I

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

IVANA ALERIĆ

CRNE RUPE, OSOBINE I DJELOVANJE NA ČESTICE

I SVJETLOST

Završni rad

II

Osijek, 2015.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

IVANA ALERIĆ

CRNE RUPE, OSOBINE I DJELOVANJE NA ČESTICE

I SVJETLOST

Završni rad

Predloţen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja

zvanja prvostupnika fizike

III

Osijek, 2015

Ovaj završni rad je izraĎen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Josipa Brane u

sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.

IV

Sadrţaj

1. Uvod

2. Teorijski dio

2.1. Crne rupe

2.1.1. Što su crne rupe?

2.1.2. Nastanak crnih rupa

2.2. Schwarzschieldove crne rupe

2.2.1. Schwarzschieldova metrika i obzor dogaĎaja

2.2.2. Gibanje čestica i svjetlosti u Schwarzschieldovoj metrici

2.2.3. Crne rupe u Kruskalovim koordinatama

2.3. Kerrove crne rupe

2.3.1. Kerrova metrika i obzori dogaĎaja

2.3.2. Gibanje čestica i svjetlosti u Kerrovoj metrici

3. Zaključak

4. Literatura

V

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Završni rad

Odjel za fiziku

CRNE RUPE, OSOBINE I DJELOVANJE NA ČESTICE I

SVJETLOST

IVANA ALERIĆ

Sažetak:

Tema ovog završnog rada je Crne rupe, osobine i djelovanje na čestice i svjetlost.

Saznat ćemo što su i kako nastaju. U njemu će biti objašnjena metrika Schwarzschildovih i

Kerrovih crnih rupa, kao i njihovo djelovanje na čestice i svjetlost zbog zakrivljenosti prostor-

vremena. Opisane su glavne razlike izmeĎu dva promatrana tipa crnih rupa, kako izgledaju

singularitet i obzori dogaĎaja te što se unutar njih dogaĎa. Proučit ćemo značaj ekvatorijalne

ravnine u Kerovom rješenju.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: crna rupa, Schwarzschildovo rješenje, Kerrovo rješenje, singularitet, horizont

događaja

Mentor: doc.dr.sc. Josip Brana

Ocjenjivači: doc.dr.sc. Josip Brana

VI

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

BLACK HOLES, CHARACTERISTICS AND EFFECTS

ON PARTICLES AND LIGHT

IVANA ALERIĆ

Absrtact

Subject of this final paper are black holes, their characteristics and affect on particles

and light. We are going to find out what they are and how they been created. In the paper i

will explain metrics of Schwarzschild's and Kerr's holes, as well as their affect on particles

and light by bending the space-time. Here are described main differences between those two

types of black holes, how singularity and event horizonts look like and what happens inside

of them. We are going to analyze the meaning of equatorial radius in Kerr's solution.

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: : black hole, Schwarzschild's solution, Kerr's solutione, singularity, event

horizont

Supervisor: doc.dr.sc. Josip Brana

Reviewers: doc.dr.sc. Josip Brana

1

CRNE RUPE, OSOBINE I DJELOVANJE NA ČESTICE I SVJETLOST

1. Uvod

U svojoj Općoj teoriji relativnosti Einstein je Newtonovu gravitacijsku silu zamjenio idejom

o zakrivljenju prostor-vremena. Einstein je formulirao jednadţbe zakrivljenog prostor-

vremena, a rješio ih je Karl Schwarzschild 1916. godine u vaţnom slučaju sferno-simetričnih

nebeskih tijela. Ta rješenja predviĎala su postojanje malih, ali ujedno masivnih objekata sa

snaţnim gravitacijskim privlačenjem.

Shcwarzschildove crne rupe su najednostavnije jer njihove jezgre ne rotiraju niti su

električno nabijene. One posjeduju točkasti singularitet i jedan obzor dogaĎaja. Kerrove crne

rupe vjerojatno je najstvarniji prikaz stvarne crne rupe jer se rotiraju baš kao što su se rotirale

zvjezde od kojih su nastale. Roy Patrick Kerr je 1963. godine našao točno rješenje

Einsteinovih jednadţbi uzevši u obzir njihovu rotaciju. Osnovna razlika izmeĎu

Schwarzschildovih i Kerrovih crnih rupa je ta što Kerrove imaju 2 obzora dogaĎaja i

prstenasti singularitet što ćemo vidjeti u naredim poglavljima ovog završnog rada.

