I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTENulmet/mathe/vorlesungen/analysis.pdf · DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 11/ von 105 FHT Esslingen

DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 2/ von 103 FHT Esslingen

FUNKTIONEN

I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN a) Symmetrie Beispiele a) xx eexf −+=)( b) xxxf ⋅=)( c) )tan()( xxxf ⋅= d) 2)sin()( xxxf += b) Monotonie Beispiele a) 1)( += xxf b)

11)( 3 +

=x

xf

c) xxxf ⋅=)( d) xxxf += )tan()(



c) Umkehrfunktion Beispiele a) 1)( += xxf b)

11)(

−+

=xxxf

Aufgabe 4) WS 2006/2007 Gegeben sind die beiden Funktionen

xx eexf −−= 4)(1 und xx eexf −+= 4)(2 .

a) Begründen Sie, dass für alle Rx∈

)()( 12 xfxf > gilt



DIFFERENTIALRECHNUNG

I) GRENZWERTE VON ZAHLENFOLGEN

Übung 1) ?2

12lim 32

3

=+−+nnn

n

Lösung

20021

021121

12

1121

12lim

23

33

=+⋅−

+=

∞+

∞−

∞+

=

+−⋅

+⋅

=

nnn

nn

Bemerkung

Die folgenden Gleichungen sind alsGrenzwerte zu verstehen:

01=

∞ und ∞=01



Ergänzung: Die Zahl von Euler

Definitionn

n ne

+=

∞→

11lim

Näherungswert ...71,2=e

Hausaufgabe: BzM 4, Seite 10, Aufgabe 7.



Übung 2)( ) ?

11lim

3

=+++

nnnn

Lösung:

=++

+⋅=

nnnn

n

1

11lim

3

( )=

++

+⋅

nnnn

n

1

11lim

33

=

++⋅

+⋅

111

11lim

3

nnnnn

nnn

.1001

)01(111

11 3

3

=++

+=

∞+

∞+

∞+

=



Übung 3) ( )=−−+ nnnn 22lim 22 ?

Lösung:

( )⋅−−+= nnnn 22lim 22( )( )nnnn

nnnn2222

22

22

−++

−++

( ) =−++

−−+=

nnnnnnnn22

)2()2(lim22

22

( )nnnnn

224lim

22 −++=

−⋅+

+⋅

=

nn

nn

n2121

4lim22

[ ] 224

114

2121

4lim ==+

=

∞−+

∞+⋅

=

n

n



II) GRENZWERTE VON FUNKTIONEN

Grenzwertsätze

1) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfxxxxxx 000

limlimlim→→→

+=+

2) ( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xx

xx

xx0

0

0 lim

limlim

→

→

→=

3) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfxxxxxx 000

limlimlim→→→

⋅=⋅

4) ( )( ) ( ) ( )( )xg

xx

xg

xx

xxxfxf 0

00

lim

limlim →

=

→→

Ausnahmefälle/ Spezialfälle:



5) Regel von Bernoulli und L´Hospital(BlH):

( ) ( ) ( )( )

( )( )xgxf

xgxfxgxf

xxxxxxxx ´´limlim,0limlim

0000 →→→→=⇒∞==

Anwendbarkeit: Spezialfälle ∞∞,

00

Beispiele:

1)

.21

712

11lim

721lim

22

22

2

2

−=

++−

+

=++−

+−∞→−∞→

xxx

xx

xxx

xx



Satz:

( ) 011

1 ..... axaxaxaxP nn

nnn ++++= −

− ,( ) 01

11 ..... bxbxbxbxQ m

mm

mm ++++= −−

( )( )

<

=

>∞±

=⇒∞→

mn

mnba

mn

xQxP

m

n

m

n

x

,0

,

,

lim

2)

?11lim 22 =

−−+

∞→xx

x

( ) ( )( ) 02

11)1()1(lim*lim

22

22

=∞+∞

=−++

+−+=

++

−=∞→∞→ xx

xxBABABA

xx

3)1

11

1coslim

00sinlim

00====

→→

xxx

x

BlH

x



4)

?lim 22 =

−−+

∞→xxxx

x

111

2

1111

2limlim22

22

=+

=

−+

+

=−++

+−+∞→∞→

xx

xx

xxxxx

xxxxxx

Nicht vergessen:Spezialfälle können jedes Ergebnis liefern!

5) +∞=+

=−+

>→ 0

211lim 2

2

11 xx

xx

−∞=−

=−+

<→ 0

211lim 2

2

11 xx

xx

6) −∞=−+

−∞→ 1lim 2

3

xxx

x

da im Zähler höhere Potenz als im Nenner!



7) 1lim 020

11

1

2

2

===+

−

−→eeex

x

x

8) ( )

∞∞−

=

=→

>→

x

xxxx

xx 1

lnlimlnlim0

00

.010

1lim

11lim

1

1

lim0

2

0

2

0===⋅−=

−

=→→→

xxx

x

xxxx

BlH

9) ?1

lim2

=+∞→ xx

x

111

11lim

2

==+

=∞→

xx

xx



III) STETIGKEIT

Definition:

a) f ist stetig an der Stelle fDx ∈0

( ) ( )00

lim xfxfxx

=⇔→

b) f ist stetig, wenn f stetig ist für alle fDx ∈0 .

Beispiel 1:

( )

>+

≤=

0,10,

2 xxxx

xf

( ) lGf ==− 000 , ( ) rGf ==+=+ 11000 .

f hat keinen Grenzwert in ⇒= 00xf ist nicht stetig.

( =0x Sprungstelle).



Beispiel 2:

( )

=

≠=

0,1

0,sin

x

xxx

xf

( )

( ) .10

.111

1coslim

00sinlimlim

000

=

=====→→→

f

xxxxf

x

BlH

xx

( ) ( ) ffxfx

⇒=→

0lim0 ist stetig in 00 =x

Bemerkung:

Zur Untersuchung der Stetigkeit ist keineSkizze notwendig. Die Rechnung reicht.

Stetigkeitssatz:

Alle elementaren Funktionen sind stetig aufihren maximalen Definitionsbereichen.



Arten von Unstetigkeit:

a)Hebbare Unstetigkeiten:

1) =0x Definitionslücke (DL)2) Gxf

xx=

→)(lim

0

Die stetige Erweiterung von f

( ) ( )

=≠

=0

0

,,

*xxGxxxf

xf

Beispiel: ( )xxxf sin

=

( ) .111

1coslim

00sinlimlim

000======

→→→

xxxxfG

x

BlH

xx

( )

=

≠=⇒

0,1

0,sin*

x

xxx

xf



Übung:

( ) ?)(*,1

2

=−−

= xfx

xxxf

Hausaufgabe : BzM 4, Seite 31 Aufgaben 1-3

b) Unstetigkeiten 1. Art = Sprungstellen.

c) Unstetigkeiten 2.Art

Sind Stellen 0x für die gilt:

( )00 −= xfGl existiert nicht, oder ist ∞± ,oder

( )00 += xfGr existiert nicht, oder ist ∞± .

c1) Polstellen ±∞=lr GG ,

Beispiel: ( ) 0;10 == x

xxf



c2) Oszillationsstellen

Beispiel: ( ) .0,sin 0 == xx

xf π

Grenzwert xx

πsinlim0→ existiert nicht!

