if'peh çrhdkRed rdZ'kkL=klnmuacin.in/studentnotice/ddelnmu/2020/M.A... · dsoy ogh ml Hksn dks tkurk gS ,sls vusd mnkgj.k feyrs gSa tc fo[;kr rdZ'kkfL=k;ksa us Hkh v'kq¼ ;qfDr;ksa

M.A.

if'peh çrhdkRed rdZ'kkL=k

(WESTERN SYMBOLIC LOGIC)

nwjLFk f”k{kk funs”kky;yfyr ukjk;.k fefFkyk fo”ofo|ky;

dkes”ojuxj] njHkaxk&846008

M.A. PhilosophyPaper-V

PHIL-105

nwjLFk f”k{kk funs”kky;

laiknd eaMy

1. izks- ljnkj vjfoUn flag % funs”kd] nwjLFk f”k{kk funs”kky;] y- uk- fefFkyk fo”ofo|ky;] njHkaxk2. MkW- fot; dqekj % mifuns”kd] nwjLFk f”k{kk funs”kky;] y- uk- fefFkyk fo”ofo|ky;] njHkaxk3. MkW- jktho dqekj % n”kZu”kkL= foHkkx] lh- ,e- dkWyst] njHkaxk4. çks- eukst dqekj >k % ladk;k/;{k] ekufodh&lg foHkkxk/;{k] LukrdksRrj n”kZu”kkL= foHkkx] y- uk- fefFkyk

fo”ofo|ky;] njHkaxk5. MkW- “kaHkq çlkn % lgk;d funs”kd] nwjLFk f”k{kk funs”kky;] y- uk- fefFkyk fo”ofo|ky;] njHkaxk

ys[kd ,oa leUo;dMkW- jktho dqekj] n”kZu”kkL= foHkkx] lh- ,e- dkWyst] njHkaxk

Dr. Shambhu Prasad-Co-ordinator, DDE, LNMU, Darbhanga

fç;&Nk=Xk.k

nwj f”k{kk C;wjks&fo”ofo|ky; vuqnku vk;ksx] ubZ fnYyh ls ekU;rk çkIr ,oa laLrqr ,e- ,- ¼nwjLFk ekè;e½ ikB~;Øe ds fy, ge gkÆnd vkHkkj izdV djrs gSaA bl Lo&vfèkxe ikB~; lkexzh dks lqyHk djkrs gq, gesa vrho izlUurk gks jgh gS fd Nk=x.k ds fy, ;g lkexzh izkekf.kd vkSj mikns; gksxhA ^Îkf”peh çfrdkRed rdZ”kkL=Þ (Western Symbolic Logic) uked ;g vè;;u lkexzh vc vkids le{k gSA

¼çks- ljnkj vjfoUn flag½ funs”kd

izdk”ku o’kZ 2019

nwjLFk ikB~;Øe lEcU/kh lHkh izdkj dh tkudkjh gsrq nwjLFk f”k{kk funs”kky;] y- uk- fEkfFkyk ;wfuoflZVh] dkes”ojuxj] njHkaxk ¼fcgkj½&846008 ls laidZ fd;k tk ldrk gSA bl laLdj.k dk izdk”ku funs”kd] nwjLFk f”k{kk funs”kky;] yfyr ukjk;.k fefFkyk ;wfuoflZVh] njHkaxk gsrq esllZ y{eh ifCyds”kal çk- fy- fnYyh }kjk fd;k x;kA

DLN-2645-097.50-WEST SYMB LOGIC PHIL-105H C— Typeset at : Atharva Writers, Delhi Printed at :

nwjLFk f'k{kk funs'kky;yfyr ukjk;.k fEkfFkyk fo'ofo|ky;] dkes’ojuxj] njHkaxk&846004 ¼fcgkj½

Qksu ,oa QSSSSDl % 06272 & 246506] osclkbZV % www.ddelnmu.ac.in, bZ&esy % [email protected]

ekuuh; dqyifr y- uk- fe- fo'ofo|ky;

fç; fo|kFkhZnwjLFk f’k{kk ifj”kn~] ubZ fnYyh ls Lo&vuqns’kkRed ikB~; lkexzh en ds vUrZxr çkIr fodkl vuqnku dh jkf’k ls çLrqr ikB~; lkexzh dks lqyHk djkrs gq, vrho çlUurk gks jgh gSA fo’okl gS fd nwjLFk f’k{kk ç.kkyh ds ek/;e ls mikf/k çkIr djus okys fo|kÆFk;ksa dks fcuk fdlh cká lgk;rk ds fo”k;&oLrq dks xzká djus esa fdlh çdkj dh dksbZ dfBukbZ ugha gksxhA ge vk’kk djrs gSa fd ikB~;&lkezxh ds :i esa ;g iqLrd vkids fy, mi;ksxh fl) gksxhA

çks- ¼MkW-½ ,l- ds- flagdqyifr

fo"k;-lwph

bdkbZ (Units) (CONTENTS) i`"B la[;k (Page No.)

1. rdZ”kkL= 12. ;kSfxd çdFku 113. ;kSfxd rdZokD; dh ;qfDr;k¡ 364. fuxeu fof/k 62

rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 1

bdkbZ 1% rdZ'kkL=k

lajpuk (Structure)

1-1 çLrkouk

1-2 mn~ns';

1-3 rdZ'kkL=k D;k gS\

1-4 izrhdkRed rdZ'kkL=k D;k gS\

1-5 ;qfDr dk Lo:i

1-6 lR;k rFkk oS/rk

1-7 lkjka'k

1-8 vH;kl iz'u

1-9 oLrqfu"B iz'u

1-10 lanHkZ xzaFk

1-1 çLrkouk

gekjs cgqr ls fo'okl ,sls gksrs gSa ftuds fo"k; esa u dHkh 'kadk gksrh gS vkSj u dksbZ vU; O;fDr 'kadk djrk gS fd nksuksa gkFkksa esa eq>s nl vaxqfy;k¡ gSa] fd gekjs gkFk esa dHkh dye gS] fd eSa dqlhZ ij cSBk gqvk gw¡] fd esjs gkFk esa iqLrd gSµ;s ,sls fo'okl gS afd ftuds fo"k; esa eq>s dHkh 'kadk ugh agksrh] u gh fdlh nwljs dksA ;fn dksbZ 'kadk djs Hkh rks izR;{k ds }kjk mUgsa izekf.kr dj fn;k tkrk gSA ;fn fdlh euq"; dks ;g 'kadk gks fd esjs gkFk esa tks lkexzh gS og dye gS rks mls ml dye dks fn[kkdj izekf.kr dj fn;k tkrk gSA ;fn fdlh dks 'kadk gks fd esjs gkFk esa ml maxfy;k¡ gSa rks mls vius gkFk dh maxfy;ksa dh fxurh djk ds izekf.kr dj nsrs gSa fd nl maxqfy;k¡ gSa] ij gekjs ;k vkids lHkh fo'oklksa dks bl izdkj izekf.kr ugha fd;k tk ldrkA ;fn eSa ;g dgw¡ fd i`Foh xksy gS vkSj vkidks 'kadk gks ;k eSa dgw¡ fd ;g i'kq dHkh&u&dHkh ejsxk vkSj vkidks 'kadk gks rks mUgsa gkFk dh maxfy;ksa ;k gkFk dh dye dh HkkfUr fn[kykdj vFkkZr~ izR;{k ds }kjk izekf.kr ugha fd;k tk ldrkA bUgsa izekf.kr djus ds fy, dqN vU; okD;ksa dks lk{; ds :i esa nsuk iM+rk gSA

tSlsµ

;g i'kq dHkh&u&dHkh ejsxk vFkkZr ej.k'khy gS]

D;ksafd] ;g ,d izk.kh gS ...(1)

vkSj lHkh izk.kh ej.k'khy gksrs gSaA ...(2)

;fn (1) vkSj (2) lR; gksa rks muls ;g izekf.kr gksrh gS fd ^;g i'kq ej.k'khy gSA* (1) vkSj (2) izek.k gS ^;g i'kq ej.k'khy gS* okD; dsA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh2

dksbZ izdFku ;g okD; izek.k rHkh gksrk gS tc mlls fl¼ fd;k tkus okyk okD; fuxfer gksA dHkh&dHkh dksbZ okD; izek.k ds leku izrhr gksrk gS vkSj okLro esa og okD; tks mlds vk/kj ij fdl fl¼ fd;k tkrk gS] fl¼ ugha gksrkA tSlsµ

eqgEen jke dk lEcU/h ugha gS]

';ke eqgEen dk lEcU/h ugha gS]

vr% ';ke jke dk lEcU/h ugha gSA

^';ke jke dk lEcU/h ugha gS* fl¼ djus ds fy, ftu okD;ksa dks izek.k ekuk x;k gS] muls oSlk izekf.kr ugha gksrkA ,slk lEHko gS fd jke vkSj ';ke HkkbZ gksa] vFkkZr~ ;fn nksuksa lEcU/h gSa rc Hkh ;g dgk tk ldrk gS fd êqgEen (;fn eqgEen ls okLro esa mu yksxksa dk lEcU/ ugha gks) jke dk lEcU/h ugh gS* vkSj ^';ke eqgEen dk lEcU/h ugha gS* (1) rFkk (2) okD;ksa ij ;g okD; fd ^jke ';ke dk lEcU/h ugha gS* fuHkZj ugha gSA blfy,] bl izdkj dh ;qfDr 'kq¼ ugha gSµ

,slh ;qfDr;ksa esa fdlh okD; dks fl¼ djus ds fy, izek.k ds :i esa ftu okD;ksa dk iz;ksx gksrk gS muls og okD; fuxfer ugha gksrk gSA ;gk¡ nks iz'u mBrs gSa]

(i) D;k ,sls fu;e gSa ftuds vk/kj ij ;g Kkr gks fd veqd ;qfDr 'kq¼ gS\

(ii) D;k bu fu;eksa dk vè;;u djus ds fy, vU; foKkuksa ls iFkd dksbZ foKku gS\ nksuksa dk mÙkj ^gk¡* gSA ,sls fu;e gSa vkSj mu fu;eksa dk vè;;u rdZ'kkL=k esa gksrk gSA

1-2 mn~ns';

bl bdkbZ osQ vè;;u osQ i'pkr fo|kFkhZ ;ksX; gksaxs&

zrdZ'kkL=k ds ckjs esa tkudkjh

zizrhdkRed rdZ'kkL=k ls lEcfU/r egRoiw.kZ rf;

z;qfDr dk Lo:i dk egRo

zlR;k rFkk oS/rk ds ckjs esa

1-3 rdZ'kkL=k D;k gS\

rdZ'kkL=k dh vusd ifjHkk"kk,¡ nh xbZ gSaA lHkh ifjHkk"kkvksa dk ijh{k.k ;gk¡ lEHko ugha gS] ij bruk

vo'p dgk tk ldrk gS fd rdZ'kkL=k dk lEcU/ ;qfDr;ksa ds oxhZdj.k ls gS] ftlls 'kq¼ vkSj

v'kq¼ ;qfDr;ksa dk Hksn Kkr gksA la{ksi esa ;g dgk tk ldrk gS fd rdZ'kkL=k esa mu fue;ksa rFkk

iz.kkfy;ksa dk vè;;u fd;k tkrk gS ftuds iz;ksx ls 'kq¼ vkSj v'kq¼ ;qfDr;ksa esa Hksn fd;k tk

ldsA ij bldk ;g vFkZ ugh ayxkuk pkfg, fd ftlus rdZ'kkL=k dk vè;;u ugha fd;k gS og

'kq¼ vkSj v'kq¼ ;qfDr;ksa esa Hksn ugha dj ldrk ;k fd ftlus rdZ'kkL=k dk vè;;u fd;k gS

dsoy ogh ml Hksn dks tkurk gS ,sls vusd mnkgj.k feyrs gSa tc fo[;kr rdZ'kkfL=k;ksa us Hkh

v'kq¼ ;qfDr;ksa dk iz;ksx fd;k gSA lq[kokn ds leFkZu esa fey ds }kjk fn, x, izek.k v'kq¼ gSaA

ftl izdkj ftls ns[kk tk;s og n`'; gS]

tks lquk tk;s] og JO; gS]

rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 3

mlh izdkj] tks vPNk dh tk;s] og bPNuh; gS]

Li"V gs fd n`'; vkSj bPNuh; nksuksa 'kCnksa ds vFkZ esa vUrj gSA ,slk ugha ekuk tk ldrk

gS fd tks bPNk dh tkrh gS] tSls 'kjkc] rks 'kjkc dks bPNuh; ekuk tk;sA

;fn rdZ'kfDr dk vè;;u fdlh dks bl rF; dh xkjaVh nsrk fd mldh ;qfDr dHkh

v'kq¼ ugha gksxh rks fiQj rdZ'kkfL=k;ksa ls ,slh Hkwysa D;ksa gksrha\ ij bldk ;g Hkh vFkZ ugha gS

fd rdZ'kkL=k ds vè;;u ls dksbZ ykHk ugha gSA budk rks vo'; gs fd blds vè;;u ls 'kq¼

vkSj v'kq¼ ;qfDr;ksa esa Hksn djus esa lgk;rk feyrh gSA dgk x;k gS fd rdZ'kkL=k l`tukRed

rks ugha ij lq/kjkRed vo'; gSA ;g rdZ'kfDr dk l`tu ugha djrk ij rdks± esa lq/kj vo';

ykrk gSA lq/kj dh 'kfDr fofHkUu rjhdksa ls c<+rh gSA

(i) 'kq¼ ;qfDr;ksa ds fu;eksa dk vè;;u dj mu fu;eksa dk fofHkUu mnkgj.kksa esa vH;kl

djds blfy, rdZ'kkL=k dks lS¼kfUrd vkSj O;kogkfjd nksuksa vFkkZr~ foKku vkSj dyk nksuksa] ekuk

x;k gSA

(ii) nwljh ckr ;g gS fd rdZ'kkL=k ds vè;;u ls] fo'ks"k :i ls izrhdkRed rdZ'kkL=k

ds fdlh fuf'pr foKku dh HkkfUr rdZuk esa izoh.krk c<+rh gSA

(iii) blds vè;;u ls fdlh Hkh ;qfDr dh oS/rk ds ijh{k.k dh fof/ dk Kku gksrk gSA

Hkys rdZ'kkL=k geesa rdZcqf¼ dk l`tu ugha dj ldrk ij ;fn ge ;qfDr;ksa ds nks"kksa dks

igpkuus esa vH;Lr gks tk,¡ rks LO;a mu nks"kksa esa iM+ tkus dh lEHkkouk de gks tkrh gSA

dqN fo}kuksa us rdZ'kkL=k dks rdZuk dk foKku dgk gSA bl ifjHkk"kk ls rdZ'kkL=k ds Lo:i

dh dqN >yd rks feyrh gS ij ;g vLi"V gS fd ^rdZuk* ml izdkj dk fpUrj gS ftls vuqeku

djuk dgk tkrk gS] ftlls vk/kj&okD;ksa ls fu"d"kZ fudkys tkrs gSaA ij ^rdZuk* ^fpUru* dh

HkkfUr rdZ'kkL=k dk gh ek=k oLrq fo"k; ugha] euksfoKku dk Hkh gSA euksfoKku esa ^fpUru* rFkk

^rdZuk* ds Lo:i dk vè;;u fd;k tkrk gSA mlesa rdZuk fØ;k esa lfUufgr lHkh ekufld

fØ;kvksa dh O;k[;k gksrh gSA mldk ewy iz'u gS fd rdZuk fØ;k dSls gksrh gSA rdZ'kkL=k blls

lEcfU/r ugha gS fd rdZuk gS fd iz;qDr ;k ekus gq, vk/kj okD;ksa ls tks fu"d"kZ fudkyk

x;k gS og fuxfer gksrk gS ;k ughaA ;fn ml fu"d"kZ ds vk/kj okD; mls fl¼ djus ds fy,

i;kZIr gSa ;k ;fn mu vk/kj&okD;ksa ds vfHkdFku dk vFkZ gS ml fu"d"kZ dk vko';d :i ls

vfHkdFku] rc ml rdZuk dks 'kq¼ dgk tkrk gS] vU;Fkk ughaa tSlsµ

;g i'kq ,d izk.kh gS] ...(1)

vkSj] lHkh izk.kh ej.k'khy gSa] ...(2)

vr%] ;g i'kq ej.kh'khy gSA ...(3)

bl rdZuk esa (1) vkSj (2) vk/kj&okD; gSa vkSj (3) fu"d"kZA ^;g i'kq ,d izk.kh gS*

vkSj ^lHkh izk.kh ej.k'khy gSa*] bu nks okD;ksa ds vfHkdFku ls ^;g i'kq ej.k'khy gSa* okD;

vko';d :i ls tqM+k gqvk gSA ;g ,d 'kq¼ rdZuk gSA rdZ'kkL=k dk lEcU/ rdZuk ds ifj.kkeksa

dh 'kq¼rk&v'kq¼rk ls gSA rdZuk dk fo"k; pkgs tks gks ij rdZ'kkL=k mu lHkh ls lEcfU/r ugha

gS] ;g ek=k mudh 'kq¼rk&v'kq¼rk ls lEc¼ gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh4

1-4 izrhdkRed rdZ'kkL=k D;k gS\

rdZ'kkL=k dk lEcU/ ;qfDr;ksa ls gSA ;qfDr;ksa ds ?kVd rdZokD; ;k dFku gksrs gSaA

lHkh xzg lw;Z ds pkjksa vksj ?kwers gSa] ...(1)

eaxy ,d xzg gS] ...(2)

vr%] eaxy lw;Z ds pkjksa vksj ?kwerk gSA ...(3)

;g ,d ;qfDr dk mnkgj.k gSA bl ;qfDr ds ?kVd (1)] (2) vkSj (3) rdZ&okD; gSaA

bu rdZ&okD;ksa esa (1) vkSj (2) vk/kj&okD; gSa vkSj (3) mudk fu"d"kZA ;s vk/kj&okD; rFkk

fu"d"kZ o.kZukRed okD;ksa dh HkkfUr Hkk"kk ls lEcfU/r ugha gS vfirq mu okD;ksa ds vFkZ lsA ij

fdlh Hkh rF; dks O;Dr djus dk ekè;e Hkk"kk gh gSA fdlh Hkk"kk esa O;Dr fdlh rF; dk

izlaxkuqlkj Bhd&Bhd vFkZ yxk nsuk dfBu gksrk gS D;ksafd fdlh Hkh 'kcn ds vusd vFkZ gksrs

gSaA dHkh okD;ksa dh oukoV ds dkj.k] dHkh dgkorksa vkSj eqgkojksa ds iz;ksx ds dkj.k] dHkh 'kCnksa

dh vusdkFkZrk ds dkj.k tks vFkZ gksuk pkfg, og vFkZ ugha yx ikrk gSA Hkk"kk dh nq:grk dks

'kq¼ djuk rdZ'kkL=k dk y{; ugha gS ij tc rd Hkk"kk 'kq¼ ugha gks tkrh rc rd ;qfDr;ksa dh

oS/rk ;k voS/rk dh leL;k dk lek/ku ugha gks ldrk gSA Hkk"kk dh bl dfBukbZ ls cpus ds

fy, cgqr&ls foKkuksa us vius rduhdh 'kCn&dks"k dks fodflr fd;k gSA jlk;u'kkL=k esa HkkSfrd

foKku esa] xf.kr esa vius izrhdksa dk iz;ksx gksrk gSA mlh izdkj Hkk"kk dh nq:grk ls cpus ds

fy, rdZ'kkL=k esa rdZ&okD;ksa ;k muds lEcU/ksa ds fy, izrhdksa dk iz;ksx gksrk gSA

fiQj ,d dfBukbZ vkSj mifLFkr gksrh gSA foKkuksa esa nÙk lefxz;k¡ vusd gksrh gSaA mUgsa Hkk"kk

esa foLrkjiwoZd vafdr djus esa le; vkSj LFkku nksuksa dh cgqr vf/d ek=kk esa vko';drk gksrh

gSA izrhdksa ds iz;ksx ls mudk :i NksVk gks tkrk gSA mUgsa vafdr djus esa u mrus LFkku] u

mrus le; dh vko';drk gksrh gSA mlh izdkj tfVy ;qfDr;ksa esa ;fn ;kSfxd rdZokD; iz;qDr

gksa rks mUgsa vafdr djus esa vf/d le; vkSj LFkku dh vko';drk gksrh gSA izrhdksa ds iz;ksx

ls mu ;qfDr;ksa dk :i NksVk gks tkrk gSA vr% le; vkSj LFkku nksuksa dh cpr gks tkrh gSA

fiQj ;g Hkh fd nÙk lkefxz;ksa ds NksVs :i ij è;ku nsuk ftruk ljy gS] mruk vU;Fk

ughaA nÙk lkefxz;ksa ds ladfyr :iksa dh rqyuk djuk Hkh ljy gksrk gSA mnkgj.kkFkZ xf.kr esa ;k

la[;kr iz.kkyh esa O;k[;kRed izrhdksa ds iz;ksx ls fdlh lehdj.k dks cgqr gh laf{kIr :i esa

O;Dr fd;k tkrk gSA tSlsµd × d × d × d × d × d × d = [k × [k × [k bldk

laf{kIr :i d7 = [k3 gSA

blhfy, izk;% lHkh foKkuksa esa izrhdksa dk izphu gks x;k gSA bUgha lqfo/kvksa ds dkj.k

rdZ'kkL=k esa Hkh fo'ks"k rduhdh fpÞuksa dk fodkl gqvk gSA vjLrw us Hkh izrhdksa dk fpÞuksa dk

vius vUos"k.k esa iz;ksx fd;k Fkk] tSls iw.kZO;kih HkkokRed okD; ds fy, A] iw.kZO;kih fu"ks/

kRed ds fy, E bR;kfnA vk/qfud rdZ'kkL=k esa bu fpÞuksa dks vkSj Hkh fodflr fd;k x;k gSA

orZeku rdZ'kkL=k us ek=k rdZokD;ksa ds fy, fpÞuksa dk iz;ksx ugha] mu rdZokD;ksa ds lEcU/ksa ds

fy, izrhdksa dk iz;ksx fd;k gSA blfy, ikjEifjd vkSj uohu rdZ'kkL=k esa xq.kkRed vFkkZr~ fdLe

dk vUrj ugha gS vfirq dsoy ek=kk esa vUrj gS (they do not differ in kind but in degrees)A

rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 5

ikjEifjd rFkk uohu rdZ'kkL=k dk mi;qZDr vUrj lk/kj.k ugha gSA fo'ys"k.k rFkk fuxeu

ds fy, ;g ,d 'kfDr'kkyh vL=k fl¼ gqvk gSA vkt dh oSKkfud iz.kkyh esa bldk iz;ksx gj

{ks=k esa gks jgk gSA vk/qfud rdZ'kkL=k ds izrhd fdlh ;qfDr dh rkfdZd cukoV dks ljyrk ls

Li"V dj nsrs gSa tks lk/kj.k Hkk"kk ds iz;ksx ls vLi"V jgrk gSA Hkk"kk dh dfBukb;k¡ blls nwj

gks tkrh gSa vkSj oS/ ;k voS/ ;qfDr;ksa dk oxhZdj.k vklku gks tkrk gSA izrhdksa ds iz;ksx ls

fuxeukRed vuqeku dk Lo:i dk Hkh Li"Vhdj.k gks tkrk gSA

ÞokbVgsM us Bhd gh dgk gS fd izrhdksa dh lgk;rk ls ,d ckj ns[kdj gh ;kaf=kd

:i ls ;qfDr;ksa dh oS/rk tkuh tk ldrh gS ftlds fy, vU;Fkk mPp ekufld ;ksX;rk dh

vko';drk gksrh gSA

dksih us dgk gS fd izrhdkRed rdZ'kkL=k dk iz;ksx nks n`f"Vdks.kksa ls gks ldrk gS] (i) ;qfDr;ksa dh oS/rk ds ijh{k.k ds ;U=k ds :i esa vkSj (ii) Lo;a rdZ'kkL=k ds fu;eksa rFkk i¼fr;ksa

ds vè;;u ds :i esaA

1-5 ;qfDr dk Lo:i

vuqeku djuk ,d fØ;k gS ftlls ,d ;k mlls vf/d rdZokD;ksa ds vk/kj ij fdlh rdZokD; dk fo/ku fd;k tkrk gSA rdZ'kkL=k dk lEcU/ vuqeku dh fØ;k ls ugha gS vfirq mu rdZokD;ksa ls gS] tks ml fØ;k ds vkjEHk fcUnq rFkk ifj.kke gSa vkSj mu rdZokD;ksa ds chp tks lEcU/ gksrs gSa mulsA ;fn esjk izdFku ;g gks fd]

lHkh fp=kdkj dykdkj gSaA (1)

jghe fp=kdkj gS] (2)

vr% jghe dykdkj gS] (3)

rks bls vuqeku djuk (inferring) ;k rdZuk (reasoning) dgk tk,xkA esjs vqueku djus esa dkSu&lh ekufld fØ;k,¡ gqb±] blls rdZ'kkL=k dk dksbZ lEcU/ ugha gSA rdZ'kkL=k dk lEcU/ blls gS fd (1), (2) ;k (3) dk Lo:i d;k gS vkSj muesa D;k lEcU/ gSA vc iz'u gS fd izdFku D;k gS vkSj rdZokD; fdls dgrs gSa\

tks fdlh ds }kjk fdlh fo"k; esa dgk tk;s ogh izdFku gSA ^lHkh fp=kdkj dykdkj gSa* esa fp=kdkj ds fo"k; esa dgk x;k gS] ;g ,d izdFku gSA izdFku dk vFkZ ;k rks tks dgk x;k mlls gS ;k dqN dgus esa tks 'kCn }kjk O;Dr gqvk mllsA blfy, îzdFku* 'kCn dk iz;ksx nksuksa vFkks± esa gks ldrk gSA

(i) tks dgk x;k og izdFku gS]

(ii) tks dgk x;k mldk 'kfCnd :i izdFku gSA

rdZokD; og gS tks dgk x;k gS vr% igys vFkZ esa rdZokD; vkSj izdFku lekukFkZd gSaA ;gk¡ dgk x;k gS fd ^jghe fp=kdkj gS*A ;g ,d izdFku gS vkSj rdZokD; HkhA rdZokD; lR; ;k vlR; gksrs gSaA blh fo'ks"krk ds dkj.k rdZokD; iz'uksa] vkns'kksa rFkk foLe;ksa ls fHkUu gksrs gSaA ^D;k vki tk jgs gSa\* ,d iz'u gSA blds lEcU/ esa lR;rk ;k vlR;rk dk iz'u ugha gSA ogha gekjs foLe;ksa ds lEcU/ esa gS] tSlsµvksg] uhp] rqe\ ij] êksgu dkWyst esa i<+rk gS* ,d izdFku gSA ;g lr; gks ldrk gS ;k vlR; HkhA bl izdFku ds fo"k; esa ;g iz'u fd;k tk

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh6

ldrk gS fd D;k ;g lR; gS fd êksgu dkWyst esa i<+rk gS*A bl izdFku ds fo"k; esa ;g iz'u fd;k tk ldrk gS fd d;k ;g lR; gS fd êksgu dkWyst esa i<+rk gS*A iz'u] vkns'k] foLe;] izdFku vkfn dks Hkk"kk esa okD;ksa }kjk O;Dr fd;k tkrk gSA O;kdj.k esa mudk oxhZdj.k dbZ izdkj ds okD;ksa esa gksrk gS] tSlsµiz'uokpd okD;] vkKkokpd okD;] foLe;okpd okD;] fof/okpd okD;A O;kdj.k dh nf"V ls êksgu dkWyst esa i<+rk gS*] fof/okpd okD; gSA ,sls okD;ksa esa dksbZ lwpuk feyrh gS blfy, mUgsa lwpukFkZd Hkh dgk tkrk gSA lwpukFkZd okd; esa dksbZ izdFku gksrk gS os gh rdZokD; gSaA lwpukFkZd okD; vkSj rdZokD; esa vUrj ;g gS fdµ

(i) lwpukFkZd ;k fof/okD; fdlh Hkk"kk fo'ks"k ds vax gSa] ml Hkk"kk ds ftlesa os fy[ks ;k cksys tkrs gSa] ij rdZokD;Z fdlh Hkk"kk&fo'ks"k ds vax ugha gksrs gSa] mnkgj.kµ

1. I have a dog.

2. eq>s ,d dqÙkk gSA

(1) vaxzsth Hkk"kk dk ,d lwpukFkZd okd; gS ij (2) fgUnh Hkk"kk dkA ij nksuksa dk vFkZ

