PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I.UNIONEMATEMATICAITALIANA

SCUOLANOFWALESUPERIOm

I @dii di Archimde - Gara deCTinnti 9 J :. e--L__ ,n n m 3 u I c ; t x I lu l e IY Y I

1)

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41

La prova consiste di 25 problemi; ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E. lTno ,?,YI.x J: “.,,T.Tl,l r:nn,-.nC” x nr\rr,,++n 1, .TlC-- A nF.__ ^_....C” n-: -:“-^-c^ __.._^ CL- “I1(i D”1a GLI ~UciJllG IIJrI”J‘G G L,“IIe‘LG> 1e CUUt: ‘i 3”ll” e.iIa‘e. vgm IIup”3‘” ~“llt$l,ba. vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. NON È CONSENTITO L'USO DI ALCUN TIPO DI CALCOLA- .TRicE. I1 tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova è 1 ora e mezza. Buon lavoro e buon divertimento

Nome Cognome Classe_

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

1)

2 >

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Nella figura a fianco i rettangoli (tutti uguali) hanno altezza a e base b. Il perimetro della figura ,*,1-r. , qr7 ,n\..n I .*7 IS-i\..- .-.nr 1~) e mz t 1.30 \m) e Iva t lue (LI e 130 + 3uo (D) è 30~ + 30b (E) non è nessuno dei precedenti. I 1 I I l

Dati due reali 2 e y tali che 0 < z < y < 1, in quale intervallo si trova x&j ? (A) Fra 0 e x (B) fra x e y (C) fra y e 1 0 2 Y 1

I I I (D) oltre 1 (E) dipende dai valori di z e y.

Data una funzione tale che f(x + 1) = 2f(z) + 1 2 e tale che j(2) = 2: quanto vale

f(1) ? (A) 0 (B) 1/2 (C) 1 (D) 3/2 (E) 2.

Sulla lavagna si trova scritto il numero 1. La sola mossa permessa è cancellare il numero scritto sulla lavagna e sostituirlo o con il suo doppio o con il suo quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere in 8 mosse? (A) 28 (B) 47 (C) 88 (D) 2’j4 (E) 2128.

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Qual è la percentuale del quadrato ombreggiata in figura? (A) 12,5% (B) 16,66% (C) 18,75% (D) 20% (E) 25%.

Per tagliare un anello di catena occorre un minuto, e per saldarlo di nuovo ne occor- rono 5. Disponendo di 10 anelli concatenati a due a due, quanti minuti occorrono (al minimo) per formare una catena aperta di 10 anelli? (A) 39 (B) 26 (C) 24 (D) 18 (EI 13. 1-1 --.

Quale dei seguenti numeri è il più piccolo? (A) 0,0000001 (B) 9-8 (C) (0, l)‘jl (D) Jm (E) (0,0001)2.

Le superfici totali di due cubi sono l’una doppia dell’altra. Qual è il rapporto fra i volumi dei due cubi? (A) 2 (B) ti (C) 24 (D) t/z (B) 4.

Se il pomeriggio ho giocato a tennis, la sera ho fame e se la sera ho fame, allora mangio troppo. Quale delle seguenti conclusioni non posso trarre da queste pre- messe? (A) Se gioco a tennis il pomeriggio, allora la sera ho fame e mangio troppo (B) se la sera ho fame, allora mangio troppo, oppure ho giocato a tennis il pome- riggio (C) se la sera non ho fame, allora non ho giocato a tennis il pomeriggio (D) se la sera non ho fame, allora non mangio troppo /P\ On 1.3 c .n v_ n n m m n m rr;n +r, T v .r\r\ .3 1 1, w .* m n T 7 h n A rro o t n 9 t o n n;.z ;1 n r\m nr;m r;n \Y J D G I a D c I a II V I, U a q y ” u v p p v, (1 L I”I c ì U ”I I L I” j y ”L a b” a L I c z II IL I c l I I p ”n Lr;‘q g j l”.

In un piano cartesiano sono dati i punti seguenti: A = (0, 15); B = (20, 0); C = (0, 0). Qual è la larghezza minima di una striscia rettilinea che contiene tutti e tre i punti? [Chiamiamo striscia rettilinea la porzione di piano compresa tra due rette parallele, comprese le due rette.] (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 20.