Naš cilj je uočiti razlike u metrici ova dva tipa crnih rupa te rastumačiti fizička značenja

konstanti u ovim dvjema metrikama. Osim toga ţelimo objasniti kako izgledaju i što

predstavljaju obzori dogaĎaja u tipovima crnih rupa koje smo naveli.

2

2. Teorijski dio

2.1. Crne rupe

2.1.1. Što su crne rupe?

Još u 18. stoljeću znanstvenici su predviĎali postojanje tamnih zvjezda sa

snaţnom gravitacijom koja bi snaţno privlačila materiju te joj nebi dala da se više

udalji. Ako objekt ima dovoljno veliku masu i gustoću, tijelo koje ţeli pobjeći sa

tog objekta moralo bi imati brzinu veću od c1. Zadrţano gravitacijom tijelo će

ostati zarobljeno.

U tridesetim godinama prošloga stoljeća, nakon Einsteinove Opće teorije

relativnosti, počela se prihvaćati ideja o postojanju snaţnih gravitacijskih

objekata. Termin „crna rupa“ prvi je spomenuo fizičar J.A. Weeler 1967. godine.

U Općoj teoriji relativnosti gravitacija je posljedica zakljivljenosti prostor-

vremena. Masivni objekti poput crnih rupa snaţno remete prostor-vrjeme te za

mjerenje ne moţemo koristiti uobičajenu Euklidovu geometriju.

Crne rupe odreĎene su trima značajkama; masom, električnim nabojem i

rotacijom. Iako ih ne moţemo direktno vidjeti, oslanjamo se na indirektne dokaze.

Promatranjem vidljivih objekata koje se pribliţavaju jednoj tamnoj točki, odnosno

objektu, moţemo pretpostaviti postojanje crne rupe. Osim toga prepoznajemo ih

po velikim emisijama X-zraka. Daljnim procjenama moţemo potvrditi da je

promatrani objekt uistinu crna rupa.

2.1.2. Nastanak crnih rupa

Nastanak crnih rupa ovisi o gravitaciji i unutrašnjem tlaku zvjezde. Dok

gravitacijska sila privlači materiju u centar zvjezde, unutrašnji tlak djeluje prema

van. Kada su te dvije sile uravnoteţene imamo zvjezdu poput Sunca.

Termonuklearne reakcije na Suncu traju dok se ne potroši svo nuklearno gorivo,

tj. vodik. Poslje niza transformacija u kojima iz vodika nastaje deuterij , zatim

helij, sve do ţeljeza. Tada Fermijev pritisak2 više nije dovoljno jak da bi drţao

zvjezdu te se pod utjecajem gravitacije zvjezda počinje smanjivati ili brzo

urušavati, ovisno o čimbenicima.

Zvijezde od 1,2MS3 do 1,4 MS svoj ţivot završavaju kao bijeli patuljci, a

višak energije otpuštaju kao maglicu. Na našem nebu vidljiva je Rakovaica,

maglica koja je nastala 1054. godine, koju su tada kada se dogodila mogli opaziti

kineski astronomi. Zvijezde koje imaju masu od 1,4MS do 2MS pretvaraju se u

1 Brzina svjetlosti, c=299 792 458 m/s (u vakuumu)

2 Pritisak u Fermijevom plinu. Fermijev plin je model elektronskog plina u metalima gdje se slobodni elektroni

gibaju kroz rešetku. Kvantno-mehanički model se zasniva na gušćoj koncentraciji elektrona u materijalima. 3 Masa Sunca, MS=2×10

30 kg. Jedan od uvjeta za nastanak crnih rupa je masa zvijezde koju izraţavamo masom

našeg Sunca u Sunčevom sustavu.

