Identificación AGO-DIC...dentro de distintos equipos de trabajo. (1 sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 7.- El docente solicita

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008

PLANEACIÓN DIDÁCTICA DOCENTES FEPD-004

V 05 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP/PPA/ESF-06

Identificación

Asignatura/submodulo: Cálculo Integral

Plantel : Paso de mata, Peñamiller y Montenegro

Profesor (es): Isaac Osornio Pérez Jenny Soledad Cordero Figueroa

Periodo Escolar: Ago/15-ene/16

Academia/ Módulo: Matemáticas

Semestre: 5°

Horas/semana: 5 horas

Competencias: Disciplinares ( ) Profesionales ( )

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias Genéricas: 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Atributos: 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante analice e interprete las relaciones entre las variables de problemas de la vida cotidiana relacionados con áreas, volúmenes, etc., que impliquen variaciones en procesos infinitos y los resuelva aplicando el teorema fundamental del cálculo

Tema Integrador: Valores

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 1. Organiza fu formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y Estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias y los

ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a

su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: Interpreta: Las aproximaciones, fórmulas de antidiferenciación, las integrales inmediatas, integración por sustitución, fracciones parciales y por partes.

Procedimental: Calcula: Aproximaciones, antiderivadas, integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución, la integración por fracciones parciales, áreas bajo una curva.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Define: Antiderivada, integrales inmediatas. Comprende la suma de Riemann.

Resuelve las sumas de Riemann. Aplica el cálculo integral para resolver problemas relacionados con otras disciplinas.

Actitudinal: Se relaciona con respetuosamente con la comunidad escolar y practica el autorespeto.

Limpieza: Realizar con pulcritud el trabajo. Observar aseo personal.

Responsabilidad: Realizar el trabajo con puntualidad y apegado a los requerimientos.

Se comprometo con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 75 horas

Tiempo Real:

Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a

utilizar en cada clase.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

1.- El docente les proporciona la planeación didáctica, ya sea en copias fotostáticas o en electrónico. (1 sesión) 2.- El docente aplica el examen diagnóstico. (1 sesión) 3.- El docente realiza mediante la técnica expositiva y/o técnica de lluvia de ideas el que se revise la parte conceptual de las matemáticas vistas en semestres anteriores. (5 sesiones) 4.- Aplicación de examen correspondiente. (1 sesión)

1.- Los alumnos tomarán notas sobre la planeación. 2.- El estudiante contesta el examen diagnóstico 3.- El alumno tomará nota del tema expuesto por el docente sobre los temas de aritmética y álgebra. Así como realizará la tarea correspondiente. 4.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema.

1.- Planeación. 2.- Examen 3.- Material propuesto por el docente. 4.- Examen

1.-NA 2.- Resultados del examen. 3.- Tarea 4.- Resultados del examen

NA 10% 10% 10%

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



5.- Implementación de una ficha del proyecto 5.-Construye-T seleccionada según las necesidades generales del grupo. (1 sesión)

5.- Colabora de manera oral y escrita, según lo exija la ficha seleccionada.

5.- Impresión de la ficha Construye-T.

5.-Ficha

implementada.

N/A

Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad


Ponderación

Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones


(Aprendizaje)



2.- Formula y

resuelve

problemas

matemáticos,

aplicando

diferentes

enfoques.

4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

1.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: aproximaciones: raíces y funciones trigonométricas. (6 sesiones) 2.- El docente le pide al alumno que resuelva los ejercicios y problemas sobre aproximaciones. (2 sesiones) 3.- Aplicación de examen correspondiente. (1 sesión) 4.- El docente mediante la técnica de exposición da el tema: antiderivadas. (2 sesiones) 5.- El docente le encarga al alumno la solución de ejercicios y problemas sobre Antiderivada. (2 sesiones) 6.- El docente aplica el examen correspondiente.

1.- El alumno toma notas sobre el tema de aproximaciones. 2.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos por el facilitador. Posteriormente se hará una co-evaluación. 3.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. 4.- El estudiante toma notas sobre el tema de antiderivda. 5.- El alumno resolverá los ejercicios y problemas asignados. Posteriormente se hará una co-evaluación. 6.- El alumno entrega las tareas ya autoevaluadas, así como resolverá el examen correspondiente.

1.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 2.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 3.- Examen 4.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 5.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico (Apuntes) 6.- Examen

1.- Apuntes 2.- Resultados de la tarea 1 y tarea 2. 3.- Resultados del examen 4.- Apuntes 5.-Resultados de la Tarea 3. 6.- Resultados del examen.

NA 10% 20% NA 10% 20%

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

(1 sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 7.- El docente solicita al alumno trabaje en equipos la situación de aprendizaje número 3 de tarea. ( 1 sesión) TERMINA EL PRIMER PARCIAL 1.- El docente proyecta algunos videos sobre el tema de cálculo integral. (1 sesión)

https://www.youtub

e.com/watch?v=6Px

_CKZR8s0

https://www.youtub

e.com/watch?v=Tkh

F4Cyr5cc

2.- El docente realiza una exposición sobre Técnicas de integración: integrales inmediatas. (4 sesiones) 3.- El docente le pide al alumno que trabaje la solución de problemas que impliquen el trabajo con integrales inmediatas para su solución. (1 sesión) 4.- El docente aplica el examen correspondiente.

El alumno recibirá la evaluación correspondiente al segundo parcial. 7.- Trabaja la situación de aprendizaje número 3 referente a integrales inmediatas. 1.- El alumno toma notas sobre el tema e investigará aplicaciones del tema integración. 2.- El alumno toma nota sobre el tema expuesto por el docente. 3.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos y posteriormente se hará una co-evaluación. 4.- El alumno contesta el examen correspondiente a

NA 7.- Copia de la situación de aprendizaje número 3. 1.- Links propuestos 2.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 3.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico (Apuntes) 4.- Examen correspondiente

Calificación final 7.- Situación de aprendizaje terminada. 1.- Investigación 2.- Apuntes 3.-Ejercicios resueltos completos. 4.- Resultados del examen.