Se 2* = 4Y+’ e 273’ = 3”+l quanto vale x + y? (A) -3 (B) 3 (C) 5 (D) 11 (E) non esistono coppie di numeri (x, y) che verificano le condizioni date.

Determinare l’area della figura tratteggiata, sapendo che ogni circonferenza ha raggio 1 cm. (Al n cm2 (B) (rr - 2)cm2 (C) 2(7r - 1) cm2 (D) 2(7r - 2) cm2 (E) 4(7r - 1) cm2.

t

13) Un gioco consiste nel lancio ripetuto di un dado; i punteggi ottenuti ad ogni lancio vengono sommati al totale precedente e un giocatore vince tanti gettoni qual è il suo punteggio, ma non vince nulla se il suo punteggio supera 10. Un giocatore ha già un punteggio di sei. Gli conviene tirare un altro dado (sommando a sei il punteggio ottenuto) o ritirarsi dal gioco vincendo i sei gettoni? (A) Conviene tirare: infatti in quattro casi si guadagna, in due casi soli si perde (B) conviene fermarsi: infatti se si perde si perdono i sei gettoni, e se si vince se ne guadagnano al massimo quattro (C) conviene tirare, ma con una motivazione differente da (A) (D) conviene fermarsi, ma con una motivazione differente da (B) (E) è solo questione di fortuna.

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In una prima ci sono 3 ragazzi per ogni 2 ragazze. L’età media dei ragazzi è 14 anni e 2 mesi, quella delle ragazze 13 anni e 4 mesi. Qual è l’età media della classe? (A) 13 anni e 6 mesi (B) 13 anni e 8 mesi (C) 13 anni e 10 mesi (D) 14 anni (E) il risultato dipende dal numero di alunni della classe.

Quanto vale m? (A) ‘t/z (B) t/z (C) ti (D) ‘@ (E) ‘fl.

Su un foglio di carta quadrettata sono disegnati, come in figura, i segmenti AB e CD. Detto E il loro punto di intersezione, quanto vale il rappporto fra la lunghezza di AE e la lunghezza di EB? (A) Un numero razionale minore di 2 (B) un numero irrazionale minore di 2 (C) esattamente 2 (D) un numero razionale maggiore di 2 (E) un numero irrazionale maggiore di 2

x6+2, Qual è il numero intero che approssima meglio il numero ~. J5-2

(A) 2 (B) 7 (C) 14 (D) 18 (E) 29.

Quanti venerdì 13 ci possono essere al massimo in un anno non bisestile? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) più di 4.

Nella somma 1 + 2 + 3 + . . 1 + 100, quanti segni + devono essere cambiati in minimo per poter ottenere 1997? (A) Meno di 10 (B) tra 10 e 19 (C) tra 20 e 29 (D) più di 30 (E) non è possibile ottenere 1997.

Quante soluzioni intere positive ha l’equazione x2 - y2 = 60? (A) Una (B) due (C) quattro (D) sei (D) infinite.

-

21)

22)

23)

Nel triangolo ABC, il lato AB è lungo 1 cm e ACB = 120’. Sul lato AB si costruisce un triangolo equilatero ABD avente il vertice D dalla parte opposta di C rispetto alla retta AB. Detto G il baricentro del triangolo equilatero, dire quanto misura il segmento CG.

(A) ficm (B) J

icrn (C)ficm (D) icrn J

(E) i dati del problema sono insufficienti.

Le estrazioni del lotto vengono fatte indipendentemente in varie città. In ogni città vengono estratti 5 numeri distinti fra tutti i numeri compresi fra 1 e 90. Considerando le estrazioni che riguardano le 3 città di Milano, Roma e Napoli, qual è la probabilità che il numero 13 venga estratto in una e una sola di queste 3 città?

Per evitare ambiguità, conveniamo che, come usuale, un numero intero non possa cominciare per zero. Un numero intero positivo si dice palindromo se la sua espres- sione in base 10, letta in ordine inverso (da destra a sinistra) rappresenta ancora lo stesso numero. Detto ps il numero di palindromi di 5 cifre, ps il numero di palindromi di 6 cifre, p7 il numero di palindromi di 7 cifre, quale delle seguenti affermazioni è corretta? (A) 10P5 = P6 e 10PS = P7 (B) Ps = PS e 10P6 = Pr

(c) loP5=P6 eP6=P7 (D) P5 =P6 =m

(E) nessuna delle precedenti affermazioni è vera.