,d gh gSA nksuksa esa ,d gh ckr dgh xbZ gS êsjs ikl ,d dqÙkk gSA* nksuksa okD;ksa dk tks vFkZ

gS ogh rdZokD; gSA blfy, Hkk"kk dh fHkUurk esa rdZokD; esa dksbZ vUrj ugha gksrkA rdZokD;

dk Hkk"kk&:i lwpukFkZd okD; gS vkSj lwpukFkZd okD; ds vFkZ rdZokD;A

rdZokD; vkSj lwpukFkZd okD; esa nwljk vUrj ;g gS fd ,d gh lwpukFkZd okD; ds fHkUu

izlaxksa esa fHkUu vFkZ gks ldrs gSaA tSlsµ^;g :eky cgqr ewY;oku gS* ,dlk rc dgk tk ldrk

gS tc nke dh n`f"V ls ewY; vU; :ekyksa dh vis{kk vf/d gks ;k rc Hkh tc fdlh izsfedk

us bls fn;k gks ;k tc ;g fdlh ejs gq, vkReh; dk fpÞu gksA blfy, ,d gh lwpukFkZd

okD; dbZ vFkZ vFkkZr~ rdZokD;ksa dks O;Dr dj ldrk gS vkSj ,d gh rdZokD; dbZ lwpukFkZd

okD;ksa }kjk oDr gks ldrk gSA tSlsµ

1. I have a dog.

2. I possess a dog.

3. eq>s ,d dqÙkk gSA

4. eSa ,d dqÙks dk Lokeh gw¡A

lHkh ,d gh rdZokD; dks O;Dr djrs gSa] êq>s ,d dqÙkk gS*A tks lEcU/ ^rdZokD;* vkSj

^lwpukFkZd* okD; esa ogh lEcU/ îzdFku* vkSj ^lqpukFkZd okD;* esa gSA

rdZokD; gh ?kVd gSa vuqeku dsA izR;sd lEHko vuqeku ds vuq:i ,d ;qfDr gksrh

gSA rdZ'kkL=k dk lEcU/ ;qfDr;ksa ls gSA rdZokD; ;k izdFkuksa ds oSls lewg ;k oxZ dks ;qfDr

dgk tkrk gS ftlesa dksbZ rdZokD; vU; rdZokD;ksa ls fu"ikfnr gksrk gSA ftu rdZokD;ksa ls og

rdZokD; fu"ikfnr gksrk gS os mldh lR;rk ds vk/kj ij gksrs gSaA vr% ;qfDr oSls rdZokD;ksa

dk lewg ;k foU;kl (set) gSA ftlds ,d rdZokD; dks mlds vU; rdZokD;ksa ds lk{; ij

Lohdkj dj fy;k tkrk gSA tSlsµ

(d) lHkh ck?k [krjukd gksrs gSa] ...(1)

og i'kq ck?k gS] ...(2)

;g [krjukd gSA ...(3)

rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 7

(1)] (2) vkSj (3) feydj ,d ;qfDr gSA ;g rhu rdZokD;ksa dk foU;kl gSA izR;sd

rdZokD; ;qfDr ugha gSA rhuksa ,d&nwljs ls lEcfU/r gSa vkSj (3) dks (1) vkSj (2) ls fu"ikfnr

fd;k x;k gSA (1) vkSj (2) lk{; gSa (3) dsA

izR;sd ;qfDr dh ,d cukoV gksrh gS

;qfDr rdZokD;ksa ls cuh gqbZ gksrh gSA blesa dqN rdZokD;ksa dks vk/kj&okD; dgk tkrk

gSA vk/kj&okD; os rdZokD; gSa ftuls dksbZ vU; rdZokD; fuxfer gksrk gSA og rdZokD; tks

fuxfer gksrk gS mls fu"d"kZ dgk tkrk gSA vk/kj&okD; gh fu"d"kZ ds lk{; ;k izek.k gksrs gSaA

dksbZ rdZokD; vius vki vk/kj&okD; ugha gksrk gSA ;g vk/kj&okD; rc gksrk gS tc fdlh

fu"d"kZ dk izek.k ;k lk{; gksA

^vk/kj&okD;* rFkk ^fu"d"kZ* lkis{k in gSaA rks rdZokD; fdlh ;qfDr dk vk/kj okD; gSa]

ogh nwljs esa fu"d"kZ gks ldrk gSA tSlsµ

([k) lHkh ekalHk{kh [krjukd gksrs gSa] ...(1)

lHkh ck?k ekalHk{kh gksrs gSa] ...(2)

lHkh ck?k [krjukd gksrs gSaA ...(3)

;g Hkh ,d ;qfDr gSA (d) ;qfDr esa ^lHkh ck?k [krjukd gksrs gSa* rdZokD; vk/kj&okD;

gS] ij ([k) ;qfDr esa fu"d"kZA blfy, dksbZ Hkh rdZokD; vk/kj&okD; ;k fu"d"kZ gks ldrk gSA

tc fdlh rdZokD; dks fl¼ djus ds fy, bldk iz;ksx gksrk gS rks og vk/kj&okD; gS vkSj

fu"d"kZ ;fn vU; rdZokD;ksa ds }kjk ;g fl¼ gqvk gksA

;qfDr;k¡ nks izdkj dh gksrh gSa] fuxeukRed rFkk vkxeukRedA ;qfDr pkgs tSlh Hkh gks]

fuxeukRed ;k vkxeukRed] mlds fu"d"kZ ds fy, izek.k vk/kj&okD; gh gksrs gSaA ij fuxeukRed

;qfDr;ksa ds rdZokD;ksa esa ,slk lEcU/ gksrk gS fd fu"d"kz vk/kj&okD;ksa ls vikfnr gksrs gSaA og

mUgha esa lfUufgr gksrs gSaA tSlsµ^lHkh fp=kdkj dykdkj gSa vkSj eksgu fp=kdkj gS* esa gh ;g

fufgr gS fd êksgu dykdkj gS*A ,slk ugha gks ldrk fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ

vlR;A fuxeukRed ;qfDr;ksa esa fu"d"kZ ds fujis{k :i ls fu'pk;d izek.k vk/kj&okD; gksrs

gSaA blhfy, fuxeukRed ;qfDr;ksa dks oS/ vFkkZr~ fu;ekuqdwy ;k voS/k dgk tkrk gS] 'kq¼ vkSj

v'kq¼ ughaA fuxeukRed ;qfDr rc oS/ gksrh gS tc vk/kj&okD;ksa vkSj fu"d"kZ dk ,slk lEcU/

gks fd vk/kj&okD;ksa dk lR; gksuk furkar vlEHko gS tc rd fd fu"d"kZ Hkh lR; ugha gksA

nwljs 'kCnksa esa ,slk lEcU/ fd tc vk/kj&okD; lR; gksa rks fu"d"kZ dk vlR; gksuk vlEHko

gksA rdZ'kkL=k dk y{; gS muds lEcU/ ds Lo:i dk Li"Vhdj.k rFkk ml rduhd dks crkuk

ftlls oS/ rFkk voS/ ;qfDr;ksa esa Hksn fd;k tk ldsA

vkxeukRed ;qfDr;ksa esa vk/kj&okD;ksa rFkk fu"d"kZ esa oSlk lEcU/k ugh agksrk tSlk fuxeukRed

;qfDr;ksa esa ik;k tkrk gSA blesa fu"d"kZ vk/kj&okD;ksa esa lfUufgr ugha gksrk] tSlsµnks pkj dkSvksa

dks dksyk ikus ij ;g fu"d"kZ fd ^lHkh dkS, dkys gksrs gSaA* ;gk¡ ;g ugh adgk tk ldrk fd

;fn vk/kj&okD; lR; gks rks fu"d"kZ dk vlR; gksuk vlEHko gSA vk/kj&okD; fu"d"kZ ds

izek.k vo'; gSa ij mruk fu'pkRed ugha ftruk fuxeukRed ;qfDr;ksa esa] vr% muesa lEHkkouk

dk lEcU/ gksrk gSA lEHkkouk dh ek=kk gksrh gSA vr% fdlh fu"d"kZ ds lR; gksus dh vf/d

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh8

lEHkkouk gksrh gS vkSj fdlh dh deA blh dkj.k ls foKku esa ,sls fu"d"kZ la[;kr lEcU/ksa ds

}kjk O;Dr fd, tkrs gSaA vkxeukRed ;qfDr;ksa dks oS/ ;k voS/ ugha] vf/d lEHko ;k de

lEHko crk;k tkrk gSA

1-6 lR;k rFkk oS/rk

lR;rk vkSj vlR;k rdZokD;ksa ;k izdFkuksa dh fo'ks"krk,¡ gSaA rdZokD; ;k izdFku lR; ;k vlR; gks ldrs gSaA fiQj ftu okD;ksa esa rdZokD; ;k izdFku O;Dr gksrs gSa vFkkZr~ lwpukFkZd okD;ksa dks Hkh lR; ;k vlR; dgk tk ldrk gSA ij fdlh ;qfDr dks lR; ugh adgk tkrk gSA ;qfDr;ksa dh fo'ks"krk,¡ oS/rk rFkk voS/rkA ;qfDr;k¡ oS/ rFkk voS/ gksrh gSaA dksbZ ;qfDr rc oS/ gksrh gS tc vk/kj&okD;ksa dh lR;rk fu"d"kZ dh lR;rk dks vko';d :i ls vkikfnr djrh gSA bldk vFkZ ;g gqvk fd fdlh oS/ ;qfDr esa dHkh Hkh vk/kj&okD; vkSj fu"d"kZ vlr; ugha gks ldrs vFkkZr~ vk/kj&okD; rkfdZd :i ls fu"d"kZ dk vikfnr djrs gSaA bls rhu izdkj ls dgk tk ldrk gSµ

(i) vk/kj&okD;ksa dh lR;rk vko';d :i ls fu"d"kZ dh lR;rk dks vkikfnr djrh gS]]

(ii) ;g dHkh Hkh ugha lEHko gS fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlr;]

(iii) vk/kj&okD; rkfdZd :i ls fu"d"kZ dks vkikfnr djrs gSaA

vc ;g ns[ksa fd fdlh ;qfDr dh oS/rk ;k voS/rk ls vk/kj&okD;ksa rFkk fu"d"kks± dh

lR;rk ;k vlR;rk dk D;k lEcU/ gksrk gSA

dqN oS/ ;qfDr;ksa ds lHkh rkfdZd okD; lR; gks ldrs gSa] ;Fkkµ

(d) lHkh fp=kdkj dykdkj gSa]

'ksjfxy ,d fp=kdkj gS]

'ksjfxy ,d dykdkj gSA

(d) ;qfDr oS/ gS vkSj blds lHkh rdZokD; lR; gSaA

ij dqN ,slh Hkh oS/ ;qfDr;k¡ gSa ftuds rdZokD; vlR; gSa] ;Fkk]

([k) lHkh ck?k dks lha?k gksrk gS]

([k) ;qfDr Hkh oS/ gS D;ksafd ;fn nksuksa vk/kj&okD;ksa dks lR; eku fy;k tk;s rks fu"d"kZ

Hkh lR; gksxk gkykafd okLro esa ;g lR; ugha gSA fu"d"kZ vkSj vk/kj&okD;ksa esa fu;r vkiknu

dk lEcU/k gSA bl mnkgj.k ls ;g fl¼ gksrk gS fd ;qfDr oS/ Hkh gS rks fu"d"kZ vlR; gks

ldrk gSA blfy, fdlh ;qfDr dh oS/rk mlds fu"d"kZ dh lR;rk dh xkjaVh ugha djrkA

,slh Hkh ;qfDr;k¡ gksrh gSa tks voS/ ij mlds lHkh rdZokD; lR; gSa (fu"d"kZ Hkh)] ;Fkkµ

(x) ;fn vki dqyifr gSa] rks vki izfl¼ gSa]

vki dqyifr ugha gSa]

vr%] vki izfl¼ ugha gSaA

bl ;qfDr ds lHkh rdZokD; lR; gSa] ij ;g voS/ gSA bldh voS/rk Bhd mlh vkdkj dh ;qfDr ls mldh rqyuk djus ij Li"V gks tkrh gSA ;Fkkµ

(?k) ;fn VkVk dqyifr gSa] rks izfl¼ gSa

rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 9

ij VkVk dqyifr ugha gSa]

vr%] VkVk izfl¼ ugha gSA

;g ;qfDr Bhd ;qfDr (x) ds leku gSA dsoy ^vki* 'kCn ds LFkku ij ^VkVk* uke j[k fn;k x;k gSA bl ;qfDr esa nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa ij fu"d"kZ vlR; gSA vr% ;g ;qfDr voS/ gSA blfy, ;qfDr (x) Hkh voS/ gSA

vr% ;qfDr (x) ls ;g fl¼ gksrk gS fd dksbZ ;qfDr voS/ gks ldrh gS ij mlds lHkh rdZokD; lR; gks ldrs gSaA

;qfDr (?k) ls ;g fl¼ gksrk gS fd dksbZ ;qfDr voS/ gks ldrh gS vkSj mldk fu"d"kZ vlR; gks ldrk gSA

1-7 lkjka'k

(i) ;qfDr oS/ jgus ij fu"d"kZ lR; gks ldrk gS (d ;qfDr)

(ii) ;qfDr oS/ jgus ij Hkh fu"d"kZ vlR; gks ldrk gS ([k ;qfDr)

(iii) ;qfDr oS/ jgus ij Hkh fu"d"kZ lR; gks ldrk gS (x ;qfDr)

(iv) ;qfDr oS/ jgus ij fu"d"kZ vlR; gks ldrk gS (?k ;qfDr)

blfy, fu"d"kZ dh vlR;rk ;qfDr dh voS/rk dh xkjaVh ugha gSA ,d gh ckr dh xkjaVh gS fd ;fn fu"d"kZ vlR; gS rks ;k rks dksbZ vk/kj&okD; vlR; gksxk ([k ;qfDr esa) ;k og ;qfDr voS/ gksxh (?k ;qfDr esa)A pw¡fd oS/ ;qfDr esa vk/kj&okD; fu"d"kZ dks vkikfnr djrs gSa] blfy, ;fn vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; rks og ;qfDr voS/ gSA ;fn fdlh ;qfDr esa fu"d"kZ rFkk vk/kj&okD; Hkh lR; gksa vkSj ;qfDr oS/ gks rks mls gj izdkj ls 'kq¼ ;qfDr ekuk tkrk gSA

dksbZ rdZokD; ;k izdFku lR; gS ;k vlR; ,slk iz'u gS] ftldk lEcU/ rF; rFkk okLrfodrk ls gSA fofHkUu rdZokD; ;k izdFku vuqHko ds fofHkUu {ks=kksa ls lEcfU/r gSa ftu lHkh dks rdZ'kkL=kh ugha tku ldrkA blfy, rdZ'kkL=k dk lEcU/ ;qfDr dh oS/rk ls gS] blls lEcU/ gS fd ftu vk/kj&okD;ksa ls fu"d"kZ fuxfer gqvk gS os ml fu"d"kZ ds fy, i;kZIr gSa ;k ughaA

dHkh&dHkh foKkuksa esa ;fn fdlh rdZokD; dh lR;rk dk fuf'pr Kku ugha Hkh gks rks mlls fu"d"kZ fuxfer dj mldk fujh{k.k rFkk iz;ksx ds }kjk ijh{k.k gksrk gSA ;fn fu"d"kZ lR;kiu ds mijkar lR; Bgjrk gS vkSj ;qfDr oS/ gS rks vk/kj&okD; Hkh lR; ekus tkrs gSaA ;fn fu"d"kZ vlr; gS vkSj ;qfDr oS/ gS rks vk/kj&okD; vlR; Bgjrk gSA blfy, oSKkfudksa ds fy, Hkh egRoiw.kZ gS ;g tkuuk fd dksbZ ;qfDr oS/ gS ;k ughaA

1-8 vH;kl iz'u

1. rdZ'kkL=k D;k gS\ blds mi;ksx D;k gSa\

2. dksih ds vuqlkj ;qfDr ds Lo:i dh O;k[;k dhft,A

3. fdlh ;qfDr dh oS/rk vkSj mlds vk/kj&okD;ksa dh lR;rk ds lEcU/ dh O;k[;k

dhft,A

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh10

4. izrhdkRed rdZ'kkL=k D;k gS\ izrhdkRed rdZ'kkL=k ds vè;;u ds ykHk dh O;k[;k

dhft,A

5. îkjEifjd rdZ'kkL=k rFkk izrhdkRed rdZ'kkL=k esa izdkj dk ugha cfYd dsoy ek=kk

dk Hksn gSA* Li"Vhdj.k dhft,A

1-9 oLrqfu"B iz'u

1. fuEufyf[kr ys[kdksa esa ls fdl ,d us ;g dgk fd rdZ'kkL=k dh dsUnzh; leL;k gS

;qfDr;ksa dks vPNs vkSj cqjs oxksZa esa foHkktu djuk\

(d) pkYlZ ilZ ([k) ts-,e- okYMfou

(x) ih-Vh- xhp (?k) xsjh yhp

2. rdZokD;µ

(d) lR; ;k vlR; gksrs gSa ([k) oS/ ;k voS/ gksrs gSa

(x) 'kq¼ ;k v'kq¼ gksrs gSa (?k) mi;qZDr esa ls dksbZ ugha

3. ,slk ugha gks ldrk gS fd ,d oS/ ;qfDr esaµ

(d) vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;

([k) vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ lR;

(x) vk/kj&okD; vlR; vkSj fu"d"kZ lR;

(?k) mi;qZDr esa ls dksbZ ugha

4. fuEufyf[kr esa ls dkSu ,d lR; gS\

(d) izrhdkRed rdZ'kkL=k vjLrwbZ rdZ'kkL=k dk fojks/ djrk gS

([k) izrhdkRed rdZ'kkL=k esa dqN ,slk ugha gS tks vjLrwbZ rdZ'kkL=k esa gks

(x) izrhdkRed rdZ'kkL=k vkSj vjLrwbZ rdZ'kkL=k ,d&nwljs dk fojsk/ ugha djrs

(?k) mi;qZDr esa ls dksbZ lR; ugha gSA

mÙkjµ1. (d)] 2. (d)] 3. (d)] 4. (x)

1-10 lUnHkZ xzUFk

1. fuEu

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 11

bdkbZ 2% ;kSfxd izdFku

lajpuk (Structure)

2-1 çLrkouk

2-2 mn~ns';

2-3 ljy rFkk ;kSfxd izdFku

2-4 la;kstu

2-5 fu"ks/kRe;d izdFku

2-6 fo;kstu

2-7 lksikf/d izdFku

2-8 lksikf/d izdFku

2-9 lR;rk&ewY; fu/kZfjr djus dh fof/

2-10 vH;kl iz'u

2-11 lanHkZ xzaFk

2-1 çLrkouk

;kSfxd izdFkuksa ds fuekZ;d vax Lo;a Hkh ;kSfxd gks ldrs gSa] tSlsµôg ikxr gS ij jke vkSj ';ke ew[kZ gSA* bl ;kSfxd izdFku ds nks vax gSaµ(i) ôg ikxy gS* rFkk (ii) ^jke vkSj ';ke ew[kZ gSaA* buesa izdFku (ii) Lo;a ,d ;kSfxd izdFku gS] blfy, fd mlesa nks vax gSa] (i) ^jke ew[kZ gSa* (ii) ^';ke ew[k gSaA* blfy, ogh vax fdlh izdFku dk fuekZ;d vax gksrk gS] tks fd Lo;a ,d izdFku gks vkSj mlds LFkku ij ;fn dksbZ Hkh nwljk izdFku j[kk tk;s rks Hkh cM+k izdFku vFkZiw.kZ gksA

;kSfxd izdFku esa ^jke rst gS* ,d la;qDr gS vkSj ^jke xjhc gS* nwljk la;qDrA ij ^vkSj* 'kCn ds yxk nsus ls gh dksbZ izdFku ;kSfxd izdFku ugha gks tkrk gS ^vkSj* 'kCn dk iz;ksx nwljh rjg Hkh gksrk gS] tSlsµ^jke vkSj ';ke 'k=kq gSaA* ;g ,d ;kSfxd izdFku ugha gS gkykafd blesa ^vkSj* 'kCn dk iz;ksx gSA ;g ,d ljy izdFku gS ftlesa ,d fo'ks"k lEcU/ dks O;Dr fd;k x;k gSA lksikf/d izdFkuksa esa ;g ugha crk;k tkrk gS fd bldk iwoZorhZ lR; gS ;k vuqorhZ lR; gS ij ek=k bruk gh fd ;fn iwoZorhZ lR; gS rc bldk vuqorhZ Hkh lR; gSA ,sls izdFku iwoZorhZ dh lR; ds lEcU/ esa ugha gSa vkSj dsoy blds fo"k; esa fd iwoZorhZ ls vuqorhZ vkikfnr gSA fdlh Hkh lksikf/d izdFku dk vFkZ iwoZorhZ vkSj vuqorhZ esa tks vkiknu&lEcU/ cryk;k x;k gS ml ij fuHkZj gSA vr% ;g tkuuk vko';d gS fd vkiknu&lEcU/ D;k gS!

2-2 mn~ns';


zljy rFkk ;kSfxd izdFku ds ckjs esa

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh12

zla;kstu rFkk fu"ks/kRe;d izdFku ds fo"k; esa

zfo;kstu vkSj lksikf/d izdFku dh tkudkjh

zlksikf/d izdFku vkSj lR;rk&ewY; fu/kZfjr djus dh fof/

2-3 ljy rFkk ;kSfxd izdFku

ftrus izdFku gSa mUgsa nks oxks± esa ck¡Vk tk ldrk gS] ljy rFkk ;kSfxdA ljy izdFku og gS ftlesa ,d dks NksM+ dksbZ vU; izdFku ugha gksA nwljs 'kCnksa esa ljy rdZokD; ;k izdFku og gS ftlds fuekZ;d vax ds :i esa dksbZ vU; izdFku ugha gks] tSlsµ^xqykc yky gS*] ^;g dqlhZ pkSdksj gS*] vkfnA buesa dsoy ,d&,d izdFku gSA ;kSfxd izdFku og gS] ftlesa ,d ls vf/d izdFku gksaA nwljs 'kCnksa esa] ;kSfxd izdFku og gS ftlds fuekZ;d rRo ds :i esa ,d ls vf/d izdFku gksA nwljs 'kCnksa esa] ;kSfxd izdFku og gS ftlds fuekZ;d rRo ds :i esa ,d ls vf/d izdFku gks]a tSlsµjke dydÙkk tk,xk vkSj ';ke iVuk*] ôg foKku i<+sxk ;k i<+kbz NksM+ nsxk* vkfnA ;gk¡ izR;sd mnkgj.k esa nks&nks izdFku gSaA ^jke dydÙkk tk,xk vkSj ';ke iVuk* esa nks izdFku gSµ(i) jke dydÙkk tk,xk vkSj (ii) ^';ke iVuk tk,xk*] nwljs izdFku esa Hkh nks izdFku gSaµ(i) ôg foKku i<+sxk* ;k (ii) ôg i<+kbZ NksM+ nsxk*A ;kSfxd izdFkuksa esa ,d&ls&vf/d izdFku gksrs gSa ij ;kSfxd izdFkuksa ds fuekZ;d vax Lo;a Hkh ;kSfxd gks ldrs gSa] tSlsµôg ikxr gS ij jke vkSj ';ke ew[kZ gSA* bl ;kSfxd izdFku ds nks vax gSaµ(i) ôg ikxy gS* rFkk (ii) ^jke vkSj ';ke ew[kZ gSaA* buesa izdFku (ii) Lo;a ,d ;kSfxd izdFku gS] blfy, fd mlesa nks vax gSa] (i) ^jke ew[kZ gSa* (ii) ^';ke ew[k gSaA*

Li"V gS fd ;kSfxd izdFku og gS ftudk fuekZ.k dbZ izdFkuksa esa gksrk gS] ij ;gk¡ ;kn j[kus dh ckr ;g gS fd izR;sd izdFku tks fdlh cM+s izdFku dk vax gS] lnk mldk fuekZ;d vax ugha gksrkA ,d mnkgj.k ysa] ^ml dksBjh dh yEckbZ cgqr vPNh gSA* bl cM+s izdfku ls ;fn vkjEHk ds rhu 'kCn gVk fn, tk;sa rks ;d izdFku jg tk,xkµ^yEckbZ cgqr vPNh gSA* og Lo;a ,d izdFku gSaA ij bls ml cM+s izdFku dk fuekZ;d vax ugha dgk tk ldrkA fdlh izdFku ds fdlh vax dks mldk fuekZ;d gksus ds fy, nks ckrsa vko';d gSa]

(i) fd ;g vax Lo;a ,d izdFku gks] vkSj

(ii) fd ;fn ml vax ds LFkku ij dksbZ nwljk izdFku j[k fn;k tk;s rks ml ifjorZu dk

ifj.kke vFkZiw.kZ gksuk pkfg,A

;fn mi;qZDr mnkgj.k esa bu nksuksa 'krks± dks ykxw djsa rks ;g Li"V gksxk fd ^yEckbZ cgqr

vPNh gS* rks vo'; gh Lo;a ,d izdFku gS] ij mlds LFkku ij ,sls izdFku Hkh j[ks tk ldrs

gSa] ftlls cM+k izdFku fujFkZd gks tk,xkA ;fn ^yEckbZ cgqr vPNh gS* ds LFkku ij ^fgeky;

ioZr mQ¡pk gS* j[kk tk;s rks rks cM+k izdFku vFkkZr~ ^ml dksBjh dh fgeky; ioZr cgqr mQ¡pk

gS*µfujFkZd gks tk,xkA blfy, ogh vax fdlh izdFku dk fuekZ;d vax gksrk gS] tks fd Lo;a

,d izdFku gks vkSj mlds LFkku ij ;fn dksbZ Hkh nwljk izdFku j[kk tk;s rks Hkh cM+k izdFku

vFkZiw.kZ gksA

ljy izdFkuksa dks fofHkUu fof/;ksa ls lEcfU/r dj] ;kSfxd izdFku dh jpuk dh tkrh gSA

(i) ^jke vkSj ';ke rst gSA* blesa ^jke rst gS* vkSj ^';ke rst gS* dk la;kstu gSA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 13

(ii) ôg ew[kZ gS ;k cnek'kA* blesa ôg ew[kZ gS* vkSj ôg cnek'k gS* dk fo;kstu gSA

(iii) ^;fn ijek.kq ce cusxk rks fo'o;q¼ gksxkA* blesa îjek.kq ce cusxk* rFkk ^fo'o;q¼

gksxk* esa vkiknu lEcU/ gSA

(iv) ^jke rst ugha gSA* blesa ^jke rst gS* dk fu"ks/ fd;k x;k gSA

;s pkjksa izdFku ;kSfxd izdFku gSa ij pkjksa esa fofHkUu ljy izdFkuksa dks fHkUu izdkj ls

lEcfU/r fd;k x;k gSA bl izdkj ;kSfxd izdFku pkj izdkj ds gks tkrs gSaµla;kstu] fo;kstu]

vkiknu rFkk fu"ks/dA

2-4 la;kstu

la;kstu nks ;k nks ls vf/d ljy izdFkuksa ds chp ^vkSj* rFkk ^rFkk* 'kCn yxkdj ,d ;kSfxd

izdFku dh jpuk dh tkrh gS] tSlsµ(i) ^dqlhZ cSBus dh lkexzh gS vkSj dye fy[kus dh* (ii) ^jke rst gS rFkk og xjhc gS*µnksuksa ;kSfxd izdFku gSaA nks ;k nks ls vf/d izdFkuksa dks ^vkSj*

;k ^rFkk* vkfn yxkdj lEcfU/r djus ij ftl ;kSfxd izdFku dh jpuk dh gksrh gS] mls

^la;kstu* dgrs gSaA ftu ljy izdFkuksa dks bl rjg feyk;k tkrk gS] mUgsa ^la;qDr* dgk tkrk

gSA igys ;kSfxd izdFku esa ^dqlhZ cSBus dh lkexzh gS* ,d la;qDr gS vkSj ^dye fy[kus dh

lkexzh gS* nwljk la;qDrA nwljs ;kSfxd izdFku esa ^jke rst gS* ,d la;qDr gS vkSj ^jke xjhc

gS* nwljk la;qDrA ij ^vkSj* 'kCn ds yxk nsus ls gh dksbZ izdFku ;kSfxd izdFku ugha gks tkrk

gS ^vkSj* 'kCn dk iz;ksx nwljh rjg Hkh gksrk gS] tSlsµ^jke vkSj ';ke 'k=kq gSaA* ;g ,d ;kSfxd

izdFku ugha gS gkykafd blesa ^vkSj* 'kCn dk iz;ksx gSA ;g ,d ljy izdFku gS ftlesa ,d

fo'ks"k lEcU/ dks O;Dr fd;k x;k gSA nks izdFkuksa dks la;ksftr :i esa lEcfU/r djus ds fy,

