Hélicoïde
In[180]:= x[u_, v_] := {u Cos[v], u Sin[v], v }
Graphe de l’hélicoïde
In[207]:= max = 4;maxV = 3 π;ParametricPlot3D[x[u, v], {u, -max, max}, {v, 0, maxV}, PlotStyle →
{Opacity[0.7], RGBColor[0.9, 0.6, 0.], Specularity[White, 100]},Ticks → None, Boxed → False, Axes → None, Mesh → None]
Out[209]=
Calcul de la première forme fondamentale
In[210]:= xu = D[x[u, v], u];xv = D[x[u, v], v];EE = Simplify[xu.xu];FF = Simplify[xu.xv];GG = Simplify[xv.xv];un = {{EE, FF}, {FF, GG}};MatrixForm[un]
Out[216]//MatrixForm=
1 00 1 + u2
In[217]:= Simplify[Cross[xu, xv]]Out[217]= {Sin[v], -Cos[v], u}
In[218]:= Simplify[%.%]Out[218]= 1 + u2
Calcul de la seconde forme fondamentale
In[219]:= n = {Sin[v], -Cos[v], u} Sqrt[1 + u^2];
xuu = D[xu, u];xuv = D[xv, u];xvv = D[xv, v];ee = Simplify[n.xuu];ff = Simplify[n.xuv];gg = Simplify[n.xvv];deux = {{ee, ff}, {ff, gg}};MatrixForm[deux]
Out[227]//MatrixForm=
0 - 1
1+u2
- 1
1+u20
et de l’opérateur forme qui est visiblement pas symétrique
2 heli.nb
In[228]:= s = Simplify[Inverse[II].III];MatrixForm[s]
Out[229]//MatrixForm=
0 - 1
1+u2
- 11+u23/2
0
Cependant ses deux vecteurs propres sont orthogonaux
In[232]:= {{vp1, vp2}, {v1, v2}} = Eigensystem[s]
Out[232]= -1
1 + u2,
1
1 + u2, 1 + u2 , 1, - 1 + u2 , 1
vérification des relations des vecteurs propres
In[233]:= Simplify[s.v1 ⩵ vp1 v1]Out[233]= True
In[235]:= Simplify[s.v2 ⩵ vp2 v2]Out[235]= True
et tel qu’annoncé, les vecteurs propres v1 et v2 sont orthogonaux :
In[236]:= Simplify[v1.un.v2]Out[236]= 0
heli.nb 3
exercice (c)
Les expressions de xu, xv et pour le vecteur normal ont été obtenues par cal-
cul direct.
Clear[h, sch, xu, xv]h[x_, y_] := Log[Cos[x]%Cos[y]]sch[x_, y_] := {x, y, h[x, y]}xu[x_, y_] := {1, 0, (Tan[x]}xv[x_, y_] := {0, 1, Tan[y]}n[x_, y_] := {Tan[x], (Tan[y], 1}%
Sqrt[1 + Tan[x]^2 + Tan[y]^2]Calcul des deux premières formes fondamentales
In[80]:= EE = xu[x, y].xu[x, y];FF = xu[x, y].xv[x, y];GG = xv[x, y].xv[x, y];{EE, FF, GG}
Out[83]= 1 + Tan[x]2, %Tan[x] Tan[y], 1 + Tan[y]2
In[86]:= ll = Simplify[D[xu[x, y], x].n[x, y]];mm = Simplify[D[xu[x, y], y].n[x, y]];nn = Simplify[D[xv[x, y], y].n[x, y]];{ll, mm, nn}
Out[89]= %Sec[x]2
Sec[y]2 + Tan[x]2, 0,
Sec[y]2
Sec[y]2 + Tan[x]2
Calcul des courbures sur S1 et S2
In[345]:= sp = Simplify[Inverse[{{EE, FF}, {FF, GG}}].{{ll, mm}, {mm, nn}}];
MatrixForm[sp]
Out[346]//MatrixForm=
% Sec[x]2 Sec[y]2
Sec[y]2+Tan[x]23&2Sec[y]2 Tan[x] Tan[y]Sec[y]2+Tan[x]23&2
% Sec[x]2 Tan[x] Tan[y]Sec[y]2+Tan[x]23&2
Sec[x]2 Sec[y]2
Sec[y]2+Tan[x]23&2
sur S1 et S2 la courbure de Gauss est donc
In[508]:= K = FullSimplify[Det[sp]]
Out[508]= %Sec[x]2 Sec[y]2
(Sec[y]2 + Tan[x]2)2
mais je préfère la forme que j’en ai déduite :
In[538]:= Kprime = (Cos[x]^2 Cos[y]^2
(1 ( Sin[y]2 Sin[x]2)2;
FullSimplify[K ( Kprime]Out[539]= 0
puisque l’expression est visiblement non-positive et, en fait, ne s’annule jamais puisque cos(x) et cos(y) sont > 1 sur le domaine. DONC TOUS LES POINTS DE S1 ET S2 SONT HYPERBOLIQUES !
