Hydraulik I

W. Kinzelbach

2. Hydrostatik

Hydrostatik• Druck und Piezometerhöhe• Kräfte auf Flächen unter Wasser• Unterscheidung:

– ebene Flächen – gekrümmte Flächen

• Auftrieb und Schwimmen• Schwimmstabilität

Druck (1)• Definition

• Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche

• Druck ist flächenspezifische Kraft, Einheit: 1 N/m2 = 1 Pa

dAdFp

AdpFd

Druck (2)• Ein ruhendes Fluid kann

keine Scherkräfte aufnehmen• Spannungen in jeder Ebene

sind Normalspannungen (Druck)

• Druck ist ein Skalar

y

x Fc

Fa Fb da

db

dc

Dicke dl

 

0sinsin:0 bahor FFF

p da dl p db dla bsin sin 0

DreiecksdesHöhedbdaGeometrie sinsin:pppDaraus ba :

Druck (3)

 

z

y

x

G

Fz

oben

F z

u n t e n

d y

d x

d z

p + d p

p

(Druckgradient in z Richtung)

F G Fzunten

zoben 0

p dx dy g dx dy dz p dp dx dy ( ) 0

dpdz

g

(hydrostatische Druckverteilung)p g z const

Druck (4)

 

p g z const

const ist Referenzdruck, frei wählbar

Absolutdruckwichtig für Kavitation, Verdampfen

Relativer Druck (Überdruck)entscheidend für Strömungsvorgänge

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (1)

•Druck p

•Druckhöhe

•Piezometerhöhe

gp

gpzhp

Pa

mFS

mFS

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (2)

Bezugsniveau(z=0)

pwsp

.Wasserspiegelhöhe hwsp

hwsp - zA

GeodätischeHöhe zA

hp - zADruckhöhe

hp Piezometerhöhe

Piezometer

A

z

p = pr

Druckeinheiten1 Pa = 1 N/m2

1 mWS = 0.1 at

1 mmHgS = 1 Torr = 0.00135 mWS

1 at = 1.0197 bar

1 bar = 105 Pa

Was ist die treibende Kraft für Strömungen?

z = 0

Nicht Differenzen in p sondern Differenzen in hp

BpApp hhh ,. A

BAz

Bz

gpA

g

pB

BA pp

Druckverteilung in inhomogenen Fluiden (Schichtung)

zöl

Wasser

Öl

Bezugsniveau

z

zT zw

zw Druckverteilung

p

Hydrostatisches Paradox

a b c

Vergleiche Druckkraft am Boden bei gleicher Fläche und Gewicht des Wassers

Kommunizierende Gefässe

Messung des Drucks (1)

Bezugsniveau

P1

P2

a

b c

U-Rohr Manometer misst relativen Druck

gbpgccagp 12211 )( Gleichgewicht:

12 ppp

Messung des Drucks (2)

Piezoresistiver Halbleiterdruck-aufnehmer (Pressure transducer) nutzt Widerstandsänderung bei Deformation

Druckdose

Messung des Drucks (3)

Bourdon‘sche Röhre

Alle messen relativen Druck!

Ölhydraulik

F1F2

A1 A2Öl

2

2

1

1

AF

AFp

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen

K=ghA

A

AA

K=ghA/2 K=

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen

Regeln:

1) Druckkraft auf Fläche = Gewicht des Druckkörpers = Volumen des Druckkörpers g

= gedrückte Fläche * Druck im Flächenschwerpunkt

2) Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den Schwerpunkt des Druckkörpers

(nicht durch den Schwerpunkt der gedrückten Fläche!! sondern durch ihren Druckmittelpunkt)

h

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen

Druckkörper

h

Für ebene Flächen sind die Umrisse des Druckkörpers durch eine flächennormale Auftragung der Druckhöhe über der gedrückten Fläche gegeben.

Herleitung der Regeln(Fläche achsensymmetrisch um -Achse)

2( ) sin( ) sin( )

( ) sin( ) sin( )

DA A

SA A

M F p dA g dA g J

F p dA g dA g A

Daraus: D

Regel 2: Allgemein

• Schwerpunkt eines homogenen Körpers D

VD

VVdV

VdV

1 1;

V dA AA

S sin sin dV dA sin

DS AA

dA 1

D

S AAdA

1 2

Für symmetrische Körper (bezüglich -Achse): D = 0

Beispiel

b

a

a

b

h

F

Gesucht: F, D

ba

hghFsin2

1

aa

dbba

dAAA

J

a

S

a

SASSD

S

32

31

112

2

0

22

d

dA=b d

0S D Wegen Symmetrie:

Wie findet man J?