^vkSj* rFkk ^rFkk* ds fy, fof'k"V izrhd ^z* fcUnq dk iz;ksx fd;k tkrk gS] tSlsµ^dqlhZ cSBus

dh lkexzh gS vkSj dye fy[kus dh* = ^dqlhZ cSBus dh lkexzh gS* z ^dye fy[kus dhA* ;fn

p vkSj q dks ljy izdFku ekusa rks budk la;kstu gksxk ^p z q* fgUnh ;k vaxzsth esa ^vkSj* ds

vfrfjDr vU; 'kCn tSlsµ^flok;*] ^vkSj Hkh*] ^fiQj Hkh*] ^ysfdu*] ^;|fi*] ^rks Hkh*] vkfn dk

Hkh iz;ksx la;kstu esa gksrk gS] vr% mudk izrhd fcUnq ^z* gh gksxkA

1. lR;rk&ewY;µ;fn dksbZ esjs gkFk ds :eky dk ewY; tkuuk pkgs rks eSa iQkSju ;g

tkuuk pkgw¡xk fd êwY; fdl n`f"V ls\* ftlus iSlksa esa ;g :eky cktkj esa feyrk gS og bldk

,d ewY; gSA ij ;fn ;g fdlh e`r fe=k dk fn;k gqvk fpÞu gks rks ml n`f"V ls bldk ewY;

nwljk gks tkrk gSA blfy, ewY; vkadus ds fy, lnk dksbZ vk/kj gksrk gSA gc ;gk¡ iz'u gS fd

izdFkuksa dk] tks lR; ;k vlR; gks ldrs gSa] bl n`f"V ls D;k ewY; gS] vFkkZr~ os lR; gSa ;k

vlR; gSa\ ;fn os lR; gS rc lR;rk dh n`f"V ls budk ewY; ^lR;* gksxk vkSj ;fn os vlR;

gSa] rc lR;rk dh n`f"V ls mudk ewY; ^vlR;* gksxkA lR;rk dks vk/kj ekudj fdlh izdFku

dk ewY; crkuk mldk lR;rk&ewY; crkuk dgk tkrk gSA

izR;sd izdFku ;k rks lR; gksrk gS ;k vlR;A lR; izdFku dk lR;rk&ewY; ^lR;* gksrk gS

rFkk vlR; izdFku dk lR;rk&ewY; ^vlR;* gksrk gSA fdlh ;kSfxd izdFku dks lR;rk&ewY; ds

vk/kj ij nks Hkkxksa esa ck¡Vk tk ldrk gSA dqN ;kSfxd izdFku ,sls gksrs gSa] ftudk lRr;&ewY;

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh14

muds fuekZ;d izdFkuksa ij fuHkZj ugha gksrkA tSlsµêsjk fo'okl gS fd yksgk lksus ls Hkkjh gksrk

gSA* bl ;kSfxd izdFku dk lR;rk&ewY; blds fuekZ;d ljy izdFku ^yksgk lksus ls Hkkjh gksrk

gS* ds lR;rk&ewY; ls Lora=k gSA ;g ljy izdFku lR; gks ;k vlR;] ;fn eq>s ,slk fo'okl gS]

rks ;g lR; gS fd eq>s og fo'okl gS] D;ksafd yksxksa dks xyr vkSj lgh nksuksa izdkj dk fo'okl

jgrk gSA ij dqN ;kSfxd izdFku ,sls gksrs gSa] ftudk lR;rk&ewY; muds fuekZ;d ljy izdFkuksa

ds lR;rk&ewY; ij fuHkZj gksrk gSA la;kstu ds lR;rk&ewY; vkSj muds la;qDr ds lR;rk&ewY;

esa vko';d lEcU/ gSA dksbZ la;kstu rHkh lR; gksrk gS tc mlds lHkh la;qDr lR; gksrs gSaA

tSlsµ^NM+h lh/h gS vkSj Vscqy xksy*µ;g la;kstu rHkh lR; gksxk tc nksuksa la;qDr vFkkZr~ ^NM+h

lh/h gS*] vkSj ^Vscqy xksy gS*] lR; gksaA ;fn muesa ls ,d Hkh vlR; gks ;k nksuksa vlR; gksa

rc la;kstu vlR; gksxkA oSls ;kSfxd izdFku dks] ftldk lR;rk&ewY; mlds fuekZ;d izdFkuksa

ds lR;rk&ewY; ls fu/kZfjr gks] lR;rk&iQyh; ;kSfxd izdFku (Truth functionally Compound Statement) dgk tkrk gS vkSj mlds fuekZ;d izdFkuksa dk lR;rk&ewY;ksa ij fuHkZj gS vkSj lHkh

la;qDr mlds lR;rk&iQyd fuekZ;d vax gSaA

fdlh ;kSfxd izdFku ds ml fuekZ;d rRo dks mldk lR;rk&iQyd rRo dgk tkrk gS]

ftlds LFkku ij tc ml ;kSfxd izdFku esa dksbZ Hkh leku lR;rk ewY; okyk nwljk izdFku

j[kk tk;s] rc tks u;k ;kSfxd izdFku fufeZr gksxk mldk lR;rk&ewY; vkSj igys okys ;kSfxd

izdFku dk lR;rk&ewY; leku gksA mnkgj.kkFkZ ^jke ew[kZ gS vkSj ';ke rst gS* ,d ;kSfxd

izdFku gSA bl ;kSfxd izdFku ds nks fuekZ;d vax gSaµ(i) ^jke eq[kZ gS* vkSj (ii) ^';ke rst gS*A ;g Hkh eku fy;k tk;s fd bu nksuksa ljy izdFkuksa dk lR;rk&ewY; ^lR;* gS] vFkkZr~ os

lR; gSaA vc ;fn nksuksa esa ls fdlh ,d ds LFkku ij dksbZ nwljk izdFku j[kk tk;s] tSlsµîzse

,d vPNk yM+dk gS* gks tk,xk vkSj bldk lR;rk&ewY; ^lR;* gksxkA vc igys vkSj nwljs

;kSfxd izdFkuksa esa lR;rk&ewY; dh n`f"V ls dksbZ vUrj ugha gSA blfy, fdlh Hkh ;kSfxd&izdFku

dks lR;rk&iQyd ;kSfxd izdFku dgk tkrk gS] ftldk lR;rk&ewY; mlds fuekZ;d vaxksa ds

lR;rk&ewY;ksa ij fuHkZj jgrk gSA

pw¡fd la;kstu ,d ;kSfxd izdFku gS vkSj mlds la;qDr lR;rk&iQyd la;qDr gS] vr% bldk izrhd ^z* Hkh lr;&iQyd lEcU/d gSA vc ;fn nks fn;s x;s izdFku ^p* vkSj ^q* gksa rks muds fliQZ pkj izdkj ds lR;rk&ewY; lEHko gSa vkSj izR;sd fLFkfr esa la;kstu dk lR;rk&ewY; vius :i ls fu/kZfjr gksrk gSA p vkSj q ds lR;rk&ewY; fuEukafdr pkj izdkj ds gks ldrs gSaµ

(i) ml n'kk esa tc p lR; gS vkSj q lR; gS] ^p z q* lR; gksxk]

(ii) ml n'kk esa tc p lR; gS vkSj q vlR; gS] ^p z q* vlR; gksxk]

(iii) ml n'kk esa tc p vlR; gS vkSj q lR; gS] ^p z q* vlR; gksxk]

(i) ml n'kk esa tc p vlR; gS vkSj q vlR; gS] ^p z q* vlR; gksxkA

;fn lR;rk&ewY;ksa] ^lR;* ,oa ^vlR;*] dks Øe'k% ^T* ,oa ^F* ls ladsr djsa] rks ^p z q* la;kstu dk lR;rk&ewY; fuEufyf[kr lR;rk&lkj.kh ls Li"V fd;k tk ldrk gSA

p q p z qT T TT F F

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 15

F T FF F F

pw¡fd ;g lkj.kh ^p* ^p* dh izR;sd n'kk esa lR;rk&ewY; dk fu/kZj.k djrh gS] blfy, bls fcUnq izrhd ^z* dh ifjHkk"kk ekuk tk ldrk gSA

lkjka'kµdksbZ la;kstu ;fn lR; gS rks mlds lHkh la;qDr vo'; lR; gksaxsA

la;kstu dh lR;rk lkj.kh cukus dh fof/µftl ;kSfxd izdFku dh lR;rk lkj.kh dh jpuk djuh gks mlds fuekZ;d rRoksa dks ,d iafDr esa flyflysokj (vFkkZr~ igys ^p* rc ^q* rc ^r* bR;kfn) fy[ksa vkSj mlds ckn la;kstu dksA ^p z q* dh lR;rk&lkj.kh cukuh gSA blds fuekZ;d rRo gSa ^p* vkSj ^q* vkSj la;kstu ^p z q*A vr% igys ,d iafDr esa ^p* rc ^q* vkSj vUr esa ^p z q* fy[ksaA iafDr;ksa dh la[;k fuekZ;d rRoksa dh la[;k ij fuHkZj gSA ;fn fuekZ;d rRo nks gSa rks iafDr;k¡ gksaxh 22 = 4] ;fn 3 rc 23 = 8A ;fn 4 rc 24 = 16A ;gk¡ fuekZ;d rRo 2 gSa] ^p* vkSj ^q* blfy, pkj iafDr;k¡ gksaxhA rc fuekZ;d rRoksa esa tks lcls nkfguh vksj gks ml LrEHk ds uhps ckjh&ckjh ls T rFkk F fy[ksa (TFTF)A fiQj mlds igys okys LrEHk ds uhps ckjh&ckjh ls tksM+s&tksM+s T vkSj F (TTFF)A ;fn ,d vkSj fuekZ;d rRo gks rks mlds LrEHk ds uhps pkj&pkj T vkSj F ckjh&ckjh ls (TTTTFFFF) fy[ksa] bl rjg nqxquk djrs tk,¡A ;gk¡ fuekZ;d rRo nks gh gSa] blfy, ^q* ds LrEHk ds uhps TFTF vkSj ^p* ds LrEHk ds uhps TTFF gksxkA vc la;kstu rHkh lR; gksxk ;fn nksuksa la;qDr lR; gksaA ,slk dsoy igyh iafDr esa gSA vr% la;kstu ds LrEHk esa igyh iafDr esa ^T* vkSj vU; iafDr;ksa esa ^F* vafdr djsaA

2-5 fu"ks/kRe;d izdFku

fuekZ;d izdFku dk fu"ks/ djds Hkh ;kSfxd izdFku dh jpuk dh tkrh gS] tSlsµ^;g ckr ugha

fd jke vehj gSA* ;g izdFku ;kSfxd izdFku gS] D;ksafd blesa fuekZ;d ljy izdFku ^jke

vehj gS* dk fu"ks/ fd;k x;k gSA fu"ks/ dks O;Dr djus ds dbZ :i gSa] tSlsµ^;g xyr gS

fd jke vehj gS*] ;g lR; ugha gS fd jke vehj gS] jke vehj ugha gS] ^jke dnkfi vehj

ugha gS* bR;kfnA fu"ks/ dk O;k?kkrd ds fy, ^~* (dqfVy ;k Tilde ;k curl) izrhd dk iz;ksx

fd;k tkrk gSA tSlsµ;g ckr ugha gS fd jke vehj gS = ~ (jke vehj gS)A ;fn ^p* dksbZ ,d

izdFku gks rks mldk fu"ks/ ^~p*A

fu"ks/ ;k lR;rk&ewY;µpw¡fd fdlh lR; izdFku dk fu"ks/ vlR; gksrk gS vkSj vlR;

izdFku dk fu"ks/ lR;] blfy, dqfVy izrhd (~) dh ifjHkk"kk fuEukafdr lR;rk&lkj.kh ls dj

ldrs gSaµ

p ~ pT TF T

[~p dh lR;rk&lkj.khµ;gk¡ ,d gh fuekZ;d rRo gS] vr% 21 = 2 iafDr;k¡ gksaxhA ,d

gh iafDr esa ^p* fiQj ^~p* vafdr dj nsaA vc igys LrEHk esa vFkkZr~ ^p* ds uhps T, fiQj F vafdr djsaA vc ^p* ;fn ^T* gS rks ^~p*] ^F* vkSj ;fn ^p*, ^F* gS rks ^~p* ^T* gksxkA ;g nwljs LrEHk esa vafdr djsA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh16

2-6 fo;kstu

dHkh nks ;k nks ls vf/d izdFkuksa dks ^;k*] ôk* êither-or* yxkdj fo;ksftr :i ls lEcfU/r

fd;k tkrk gS] tSlsµjke eq[kZ gS ;k cnek'k gSA ,sls izdFku Hkh ;kSfxd gksrs gSaA bUgsa fo;kstu

dgk tkrk gSA ftu ljy izdFkuksa dks bl izdkj lEc¼ fd;k tkrk gS] mUgsa fo;qDr ;k fodYi

dgk tkrk gSA ^jke ew[k gZ ;k cnek'k gS*] fo;kstu gS ^jke ew[k gS* rFkk ^jke cnek'k gS* nksuksa

ljy izdFku blds fodYi gSaA ^;k*] ôk* 'kCnksa dk iz;ksx nks :iksa esa gks ldrk gSµ

(i) ^jke ew[kZ gS ;g cnek'k gSA* bl izdFku dk vFkZ gS fd blds nks fodYiksa esa ,d

vo'; lR; gksxkA jke ;k rks ew[kZ gksxk ;k og cnek'k gksxkA ij og nksuksa Hkh gks ldrk gS]

ew[kZ Hkh vkSj cnek'k HkhA ;g ^;k* 'kCn dk fucZy ;k lekos'k vFkZ gSA

(ii) ^;g xqykc yky gS ;k ikyk gS*A bl fo;kstu dk igys vFkZ ls fHkUu vFkZ gSA bldk

igys dh Hkk¡fr ;g vFkZ vo'; gS fd nksuksa fodYiksa esa ,d vo'; lR; gksxk vFkkZr~ ;g xqykc

^yky* ;k îhyk* esa ls dksbZ ,d vo'; gksxk ij ^yky* nksuksa ugha gks ldrk gSA ^;k* dk ;g

vFkZ lcy ;k O;koÙkZd dgk tkrk gSA

nksuksa vFkks± esa vUrj ;g gS fdµ

(i) igys esa] de&ls&de ,d fodYi vo'; lR; gksxk] ij nksuksa Hkh lR; gks ldrs gSaA

(lekos'kh ;k fucZy vFkZ)

(ii) nwljs esa] de&ls&de ,d fodYi vo'; lR; gksxk] ij nksuksa lR; ugha gks ldrs

gSa( (O;koÙkZd ;k lcy vFkZ)

nksuksa vFkZ fHkUu rks gSa] ij ,d ckr leku gS fd fo;kstu esa de&ls&de ,d fodYi

vo'; lR; gksxkA vr% lekos'kh fo;kstu dk ;g iw.kZ vFkZ gqvk ij O;koÙkZd fo;kstu dk

vkaf'kd vFkZA ySfVu Hkk"kk esa ^Hksy (Vel)* 'kCn ^;k* ds lekos'kh vFkZ dks O;Dr djrk gS vkSj

^vkWV* 'kCn ^;k ds O;koÙkZd vFkZ dksA* izpfyr :i esa ^Hksy* 'kCn ds izFke v{kj ^V* ;k ôst

(wedge)* dk lekos'kh ^;k* ds izrhd ds :i esa ekuk x;k gSA tSlsµjke ew[k gS ;k cnek'k = jke ew[kZ gS v cnek'kA ;fn p vkSj q ljy izdFku gksa rks mudk lekos'kh fo;kstu gksxk ^p v q*A

fo;kstu dk lR;rk&ewY;µ^v* izrhd] gS] ftls ^dhye (wedge)* dgk tkrk gS ,d

lR;rk&iQyd lEcU/d gS vFkkZr ftl izdFku esa ;g izrhd gS mldk lR;rk&ewY; mlds

fodYiksa ds lR;rk&ewY; ij fuHkZj gSA fo;kstu ds lR;rk&ewY; fuEu lR;rk&lkj.kh ds }kjk

O;Dr fd;k tkrk gSµ

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

[;fn ,d fodYi vlr; gS vkSj nwljk lR; ;k nksuksa fodYi lR; gksa] rks fo;kstu dk

lR;rk&ewY; lR; gksxk ij ;fn nksuksa fodYi vlR; gksa rks fo;kstu dk lR;rk&ewY; vlR; gksxkA]

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 17

pw¡fd ;g lR;rk&lkj.kh fo;kstu ds] gj n'kk esa] lR;rk&ewY; O;Dr djrh gS] blfy, bls

lR;rk&iQyd lEcU/d ^v* dh ifjHkk"kk ekuk tk ldrk gSA

O;koÙkZd fo;kstu esa de&ls&de ,d fodYi vo'; lR; gksrk gS vkSj nwljk vlR;A

nksuksa fodYi lR; ugha gks ldrsA blfy, mldk izrhdkRed :i gksxkA

(p v q) z ~ (p z q)

[p v q dh lR;rk&lkj.kh cukus dh fof/µ;gk¡ p v q dh lR;rk&lkj.kh cukuh gS

ftlds fuekZ;d izdFku gSa ^p* rFkk ^q*/p rFkk q dks mQij ,d iafDr esa fy[ksaA mlh iafDr esa

p v q vafdr dj nsaA ;gk¡ fuekZ;d vax nks gSaA blfy, 22 = 4 iafDr;k¡ gksaxhA vc ljy izdFkuksa

esa ^q* ^p* ds ckn ds ckn gS blfy, mlds uhps ckj&ckjh ls T vkSj F fy[ksaA vr% ^q* ds

LrEHk esa TFTF gksxkA fiQj ^p* LrEHk esa ckjh&ckjh ls tksM+s&tksM+s T rFkk F fy[ksaA blfy, ^p* ds LrEHk esa TTFF gksxkA vc ^p* rFkk ^q* ds fo;kstu dk ewY; fudkysaA blesa ;fn nksuksa

fuekZ;d rRo vlR; gksa rHkh fo;kstu vlR; gksxk vU;Fkk lR;A blfy, fo;kstu esa dsoy ,d

gh fLFlfr esa ;g vlR; gksxk ;fn nksuksa fuekZ;d vax v;R; gksaA

dks"Bdksa dk iz;ksxµvLi"Vrk dks nwj djus ds fy, Hkk"kkvksa esa fojke fpÞu dk vkSj

xf.kr esa dks"Bdksa dk iz;ksx fd;k tkrk gSA ;fn ;s fojke fpÞu ;k dks"Bd ugha jgsa rks fdlh

vfHkO;fDr dk fuf'pr vFkZ ugha gks ldrkA ^csVk u csVh* vfHkO;fDr ds nks vFkZ gks ldrs gSa]

^csVk] u csVh* ;k ^csVk u] csVh*A bl izdkj 6 + 3 3 dk iQy ‘9 3 = 3’ ;k ^6 + 1 = 7* gks ldrk gSA gks ldrk gSA izrhdkRed rdZ'kkL=k dh Hkk"kk dh nq:grk dks nwj djus ds fy,

dks"Bdksa ds iz;ksx dh vko';drk gksrh gSA ^p z q v r* dFku esa vLi"Vrk gSA blds nks vFkZ gks

ldrs gSa] (i) ^p* dk ^q* v ^r* ds lkFk la;kstu ;k (ii) ^p z q* dk ^r* ds lkFk fo;kstuA ;fn

^p* vkSj ^q* nksuksa vlR; gksa vkSj ^r* lR; rks (i) dk lR;rk ewY; ^F z (F v T) = F z T = F (v;R;)* gksxk vkSj nwljs dk ^(F z F) v T = F v T= T (lR;)*A blfy, nksuksa vfHkO;fDr;ksa

esa dks"Bdksa dk iz;ksx gksrk gSA

(i) p z (q v r)

(ii) (p z q) v r

izrhdkRed rdZ'kkL=k esa y?kq dks"Bd rFkk o`gr~ dks"Bd dk iz;ksx gksrk gSA ij bu fpÞuksa

dh la[;k de djus ds fy, ge fdlh pyu dk ikyu djrs gSaA tSls ^~ p v q* dk vFkZ gks

ldrk gS ^~ p v q* ;k ^~ (p v q)*A ij bl pyu ds vuqlkj fdlh vfHkO;fDr ds lcls NksVs

va'k ij gh VhYMs ^~* izrhd ykxw gksxkA ^~p v q* = (~ p) v q u fd ^~(p v q)*A

vaxzsth ds ‘Either’ 'kCn dk iz;ksx dbZ izdkjls gksrk gSA dHkh&dHkh bldk iz;ksx la;kstu

ds vFkZ esa Hkh gksrk gS] tSlsµThis work can be done by either boys] ;gk¡ êither* 'kCn ^nksuksa* ds vFkZ esa iz;qDr gqvk gSA dHkh&dHkh êither* ;k ^;k* ^pkgs rks* 'kCn izdFku ds vkjEHk

esa gh yxk fn;k tkrk gS vkSj dHkh fodYiksa ds igysA tSlsµÊither India goes nuclear or the country will be defeated in the war*] ^The rose is either red or yellow*] ^;k rks ge

iVuk tk,axs ;k dksydkrk*] ôg ;k rks ew[kZ gS ;k cnek'k*A la;kstuksa esa Hkh la;kstu 'kCn dk

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh18

dbZ izdkj ls iz;ksx gksrk gSA

fo;kstu dk fu"ks/ izk;% ^neither-nor* ;k û rks&u* vkfn vfHkO;fDr;ksa ds }kjk gksrk gSA

^bl dke dks ;k rks eksgu djsxk ;k ';ke* fo;kstu dk fu"ks/ bl dFku ls gksrk gS fd ^bl

dke dks u rks eksgu djsxk u ';ke*A fo;kstu dk izrhdkRed :i gS A v B vkSj blds fu"ks/

dk ~ (A v B) ;k ~ A z ~ B.

vaxzsth ds ^both* 'kCn ds fHkUu iz;ksx gSaA

1. Ram and Shyam will not both do this.

2. Ram and Syham will both not do this.

igys dk izrhdkRed :i gksxk ~ (A z B) vkSj nwljs dk (~A) z (~B)A

Ûnless, Until* 'kCnksa dk iz;ksx Hkh nks dFkuksa ds fo;kstu dks O;Dr djus esa fd;k tkrk

gSA ^He will pas unless he falls ill*, dk vFkZ gksxk % Either he falls ill, or he will pass, vr% bldk izrhdkRed :i Î v P* gSA

mi;qZDr fof/;ksa esa fofHkUu izdkj ds ;kSfxd izkdFkuksa dks izrhdkRed :i gks ldrk gSA

ftl ;kSfxd izdFku dh jpuk lR;rk&iQyd lEcU/dksa ds }kjk ljy izdFkuksa dks lEcfU/r djus

ls gksrh gS] mldk lR;rk&ewY; mlds fuekZ;d lHkh ljy izdFkuksa ds lR;rk&ewY; ij fuHkZj

gSA mnkgj.kkFkZµ;fn A vkSj B dks lR; izdFku vkSj X vkSj Y dks vlR; izdFku eku ysa rks

fuEufyf[kr fof/ ls ~[(~A v X) v ~ (B z Y)] dk lR;rk&ewY; fudysxkµ

pw¡fd B lR; vkSj Y vlR; gS] ^B z Y* vlR; gksxk vkSj ~(B z Y) lR;] pw¡fd A

lR; gS vkSj X vlR;] ~ A v X, vlR; gksxk] blfy, vlR; v lR;] lR; gksxkA vc ~ lR;] vlR; gksxkA

2-7 lksikf/d izdFku

;fn dksbZ izdFku fdlh vU; izdFku ij vkfJr cryk;k tk;s rks og ,d lksikf/d izdFku

gS] tSlsµ;fn ijh{kk 'kh?kz gksxh] rks og iQsy djsxkA ;g ,d ;kSfxd izdFku gSA blesa ôg iQsy

djsxk* izdFku îjh{kk 'kh?kz gksxh* izdFku ij fuHkZj cryk;k x;k gSA ;g ,d lksikf/d izdFku

gSA ,sls ;kSfxd izdFku dks gsRokfJr ;k vkiknukRed izdFku dgk tkrk gSA blds nks fuekZ;d

vax gksrs gSa] ,d tks mikf/ dks O;Dr djrk gS] tSlsµ^;fn ijh{kk 'kh?kz gksxh* vkSj nwljk] tks ml

mikf/ ij fuHkZj cryk;k tkrk gS] tSlsµôg iQsy djsxk*A og fuekZ;d vax rks mikf/ gS vkSj tks

^;fn&rc* ds chp esa gksrk gS mls iwoZorhZ ;k vkiknd vkSj og tks ml mikf/ ij fuHkZj ekuk

x;k gS vkSj tks rc ds ckn vkrk gS mls vuqorhZ ;k vkik| dgk tkrk gSA lksikf/d izdFkuksa

esa ;g ugha crk;k tkrk gS fd bldk iwoZorhZ lR; gS ;k vuqorhZ lR; gS ij ek=k bruk gh fd

;fn iwoZorhZ lR; gS rc bldk vuqorhZ Hkh lR; gSA ,sls izdFku iwoZorhZ dh lR; ds lEcU/

esa ugha gSa vkSj dsoy blds fo"k; esa fd iwoZorhZ ls vuqorhZ vkikfnr gSA fdlh Hkh lksikf/d

izdFku dk vFkZ iwoZorhZ vkSj vuqorhZ esa tks vkiknu&lEcU/ cryk;k x;k gS ml ij fuHkZj gSA

vr% ;g tkuuk vko';d gS fd vkiknu&lEcU/ D;k gS!