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(pi/x)



IV) DIFFERENZIERBARKEIT

Geschichte: Leibnitz, Newton (BzM 4)

Definition:

1) f ist differenzierbar (diff) an der Stelle 0x

( ) ( )0

0

0

limx x

f x f xx x→

−⇔ ∃

−

2) Die Ableitung von f an der Stelle 0x ist

( ) ( )0

00

0

' ( ) limx x

f x f xf x

x x→

−=

−

Beispiele

, 0( )

, 0x

ax b xf x

e x

+ <=

≥



Beispiel 1) Sprungstelle. Skizze !

2 , 0( )

, 0x

x xf x

e x

<=

≥

nicht stetig, nicht diff.

Beispiel 2) Knickstelle. Skizze !

2 1, 0( )

, 0x

x xf x

e x

+ <=

≥

stetig, nicht diff.

Beispiel 3) ‚Glatter‘ Übergang. Skizze !

1, 0( )

, 0x

x xf x

e x

+ <=

≥

stetig, diff.



Übung 1)

Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( ) | |f x x= an der Stelle 0 0.x =

Lösung

Die betragsfreie Darstellung:

( ), 0, 0x x

f xx x

≥= − <

( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0´ 0 0 lim lim 10 0x x

x x

f x f xfx x→ →

< <

− − −− = = = −

− −.

( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0´ 0 0 lim lim 10 0x x

x x

f x f xfx x→ →

> >

− + −+ = = = +

− −.

( )´ 0 0 (́0 0)f f− ≠ +

Folglich ist f nicht differenzierbar an derStelle 0 0x = . Skizze !



Übung 2)

Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( ) 2f x x= an der Stelle 0 3.x =−

Übung 3)

Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( )f x x= an der Stelle 0 0.x =

Lösung

0 0x = ist ein Randpunkt von (0, ).fD = +∞

( )0 0

0 0

0 0

0´ 0 0 lim lim0

1 1lim lim0

x xx x

x x

x xfx x

xx x x

→ →> >

→ →

−+ = =

−

= = = = +∞+⋅

Somit ist 0x = eine senkrechte Randtangente.



Die Tangente an eine Funktionskurve

Satz 1)

Die Steigung m der Tangente an die Kurve( )y f x= im Punkt 0 0( / ( ))P x f x ist die

Ableitung von ( )f x an der Stelle 0x .

( ) ( ) ( )0

.0

00

´ limdef

x x

f x f xm f x

x x→

−= =

− .

Satz 2)

Die Gleichung der Tangente an die Kurve( )y f x= im Punkt 0 0( / ( ))P x f x ist

( ) ( ) ( )0 0 0( ): ´T y f x f x x x− = ⋅ −



Beispiel 1)

Gesucht ist die Gleichung der Tangente zu2y x= in 0 3x = .

Lösung

0 0 03; ( ) (3) 9; (́ ) (́3) 6;x f x f f x f= = = = =

( )( ) : 9 6 3 6 9.T y x y x− = ⋅ − ⇒ = −

Beispiel 2)

Gegeben ist die Funktion ( ) 2| 4 |f x x= − .

a) Untersuchen sie die Differenzierbarkeitvon f an den Stellen 0 2.x = ±

b) Bestimmen Sie die Gleichung derrechtsseitigen und linksseitigen Tangentezu ( )y f x= in 0 2x = .

c) Skizzieren sie die Kurve ( )y f x=



Satz:

Wenn ( )f x die folgenden Bedingungen erfüllt

1) ( )f x ist stetig2) ( )f x ist differenzierbar für alle 0x x≠3) ( )

0

lim ´x x

f x→

∃

dann ist ( )f x differenzierbar in 0x x= und

( )0

0(́ ) lim ´x x

f x f x→

= .



Methodezur Untersuchung der Differenzierbarkeitabschnittweise definierter Funktionen an der‚Nahtstelle‘ 0x .

( )( )( )

1 0

2 0

,,

f x x xf x

f x x x≤

= >

1) Berechnungen:

( ) ( )0 1 00lG f x f x= − =( ) ( )0 2 00rG f x f x= + =

( ) ( )0 1 0´ 0 ´lm f x f x= − =( ) ( )0 2 0´ 0 ´rm f x f x= + =

2) Wenn l rG G G= = und l rm m m= = dann istf stetig und differenzierbar und

( )( )

( )

1 0

0

2 0

´ ,´ ,

´ ,

f x x xf x m x x

f x x x

< = = >



Lösung des Beispiels 2)

( ) ( )f x f x− = , somit Untersuchung für 0x ≥ .

( ) 2| 4 |f x x= − in betragsfreier Darstellung:

( )2

2

4, 2

4, 2

x xf x

x x

− + ≤=

− >

a) (2 0) 0 (2 0) .l rG f f G= − = = + =

( ) ( )1 2´ 2 0 ´ 2 ( 2 ) 4.l xm f f x == − = = − = −

( ) ( )2 2´ 2 0 ´ 2 (2 ) 4.r xm f f x == + = + = = +

( )f x ist nicht differenzierbar in 0 2x = , aberlinksseitig und rechtsseitig differenzierbar!Hier liegt eine Knickstelle vor.



b) Die Gleichungen der Knicktangenten:

( )( ) : 4 2lT y x= − − und ( )( ) : 4 2rT y x= −

Die Richtungsvektoren der Knicktangenten:

14

l−

=

und 14

r =

Die Berechnung des Knickwinkels:

1 16 15cos 1717 17

l rl r

α α⋅ − += = = ⇒ ≈

⋅

Skizze !

Praxisanwedung

Die Berechnung des Drehwinkels ϕ desFräskopfes an Knickstellen des Profils:

180ϕ α= −



Übungen Untersuchen Sie die Stetigkeit undDifferenzierbarkeit der folgenden Funktionen.

1) Hausaufgabe

( ) ( )3

2

1 , 1

3 1 , 1

x xf x

x x

− ≤= − >

Lösung:

Stetigkeit:( ) 31 0 1 1 0f − = − = und ( ) ( )21 0 3 1 1 0f + = − =

Somit ist ( )f x stetig.

Differenzierbarkeit:

( )

23 , 1´ ? , 1

6 , 1

x xf x x

x x

− <= =− >

( )´ 1 0 3f − = − und ( )´ 1 0 6f + = −Somit ist ( )f x nicht differenzierbar in 0 1x = .



2) ( ) 2

cos , 0

1, 0

x xf x

x x

≤=

+ >

Stetigkeit:

( ) ( )0 0 cos0 1, 0 0 0 1 1f f− = = + = + =Somit ist ( )f x stetig in 0 0x = .

Differenzierbarkeit:

( )sin , 0

´ ? , 02 , 0

x xf x x

x x

− ≤= = >

( ) ( )0´ 0 0 sin 0 , ´ 0 0 2 0 0f f− = − = + = ⋅ =

( )f x⇒ in 0 0x = differenzierbar und

( )sin , 0

sin , 0´ , 0

2 , 02 , 0

0x x

x xf x x

x xx x

− <− ≤= = = > >



c) Die Skizze der Funktionskurve:

( ) 2

cos , 0

1, 0

x xy f x

x x

≤= =

+ >



3) Gegeben ist die Funktion

( )1 sin 2 , 0

, 0x x

f xax b x+ <

= + ≥

Für welchen Wert von a und b ist ( )f x stetigund differenzierbar?

