Võ Tiến Trình

1.Định nghĩa. Hình chữ nhật là t

Nhận xét. Hình chữ nhật cũng l

2.Tính chất.

+ Hình chữ nhật có tất cả các tính ch

+ Trong hình chữ nhật, hai đườ

3. Dấu hiệu nhận biết hình ch

+ Tứ giác có 3 góc vuông là hình ch

+ Hình thang cân có 1 góc vuông là hình

+ Hình bình hành có mộ

+ Hình bình hành có hai

4.Một số ví dụ.

a) Ví dụ 1. Chứng minh rằng các đư

nhau tại các điểm là các đỉnh c

bằng hiệu hai cạnh liên tiếp củ

toanth.net

HÌNH CHỮ NHẬT

t là tứ giác có 4 góc vuông.

ũng là một hình bình hành, cũng là một hình thang cân.

các tính chất của hình bình hành, hình thang cân.

ờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điể

t hình chữ nhật.

giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

ột góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

ng các đường phân giác trong của một hình bình hành giao

nh của một hình chữ nhật, và hình chữ nhật này có đư

ủa hình bình hành.

Giải.

toanth.net

1

t hình thang cân.

a hình bình hành, hình thang cân.

ểm mỗi đường.

t hình bình hành giao

t này có đường chéo

toanth.net

Võ Tiến Trình 2

Gọi MNPQ là các điểm giao nhau của các đường phân giác trong của hình bình hành

ABCD.

E la giao điểm của phân giác góc B với AD

F là giao điểm của phân giác góc D với BC.

+ Xét tam giác ABE ta có : AEB EBC (so le trong)

EBC ABE (BE là phân giác góc B)

AEB ABE

ABE cân tại A

Mà AM là phân giác của góc A nên AM BE (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có CP DF (2)

+ Xét hai đương thẳng BE và DF ta có

1

2EBC ABC (BE là phân giác góc B)

1

2DFC FDC ADC

Mà ABC ADC (hai góc đối của hình binh hành)

/ /EBC DFC BE DF

Mà AM BE AM DF (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra tứ giác MNPQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

+ Tam giác ABE cân tại A có AM là phân giác nên AM cũng là đương trung tuyến, do

đó M là trung điểm BE.

Tương tự ta cũng có P là trung điểm DF

Tứ giác BEDF là hình bình hành có MP là đường trung bình nên MP // BF

Võ Tiến Trình

tứ giác BMPF là hình bình hành

Tam giác CDF cân tại C nên

Do đó : MP BF CB CF CB CD

b)Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD. K

trung điểm BH, F là trung điểm CD. Ch

Gọi P là trung điểm AH

Xét tam giác HAB ta có BE là đư

Vì AB AD PE AD

Xét tam giác ADE có AH và EP là hai đư

DP AE

Ta lại có : 1

/ / ; / / ,2

PE AB PE AB PE DF PE DF

tứ giác PEFD là hình bình hành

/ /DP FE

FE AE (điều phả

toanth.net

giác BMPF là hình bình hành MP BF

i C nên CD CF

MP BF CB CF CB CD (điều phải chứng minh)

t ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). G

m CD. Chứng minh AE vuông góc EF.

Giải.

Xét tam giác HAB ta có BE là đường trung bình nên 1

/ / ,2

EP AB EP AB

AB AD PE AD

Xét tam giác ADE có AH và EP là hai đường cao nên P là trực tâm

1/ / ; / / ,

2PE AB PE AB PE DF PE DF

giác PEFD là hình bình hành

ải chứng minh)

toanth.net

3

c BD). Gọi E là

1

2EP AB EP AB

toanth.net

Võ Tiến Trình 4

5. Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC. Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau. Gọi M, N, P, Q

lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 3. Chứng minh rằng hình thang vuông có hai cạnh bên bằng nhau là một hình chữ

nhật.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường

vuông góc kẻ từ H lên AB, AC.

a) Chứng minh EAFH là hình chữ nhật.

b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF, cắt BC ở I. Chứng minh I là trung điểm

BC.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E

lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M lên AB, AC.

a) Chứng minh AM = DE.

b) Gọi I là trung điểm DE, chứng minh I luôn thuộc một đường thẳng cố định.

c) Tìm vi trí M trên BC để DE nhỏ nhất.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC.

Gọi M, N, P , Q theo thứ tự là trunng điểm DE, BE, BC, CD. Chứng minh MQ = NP.

Bài 7. Cho tam giác ABC. Lấy D, E theo thứ tự thuộc tia đối của tia BA, CA sao cho

.BD CE BC Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O kẻ đường thẳng song song

với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC tại K. Chứng minh AB CK

Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC). Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM =

CD. Từ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N, trên tia đối của tia MN lấy

điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh AC vuông góc DE.

toanth.net

Võ Tiến Trình 5

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên

tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và

AD. Chứng minh rằng:

a)Tứ giác AHFK là hình chữ nhật

b)AF song song với BD và KH song song với AC

c)Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn, BD, CE là các đường cao, H, K lần lượt là hình chiếu

của B, C lên DE.

a) Chứng minh EH = DK

b) Tam giác ABC cần điều kiện gì để tứ giác BCKH là hình chữ nhật.

Bài 11. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC và CA. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.

b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?

Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của A lên các tia phân giác

trong và ngoài của góc B. R, S theo thứ tự là hình chiếu của A lên các tia phân giác trong

và ngoài của góc C.

a) Chứng minh các tứ giác APQB, ARCS là hình chữ nhật.

b) Chứng minh P, Q, R, S thẳng hàng.

c) So sánh QS với chu vi tam giác ABC.

Bài 13. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối

xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? tại sao?

b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ?

Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. AH đường cao, trên tia HC

toanth.net

Võ Tiến Trình 6

lấy HD = HA, đường vuông góc BC tại D cắt AC ở E .

a) Chứng minh AE = AB.

b) Gọi M trung điểm BE . Tính số đo góc AHM ?

Bài 15. Cho hình thang ABCD (AB // CD và AB < CD). M là một điểm trên cạnh đáy

AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Vẽ H là điểm đối xứng với M qua E

và K là điểm đối xứng với M qua F. Chứng minh

a) H, K, C, D thẳng hàng.

b) M di động thì HK có độ dài không đổi.

Bài 16. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là

trung điểm của BC, CA, AB. Gọi H, I, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua D, E, F.

Chứng minh

a) AH, BI, CK đồng qui.

b) M di động trên AB thì đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A và AC = 3AB. Trên cạnh góc vuông AC lần lượt

lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Tính ACB AEB .

Bài 18. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH BD. Trung điểm của DH là I. Nối AI. Kẻ

đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. Chứng minh K là trung điểm cạnh

BC.