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 19

;fn fofHkUu lksikf/d izdFkuksa dk ijh{k.k fd;k tk;s rks Li"V gksxk fd muesa fHkUu&fHkUu

izdkj ds vkiknu O;Dr gSaA mnkgj.kkFkZ] pkj lksikf/d izdFku ysaµ

1. ;fn ;g vkdkj f=kHkqt gS rks blesa rhu Hkqtk,¡ gksaxhA

2. ;fn jke ew[kZ gS] rc og /ks[kk [kk,xkA

3. ;fn lksuk dks lksgkxk esa Mkyk tk;s rks og pedsxkA

4. ;fn teZuh thrsxk rks eSa lc ck¡V nw¡xkA

igys lksikf/d izdFku esa ;fn ;d vkdkj f=kHkqt gS] rks blesa rhu Hkqtk,¡ gksaxh] vuqorhZ

iwoZorhZ ls ^f=kHkqt* dh ifjHkk"kk ds vk/kj ij gh fuxfer gksrk gSA f=kHkqt dh ifjHkk"kk gS fd

mlesa rhu Hkqtk,¡ gksrh gSaA

nwljs lksikf/d izdFku esa vuqorhZ iwoZorhZ ls rkfdZd :i ls fuxfer gksrk gSA iwoZorhZ vkSj

vuqorhZ esa vko';d lEcU/ ugha gSA êq[kZ gksus* vkSj ^/ks[kk [kkus* esa vko';d lEcU/ ugha gSA

rhljs lksikf/d izdFku esa tks iwoZorhZ vkSj vuqorhZ esa lEcU/ gS og rkfdZd ;k ifjHkk"kh;

ugha gSA nksuksa esa dk;Z&dkj.k lEcU/ gS tks vuqHko ds }kjk LFkkfir fd;k x;k gSA

pkSFks mnkgj.k esa iwoZorhZ vkSj vuqorhZ esa u ifjHkk"kh;] u rkfdZd vkSj u dkj.k&lEcU/

gSA blesa oDrk us ;g O;Dr fd;k gS fd fdlh fo'ks"k ifjfLFkfr esa mldk O;ogkj dSlk gksxkA

;fn teZuh thr x;k rks ;g mldk fu.kz; gs fd lc ck¡V nsxkA vr% blesa vkiknu&lEcU/

fu.kZ;kRed gSA

bu mnkgj.kksa ls ;g Li"V gS fd dbZ izdkj ds vkiknu gksrs gSa ftUgsa ^;fn&rc* 'kCn ds

}kjk O;Dr fd;k tkrk gSA vc gesa ;g ns[kuk gS fd buesa dksbZ vkaf'kd lerk gS ;k ugha tSlk

geus fo;kstu ds nks :iksa esa ik;k FkkA

igys lksikf/d izdFku esa]

1. ;fn iwoZorhZ lR; gS rks vuqorhZ Hkh lR; gS vkSj ;fn iwoZorhZ vlR; gS rks vuqorhZ

Hkh vlR; gSA

(d) ;fn ,d vkdkj f=kHkqt gS rks blesa rhu Hkqtk,¡ gksaxh]

;g vkdkj f=kHkqt gS] (lR;)

blesa rhu Hkqtk,¡ gSaA (lR;)

([k) ;fn ,d vkdkj f=kHkqt gS rks blesa rhu Hkqtk,¡ gksaxh]

;g vkdkj f=kHkqt ugha gS]

blesa rhu Hkqtk,¡ ugha gSaA

ij] ^;g vkdkj f=kHkqt gS vkSj blesa rhu Hkqtk,¡ ugha gSa* vlR; gSA

nwljs esa]

2. ;fn iwoZorhZ lR; gS rks vuqorhZ Hkh lR; gS ij ;fn iwoZorhZ vlR; gS rc vuqorhZ

dk vlR; gksuk vko';d ugha gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh20

(d) ;fn jke ew[kZ gS rc og /ks[kk [kk,xk]

jke ew[kZ gS] (lR;)

og /ks[kk [kk,xkA (lR;)

([k) ;fn jke ew[kZ gS rc og /ks[kk [kk,xk]

jke ew[kZ ugha gS]

og /ks[kk ugha [kk,xkA (\)

/ks[kk vU; otgksa ls Hkh gks tk ldrk gSA

ij ^jke ew[kZ gS vkSj og /ks[kk ugha [kk,xk* vlR; gSA

3. ;fn iwoZorhZ lR; gks rks vuqorhZ Hkh lR; gS ij ;fn iwoZorhZ vlR; gks rks vuqorhZ

dk vlR; gksuk vko';d ugha gSA

(d) ;fn lksuk lksgkxk esa Mkyk tk;s rks og pedsxk]

lksuk lksgkxk esa Mkyk tk;sA (lR;)

lksuk pedsxkA (lR;)

([k) ;fn lksuk lksgkxk esa Mkyk tk;s] rks og pedsxk]

lksuk lksgk esa ugha Mkyk tk;s]

lksuk ugha pedsxkA (\)

ij ^lksuk lksgkxk esa Mkyk x;k vkSj og ugha pedk* vlR; gSA

lksgkuk ds vfrfjDr vU; midj.kksa ls Hkh lksuk ped ldrk gSA

4. ;fn iwoZorhZ lR; gks rks fu.kZ; ds vuqlkj vuqorhZ Hkh lR; gksxk ij ;fn iwoZorhZ

vlR; gks rks vuqorhZ dk vlR; gksuk vko';d ugha gSA

(d) ;fn teZuh thrsxk rks eSa lc ck¡V nw¡xkA

teZuh thr x;kA

eSa lc dqN ck¡V nw¡xkA (lR;)

([k) ;fn teZuh thrsxk rks eSa lc ck¡V nw¡xkA

teZuh ugha thrkA

eSa lc ugha ckVw¡xk (\)

ij ^teZuh thr x;k vkSj eSaus lc ugha ck¡Vk* vlR; gksxkA

pkjksa izdFkuksa esa Hksn gS ij muesa vkaf'kd lerk Hkh gS fd ^;fn iwoZorhZ lR; gS rks vuqorhZ

Hkh lR; gSA* fdlh Hkh lksikf/d izdFku esa ;g 'krZ ykxw gSa ;fn iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ

vlR; gS rks fdlh izdkj dk lksikf/d izdFku gks og vlR; gksxkA blfy, fdlh lksikf/d

izdFku esa fdlh izdkj dk vkiknu&lEcU/ gks] ;g vko';d gS fd ;fn iwoZorhZ lR; gS rks

vuqorhZ Hkh lR; gksxk] fiQj muesa D;k vkaf'kd lekurk gS blls Hkh Kkr gksrk gS fd dc vkSj

dSls ;s lHkh izdFku vlr; gks ldrs gSaA ;g rHkh vlR; gksxk ;fn iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 21

vlR;A lksikf/d izdFkuksa dk ;gh vkaf'kd vFkZ gSA dksbZ lksikf/d izdFku rc vlR; gksxk

^;fn iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ vlR;*A izrhdksa ds }kjk Hkh bls O;Dr fd;k tk ldrk gSA

dksbZ lksikf/d izdFku ^;fn p rc q* rc vlR; gksxk tc ^p z ~ q* lR; feysA blfy, bls la;kstu dk ;fn fu"ks/ gks rc ;g lksikf/d izdFku lR; gksxk vFkkZr~ ~ (p z ~ q) ;fn gks rcA

(p z ~ q) ;fn lR; gS rks lksikf/d izdFku vlR; gSA

~ (p z ~ q) ;fn lR; gS rks lksikf/d izdFku lR; gSA

fo;kstu esa Hkh geus ik;k Fkk fd mlds nks :i gksrs gSa] muesa ,d vFkZ esa vkaf'kd lerk

gS fd ,d fodYi vo'; lR; gksrk gS] bl vFkZ ds fy, ^v* izrhd dk iz;ksx fd;k tkrk gS]

;g vFkZ nksuksa izdkj ds fo;kstu ds fy, lR; gSA oSls gh lksikf/d izdFkuksa esa dbZ izdkj ds

vkiknu gksrs gSa] muesa ,d vFkZ esa vkaf'kd lerk gS fd ;fn iwoZorhZ lR; gS rks vuqorhZ lR; gksxkA

bl vkaf'kd vFkZ ds fy, ^* gklZ'kw (horse-shoe) izrhd dk iz;ksx gksrk gSA blfy, ck¡V

^p rc q = p q* ds! ^p q* dk vFkZ gqvk ^~ (p z ~ q)*A ^* lR;rk&iQyd lEcU/d gS

ftldk vFkZ fuEufyf[kr lR;rk&lkj.kh esa O;Dr gksrk gSA

p q ~q p z ~ q ~(p z ~ q) p q

T T F F T T

T F T T F F

F T F F T T

F F T F T T

igys nksuksa LrEHkksa esa nksuksa fuekZ;d izdFku] p vkSj q ds lHkh lEHko lR;rk&ewY; gSa] rhljs]

pkSFks vkSj ik¡posa LrEHk esa Øekuqlkj os Øe ftuls ;kSfxd izdFku ~ (p z ~ q) dk lR;rk&ewY;

fu/kZfjr gksrk gSA ik¡pok¡ vkSj NBk LrEHk ,d gS blfy, fd nksuksa iQkewZyk lekukFkZd gSaA ^*

izrhd vkiknu&lEcU/ ;k ^;fn&rc* dk izrhd ugha gS vfirq] ml lkekU; vkaf'kd vFkZ dk

tks fHkUu izdkj ds vkiknuksa esa ik;k tkrk gS] ftUgsa ge ^;fn&rc* vkfn 'kCnksa esa O;Dr djrs

gSaA [bl lR;rk&lkj.kh ls ;g Li"V gS fd vkiknu ,d gh fLFkfr esa vlR; gksrk gS tc nksuksa

fuekZ;d izdFkuksa esa iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ vlR; (nwljh iafDr esa)]

[;gk¡ p q vFkkZr~ ~ ( p z ~ q) dh lR;rk&lkj.kh cukuh gS] blds fuekZ;d izdFku gSa] vkSj ^q*A ^p* vkSj ^q* dks igys fy[ksaA vc Øe ls mu ljy vaxksa dk ftudk lR;rk&ewY; igys okys izdFkuksa ls fuxfer gks] fy[ksaA ~ ( p z ~ q) dk lR;rk&ewY; fudkyuk gS tks rHkh fudysxk tc ^p z ~ q* dk igys fudysA fiQj ^ p z ~ q* dk rHkh fudysxk tc '~ q' dk fudysA blfy, Øe esa igys '~ q'] fiQj 'p z ~ q' rc ~ ( p z ~ q) vafdr djsa vkSj vUr esa ftldk lR;rk&ewY; fudkyuk gS vFkkZr~ 'p q' fy[k nsaA ;gk¡ nks fuekZ;d vax gSaA blfy, 2 × 2 = 4 iafDr;k¡ gksaxhA vc igys ljy izdFkuksa esa tks vUr esa gks (;gk¡ p vkSj q esa q vUr esa gS p igys) ml LrEHk ds uhps ckjh&ckjs ls T vkSj F fy[ksaA vr% q ds uhps TFTF gksxkA fiQj mlds igys okys ds uhps tksM+s&tksM+s vFkkZr~ nks ckj T rc nks ckj F vafdr djsaA vFkkZr~ p ds uhps TT vkSj FF gksxkA vc rhljs LrEHk esa T ;k F fu;ekuqlkj fy[ksaA rhljs LrEHk esa '~ q' gSA blfy, ;fn 'q' lR; vFkkZr~ T gS rks '~ q' vlR; vFkkZr~ F vkSj ;fn 'q' vlR; (F)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh22

gks rks '~ q' lR; (T) gksxkA fiQj pkSFks LrEHk esa 'p z ~ q' gs rks ;fn 'p' lR; (T) vkSj '~ q' Hkh lR; (T) gS rks p z ~ q lR; 'T' gksxkA bl izdkj la;kstu ds fu;e ds vuqlkj pkSFks LrEHk dks iwjk djsa fiQj ik¡posa LrEHk ds mQij '~ ( p z ~ q)' gS vFkkZr~ 'p z ~ q' dk fu"ks/k blfy, ;fn 'p z ~ q' lR; (T) gS rks '~ ( p z ~ q)' vlR; (F) vkSj 'p z ~ q' vlR; (F) gS rks '~ ( p z ~ q)' lR; (T) gksxkA bl izdkj la;kstu ds fu;e ds vuqlkj pkSFks LrEHk dks iwjk djsa fiQj ik¡posa LrEHk ds mQij gS vFkkZr~ dk fu"ks/ blfy, ;fn lR; gS rks vlR; vkSj vlR; gS rks lR; gksxkA blh ds vuqlkj ik¡posa LrEHk esa T vkSj F vafdr djsaA pw¡fd '~ ( p z ~ q)' = p q vr% tSlk ik¡posa LrEHk esa gS oSlk gh NBs LrEHk esa gksxkA ;gh 'p q' dh lR;rk&lkj.kh dgyk;sxhA]

oLrqxr vkiknu

izrhd ^* vkiknu&lEcU/ dk izrhd ugha gS] u gh ;g ^;fn&rc* dk vFkZ gSA

vkiknu&lEcU/ dbZ izdkj ds gSa] vr% lHkh ds fy, ,d izrhd lEHko ugha gSA ;fn lHkh

vFkks± ds fy, ,d izrhd dk iz;ksx gks rks izdFkuksa esa vusdkFkZdrk nks"k gks tkus dh lEHkkouk

jgsxhA ;g izrhd ^* dsoy fHkUu izdkj ds vkiknu&lEcU/ksa dk vkaf'kd vFkZ gSA bl izdkj

ds vkiknu&lEcU/ dks oLrqxr vkiknu dgk tkrk gSA vr% oLrqxr vkiknu ^;fn&rc* dk

lEiw.kZ vFkZ ugha gSA ;g ml vFkZ dks O;Dr djrk gS tc lc esa gS ij fdlh dk lEiw.kZ vFkZ

ugha gSA bldk vFkZ gS fd okLro esa ;g ugha gS fd iwoZorhZ lR; gks ;fn vuqorhZ vlR; gS

^~ ( p z ~ q)*A ;g vko';d ugha gS fd lHkh lksikf/d izdFku ;k rks rkfdZd ;k ifjHkk"kh;

;k dkj.k&lEcU/ ;k fu.kZ;kRed vkiknu lEcU/ dks O;Dr djrs gksaA bu pkjksa ds vfrfjDr

oLrqxr vkiknu ik¡pok¡ fdLe gSA mnkgj.kLo:i ,d izdFku ysa] ^;fn jke rst gS rks fgeky;

ioZr leqnz gS*A Li"Vr% ;g u rkfdZd] u ifjHkk"kh;] u dkj.k&lEcU/ vk/kfjr vkSj fu.kZ.kkRed

vkiknku&lEcU/ dks O;Dr djrk gSA okLro esa] bl izdkj ds lksikf/d okD;ksa ds }kjk O;axkRed

;k gkL;kRed <ax ls iwoZorhZ dk [kaMu fd;k tkrk gSA pw¡fd ;g Li"V gs fd vuqorhZ ^fgeky;

ioZr leqnz gS* vlR; gS vkSj lksikf/d izdFkuksa esa ^vuqorhZ vlR; vkSj iwoZorhZ lR;* ugha gks

ldrk] vr% iwoZorhZ Hkh vlR; Bgjrk gS vFkkZr~ ^jke rst gS* vlR; Bgjrk gSA pw¡fd vuqorhZ

^fgeky; ioZr leqnz gS* Li"Vr% vlr; gS] ^jke rst gS* dHkh lR; ugha gks ldrkA oLrqxr

vkiknu ls iwoZorhZ rFkk vuqorhZ esa ôkLrfod lEcU/* dk ladsr ugha feyrkA blls ek=k ;g

O;Dr gksrk gS fd okLro esa ;g fLFkfr ugha gS fd iwoZorhZ lR; gS tc vuqorhZ vlR; gSA dqN

vkykspdksa us vkiknu ds bl vFkZ ds fojQ¼ ;g vkifÙk dh gS fd ;g iwoZorhZ vkSj vuqorhZ

ds ;FkkFkZ lEcU/ dks O;Dr ugha djrkA bl vkifÙk ds mÙkj esa ;g dgk tk ldrk gS fd dqN

;qfDr;k¡ ,slh gksrh gSa ftuesa lksikf/d izdFku gksrs gSa vkSj fofHkUu izdkj ds gksrs gSa] fdlh esa

vkiknu ifjHkk"kh; gksrk gS] fdlh esa rkfdZd] fdlh esa dkj.k&lEcU/ ij vk/kfjr vkSj fdlh esa

fu.kZ;kRedA ij mlds fof'kf"V vFkks± dks NksM+ muds vkaf'kd vFkZ (oLrqxr vkiknu) ds vk/kj

ij oS/ ;qfDr;ksa dh oS/rk izekf.kr dh tk ldrh gSA vr% oLrqxr vkiknu dk izrhd ^*

gklZ'kw lHkh dk izfrfuf/Ro djrk gSA

gkWlZ'kw izrhd dks ;k ^p q* dks ge ^;fn p rc q* ^p , q* dks vkikfnr djrk gS* ;k

^p dsoy ;fn q* :iksa esa i<+rs gSaaA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 23

lksikf/d izdFkuksa dks dbZ izdkj ls O;Dr fd;k tkrk gSA ;fn p rc q ds vkdkj ds

izdFku dks ^;fn p, q*] ;fn ^p*] og p vkikfnr djrk gS q*] og p vuqyXu djrk gS ml

q dks] ^p dsoy ;fn q*] og p i;kZIr mikf/ gS ml q dk] ;k q og q dk vko';d mif/

gS ml p dk*] ds }kjk O;Dr fd;k tkrk gS vkSj bu lHkh dk izrhdkRed :i gksxk ^p q*A

;kSfxd izdFkuksa ds Lo:i dk fu.kZ;

;kSfxd rdZokD; ;k izdFku pkj izdkj ds gksrs gSa] la;qDrd] oSdfYid] vkikfnd vkSj

fu"ks/kdA

(i) A z B — la;qDrd

(ii) A v B — oSdfYid

(ii) A B — vkikfnd

(iv) ~ A — fu"ks/d

buesa oSdfYid rFkk vkikfnd rdZokD; nksuksa esa mikf/;k¡ gSa] oSdfYid esa vLi"V rFkk

vkikfnd esa Li"VA

A v B dk vFkZ gS ;fn 'A' ugha rc 'B'A fo'ys"k.k djus ij blesa Hkh mikf/ feyrh gSA

A B esa mikf/ Li"V gS 'A' rc 'B' pw¡fd fo'ys"k.k djus ij lHkh vU; rdZokD;ksa esa

Hkh mikf/ fey ldrh gS] blfy, lqfo/k ds fy, vkikfnd rFkk gsrokfJr rdZokD; dks ftlesa

mikf/ Li"V gS] lksikf/d rdZokD; ;k izdFku dgk tkrk gSA dksbZ okD; bu pkjksa esa dkSu&lk

gS ;g fu.kZ; djus esa ,d&nks ckrksa dk è;ku j[kuk vko';d gSA

(i) dksbZ okD; nwljs okD; ls fdl fpÞu ds }kjk tqM+k gqvk gS] mlh ij mldk Lo:i

fuHkZj gSA ;fn 'A' rFkk 'B' nks rdZokD; gksa rc]

A z B—nksuksa rdZokD; 'A' rFkk 'B' la;qDrd fpÞu 'z' ds }kjk tqM+s gq, gSaA ;g ,d la;qDrd ;kSfxd rdZokD; gSA

A v B—nksuksa rdZokD; Â* rFkk ^B* ^v* ost (fodYid) fpÞu ds }kjk tqM+s gq, gSaA ;g ,d oSdfYid ;kSfxd rdZokD; gSA

A B—nksuksa rdZokD; 'A' rFkk 'B' gklZ'kw (vkikfnd fpÞu '') ds }kjk tqM+s gq, gSaA

;g ,d vkikfnd ;k gsRokfJr ;k lksikf/d rdZokD; gSA

~ A—fdlh rdZokD; ds igys '~' (fu"ks/d) fpÞu jgus ij og ,d fu"ks/d rdZokD; gSA

(ii) ;fn ek=k nks ljy rdZokD; ;k izdFku tqM+s gksa rks ml rdZokD; ds Lo:i dk fu.kZ;

djuk ljy gSA ij ,sls ;kSfxd rdZokD; Hkh gksrs gSa ftuesa nks rdZ&okD; tqM+s jgrs gSa vkSj izR;sd

Lo;a ;kSfxd gksrk gS] tSlsµ

;fn A, B, C, D, E, F vkfn vyx&vyx rdZokD; gksa] rc]

1. [A (B v C)] v [(B v D) z (D v E)]

;g ,d ;kSfxd rdZokD; gS ftlesa nks rdZokD; tqM+s gSa ^[A (B v C)]' rFkk '[(B v D) z (D v E)]* ;gk¡ è;ku ;g nsuk gS fd dks"Bdksa ds vUnj lHkh rdZokD; ,d ;kSfxd rdZokD;

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh24

ds vax gSaA izR;sd rdZokD; Lo;a ,d ;kSfxd rdZokD; gS] tSlsµ[A (B v C)]A blesa ,d

ljy rdZokD; 'A' ds lkFk fiQj ,d ;kSfxd rdZokD; '(B v C)' tqM+k gSA ij cM+s dks"Bdksa ds

vUnj ds izdFku ,d gSa vkSj os 'v' fpÞu ls tqM+s gSaA bl izdkj fn;k gqvk rdZokD; oSdfYid

gSA ,d nwljk mnkgj.k ysaA

2. [(A B) .(A C)] v [(D E) .(E F)] bl rdZokD; esa dbZ rdZokD; vkikfnd fpÞu ^ * ls rFkk dqN la;qDrd fpÞu ^z* ls

tqm=s gSa ij cM+s dks"Bdksa ds vUnj nks rdZokD;]

(d) [(A v B) . (A C)] rFkk([k) [(D E) . (E F)] gSA ;s nksuksa oSdfYid fpÞu ^v* ls tqM+s gSaA vr% lEiw.kZ

;kSfxd rdZokD; oSdfYid gSA

3. [(A v B) v C] {[(C v D) v (E v F) v (G v H)]}

;g rdZokD; lksikf/d ;k vkikfnd gSA igys cM+s dks"Bd ds vUnj ds lHkh rdZokD; ,d

gSa [(A v B) v C] vkSj nwljs dks"Bd ds vUnj ds lHkh rdZokD; {[(C v D) v (E v F) v (G v H)]} ,d nwljkA nksuksa dk lEcU/ vkikfnd fpÞu '' ls gqvk gS] vr% fn;k gqvk rdZokD; (3) lksikf/d ;k vkikfnd gSA

2-8 lksikf/d izdFku

fuEufyf[kr rdZokD;ksa dk Lo:i cryk,¡µ

1. (P Q) [(~ Q z R) ~ (R z P)]

2. (A B) v (~ A C)

3. A {[(A v B) z (~ A v ~ B) v [(C v D) v E]}

4. [(H z K) J] z [~ K v (J z H)]

5. [(O P) Q] v [(S T) v N]

6. C [(~ H v ~ ~ H) (C z H)]

7. P ~ ~ P]

8. (L v N) {[O (O v P)[ (K z M)}

9. {(A B) (C z D) (A B)} v ~ C

10. {[(P z Q) z (R z S)} z [(P z T) z (U z V)]} W

2-9 lR;rk&ewY; fu/kZfjr djus dh fof/

oSls ;kSfxd izdFkuksa ds] ftuds fuekZ;d ljy izdFkuksa ds lR;rk&ewY; Kkr gksa (eku ysa fd

A rFkk B dk lR;rk&ewY; lR; gks vkSj X rFkk Y dk vlR;)] lR;rk&ewY; fu/kZfjr djus

dh viuh fof/ gksrh gSµ

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 25

fdlh ;kSfxd izdFku ds lR;rk&ewY; dks fu/kZfjr djus esa loZizFke ;g ns[ksa fd fn;k

gqvk ;kSfxd izdFku la;kstu rFkk fo;kstu ;k vkiknu gSA blds fy, ;fn vyx&vyx dks"Bdksa

esa vyx&vyx izdFku gSa] tSlsµ

(i) [(X. Y) v A]

(1) z ~

[(A. v B) Y](2)

muds chp dkSu&lk izrhd gS] tSls ;gk¡ la;kstu ^z* gS] rc mlh ds vuqlkj bl izdFku

dks la;kstu ekuk tk;sxk] ;fn fo;kstu ^v* gksrk rks fo;kstu ;k ;fn vkiknu ^ * gksrk rks

vkiknu ekuk tkrk gSA tSlsµ

(ii) [(X. Y) v A] v ~ (A v B)

fo;kstu gS vkSj

(iii) [(X. Y) z A] (B z Y) vkiknuA

(i) vc ;fn la;kstu gS rks mlds la;qDrksa ds lR;rk&ewY; vyx&vyx fudkydj la;kstu

ds fu;ekuqlkj fn, gq, izdFku dk lR;rk&ewY; fudkysaA tSlsµ;fn ,d la;qDr [(X. Y) v A] dk lR;rk&ewY; ^lR;* fudyk vkSj nwljs la;qDr ~[(A B) Y] dk ^lR;* rks fn, gq,

la;kstu [(X. Y) v A] z [(A. B) Y] dk lR;rk&ewY; ^lR; (T) izdFku rFkk lR; (T) izdFku* lR; gSA

(ii) ;fn fo;kstu gS rc mlds fodYiksa dk vyx&vyx lR;rk&ewY; fudkydj fo;kstu

ds fu;ekuqlkj fn, gq, izdFku dk lR;rk&ewY; fudkysaA ;fn ,d fodYi [(X. Y) v A] dk

ewY; ^lR;* fudyk vkSj nwljs fodYi ~[(A.v B) dk ^vlR;* rks fn, gq, fo;kstu [(X Y) v A] v ~ (A v B) dk lR;rk&ewY; ^lR;* (T) iz- v vlR; (F) iz-* lR; gSA

(iii) ;fn vkiknu gS rks mlh izdkj iwoZorhZ rFkk vuqorhZ dk vyx&vyx ewY; fudkydj vkiknu ds fu;ekuqlkj fn, gq, izdFku dk lR;rk&ewY; fudkysaA

;fn iwoZorhZ [(X Y) z A] dk lR;rk&ewY; ^lR;* fudyk vkSj vuqorhZ (B z Y) dk

^vlR;* rks fn, gq, vkiknu [(X Y) z A] (B z Y) dk lR;rk&ewY; ^lR;* (T) iz-

vlR; (F) iz- vlR; gSA

(iv) fdlh ;kSfxd izdFku ds fuekZ;d izdFku Lo;a ;kSfxd gks ldrs gSaA blfy, ml

izdFku ds lcls NksVs va'k ls vkSj ;fn dks"Bdksa dk iz;ksx fd;k x;k gks rks NksVs dks"Bdksa ls

vkjEHk djsaA tSlsµ

[(X z Y) [(X Y)]

igys (X z Y) dk lR;rk&ewY;] fiQj (X Y) dk fudky dj ,d&,d Øe esa c<+rs tk,a

(v) lR;rk&ewY; ds fu/kZj.k esa fuEufyf[kr fu;eksa dks ;kn j[ksaµ

(a) la;kstuµ;fn ,d Hkh la;qDr vlR; gS] rks la;kstu vlR; gksxk D;ksafd ,d gh

fLFkfr esa la;kstu lR; gksrk gS] ;fn nksuksa la;qDr lR; gksaA blfy, ;fn la;kstu esa ,d la;qDr

dk lR;rk&ewY; ^vlR; (F)* Kku gks rks nwljs la;qDr dk ewY; ;fn ugha Hkh Kkr gks rks la;kstu

vlR; gksxk D;ksafd ,d la;qDr vlR; gSA tSlsµ^X z P esa ;fn Kkr gks fd X vlR; gS rks

P dk ewY; dqN Hkh gks] lR; ;k vlR;] la;kstu ^X z P* vlR; gksxkA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh26

(b) fo;kstuµ;fn ,d fodYi lR; gks rks fo;kstu lR; gksxk D;ksafd ,d gh fLFkfr esa fo;kstu vlR; gksrk gS ;fn nksuksa fodYi vlR; gksaA blfy, ;fn ;g Kkr gks fd ,d fodYi lR; gS rks nwljs fodYi dk lR;rk&ewY; dqN Hkh gks] lR; ;k vlR;] fo;kstu lR; gksxkA tSlsµ'A v P' esa 'A' lR; gks rks fo;kstu lR; gS ;fn 'P' dk lR;rk&ewY; ugha Hkh Kkr gksA

(c) vkiknuµ;fn vuqorhZ lR; gks rks iwoZorhZ vlR; rks vkiknu lR; gksxk D;ksafd ,d gh fLFkfr esa vkiknu vlr; gksrk gS ;fn iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ vlR;A blfy, ;fn vuqorhZ lR; gks rks iwoZorhZ dqN Hkh gks] lR; ;k vlR;] vkiknu lR; gksxkA tSlsµ 'P A' esa ;fn A lR; gks rks P dk dksbZ ewY; gks 'P A' lR; gksxk ;k ;fn iwoZorhZ vlR; gks rks vuqorhZ lR; gks ;k vlr; vkiknu lR; gksxkA tSlsµ'X P' esa ;fn X vlr; gks rks P dks dksbZ ewY; gks 'X P' lR; gksxkA

la{ksi esaµ

(i) ;fn ,d Hkh la;qDr vlR; gks rks la;kstu vlR; gSA

(ii) ;fn ,d Hkh fodYi lR; gks rks fo;kstu lR; gSA

(iii) ;fn vuqorhZ lR; gks rks iwoZorhZ vlR; rks vkiknu lR; gSA

;kn j[ksaµ

(i) ;fn nksuksa la;qDr lR; gksa] rks la;kstu lR; gksxkA

(i) ;fn ,d Hkh la;qDr vlR; gks rks la;kstu

vlR; gksxkA(ii) ;fn ,d Hkh fodYi lR; gks rks fo;kstu

lR; gksxkA

(ii) ;fn nksuksa fodYi vlR; gksa] rks fo;kstu

vlR; gksxkA(iii) ;fn vuqorhZ lR; gks ;k iwoZorhZ vlr;

rks vkiknu lR; gksxkA

(iii) ;fn vuqorhZ vlR; gks vkSj iwoZorhZ

lR; rks vkiknu vlR; gksxkA

;kSfxd izdFkuksa ds lR;rk&ewY; fu/kZfjr djus dh nks fof/;k¡ gSaµ

1. igyh fof/µ;fn A rFkk B lR; izdFku gksa vkSj X rFkk Y vlR; izdFku] rks

(a) ~ (A v X) dk lR;rk&ewY; fuEu fof/ ls fu/kZfjr gksxkA

[lR;rk&ewY; ds fu/kZj.k esa lcls NksVs va'k ls vkjEHk djsa vkSj Øe ls cM+s&cM+s va'kksa dk lR;rk&ewY; fudky dj vkxs c<+saA]

~ (A v X)—pw¡fd A lR; gS vkSj X vlR;] blfy, fo;kstu (A v X) lR; gksxk] vkSj bldk fu"ks/ fn;k gqvk izdFku ~(A v X) vlR;A

(b) (~ B z ~ Y)—pw¡fd B lR; gS blfy, bldk fu"ks/ ~ B vlr; gSA

pw¡fd Y vlR; gS blfy, bldk fu"ks/ ~Y lR; gSA

vc fn;k gqvk izdFku (~ B z ~ Y) dk lR;rk&ewY; (vlR;&lR;) vlR; gSA

(c) (A v B) z (X v Y)

;g ,d la;kstu gSA blds ,d la;qDr (A v X) dks igys ysaA pw¡fd A lR; gS vkSj B Hkh lR; gS blfy, fo;kstu (A v X) lR; gSA nwljs la;qDr (X v Y) esa pw¡fd X vlR; gS vkSj Y Hkh vlR; gS] blfy, fo;kstu (X v Y) vlr; gSA vr% fn;k gqvk izdFku la;kstu (A v B) z (X v Y) dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlR; gSA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 27

(d) A z [X v (B z Y)]