Lösung:

( ) ( )( )0 0 1 sin 2 0 1 0 10 0 0

ff a b b

− = + ⋅ = + =

+ = ⋅ + =

f stetig (0 0) (0 0) 1.f f b⇒ − = + ⇒ =

( )( )2cos 2 , 0

´ ? , 0, 0

x xf x x

a x

<= = >

( ) ( ) ( )´ 0 0 2cos 2 0 2 1 2, ´ 0 0f f a− = ⋅ = ⋅ = + =

f diff (́0 0) (́0 0) 2.f f a⇒ − = + ⇒ =



V) ABLEITUNGSREGELN

Ableitungen elementarer Funktionen

Tabelle 1 Grundformeln

* Ableitungsformeln 1-6 auswendig lernen !

Beispiel 1)

1) ( )3 2

2xf xx−

= , ( )´ ?f x =

Lösung

( )( ) ( )

1 22 2 2 83 32 3 2 2

3 3 32 2 2

xx xf x x x xx x x

− − +

− − −= = = = = =

( )8 51 3 23 38 8 8´

3 3 3f x x x x x

−= = = ⋅



Höhere Ableitungen

Definition

( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1,2,3,4,...n ndf n f x ndx

−= =

Bezeichnung

( ) ( ) ( )n

nn

d f xf x

dx= , z.B.: ( ) ( )

2

2 ´́d f x

f xdx

=

Beispiel 1)

( ) ( )2 , ´́ ´ ?x xf x f xx

= =



Lösung

( )11 12

22 2 ,x x xf x xx x

−= = =

( )1 312 21 1´ ,

2 2f x x x

− − −= − = −

( )´3 5

2 21 3´́ ,2 4

f x x x− −

= − =

( )´5 7

2 23 15´́ ´ .4 8

f x x x− −

= = −



Übung 1)

( ) ( ) ( ); ,́ ´́ , ´́ ,́..., ? ( )nnf x x f f f f x n N= = ∈

Lösung:

( ) ( ) ( )1 2´ , ´́ 1n nf x nx f x n n x− −= = − ,

( ) ( )( ) 3´́ 1 2 nf x n n n x −= − −

( ) ( ) ( )( ) 0

!

1 2 ...1 !n

n

f x n n n x n= − − ⋅ =

! 1 2 3 4...def

n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Hausaufgabe1) ( ) ( ) ( ), ?nxf x e f x= =2) ( ) ( ) ( )sin , ?nf x x f x= =3) ( ) ( ) ( )ln , ?nf x x f x= =



Eine Anwendung von höheren Ableitungenund Fakultäten

Die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion

2 3

1 ... ...1! 2! 3! !

nx x x x xe

n= + + + + + +

Die Zahl von Euler

1lim 1n

ne

n→∞

= +



Allgemeine Ableitungsregeln

1) ( )[ ] ( )´ ć f x c f x⋅ = ⋅( )[ ] ( )´ 0 ć f x f x+ = +

2) ( )́ ´ ´f g f g+ = +

3) ( )́ ´ ´f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅

4)´

2´ ´f f g f g

g g⋅ − ⋅ =

Beispiele

1) ( ) 1ln ´ 1 ln ln 1x x x x xx

⋅ = ⋅ + ⋅ = +



2) ´

21 ?x

x

−=

( )

( )( )

2 2 2

2 42

2

4 4 3

1 1 2 2 2

22 2 .

x x x x x xxx

x xx x xx x x

⋅ − − ⋅ − += = =

− +− + −= = =

3) ( )tan ´ ?x =

( )´

2

2 2

2 2

cos cos sin sinsincos cos

cos sin 1 .cos cos

x x x xxx x

x xx x

− − = = =

+= =



Übung

( )2

´ln , ( ) ?xf x f xx

= =

Tipp

Logarithmengesetze anwenden; ableiten.

Die Kettenregel

Satz

( ) ( )( )y x f u x= verkettete Funktion

( ) ( ) ( )´ ´ ý x f u u x⇒ = ⋅

( )´f u äußere Ableitung( )ú x innere Ableitung



Bemerkungen

1) dy dy dudx du dx

= ⋅

Formalismus mit ‘Differenzialen‘ , ,dx dy du .

2) ( )´ ´ ý f u u= ⋅ Kurzform

Beispiel 1)

( ) 2 ´sin ; ( ) ?y x x y x= =

Lösung

( ) ( )2 , sinf u u u x x= = ⇒( )´ (2 ) cos 2sin sin 2y x u x x cox x= ⋅ = ⋅ =

Beispiel 2) Übung !

( ) 2 ´sin , ( ) ?y x x y x= =

Ergebnis

( ) ( ) 2 ´ 2sin , ; ( ) 2 cosf u u u x x y x x x= = = ⋅



Bemerkung

( )( )( ) ( ) ( ) ( )´ ´ ´ ´f u v x v x u v f u= ⋅ ⋅

Übungen

a) ( ) ( )2ln 1 , (́ ) ?f x x f x= + =

b) ( ) 2ln 1, (́ ) ?g x x g x= + =

Tabelle 2 Kettenregel

( )( ) ( ) ( )´ ´ ´f u x f u u x= ⋅



Hausaufgabe

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitungder folgenden Funktionen:

a) ( ) 1arctanf xx

=

b) b) ( )2 1

xf xx

=+

c) ( )2

211xf xx

−=

+

d) BzM: A1-3



Ansätze:

a) ´ ´

21 1 1arctan

11x x

x

= ⋅ = +

( ) ( )´1 2

2 21 1 11 11 1

x x

x x

− −⋅ = ⋅ − = + +

...



Die Ableitung der Umkehrfunktion

( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ =

Satz

( )( )

´1 1´

f xf y

− =

oder1dydxdxdy

=

Beispiele

1)

( ) ( )2 1,f x x f x x−= =

( ) ( )( )´1 1

´1 2 21 1´ 2 ,2 2

f x x f x x xx

−− = = = =



2) ´(arcsin ) ?x =

Lösung

arcsin siny x x y= ⇔ =

( )( )

arcsin 1sin

d xd ydxdy

⇒ =

( )

( ) ( )

( )( )

´

2

2 2

1 1arcsin ćos(sin )

1 1cos arcsin 1 sin arcsin

1 1

11 sin arcsin

xyy

x x

xx

⇒ = = =

= =−

=−−



Impliziertes Differenzieren

Beispiel

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente anden Einheitskreis im Punkt ( )2 / 2 | 2 / 2P .Lösung

Ansatz: ( )0 0y y m x x− = −

2 22 2

y m x

⇒ − = −

?m = geht nicht direkt durch Ableiten!