NA 10% N/A NA 10% 20%

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

https://www.youtube.com/watch?v=6Px_CKZR8s0



https://www.youtube.com/watch?v=TkhF4Cyr5cc



SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



(una sesión) 5.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración por partes. (4 sesiones) 6.- El docente le pide al alumno que resuelva problemas y ejercicios sobre integración por partes. (1 sesión) 7.- El docente dirige el trabajo con la secuencia de aprendizaje 5 referente a Integración por partes. (1 sesión) 8.- El docente aplica el examen correspondiente. (1 sesión) 9.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración por sustitución. (6 sesiones) 10.- El docente le pide al alumno que resuelva algunas integrales por el método de sustitución. (1 sesión) 11.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 12.- El docente implementa una ficha Construye-T, según las

los temas anteriores. 5.- El alumno toma notas sobre el tema. 6.- El alumno resolverá los ejercicios proporcionados por el facilitador.. Posteriormente se hará una co-evaluación. 7.- Trabaja la secuencia de aprendizaje 5 referente a integración por partes. Actividad en equipos. 8.- El alumno contesta el examen correspondiente a los temas anteriores. 9.- El alumno toma notas sobre el tema. 10.- El alumno resolverá la tarea asignada por el profesor. Posteriormente se hará una co-evaluación. 11.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. El alumno recibirá la evaluación correspondiente al segundo parcial. 12. Colabora de manera verbal y escrita, según lo demande la actividad.

5.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico (Apuntes) 6.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 7.- Copia del diseño de página de la actividad. 8.- Examen correspondiente 9.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 10.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 11.- Examen NA 12.- Impresión de la ficha Construye-T

5.- Apuntes 6.- Problemas resueltos completos. 7.- Actividad terminada. 8.- Resultados del examen. 9.- Apuntes 10.- Resultados de la tarea 3. 11.- Resultados del examen. Calificación final 1.- Actividad terminada.

NA 10% 10% 20% NA 10% 20% NA NA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



necesidades generales del grupo de trabajo. (1 sesión). TERMINA EL SEGUNDO PARCIAL 1.- El docente realiza una exposición sobre los temas de: Técnicas de integración: integración por fracciones parciales. (2 sesiones) 2.- El docente le pide al alumno que resuelva ejercicios sobre Integración por fracciones parciales. (2 sesión) 3.- El docente realiza una exposición sobre los temas de Sumas de Riemann. (3 sesiones) 4.- El docente le pide al alumno que resuelva ejercicios y problemas sobre Suma de Riemman. (2 sesiones) 5.-Cordina el trabajo con la secuencia de aprendizaje número 9 referente a suma de Riemman. ( 1 sesión) 6.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) 7.- El docente muestra aplicaciones del cálculo integral. https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/solid_revolution_topic

1.- El alumno toma notas sobre el tema. 2.- El alumno resolverá los ejercicios propuestos por el docente. .Posteriormente se hará una co-evaluación. 3.- EL alumno toma notas sobre los temas expuestos por el docente. 4.- El alumno resolverá los ejercicios proporcionados por el facilitador. Posteriormente se hará una co-evaluación. 5.- De manera colaborativa trabaja la secuencia de aprendizaje 9. 6.- El alumno contesta el examen correspondiente al tema. 7.- EL alumno toma notas sobre los temas expuestos por el docente.

1.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 2.- Bibliografía sugerida y/o material didáctico (Apuntes). 3.- Material de Apoyo. Diapositivas, plataforma de matemáticas u otros. 4.- Material didáctico. Plataforma de matemáticas. Apuntes y/o bibliografía sugerida. 5.- Copia de la secuencia de aprendizaje correspondiente. 6.- Examen 7.- Material didáctico. Apuntes y/o bibliografía sugerida.

1.-Apuntes completos. 2.-Ejercicios resueltos completos. 3.- Apuntes 4.- Ejercicios resueltos completos. 5.- Actividad terminada. 6.- Resultados del examen. 7.- Apuntes

N/A 10% N/A 10% 10% 20% NA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/solid_revolution_topic




SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



(1 sesión) 8.- El docente expone la solución a ejemplos y ejercicios que implican el trabajo con la Integral definida para su solución. (2 sesiones) 9.- El docente proporciona ejercicios sobre Integral definida, para que sean resueltos en parejas. 9.- El docente aplica el examen correspondiente. (una sesión) 10.- El docente trabaja en conjunto con el grupo El teorema fundamental del cálculo aplicado a ejercicios y problemas. ( 3 sesiones)

8.- El alumno realiza anotaciones acerca de los ejemplos y sus soluciones. 9.- El estudiante resuelve los ejercicios propuestos por el docente. 9.-El alumno contesta el

examen correspondiente al

tema.

10 .- De manera

colaborativa trabaja

ejercicios de aplicación del

Teorema fundamental del

Cálculo.

8.- Material de Apoyo. 9.- Material de apoyo. 9.- Examen 10.- Material de apoyo.

8.- Ejemplos completos 9.- Ejercicios resueltos completos. 9.- Resultados de examen 10.- Ejemplos y ejercicios completos.

N/A 10% 20% N/A

Fase III Cierre



Actividad/transversalidad


Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones


(Aprendizaje)



1.- el docente aplica el examen correspondiente. (1 Sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 2.- Trabaja la implementación de una ficha del proyecto Construye-T apropiada al cierre de semestre.

1.- El estudiante contesta la evaluación escrita correspondiente al parcial. El alumno recibirá la evaluación correspondiente al tercer parcial. 2.- Colabora de manera verbal y escrita en la actividad seleccionada.

1.- Examen NA 2.- Impresión de la ficha correspondiente.

1.- Resultados de examen. Calificación final 2.-Actividad terminada.

20%% NA N/A

Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Registra los cambios realizados

Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

Computadora, cañón, juego geométrico, calculadora. https://www.youtube.com/watch?v=6Px_CKZR8s0


Conamat. Matemáticas Simplificadas. México: PEARSON.

Steward, J. (2008). Cálculo de una variable. México: CENGAGE

Learning.

Edwards y Penney. (1994). CÄLCULO con Geometría Analítica. México:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Prentice Hall.