24) Se a, b sono numeri reali positivi tali che a + b = 1, il minimo valore possibile per il prodotto (1 + l/a) . (1 + l/b) è (A) 16 (B) 9 (C) 4 (D) non c’è un valore minimo (E) c’è un valore minimo, ma non è fra quelli citati.

25) In quale delle seguenti figure, che rappresentano gli spigoli dei 5 solidi platonici, è possibile percorrere tutti i lati disegnati senza tornare mai sui propri passi? (natu- ralmente è possibile passare più di una volta sullo stesso vertice).

(A) (B) ((3 CD) w _._-- --.

I Giochi di Archimalé - Soluzioni Tiiennio 3 dicembre 1997

JB~A~D~E~C~D~E~CJD~CIDIDID/CICIC(DICIEIB~B~C~B~B~C~ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

1)

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4

5)

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7)

La risposta è (B) . Costruiamo il rettangolo con base e altezza uguali a quelle della figura che contiene la figura stessa.

I I Proiettando i segmenti che formano il perimetro _____j --___ ___

della figura parallelamente a sé stessi (verso l’esterno) sui lati del rettangolo, @ -

si vede che il perimetro del rettangolo viene ricoperto esattamente, e quindi il perimetro della figura è uguale a quello del rettangolo.

La risposta è (A) . Essendo 0 < y < 1, allora sarà anche 0 < @j < 1. Moltiplicando per z si ha che 0 < x&j < x.

La risposta è (D).

Si ha infatti f(2) = 2.w) + 1 2 cioè 2 = 2f(1) + ’ 2 ’

da cui 4 = Lf(1) + 1 ed infine f(1) = i.

La risposta è (E). Poiché in ogni caso, partendo da un numero maggiore, una mossa permette di arrivare ad un numero maggiore, è chiaro che la migliore strategia si ottiene massimizzando il risultato di ciascun passo. Pertanto conviene al primo passo raddoppiare, ottenendo 2; il secondo passo è indifferente e fornisce 4; da questo punto in poi conviene sempre prendere il quadrato, che è maggiore del doppio. Quindi il massimo ottenibile dopo n mosse è q2”-’ = 22”-1.

La risposta è (C). Suddividendo la figura come illustrato, si vede che la superficie ombreg- giata è 3/16 del totale. 3/16 = OJ875 = 18,75%.

4

La risposta è (D). Una strategia possibile prevede di aprire i due anelli di una coppia e utilizzarli per formare con le altre coppie due catene di cinque anelli ciascuna. Basta allora aprire uno degli anelli di una catena e unirla all’altra. Vi sono anche altre strategie in tre passi, ma nessuna in due. Infatti, se ad un certo istante le catene presenti hanno come lunghezze massime Zr e Z2, la lunghezza massima ottenibile al passo successivo è ovviamente 11 + 12 + 1. Pertanto dopo un passo le lunghezze massime saranno 5 e 2, e dopo due passi la massima lunghezza ottenibile è 8.

La risposta è (E). 1 vari numeri possono essere scritti così:

0,0000001= 1o-7 (0, I)OJ = IO-r/10 j/@jKl = 10-5’2 (0,0001)2 = 1o-8

inoltre si ha che 9-’ > IO-‘, quindi la risposta corretta è la (E).

f9

9)

La risposta è (C). Poiché la superficie totale è 6 volte l’area di una faccia, anche le facce hanno rapporto 2 : 1. Poiché l’area di una faccia è il quadrato dello spigolo, il rapporto fra gli spigoli è fi : 1. Dunque i volumi, che sono il cubo dei corrispondenti spigoli, stanno fra loro nel rapporto (-\/2>3 : 1, cioè 24% (Nel caso generale di figure n-dimensionali ottenute tramite omotetia di rapporto t, le misure n-dimensionali stanno nel rapporto tn. Dunque nell’ipotesi dell’esercizio si ha t2 = 2, dunque t3 = 239.

La risposta è (D) . In effetti, è ben possibile che io sia un ghiottone che mangia sempre troppo! Si noti che tutte le altre conclusioni sono correttamente deducibili dalle premesse: (A) per la transitività dell’implicazione l’ipotesi implica entrambe le tesi; (B) perché la tesi è più debole del semplice mangiar troppo che già segue dall’ipotesi; (C) è semplicemente la contronominale della prima premessa; (E) è la contronominale dell’implicazione ottenuta dalle due premesse per transitività.