Ausweg: Impliziertes Differenzieren (ID)

dymdx

=



2 2 1x y d+ =

2 2 0xdx ydy⇒ + = |: ,:ydy xdx y dx⇒ = −

dy y ymdx x x

⇒ = − ⇒ = −

Ergebnis: ymx

= −

Einsetzen im Punkt ( )2 / 2 | 2 / 2P :

( )( )

2 / 21

2 / 2m⇒ = − = −

2 212 2

y x

⇒ − = − −

2 22 2

y x⇒ − = − +

2x y⇒ + = 2y x⇒ = −



Übung

Gegeben ist der Kreis mit der Gleichung2 24 8 4 4 0x x y y− + + = .

a) Berechnen sie Mittelpunkt und Radius desKreises.

b) Welches ist die Gleichung der Tangente andem Kreis im Punkt ( )0 0O ?

c) Skizze.

Lösung

a) durch quadratische Ergänzung.( )1| 1/ 2 , 5 / 2M r= − =

b) 8 8 8 4 0xdx dx ydy dy⇒ − + + =

( ) ( )8 1 4 2 1 0dx x dy y⇒ − + + =( ) ( )2 1 2 0 1

22 1 2 0 1xdy m

dx y− −

⇒ = − ⇒ = − =+ ⋅ +

.

( )0 0 2y y m x x y x− = − ⇒ =



Logarithmisches Differenzieren

Beispiel

( ) ( ), ´ ?xf x x f x= =

ln lnx dy x y x xdx

= ⇔ =

1 1 ´´ ln ln 1yy x x xy x y⋅ = + ⋅ ⇒ = +

( ) ( ) ( )´

´ ln 1 ln 1x xy y x x x x⇒ = + ⇒ = +

Grundregeln

( ) 1´x xα αα −= ⋅ Exponent konstant

( )´ lnx xa a a= ⋅ Basis konstant

( )´ lnx x xx x x x= +

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet MATLAB Befehle

Seite 1/ von 2

MATLAB Befehle zur Berechnung von Ableitungen

clear x=sym('x'); f=input('f(x)= '); % Funktion % Folie 39 % x/sqrt(x^2+1), (1-x^2)/(1+x^2), atan(1/x) % % Blatt DR 2 % sqrt(log(sin(x))), sqrt(sin(log(x))), log(sqrt(sin(x))) % log(sin(sqrt(x))), sin(log(sqrt(x))), sin(sqrt(log(x)))

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet MATLAB Befehle

Seite 2/ von 2

df=diff(f); % Ableitung disp('f(x)= '); pretty(simple(f)) % Darstellung der Funktion disp('f´(x)= '); pretty(simple(df)) % Darstellung der Ableitung

��

��

��

��

� � � ��

��

� ��

�

��

��

��

��

� ��

��

� ��

�

��

��

��

!"��# � ��$��

�

��

��

��

��

� �� %� ��

��

� �� %� ��

�



VII) KURVENDISKUSSION (KD)

Checkliste

1.) Definitionsbereich2.) Symmetrie3.) Schnittpunkte mit den Achsen4.) Asymptoten5.) ( )xf ´6.) ( )xf ´´7.) Variationstabelle8.) Schaubild (Skizze)



(1) KD durch elementare Transformationen

Verschiebungen,Spieglungen,Skalierungen

Beispiele

1) ( ) 1xf x e −= −

2) ( ) 1 sin 2f x x= +

3) ( ) 1 11

f xx

= − −+



(2) Polynomiale Funktionen

Beispiel 1) ( ) xxxf 33 −=

1) fD = R2) ( ) ( ) ( )xfxxxxxf −=+−=+−=− 33 33

3) ( )0 0 0 (0 / 0)x y f S= ⇒ = = ⇒3 20 3 0 ( 3) 0y x x x x= ⇒ − = ⇒ − =

( ) ( )1,20 / 0 , 3 0S N⇒ ±

4) 3lim ( 3 )x

x x→∞

− = +∞ keine Asymptote

5) ( ) ( )2 2 ´1,2´ 3 3 3 1 1f x x x x= − = − ⇒ = ±

6) ( ) ( )´́ ´́1 1´́ 6 0 ´́ ´ 6f x x x f x= ⇒ = ⇒ =

7) Variationstabelle

8) Skizze



(3) Gebrochen rationale Funktionen

Beispiel 2)

( )1

22 −

=xxxf

1) fD = R \{ }1±

2) ( ) ( )xfxxxf −=−

−=−

12

2

3) ( )0 0 (0 / 0)f S= ⇒

4) 22lim 0

1x

xx→∞

= ⇒−

(HA) 0y = bei ∞±

( ) 2 11 00

f ⋅− = = −∞

−, ( ) 2 11 0

0f ⋅

+ = = +∞+

(VA) 1x = ±



5) ( )( )( )2

22

2 1 2 2´

1

x x xf x

x

⋅ − − ⋅=

−

( )=

−

−−= 22

22

1

422

x

xx

( )22

2

1

22

−

−−

x

x

( )22

2

1

12−

+−=x

x

keine Nullstellen

6) ( )xf ´´ nicht zwingend nötig; dieKrümmung wird mit anderen Methodenuntersucht.

7) Variationstabelle

8) Skizze



(4) Wurzelfunktionen

Beispiel 3 ( ) 21 xxf −=

1) [ 1, 1]fD = − +

2) ( ) ( ) ( )xfxxf =−−=− 213) ( )0 1f = ⇒ ( )0 1S

( ) 21,21 0 1f x x x= − = ⇒ = ± , ( )1,2 1 0N ±

4) KeineDL, keine RP, keine Asymptoten5)-7)( )xf ist differenzierbar als Verkettung

elementarer Funktionen und ( )y f x= mußaufgrund der Symmetrie eine Rechtskurvesein !8)Skizze/ andere Lösung

( ) 2 2 2

2 2

1 1

1, 0

f x y x y x

x y y

= = − ⇒ = −

⇒ + = >

Halbkreis mir Radius 1.



(5) Exponential- und Logarithmusfunktionen

Beispiel 4) ( ) ( )ln 1f x x x= ⋅ +

1) ( )1,Df = − ∞2) keine Symmetrien3) 0 0 (0 / 0)y x S= ⇒ = ⇒4) Asymptoten

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 0 lim ln 1

1 ln 0 1x

f x x→−

− + = + =

− ⋅ + = − ⋅ −∞ = ∞1x⇒ = − (VA)

( ) ( ) ( )lim ln 1 lnx

f x x x→∞

= + = ∞ ⋅ ∞ = ∞

⇒ keine Asymptote



5) ( ) ( )´ ln 11xf x xx

= + ++

( ) ( )

( )

´ ln 1 01

ln 1 (*)1

xf x xx

xxx

= + + =+

⇒ + =−+

Die Lösung tranzendente Gleichung (*)durch die grafische Methode.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x

-x/(1+x)



6) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 2´́1 1 1

xf xx x x

+= + =

+ + +

0 2x⇒ = − ist eine einfache Nullstelle aberkein Wendepunkt, da außerhalb von fD .

8) Skizze

Matlab und WordBefehle zur KD

M1) ezplot(‘x*log(1+x)‘)M2) print –dbitmap D:\bild1W3) Word/Einfügen/Grafik/AusDatei ...



(6) Trigonometrische Funktionen

Beispiel ( ) sin 2 2sinf x x x= −

(Siehe auch BzM 4)

MATLAB LÖSUNGEN

1) ezplot(‘f(x)‘)2) plot(x,y)3) help plot, ezplot

HOCHSCHULE ESSLINGEN Wintersemester 2006/07 Zahl der Blätter: 3

Blatt 1

Studiengänge: EKB & EPB & FZB Sem. 1 und Wiederholer

Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummern: 1011

Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner

Zeit: 90 min.