Granville. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.

Ayres, F y Mendelson, E. (2001). CÁLCULO. Colombia: Mc Graw Hill.

Evaluación

Criterios: Exámenes 60% Otras actividades 40%

Instrumento: Lista de cotejo, rúbrica, portafolio de evidencias, exposición, tareas y examen de conocimiento.

Porcentaje de aprobación a lograr:

70% Fecha de validación: 3 de agosto de 2016

Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes: 7 de julio de 2016

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Planteles Paso de mata y Montenegro

RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL 1° PARCIAL

Nombre del estudiante: _______________________________ Grado y Grupo: _____________

Nombre del docente:__________________________________

PONDERACIÓN ACTIVIDAD

7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Temas de contenidos de matemáticas previos al cálculo.

Ejercicios y problemas completos. Letra legible y excelente ortografía.

Ejercicios y problemas s completos, ejercicios incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas casi completos. Pocos errores ortográficos y letra poco legible.

Tiene la mitad o menos de los ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible

Ejercicios y problemas sobre aproximaciones.





Ejercicios y problemas sobre antiderivadas e integrales inmediatas sencillas.





Secuencia de aprendizaje 3 sobre integrales inmediatas.





Actividad 7.6 – 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5% 0- 2.5 % Examen diagnóstico

Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.


Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

1° Examen rápido





Actividad 16 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5%

2° Examen rápido





Examen parcial Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.


Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



legible.

TOTAL

Plantel Peñamiller





7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Temas de contenidos de matemáticas previos al cálculo.





Ejercicios y problemas sobre aproximaciones.





Ejercicios y problemas sobre antiderivadas e integrales inmediatas sencillas.





Secuencia de aprendizaje 3 sobre integrales inmediatas.





Actividad 7.6 - 10 % 5.1 – 7.5% 2.6 - 5% 0 – 2.5% Examen diagnóstico





1° Examen rápido





2° Examen rápido





CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Actividad 16 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5% Examen parcial Mas del 90% del examen

resuelto correctamente con proceso de solución legible.




Actividad 7.6 - 10 % 5.1 – 7.5% 2.6 - 5% 0 – 2.5% Tercer avance de proyecto integral

TOTAL






7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Integrales inmediatas.





Ejercicios y problemas sobre Integración por partes.





Secuencia de aprendizaje 5 sobre Integración por partes.





Ejercicios sobre integración por sustitción.





Actividad 17 - 20 % 11 - 15% 6 - 10% 0 - 5% 1° Examen rápido





2° Examen Mas del 90% del examen Más del 70% y menos Más del 40% y menos Menos del 30% del

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



rápido resuelto correctamente con proceso de solución legible.

del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

del 60% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.

examen resuelto correctamente con proceso de solución legible.





TOTAL

Plantel Peñamiller





7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Ejercicios y problemas sobre Integrales inmediatas.





Ejercicios y problemas sobre Integración por partes.





Secuencia de aprendizaje 5 sobre Integración por partes.





Ejercicios sobre integración por sustitción.





Actividad 7.6 - 10 % 5.1 – 7.5% 2.6 - 5% 0 – 2.5% 1° Examen rápido






Mas del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución

Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto correctamente

Más del 40% y menos del 60% del examen resuelto

Menos del 30% del examen resuelto correctamente con

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



legible. con proceso de solución legible.

correctamente con proceso de solución legible.

proceso de solución legible.






TOTAL






7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Apuntes y ejemplos sobre Integración por fracciones parciales.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Los procesos de solución están ordenados. Letra legible y excelente ortografía.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Letra poco legible y algunas faltas de ortografía.

Apuntes y ejemplos incompletos (falta solo una pequeña parte del trabajo) con algunas faltas de ortografía.

Tiene menos de la mitad de los apuntes con letra poco legible y faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas sobre Suma de Riemann.





Secuencia de aprendizaje 9.





Ejercicios y problemas sobre Integral definida.





CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008








2° Examen rápido









TOTAL

Plantel Peñamiller





7.6 - 10% 5.1 – 7.5% 2.6 – 5 % 0 – 2.5 % Total

Apuntes y ejemplos sobre Integración por fracciones parciales.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Los procesos de solución están ordenados. Letra legible y excelente ortografía.

Apuntes y ejemplos completos. Se entrega en tiempo y forma. Letra poco legible y algunas faltas de ortografía.

Apuntes y ejemplos incompletos (falta solo una pequeña parte del trabajo) con algunas faltas de ortografía.

Tiene menos de la mitad de los apuntes con letra poco legible y faltas de ortografía.

Ejercicios y problemas sobre Suma de Riemann.





Secuencia de aprendizaje 9.





Ejercicios y problemas sobre

Ejercicios y problemas completos. Letra legible y

Ejercicios y problemas s completos, ejercicios

Ejercicios y problemas casi completos. Pocos

Tiene la mitad o menos de los

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008



Teorema fundamental del cálculo.

excelente ortografía. incompletos. Letra legible y algunas faltas de ortografía.

errores ortográficos y letra poco legible.

ejercicios. Tienes errores ortográficos y letra poco legible

Actividad 7.6 - 10 % 5.1 – 7.5% 2.6 - 5% 0 – 2.5% 1° Examen rápido















TOTAL

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO

DE QUERÉTARO

PLANTEL 85, PEÑAMILLER

SA3_Inmediatas

Actividad Lúdica Es opcional

El guiño asesino:

Antes de iniciar el juego, pida a alguien que sea ‘el asesino’, manteniendo en

secreto su identidad. Explique que una persona del grupo es el asesino y que esa persona puede matar a la gente sólo con un guiño. Entonces todos se pasean por el salón en diferentes direcciones, manteniendo contacto visual con cada persona que pasa por su lado. Si el asesino le guiña el ojo, tiene que pretender que está muerto. Todos tienen que tratar de adivinar quién es el asesino.

Situación de aprendizaje

A Se tiene un terreno con forma rectangular como el que se muestra a continuación, se

sabe que el terreno fue seccionado en rectángulos y uno de ellos tiene un área representado

con la expresión

De acuerdo con lo anterior, calcula el área del terreno.

