprime]Out[539]= 0

puisque l’expression est visiblement non-positive et, en fait, ne s’annule jamais puisque cos(x) et cos(y) sont > 1 sur le domaine. DONC TOUS LES POINTS DE S1 ET S2 SONT HYPERBOLIQUES !

Je prends un détour pour le calcul des valeurs propres. Si j’utilise la fonction Eigenvalues de mathematica, l’expression est horrible. Cependant, je remar-que que

In[534]:= Simplify

sp-Sec[y]2 + Tan[x]23%2 Sec[x]2 Sec[y]2

Out[534]= {{%1, Cos[x] Sin[x] Tan[y]},{%Cos[y] Sin[y] Tan[x], 1}}

que je peux diagonaliser à la main; les valeurs propres sont

! = ± 1$ sin2 x sin2 y . En restituant les facteurs, les courbures principales sont donc :

2

que je peux diagonaliser à la main; les valeurs propres sont

! = ± 1$ sin2 x sin2 y . En restituant les facteurs, les courbures principales

sont donc :

In[541]:= {k1, k2} :=

+Cos[x] Cos[y]

1 ( Sin[x]2 Sin[y]2, (

Cos[x] Cos[y]1 ( Sin[x]2 Sin[y]2

;

Simplify[k1 - k2 ( Kprime]Out[542]= 0

Hélas, ce calcul exclut les points sur la droite. Il est peut-être possible d’obtenir les courbures principales et gaussienne par limite, mais je les ai obtenues en utilisant les paramétrisation %3 et%4 introduites en (b).

In[543]:= dr[x_, z_] := {x, ArcCos[Exp[(z] Cos[x]], z}

In[544]:= Clear[n]v1 = D[dr[x, z], x];v2 = D[dr[x, z], z];

n[x_, z_] := 4z 1 ( 4(2 z Cos[x]2 Sin[x]

42 z ( Cos[x]2,

(1,4z Cos[x] 1 ( 4(2 z Cos[x]2

42 z ( Cos[x]2-

Sqrt42 z ( Cos[x]2

42 z + Sin[x]2

In[548]:= EEE = Simplify[v1.v1];FFF = Simplify[v2.v1];GGG = Simplify[v2.v2];{EEE, FFF, GGG}

Out[551]= -2 z % Cos[2 x]-2 z % Cos[x]2

,Cos[x] Sin[x]-2 z % Cos[x]2

,-2 z

-2 z % Cos[x]2

3

In[559]:= v11 = Simplify[D[v1, x]];v12 = Simplify[D[v1, z]];v22 = Simplify[D[v2, z]];lll = Simplify[n[x, z].v11];mmm = Simplify[n[x, z].v12];nnn = Simplify[n[x, z].v22];

In[565]:= sspp =Simplify[Inverse[{{EEE, FFF}, {FFF, GGG}}].

{{lll, mmm}, {mmm, nnn}}];MatrixForm[sspp]

Out[566]//MatrixForm=

%'z Cos[x] 1(2 '2 z+Cos[2 x]2

4 1('(2 z Cos[x]2 '2 z(Cos[x]2

'2 z+Sin[x]23&2

'2 z+Sin[x]23

'z Sin

1('(2 z

'(z 1+'2 z 1(2 '2 z+Cos[2 x]2 Sin[x]

4 1('(2 z Cos[x]2 '2 z(Cos[x]2

'2 z+Sin[x]23&2

'2 z+Sin[x]23'z Cos[

4 1('(2 z Cos[x]2

Horrible ! Un peu de travail à main pour remettre Mathematica dans le droit chemin. Noter le « p » supplémentaire au nom de la variable ssppp :

ssppp =

(42 z Cos[x]

(42 z + Sin[x]2)3%2,

42 z Sin[x](42 z + Sin[x]2)3%2

,

(1 + 42 z) Sin[x]

(42 z + Sin[x]2)3%2,

42 z Cos[x](42 z + Sin[x]2)3%2

;

Avec cette expression j’ai réussi, par les méthodes ci-dessus, à trouver les courbures principales suivantes (le « D » est pour signaler la droite D) :

4

In[571]:= {kD1, kD2} =

1 4 z + 4(z Sin[x]2, (1 4 z + 4(z Sin[x]2

Out[571]= 1

-z + -(z Sin[x]2, %

1

-z + -(z Sin[x]2

Après ces acrobaties « mathematiquienne », il est peut-être utile de vérifier mes calculs. Le point (x,y,z) = (&/2, &/2, 0) peut être obtenu par processus limite de la carte %1. Ceci permet de calculer les courbures principales par la première expression obtenue :

In[569]:= Limit[{k1, k2} %. y 9 x, x 9 π%2]

Out[569]= 1

2, %

1

2

que l’on doit comparer avec

In[572]:= {kD1, kD2} %. {x 9 π%2, z 9 0}

Out[572]= 1

2, %

1

2

Cette coïncidence nous rassure quelque peu, non? Alors, est-ce que les points sur D sont hyperboliques, paraboliques ou plans ? Les deux valeurs propres kDi ont ez1+ e$2 z sin2 x comme dénominateur qui ne s’annule jamais (ni ne devient infini) dans le domaine de la paramétrisation. Donc : TOUS LES POINTS DE LA DROITE SONT ÉGALEMENT HYPERBOLIQUES .

5