Aufgabe 1 (10 min)

a) Lösen Sie die Gleichung 5/2

5

3

21xx

= nach x auf.

b) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion )cos()2sin()( π−+= xxxf im Intervall [ ]π2,0 .

c) Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion ( )( )12

ln)( −= xexf . d) Welches ist der Unterschied zwischen den Funktionen )ln(2)( xxf = und ( )2ln)( xxg = ? Aufgabe 2 (15 min) Gegeben ist die ganzrationale Funktion ( ) axxxp +⋅−−= 22 2)( . a) Besitzt die Funktion p eine Symmetrieeigenschaft, und falls ja: Welche? b) Wie muss man a wählen, damit die Funktion p die Nullstelle 2−=x besitzt? (Verlangt ist eine kurze Rechnung, die reine Angabe eines Zahlenwertes genügt nicht!) Im folgenden sei 8=a . c) Welche Nullstellen besitzt die Funktion p? d) Welche Extrempunkte besitzt die Funktion p? e) Wie verhält sich p(x) für ±∞→x ? f) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion p. Aufgabe 3 (15 min) Die nebenstehend abgebildete Fläche mit den Eckpunkten O, A, B wird berandet durch die y-Achse und die beiden Funktionskurven )sin( xbay ⋅⋅= sowie )cos( xdcy ⋅⋅= Der Punkt A ist ein Hochpunkt der Sinuskurve. a) Bestimmen Sie aus den Angaben der Zeichnung die Werte der Parameter a, b, c, d! b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche!

Wintersemester 2006/07 Blatt 2

Studiengänge: EKB & EPB & FZB Sem. 1 und Wiederholer


Aufgabe 4 (20 min) Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

65

44)( 2

23

+−+−−

=xx

xxxxf .

a) Bestimmen sie den Definitionsbereich der Funktion f.

b) Berechnen Sie Schnittpunkte des Schaubildes der Funktion mit den Koordinatenachsen.

Hinweis: Eine Nullstelle des Zählerpolynoms ist 1=x .

c) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion f für ±∞→x möglichst genau.

(Hinweis: Polynomdivision)

d) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion f in der Nähe der Definitionslücken

möglichst genau. (z.B. hebbare Singularität / Sprungstelle / Pol mit oder ohne

Vorzeichenwechsel usw.)

e) Begründen Sie, warum sich die beiden Funktionskurven )(xfy = und 4+= xy

nirgends schneiden.

f) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion. Tragen Sie in die Skizze auch sämtliche

Asymptoten sowie die Achsenschnittpunkte der Funktionskurve von f ein.

Aufgabe 5 (10 min.) Gegeben sind die Vektoren ar und b

r mit 3,4 == ba

rr und ( ) °=< 30,) barr .

Sei baurrr 2−= .

a) Zeigen Sie, dass ur und b

r orthogonal sind.

b) Berechnen Sie ur .

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 2006 Zahl der Blätter: 3

Blatt 1

Studiengänge: EKB, EPB, FZB Sem. 1 und. Wiederholer

Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummer: 1011


Zeit: 90 min.

Teil 1: 60 min Aufgabe 1:

Gegeben ist das Polynom )3(41)( 3 −−= xxxf .

a) Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall, in dem die Funktion monoton wächst. b) Berechnen Sie die x-Koordinaten aller Wendepunkte von )(xf .

Die Berechnung der y-Koordinaten ist nicht verlangt. Vergessen Sie nicht den Nachweis, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt.

c) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f(x). d) Das Schaubild der Funktion )(xg entsteht durch Verschieben des Schaubildes von )(xf um 1

Einheit nach rechts und 1 Einheit nach oben. Geben Sie die Funktionsgleichung von )(xg an. e) Zeigen Sie, dass )(xg im Intervall [4, 5] eine Nullstelle besitzt. Wie viele Nullstellen hat die

Funktion )(xg insgesamt? Aufgabe 2: Eine harmonische Schwingung der Gestalt )sin()( ϕω += tAtx , 0>A , hat folgende Eigenschaften:

Die dem Ursprung am nächsten gelegenen Nulldurchgänge liegen bei 41π

−=t und 32π

=t ;

außerdem ist 0)0( >x .

a) Berechnen Sie die Periodenlänge P , die Kreisfrequenz ω und den Phasenwinkel ϕ .

b) Es sei 1=A . Welche Steigung hat dann der Funktionsgraph von )(tx im Punkt )0|4

( π− ?

c) Berechnen Sie für 1=A den Inhalt der vom Funktionsgraphen und der x-Achse

eingeschlossenen Fläche im Intervall zwischen den beiden Nullstellen 41π

−=t und 32π

=t .

Sommersemester 2006 Blatt 2


Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummer: 1011

Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion ( ) 1)-ln(1- xxf(x) ⋅= .

a) Bestimmen Sie Definitionsbereich und Nullstellen der Funktion. b) Berechnen Sie Lage und Art der Extrempunkte der Funktion. c) Berechnen Sie )(lim

1xxf

+→.

d) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion )(xf .

e) Berechnen Sie für die Funktion )(

1)(xf

xg = eine Stammfunktion, deren Graph durch den

Punkt )( 0|1+e verläuft. Hinweis: Substitution 1)-ln(xu = . Teil 2: 30 min Aufgabe 4:

Gegeben ist der Vektor ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

304

ar .

a) Wie muss man die Parameter p und q wählen, damit die Vektoren ar und ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

qpb3

r ein

Quadrat aufspannen? b) Sei b

r der in Aufgabenteil a) bestimmte Vektor. Wie muss man dann den Vektor cr wählen,

damit ar , br

und cr einen Würfel aufspannen? Geben Sie alle Möglichkeiten für cr an. Aufgabe 5:

a) Berechnen Sie die Determinante x013612248

.

b) Was folgt aus dem Ergebnis von a) für die gegenseitige Lage der vier Vektoren

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

232

,064

,1

128

und ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

332

? (Begründung!)

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Wintersemester 2005/06 Zahl der Blätter: 3

Blatt 1




Zeit: 90 min.

Bitte beginnen Sie jeden der 3 Teile auf einem neuen Blatt !!! Teil I 55 Min. Aufgabe 1)

axxaxxp −+⋅+−= 233 )(

hat die Nullstelle x = a .

a) Berechnen Sie die restlichen Nullstellen, und geben Sie die Faktorisierung ( Zerlegung in Linearfaktoren) von )(3 xp an. b) Welchen Wert hat a, wenn 0)5,0(3 =′′p gilt?

Aufgabe 2) Von einer harmonischen Schwingung der Gestalt

)cos()( ϕω +⋅⋅= tAtx , A > 0

sind die ersten beiden aufeinander folgenden Nulldurchgänge (Nullstellen) 21π

=t und

π67

2 =t mit 0)( ≤tx für 21 ttt ≤≤ bekannt.

a) Berechnen Sie Schwingungsdauer T, Kreisfrequenz ω und Phasenwinkel ϕ .

b) Es sei 4πϕ −= : Welcher Wert in Abhängigkeit von ω ergibt sich für die Amplitude A,

wenn die Funktionskurve von )(tx an der Stelle 00 =t die Steigung 2 hat ? Aufgabe 3)

Gegeben ist die Funktion

x

xxf 1)(3 +

= .

a) An welcher Stelle Wx hat das Schaubild der Funktion einen Wendepunkt?

b) Ermitteln Sie die Stammfunktion )(xF von )(xf , für die 1)1( =F gilt.