Nota: Proporcionar al alumno de una tabla con las propiedades de los

exponentes.

Comprensión de la situación (En individual)

¿Qué es lo que se te pide?

¿Cuáles son los datos?

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


¿Cuál es la condición?

(En caso que exista)

¿Puedes representar la

situación mediante algún

modelo matemático?

De ser así, representa.

Nota: Las preguntas planteadas en el presente formato, quedan a criterio del maestro, y a consideración del estudiante, es decir, pueden incrementarse o rediseñarse de acuerdo a la naturaleza de la situación de aprendizaje

Plan de Acción

¿Puedes plantearlo de

manera diferente la

situación?

¿Cómo la resolverías y qué

operaciones requieres?

¿Haz resuelto una situación

semejante?

¿Puedes cambiar los datos

para simplificar las

operaciones?

¿Requieres todos los datos

presentados para resolver

la situación?

¿Requieres resultados

preliminares para obtener

el resultado final?

¿Puedes representar el

problema mediante una

figura o gráfica?

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Nota: Aunque las preguntas pueden ser contestadas por un “Sí” o un “No”, es necesario que el estudiante coloque algún argumento,

ya sea de manera matemática o coloquial.

Ejecución del Plan

¿Puedes estimar el resultado? Realiza las operaciones necesarias

14

. R

eso

lver

un

a ec

uac

ión

15

. B

usc

ar u

na

fórm

ula

.

Tam

bié

n p

ued

es:

Usa

r la

s p

rop

ied

ades

de

los

Nú

mer

os,

tra

baj

ar h

acia

atr

ás, r

eso

lver

un

a ec

uac

ión

, bu

scar

un

a fó

rmu

la, u

sar

un

mo

del

o, u

sar

anál

isis

dim

ensi

on

al, i

den

tifi

car

sub

-met

as, u

sar

coo

rden

adas

, usa

r si

met

ría.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


¿Se presentó alguna problemática en el

desarrollo procedimental de la solución?

Verifica que tus operaciones sean correctas

Nota: Se sugiere que esta parte se trabaje en equipos, una vez realizada, se dé la oportunidad a los estudiantes para compartir su

respuestas (operaciones, procesos, razonamientos, etc.)

Imp

lem

enta

r la

o la

s es

trat

egia

s q

ue

esco

gist

e h

asta

so

luci

on

ar c

om

ple

tam

ente

el p

rob

lem

a o

has

ta q

ue

la m

ism

a ac

ció

n t

e

sugi

era

tom

ar u

n n

uev

o c

urs

o. C

on

céd

ete

un

tie

mp

o r

azo

nab

le p

ara

reso

lver

el p

rob

lem

a.

Si n

o t

ien

es é

xito

so

licit

a u

na

suge

ren

cia

o h

az e

l pro

ble

ma

a u

n la

do

po

r u

n m

om

ento

(¡p

ued

e q

ue

"se

te

pre

nd

a el

fo

co"

cuan

do

men

os

lo e

sper

es!)

. N

o t

enga

s m

ied

o d

e vo

lver

a e

mp

ezar

. Su

ele

su

ced

er q

ue

un

co

mie

nzo

fre

sco

o u

na

nu

eva

estr

ateg

ia c

on

du

cen

al

éxit

o.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Reflexión de la solución

¿Tu respuesta satisface lo

establecido en el problema?

¿Puedes verificar el

resultado?

¿Identificas el modelo

matemático que utilizaste

para resolver la situación?


matemático que utilizaron

tus compañeros para

resolver la situación?

¿Adviertes una solución más

sencilla?

¿Puedes ver cómo extender

tu solución a un caso

general?

Conclusión

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


SA5_Partes

Actividad Lúdica

Un fenómeno que siempre está presente y que observamos a nuestro alrededor es el

movimiento. La cinemática es la parte de la Física que describe los posibles movimientos sin

preocuparse de las causas que lo producen.

Moverse hacia el espacio

Pida a todos que escojan un lugar en particular en el salón. El juego inicia parándose en su

‘lugar’. Pida que caminen por el salón y hagan una acción en particular, por ejemplo saltando en

un pie, saludando a todos los que llevan ropa azul o caminando de espaldas, etc.

Cuando el facilitador dice “pare”, todos deben correr hacia sus espacios originales. La persona

que llegare a su espacio primero será el siguiente líder y podrá pedir al grupo que hagan lo que

él/ella quiera.


Un investigador que desarrolla un acelerador de partículas, encontró que la función

f(x)=220(x2+3) ayuda a calcular el incremento en el cambio de velocidad de estas con el paso del

tiempo en minutos x. Quiere conocer la velocidad instantánea después de 10, 25 y 40 segundos.






CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO




modelo matemático?



Plan de Acción


manera diferente la

situación?

¿Cómo la resolverías y

qué operaciones

requieres?

¿Haz resuelto una

situación semejante?



operaciones?



la situación?



el resultado final?



figura o gráfica?

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO




Ejecución del Plan


14

. R

eso

lver

un

a ec

uac

ión

15

. B

usc

ar u

na

fórm

ula

.

Tam

bié

n p

ued

es:

Usa

r la

s p

rop

ied

ades

de

los

Nú

mer

os,

tra

baj

ar h

acia

atr

ás, r

eso

lver

un

a ec

uac

ión

, bu

scar

un

a fó

rmu

la, u

sar

un

mo

del

o, u

sar

anál

isis

dim

ensi

on

al, i

den

tifi

car

sub

-met

as, u

sar

coo

rden

adas

, usa

r si

met

ría.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO





Nota: Se sugiere que esta parte se trabaje en equipos, una vez realizada, se dé la oportunidad a los estudiantes para compartir sus


Imp

lem

enta

r la

o la

s es

trat

egia

s q

ue

esco

gist

e h

asta

so

luci

on

ar c

om

ple

tam

ente

el p

rob

lem

a o

has

ta q

ue

la m

ism

a ac

ció

n t

e

sugi

era

tom

ar u

n n

uev

o c

urs

o. C

on

céd

ete

un

tie

mp

o r

azo

nab

le p

ara

reso

lver

el p

rob

lem

a.

men

os

lo e

sper

es!)