B z Y—pw¡fd B lR; gS vkSj Y vlR; gS blfy, la;kstu B z Y vlR; gksxkA pw¡fd X vlR; gS] blfy, fo;kstu [X v (B z Y)] dk lR;rk&ewY; (vlR; iz- v vlR; iz-) vlR; gSA vc A lR; gS] blfy, fn;k gqvk izdFku la;kstu A z [X v (B z Y)) dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlR; gSA

(e) ~ { ~ [ ~ (A z ~ B) z ~ A] z ~ A}

lcls NksVh dks"Bd esa (A z ~ B) gS blfy, blls Hkh vkxs c<+saA

pw¡fd A lR; gS vkSj B Hkh lR;] blfy, B fu"ks/ ~B vlR; gS] vr% la;kstu (A z ~ B) dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlR;] vc bldk fu"ks/ ~A (A z ~ B) lR; gSA A lR; gS] vr% bldk fu"ks/ ~ A vlR; gSA vc la;kstu [~ (A z ~ B] z ~ A] dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlr; gSA bldk fu"ks/ ~ [ ~ (A z ~ B) z ~ A] z ~ A] lR; gS] ~ A vlR; gS] vr% la;kstu { ~ [ ~ (A z ~ B) z ~ A] z ~ A} dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlR; gS] vr% bldk fu"ks/ fn;k gqvk izdFku ~ {~ [ ~ A z ~ B} z ~ A] z ~ A} lR; gSA

(f) [(A z X) v ~ B] z ~ [(A z X) v ~ B]

;g ,d la;kstu gSA igys ,d la;qDr dks ysa ~ [(A z X) v ~ B]—lcls igys y?kq dks"Bd dk lR;rk&ewY; fudkysaA

pw¡fd A lR; gS vkSj X vlR;] blfy, la;kstu A z X vlR; gSA fiQj pw¡fd B lr;] mldk fu"ks/ ~ B vlr; vkSj fo;kstu [(A z X) v ~ B] (vlR; iz- v vlR; iz-) vlR; gS] bldk fu"ks/ ~ [(A z X) v ~ B] lR; gSA vc igyk la;qDr [(A z X) v ~ B] dk lR;rk&ewY; Kkr gS pw¡fd fu"ks/ gvk nsus ij nksuksa leku gSaA vr% bldk lR;rk&ewY; vlR; gSA vr% fn;k gqvk izdFku la;kstu [(A z X) v ~ B] z ~ [(A z X) v ~ B] dk lR;rk&ewY; (vlR;&lR;)µvlR; gSA

(g) [X z (A v B)] v ~ [(X v A) z (X v B)]

;g ,d fo;kstu gSA igys ,d fodYi dks ysaµ[X z (A v B)]

pw¡fd A lR; gS vkSj B Hkh lR; gS blfy, fo;kstu (A v B) dk lR;rk&ewY; (lR; iz- v lR; iz-) lR; gSA

pw¡fd X vlR; gS] vr% la;kstu [X z (A v B)] dk lR;rk&ewY; (lR;&vlR;) vlR; gSA

vc nwljk fodYi ysaµ ~ [(X v A) z (X v B)] ;g ,d la;kstu gSA vr% ,d la;qDr (X v A) dks ysaA pw¡fd X vlR; gS vkSj A lR; vr% fo;kstu (X v A) dk lR;rk&ewY; (vlR; iz- v lR; iz-) lR; gSA

vc pw¡fd X vlR; gS vkSj B lR;] vr% fo;kstu (X v B) dk lR;rk&ewY; (vlR; iz- v lR; iz-) lR; gSA

blfy, la;kstu (X v A) z (X v B) dk lR;rk&ewY; (lR;&lR;) lR; gSA blfy, bldk fu"ks/ ~ [(X v A) z (X v B)] dk lR;rk&ewY; (~ lR;) vlR; gSA

vc fn;k gqvk izdFku [X z (A v B)] v ~ [(X v A) z (X v B)] dk lR;rk&ewY; (vlR; iz- v vlR; iz-) vlR; gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh28

(h) X (X Y)

vuqorhZ (X Y)—

pw¡fd X vlR; gS vkSj Y Hkh vlR; gS blfy, vkiknu (X Y) dk lR;rk&ewY;

(vlR; iz- vlR; iz-) lR; gSA

pw¡fd X vlR; gSA blfy, fn;k gqvk izdFku X (X Y) dk lR;rk&ewY; (vlR;

iz- lR; iz-) lR; gSA

(i) (X A) Y

iwoZorhZ (X A)

pw¡fd X vlR; gS vkSj A lR; gS blfy, vkiknu (X A) dk lR;rk&ewY; (vlR;


pw¡fd Y vlR; gS] vr% fn;k gqvk izdFku vkiknu (X A) Y dk lR;rk&ewY; (lR;

iz- vlR; iz-) vlR; gSA

(j) (X Y) (~ X ~ Y)

iwoZorhZ (X Y)

pw¡fd X vlR; gS vkSj A Hkh vlR; gS blfy, vkiknu (X A) dk lR;rk&ewY; (vlR;


fiQj X vlR; gS] blfy, bldk fu"ks/ ~ X lR; gS vkSj Y vlR; gS vr% bldk fu"ks/

~Y lR; gS blfy, vkiknu (~ X ~ Y) dk lR;rk&ewY; (lR; iz- vlR; iz-) lR; gSA

vc fn;k gqvk izdFku vkiknu (X Y) (~ X ~ Y) dk lR;rk&ewY; (lR; iz-

lR; iz-) lR; gSA

(k) [(X z Y) A] [X (Y A)]

iwoZorhZ dks ysaA

[(X z Y) A]—pw¡fd X vlR; gS vkSj Y Hkh vlR; gS blfy, la;kstu (X z Y) vlR;

gSA A lR; gS] vr% vkiknu [(X z Y) A] dk lR;rk&ewY; (vlR; iz- lR; iz-) lR; gSA

vuqorhZ [X (Y A)] —pw¡fd Y vlR; gS vkSj A lR; gS vr% vkiknu (Y A) lR; gSA X vlR; gS] vr% vkiknu [X (Y A)] dk lR;rk&ewY; [vlR; iz- lR; iz-] lR; gSAS

vc fn;k gqvk izdFku [(X z Y) A] [X (Y A)] dk lR;rk&ewY; (lR; iz-

lR; iz-) lR; gSA

(l) [X (X X)] [(X X) X]

iwoZorhZ [X (X X)] —pw¡fd X vlR; gS blfy, vkiknu (X X) dk lR;rk&ewY;

(vlR; iz- vlR; iz-) lR; gS vkSj vkiknu [X (X X)] dk (vlR; iz- lR; iz-)

lR; gSA

vuqorhZ [(X X) X]—pw¡fd (X X) dk ewY; Kkr gS (lR;) vkSj X vlR; gS]

vr% vkiknu [(X X) X] dk lR;rk&ewY; (lR; iz- vlR; iz-) vlR; gSA

vr% fn, gq, izdFku dk lR;&ewY; (ewY; iz- vlR; iz-) vlR; gSA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 29

2. nwljh fof/µbl fof/ esa oSls rdZuk dh vko';drk ugha gSa tSlk igyh fof/ esa

cryk;k x;k gS ;gk¡ Hkh igys ;g fu.kZ; dj ysa fd ;g ;kSfxd izdFku D;k gS] la;kstu]

fo;kstu ;k vkiknuA ;fn ;kSfxd izdFku dks ljy izdFkuks ls fufeZr gS rc muds eè; esa tks

izrhd gks mlesa fu.kZ; ysaA

B z Y—B rFkk Y ljy izdFku gS] muds chp fcUnq 'z' izrhd gS] vr% ;g la;kstu gSA

;fn fn, gq, ;kSfxd izdFku esa dks"Bdksa dk iz;ksx gS rks dks"Bdksa ds vUnj dh vfHkO;atuk dks

,d ekudj chp dk izrhd ns[ksa] tSlsµ

(A z B) v (X z Y) ...(1)

A z[X v (B z Y)] ...(2)

(1) esa (A z B) rFkk (X z Y) ds chp 'v' izrhd gSA vr% ;g fo;kstu gSA (2) esa [X v (B z Y)] ,d va'k gS vkSj nwljk 'A' gSA muds chp 'z' izrhd gS] vr% ;g la;kstu gSA

vc fn, gq, ;kSfxd izdFku dks nk;ha vksj fy[kdj ck;ha vkSj ,d [kM+h js[kk [khap nsaA

eku ysa fd fn, gq, izdFku gSaµ(i) ~ B z ~ Y vkSj (ii) A z [X v (B z Y)] z rc]

~ B | ~ Y | ~ B z ~ Y ...(i)

A | X v (B z Y) | A z[X v (B z Y)]

'~ B' 'B' '~ Y' 'Y' (ii) 'X v (B z Y)' 'X' 'B z Y' ...(ii)

fiQj ;fn ;kSfxd izdFku la;kstu gS rks nksuksa la;qDr dks ;k fo;kstu gS rks nksuksa fodYiksa dks

;k vkiknu gS rks iwoZorhZ vkSj vuqorhZ dks ,d js[kk ds }kjk vyx dj ck;ha vksj vafdr djsaA

;gk¡ ;g Li"V gS fd ^~ B* dk lR;rk&ewY; ^B* ds ewY; ds ladsr ls gh fu/kZfjr gksxk

vkSj ^~ Y* dk ^Y* ds ewY; ls] blfy, fiQj nk;ha vksj mu ljy izdFkuksa dks vafdr djsaA (ii) esa ^X v ( B z Y)* dk ewY; vyx&vyx ^X* rFkk ^B z Y* ds ewY; ds vk/kj ij gh gksxk]

blfy, bUgsa Hkh osls gh vyx dj nsaA

B | Y | ~ B | ~ Y | ~ B z ~ Y ...(i)

B | Y | X | B z Y | A | X v (B z Y) | A z[X v (B z Y)] ...(ii)

blh izdkj NksVs izdFkuksa esa fo'ys"k.k djrs tk;sa vkSj ck;ha vksj fy[krs tk;sa tc rd fd

ljy fuekZ;d izdFku u fey tk;sA (i) 'B' vkSj 'Y' rFkk (ii) esa 'A', 'X', 'B' vkSj 'Y'A ljyre

izdFku dk ewY; Kkr gS] blfy, uhps ,d js[kk nsdj 'T' vkSj 'F' vafdr dj izrhdksa ds fu;eksa

ds vuqlkj lR;rk&ewY; fudky dj fn, gq, izdFku dk ewY; fudky ysaA tSlsµ

BT

| YF

| | ~BF

| | ~YT

| ~B z ~YF

— vlR;

'B' lR; (T) gS] 'Y' vlR; (F), vr% '~ B' vlR; (F) vkSj '~ Y' lR; (T) gksxk] vr% fn;k gqvk izdFku vlR; (F) gSA

bl fof/ ls dqN vU; iz'u gy dj fn, x, gSaA

fn;k gqvk gS A vkSj B lR; gSa rFkk X vkSj Y vlR;µ

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh30

1. AT

| XF

| | ~AF

| | ~XT

| ~A v ~XT

µlR;

2. AT

| XF

| | YF

| | X • YT

| A v (X • Y)T

µlR;

3. AT

| BT

| | A v BT

| | XF

| YF

| X v YF

| (A v B) • (X v Y)F µvlR;

4. AT

| XF

| | BT

| | YF

| A • XF

| B • YF

| (A • X) v (B • Y)F µvlR;

5. BT

| YF

| | XF

| | B • YF

| AT

| X v (B • Y)F

| A • [X v (B • Y)]F µvlR;

6. | ~ [ ~ [ ~ (A • ~ B) • ~ A] • ~ A]T

µlR;

| ~ AF

| [ ~ [ ~ (A • ~ B) • ~ A] • ~ A]F

| ~ (A • ~ B) • ~ AF

| ~ [ ~ (A • ~ B) • ~ A]F

| BT

| AT

| ~ BF

| A • ~ BF

| ~ (A • ~ B)T

| ~ AF

7. (A • X) v (A • Y)

F | ~ [(A • X) v (A • Y)

T | [A • (X v Y)

F v ~

[(A • X) v (A • Y)T

µlR; _________________________

T

YF

| AT

| XF | A • XF

| A • YF

XF

| YF

| AT

| X v YF

| A • (X v Y)F

8. AT

| XF

| A XF

| YF

| (A X) YF F

T

µlR;

9. XF

| AT

| BT

| YF

| X YF

| B YF

| (X A) (B Y)T T

F

µvlR;

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 31

10. AT

| BT

| A BT | (A B) (~ A ~ B)

T TT

µlR;

~ BF

| ~ AF

| ~ (A ~ B)T

| 11. (A • X) Y

T | A X

F | [(A •. X) Y]

T (A Y)

µvlR;

F

T

AT

| XF

| A • XF

| YF

12. X (X Y) T

| (X X) XF

| [ X (X Y)] T

[(X X) X]

µvlR;

F

TYF

| XF

| X YT

| X XT

|II. ;fn fdlh ;kSfxd ds fuekZ;d izdFkuksa esa ls dqN ds ewY; Kkr gksa vkSj dqN ds ugha rks

la;kstu] fo;kstu] fu"ks/ vkSj vkiknu ds fu;eksa ds }+kjk mldk lR;rk&ewY; fu/kZfjr gks ldrk gSA

fu;e

(1) dsoy nksuksa la;qDr ds lR; gksus ij gh la;kstu lR; gksrk gSA vr% la;kstu esa ;fn

,d la;qDr vlR; gS rks nwljk vKkr Hkh gks rks izdFku dk lR;rk&ewY; vlR; gksxkA

(2) fo;kstu esa ;fn ,d fodYi lR; gS rks nwljk vKkr gks rks izdFku dk lR;rk&ewY;

lR; gksxkA nksuksa fodYi ds vlR; gksus ij oSdfYid rdZokD; vlR; gksrk gSA

(3) fu"ks/ esa ,d lR; gks rks nwljk vlR; vkSj ,d vlR; rks nwljk lR; gksxkA

(4) vkiknu esa ;fn iwoZorhZ lR; gks rks vuqorhZ vlR; rHkh og vlR; gksrk gSA vr%

vkiknu esa ;fn vuqorhZ lR; gS rks iwoZorhZ vKkr Hkh gks rks izdFku lR; gSA

(5) ;fn nksuksa ljy izdFkuksa dk lR;rk&ewY; vKkr gks rks mUgsa lR; vkSj vlR; ekudj

ewY; fu/kZfjr djsaA

igyh fof/µ;g ;g Kkr gks fd A rFkk B lR; gSa vkSj X rFkk Y vlR; ij P rFkk Q dk lR;rk&ewY; Kkr ugha gS] rc]

1. P z X = P z X (vlR;)µvlR;

2. P v A = P v A (lR;)µlR;

3. P v ~ Y = P v ~ Y (lR;)µlR;

4. P A = P A (lR;)µlR;

5. X P = X (vlR;) PµlR;

6. Q v ~ Q—Q dks lR; ekusa rks ;k vlR;] ,d lR; gksxk vkSj nwljk vlR;

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh32

lR; v vlR;

vlR; v lR;—lR;

7. ~ P v (~ A v P)—;fn P lR; gS rc (~ A v P) lR; gS] rc izdFku ~ P v (~ A v P) lR; gSA

;fn P vlR; gS rc ~ P lR; gksxk vkSj ,d fodYi lR; gksus ij ~ P v

(~ A v P) lR; gSA

8. Q v ~ (P z Q)—;fn Q lR; gS rks ,d fodYi (igyk) lR; gksus ls fn;k gqvk

izdFku lR; gSA ;fn Q vlR; gS rks P z Q esa ,d la;qDr vlR; gksus ls P z Q

vlR; vkSj ~ (P z Q) lR; gS] tc Hkh fo;kstu Q v ~ (P z Q) lR; gSA

9. (P v Q) v (~ P z ~ Q)—;fn igyk fodYi vlR; gks rHkh nwljs fodYi ds lR;rk&ewY;

dks tkuuk vko';d gS ugha rks ;fn igyk lR; gS rks fo;kstu (P v Q) v (~ P z

~ Q) lR; gksxkA

igyk fodYi fo;kstu gS] vr% rHkh vlR; gksxk ;fn nksuksa izdFku 'P' vkSj 'Q' vlR; gksaA ;fn nksuksa vlR; gksa rks budk fu"ks/ '~ P' vkSj '~ Q' lR; gksaxsA vr%

la;kstu (~ P z ~ Q) lR; gksxkA fiQj ,d fodYi lR; gksus ls fo;kstu (P v Q) v (~ P z ~ Q) lR; gSA nksuksa gh fLFkfr esa ;g lR; gSA

10. (~ P v Q) v (P v ~ Q)— P ;k rks lR; gksxk ;k vlR;A ;fn lR; gS rks nwljk fodYi (P v ~ Q) lR; gksxk (,d fodYi lR; gS) blfy, fo;kstu (~ P v Q) v (P v ~ Q) lR; gksxkA ;fn P vlR; gS rks igys fodYi esa mldk '~ P' lR; gksxk blfy, (~ P v Q) lR;] vr% (~ P v Q) v (P v ~ Q) lR; gSA

11. [P v (Q • A)] • ~ [(P v Q) • (P v A)]—;fn P lR; gS rc nwljs la;qDr ~ [(P v Q) • (P v A)] dks ysaA P lR; gksus ls P v Q lR; vkSj P v A Hkh lR; vkSj [(P v Q) • (P v A)] lR; gksxk] vr% ~ [(P v Q) • (P v A)] vlR; gSA blfy, la;kstu [P v (Q • A)] • ~ [(P v Q) • (P v A)] vlR; gSA ;fn P vlR; gS vkSj Q lR; gks rc [(P v Q) • (P v A)] lR; vkSj mldk fu"ks/ vlR;] vr% fn;k gqvk izdFku vlR;

gSA ;fn P vlR; gS vkSj Q Hkh vlR; gS tc igyk fodYi vlR; gS] blfy, fn;k

gqvk izdFku vlR; gSA lHkh fLFkfr;ksa esa fn;k gqvk izdFku vlR; gSA

12. X (~ Y Q)—pw¡fd X vlR; gS] vr% vuqorhZ lR; gks ;k vlR;] fn;k gqvk

izdFku lR; gSA

13. (P v A) (Q X)—pw¡fd 'A' lR; gS vr% 'P v A' lR; Fkk X vlR; gS] vr% (Q • X) vlR; gSA blfy, fn;k gqvk izdFku vlR; gSA

14. A (P A)—pw¡fd A lR; gS] vr% P A lR; gS] vr% A (P A) lR; gSA

15. [(P X) P] P —;fn P lR; gS] rc iwoZorhZ [(P X) P] vFkkZr~ (P X) P lR; gS] vr% fn;k gqvk izdFku lR; gSA

;fn P vlR; gS rc 'P X' lR; gS vkSj (P X) P vlR;] vr% [(P X) P] P lR; gSA vr% P lR; gks ;k vlR; fn;k gqvk izdFku lR; gSA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 33

16. (P Q) {[P (Q A)] (P A)}

A lR; gS] vr% 'P A' lR; gSA ;fn 'P A' lR; gS rc [P (Q A)] (P A) lR; gS] vr% (P Q) {[P (Q A)] (P A)} lR; gksxk] vr% fn;k

gqvk izdFku lR; gSA

nwljh fof/µ;fn fdlh ;kSfxd izdFku ds fuekZ;d rRoksa esa ls dqN ds ewY; Kkr gksa vkSj dqN ds ugha rks lkj.kh cukdj Hkh ml ;kSfxd izdFku dk lR;rk&ewY; Kkr gks ldrk gSA ;fn dsoy ,d izdFku dk ewY; vKkr gks rc mldh lkj.kh esa nks (21) iafDr;k¡ gksaxh vkSj nks rc pkj (22)A ;gk¡ Hkh lR;rk&lkj.kh dh Hkk¡fr ,d lkj.kh cuk ysa] fiQj Kkr izdFkuksa ds fuf'pr ewY; dks lHkh iafDr;ksa esa Hkj nsaA blds ckn la;kstu] fo;kstu] fu"ks/ rFkk vkiknu ds fu;eksa ds vuqlkj fn, gq, izdFku dk lR;rk&ewY; fudky ysaA ,slh lkj.kh cukus esa iafDr;ksa dh la[;k vKkr ewY; okys izdFkuksa dh la[;k ij fuHkZj gSA mnkgj.kµ

;fn ;g Kkr gks fd A rFkk B lR; gSa vkSj X rFkk Y vlR; ij P rFkk Q dk

lR;rk&ewY; vKkr gks rc]

(i) P • X ds lR;rk&ewY; ds fy, ,d lkj.kh cuk,¡A blesa ,d izdFku 'X' dk ew; Kkr

gS vkSj dsoy ,d izdFku ‘P’ dk ewY; vKkr gS] vr% ml lkj.kh esa dsoy nks (21) iafDr;k¡ gksaxhAP X (ewY; Kkr gS) P z XT F FF F F

vr% P z X dk lR;rk&ewY; vlR; (F) gksxkA(ii) (Q v X) z (Q z ~ A)

Q X (Kkr) A (Kkr) ~ A (Q v X) (Q z ~ A)

T F T F T F

F F T F F F

(Q v X) z (Q z ~ A)F

vr% (Q v X) z (Q z ~ X)—vlR; gSA(iii) ~ P v (~ Y v Q) blesa nks izdFkuksa (P rFkk Q) ds lR;rk&ewY; vKkr gSa] vr% bldh lkj.kh esa pkj (22) gksaxhµ

P Q Y (Kkr) ~ P ~ Y (! Y v Q) [~P v (~Y v Q)]T T F F T T TT F F F T T TF T F T T T TF F F T T T T

vr% ~ P v (~ Y v Q)—lR; gSA(iv) P v (Q z P)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh34

~ Y Q Q z P ~ (Q z P) P v ~ (Q z P)T T T F TT F F T TF T F T TF F F T T

vr% P v ~ (Q • P)—lR; gSA

(III) fdlh izdFku dks izrhdkRed :i esa ifjofrZr djus dh fof/

(i) ckyd ;k pUnw izFke Js.kh esa ikl djsaxs ;k Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxhA

;fn ^ckyd izFke Js.kh esa ikl djsxk* dks ^B* ls] ^pUnw izFke Js.kh esa ikl djsxk* dks

^C* ls vkSj ^Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxh* dks ^D* ls ladsr fd;k tk;s rks izrhdkRed :i

^(D v C) v D* gksxkA cM+s v{kj Â*] ^B*] ^C* bR;kfn vifjofrZ;ksa ds fy, O;ogr gksrs gSaA

(ii) ;k Mkfy±x ;k vCnqy fof'k"Vrk izkIr djsxk ysfdu nksuksa gh fof'k"Vrk izkIr ugha djsaxsA

(d) ^Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxh* dks ^D* ls

([k) ^vCnqy fof'k"Vrk izkIr djsxk* dks Â* ls ladsr fd;k tk;s rks izrhdkRed :i gksxk](D v A) z ~ (D z A)

2-10 vH;kl iz'u

1. ljy rFkk ;kSfxd izdFkuksa esa Hksn dhft,A fdlh izdFku ds fdlh vax dks mlds

fuekZ;d gksus dh dkSu&dkSu&lh 'krs± gSa\

2. fuEufyf[kr ij fVIif.k;k¡ fyf[k,µ

(d) lR;rk&iQyd ;kSfxd izdFku

([k) lR;rk&iQyd fuekZ;d

(x) oLrqxr vkiknu

(?k) lR;rk&ewY;

1. ;k ckyd rFkk pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksaxs ;k Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxhA

2. ckyd izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxk rFkk] ;k pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxk ;k vCnqy

fof'kf"V izkIr ugha djsxkA

3. ckyd rFkk pUnw nksuksa gh izFke Js.kh esa mÙkh.kZ ugha gksaxs] ysfdu nksuksa Mkfy±x rFkk

vCnqy fof'k"V izkIr ugha djsaxsA

4. ;k ckyd ;k pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksaxs ysfdu u rks Mkfy±x vkSj u gh vCNqy

fof'k"V izkIr djsxkA

5. ;k Mkfy±x ;k vCnqy fof'k"Vrk izkIr djsxk ysfdu nksuksa gh fof'k"V izkIr ugha djsaxsA

6. pUnw fof'k"Vrk izkIr ugha djsxk tcfd ckyd izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxkA

7. ;g ckr ugha gS fd u rks ckyd ;k u gh pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksaxsA

;kSfxd izdFku

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 35

8. ;k Mkfy±x ;k vCnqy fof'kf"V izkIr djus esa vleFkZ gksaxsA

9. ;k Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxh rFkk vCnqy fof'k"Vrk izkIr ugha djsxk ;k nksuksa ckyd

vkSj pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksaxsA

10. ;k Mkfy±x fof'k"Vrk izkIr djsxh rFkk vCnqy fof'k"Vrk izkIr ugha djsxk ;k nksuksa ckyd

vkSj pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kz gksaxsA

11. ckyd rFkk pUnw nksuksa gh izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksaxs] dsoy ;fn Mkfy±x izFke Js.kh esa

mÙkh.kZ ugha gksxhA

12. ckyd izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxk ;fn ;k pUnw izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxk ;k Mkfy±x

izFke Js.kh esa mÙkh.kZ gksxhA

2-11 lUnHkZ xzUFk 1.