Je prends un détour pour le calcul des valeurs propres. Si j’utilise la fonction Eigenvalues de mathematica, l’expression est horrible. Cependant, je remar-que que
In[534]:= Simplify
sp-Sec[y]2 + Tan[x]23%2 Sec[x]2 Sec[y]2
Out[534]= {{%1, Cos[x] Sin[x] Tan[y]},{%Cos[y] Sin[y] Tan[x], 1}}
que je peux diagonaliser à la main; les valeurs propres sont
! = ± 1$ sin2 x sin2 y . En restituant les facteurs, les courbures principales sont donc :
2
que je peux diagonaliser à la main; les valeurs propres sont
! = ± 1$ sin2 x sin2 y . En restituant les facteurs, les courbures principales
sont donc :
In[541]:= {k1, k2} :=
+Cos[x] Cos[y]
1 ( Sin[x]2 Sin[y]2, (
Cos[x] Cos[y]1 ( Sin[x]2 Sin[y]2
;
Simplify[k1 - k2 ( Kprime]Out[542]= 0
Hélas, ce calcul exclut les points sur la droite. Il est peut-être possible d’obtenir les courbures principales et gaussienne par limite, mais je les ai obtenues en utilisant les paramétrisation %3 et%4 introduites en (b).
In[543]:= dr[x_, z_] := {x, ArcCos[Exp[(z] Cos[x]], z}
In[544]:= Clear[n]v1 = D[dr[x, z], x];v2 = D[dr[x, z], z];
n[x_, z_] := 4z 1 ( 4(2 z Cos[x]2 Sin[x]
42 z ( Cos[x]2,
(1,4z Cos[x] 1 ( 4(2 z Cos[x]2
42 z ( Cos[x]2-
Sqrt42 z ( Cos[x]2
42 z + Sin[x]2
In[548]:= EEE = Simplify[v1.v1];FFF = Simplify[v2.v1];GGG = Simplify[v2.v2];{EEE, FFF, GGG}
Out[551]= -2 z % Cos[2 x]-2 z % Cos[x]2
,Cos[x] Sin[x]-2 z % Cos[x]2
,-2 z
-2 z % Cos[x]2
3
In[559]:= v11 = Simplify[D[v1, x]];v12 = Simplify[D[v1, z]];v22 = Simplify[D[v2, z]];lll = Simplify[n[x, z].v11];mmm = Simplify[n[x, z].v12];nnn = Simplify[n[x, z].v22];
In[565]:= sspp =Simplify[Inverse[{{EEE, FFF}, {FFF, GGG}}].
{{lll, mmm}, {mmm, nnn}}];MatrixForm[sspp]
Out[566]//MatrixForm=
%'z Cos[x] 1(2 '2 z+Cos[2 x]2
4 1('(2 z Cos[x]2 '2 z(Cos[x]2
'2 z+Sin[x]23&2
'2 z+Sin[x]23
'z Sin
1('(2 z
'(z 1+'2 z 1(2 '2 z+Cos[2 x]2 Sin[x]
4 1('(2 z Cos[x]2 '2 z(Cos[x]2
'2 z+Sin[x]23&2
'2 z+Sin[x]23'z Cos[
4 1('(2 z Cos[x]2
Horrible ! Un peu de travail à main pour remettre Mathematica dans le droit chemin. Noter le « p » supplémentaire au nom de la variable ssppp :
ssppp =
(42 z Cos[x]
(42 z + Sin[x]2)3%2,
42 z Sin[x](42 z + Sin[x]2)3%2
,
(1 + 42 z) Sin[x]
(42 z + Sin[x]2)3%2,
42 z Cos[x](42 z + Sin[x]2)3%2
;
Avec cette expression j’ai réussi, par les méthodes ci-dessus, à trouver les courbures principales suivantes (le « D » est pour signaler la droite D) :
4
In[571]:= {kD1, kD2} =
1 4 z + 4(z Sin[x]2, (1 4 z + 4(z Sin[x]2
Out[571]= 1
-z + -(z Sin[x]2, %
1
-z + -(z Sin[x]2
Après ces acrobaties « mathematiquienne », il est peut-être utile de vérifier mes calculs. Le point (x,y,z) = (&/2, &/2, 0) peut être obtenu par processus limite de la carte %1. Ceci permet de calculer les courbures principales par la première expression obtenue :
In[569]:= Limit[{k1, k2} %. y 9 x, x 9 π%2]
Out[569]= 1
2, %
1
2
que l’on doit comparer avec
In[572]:= {kD1, kD2} %. {x 9 π%2, z 9 0}
Out[572]= 1
2, %
1
2
Cette coïncidence nous rassure quelque peu, non? Alors, est-ce que les points sur D sont hyperboliques, paraboliques ou plans ? Les deux valeurs propres kDi ont ez1+ e$2 z sin2 x comme dénominateur qui ne s’annule jamais (ni ne devient infini) dans le domaine de la paramétrisation. Donc : TOUS LES POINTS DE LA DROITE SONT ÉGALEMENT HYPERBOLIQUES .
5