. N

o t

enga

s m

ied

o d

e vo

lver

a e

mp

ezar

. Su

ele

su

ced

er q

ue

un

co

mie

nzo

fre

sco

o u

na

nu

eva

estr

ateg

ia c

on

du

cen

al

éxit

o.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO



¿Tu respuesta satisface

lo establecido en el

problema?


resultado?


matemático que

utilizaste para resolver

la situación?


matemático que

utilizaron tus

compañeros para


¿Adviertes una solución

más sencilla?

¿Puedes ver cómo

extender tu solución a

un caso general?

Conclusión

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


SA9_Suma de Riemman

Actividad Lúdica

Dirigiendo y guiando

Los participantes forman parejas. Un participante se pone una venda sobre los ojos. Entonces su

pareja le dirige cuidadosamente por el área, asegurándose que no se tropiece o se golpee con

algo. Después de un rato, el facilitador pide que las parejas cambien de papeles. Al final, los

participantes hablan sobre cómo se sintieron al tener que confiar en otra persona para que los

mantenga a salvo.


En una ocasión los compadres, Marco y Héctor, platicaron sobre el área que proporciona la

fotografía de un puerco (con magneto) que se encuentra pegado al refrigerador, para lo cual le

tomaron la foto respectiva como se indica en la figura 1, acto seguido tomaron las medidas

siguientes: desde la parte de la cola hasta la trompa se tienen 5cm y desde la pata trasera hasta

la cadera es de 4cm. Para lo cual preguntaron: ¿Qué hacemos compa para encontrar el área del

puerco?

Figura 1.






CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO




modelo matemático?



Plan de Acción


manera diferente la

situación?

¿Cómo la resolverías y qué

operaciones requieres?

¿Haz resuelto una situación

semejante?



operaciones?



la situación?



el resultado final?



figura o gráfica?

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO




Ejecución del Plan


14

. R

eso

lver

un

a ec

uac

ión

15

. B

usc

ar u

na

fórm

ula

.

Tam

bié

n p

ued

es:

Usa

r la

s p

rop

ied

ades

de

los

Nú

mer

os,

tra

baj

ar h

acia

atr

ás, r

eso

lver

un

a ec

uac

ión

, bu

scar

un

a fó

rmu

la, u

sar

un

mo

del

o, u

sar

anál

isis

dim

ensi

on

al, i

den

tifi

car

sub

-met

as, u

sar

coo

rden

adas

, usa

r si

met

ría.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO





Nota: Se sugiere que esta parte se trabaje en equipos, una vez realizada, se dé la oportunidad a los estudiantes para compartir su


Imp

lem

enta

r la

o la

s es

trat

egia

s q

ue

esco

gist

e h

asta

so

luci

on

ar c

om

ple

tam

ente

el p

rob

lem

a o

has

ta q

ue

la m

ism

a ac

ció

n t

e

sugi

era

tom

ar u

n n

uev

o c

urs

o. C

on

céd

ete

un

tie

mp

o r

azo

nab

le p

ara

reso

lver

el p

rob

lem

a.

Si n

o t

ien

es é

xito

so

licit

a u

na

suge

ren

cia

o h

az e

l pro

ble

ma

a u

n la

do

po

r u

n m

om

ento

(¡p

ued

e q

ue

"se

te

pre

nd

a el

fo

co"

cuan

do

men

os

lo e

sper

es!)

. N

o t

enga

s m

ied

o d

e vo

lver

a e

mp

ezar

. Su

ele

su

ced

er q

ue

un

co

mie

nzo

fre

sco

o u

na

nu

eva

estr

ateg

ia c

on

du

cen

al

éxit

o.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO



¿Tu respuesta satisface lo

establecido en el problema?


resultado?


matemático que utilizaste

para resolver la situación?


matemático que utilizaron

tus compañeros para


¿Adviertes una solución más

sencilla?

¿Puedes ver cómo extender

tu solución a un caso

general?

Conclusión

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Examen diagnostico 10% CÁLCULO INTEGRAL FECHA:

SEMESTRE Y ESPECIALIDAD: ACIERTOS: /10

ALUMNO: (Apellido, Nombre)

CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Resuelve las siguientes operaciones:

1.

2.

3. (

) (

)

4.

5.

6. { [ ( )( )] √ }

7. ( )( )

8.

Expresa en forma exponencial:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno

XPadre de familia / Tutor

9. √

Deriva correctamente la siguientes funcion primitiva.

10.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Examen 1 parcial 1 (10%) CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Completa la siguiente tabla, expresa el radical en forma exponencial, después

derívalo y por ultimo obtén la diferencial, llega a la mínima expresión

Radical Forma exponencial Derivada Diferencial

1. √

2. √

3. √

Haciendo uso de los diferenciales encuentra la raíz de:

4. √

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


2° Examen Parcial 1 (20%) CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Obtén la función primitiva de las siguientes derivadas, recuerda llegar a la mínima

expresión:

Derivada Diferencial Antiderivada Función primitiva

1.

2.

Obtén la solución de los siguientes ejercicios, no olvides llegar a la mínima expresión

3. ∫

4. ∫ √

5. ∫

6. ∫

√

√

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


3° Examen Parcial 1 (20%) CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Obtén la función primitiva de las siguientes derivadas, recuerda llegar a la

mínima expresión:

Derivada Diferencial Antiderivada Función primitiva

1.

2.

Obtén la solución de los siguientes ejercicios, no olvides llegar a la mínima expresión

3. ∫

4. ∫

5. ∫

6. ∫ √

7. ∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


1° Examen rápido 2° parcial (20%)

CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Obtén la solución de los siguientes ejercicios, no olvides llegar a la mínima

expresión

1. ∫( )( )

2. ∫( )

3. ∫

(

√

)

4. ∫( )

5. ∫

6. ∫

7. ∫

Fórmulas de integrales inmediatas de las funciones trigonométricas

∫ ∫ ∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


2° Examen rápido 2° parcial (20%)

CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Calcula las siguientes integrales utilizando la regla de sustitución.