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh36

bdkbZ 3% ;kSfxd rdZokD; dh ;qfDr;k¡

lajpuk (Structure)

3-1 izLrkouk

3-2 mn~ns';

3-3 ;qfDr&vkdkj rFkk lR;rk&lkj.kh

3-4 ;qfDr vkdkj

3-5 ;qfDr;ksa dh oS/rk

3-6 izdFku&vkdkj

3-7 iqujQfDr

3-8 O;k?kkr

3-9 vkikfrd

3-10 oLrqxr lerk ;k rqY;rk

3-11 lkjka'k

3-12 vH;kl iz'u

3-13 lUnHkZ xzUFk

3-1 izLrkouk

lkn`'; ds vk/kj ij [kaMu esa dgk tk ldrk gSA blfy, fdlh ;qfDr dks voS/ fl¼ fd;k

tk ldrk gS tc Bhd leku vkdkj dh ,d ;qfDr dh jpuk dh tk;s ftlds vk/kj&okD; lR;

gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A blls ;g Hkh Li"V gksrk gS fd oS/rk ;k voS/rk vkdkfjd fo'ks"krk,¡

gSaA ;qfDr ds oLrqfo"k; ls oS/rk ;k voS/rk lEc¼ ugha gSaA ifjorhZ izdFkuksa dks vaxzsth o.kZekyk

ds fiNys NksV v{kjksa ls ladsr fd;k tkrk gSA mUgsa ifjorhZ ;k pj blfy, dgk tk ldrk gS

fd muds LFkku ij fdlh Hkh izdFku dks LukukiUu fd;k tk ldrk gSA mudk ewY; fLFkj ugha

gSA ^p* ds LFkku ij êaxy ,d xzg gS* ;k dksbZ nwljk] tSlsµî`Foh xksy gS* izdFku LFkkukiUu

gks ldrk gSA lksikf/d izdFkuksa esa vkiknu&lEcU/ rks dksbZ izdkj ds gksrs gSa ij mudk vkaf'kd

vFkZ tks lHkh esa ik;k tkrk gS mls ge yksxksa us oLrqxr vkiknu dgk Fkk vkSj lHkh lksikf/d

izdFkuksa dh lR;rk&iQyh lEcU/d ^* ds }kjk O;Dr fd;k FkkA iqujQfDr ds fu;e ds }kjk fdlh ;qfDr dh oS/rk dh ijh{kk gksrh gSA pw¡fd dksbZ ;qfDr&vkdkj rHkh oS/ gksxk tc mldh lR;rk&lkj.kh esa ftu iafDr;ksa esa nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa rks fu"d"kZ lR; gks] blfy, ml ;qfDr ds laoknh izdFku ds LrEHk esa dsoy (T) lR; gksxkA vk/kj&okD;ksa dk ladsr rhljs vkSj igys LrEHkksa esa gksrk gS vkSj fu"d"kZ dk nwljs lsA bl iafDr esa ,slk n`"Vkar (izfrLFkkfir) gS fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSaA ij fdlh iafDr esa ,slk n`"Vkar ugha gSa fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

;kSfxd rdZokD; dh ;qfDr;k¡

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 37

3-2 mn~ns';


z;qfDr&vkdkj rFkk lR;rk&lkj.kh dh tkudkjh

z;qfDr vkdkj rFkk ;qfDr;ksa dh oS/rk ds ckjs esa

zizdFku&vkdkj vkSj iqujQfDr ds fo"k; esa

zO;k?kkr] vkikfrd rFkk oLrqxr lerk ;k rqY;rk dk egRo

3-3 ;qfDr&vkdkj rFkk lR;rk&lkj.kh

;qfDr;ksa dh oS/rk ds ijh{k.k dh dbZ fof/;k¡ gSaa ;gk¡ eSa ljyre fof/ dh O;k[;k d:¡xkA dksbZ ;qfDr oS/ tc gksrh gS] tc mlds vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ Hkh fu'pk;d :i ls lR; gksaA ij ,slh ;qfDr;k¡ Hkh gSa tks voS/ gSa ij muds lHkh rdZokD; lR; gksrs gSaA

(1) ;fn vki dqyifr gSa] rks vki izfl¼ gSaA

vki dqyifr ugha gSa_

vki izfl¼ ugha gSaA

bl ;qfDr ds lHkh rdZokD; lR; gSa ij ;g voS/ gSA bldh voS/rk blls fl¼ gksrh gS

fd Bhd blh ds ln`'; vFkkZr~ Bhd blh vkdkj dh ,d ,slh ;qfDr dh jpuk dh tk ldrh

gS tks voS/ gSA oSlh gkyr esa ;s ;qfDr Hkh voS/ gksxhA

mnkgj.kkFkZ

(2) ;fn Vkvk dqyifr gSa] rks os izfl¼ gSaA

ij VkVk dqyifr ugha gSa_

vr% VkVk izfl¼ ugha gSaA

bl ;qfDr dk vkdkj (:i) Bhd (1) ;qfDr ds leku gSA blesa dsoy ^vki* 'kCn ds

LFkku ij ^VkVk* 'kCn LFkukiUu gqvk gSA blfy, nksuksa ds vkdkj esa iw.kZ lkn'; gSA ij (2) ;qfDr

voS/ gS D;ksafd nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa] ij fu"d"kZ vlR;A bls rkfdZd lkn'; ds vk/kj ij

[kaMu esa dgk tk ldrk gSA blfy, fdlh ;qfDr dks voS/ fl¼ fd;k tk ldrk gS tc Bhd

leku vkdkj dh ,d ;qfDr dh jpuk dh tk;s ftlds vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A

blls ;g Hkh Li"V gksrk gS fd oS/rk ;k voS/rk vkdkfjd fo'ks"krk,¡ gSaA ;qfDr ds oLrqfo"k; ls

oS/rk ;k voS/rk lEc¼ ugha gSaA (1) vkSj (2) ;qfDr;ksa ds fo"k; fHkUu gSa] ,d gS] ^vki* ds

lEcU/ esa] nwljk ^VkVk* ds lEcU/ esa] ij vkdkj nksuksa dk ,d gSA vkdkj ds dkj.k gh (2)

voS/ gks rks (1) Hkh voS/ gSA blfy, oS/rk ;k voS/rk dks vkdkfjd fo'ks"krk ekuk tkrk gSA

vc iz'u gS fd dc vkSj fdl ;qfDr dks Bhd leku vkdkj ;k fof'k"V vkdkj dk dgk

tk ldrk gS\

;gk¡ ;qfDr 'kCn oSlh ;qfDr;ksa ds fy, iz;qDr gqvk gS ftuesa ,sls ;kSfxd izdFku gksa ftudh

lR;rk ljy izdFkuksa dh lR;rk ij fuHkZj gksa vFkkZr lR;rk&iQyh; ;kSfxd izdFkuksa ijA vkxs

^;qfDr* 'kCn dk ,slh gh ;qfDr ds fy, iz;ksx fd;k tk;sxkA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh38

ljyre fof/ dh O;k[;k d:¡xkA dksbZ ;qfDr oS/ tc gksrh gS] tc mlds vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ Hkh fu'pk;d :i ls lR; gksaA ij ,slh ;qfDr;k¡ Hkh gSa tks voS/ gSa ij muds lHkh rdZokD; lR; gksrs gSaA

(1) ;fn vki dqyifr gSa] rks vki izfl¼ gSaA

vki dqyifr ugha gSa_

vki izfl¼ ugha gSaA

bl ;qfDr ds lHkh rdZokD; lR; gSa ij ;g voS/ gSA bldh voS/rk blls fl¼ gksrh gS

fd Bhd blh ds ln`'; vFkkZr~ Bhd blh vkdkj dh ,d ,slh ;qfDr dh jpuk dh tk ldrh

gS tks voS/ gSA oSlh gkyr esa ;s ;qfDr Hkh voS/ gksxhA

mnkgj.kkFkZµ

(2) ;fn Vkvk dqyifr gSa] rks os izfl¼ gSaA

ij VkVk dqyifr ugha gSa_

vr% VkVk izfl¼ ugha gSaA

bl ;qfDr dk vkdkj (:i) Bhd (1) ;qfDr ds leku gSA blesa dsoy ^vki* 'kCn ds

LFkku ij ^VkVk* 'kCn LFkukiUu gqvk gSA blfy, nksuksa ds vkdkj esa iw.kZ lkn`'; gSA ij (2)

;qfDr voS/ gS D;ksafd nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa] ij fu"d"kZ vlR;A bls rkfdZd lkn`'; ds

vk/kj ij [kaMu esa dgk tk ldrk gSA blfy, fdlh ;qfDr dks voS/ fl¼ fd;k tk ldrk

gS tc Bhd leku vkdkj dh ,d ;qfDr dh jpuk dh tk;s ftlds vk/kj&okD; lR; gksa vkSj

fu"d"kZ vlR;A blls ;g Hkh Li"V gksrk gS fd oS/rk ;k voS/rk vkdkfjd fo'ks"krk,¡ gSaA ;qfDr

ds oLrqfo"k; ls oS/rk ;k voS/rk lEc¼ ugha gSaA (1) vkSj (2) ;qfDr;ksa ds fo"k; fHkUu gSa]

,d gS] ^vki* ds lEcU/ esa] nwljk ^VkVk* ds lEcU/ esa] ij vkdkj nksuksa dk ,d gSA vkdkj

ds dkj.k gh (2) voS/ gks rks (1) Hkh voS/ gSA blfy, oS/rk ;k voS/rk dks vkdkfjd

fo'ks"krk ekuk tkrk gSA

vc iz'u gS fd dc vkSj fdl ;qfDr dks Bhd leku vkdkj ;k fof'k"V vkdkj dk dgk

tk ldrk gS\

;gk¡ ;qfDr 'kCn oSlh ;qfDr;ksa ds fy, iz;qDr gqvk gS ftuesa ,sls ;kSfxd izdFku gksa ftudh

lR;rk ljy izdFkuksa dh lR;rk ij fuHkZj gksa vFkkZr lR;rk&iQyh; ;kSfxd izdFkuksa ijA vkxs

^;qfDr* 'kCn dk ,slh gh ;qfDr ds fy, iz;ksx fd;k tk;sxkA

3-4 ;qfDr vkdkj

izR;sd ;qfDr ds fuekZ;d rRo izdFku gksrs gSaA ;fn bu izdFkuksa dk ladsr ^p*, ^q*, ^p*, ^s* vkfn v{kjksa ls fd;k tk;s rks ^p* ;k ^q* ;k ^r*, ;k ^s*, vkfn dks ifjorhZ izdFku dgk

tkrk gSA ifjorhZ izdFkuksa dks vaxzsth o.kZekyk ds fiNys NksV v{kjksa ls ladsr fd;k tkrk gSA mUgsa

ifjorhZ ;k pj blfy, dgk tk ldrk gS fd muds LFkku ij fdlh Hkh izdFku dks LukukiUu

fd;k tk ldrk gSA mudk ewY; fLFkj ugha gSA ^p* ds LFkku ij êaxy ,d xzg gS* ;k dksbZ

nwljk] tSlsµî`Foh xksy gS* izdFku LFkkukiUu gks ldrk gSA


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 39

mnkgj.kkFkZµ

;fn eaxy ,d xzg gS] rc og xksy gSA

exy ,d xzg gSA

eaxy xksy gSA

vc ;fn bu izdFkuksa ds LFkku ij ifjorhZ izdFku j[ks tk;sa vFkkZr~

;fn êaxy ,d xzg gS* dk ladsr ^p* ls êaxy xksy gSA* dk ^q* ls djsa rks bl ;qfDr

dk :i gksxkA

If p, then q = p q,

p p ® ;qfDr&vkdkj

q q

;gh ;qfDr dk :i ;k vkdkj gSA blfy, ;qfDr&vkdkj ladsrksa dk Øe gS ftuesa ,sls

ifjorhZ izdFku (p, q, r, s) gksrs gSa fd ;fn blds LFkku ij izdFku LFkkukiUu dj fn, tk,¡ rks

mldk ifj.kke ,d ;qfDr gksrk gS (ftl ladsr dk fdlh izdFku ls LFkkukiUu fd;k x;k gS

ogh izdFku ml ;qfDr esa lHkh LFkkuksa ij ml izrhd ds fy, gksxk)A tSlsµ

(1) p v q

~ p ;qfDr&vkdkj

q ifjorhZ izdFkuksa dk Øe

;fn ^p* ifjorhZ izdFku] ^xqykc ihyk gS* dk ladsr gS] ^q* ifjorhZ izdFku xqykc yky

gS dk] tc]

(2) xqykc ihyk gS ;k xqykc yky gS

xqykc ihyk ugha gSA

xqykc yky gSA

(1) dh ;qfDr&vkdkj dgk tk;sxkA ;qfDr&vkdkj ;qfDr dk lkadsfrd :i gSA ifjorhZ

izdFkuksa ds LFkku ij izdFkuksa dks j[kus ls tks ;qfDr curh gS nksuksa dk vkdkj leku gksrk gSA

izdFkuksa dks ladsrksa ds LFkku ij j[kus ds fy, ftl ;qfDr dh jpuk gksrh gS mls ml ;qfDr&vkdkj

dk izfrLFkkfir n`"Vkar dgk tkrk gSA ;fn ljy izdFku ^Hkkjr esa ,drk gksxh* dk ^,* ls vkSj

Hkkjr c¡V tk;sxk] dk ^n* ls ladsr fd;k tk;s rks oSdfYid U;k; gksxkµ

(1) , v c

~ ,

c

bl ;qfDr dk vkdkj gksxk]

(2) p v q

~ p

q

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh40

(2) ;qfDr&vkdkj gSA

ifjorhZ izdFkuksa dks izdFkuksa ls LFkkukiUuk djus ij (1) ;qfDr gksrh gSA blfy, ;qfDr

(1) ;qfDr&vkdkj (2) dk izfrLFkkfir n`"Vkar gSA ij ;gh n`"Vkar fdlh vU; ;qfDr&vkdkj dk

n`"Vkar Hkh gks ldrk gS] tSlsµ

,d ;qfDr vkdkj] (3) p

q

r

esa ^p* ds LFkku ij , v o ^q* ds LFkku ij ^~,* vkSj ^r* ds LFkku ij ^c* LFkkukiUU fd;k tk;s rks Hkh ogh ;qfDr ^, v c*] ^~,*] ^c* ij (3) dh ;qfDr (1) dk fof'kf"V vkdkj ugha dgk tk ldrk gSA

fdlh ;qfDr dk fof'k"V vkdkj og ;qfDr&vkdkj gS ftlesa mlds fHkUu ifjorhZ izdFkuksa (p, q, r etc.) ds LFkku ij fHkUu ljy izdFkuksa dks LFkkukiUu fd;k tkrk gSA tSlsµ ^p* ds LFkku ij ,d ljy izdFku ^,*] ^q* ds LFkku ij nwljk ljy izdFku ^c*A (3) ;qfDr&vkdkj esa ^p* ds fy, ,d ;kSfxd izdFku ^, v c* LFkkukiUu fd;k x;k gSA blfy, (1) ;qfDr dk fof'k"V vkdkj ;qfDr&vkdkj (2) gS] (3) ughaA ftl izdkj oS/rk vkSj voS/rk ;qfDr;ksa esa ykxw gSa mlh izdkj ;qfDr&vkdkjksa esa HkhA

3-5 ;qfDr;ksa dh oS/rk

vc fdlh ;qfDr dh oS/rk vkSj voS/rk dk ijh{k.k ljyrk ls fd;k tk ldrk gSA ;fn fdlh ;qfDr ds fo'ks"k vkdkj dk ,d gh ,slk n"Vkar (izfrLFkkfir) feys ftlesa vkpkj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; rks og ;qfDr voS/ gSA vr% ,d voS/ ;qfDr vkdkj og gS ftldk de&ls&de] ,d n"VkUr (izfrLFkkfir) ,slk gks ftlesa vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ vlR; gksA ;g ;qfDr&vkdkj tks voS/ ugha gS] oS/ gSA vr% ,d oS/ ;qfDr&vkdkj og gS ftldk ,d Hkh ,slk n"VkUr (izfrLFkkfir) ugha gks ftlesa vk/kj&okD; lR; gS vkSj fu"d"kZ vlR; gSA ;fn ;qfDr&vkdkj oS/ gS rks ;qfDr Hkh oS/ gS vkSj ;qfDr&vkdkj voS/ rks ;qfDr vh voS/a

fdlh ;qfDr&vkdkj dh oS/rk ;k voS/rk dks fu/kZfjr djus ds fy, mlds lHkh lEHko izfrLFkkfir n"VkUrksa dk ijh{k.k vko';d gS ftlesa ;g ns[kk tk;s fd dksbZ ,d n"VkUr ,slk rks ugha gS fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A ;gk¡ oSlh gh ;qfDr;ksa ls lEcU/ gS ftlesa ljy izdFku vkSj muds ;kSfxd :i gksaA fiQj] vk/kj&okD; rFkk fu"d"kZ ds lR;rk&eY; ds lHkh lEHko la;kstuksa dh ijh{kk djuh gksxhA ,slk lR;rk&lkj.kh ds }kjk gh lEHko gSA lR;rk&lkj.kh jpus esa] ;qfDr esa ftrus Hkh ifjorhZ izdFku gSa (p, q, r, etc.) muds fy, ,d funsZ'kd ;k izkjfEHkd LrEHk gksuk vko';d gSA ;fn oSdfYid U;k; ds vkdkj]

p v q

~ p

q

dh oS/rk dk ijh{k.k djuk gS rks fuEufyf[kr lR;rk&lkj.kh dh ge jpuk djrs gSaµ


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 41

fu- vk&1 vk&2p q p v q ~ pT T T FT F T FF T T T F F F T

[lR;rk&lkj.kh cukus dh fof/µloZizFke ;g ns[k ysa fd fn, gq, ;qfDr vkdkj esa]

vyx&vyx fdrus ifjorhZ izdFku (p, q, r vkfn) gSA ;fn nks ifjorhZ izdFku gSa (p, q) rc 22 = 4, iafDr;k¡ ;fn rhu (p, q, r) rc 23 = 2 × 2 × 2 = 8, ;fn pkj (p, q, r, s) rc 24 = 2 × 2 × 2 = 16] vkSj ;fn n la[;k gks rc 2n iafDr;k¡ ml lR;rk&lkj.kh esa gksaxhA vc LrEHkksa dks

fu/kZfjr djsaA ftrus ifjorhZ izdFku gSa p, q, r, etc. mUgsa flyflysokj LrEHkksa ds mQij vafdr

djsaA ;s funsZ'kd LrEHk gq,A fiQj] Øesa ls mu LrEHkksa ds vk/kj ij vk/kj&okD;ksa ;k fu"d"kZ esa

;fn la;kstu ;k fo;kstu ;k vkiknu ;k fu"ks/ gks rks mUgsa LrEHkksa ds mQij vafdr djsaA vc

funsZ'k LrEHk ds lcls nkfgus okys LrEHk esa ,d ds ckn ,d lR; (T) vkSj vlR; (F) vafdr

djsa (TFTF)A fiQj mlds igys okys LrEHk eas tksM+s&tksM+s lR; (T) vkSj vlR; (F)—TTFF fiQj] pkj&pkj—TTTFFFF, fiQj vkB&vkBA

mQij fn, gq, lR;rk&lkj.kh dh izR;sd iafDr izfrLFkkfir n`"Vkarksa vFkkZr~ ;qfDr;ksa ds lEiw.kZ

oxZ dk izfrfuf/Ro djrh gSA T (lR;) vkSj F (vlR;) igys LrEHkksa esa bu izdFkuksa ds

lR;rk&ewY; cykrs gSa ftUgsa ;qfDr&vkdkj ds ifjorhZ p rFkk q ds fy, LFkkukiUu fd;k tk

ldrk gSA buls vU; LrEHkksa dk lR;rk&ewY; fu/kZfjr gksrk gSA rhljk LrEHk igys vk/kj&okD;

dk gS (;gk¡ Li"Vrk ds fy, la{ksi esa ^vk&1* mQij esa fy[ks nsa) vkSj pkSFkk nwljs vk/kj&okD;

dk (;gk¡ Hkh mQij esa &vk&2* fy[ksa)A nwljk LrEHk fu"d"kZ dk gSS (;gk¡ mQij esa ^fu-* fy[ks)A

^vk&1* igys vk/kj&okD; dk ladsr gS] vk&2* nwljs dk vkSj &fu-* fu"d"kZ dkA bl lR;rk&lkj.

kh ls ;g Li"V gS fd pkgs dksbZ izdfku ifjorhZ ^p* rFkk q ds fy, LFkkukiUu gks] tks ;qfDr

cusxh mlesa ,slk ugha gks ldrk fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A ij rhljh

iafDr esa nksuksa vk/kj&okD; (T) gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; (T) gSA vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

lksikf/d izdFkuksa esa vkiknu&lEcU/ rks dksbZ izdkj ds gksrs gSa ij mudk vkaf'kd vFkZ tks

lHkh esa ik;k tkrk gS mls ge yksxksa us oLrqxr vkiknu dgk Fkk vkSj lHkh lksikf/d izdFkuksa

dh lR;rk&iQyh lEcU/d ^* ds }kjk O;Dr fd;k FkkA vc ge feJ gsRokfJr U;k; ds nks

:iksa dh oS/rk Hkh blh i¼fr ls LFkkfir dj ldrs gSaA

fo/k;d gsrqiQykuqeku(Modus Ponens) If p, then q

p

q

fu"ks/d gsrqiQykuqeku(Modus Tollens)

If p, then q

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh42

~p

~ q

gsRokfJr U;k;(Hypothetical Syllogism)

If p, then q

If q, then r

If p, then r

fo/k;d gsrqiQykuqeku [p q, p, q](Modus Ponens) dh lR;rk lkj.kh— vk2 fu- vk1

p q p qT T T T F FF T TF F T

[;gk¡ nks ifjorhZ izdFku gSa] blfy, iafDr;k¡ 22 = 4 gksaxhA nksuksa dks igys nks LrEHkksa ds mQij

vafdr djsa] fiQj izFke vk/kj&okD; dks] D;ksafd p rFkk q ds lR;rk&ewY; ij mldk ewY; vk/kfjr

gSA vc T rFkk F ds Hkju dh tks fof/ crkbZ xbZ mlh ds vuqlkj Hkj ysaA fiQj p q ds uhpsA]

;gk¡ nksuksa vk/kj&okD;ksa dk ladsr rhljs vkSj igys LrEHkksa esa gksrk gS vkSj fu"d"kZ dk

nwljs lsA bl iafDr esa ,slk n`"Vkar (izfrLFkkfir) gS fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa vkSj fu"d"kZ

Hkh lR; gSaA ij fdlh iafDr esa ,slk n`"Vkar ugha gSa fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ

vlR;A vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

fu"kspd gsrqiQykuqeku [p q, ~ q, ~ p](Modus Tollens) dh lR;rk lkj.kh— vk1 vk2 fu-

p q p q ~ q ~ pT T T F FT F F T FF T T F TF F T T T

;gk¡ rhljs LrEHk esa igyk vk/kj&okD; vkSj pkSFks esa nwljk rFkk ik¡posa esa fu"d"kZ gSA pkSFkh

iafDr esa ,slk n`"Vkar gS fd ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSa ij fdlh

iafDr esa ,slk n`"Vkar ugha gS fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A vr% ;g ,d

oS/ ;qfDr vkdkj gSA

vc gsR;kfJr U;k; [p q, q r, p r] dh lR;rk&lkj.kh—

vk1 vk2 fu-


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 43

iafDr;ksa dh la[;k p q r p q q r p r1. T T T T T T 2. T T F T F F3. T F T F T T4. T F F F T F5. F T T T T T 6. F T F T F T7. F F T T T T 8. F F F T T T

;gk¡ rhu ifjorhZ izdFku gSa] p, q, r blfy, 23 = 2 × 2 × 2 = 8 iafDr;k¡ gksaxhA igys rhu LrEHk rhuksa ifjorhZ izdFkuksa ds gSa] pkSFkk vkSj ikapok¡ igys nks vk/kj&okD;ksa ds rFkk NBk

fu"d"kZ dkA blesa igyh] ik¡poha] lkroha vkSj vkBoha iafDr;ksa esa nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa vkSj

lHkh fu"d"kZ Hkh lR; gSaA fdlh iafDr esa ,slk n`"VkUr ugha gS fd lHkh vk/kj&okD; lR; gksa

vkSj fu"d"kZ vlR;A vr% ;g ;qfDr&vkdkj os/k gSA

gsrokfJr U;k; ds nks voS/ :i fo/k;d gsrqiQykuqeku vkSj fu"ks/d gsrqiQykuqeku dh

rjg izrhr gksrs gSaA

1. p q

q vkSj 2.

p q ~ p

p ~ q

vuqorhZ Hkko&nks"k iwoZorhZ fu"ks/&nks"k

nksuksa dh voS/rk lR;rk&lkj.kh ls fl¼ dh tkrh gSA

1. dh lR;rk&lkj.kh

fu- vk2 vk1p q p qT T TT F FF T T F F T

rhljh iafDr igys vk/kj&okD; dk rFkk nwljk nwljs vk/kj&okD; dk vkSj igyk LrEHk

fu"d"kZ dk ladsr djrk gSA rhljh iafDr esa ,slk n`"Vkar gS fd nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa ij

fu"d"kZ vlR;A vr% ;g ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

vk1 vk2 fu-p q p q ~ q ~ pT T T F FT F F F TF T T T FF F T T T

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh44

;gk¡ rhljk vkSj pkSFkk LrEHk igys vkSj nwljs vk/kj&okD;ksa ds ladsr gSa vkSj ikapok¡ fu"d"kZ dkA rhljh iafDr ,sls n`"Vkar dk gS ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; gSa ij fu"d"kZ vlR;A vr% ;g ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

bu lkjf.k;ksa ls ;g Li"V gs fd oS/ ;qfDr&vkdkjksa ds izfrLFkfir n`"Vkar oS/ ;qfDr;k¡ gSa] ij voS/ ;qfDr&vkdkjksa ds oS/ rFkk voS/ nksuksa n`"Vkar feyrs gSaA vr% ;g fl¼ djus ds fy, fd dksbZ ;qfDr voS/ gS ;g fl¼ djuk gksxk fd bl ;qfDr dk fof'k"V vkdkj voS/ gSA

vH;kl djsaµ

(a) p • q

p

fu- vk-p q p • qT T T T F FF T FF F F

blesa vk/kj&okD; rhljk LrEHk gSA bls mQij esa uksV dj ysaA fu"d"kZ igyk LrEHk gSA

blesa ,d Hkh n`"Vkar ugha gS ftlesa vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ vlR; gksA igyh iafDr esa

vk/kj&okD; lR; gS vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSA vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

(b) p v q

p

fu- vk-p q p v qT T TT F TF T T F F F

blesa rhljh iafDr ds vk/kj&okD; lR; (T) gS ij fu"d"kZ vlR; (F), vr% ;g ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

(c) p

q p

vk- fu-p q p qT T T T F T F T FF F T


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 45

blesa igyh vkSj nwljh iafDr esa ,sls n`"Vkar gSa ftuesa vk/kj&okD; lR; gS vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSA dksbZ n`"VkUr ,slk ugha gS ftlesa vk/kj&okD; vkSj fu"d"kZ vlR; gksA vr% ;g ;qfDr vkdkj oS/ gSA

(d) p q

~ q ~ p

vk- fu-p q p q ~ q ~ p ~ q ~ p

T T T F F T

T F F T F F

F T T F T T

F F T T T T

igyh] rhljh vkSj pkSFkh iafDr;ksa esa ,sls n`"Vkar gSa ftuesa vk/kj&okD; gS vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSA dksbZ Hkh ,slk n`"Vkar ugha gS ftlesa vk/kj&okD; vkSj lR; fu"d"kZ vlR; gksA vr% ;g ;`fDr&vkdkj oS/ gSA

(e) p (q r)

~ (q r) p blesa rhu ifjorhZ izdFku gSa]

vr% 23 = 8 iafDr;k¡ gksaxhA

vk- fu-p q r q • r p ( q • r ) ~ ( q • r ) ~ ( q • r ) PT T T T T F TT T F F F T TT F T F F T TT F F F F T TF T T T T F TF T F F T T F F F T F T T F F F F F T T F

blesa NBh] lkroha vkSj vkBoha iafDr;ksa esa ,sls n`"Vkar gSa ftuesa vk/kj&okD; lR; (T) ij fu"d"kZ vlR; (F) gS] vr% ;g ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

(f ) p q P v q q fu- vk

1 vk

2

p q p q p v qT T T T T F F TF T T T F F T F

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh46

blesa igyh vkSj rhljh iafDr;ksa esa ,sls n`"Vkar gSa ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; (T) gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSA ,d Hkh ,slk n`"Vkar ugha gS ftlesa vk/kj&okD; vkSj fu"d"kZ vlR; gSA vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

(g) (p q) (p r) p q v r vk

2 vk

1 fu-

p q r p q p (p q) (p r) q v rT T T T T T T T T F T F F TT F T F T F TT F F F F F FF T T T T T TF T F T T T TF F T T T T TF F F T T T F

(h) (p v q) (p q) ~ (p v q) ~ (p q)

vk1 vk

2 fu-

p q p v q p q (p v q) (p q) ~ (p v q) ~ (p q)T T T T T F FT F T F F F TF T T F F F TF F F F T T T

blesa pkSFkh iafDr esa ,slk n`"Vkar gS ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; (T) gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; (T) gSA ,d Hkh n`"Vkar ,slk ugha gS ftlesa vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ vlR; gksA vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

(i) (p q) (r s)

q v s p v riafDr;k¡ 24 = 16

vk1 vk

2 fu-

p q r s p q r s (p q) (r s) q v s p v rT T T T T T T T T T T T F T F F T TT T F T T T T T TT T F F T T T T TT F T T F T F T TT F T F F F F F T


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 47

T F F T F T F T TT F F F F T F F TF T T T T T T T TF T T F T F F T TF T F T T T T T FF T F F T T T T FF F T T T T T T TF F T F T F F F TF F F T T T T T FF F F F T T T F F

X;kgjoha] ckjgoha rFkk iUnzgoha iafDr;ksa esa ,sls n`"Vkar gSa ftuesa nksuksa vk/kj&okD; lR; (T) gSa ij fu"d"kZ vlR; (F) gSA vr% ;g ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

II. ;qfDr;ksa ds ;qfDr&vkdkj esa cM+s v{kjksa ds LFkku ij NksV v{kjksa dks LFkkukiUu dj nsaA izrhd ogha jgsaxsA dHkh&dHkh fdlh ;kSfxd izdFku ds fy, p ;k q ;k r bR;kfn LFkukiUu fd;k tkrk gSA ,slh ;qfDr ml vkdkj dk ,d vkdkj gksxk ij fof'k"V vkdkj ughaA tSlsµ

(A X) X

A X

Y

;gk¡ Â X* ds fy, p vkSj ^Y* ds fy, q LFkkukiUu gksxkA p q pq ;g fof'k"V vkdkj ugha gSA ;g ,d vkdkj gSA

ij (A B) (C D)

A v C

B v D ds fy,

(p q) (r s)

p v r q v s;g ,d fof'k"V vkdkj gSA blesa lHkh ljy izdFkuksa ds LFkku ij vyx&vyx ifjorhZ

j[ks x;s gSaA

(1)

A (C v B)

~ B

~ C ~ A

p (r v q)

~ q ~ r ~ p

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh48

;qfDr;ksa dh oS/rk dk ijh{k.k

(1) blesa pkSFkh iafDr esa ,slk n`"Vkar gS ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; (T) gSa vkSj fu"d"kZ Hkh lR; (T) gSA ,d Hkh n`"Vkar ,slk ugha gS ftlesa vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ vlR; gksA vr% ;g ;qfDr&vkdkj oS/ gSA

vk1 vk

2 fu-

p q r r v q p (r v q) ~ q ~ r ~ p ~ r ~ pT T T T T F F F TT T F T T F T F FT F T T T T F F TT F F F F T T F FF T T T T F F T TF T F T T F T T TF F T T T T F T TF F F F T T T T T

fdlh iafDr esa nksuksa vk/kj&okD; lR; (T) vkSj fu"d"kZ vlR; (F) ugha gSA rhljh] lkroha] vkSj vkBoha iafDr;ksa esa nksuksa vk/kj&okD; lR; vkSj fu"d"kZ Hkh lR; gSA ;g ;qfDr&vkdkj oS/

gSA vr% nh gqbZ ;qfDr oS/ gSA

vH;kl

1. lR;rk&lkj.kh dh lgk;rk ls fuEufyf[kr ;qfDr&vkdkjkas dh oS/rk dk ijh{k.k

dhft,µ

1. p 2. p

p v q p q

3. p 4. p v q

p q p

5. ^p q 6. p q

p p

III. fuEufyf[kr ;qfDr;ksa ds fof'k"V ;qfDr&vkdkj cryk,¡µ

1. (A B)v ~ (B C)