Wintersemester 2005/06 Blatt 2



Aufgabe 4) Gegeben sind die beiden Funktionen

xx eexf −−= 4)(1 und xx eexf −+= 4)(2 .

a) Begründen Sie, dass für alle Rx∈ )()( 12 xfxf > gilt.

b) Die beiden Funktionskurven schließen für ux ≤≤0 ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt )(uA dieser Fläche. Welcher Wert ergibt sich für ∞→u ?

Teil II 20 Min. Aufgabe 5) Gegeben sind die beiden Vektoren ar und b

r mit 0

rr≠a und 2=b

r . Welche Winkel

können die beiden Vektoren miteinander einschließen, damit der Vektor bacrrr

×=

dieselbe Länge hat wie der Vektor ar ?

Aufgabe 6) a) Gegeben sind die drei Vektoren

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

102

ar , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

211

br

, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

324

cr

Geben Sie die Zerlegung des Vektors cr in Komponenten in Richtung von

av und br

an.

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Newton Iteration

Die Newton Iteration

Algebraische Gleichungen vs. “transzendente“ Gleichungen:

Beispiel 1) 2+= xex

Beispiel 2) xx =cos Beispiel 2) xx =3

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Newton Iteration

Ergebnisse: X = Näherungswerte kx der Nullstelle von )(xf ; D = Differenzen = || 1 kk xx −+ ; F = Funktionswerte = )( kxf ;

1) 2)( −−= xexf x X = 1.00000000000000 1.16395341373865 1.14642118504301 1.14619325870450 1.14619322062058 1.14619322062058 D = 0.16395341373865 -0.01753222869564 -0.00022792633851 -0.00000003808392 -0.00000000000000 F = -0.28171817154095 0.03861594979957 0.00048933745450 0.00000008173545 0.00000000000000

Extremwertaufgaben

Zylindrische Literdose Es soll eine zylindrische Literdose hergestellt werden. Dabei werden Grund- und Deckkreis aus dem umschriebenen Quadrat ausgeschnitten. Wie groß sind die Ausmaße zu wählen, wenn dabei möglichst wenig Blech verwendet werden soll und der Abfall beim Ausstanzen der Grund- und Deckfläche zum verbrauchten Material zählt.

Quelle: http://www.mathe-online.at/

Quelle: http://micbaum.manfredmustermann.de/uploads/Extremwertaufgaben1.pdf



INTEGRALRECHNUNG

I)DEFINITION UND BEISPIELE

InhalteFlächenberechnung, bestimmtes Integral,Stammfunktion, unbestimmtes Integral,Satz von Leibnitz und Newton.

Problemstellung Berechnung von Flächen

( ),[ , ]F F f a b= = Fläche zwischen, , 0x a x b y= = = und ( )y f x=



Die geometrische Idee

1) Die Fläche wird in mehrere Abschnitteunterteilt.

2) Die Abschnitte werden durch Rechteckeangenähert und deren Flächen addiert.

3) Die Unterteilung wird verfeinert.



Der Formalismus

1) Die Unterteilung in n Abschnittegleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘

( ) /h b a n= −

0x a= , 1x a h= + , ..., nx a n h= + ⋅

2) Der Näherungswert

( )1 0R h f x= ⋅ , ( )2 1R h f x= ⋅ ,... ( )1n nR h f x −= ⋅

1 2 31

.....n

n k nk

F R R R R R=

= = + + + +∑

( )11

n

n kk

F h f x −=

= ⋅∑ Riemann Summe

( ) ( )1 11

n

n k k kk

F x x f x− −=

= − ⋅∑

3) Der Grenzwert lim nnF F

→∞=



Definition Bestimmtes Integral

( ) ( ) ( )1 11

limb n

k k kn ka

f x dx x x f x− −→∞ =

= − ⋅∑∫

Satz Falls ( ) 0f x ≥ [ ],x a b∀ ∈

( ) ( ) ( )1 11

limb n

k k kn ka

F f x dx x x f x− −→∞ =

⇒ = = − ⋅∑∫

Frage Welche praktische Methoden gibt esfür die Berechnung des Grenzwertes ?

Antwort Satz von Leibnitz und Newton



Definition ( )F x ist eine Stammfunktionvon ( )f x ( ) ( )´ ,F x f x x⇔ = ∀

Satz von Leibnitz und Newton(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

1) Ist ( )F x eine Stammfunktion von ( )f x ,

dann gilt ( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫ .

2) Die Ableitung der Flächenfunktion( ) ( ,[ , ])F x F f a x= ist die Funktion der

Begrenzungskurve ( )y f x= d.h.

( ) ( )d F x f xdx

= .



Die Flächenberechnung wurde damitzurückgeführt auf das Problem derBerechnung von Stammfunktionen.

Definition Das unbestimmte Integral ist

( ) ( )f x dx F x C= +∫

wobei ( )F x eine Stammfunktion von ( )f xist und C∈ .

Bemerkung Das unbestimmte Integral istdie Menge aller Stammfunktionen von f .



Beispiele

1) ( ) 2f x x=

( ) 2F x x= , ( ) 21 5F x x= + , ( ) 2

2 100F x x= −

22 ( ) ,xdx x C F x C C= + = + ∈∫ R .

2) ( ) 3f x x x= − . Berechnen Siea) das unbestimmte Integral ( )f x dx∫ .

b) das bestimmte Integral ( )2

1

f x dx−∫ .

c) die Fläche F zwischen 1x = − , 2x = .



Lösung

a) ( )3 4 21 14 2

x x dx x x C− = − +∫

b)

( )

( ) ( )

( )

23 4 2

1

4 24 2

1 14 2

1 1 1 12 2 1 14 2 4 2

1 1 94 2 24 4 4

x x dx x x−

− = − =

− − − − − =

− − − = + =

∫



c)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

( )

( ) ( )

0 03 4 2

111

4 2

1 14 2

1 1 1 11 14 2 4 4

F x x dx x x−−

= − = −

= − − − − = − − =

∫



( ) ( )1 1

3 32

0 01

2 4

0

1 1 1 1 12 4 2 4 4

F x x dx x x dx

x x

= − = −

= − = − =

∫ ∫

oder

( ) ( )1 1

3 32

0 01

4 2

0

1 1 1 1 1 14 2 4 2 4 4

F x x dx x x dx

x x

= − = −

= − = − = − =

∫ ∫

( )

( )

2 23 4 2

311

4 2 4 2

1 14 2

1 1 1 12 2 1 14 2 4 2

1 14 2 24 4

F x x dx x x = − = −

= − − − = − − − =

∫

1 2 33 1124 4

F F F F= + + = = .



Die Fläche zwischen zwei Kurven

( ) ( )b

aF f x g x dx= −∫



II) RECHENREGELN

Integrale elementarer Funktionen

1. 11 , 11

x dx x cα α αα

+= + ≠ −+∫

2. 1 lndx x cx

= +∫3. sin cosxdx x c= − +∫4. cos sinxdx x c= +∫5.