1. ∫( )

2. ∫ ( )


∫ ∫ ∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Examen 2° parcial (20%) CÁLCULO INTEGRAL FECHA:



CALIFICACIÓN:

Instrucciones generales:

Lee cuidadosamente cada una de las instrucciones y contesta lo que se te pide. No olvides llegar a

la mínima expresión.

I.- Obtén la solución de los siguientes ejercicios. (5 puntos)

1. ∫( )

2. ∫

(

√

)

3. ∫

4. ∫

5. ∫

II.- Calcula las siguientes integrales utilizando la regla de sustitución. (2 puntos)

1. ∫( )

2. ∫ ( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


III.- Calcula las siguientes integrales utilizando la integración por partes. (3 puntos)

1. ∫ √

2. ∫


∫ ∫ ∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


1° Examen rápido (20%) 3er parcial CÁLCULO INTEGRAL FECHA:

24/Nov/15



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: resuelve cada uno de los ejercicios según se indica, los resultados

escríbelos con pluma.

1. Obtén la sumatoria de cada uno de los siguientes ejercicios (3 puntos):

∑( )

∑( )

∑( )

2. Encuentra el área bajo la curva entre x=0 y x=2 utilizando aproximaciones por el

método de sumatoria de las áreas de los rectángulos, utiliza 4 rectángulos (2

puntos):

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


3. Encuentra el área bajo la curva de la siguiente función de a

.

a. Obtén los puntos.

b. Une los puntos.

c. Traza 8 rectángulos y sombrea el área que estas calculado.

d. Utiliza la suma de Riemann para encontrar la aproximación.

(3 puntos)

0

X Y

1 2 3 4 5 6

1

2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


∑ ( )

4. Usa rectángulos para aproximar el área bajo la curva del área sombreada,

considera 10 rectangulos (2 puntos):

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


2° Examen rápido (20%) 3er parcial CÁLCULO INTEGRAL FECHA:

08/Dic/15



CALIFICACIÓN:

Instrucciones: Resuelve cada uno de los ejercicios según se indica. Elabora la gráfica e

indica el área a calcular. Escribe los resultados con pluma. (Cada ejercicio vale 2 puntos)

∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


XAlumno


∫

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Banco de reactivos

Reactivos de derivadas

Deriva correctamente cada una de las siguientes funciones primitivas.

1. ( )

2. √

3. √

4.

5.

6. √

7.

Reactivos Diferenciales La diferencial de la función es el numerador de la función de a derivada según Leibniz, por lo que

se deduce que la diferencial que obtendremos consistirá generalmente en despejar dy de la

derivada de la función primitiva.

Diferencial de la función: Dada una función primitiva determinada, y luego al derivarla usando la

notación de Leibniz, el numerador de esta expresión es conocida como la diferencial.

( )

( ) [ ( )]

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Entonces, la diferenciales el producto de la derivada por el “dx”. Este último va a depender

respecto de la literal con la que se deriva la función primitiva.

Ejemplos:

Dadas las siguientes funciones primitivas, observa cómo se determina el diferencial de su función

a partir de su derivada:

1. ( )

( ) [ ( )]

2.

[ ]

Actividad

Comprueba que la expresión localizada a la derecha de cada función primitiva es la diferencial

correspondiente de cada función dada:

1. [ ]

2.

*

+ *

+

3. √ *

√ + *

√ + *

√ +

4. √

√

5. √ ( )

√

√

6.

7. √

√ ( √ )

8. √ √ √ √

√ ( √ )

9.

( )

10. ( )

Reactivos Aproximaciones de raíces inexactas La raíz de ciertos números son exactas tales como: √ √ √ √ √ pero tenemos

cantidades próximas a estos números que no nos dan resultados exactos, y si se usara calculadora,

la respuesta sería un número decimal. Los diferenciales nos dan una aproximación a ciertos

resultados de raíces de números próximos a aquellos que sí tienen una raíz exacta, y esta

aproximación es más exacta cada vez que las diferencias sean más pequeñas.

El valor de √ sin la ayuda de la calculadora, sabemos que es: aunque su solución principal es

solamente 3, pero calcular la solución principal de √ sin calculadora ya es más complicado,

por lo que aprenderemos a resolverlo con la ayuda de los diferenciales.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Para cualquier radical se tiene que: √

, y dependiendo del valor de “n será el

valor del diferencial en cada caso:

Radical Forma exponencial Derivada Diferencial

√

√

√

√

√

√

√

√

Para cualquier aproximación de raíces no exactas por medio de diferenciales utilizaremos la

siguiente expresión: √

Donde:

Número con raíz exacta: Es aquel número que al calcular su raíz enésima se obtiene como solución

principal un número entero. Tales como: √ √

√

√

√

.

Para nuestro propósito, el número dentro del radical lo llamamos x, y a su solución entera la

llamaremos y.

dx: Es la diferencia entre el número con raíz exacta más próximo al número al cual se le pretende

aproximar su raíz. Así, si se quiere calcular: √ tendremos que el número con raíz exacta

más próximo será: √ . Para este caso en particular tendremos entonces:

dx:

El diferencial dy, lo obtendremos al sustituir todos los

anteriores en la expresión que se obtiene de la derivada de la función.

Ejemplo

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Observa paso a paso cómo se aproximan las siguientes raíces, usando los diferenciales de cada

función dada:

√

Se usará la expresión: √

. El número con raíz exacta más próximo es √ . Por lo

que: y El cálculo del es a partir de . Despejando, se tiene:

, pero como ya se conoce que: Entonces

Para

calcular el dy necesitamos definir la función que estamos aproximando, y para nuestro caso

particular se trata de: √ (nótese que es una raíz cuadrada). Ahora, derivaremos para

determinar el diferencial buscando, que sería:

√ . Sustituyendo quedaría:

√

.

Sólo faltaría sustituir en la primera expresión dada:

√

√

Por último, se concluye que: √

.