A v B

B v C

2. (A v B) (A v C)

~ A ~ (B v C)

B

3. (A B) (~ C ~ D)


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 49

B v D

A v D

4. (A B) (B A)

A B

B A

5. (A v B) (C D)

~ B ~ D

~ A ~ D

IV. fuEufyf[kr ;qfDr;ksa esa ls izR;sd dh oS/rk ;k voS/rk dk ijh{k.k djus ds fy,

lR;rk&lkj.kh dk iz;ksx djsaµ

(1) ;fn iatkc le>kSrk liQy gksrk gS rks ;k vdkyh ny dh uSfrd fot; gksxh ;k

/kfeZd ladh.kZrk c<+sxhA vdkyh ny dh uSfrd fot; gksxhA vr% ;fn iatkc le>kSrk liQy

gksrk gS rks /kfeZd ladh.kZrk ugha c<+sxhA

(2) ;fn vle le>kSrk loZekU; gksxk rks ;k vle esa pquko ;k fo/ku lHkk fo?kfVr

gksxhA fo/ku lHkk fo?kfVr ugha gksxhA vr% ;fn vle esa pquko ugha gksxk rks vklke le>kSrk

loZekU; ugha gksxkA

(3) ;fn Hkkjr fo'o cSad ls ½.k ysxk rks eqnzkLiQhfr c<+sxh rFkk Hkkjr vUu dk vk;kr djsxkA eqnzkLiQhfr ugha c<+sxhA vr% Hkkjr fo'o cSad ls ½.k ugha ysxkA

(4) ;fn Hkkjr fo'o di esa Hkkx ysrk gS rks ;fn lfpu Hkkjrh; Vhe dk dIrku gksrk gS] rks Hkkjr fot; izkIr djsxkA lfpu Hkkjrh; Vhe dk dIrku ugha gksxkA vr% ;k Hkkjr fo'o di esa Hkkx ugha ysrk gS ;k Hkkjr fot; izkIr ugha djsxkA

(5) ;fn cht&lwph lgh gS rks ;fn cht vizSy esa cks;k tkrk gS rks iQwy tqykbZ esa f[kyrs gSaA iQwy tqykbZ esa ugha f[kyrs gSaA vr% cht vizSy esa cks;k tkrk gS rks chp lwpuh lgh ugha gSA

(6) ;fn Hkjr ijek.kq ce cukrk gS rks ikfdLrku Hkh ijek.kq ce cuk,xk rFkk ;fn ikfdLrku ijek.kq ce cukrk gS rks vesfjdk mls euk djsxkA ;k ifdLrku ijek.kq ce ugha cuk,xk ;k vesfjk mls euk ugha djsxkA vr% ijek.kq ce ugha cuk,xkA

(7) ;fn Hkkjr ijek.kq ce cukrk gS rks ifdLrku Hkh v.kqce cuk,xk rFkk ;fn ifdLrku v.kqce cukrk gS rks vesfjdk mls euk djsxkA ;k Hkkjr ijek.kq ce ugha cukrk gS ;k ifdLrku v.kqce ugha cuk,xkA vr% ;g ifdLrku v.kqce ugha cuk,xk ;k vesfdj mls euk ugha djsxkA

(8) ;fn ekSle lqgkuk gS rFkk vkleku lkiQ gS] rks ;g ge rSdkjh ds fy, tk;saxs] ;k ukSdk fogkj ds fy, tk,axsA ;g ckr ugha gS fd ;fn vkleku lkiQ gS rks ge rSjkdh ds fy, tk;saxsA vr% ekSle lqgkuk ugha gSA

(9) ;fn ekSle lqgkuk gS rFkk vkleku lkiQ gS] rks ge ;g rSdkjh ds fy, tk;saxs ;k ukSdk fogkj ds fy, tk;saxsA ;g ckr ugha gS fd ;fn vkleku lkiQ gS rks ge rSdkjh ds fy, tk;saxsA vr% ;fn ge ukSdk fogkj ds fy, ugha tkrs gSa rks ekSle lqgkuk ugha gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh50

(10) ;fn ekSle lqgkuk gS rfkk vkleku lkiQ gS] rks ;k ge rSjkdh ds fy, tk;saxs ;k ukSdk fogkj ds fy, tk;saxsA ;g ckr ugha gS fd ge rSjkdh ds fy, ugha tk;saxs rks vkleku lkiQ ugha gSA vr% ;k ekSle lqgkuk gS ;k ge ukSdk fogkj ds fy, tk;saxsAA

3-6 izdFku&vkdkj

ftl izdkj fdlh Hkh ;qfDr dk vkdkj gksrk gS] mlh izdkj izdFkuksa dk Hkh vkdkj gksrk

gSA izdFku&vkdkj izrhdksa dk Øe gS ftlesa ifjorhZ izdFku (p, q, r) gksrs gSa] vkSj tc ifjorhZ

izdFkuksa dks izdFkuksa ls LRFkkukiUu fd;k tkrk gS rks ifj.kke dksbZ izdFku gksrk gSA ;gk¡ Hkh

ifjorhZ izdFkuksa ds fy, ^p*, ^q*, ^r*, ^s* vkfn o.kk± dk iz;ksx fd;k tkk,xkA

1. ;fn og vk tk;sxk rks eSa ;k rks dydÙkk pyk tkmQ¡xk ;k cukjlA

;fn ôg vk tk;sxk]* ds fy, ^p*, esa dydÙkk pyk tkmQ¡xk ds fy, ^q*, rFkk êSa cukjl pyk tkmQ¡xk ds fy, * r*, dk iz;ksx gks rks (1) izdFku dk :i gksxkA

2. p (q v r)

^p*, ^q*, ^r* ifjorhZ izdFku gSaA muds LFkku ij dksbZ Hkh izdFku LFkkukiUu fd;k tk

ldrk gSA ;fn ;gk¡ ^p*, ^q*, ^r* ds LFkku ij mi;qZDr izdFkuksa dks LFkkukiUu dj nsa rks ifj.kke

,d izdFku (1) gksxkA blfy, (2) dks izdFku&vkdkj dgk tk;sxkA bl izdFku&vkdkj dk

izfrLFkkfir n`"Vkar (1) gksxk] ftldk laf{kIr :i gS H (C v B), ;fn ‘H’ ôg vk tk,xk*

ds fy, ^C* eSa dydÙkk pyk tkmQ¡xk* ds fy, vkSj ^B* esa cukjl pyk tkmQ¡xk ds fy, iz;qDr

gksA okLro esa H (C v B) ds fy, ^p q* vkdkj Hkh gks ldrk gS] ij rc ^q* ds LFkku

ij C v B LFkkukiUu djuk gksxk vFkkZr ljy izdFku ugha] ,d ;kSfxd izdFkuA ;fn izR;sd

ifjorhZ izdFku ds fy, vyx&vyx izdFku dk iz;ksx gks rc og izdFku&vkdkj mldk fof'k"V

vkdkj dgk tkrk gSA tSlsµH (C v B) dk fof'k"V vkdkj ^p (q v r) gS] u fd ^p p*A

3-7 iqujQfDr

vc nks izdFku fy, tk;sa]

(i) rsu flag fgeky; dh pksVh ij p<+s (rs)

(ii) rsu flag fgeky; dh pksVh ij p<+s ;k ugha p<+s (rs v ~ rs)

nksuksa gh dFku lR; gSa] ij igys dFku dh lR;rk vuqHko }kjk LFkkfir dh tk ldrh gS]

og vlR; Hkh gks ldrk gS ij nwljs izdFku dh lR;rk vuqHko ls LorU=k :i ls LFkkfir dh

tk ldrh gSA ^jke iVuk esa gS* izdFku dh lR;rk vuqHko ds }kjk ns[kdj LFkkfir dh tk ldrh

gS ij jke iVuk esa gS ;k iVuk esa ugha gS izdFku fcuk ns[ks lR; gksxh] D;ksafd nksuksa fodYiksa esa

,d vo'; lR; gksxkA mlh izdkj ;k rks rsu flag fgeky; dh pksVh ij p<+s] (rs) lR; gksxk

;k ;fn og lR; ugha gks rks bldk fu"ks/kRed izdFku rsu flag fgeky;e dh pksVh ij ugha

p<+s (~ rs) lR; gksxkA vr% rs v ~ rs ^vko';d lR; gSA* ^rs ~ rs* ,d vkdkfjd lR; gS

ftlds lHkh izfrLFkkfir n`"VkUr lR; gSaA og izdFku&vkdkj] ftlds lHkh izfrLFkfir n`"Vkar lR;

gksa] iqujQfDr gSA (rs v ~ rs) dk fo'ks"k vkdkj ^p v ~ p* gS ftls fuEufyf[kr lR;rk&lkj.kh


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 51

ls iqujQfDr fl¼ fd;k tkrk gSµ

p ~ P p v ~ pT F TF T T

bl lR;rk&lkj.kh esa ^p v ~ p* lrEHk esa dsoy T (lR;) gSA blls ;g Li"V gS fd

^p v ~ p* ds lHkh lEHko n`"Vkar lR; gSaA blfy, dksbZ Hkh izdFku tks bl iqujQfDr dk n`"Vkar

gS vkdkfjd n`f"V ls lR; gS vkSj ,d iqujQfDr gSA

;fn fdlh Hkh izdFku&vkdkj ds lHkh lEHko izfrLFkkfir n`"Vkar lR; gksa rks og iqujQfDr gSA

3-8 O;k?kkr

fiQj] nks izdFku ysa] (i) êsgjk fgeky; ij p<+k (e)* vkSj (ii) êsjk fgeky; ij p<+k rFkk ugha p<+k (e • ~ e)*A nksuksa gh izdFku vlR; gSaA igys izdFku dh vlR;rk vuqHko ls fl¼

gksrh gS] ij nwljs izdFku dh vlR;rk vuqHko ls LorU=k jhfr ls fl¼ gksrh gSA izdFku ê • ~ e* vkdkfjd n`f"V ls vlR; gSA blds lHkh n`"Vkar (izfrLFkkfir) vlR; gSaA ,d izdFku nwljs

izdFku dk O;k?kkrh gS ;fn nksuksa dk lkFk lR; gksuk vlEHko gSA ;g fuEufyf[kr lR;rk&lkj.

kh ls fl¼ fd;k tk ldrk gSA ê • ~ e* dk fo'ks"k vkdkj gS ^p • ~ p*-p ~ P p . ~ pT F FF T F

bl izdFku vkdkj (p • ~ p) ds lHkh n`"Vkar (izfrLFkkfir) vlR; gSa D;ksafd bl LrEHk esa

dsoy ‘F’ gSA Ô;k?kkr* izdFkuksa ds chp ,d lEcU/ gSA ij dHkh&dHkh fdlh fo'ks"k izdFku

dks lR; gksuk rkfdZd n`f"V ls vlEHko gksrk gS rc ml izdFku dks vkRe&O;k?kkrh (self – contradictory) dgk tkrk gSA

vr% dksbZ izdFku&vkdkj ftlds lHkh n`"Vkar vlR; gksa] O;k?kkrh gSA mlds n`"Vkar vFkkZr~

izdFku Hkh O;k?kkrh dgykrs gSaA

3-9 vkikfrd

oSls izdFku ;k izdFku&vkdkj tks u iqujQfDr gSa u O;k?kkrh] vkikfrd (contingent) dgs tkrs gSaA blds dqN n`"Vkar lR; vkSj dqN vlR; gksrs gSaA mnkgj.kkFkZ] ^p* ;k ^~ p* ;k ^p v q*] ^p • q* vkSj ^p q* izdFku&vkdkj vkSj ê* ;k ê v iQ* ;k ê • iQ* vkSj ê iQ* izdFku dks ysaA izdFku êsjk fgeky; ij p<+k (e)*] lR; gks ldrk gS ;k vlR; Hkh] blfy, blds vkdkj ^p* ds nksuksa n`"Vkar feyrs gSa] lR;rk rFkk vlR;rk dsA fiQj ^~ e*] lR; gks ldrk gS ;k vlR; Hkh] blfy, blds vkdkj ^p* ds nksuksa n`"Vkar feyrs gSa] lR;rk rFkk vlR;rk dsA fiQj ^~ e* ;k mldk vkdkj ^~ p* Hkh lR; ;k vlR; gks ldrk gSA ;fn îQuhl fgeky; ij p<+k (iQ)* ;k mldk vkdkj ^~ p* Hkh lR; ;k vlR; gks ldrk gSA ;fn îQuhl fgeky; ij p<+k (iQ)* ,d izdFku gS rc ê v iQ* dk vkdkj ^p v q* ds lR; n`"Vkar ;k vlR; n`"Vkar

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh52

nksuksa gks ldrs gSaA bldh lR;rk lkj.kh dks ns[ksaA

p q p v qT T TT F TF T TF F F

blls Li"V gS fd p v q ds LrEHk esa T (lR;) rFkk F (vlR;) nksuksa gSA osls gh ê

• iQ* dk vkdkj ^p • q* gSAp q p . qT T TT F FF T FF F F

^p • q* ds LrEHk esa T (lR;) vkSj F (vlR;) nksuksa gSaA

ê iQ* dk vkdkj ^p q* gSAp q p qT T TT F FF T TF F T

blesa Hkh ^p q* ds LrEHk esa T (lR;) vkSj F (vlR;) nksuksa gSaA

blfy, dksbZ izdFku&vkdkj ftlds dqN n`"Vkar (izfrLFkkfir) lR; gksa rks dqN vlR;

vkikfrd dgk tkrk gSA mlds n`"Vkar vFkkZr~ izdFku Hkh vkikfrd gksrs gSaA ;s vkikfrd blfy,

gSa fd budk lR;rk&ewY; buds vkdkj ij ugha vfirq buds rF; ij fuHkZj gSA

3-10 oLrqxr lerk ;k rqY;rk

;fn fdUgha nks izdFkuksa ds lR;rk&ewY; leku gksa vFkkZr~ ;k rks nksuksa lR; gksa ;k nksuksa

vlR; gksa rks oLrqxr lerk ;k rqY;rk ekuh tkrh gSA bl laizR;; dks rhu f'kjksa js[kk ^* ds

}kjk O;Dr fd;k tkrk gS] tSlsµ

^* (p • q) (q • p) |

pw¡fd ^* izrhd lR;rk&iQyh; lEcU/d gS] bls fuEu lR;rk&lkj.kh ds }kjk ifjHkkf"kr

fd;k tkrk gSµ

p q p qT T TT F FF T FF F T


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 53

vFkkZr~ tc igyh iafDr esa ^p* vkSj ^q* nksuksa lR; gSa vkSj vkf[kjh iafDr esa nksuksa vlR; rc ^p q* lR; gS ij ;fn ^p* vkSj ^q* esa dksbz ,d lR; vkSj nwljk vlR; rc ^p q* vlR; gSaA

tc fdUgha nks izdFkuksa esa oLrqxr lerk gksrk gS tc muesa ,d&nwljs ds lkFk oLrqxr

vkiknu1 dk lEcU/ gksrk gS vFkkZr~ os ,d&nwljs dks vkikfnr djrs gSa] tSlsµp q tc (p q) vkSj (p q) | rhu f'kjks js[kk ^* izrhd dks ^;fn vkSj dsoy ;fn* i<=k tk ldrk gS ;fn

fdlh izdFku ;k izdFku&vkdkj dk izk:i ^p q* ds leku gks rks mls f}O;qikf/d dgk tkrk

gS pw¡fd blesa nks mikf/;k¡ gSa ^(p q)* vkSj ^(p q}*; igyk nwljs dks vkikfnr djrk gS

vkSj nwljk igys dksA nks izdFkuksa esa rkfdZd lerk ;k rqY;kk gS tcfd

1. p (q p) ,d iqujQfDr gSA

p q q p p (q p)T T T T pkSFks LrEHk esa lHkh T (lR;) gSAT F T TF T F TF F T T

~ p (p q) Hkh iqujQfDr gSAp q ~p p q ~ p (q p)

T T F T T ik¡posa LrEHk esa lHkh T (lR;) gSA

T F F F T

F T T T T

F F T T T

og f}O;qikf/d tks mudh oLrqxr rqY;rk ;k lerk O;Dr djrk gS og iqujQfDr gksA nks

izdFkuksa ds (^p* vkSj ^~ ~ p*) lR;rk&ewY; leku gksa rc muesa oLrqxr rqY;rk gS vkSj ;fn

og izdFku tks bl rqY;rk dks O;Dr djrk gS (p ~ ~ p) iqujQfDr gks rc muesa rkfdZd

lerk ;k rqY;rk ekuh tkrh gSA f}fu"ks/ fl¼kUr] tks ^p ~ ~ p* ds :i esa O;Dr gksrk gS]

lR;rk&lkj.kh ds }kjk iqujQfDr fl¼ gksrk gSA

p ~p ~ ~ p p ~ ~ pT F T T iqujQfDr

T |F T F

nks ,slh rkfdZd lerk,¡ gSa tks la;kstu] fo;kstu rFkk fu"ks/k ds ijLij lEcU/ dks O;Dr

djrh gSA pw¡fd la;kstu dk vfHkdFku ;g gS fd ;fn ;g lR; gS rks blds nksuksa la;qDr lR;

gSa blfy, bldk fu"ks/ rHkh gksxk tc de&ls&de ,d la;qDr vlR; gksA blfy, la;kstu ^p

• q* dk fu"ks/ ^p* rFkk ^q* ds fu"ks/ dk fo;kstu gS vFkkZr~ ~(p • q) • (~ p v ~ q).

;fn fu;e lR;rk&lkj.kh ds iqujQfDr fl¼ gksrk gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh54

p q p • q ~(p • q) ~p ~q ~p v ~ q ~(p • q) (~ p v ~ q)T T T F F F F T

T iqujQfDr

T

T |T F F T F T T

F T F T T F TF F F T T T T

nwljh fof/µ

bl izdFku&vkdkj ds ijh{k.k ds fy, lR;rk&lkj.kh cukus dh nwljh fof/ %

(foLrkj ds fy, vkxs ns[ksa)

~ (p • q) (~ p v ~ q)F T T T T F T F F TT T F F T F T T T FT F F T T T F T F TT F F F T T F T T F

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

p (q p) rFkk ~ p (p q) dks Hkk"kk ds }kjk ,sls O;Dr fd;ktk ldrk gS fd ^,d lR; izdFku fdlh izdFku dk vkik| gS* vkSj ^dksbZ vlR; izdFku fdlh izdFku dk

vkiknu djrk gSA* pw¡fd p (q p) iqujQfDr gS] vr% ^p* vlR; gksxk tks mlls dksbZ Hkh izdFku vkikfnr gksxkA dqN fopkjdksa us bls oLrqxer vkiknu dk fojks/kHkl dgk gSA ij okLro esa ;gk¡ dksbZ fojks/kHkkl ugha gS D;ksafd oLrqxer vkiknu dk;Z&dkj.k lEcU/ ij ;k rkfdZd lEcU/ ij vk/kfjr ugha gSA

LrEHk (2), (4), (7), (10) funsZ'kd LrEHk gSaA (2) vkSj (4) ds vk/kj ij (3) vkSj (3) ds vk/kj ij (1) LrEHk Hkjk x;k gSA fiQj (7) (6) vkSj (10) ds vk/kj ij (9) rFkk (6) vkSj (9) ds vk/kj ij (8) Hkjk x;k gSA vc (1) vkSj (8) dh rqyuk djus ij nksuksa ds lkeus lR;rk&ewY;

gSa] blfy, (5) esa lHkh esa ^T* gksxk tks bls iqujQfDr fl¼ djrk gSA

blh izdkj pw¡fd fo;kstu dk dsoy ;g vfHkdFku gS fd de&ls&de ,d fodYi lR;

gS blfy, blds fu"ks/ dk vFkZ gS fd nksuksa fodYi vlR; gSaA (~ p v q) (~ p • ~ q)A bls lR;rk&lkj.kh esa iqujQfDr fl¼ fd;k tk ldrk gSA

p q p v q ~ (p v q) ~ p ~ q (~ p • ~ q) ~ (p v q) (~ p • ~ q)

T T T F F F F TT F T F F T F T iqujQfDrF T T F T F F TF F F T T T T T

bu nksuksa dks Mh- ekxZu ds lkè; dgk tkrk gSA blds izfriknd vkxLVl Mh- ekxZu (1806 —1871) gSaA


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 55

la{ksi esa

nks izdFkuksa ds

la;kstu

fo;kstu{ }

dk fu"ks/ vkSj mlds

fo;kstu

la;kstu{ }

ds fu"ks/ esa rkfdZd rqY;rk ;k lerk gSA

blfy, (~ p v q) vkSj (~ p • ~ q) esa rqY;rk gSA

vc ;fn (p • ~ q) dk fu"ks/ fd;k tk;s ~ (p • ~ q) rks Mh- ekxZu ds lkè; ds vuqlkj (~ p v ~ ~ q) vFkkZr~ (~ p v q) gksxk pw¡fd ~ ~ q qA pw¡fd ~ (p • ~ q) ^p q* dks ifjHkkf"kr

djrk gS] blfy, (~ p v q) Hkh bldh ifjHkk"kk gSA

izR;sd ;qfDr dk ,d laoknh lksikf/d izdFku gksrk gS ftldk iwoZorhZ ml ;qfDr ds

vk/kj&okD;ksa dk la;kstu vkSj vuqorhZ ml ;qfDr dk fu"d"kZ gksrk gSA ;fn ;qfDr oS/ gS rks og

laoknh lksikf/d izdFku ,d iqujQfDr gksxkA mnkgj.kkFkZµ

p v q

~ p

q

dk laoknh lksikf/d izdFku [(p v q) • ~ p] q gksxk tks ,d iqujQfDr gSA

bl izdkj voS/ ;qfDr

p qq

p

dk laoknh lksikf/d izdFku [(p q) • q p gksxkA ij ;g iqujQfDr ugha gSA

iqujQfDr ds fu;e ds }kjk fdlh ;qfDr dh oS/rk dh ijh{kk gksrh gSA pw¡fd dksbZ ;qfDr&vkdkj rHkh oS/ gksxk tc mldh lR;rk&lkj.kh esa ftu iafDr;ksa esa nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa rks fu"d"kZ lR; gks] blfy, ml ;qfDr ds laoknh izdFku ds LrEHk esa dsoy (T) lR; gksxkA F (vlR;) rHkh gks ldrk gS ;fn nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; (F)A blfy, ;fn dksbZ ;qfDr oS/ gS rks og izdFku fd mlds nksuksa vk/kj&okD;ksa dk la;kstu fu"d"kZ dks vkikfnr djrk gS] ,d iqujQfDr gSA

dqy gy fd;s gq, iz'u

;g fu.kZ; djus ds fy, fd, fn, gq, izdFkuksa esa dkSu&ls iqujQfDr gSa vkSj dkSu O;k?kkrh ;k vkikfrd] igys lR;rk&lkj.kh cuk,¡A fiQj]

(i) oSls izdFku ftuds dsoy lR; izfrLFkkfir n`"Vkar gksa] iqujQfDr gSa vFkkZr~ izdFku ds LrEHk esa dsoy lR; (T) gks rks iqujQfDr gSA

(ii) oSls izdFku] ftuds dsoy vlR; izfrLFkkfir n`"Vkar gksa] O;k?kkrh gSa] vFkkZr~ izdFku ds LrEHk esa dsoy vlR; (F) gks rks O;k?kkrh gSA

(iii) oSls izdFku] ftuds lR; rFkk vlR; nksuksa izfrLFkkfir n`"Vkar gksa] vkikfrd gSa vFkkZr~ izdFku ds LrEHk esa lR; (T) vkSj vlR; (F) nksuksa gks rks vkikfrd gSaA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh56

(a) p • ~ pp ~p p • ~ pT F FF T F

izdFku ds LrEHk esa dsoy ^F* (vlR;) gS vr% ;g izdFku O;k?kkrh gSA(b) (p ~ p) • (~ p p)

p ~ p p ~ p ~ p p (p ~ p)

• (~ p p)T F F T FF T T F F

bl izdFku ds LrEHk esa dsoy ^F* (vlR;) gS vr% ;g O;k?kkrh gSA(c) p (p • p)

p p • p

p (p • p)T T TF F T

izdFku ds LrEHk esa dsoy ^T* (lR;) gS] vr% ;g izdFku iqujQfDr gSA

(d) [(p q) q] q)

p q p q [(p q) q]

[(p q) q] q)

T T T T T

T F F T F

F T T T T

F F F F T

izdFku ds LrEHk esa ^T* (lR;) vkSj ^F* (vlR;) nksuksa gSa vr% ;g izdFku vkikfrd gSA

(e) (p q) [~ (q • r) ~ (r • p)] (p q) [~ (q • r) ~ (r • p)]

p q r q • r ~ (q •r) (r • p) ~ (r • p) ~ (q • r) ~ (r • p) p q

T T T T F T F F T T

T T F F T F T T T TT F T F T T F F F T

T F F F T F T T F TF T T T F F T T T TF T F F T F T T T TF F T F T F T T T TF F F F T F T T T T

izdFku ds LrEHk esa lHkh ^T* (lR;) gSa] vr% ;g iqujQfDr gSA


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 57

rkfdZd lerk dh lR;rk&lkj.kh

rkfdZd lerk dk fu.kZ; djus ds fy, rhu izdkj ds lR;rk&lkj.kh cukbZ tkrh gS ij

rhuksa esa ns[kuk ;g gS fd nksuksa izdFkuksa dk lR;rk&ewY; leku gks vFkkZr~ nksuksa ;k rks lR; gksa

;k vlR;A

(i) izpfyr lR;rk&lkj.kh

(a) (p q) (~ p ~ q)

p q

p q ~ p ~ q

~ p ~ q (p q) (~ p ~ q)

T T T F F T T

T F F F T T F

F T T T F F F

F F T T T T T

nksuksa izdFkuksa esa lerk ugha gS iafDr nks vkSj rhu esa nksuksa izdFkuksa ds lR;rk&ewY; fHkUu gSaA

(b) [(p • q) r] [p (q r)]

p q r p • q

(p • q) r q r

p (q r) | (p • q) r [p (q r)]

T T T T T T T T

T T F T F F F T

T F T F T T T T

T F F F T T T T

F T T F T T T T

F T F F T F T T

F F T F T T T T

F F F F T T T T

nksuksa izdFkuksa ds lR;rk&ewY; leku gSa] vr% muesa rkfdZd lerk gSA

(c) p [p • (q p)]

p q q p

p • (q p) p [p • (q p)]

T T T T T

T F T T T

F T F F T

F F F F T


izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh58

(d) (p q) [(p • q) v (~ p • ~ q)]

p q

p q (q•r) ~ p ~ q (~ p • ~ q)

(p • q) v (~ p • ~ q)(p q)

[(p • q) v ~ p • ~ q)]

T T T T F F F T T

T F F F F T F F T

F T F F T F F F T

F F T F T T T T T


(ii) nwljh fof/

ljyrk ds fy, nksuksa izdFkuksa dh lR;rk&lkj.kh vyx&vyx cukbZ tk ldrh gS vkSj vUr esa

nksuksa ds lR;rk&ewY; dh rqyuk dj mlesa lerk gS ;k ugha bldh ijh{kk dh tk ldrh gSA mkgj.k]

[p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)]

igyh ck;ha vkSj nk;ha vksj ds izdFku dh lR;rk&lkj.kh ^p • (q v r)*

(a) (1)p q r q v q p • (q v r)

T T T T TT T F T TT F T T TT F F F FF T T T FF T F T FF F T T FF F F F F

(b) fiQj nwljh vksj ds izdFku dh lR;rk&lkj.kh ^(p • q) v (p • r)* (2)p q r p • q p • r (p • q) v (p • r)