2arcsin

1

dx x cx

= +−

∫

6. 2 arctan1dx x cx

= ++∫

7. 1ln

x xa dx a ca

= +∫8. x xe dx e c= +∫

Tipp: Gedächtnistraining !



Übungen

1) 2 ?x x dxx

=∫

1 12 22 2x dx x c x c

−= = + = +∫

2)

( )

( )

1/ 2 3/ 2

1 3 1 12 2 2 2

1 12 2

1 ?

1

2 2

12 2 2

x dxx x

x dx x x dxx x x x

x dx x dx x x

x x c x cx

− −

− − −

−

−=

= − = −

= − = − −

= + + = + +

∫

∫ ∫

∫ ∫



3)

( )( )

1sinh2 2

1 11 cosh2 2

x xx x

x x x x

e exdx dx e dx e dx

e e e e x c

−−

− −

−= = −

= − − = + = +

∫ ∫ ∫ ∫

4)

( )3

3 2 2 3

4 3 2

4 3 2

2 ?

( 3 2 3 2 2 )

1 16 12 84 31 2 12 84

x dx

x x x dx

x x x x c

x x x x c

+ =

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

∫

∫



Elementare Integrationsregeln

1) ( ) ( )c f x dx c f x dx⋅ = ⋅∫ ∫

2) ( ) ( )[ ] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

3) ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

4) ( ) ( ) ( )c b c

a a bf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

5) ( ) ( ) ( ) .....b b b

a a af x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫



6) ( ) ( )x

a

d f t dt f xdx

=∫

7) ( ) ( )d f x dx f xdx

=∫

8) ( ) ( )d f x dx f x cdx = + ∫

Bemerkung

Integration und Ableitungsind inverse Operationen.

Übungen

1) ( ) ( )3 32 21 1x xd x e dx x edx

+ = +∫

2) ( )2 32

11 0xd x e dx

dx+ =∫

Jedes bestimmte Integral ist eine Zahl unddie Ableitung einer Zahl ist Null.



III) INTEGRATIONSMETHODEN

A) Integration durch Substitution

( )1002 ?x dx+ =∫

Idee

1) Substitution: 2u x= +

2) ´ 1duudx

= = ⇒ du dx=

3) 100 1011101

u du u c= +∫

4) Rücksubstitution:

( ) ( )100 10112 2101

x dx x c+ = + +∫



Beispiel 2) ( )1002 5 ?x dx+ =∫

1) 2 5u x= +

2) ´ 2duudx

= = , 12

dx du=

3) 100 100 1011 1 12 2 202

u du u du u c= = +∫ ∫4) ( ) ( )100 10112 5 2 5

202x dx x c+ = + +∫

Beispiel 3) 2sin cos ?x xdx =∫

1) cosu x=

2) ´ sinduu xdx

= = − , 1sin

dx dux

= − ⋅

3)2 2 31 1sin

sin 3x u du u du u c

x ⋅ ⋅ − = − = − + ∫ ∫

4) 2 31sin cos cos3

x xdx x c= − +∫



Hausaufgabe 1. sin(2 ) ?− =∫ x dxπ 2. (2 1) ?− + =∫ xe dx

3*. ln ?x dxx

=∫

4*.

2?−⋅ =∫ xx e dx

5. Alte Prüfungsaufgaben bis WS2005/06 *Tipp ( )( ) ( )´= ⋅∫I g f x f x dx Durch die Substitution ( )u f x= wird die Berechnung von I zurückgeführt auf die Berechnung von ( )g u du∫ .



Übungen

(1) ln ?x dx

x=∫

Der Formalismus 1) ( ) lnu f x x= =

2) 1´ duudx x

= = ⇒ dx xdu=

3) + 4)

2 21 1 ln2 2

ln udu ux x

xx x xud du= = = =∫ ∫ ∫



B) Integration gebrochen rationaler

Funktionen durch Partialbruchzerlegung (PBZ)

Das Problem

( )( )

?n

m

P x dxQ x

=∫

( )nP x Polynom vom Grad n ( )mQ x Polynom vom Grad m

Das Verfahren

1. n m≥ Polynomdivision 2. Partialbruchzerlegung (PBZ)



Beispiel 1

2 1 ?1

x dxx+

=+∫

Lösung 1. Polynomdivision

2 1 211 1

x xx x+

= − ++ +

D RQd d= + Ähnlich wie: 5 21

3 3= +

2. Integration

2

2

1 211 1

1 2ln 12

x dx x dxx x

x x x c

+ = − + + +

= − + + +

∫ ∫



Satz Jedes Integral einer gebrochen rationalen Funktion kann auf die folgende 3 Typen zurückgeführt werden.

Typ A: 00

1 lndx x xx x

= −−∫

Typ B: ( )2

00

1 1dxx xx x

= −−−∫

Typ C: 2 ln(...) arctan(...)Ax B dxax bx c

+= +

+ +∫

für 2 4 0b ac∆ = − < (Formelsammlung)



Beispiel 2

2 ?1

x dxx

=−∫

Lösung 1. Polynomdivision entfällt. 2. Partialbruchzerlegung a) Faktorisierung des Nenners

( )( )2 1 1 1x x x− = + − b) Ansatz für PBZ

( )( ) ( ) ( )1 1 1 1x A B

x x x x= +

+ − − +

mit Koeffizienten ,A B∈R .



c) Berechnung der Koeffizienten

( )( ) ( ) ( )1 1 1 1x A B

x x x x= +

+ − − +

( ) ( )1 1x A x B x⇒ = + + −

Berechnung durch die ‚Grenzwertmethode‘

1x = ⇒ 1 2A= ⇒ 1/ 2A = 1x = − ⇒ 1 2B− = − ⇒ 1/ 2B =

( )( ) ( ) ( )1 1

1 1 2 1 2 1x

x x x x⇒ = +

+ − − +



d) Integration

( )( )2 1 1 1x xdx dx

x x x= =

− + −∫ ∫

2

1 1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 2 1 2 2

1 1ln 1 1 ln 12 2

dx dx x xx x

x x x c

= + = − + +− +

= − ⋅ + = − +

∫ ∫



Beispiel 3

3 ?dxx x

=+∫

Lösung a) Faktorisierung

( )3 2 1x x x x+ = + b) Ansatz für PBZ

( ) 221

11A Bx Cx xx x

+= +

++

, ,A B C∈R.




( ) 221

11A Bx Cx xx x

+= +

++

( ) ( )21 1A x Bx C x⇒ = + + +

Berechnung durch Koeffizientenvergleich

2 21 Ax A Bx Cx= + + +

( ) 21 A B x Cx A⇒ = + + + , x∀ ∈R

( )2 210 0x A B x C Ax x+ + = ++ +⇒

0A B⇒ + = , 0C = , 1A = .

1, 1, 0A B C⇒ = = − = .