3

neutronske zvijezde ili pulsare. To su tijela koja se rotiaju velikim brzinama i

pritom otpuštaju elektromagnetsko zračenje.

Zvijezde koje su još masivnije, više od 3MS ţivote završavaju kao crne

rupe jer im je gravitacija raste do nivoa kada je II. kozmička brzina, brzina koja je

potrebna da bi tijelo napustilo gravitacijsko polje, jedmaka c. Neutronske zvijezde

i crne rupe višak energije oslobaĎaju u ekslpoziji supernove.

Slika 1. Prikaz II. Kozmičkih brzina

4

2.2. Schwarzschildove crne rupe

2.2.1. Schwarzschildova metrika i obzor dogaĎaja

Karl Schwarzschild je 1916.god pronašao rješenja jednadţbi koje je formulirao

Einstein. Jednadţbe se odnose na graviracijska polja a temelje se na Einsteinovoj Općoj

teoriji relativnosti. Schwarzschild je jednadţbe riješio u slučaju centralno simetrične

razdiobe masa. Interval ovisi o rotacijskim invarijantama koji su sačinjeni od prostornih

koordinata. Najopćeniti interval ima oblik:

gdje su A,B,C,D neodreĎene funkcije. Uvest ćemo sferne prostorne koordinate r, , .

, ,

Interval će tada poprimiti oblik

.

Pri izboru koordinate r imamo slobodu stoga ćemo ju odabrati tako da vrijedi D(r)=1 pa

će četverointerval poprimiti oblik

Funcije i smo redefinirali, a isto ćemo učiniti i sa vremenskom koordinatom. Uvest

ćemo novu koordinatu

,

gdje je F odabrana tako da bude potpuni diferencijal.

.

Kada prethodnu relaciju podjelimo sa F2A dobijemo

Ponovnim preoznačavanjem funkcija dobivamo interval

Ţelimo saznati što predstavljaju funkcije A i B. U prostoru izvan materije u sferno

simetričnom slučaju kvadrat elementa luka moguće je reducirati na statički slučaj, tj

5

pulsiranje materije neće dovesti do pojave gravitacijskih valova. Da bismo dobili

Einsteinove jednadţbe za prostor izvan materije

,

Iz intervala isčitamo elemente metričkoga tenzora:

, , , ,

, , , ,

Računamo Christoffelove simbole pomoću sljedeće formule:

Izračunavanjem smo dobili:

Uvrštavanjem ovih relacija u Einsteinove jednadţbe za prostor izvan materije, vidimo da

su sve ispunjene osim dijagonalnih.

6

Prvu jednadţbu mnoţimo sa B/A i zbrojimo sa drugom. Rješenje sustava moţemo

integrirati

Kada ovo uvrstimo u jednadţbu za R00 dobivamo:

A daljnim integriranjem dolazimo do rA=K(r+k), gdje je k konstanta integriranja.

Dobivamo da su A(r) i B(r) oblika:

,

NeodreĎene konstante integriranja ćemo odrediti tako da ćemo rješenje usporediti sa

gravitacijskim potecijalom

je potencijal gravitacijskog polja koji dolazi od sferne mase M na udaljenosti r od

njenog centra.

, , tj.

Veličina rg ima dimenziju duljina i naziva se gravitacijski polumjer ili Schwarzcshildov

polumjer. Uvedimo veličinu geometrijska masa tijela .

Konačni interval Schwarzschildovog rješenja je

7

Schwarzschildov radijus još nazivamo i obzor dogaĎaja. To je udaljenost od

središta crne rupe na kojoj je brzina oslobaĎanja od gravitacije jednaka brzini svjetlosti.

Kada se preĎe obzor dogaĎaja pribliţavat ćemo se singularitetu. Moţemo ga zamisliti kao

sfernu granicu crne rupe. Unutar obzora prostor-vrijeme su ekstremno zakrivljeni pa je

ona odsječena od ostatka svemira tog područja ne moţe pobjeći niti svjetlost. Zbog

ekstremnih zakrivljenja prostorna i vremenska koordinata mjenjaju svoja mjesta;

prostorna koordinata ponaša se kao vremensta koordinata, i obratno. Jedna od posljedica

toga je da ne moţemo izbjeći kretanje u prostoru, baš kao što izvan obzora dogaĎaja ne

moţemo izbjeći kretanje u vremenu. To znači da ćemo doći do točke singulariteta r=0.