Actividad

Demuestra, usando diferenciales, que el valor la derecha de cada raíz dada, es la aproximación

correcta:

1. √

2. √

3. √

4. √

5. √

6. √

7. √

8. √

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Reactivos antiderivadas

Ya vimos como una función primitiva es derivada para obtener su respectivo diferencial. En la

última expresión, mediante la cual se obtiene la diferencial, se le puede aplicar una formula

especial para obtener nuevamente la función primitiva con la que se inició el proceso. Debido a

que la derivada obtenida es transformada en su función primitiva inicial, a esta operación

matemática se le conoce como antiderivaday se expresa con el símbolo ∫

Las siguientes tres fórmulas nos proporcionarán las antiderivadas más comunes con las que se va a

trabajar en este curso. Obsérvese como en cada solución se proporciona una C, la cual es conocida

como constante indefinida, pues no es conocida, y la solución de cada antiderivada representa una

familia de funciones primitivas, las cuales tienen una misma derivada.

∫

∫

( )

∫ ( )

( )

Antiderivada: Es el proceso contrario a derivar, es decir, la expresión que representa a la derivada

es transformada a su función primitiva de donde proviene.

Ejemplos:

Dada una derivada paso a paso cómo se determina la antiderivada y cómo queda al final la función

primitiva.

1.

∫ ∫

2.

∫ ∫ ( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Actividad

Demuestra que la expresión de la derecha de cada derivada dada es su función primitiva.

1.

2.

3.

Autoevaluación

Escribe a la derecha de cada enunciado y dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta en

cada caso.

1. Es el producto de la derivada por “dx”

a) Función primitiva b) Antiderivada c) Derivada d) Diferencial

( )

2. Es la operación que se le practica a la función primitiva para obtener una expresión matemática nueva.


( )

3. Es la operación que se le practica a la derivada para obtener una expresión matemática.


( )

4. Es el resultado que se obtiene al aplicar la antiderivada.

a) Función primitiva b) Antiderivada c) Derivada

( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


d) Diferencial

5. El diferencial de es igual a: a) b) c) d)

( )

6. El diferencial de:

es igual:

a)

b)

c) d)

( )

7. La aproximación con diferenciales

de: √

es:

a)

b)

c)

d)

( )

8. La aproximación con diferenciales

de: √

a)

b)

c)

d)

( )

9. La antiderivada de:

√ es:

a) √

b) √

c)

√

d) √

( )

10. La antiderivada de

√ es:

1. √

2.

√

3.

√

4. √

( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Reactivos Métodos de integración

Evaluación diagnóstica

Dada cada derivada, determina correctamente su función primitiva.

1.

2.

√

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

√

Reactivos Integrales inmediatas

Las integrales inmediatas con todas las antiderivadas que como característica fundamental todas

tienen una constante indefinida en su solución, y esta es la razón por la cual se llama a esta

operación matemática integral indefinida.

∫ ( )

La expresión ( ) es realmente una familia de funciones primitivas, donde todas y cada una

de ellas tienen la misma derivada.

Para poder integrar las diversas funciones contamos con un conjunto de fórmulas, y el uso de

estas fórmulas nos proporciona lo que conocemos como: Integración inmediata, puesto solamente

sustituye la variable principal de la fórmula correspondiente, pero siempre se deberá de

determinar el diferencial de cada función e integrarse, y solo hasta que el diferencial de la variable

principal esté completo se podrá integrar la función ( ).

( ) ( )

Se debe recordar que antes de integrar correctamente, el diferencial nos señala cuál es la

variable principal, sobre la cual se integra la función.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


La u del problema es la primer pregunta que nos haremos siempre al resolver una integral, porque

definiendo la u del problema, procederemos a resolver conforme a esa referencia. Las integrales

inmediatas que resolveremos serán las que corresponden a las dos fórmulas ya vistas.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Algebraicas y trigonométricas

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Algebraicas y trigonométricas

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

El procedimiento general para resolver una integral es el siguiente:

1. Identificar la u del problema

2. Determinar el diferencial de du requerido para poder integrar

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


3. Comparar el diferencial requerido del paso anterior, con el diferencial que proporciona el

integrador del problema que se está resolviendo, y complementarlo, si así se requiere, por

medio de la asignación de una constante y/o signo.

4. Hacer que cada parte de la fórmula que se utiliza tenga su respectivo valor en el problema

a resolver para integrar conforme a la fórmula correspondiente.

Ejemplos:

Observa cómo se determina la integral en cada caso, identificando la u el diferencial du, para

completarlo cuando así sea necesario.

1. ∫( ) ∫

Por analogía tenemos que: .

Entonces, para poder integrar el diferencial original deberá completarse multiplicando el

integrador por:

∫( ) *

+

∫( )

Resolviendo conforme a la fórmula tendremos:

∫( )

[( )

]

( )

2. ∫

∫ ( )

Por analogía tenemos que: . Entonces

para poder integrar el diferencial original deberá completarse multiplicando el integrador por:

∫

[

]

∫

( )

Resolviendo conforme a la formula tendremos:

∫

[ ( )]

( ) √

[ ]

Actividad

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrastas con modelos establecidos o situaciones reales.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Ejercicios

Comprueba que la expresión de la derecha de cada integral es la respuesta correcta en cada uno

de los problemas siguientes:

1. ∫ ( )

( )

2. ∫

√

3. ∫

√

4. ∫( )( )

( )

5. ∫ ( )

( )

6. ∫ ( )

( )

7. ∫ ( ) √ ( )

8. ∫ ( ) √ ( )

9. ∫ ( )

10.

Reactivos Integración por partes

Las integrales que se resolverán por el método de integración por partes con aquellas que no se

pueden integrar de manera inmediata, y generalmente su integrando está formado por dos

funciones, donde una no es el diferencial de la otra.

Podemos tener integrandos mezclados con funciones algebraicas, trigonométricas directas,

inversas trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. La fórmula que se utilizará en la

integración por partes es:

∫( ) ( )( ) ∫( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Como el integrando estará compuesto, tendremos algunas alternativas para seleccionar la u de

cada integral por resolver. Para definir correctamente la u en cada integrando debemos utilizar

una sencilla regla, LIATE. Esta regla nos dice la función prioritaria que debe ser considerada como

la w en cada integral por resolver por este método de integración.