10) La risposta è (C). La larghezza minima della striscia è uguale alla minima delle altezze del triangolo ABC. Infatti, supponiamo di avere una striscia che contiene interamente il triangolo ABC, e siano a, b, c i seg- menti tra le due rette che delimitano la striscia, perpendicolari ad esse e passanti rispettivamente per A, B, C. Tutti e tre questi segmenti hanno lunghezza Z pari alla larghezzza della striscia. Se almeno due di questi segmenti coincidono, per esempio a e b, allora 1 2 AB 2 hA, dove hA è l’altezza dal vertice A. Se i segmenti sono tutti distinti, sia per esempio c quello centrale. Allora c taglia il lato AB in un punto P interno alla striscia, per cui 1 1 CP 2 hc. In ogni caso Z è maggiore o uguale ad una delle tre altezze del triangolo. D’altra parte, se hc è l’altezza minima (o una delle altezze minime, in caso di coincidenze) la striscia compresa tra la retta passante per A e B e la retta’ad essa parallela passante per C ha lunghezza uguale ad hc e contiene tutti i tre punti. Nel caso proposto, il triangolo ABC è rettangolo e le sue altezze sono hA = 15, hB = 20, hc = 12.

11) La risposta è (D). Le due equazioni date sono infatti equivalenti alle seguenti: 2” = 22(Y+1) e 33Y = 32+1, da cui x = 2y + 2 e 3y = x + 1. Sostituendo il valore di x dalla prima delle due equazioni nella seconda, si ottiene 3y = 2y+3,dacuiy=3,~=8ex+y=ll.

12) La risposta è (D). Tracciando i due raggi OA e OB e la corda AB, si os- serva che l’area tratteggiata in figura può essere ottenuta come differenza fra l’area del settore circolare AOB, pari a 7r/4 cm2 e l’area del triangolo AOB pari a 1/2 cm2. L’area richiesta può essere determinata moltiplicando per 8 la diffe- renza fra le due aree precedentemente calcolate, e vale quindi 8 x (ti/4 - 1/2) cm2 = 2 x (T - 2) cm2.

13) La risposta è (D). Infatti, se esce 1, 2, 3, 4 si vincono rispettivamente 7, 8, 9, 10 gettoni; se invece esce 5 o 6 si

vincono 0 gettoni. Poiché tutti i casi sono equiprobabili, si vincono 7+8+9+10+0+0 34 =- gettoni in media, e poiché tale quantità è minore di 6, conviene fermarsi.

6 6

14) La risposta è (C). Infatti l’età media può essere ottenuta col seguente calcolo

3x (14+$)+2x (13$-h) =

68+$ _ 65 3 14 36 + 14 2+3 5 -T+-+-=13+ 5 60 60

=13+;

cioè 13 anni e 10 mesi.

15) La risposta è (C).

Per le proprietà dei radicali si ha: ~=&Z&yF=~.

16) La risposta è (C). Dalla figura risulta che i segmenti AC e BD sono

AE C 1 aralleli, e dunque i

triangoli AEC e BED sono simili. Pertanto - = - = EB BD 2’

17) La risposta è (D).

Infatti si ha che J5+2 - J5+2J5+2= (fi+2)2 =5+4+4&=g+4J5 d-2 - Js-2&+2 5-4

L’intero più vicino a 4J5 = Jso è 9 = Jijl.

18) Larisposta è (C). Si verifica che:

se il primo gennaio cade di: allora c’è un venerdì 13 nei mesi di: lunedì aprile, luglio martedì settembre, dicembre mercoledì giugno giovedì febbraio, marzo, novembre venerdì agosto sabato maggio domenica gennaio, ottobre.

In un anno non bisestile ci possono essere al più tre venerdì 13 e ciò si verifica se e solo se il primo gennaio di quell’anno è giovedì. La prossima volta che ciò si verificherà sarà nel 1998.