In Formelsammlung ist gewöhnlich das Flächenträgheitsmomentum eine Achse durch den Schwerpunkt gegeben.

Das Flächenträgheitsmoment um eine beliebige, dazu paralleleAchse (z.B. -Achse) folgt aus dem Steinerschen Verschiebungssatz:

S

2S SJ J A S

Zerlegung von Kräften (1)

arctan R

Rv

h

R R Rh v 2 2

Zerlegung von Kräften (2)

Horizontale Komponente Vertikale Komponente

  unterer Teil - oberer Teil = Resultierende

Kräfte auf gekrümmte Flächen (1)

Die resultierende Kraft geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Komponenten, der generell nicht mehr auf der gedrückten Fläche liegt.

arctan R

Rv

h

Kräfte auf gekrümmte Flächen (2)

Resultierende verläuft durch den Drehpunkt – Wasserlast bringt kein zusätzliches Moment

Kräfte auf gekrümmte Flächen (3)

Oberflächennormale Auftragung zur Bestimmung der Gesamtkraft nicht mehr sinnvoll

Kräfte auf gekrümmte Flächen (4)Beispiel:

P

h

b

Gesucht: Kraft, Moment um P

Auftrieb

S v

F A

V 

F g VA w

Angriffspunkt der Auftriebskraft: Schwerpunkt des Deplacements

Archimedisches PrinzipAuftrieb = Gewicht des verdrängten Fluids

Aräometer

• Auftriebskraft

FB = Gewicht des Aräometers

ist konstant

• Eintauchtiefe grösser oder kleiner, je nach spezifischem Gewicht des Fluids

Schwimmen und Schwimmstabilität (1)

 

Deplacement

sDsD

sKsK

sK unter sD: immer schwimmstabil

Schwimmen und Schwimmstabilität (2)

 

sK über sD

Schwimmen und Schwimmstabilität (3)

 

M: MetazentrumhM: metazentrische Höhe

a

FA SK

SVG

FASK

SV

Mr

MhM

O

G

Schwimmen und Schwimmstabilität (4) 

Das entstehende Drehmoment ist

A: In der Ruhelage von der Wasserlinie umschlossene Fläche

  

Jgd

dAxgddAdgxxMAA

auftrieb

2 

( )

( )

auftrieb A M

M

M F h a d gd J

Jh a d dV

0

0

auftrieb gewicht netto

M

M M M

Jh aV

Stabilitätsbedingung:

SK

SU

SV

a

hM

dahM )(

V

d

gewicht G AM F ad F ad

Schwimmen und Schwimmstabilität (5)

Beispiel Quader

Quaderabmessungen: b,h,lt: Tiefgangf: FreibordQuader= Q

Fluid=

z=0

f

tG

FA

h

b

Gesucht: Stabilitätsbedingung

Lösung: )1(2/12

3

Q

QM

hhbl

lbh

Sohlwasserdruck

Welche Dichtung ist sinnvoller?

Der Operator

• Nabla Operator: Definition

• Schreibweise, die uns das Leben leichter macht

x

y

z

Vier Anwendungen• Anwendung auf Skalar: Gradient

• Ergebnis der Operation: Vektor• Dieser gibt die Richtung der stärksten Abnahme des

skalaren Felds p an. • Beispiel: Höhenlinien

pxppypz

Vier Anwendungen• Anwendung auf Vektor als Skalarprodukt: Divergenz

• Ergebnis der Operation: Skalar• Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt die Stärke einer

lokalen Senke oder Quelle an• Eine erhaltene Vektorgrösse hat Divergenz 0

xyx z

y

z

x uuu uu u

y x y zu

z

Vier Anwendungen• Anwendung auf Vektor als Vektorprodukt: Rotation

• Ergebnis der Operation: Vektor• Die Rotation eines Vektorfeldes gibt die lokale

Drehgeschwindigkeit an, mit der sich ein infinitesimaler Körper im Strömungsfeld drehen würde

yz

xx z

y

zy x

uuy zx uu uu u

y z xu u u

x yz

Vier Anwendungen• Anwendung auf Vektor als Tensorprodukt

• Ergebnis der Operation: Tensor zweiter Stufe• Der Tensor enthält die Deformation durch ein Strömungsfeld.

Symm. Anteil: Drehung, assym. Anteil: Scherung

yx z

yx zx y z

yx z

uu ux x xx

uu uu u u uy y y y

uu uz z z z