L Función Logarítmica ( ) ( )

I Función Inversa Trigonométrica ( ) ( )

A Función Algebraica √ ( )

T Función Trigonométrica directa (√ ( )

E Función Exponencial ( )

Entonces cuando el integrando de una integral que se debe resolver por partes tenga una función

logarítmica, esta debe ser la u a elegirse. Si e integrando al que nos referimos no tiene ninguna

función logarítmica, pero si tiene una función inversa trigonométrica, elijase como la u. Si el

integrando al que nos referimos no tiene ninguna función logarítmica ni inversa trigonométrica,

pero si tiene un función algebraica, entonces esta función será la u. Si el integrando al que nos

referimos no tiene ninguna función logarítmica ni inversa trigonométrica ni algebraica, pero si

tiene una función trigonométrica directa, entonces esta función será la u. Si el integrando al que

nos referimos, no tiene ninguna función logarítmica inversa trigonométrica ni algebraica ni

trigonométrica directa, pero si tiene una función exponencial, entonces esta función será la u.

En cualquiera de los casos anteriores, al desarrollarse la integral por este método, el integrando

secundario deberá ser más fácil de resolver que el integrando inicial.

Al resolver una integral por partes debemos de considerar el siguiente procedimiento sugerido:

1. Definir la u del integrando con LIATE. El resto del integrando será dv.

2. Deducir el du, a partir de la u, y la v, a partir de dv.

3. Sustituir todos los elementos en la fórmula:

∫( ) ( )( ) ∫( )

4. Integrar nuevamente: ∫( )

5. Reducir y expresar tu respuesta.

Integrar por partes: Este método consiste básicamente en desglosar integrales compuestas hasta

por dos funciones diferentes (u y v) entre sí, con: ∫( ) ( )( ) ∫( ) .

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Se debe tener especial cuidado que al resolver el integrando secundario: ∫( ) sea más fácil de

integrar que el integrando inicial: ∫( )

Ejemplos:

En éste primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u

∫

u = x du = 1

dv = cos x v = sen x

∫ ∫

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el

proceso n veces

∫

u=x3 du= 3x2

dv =ex v=ex

∫ ∫

u= x2 du = 2x

dv ex v= ex

∫ ( ∫ ) ∫

u= x du=1

dv= ex v= ee

∫ ( ∫ )

( )

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Ejercicios

Resuelve correctamente cada una de las siguientes integrales por el método de integración por

partes.

∫

∫

∫

∫√

∫ ( )

Integración por sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

∫ ( ) ( )

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por sustitución

∫ ( )

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

∫ ( )

∫ ( )

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

∫ ( ) ( )

3º Se vuelve a la variable inicial:

( ) ( )

Ejemplos

∫( )

∫( ) =∫

( )

∫√

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


∫√ ∫√

∫√

∫

( )

=

√( )

Ejercicios

Usa la sustitución para calcular las integrales indicadas.

∫√

∫( )

∫

∫ ( )

∫ √

∫ ( )

Reactivos Integración por fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma∫ ( )

( ) donde:

P(x) y Q(x) son polinómios El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

Casos en los que se presentan técnicas de integración de fracciones parciales.

Caso 1. El denominador se descompone en factores lineales distintos. ( )

( )=

Ejemplo

∫

El denominador se puede descomponer en factores lineales distintos( )( ). Por

lo tanto:

( )

( )

Enseguida tratemos de determinar el valor de A y B. esto es posible si multiplicamos la fracción

por .

( ) ( )

La expresión anterior corresponde a una identidad; luego pensemos precisamente en valores para

x que nos permitan conocer lo de A y B; por ejemplo, x=3 y x=-3.

Si x=3, tenemos que 5(3) + 3 = A(3+3) + B(3-3), luego resolvemos y,

Si x= -3, luego tenemos que 5(-3) + 3 = A(-3-3) +B(-3+3), entonces resolvemos y,

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


Finalmente,

∫

∫

( ) ∫

( ) ( ) ( )

Ejercicios

Resuelve correctamente las siguientes integrales

∫

∫

∫

∫

∫

( )( )

Caso 2. El denominador tiene un factor lineal repetido.

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la

factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple

en (1), se usaría

( )

( ) (2)

Ejemplo

∫

( )

La fracción

( ) toma ahora la forma:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


( )

Enseguida trataremos de determinar el valor de A y B. Es evidente que si multiplicamos la fracción por ( ) lo que tenemos es:

X= A(x-3) +B

La expresión anterior es una identidad; luego pensemos precisamente en valores para x que nos permitan conocer los de A y B, por ejemplo, x=3 y x=0.

Si x=3, tenemos que 3=A(3-3)+B, luego resolvemos y B=3

Si x=0, tenemos que 0=A(0-3) +3, luego resolvemos y A=

=1

Por lo tanto,

∫

( ) ∫

( )

( ) ∫

( ) ∫( )

( )

Caso 3. Factores cuadráticos distintos que no se pueden factorizar.

Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede

expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la

cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión

para ( )

( ) tendrá un término de la forma

.

Ejemplo

∫

( )( )

Descomponemos la fracción del integrando de la siguiente manera,

( )( )

( )

Multiplicando la igualdad por (4x+1)( )

( ) ( )( )

Las sustitución de x=

x=0 y x=1 da como resultado A=2, B=1 y C=-1. En consecuencia,

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


DE QUERÉTARO


∫

( )( ) ∫

∫

∫

∫

∫

( )

( )

BIBLIOGRAFÍA

JIMÉNEZ René (2011). Matemáticas VI. Cálculo integral. Enfoque por competencias. Segunda edición. PEARSON. México D. F. SMITH Robert (2003). Cálculo diferencial e integral. Mc Graw Hill. México D. F. STEWART James (2007). Cálculo diferencial e integral. 2° edición. CENGAGE Learning. México D.F.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Documents

Identificación AGO-DIC...dentro de distintos equipos de trabajo. (1 sesión) El docente realiza una hetero-evaluación de las tareas y exámenes. (1 sesión) 7.- El docente solicita