Singularitet je točka beskonačne gustoće materije odnosno točka beskonačne

zakrivljenosti prostor-vremena. U blizini velikih masa vlastito vrijeme se usporava. Cijeli

taj dogaĎaj moţemo zamisliti kao zakretanje svjetlosnih stoţaca.

Slika 2. Zakretanje svjetlostnih stoţaca pri prolasku obzora dogaĎaja

8

2.2.2. Gibanje čestica i svjetlosti u Schwarzschildovoj metrici

Kvadrat elementa luka izrazili smo relacijom

Za bilo koja dva beskonačno bliska dogaĎaja ovezana s prostiranjem svjetlosti

vrijedi da je ds2=0. Jednadţbe nul geodetskih krivulja izgledaju ovako:

Kada bi se zraka svjetlosti gibala radijalno, tj. kada bi vrijedilo =const, =const

ostaje samo

koju ćemo integrirati, odnosno

Jednadţba za ct je:

Gdje je p afini parametar. Kada smo integirali gornju jednadţbu iz nje slijedi:

odakle je

9

Gornji znak '+' znači da se porastom varijable t povećava i varijabla r, tj. svjetlost

odlazi od gravitirajućeg objekta. Ta rješenja nazivamo odlazećima. Znak '-'

predstavlja odnuto dolazeća jer pripadaju odlazećoj i dolazećoj zraci prema

gravitirajućem objektu. Udaljavanjem od gravitirajućeg objekta prostor je sve

ravniji, a svjetlostni stošci su sve uspravniji. Kao što je već rečeno, u prostoru ispod

obzora dogaĎaja, koordinata r postaje vremenskog tipa, a ct prostornog tipa.

Schwarzschildova metrika ima oblik:

Slika 3. Svjetlosni stošci u Schwarzschildovom gravitacijskom polju

Sinkrono vrijeme obiljeţavamo s t i nazivamo ga koordinatno vrijeme. To je

vrijeme koje reče kod motritelja koji su jako udaljeni od gravitirajućeg objekta

(r ). Interval koordinatnog vremena t povezat ćemo sa intervalom vlastitog

vremena u nekoj točki relacijom:

Dvije zrake svjetlosti iz E, emitirane su u vremenskom razmaku koordinatnog

vremna tE. One stiţu u točku M sa istim razmakom koodrinatnog vremena tM.

Pošto su koordinatna vremena u E i M jednaka, vrijedi:

Ako g00 teţi u nula, tada će i frekvencija teţiti u nulu pa moţemo zaključiti kako će

tada valna duljina teţiti beskonačnosti, što znači da ćemo imati beskonačni

crveni pomak. U slučaju Schwarzschildove metrike izraz izgleda ovako:

10

Ploha beskonačnog crvenog pomaka je sfera polumjera .

Energijska jednadţba za masivnu česticu u Schwarzschildovoj metrici je oblika:

U slučaju radijalnog gibanja, tj. slobodnog pada, , jednadţba se

moţe zapisati u obliku

Promatramo padanje čestice iz stanja mirovanja u beskonačnosti prema centru

(crnoj rupi). pa iz gornje jednadţbe zaključujemo da je k=1.

Jednadţbe geodetskih krivulja su tada:

,

Ili

,

Integriramo li zadnju jednadţbu po vlastitom vremenu , dovivamo:

Pretpostavljamo da se u =0 čestica nalazi na mjestu ro. Integriranjem ove

jednadţbe dobili smo:

11

i pretpostavljamo da se u trenutku t=0 čestica nalazila na mjestu r0. Iz prethodne

dvije jednadţbe vidljivo je da je

Za vrlo udaljenog motritelja kod kojeg teče koordinatno vrijeme t, čestica će

doseći obzor dogaĎaja rg za beskonačno vrijeme. Dok ju bude promatrao on će

signale dobivati sve kasnije i kasnije, te će oni biti velikih valnih duljina (crveni

pomak). Kada bi se motritelj gibao skupa sa česticom za konačno vlastito vrijeme

dosegnuli bi r=0.