( ) 221 1

11x

x xx x⇒ = −

++



d) Integration

( )3 221 1

11dx xdx dx

x x x xx x = = − + ++ ∫ ∫ ∫

2

2

2

1ln ln( 1)1 2

ln1

dx x dx x x cx x

x cx

= − = − + ++

= ++

∫ ∫

Probe ! Ableiten; Matlab: int(‘1/(x^3+x)‘) Detailrechnung

Das Integral 2 1x dx

x +∫ (Typ C) kann mit

der Substitutionsmethode berechnet oder einer Formelsammlung entnommen werden. z.B. BzM 5 Integral 20+21



Die Anwendung der Integralformeln Integral 21

2

22

1 ln2 2

x dxax bx c

b dxax bx ca a ax bx c

=+ +

+ + −+ +

∫

∫

Integral 20

22 2arctandx ax b

ax bx c+

=+ + ∆ ∆∫

Die Anwendung der Integralformeln für

1, 0, 1, 1; 4 0a b c d= = = = ∆ = − <

22

1 ln 11 2

x dx xx

= ++∫



Ansätze für PBZ

Nennfaktor Ansatz Bsp

0x x−

0

Ax x−

2,3

( )2

0x x−

( )20 0

A Bx x x x

+− −

4

2ax bx c+ +

( 2 4 0b ac∆ = − < )

2Ax B

ax bx c+

+ +

3

2 2( )ax bx c+ +

( 2 4 0b ac∆ = − < )

2Ax B

ax bx c+

+ ++

2 2( )Cx D

ax bx c+

+ +



Beispiel 4 3 22

1x dx

x x x+

+ − −∫

Lösung a) Faktorisierung 1

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

3 2 2

22

1 1 1

1 1 1 1

x x x x x x

x x x x

+ − − = + − +

= + − = + −

Faktorisierung 2 (Nullstellen, Polynomdivision) b) Ansatz für PBZ

( ) ( ) ( )2 2111 12

1B C

xx xx A

xx − ++ +=

−+ ++




( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1x A x B x x C x+ = + + + − + −

( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1x A x x B x C x+ = + + + − + −

2 22x Ax Ax A Bx B Cx C+ = + + + − + −

( ) ( ) ( )2 22x A CB x B CA Ax+ += + −+ −+

⇓

A +B = 02A + C =1 A - B - C =2

Lösung des LGS z.B. mit dem Eliminationsverfahren von Gauß.



1 1 0 0 1 1 0 02 0 1 1 0 2 1 11 1 1 2 0 2 1 2

1 1 0 0 3/ 40 2 1 1 3/ 40 0 2 1 1/ 2

AB

C

− − − − −

= − ⇒ = − − = −

∼

∼

⇓

( ) ( ) ( )2 22 3 1 3 1 1 1

4 1 4 1 21 1 1x

x xx x x+

= − −− ++ − +

⇓

( ) ( )22 3 3ln 1 ln 1

4 41 11 1 3 1 1 1ln2 1 4 1 2 1

x dx x xx x

x cx x x

+= − − +

+ −

− − − = + + + + +

∫



C) Uneigentliche Integrale (UI) Definition - UI 1. Art

∫=∫−→

t

abt

b

adxxfdxxf )(lim)(

0 wenn

±∞=− )0(bf

(analog für ±∞=+ )0(af ) Beispiele

1) ∫−

2

0 24 xdx

2) ∫ −

2

12 1xdx

Skizze, Berechnung, Konvergenz !



Definition - UI 2. Art

)(,)(lim)( +∞=∫=∫∞→

∞bdxxfdxxf

t

ata

(und analog für −∞=a ) Beispiele

1) ∫+−

3

32 9xdx

2) ∫ +

∞

∞− 92xdx

3) dxx

∫∞

02cosh

1

4) ∫∞

∞−dxxcosh

Berechnung, Konvergenz, Skizze * !



D) Numerische Integration (Trapezregel) Skizze !

1) Die Unterteilung in n Abschnitte gleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘

( ) /h b a n= − 0x a= , 1x a h= + , ..., nx a n h= + ⋅

2) Der Näherungswert:

⇒+++= nTTTT L21

22212110 nn yyhyyhyyhT +

+++

++

= −L

2)22( 110

hyyyyT nn ⋅++++=⇒ −K

wobei )( kk xfy =⇒



Die Trapezregel

Tb

aETdxxfbaxxf +=∫⇒∈∀> )(],[,0)(

wobei

2)22( 110

hyyyyT nn ⋅++++= −K

der Näherungswert des Integrals und TE der Fehler des Verfahrens ist, der die folgende Abschätzungseigenschaft besitzt:

2|| hcET ⋅< .



Beispiele

1) 693771,012

1=∫ dx

x

für 10=n mit 001,0<TE .

2) ∫−

1

0

2

dxe x 3) ∫

1

0

sin dxx

x

Bemerkung: für 2) , 3) und viele andere wichtige bestimmte Integrale, ist die Berechnung der Stammfunktion mit Hilfe elementarer Funktionen in geschlossener Form nicht möglich. Diese Integrale werden ’numerisch’ mit Hilfe der Trapezregel und anderer Näherungsverfahren berechnet.

§1 Die Fläche zwischen zwei Kurven

( ) ( )b

a

F f x g x dx= −∫ Integralformel

Beispiel 1 Fläche zwischen Funktionskurven 2y x= und y x= . Lösung: Skizze !

11 12 22

0 0

1332

0

( ) ( )

2 1 2 1 103 3 3 3 3

F x x dx x x dx

x x

= − = − =

− = − − =

∫ ∫

Beispiel 2: Fläche zwischen den Kurven 3y x x= − und 21y x= − . Lösung: Skizze ! F= Fläche zwischen dem oberen Einheits-halbkreis und der punktsymmetrischen Kurve 3y x x= − . Ergebnis: F π= .

§2. Drehvolumen 1. Drehkörper um die x-Achse:

Drehvolumen:

( )2b

xa

V f x dxπ= ∫ 2b

xa

V y dxπ= ∫

2. Drehkörper um die y-Achse:

( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ = Drehvolumen:

( )( )

21

( )

f b

yf a

V f y dxπ −= ∫ ( )

2

( )

f b

yf a

V x dyπ= ∫ Beispiel 1: Die Kurven 2y x= und 2y x= begrenzen für 1y ≤ eine endliche Fläche A. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt von A b) Berechnen Sie das Drehvolumen xV c) Berechnen Sie das Drehvolumen yV

a) Fläche:

12

0

13

0

1 0,5 1 3 1 512 3 4 3 12

A Trapez x dx

x

= − =

+ ⋅ − = − =

∫

b)

12 2 2

0

13 4 4

xV Kegel Zylinder Trichter

d h d h y dxπ π π

= + − =

⋅ + − =∫

12 2 4

011

4 5

00

1 1 12 23 4 2 4 2

2 2 13 3 52 1 73 5 15

x dx

x dx x

π π π

π π π π

π π π

⋅ + − =

− = − =

− =

∫

∫

c) 2y x x y= ⇔ =

( )1 1 22 2 2

0 011

2

00

1 1 1 13 4 3 4

1 1 112 2 12

1 1 52 12 12

yV Drehparaboloid Kegel

x dy d h y dy

ydy y

π ππ π

π π π π

π π π

= − =

− ⋅ = − ⋅ ⋅

= − = −

= − =

∫ ∫

∫

Documents

I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTENulmet/mathe/vorlesungen/analysis.pdf · DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 11/ von 105 FHT Esslingen