19) La risposta è (E). Osserviamo che S = 1 + 2 + 3 + - . - + 100 è pari perché in S ci sono un numero pari di addendi dispari. Più precisamente si ha la formula

s = 1 + 2 + 3 + * + * + 100 = 100 * (100 + 1) = gy&) 2

Se cambiamo il segno + in segno - per un dato numero, la somma totale dimuisce del doppio del numero modificato: così ad esempio

1 + 2 +. . . - i + . . . +. . + + 100 = S - 2i

È chiaro allora che la parità della somma non può cambiare e, dato che S è un numero pari, non potremo mai ottenere 1997, un numero dispari.

20) La risposta è (B). Se x2 - g2 = (x + y)(x - 9) = 60, allora x + y = a e x - y = b con ab = 60; inoltre a b

a > b poiché x e y sono positivi. Le possibilità di ottenere 60 come prodotto di due 6o 1 interi positivi a, b con u > b sono elencate nella tabella a fianco. 30 2

u+b u-b D’altra parte, si ha x = 2 e y = 2;

20 3 i valori di x e y risultano interi se e solo se I5

T.

4 u + b e u - b sono entrambi pari, cioè se e solo se u e b sono entrambi pari o entrambi 12 5 dispari. Pertanto le coppie (u, b) che danno luogo a valori interi di x e y sono solo IO 6 (30, 2) e (IO, 6)

21)La risposta è (B). Sia D il terzo vertice del triangolo equilatero. Poiché gli angoli in C e in D sono supplementari, il quadrilatero ACBD risulta essere inscrit- tibile in una circonferenza, il cui centro coincide con il baricentro G di

c :

ABD. Pertanto la lunghezza di CG è uguale al raggio della circonferenza

$ 0

I” fi2 circoscritta ad ABD, che vale AB * 2 . 3 cm =

1 - cm. 3

D 22) La risposta è (C).

La probabilità che il numero 13 venga estratto in una città è $ = &; la probabilità che non venga estratto è dunque rs. E Ne segue che la probabilità che il numero 13 venga estratto a Milano, ma non a Roma e a Napoli, è & x (z)“. La stessa cosa vale per la probabilità che il 13 sia estratto solo a Roma o solo a Napoli. Poiché questi tre casi sono mutualmente esclusivi, la probabilità richiesta è

1 172 . p=3xzx 18

( > 1 17 2

ClOè p= g 18 . (>

Poiché si ha che

allora 1 18 4 - 6 >P>Z’G = 27 e poiché

1 3 4 1 1 5 = 27 < 27 si ha 5 < p < 6.

23) La risposta è (B). Ogni palindromo con un numero pari 2n di cifre produce esattamente un palindromo con 2n - 1 cifre (cancellando una delle due cifre centrali), ed in tal modo si ottengono tutti i palindromi con 2n - 1 cifre. Inoltre produce 10 palindromi di 2n + 1 cifre (intercalando una cifra qualsiasi al centro), e di nuovo così si ottengono tutti. Pertanto p5 = p6 e p7 = 10p6.

24) La risposta è (B) .

(l+~)(l+~)=ab+aa~b+l=l+~ e, poiché a parità di somma di due numeri il prodotto è massimo quando i due numeri sono uguali, il minimo si ottiene quando a = b = i. SECONDA SOLUZIONE Poiché a + b = 1, la soluzione si ottiene per a = b = 1/2. Se infatti a e b non fossero uguali, per simmetria potremmo supporre a > 1/2 > b. Posto a = 1/2+c, b = 1/2-c si avrebbe:

25) La risposta è (C). 2 Condizione necessaria e sufficiente affinché una figura possa essere per- corsa con un cammino che passi una ed una sola volta per tutti i lati è che il numero di lati che concorre in ogni vertice della figura sia pari tranne al più due vertici nei quali possono concorrere un numero dispari di lati. Infatti in ogni vertice, salvo eventualmente quello di partenza e quello di arrivo, dovrà concorrere un ugual numero di lati entranti e di lati uscenti (cioè percorsi avvicinandosi verso il vertice ed allontanandosi da esso). 1 3

L’unica figura con questa proprietà fra quelle date è la (C), nei cui vertici concorrono 4 lati. Il disegno sopra dimostra che per questa figura è effettivamente possibile trovare un cammino con la proprietà richiesta. Numeriamo i vertici come in figura. Un percorso possibile è, per esempio, quello che tocca i vertici nell’ordine 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 4, 3, 5, 2, 6, 1.