2.2.3. Crne rupe u Kruskalovim koordinatama

Martin Kruskal je 1960.god. razvio je koordinate koje imaju osobine advansiranih

i retardiranih koordinata u kojima na obzoru dogaĎaja nema skokovitosti kod fotona

ni ostalih čestica. Transformacijama ćemo uvesti nove koordinate

Ukoliko je :

Ukoliko je , kvadrat elementa luka Schwarzschildovog rješenja prelazi u

gdje je r zadan relacijom

12

.

Iz kvadrata elementa luka moţemo vidjeti kako je za prostor

konformno pseudoeuklidski te je sličan prostoru Minkowskog. Ako je

nulgeodetske krivulje su jednake . One su okomiti pravci, čestice

se gibaju unutar stoţaca odreĎenih tim pravcima.

Slika 4. Kruskalove koordinate (u,v) za Schwarzschildovu prostorno-vremensku

metriku

Pravi singularitet nalazi se u r=0. Toj vrijednosti pripadaju 2 hiperbole. Svjetlosne

staze leţe na uspravnim stošcima prema u osi s otvorom od 90 . Pravci koji

raspolavljaju kvadrante predstavljaju obzor dogaĎaja. Kada ga čestica proĎe, nastavi

se kretati prema singularitetu (hiperbolama), a vanjski motritelj od nje više ne moţe

dobiti nikakv signal. Područje osjenčano ispod donje hiperbole predstavlja bijelu

rupu. Iz njih čestice izlaze i dolaze u naš prostor - pozitivni dio prostorne koordinate

koji se nalazi izvan obzora dogaĎaja. Područje na negativnom djelu prostorne

koordinate koji se nalazi izvan obzora dogaĎaja zamišljamo kao duplikat našeg

prostor-vremena (paralelni svemir) u kojem su prošlost i budućnost zamjenili

mjesta. U točki 0 nalazi se crvotočina.

13

2.3. Kerrove crne rupe

2.3.1. Kerrova metrika i obzori dogaĎaja

Roy Patrick Kerr je 1963.god pronašao rješenje Einsteinovih jednadţbi u slučaju

rotirajućih gravitacijskih objekata. To rješenje je vrlo vaţno jer se većina nebeskih

tjela rotira. Rotirajući objekti su opisani masom M i momentom impulsa J.

Koordinatama t i ćemo opisivati vrijeme i kut rotacije oko osi objekta.

Koordinate ćemo označiti kao: . Ukoliko se tijelo ne translatira,

nego samo rotira, tada bi metrika morala biti invarijantna na zamjenu

. Iz toga slijedi da vrijedi jednakost

Kvadrat elementa luka tada poprima oblik:

Komponete metričkog tenzora sada ovise samo o x1 i x

2. Dio u uglatoj zagradi koji

ne ovisi o t i se moţe promatratio kao dio 2D prostora. Na velikim udaljenostima

od rotirajuće mase prostor prelazi u prostor Minkowskog, dio elementa luka u

uglatoj zagradi bi poprimio oblik . Prvi dio kvadrata elementa

luka se takoĎer moţe zapisati u obliku koji je prilagoĎeniji opisu rotacije pa je

ukupan kvadrat elementa oblika:

A,B,C i su bilo koje funkcije prostornih koordinata o x1 i x

2. Označimo ih sa o

x1=r , x

2= . Kvadrat elementa luka poprima novi oblik:

Koordinate nazivamo Boyer-Lindquistovim koordinatama. kvadrat

elementa luka moţemo zapisati i preko komponenata metričkog tenzora

gdje su , , , , .

Ovakva metrika ima nekoliko osobina koje se mogu odreĎivati prije nego što

odredimo funkcije A,B,C i .

14

Prvi učinak zove se povlačenje metrike te je on posljedica vrtnje tijela. Svi

slobodno padajući inercijalni sustavi motrenja će biti zaneseni u smjeru vrtnje.

Slika 5. Povlačenje metrike

Druga značajka koji moţemo uočiti je postojanje stacionarnih graničnih ploha.

Svaku plohu odreĎenu sa nazivamo stacionarnom

graničnom plohom. Ako razmatramo gibanje fotona za koji vrijedi da je

, kvadrat elementa luka biti će oblika .

Kvadratna jednadţba za kutnu brzinu fotona oko osi vrtnje iznosit će:

Na stacionarnoj graničnoj plohi imamo rezultat

Ovo znači da ako je foton usmjeren duţ vrtnje da će on imati dvostruku kutnu

brzinu, a ako je usmjeren suprotno vrtnji masivnog tijela, on se neće gibati.

15

Treća osobina metrike je postojanje više obzora dogaĎaja, a nju ćemo razmotriti

kasnije.

Za kvadratni element luka trebali bi smo pronaći Christoffelove simbole, uvrsitit

ih u Einsteinovu jednadţbu te ih riješiti. Ako prepostavimo da na velikim

udaljenostima metrika prelazi u metriku prostora Minkowskog, postoji jedinstveno

rješenje Einsteinovih jednadţbi koje se zove Kerrovi rješenje u Boyer-

Lindquistovim koordinatama.

Gdje su a i konstante, a . Kada bi uveli funkcije

i , ovo riješenje bi mogli zapisati na način:

gdje je kutna brzina. Konačni oblik Kerrovog rješenja je

Kerrovo rješenje ovisi o parametrima a i te odmah je vidljivo da ako je ,

Kerrovo rješenje prelazi u Schwarzschildovu degeneriranu mehaniku. Tada je

parametar u vezi sa masom gravitirajućeg objekta M.

Parametar a veţemo sa orbitalnim momentom impulsa rotirajućeg tijela i kada bio

on bio jednak nuli tada bi ostale koordinate imale ulogu standardnih sfernih

koordinata. Kako bi ih dodatno protumačili, proučit ćemo granični slučaj kada

parametar . Tada Kerrova metrika prelazi u metriku Minkowskog te moţemo

prijeći na Decartesove koordinate:

16

Singularnost i obzori dogaĎaja

U Kerrovoj metrici imamo singularitete kada su funkcije

=0 (koordinatni singularitet) i (istinski

singularitet). Kada je u determinanti metričkog tenzora ,

promatramo istinski singularitet, a u slučaju kada je , singularitet je tada

prividan i ovisan o koordinatama. Istinski se singularite nalazi u

Iz gore navedenih Decartesovih koordinata, vidljivo je da je singularitet zapravo

prsten polumjera a u ekvatorijalnoj ravnini. Ta se kruţnica steţe u nulu u graničnom

slučaju Schwarzschildove metrike . Koordinatni sngularitet se pojavljuje kada

je te čini plohu

Postoje 2 obzora dogaĎanja; unutarnji i vanjski . Oni predstavljaju 2

trodimenzionalne plohe, rotacijskih elipsoida, gdje je . U granici

vanjski obzor dogaĎaja se poklapa sa Schwarchildovim polumjerom iz kojeg ništa

ne moţe otići van, dok se unutarnji pomiče u singularitet.

Za realne vrijedi , tj. momenit impulsa J=aMc su ograničeni masom

rotirajućeg objekta. Ako vrijedi da je , tada se oba obzora dogaĎaja

preklapaju u Schwarzschildovom polumjeru . Za vrijednosti , ,

metrika je regularna svuda osim u istinskom singularitetu pa ne postoje

obzori dogaĎaja izvan istinskog singulariteta pa je on vidljiv za vanjskog motritelja,

a zovemo ga ogoljeli singularitet jer iz njega mogu doputovati zrake svjetlosti.

Logično je za zaključiti kada je moment impulsa, odnosno kutna brzina, dovoljno

velika, tada svjetlost zbog centrifugalne sile moţe lakše napustiti objekt u vrtnji.

17

Slika 6. Kerrova crna rupa, vanjski obzor dogaĎanja (eng. outer horizon) i unutarnji

obzor dogaĎaja (eng. inner horizon)

2.3.2. Gibanje čestica i svjetlosti u Kerrovoj metrici

Zbog sloţenosti gibanja čestica u Kerrovoj metrici promatrat ćemo poseban slučaj

gibanja u ekvatorijalnoj ravnini koja je odreĎena sa . Čestica čiji se impuls

nalazi u ekvatorijalnoj ravnini i dalje će ostati u njoj. Kvadrat elementa luka tada

izgleda:

Lagrangeova funkcija za česticu jedinice mase, je kao i za foton jednaka :

Konstante gibanja lagranţijana su:

18

U slučaju konstante k i h prelaze u konstante u Schwarzschildovoj metrici.

Prethodne jednadţbe su linearne i njihovo rješenje je:

Rješenje lagranţijana traţimo iz uvjeta . Ako iz kvadrata elementa

luka izračunamo komponente izverznog metričkog tenzora i uzmemo li u obzir da

vrijedi moţemo dobiti jednadţbu za :

gdje je za jediničnu masu, a za foton. Ovu jednadţbu moţemo

zapisati i preko efektivnog potencijala:

Kod svjetlosnih staza u blizini Kerrovih crnih rupa se pojavljuje zanošenje u

smjeru vrtnje gravitirajućih tijela. Gibanja se razlikuju u smjeru upadne zrake, ona

moţe biti u smjeru ili suprotno od smjera gravitirajućeg tijela.

Za kruţna gibanja u ekvatorijalnoj ravnini postoje stabilne staze. U slučaju bez

vrtnje polumjer najbliţe stabilne staze čestice biti će . U slučaju

ekstremnih momenata impulsa , polumjer najbliţe stabilne staze je

ukoliko se čestica giba u smjeru vrtnje gravitirajućeg objekta i ako se čestica

giba suprotno njegovoj vrtnji.

19

3. Zaključak

Schwarzschildova metrika opisuje crne rupe koje ne rotiraju niti imaju naboje. One su

ograničene Schwarzschildovim polumjerom nakon kojeg počinje naglo zakrivljenje prostora

te sve čestice i svjetlost padaju prema singularitetu bez povratka. Tada prostorna koordinata

postaje vremenska, a vremenska postaje prostorna što za posljedicu daje nuţno dostizanje

pravogsingulariteta r=0. Kako se čestica pribliţava crnoj rupi, vanjski motritelj dobiva

signale sve sporije, a istovremeno dolazi do sve većeg crvenog pomaka svjetlosti.

Promatrajući Schwarzschildovu metriku kroz Kruskalove koordinate, stečen je bolji uvid na

obzor dogaĎaja na , ali i u singularitete na hiperbolama.

Kerrova metrika opisuje crne rupe koje nemaju naboje, ali rotiraju baš kao i većina

nebeskih tijela. One su odreĎene trima značajkama; povlačenjem metrike, postojenjem

stacionarnih graničnih ploha i više obzora dogaĎaja (unutarnji i vanjski). U graničnim

područjima, kada je , gdje je a karakteristični moment vrtnje, Kerrova metrika prelazi u

Schwarzschildovu degeneriranu metriku. U Kerrovoj metrici uočavamo dva singulariteta;

istinski i koordinatni. Singularitet u ekvatorijalnoj ravnini pretstavlja prsten polumjera a.

20

4. Literatura

Opća teorija relativnosti, Josip Brana

http://www.pmfst.unist.hr/~anaprp/crne_rupe.html

http://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/black_holes/

Slike

Slika 1., Slika 2. http://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/black_holes/

Slika 3. http://physics.stackexchange.com/questions/105078/direction-of-future-time-cone-

inside-schwarzschild-horizon

Slika 4. http://www.researchgate.net/post/How_big_is_the_space-time_curvature_at_an_event-

horizon_of_a_non-spinning_black_hole

Slika 5. http://tex.stackexchange.com/questions/54830/tikz-code-for-frame-dragging

Slika 6. http://u2.lege.net/cetinbal/singularites.htm