T T T T T TT T F T F TT F T T T TT F F F F FF T T F F FF T F F F FF F T F F FF F F F F F

vc nksuksa izdFkuksa ds lR;rk&ewY; dh rqyuk djus ij nksuksa lR; ;k nksuksa vlR; gSa] vr%

muesa lerk gSA


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 59

(iii) rhljh ljy fof/

lR;rk&lkj.kh dh jpuk esa ftrus ifjorhZ ;k izrhd] izdFku esa ftl Øe esa gks amUgsa vyx&vyx LrEHkksa ds mQij vafdr djsaA vc ifjorhZ izdFkuksa dk LrEHk gh funsz'kd LrEHk gksrk gSA mu LrEHkksa esa ^T* ;k ^F* igyh fof/ s vuqlkj vafdr djsaA uhps mnkgj.k (a) esa funsZ'kd LrEHk (1), (3) (6) vkSj (9) gSaA LrEHk (2)] (1) rFkk (3) ds funsZ'k ls Hkjsxk] (5), (6) ds rFkk (8), (9) ds funsZ'k ls 1 fkiQj (7), (5) vkSj (8) ds funsZ'k ls HkjsxkA vc LrEHk (2) rFkk (7)] tks lnk vUr esa Hkjs x,] dh rqyuk djsaA nksuksa ds ewY; leku gSA ;fn ,d lR; (T) gS rks nwljk Hkh vksj ;fn ,d vlR; (F) gS rks nwljk HkhA blfy, LrEHk (4) tks lekurk dk ladsr djrk gS mlesa T Hkj nsaA nksuksa izdFkuksa esa rkfdZd rqY;rk gSA

eku ysa fd izdFku ^[(p q ) • r] = [ p (q • r)]* gks rc ^p*] ^q*] ^r*] rFkk ^* bR;kfn ds chp txg NksM+dj tSls uhps fn;k gqvk gS mlh Øe esa fy[ksaa dks"Bdksa dks Hkh fy[ksaA

[(p q) • r] = [p (q r)]

vc ^p*] ^q*] ^r*] funsZ'kd LrEHk gSA muds uhps nksuksa vksj ^T* ^F* igyh fof/ ds vuqlkj fy[ksA fiQj dks"Bdksa ds vUnj dh vfHkO;fDr dk ewY; fudkysaA ftl izrhd dk nksuksa vksj lcls vUr esa ewY; fudkyrs gksa mudh rqyuk djsaA ;fn ,d ^T* gS rks nwljk Hkh ^T* gS vkSj ,d ^F* gks rks nwljk Hkh ^F* gS] rc nksuksa esa lerk gSA lerk ds izrhd ds uhps ^T* vafdr dj nsaA

(a) [p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)](p q) (~ q ~ p)T T T T F T T F TT F F T T F F F TF T T T F T T T FF T F T T F T T F

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)


(b) [p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)][p (q v r)] [(p q) v (p r)]T T T T T T T T T T T T TT T T T F T T T T T T F FT T F T T T T F F T T T TT F F F F T T F F F T F FF F T T T T F F T F F F TF F T T F T F F T F F F FF F F T T T F F F F F F TF F F F F T F F F F F F F

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)


izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh60

3-11 lkjka'k

1. dksbZ ;qfDr rc voS/ fl¼ gksxh tc Bhd mlh vkdkj dh dksbZ ;qfDr voS/ gksA

2. fdlh ;qfDr ds izdFkuksa ds LFkku ij fdUgha fpÞuksa dk tSlsµ ^p*, ^q*, ^r*, ^s* vkfn

dk iz;ksx djus ls tks ;qfDr curh gS] mls ;qfDr&vkdkj dgk tkrk gSA

3. ftu fpÞuksa dks (p, q, r vkfn dks) ifjorhZ izdFku dgk tkrk gS D;ksafd mudk ewY;

fLFkj ugha gSA muds LFkku ij dksbZ izdFku LFkkukiUu gks tkrk gSA

4. ifjorhZ izdFkuksa ds LFkkukiUu djus ls tks ;qfDr curh gS og ml ;qfDr&vkdkj dk

izfrLFkkfir n`"Vkar gSA

5. ;fn fdlh ;qfDr&vkdkj dh lR;rk&lkj.kh cukbZ tk;s vkSj mlesa ,d Hkh ,slk n`"Vkar

feys ftlesa nksuksa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; rks og ;qfDr&vkdkj voS/ gSA

blfy, ml vkdkj dh dksbZ ;qfDr voS/ gksxhA

6. tks ;qfDr voS/ ugha gS] og oS/ gSA

;qfDr&vkdkjksa dh oS/rk lR;rk&lkj.kh }kjk ijh{k.k djus dh fof/

bl fof/ ds }kjk fdlh ;qfDr&vkdkj dh oS/rk ds ijh{k.k ds fy, ,d lR;rk&lkj.kh

cukus dh vko';drk gksrh gSA lR;rk&lkj.kh cukus esa ftrus ifjorhZ izdFku p, q, r, s bR;kfn gSa mUgsa vkjEHk esa flyflysokj LrEHk ds mQij vafdr dj nsaA os gh funsZ'k LrEHk gksaxsA vc

ml ;qfDr&vkdkj esa oSls izdfku ftudk lR;rk&ewY; p, q, r bR;kfn ij fuHkZj gS mls vkxs ds

LrEHk fiQj ~ p dk LrEHk fiQj ~ q dk LrEHk] rc ~p v ~ q dk vyx LrEHk gksxkA bl izdkj

vk/kj&okD; dk LrEHk cuk ysus ds ckn fu"d"kZ dk LrEHk cuk ysaA fu"d"kZ igys LrEHk esa Hkh

vk ldrk gSA iafDr;ksa dh la[;k ftrus ifjorhZ izdFku gSa muls fudy tk;sxkA vc lR;rk&ewY;

igys funsZ'k LrEHkksa dk vafdr djsa vkSj mUgha ds funsZ'k ls vU; LrEHkksa dkA lR;rk (T) rFkk vlR;rk (F) vafdr djus ds ckn ;g ns[ksa fd fdl iafDr esa nksuksa vk/kj&okD; lR; gSaA ;fn

,d Hkh ,slk n`"Vkar feys ftlesa vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; rks og ;qfDr&vkdkj

voS/ gS] ugha rks oS/A vk/kj&okD;ksa ds mQij vk/kj&okD; 1 ds fy, ^vk1* vk/kj&okD; II ds fy, ^vk

2* rFkk fu"d"kZ ds mQij ^fu-* fy[k nsaA blls lqfo/k gksxhA

3-12 vH;kl iz'u

I. lR;rk&lkj.kh dk iz;ksx dj ;g crk,a fd fuEufyf[kr izdFkuksa esa ls dkSu&ls iqujQfDr

;k O;k?kkrh ;k vkikfrd gSaµ

1. q (q q)

2. (q q) q

3. (p ~ p) (~ p p)

4. (q p) p


uksV

Lo&vè;;u lkexzh 61

5. (p q) [ ~ (q r) ~ (r p)]

6. [(p q) p] p

7. (p p) (p v p)

8. (p p) (~ p ~ p)

9. (p ~ p) (q ~ q)

10. (p v p) (p v p)

II. lR;rk&lkj.kh dk iz;ksx dj ;g fu.kZ; djsa fd fuEufyf[kr esa fduesa rkfdZd lerk

gSµ

1. (p q) (~ p ~ q)

2. (p q) (~ p ~ q)

3. (p v q) (~ p v ~ q)

4. [p (p r) [(p q) r]

5. [p (q v p) [(p q) v p]

6. p [p (p q)]

7. (p ~ p) (~ p p)

8. p [p (q p)]

3-13 lUnHkZ xzUFk 1.

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh62

bdkbZ 4% fuxeu fof/

lajpuk (Structure)

4-1 çLrkouk

4-2 mís';

4-3 oS/rk osQ vkdkfjd izek.k

4-4 vuqeku osQ izkjfEHkd fu;e

4-5 izfrLFkkiu fu;e

4-6 ;qfDr;ksa dh oS/rk osQ vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dh fof/

4-7 lksikf/d izek.k dk fu;e

4-8 lksikf/d izek.k dk vfrcy fu;e

4-9 vlk{kkr~ izek.k dk fu;e

4-10 iqujQfDr;ksa dk izek.k

4-11 voS/rk dk izek.k

4-12 lanHkZ xzaFk

4-1 çLrkouk

oS/ ;qfDr;ksa ds vk/kj ij ;g fu"d"kZ ^N P* vk/kj&okD;ksa ls fuxfer gks ldrk

gSA blls izekf.kr gksrk gS fd nh gqbZ ;qfDr oS/ gSA blesa fo/k;d gsrqiQykuqeku] fu"ks/d

gsrqiQykuqeku] gsrokfJr U;k;] oSdfYid U;k; ds fu;eksa ds }kjk oS/ jhfr ls vk/kj&okD;ksa ls

fu"d"kZ fuxfer fd;k x;k gSA laf{kIr :i esa ge fo/k;d gsrqiQykuqeku dks fo-gs- dgsaxs vkSj

fu"ks/d gsrqiQykuqeku dks fu- gs- gsRokfJr U;k; dks gs- U;k- (H. S.) vkSj oSdfYid U;k; dk

oS- U;k- D.S.)A vk/kj&okD; dk ,d ls vf/d ckj iz;ksx gks ldrk gSA nwljs iz'u esa ik¡poha iafDr dh nkfguh vksj gS 1 vkSj 2] NBh iafDr dh nkfguh vksj 3 ls 5] lkroha dh 1 vkSj 6 vkSj vkBoha vFkkZr~ iafDr dh 4 vkSj 7A bl izdkj dqy vkB iafDr;k¡ gSa vkSj 1] 2] 3] 4] 5] 6] 7 iafDr;ksa dk iz;ksx gqvk gSA igyh iafDr dks nks ckj iz;ksx gqvk gSA ;g izek.k iw.kZ gSA ;g ladsr vius ij[kus ds fy, fn;k x;k gSA

;qfDr dh oS/rk fl¼ djus esa ;g fn[kyk nsuk i;kZIr gS fd bl izdkj lR;rk&ewY; ugha

iznku fd;k tk ldrk fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A ,slh ;qfDr;ksa esa ;fn

fuekZ;d ljy izdFkuksa dk ,slk lR;rk&eY; iznku fd;k tk;s fd fu"d"kZ vlR; gks rks lHkh

vk/kj&okD; lR; ugha gks ldrsA ,slk rHkh lEHko gS tc lR;rk&ewY; iznku djus esa folaxfr

gks] vFkkZr~ ftl ljy izdFku dks lR; ekuk x;k gSA izek.kksa dh 'kq¼rk dks Lo;a ij[kus ds fy, ;g ns[ksa fd ftruh iafDr;k¡ vki vkxs fuxfer djrs gSa muesa lHkh fn, gq, vk/kj&okD;ks adk

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 63

vkSj ftls vkius fuxfer fd;k mldk iz;ksx gqvk gS ;k ughaA ;fn ugha gqvk gS rks bldk vFkZ gqvk fd ml rdZokD; dh vko';drk ugha gSA bls tkuus ds fy, nkfguh vksj fy[ks gq, gj

iafDr dh Øe&la[;k dks feyk nsaA ,d vk/kj&okD; dk ,d ls vf/d ckj iz;ksx gks ldrk gSA

4-2 mn~ns';


zoS/rk ds vkdkfjd izek.k dk fooj.k

z;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dh fof/

zlksikf/d izek.k dk vfrcy fu;e

ziqujQfDr;ksa dk izek.k

zizfrLFkkiu fu;e dk egRo

4-3 oS/rk ds vkdkfjd izek.k

;fn fdlh ;qfDr es fuekZk;d rRoksa ds :i esa rhu&pkj ;k mlls vf/d ljy izdFku gks

rks lR;rk&lkj.kh ds }kjk mldh oS/rk dk ijh{k.k ,d Vs<+h [khj gSA ;fn pkj ljy izdFku gksaxs

rks 24 = 16 vkSj ik¡p rks 25 = 32 vkSj N% rks 26 = 64 iafDr;k¡ gks tk,axhA blfy, bl dfBukbZ

dks nwj djus ds fy, ,d nwljh NksVh vkSj lqfo/ktud fof/ viukbZ tkrh gS] blesa vk/kj&okD;ksa

ls ,d vuqØe esa Kkr fu;eksa] tSlsµgSokfJra U;k;] oSdfYid U;k; br;kfn ds vk/kj ij fu"d"kZ

fuxfer fd, tkrs gSaA eku ysa fd rhu vk/kj&okD; gSa] rks igys fdlh ,d ls ;k nks ls] gsRokfJr

U;k; ;k vU; U;k; ds fu;eksa (Kkr oS/ ;qfDr) ds vk/kj ij ,d fu"d"kZ fuxfer fd;k x;k]

fiQj ml fu"d"kZ ls ;k nwljs vk/kj&okD;ksa ls nwljk fu"d"kZ] vkSj bl izdkj ,d Øe esa vUr esa

fn;k gqvk fu"d"kZ fuxfer fd;k tkrk gSA ,d mnkgj.k ls ;g Li"V gks tkrk gSA eku ysa ,d

fuEufyf[kr ;qfDr gS ftlesa ik¡p ljy izdFku gSa]

;k rks egs'k rdZ'kkL=k i<+sxk ;k ;fn ujs'k us euk fd;k x;k rks vksadkj fgUnh i<+sxkA

;fn rdZ'kkL=k dh i<+kbZ vPNh ugha gSS rc ;fn vksadkj fgUnh i<+sxk rc iIiw dks bldh

lwpuk gksxhA

;fn egs'k rdZ'kkL=k i<+sxk rc rdZ'kkL=k dh i<+kbZ vPNh gSA

rdz'kkL=k dh i<+kbZ vPNh ugha gSA

blfy, ;fn ujs'k us euk fd;k gksxk rc iIiw dks bldh lwpuk gksxhA

bl ;qfDr esa ik¡p rjy izdFku gSa]

(i) egs'k rdZ'kkL=k i<+sxk] bldk ^M* v{kj ls ladsr djsaA

(ii) ujs'k us euk fd;k gksxk] bldk ^N* v{kj ls ladsr djsaA

(iii) vksdkj fgUnh i<+sxk] bldk Ô* v{kj ls ladsr djsaA

(iv) rdZ'kkL=k dh i<+kbz vPNh gS] bldk ^L* v{kj ls ladsr djsaA

(v) iIiw dks bldh lwpuk gksxh ^P* v{kj ls ladsr djsaA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh64

bu ladsrksa dk iz;ksx dj bl ;qfDr dk izrhdkRed :i fuEufyf[kr gksxkµ

M v (N O)

~ L (O P)

M L

~ L

N P

bl ;qfDr dh oS/rk lR;rk&lkj.kh ds }kjk LFkkfir djuk ,d yEch rFkk tfvy fØ;k gS D;ksafd blesa 25 = 32 iafDr;kA gksaxhA ij LFkkfir fu;eksa ds vk/kj ij ,d vuqØe esa bldk fu"d"kZ vk/kj okD;ksa ls fuxfer gks ldrk gSA rhljk vk/kj&okD; ,d gsRokfJr rdZokD; gSA ^M L* ftldk vuqorhZ ^L* gSA pkSFks vk/kj&okD; ^~ L* esa ^L* dk fu"ks/ gS] vr% fu"ks/d gsrqiQykuqeku ds vk/kj ij fu"d"kZ gksxk ^~ M* (1) A

vc igyk vk/kj&okD; ^M v (N O)* ,d oSdfYid rdZokD; gSA vHkh tks ^~ M* fu"d"kZ gqvk] mls mlds lkFk feykus ls oSdfYid U;k; ds fu;e ds vuqlkj fu"d"kZ gksxk ^N O* (2) A fiQj nwljs vk/kj&okD; ^~ L (O P)* vkSj pkSFks vk/kj&okD; ^~ L* dks feykus ls fu"d"kZ fo/kjd gsrqiQykuqeku ds vk/kj ij gksxk Ô P* (3)A vc nwljs fu"d"kZ ^N O* vkSj rhljs fu"d"kZ Ô P* ls gsRokfJr U;k; ds fu;e ds vuqlkj fu"d"kZ gksxk ^N P*A ;gh fn;k gqvk fu"d"kZ gSA oS/ ;qfDr;ksa ds vk/kj ij ;g fu"d"kZ ^N P* vk/kj&okD;ksa ls fuxfer gks ldrk gSA blls izekf.kr gksrk gS fd nh gqbZ ;qfDr oS/ gSA blesa fo/k;d gsrqiQykuqeku] fu"ks/d gsrqiQykuqeku] gsrokfJr U;k;] oSdfYid U;k; ds fu;eksa ds }kjk oS/ jhfr ls vk/kj&okD;ksa ls fu"d"kZ fuxfer fd;k x;k gSA laf{kIr :i esa ge fo/k;d gsrqiQykuqeku dks fo-gs- dgsaxs vkSj fu"ks/d gsrqiQykuqeku dks fu- gs- gsRokfJr U;k; dks gs- U;k- (H. S.) vkSj oSdfYid U;k; dk oS- U;k- D.S.)A blh izdkj vU; vuqeku dh fØ;kvksa dks la{ksihdj.k dj fn;k tk ldrk gS] tSls fo/k;d f}fo/k ds fy, fo-f}- (C.D.) bR;kfnA

mi;qZDr ;qfDr dks la{ksi esa fy[kus dh fof/ ;g gS fd ftrus vk/kj&okD; gSa] mudks Øe la[;k nsdj fy[ksa] vkSj vkf[kjh vk/kj&okD; ds ,d frjNh js[kk nsA blds ckn ^blfy,* ds rhu fcUnqvksa ds ckn fu"d"kZA fu"d"kZ ogk¡ blfy, fy[kk tkrk gS ftlesa lHkh vk/kj&okD; ,d LrEHk esa gks] tSlsµ 1. M v (N O) 2. ~ L (O P) 3. M L 4. ~ L / N P

ik¡poha iafDr ds vk/kj&okD;ksa ls tks fu"d"kZ fudyrk gS vkSj mlds lkeus fdu vk/kj&okD;ksa ls og fu"d"kZ fudyrk gS mudh Øe la[;k vkSj fdl fu;e ds vk/kj ij ;g fu"d"kZ fuxfer gqvk mldk laf{kIr :i fy[krs tk;saA tks fu"d"kZ fuxfer gqvk gS og Hkh vU; fu"d"kZ ds fy, vk/kj&okD; gks ldrk gSA vUr esa tgk¡ fn;k gqvk fu"d"kZ fey tk;s ogha #d tk,¡A tSlsµ

1. M v (N O) 2. ~ L (O P)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 65

3. M L 4. ~ L / N P

5. ~ M 3, 4 fu- gs- (M.T.)

6. N O 1] 5] oS- U;k- (D.S.)

7. O P 2] 4 fo- gs- (M.P.)

8. N P 6, 7 gs- U;k- (H.S.)

ftl Øe esa vk/kj&okD;ksa dks ,d lkFk feykdj fdlh fu;e ds }kjk fu"d"kZ fudkyk

tkrk gS mu vk/kj&okD;ksa dh Øe la[;k mlh Øe esa uksV djsaA tSlsµik¡poha iafDr] rhljh vkSj

pkSFkh iafDr ls fu- gs- (M.T.) ds }kjk fuxfer gS] vr% ] ^3] 4] fu- gs- (M.T.)* uksV djsa]

^4] 3* ughaA

[5] rhljs vkSj pkSFks vk/kj&okD;ksa ls fu"ks/d gsrqiQkyqeku ds vk/kj ijA]

[6] igys vkSj ik¡posa ds vk/kj ij oSdfYid U;k; ds }kjkA]

[7] nwljs vkSj pkSFks vk/kj&okD;ksa ls fo/k;d gsrqiQykuqeku ds vk/kj ijA]

[8] NBs vkSj lkrosa ds vk/kj ij gsRokfJr U;k; ds }kjkA]

fdlh ;qfDr dh oS/rk ds vkdkfjd izek.k dh ifjHkk"kk

fdlh ;qfDr dh oS/rk dk vkdkfjd izek.k izdFkuksa dk oSlk vuqØe gS] ftlesa izR;sd izdFku ;k rks ml ;qfDr dk dksbZ vk/kj&okD; gks ;k iwoZxkfeuh izdFkuksa ls fdlh izkjfEHkd oS/ ;qfDr ds }kjk bl izdkj fuxfer gks fd ml vuqØe dk vfUre izdFku ml izekf.kr fd, tkus okyh ;qfDr dk fu"d"kZ gksA izkjfEHkd oS/ ;qfDr fdlh izkjfEHkd oS/ ;qfDr&vkdkj ds ,d izfrLFkkfir n`"Vkar dks dgk tkrk gSA

(d) P q p q

;g izkjfEHkd oS/ ;qfDr&vkdkj gSA bldk ,d izfrLFkfir n`"Vkar]

([k) A B A

B gSA

fdlh oS/ ;qfDr vkdkj dk izfrLFkkfir n`"Vkar Hkh oS/ gksrk gSA ^d* oS/ gS] vr% ^[k* Hkh oS/ gSA ;s izkjfEHkd oS/ ;qfDr&vkdkj vuqeku ds fu;e gSaA bl izdkj ds ukS fu;e izkjfEHkd ekus tkrs gSaµ

4-4 vuqeku ds izkjfEHkd fu;e

vuqeku ds izkjfEHkd fu;e laf{kIr ladsr

1. fo/k;d gsrqiQykuqeku fo- gs- (M.P.) p q

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh66

P q

2. fu/s"kd gsrqiQykuqeku fu-- gs- (MTP.) p q ~ q ~ p

3. gsRokfJr U;k; gs- U;k- (H.S.)

p q

q r

p r 4. oSdfYid U;k; oS- U;k- (D.S.) p v q ~ p q 5. fo/k;d f}fo/k fo- f}- (C.D.) (p q) . (r s) p v r q v s 6. fu"ks/d f}fo/k fu- f}- (D.D.) (p q) . (r s) ~ q v ~ s ~ p v ~ r 7. ljyhdj.k ljyh- (Simp.) p . q p 8. la;ksx la;ks- (Conj.) p q p . q 9. ;ksx ;ksx (Add) p p v q

vuqeku ds bUgha ukS fu;eksa dks izkjfEHkd oS/ ;qfDr&vkdkj dgk tkrk gS] ftudh oS/rk lR;rk&lkj.kh ds }kjk ljyrk ls LFkkfir fd;k tk ldrk gSA muds vk/kj ij tfVy ;qfDr;ksa dh oS/rk dk ijh{k.k lEHko gSA lqfo/k ds fy, vuqeku dh fØ;kvksa dk ladsr fo- gs- fu-] vkfn (M.P., T. etc.) ls dh tkrh gSA

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 67

dqN gy fd, gq, iz'u

(1) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa ds vuqeku ds mu fu;eksa dk ladsr dhft, ftuds }kjk vk/kj&okD; ;k vk/kj&okD;ksa ls fu"d"kZ fuxfer gq, gSaA

1. (A ~ B)

(A ~ B) v (C D)

;gk¡ ;g Li"V gs fd fu"d"kZ esa ,d fodYi ogh gS tks vk/kj&okD; gS vkSj nwljk fodYi tksM+k x;k gSA vr% og

p

p v q

,d ,d n`"Vkar gS] vFkkZr~ ;ksx dkA bls fuEufyf[kr rjhds ls fy[ksaµ

A ~ B p

(A ~ B) v (C D)—;ksx (Add.) | p v q

2. (P Q) (R S)

P Q

nks la;qDrksa esa ls fu"d"kZ esa dsoy ,d gS] vr% ;g ljyhdj.k dk mnkgj.k gSA

(P Q) (R S) p q

P Q—ljyhdj.k | p

3. (P Q) (R S) p q

P Q | p

R S— fo- gs- (M.P.) q

;gk¡ iwoZorhZ ^P Q* gS vkSj vuqorhZ ^R S*A ;g ;qfDr&vkdkj vFkkZr~ fo/k;d gsrqiQykuqeku dk n`"Vkar gSA 4. [A (B v C)] (B C) p q

~ (B C) | p

~ [A (B v C)] ~ p

;g oS/ ;qfDr&vkdkj ^p q*, ~ q, ~ p* dk vFkkZr~ gsrqiQykuqeku dk n`"Vkar gSA

5. A B p

B C | q

(A B) (B C)—la;kstu p • q

blesa igys vkSj nwljs vk/kj&okD;ksa dk la;kstu gqvk gSA 6. (~ R S) v (T v U) p v q

~ (~ R S) | ~ p

T v U—oS- U;k- (D.S.) q

;g ,d oSdfYid U;k; gSA mlds fu;e ds vuqlkj ,d fodYi dk fu"ks/k dj nwlj dk fo/ku fd;k x;k gS

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh68

7. N (O P) p p (O P) Q | q r N Q—gs- U;k- (H.S.) p r

;g ,d gsrokfJr U;k; gS vkSj mlds fu;e ds vk/kj ij fu"d"kZ fudyrk gS 8. (A B) (C D) (p q) • (r s)

~ B v ~ D | ~ q v ~ s ~ A v ~ C ~ p v ~ r blesa igys vk/kj&okD; esa nks gsrokfJr izdFku gSa vkSj ,d esa ,d oSdfYid izdFku ftlesa nksuksa vuqorhZ dk fu"ks/ fd;k x;k gSA vr% fu"ks/d f}fo/k ds fu;ekuqlkj fu"d"kZ fudyrk gSA 9. (A ~ B) [C (D E) (p q) • (r s)

A v C | p v r ~ B v (D E)—fo- f}- (C. D.) q v s

;g ,d f}fo/k gSA blesa fo/k;d f}fo/k ds fu;e ds vk/kj ij fu"d"kZ fudyrk gSA

(II) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa esa vk/kj&okD;ksa dks NksM+ vU; iafDr;ksa ds fy, dkSu&ls fu;eksa dk iz;ksx gqvk gS] mudk ladsr dhft,A

1. 1. F v (G v H)

2. (G I) (H J)

3. (I v J) (F v H)

4. ~ F / H

5. G v H 1, 4, oS- U;k- (D.S.)

6. I v J 2, 5, fo- f}- (C. D.)

7. F v H 3, 6, fo- gs- (M.P.)

8. H 7, 4, oS- U;k- (D.S.)

[ik¡poha iafDr esa ^G v H* fu"d"kZ vk/kj&okD; ^F v (G v H)* vkSj pkSFks vk/kj&okD; ^~F* ls oSdfYid U;k; (D.S.) ds fu;e ds }kjk izkIr gqvk gSA blfy, vk/kj&okD;ksa dh Øe la[;k 1 vkSj 4 fy[kdj fu;e oS- U;k- (D. S.) dk ladsr dj nhft,A ,sls gh vkxs ds lHkh iafDr;ksa ds fy, ftu vk/kj&okd;ksa ls og fu"d"kZ fudyrk gS mudh Øe&la[;k vkSj fu;e dk ladsr dhft,A]

2. 1. Q (R S)

2. (R S) T

3. (S U) ~ V

4. ~ V (R ~ W)

5. ~ T v ~ (R ~ W) / ~ Q v ~ (S U)

6. Q T 1, 2, gs- U;k - (H. S.)

7. (S U) (R ~ W) 3, 4, gs- U;k- (H. S.)

8. (Q T) [(S U) (R ~ W) 6, 7, la;ks- (Conj.)

9. ~ Q v ~ (S U) 8, 5, fu- f}- (D. D.)

3. 1. [(A v ~ B) v C] [D (E F)]

2. (A v ~ B) [(F G) H]

3. A [(E F) (F G)]

4. F / D H

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 69

5. A v ~ B 4, ;k sx (Add.)

6. (A v ~ B) v C 5, ;ksx (Add.)

7. D (E F) 1, 6, fo- gs- (M. P.)

8. (E F) (F G) 3, 4, fo- gs- (M. P.)

9. D (F G) 7, 8, gs- U;k- (H. S)

10. (F G) H 2, 5, fo- gs- (M.P.)

11. D H 9, 10, gs- U;k- (H. S.)

(III) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dhft,µ

1. E (F ~ G)

(F v G) H

E

HmÙkjµ 1. E (F ~ G)

2. (F v G) H

3. E / H

4. F ~ G 1, 3, fo- gs- (M.P.)

5. F 4, ljyh- (Simp.)

6. F v G 5, ;ksx (add)

7. H 2, 6, fo-gs- (M.P.)

2. M N

N O

(M O) (N P)

(M P) Q

Q

mÙkjµ 1. M N

2. N O

3. (M O) (N P)

4. (M P) Q / Q

;gk¡ 1, 3 ;k 1, 4 ;k 2, 3 ;k 3, 4 ds feykus ls dksbZ fu"d"kZ uks fu;eksa ds vk/kj ij ugha gksrk gSA dsoy 1 vkSj 2 ls gs- U;k- (H. S.) ds }kjk fu"d"kZ fudyrk gSA

*[1, 2 vkSj 3 dks ns[kdj ;g irk pyk,¡

fd fdUgha nks dks feykdj fdl fu;e ls dksbZ

fu"d"kZ gks ldrk gSA 1- vkSj 2- ls dksbZ fu"d"kZ

ugha gksxk ij 1 vkSj 7 ls gksxkA vr% vxys

Øe esa og 1 vkSj 3 ls gksxkA vr% vxys Øe

esa og fu"d"kZ fudkysA fiQj] fn, gq, fu"d"kZ

dks ns[ksaA ns[kus ls gh ;g Kkr gksrk gS] fd

;fn ,d rdZokD; (^F v G*) vk/kj gks rks 2

vk/kj&okD; ls fo- gs- (M. P.) ds vk/kj ij

fu"d"kZ ^H* gks tk,xkA

blfy, 4 ls ljyhdj.k ds }kjk ^F*

fudkydj blesa G* dk ;ksx dj nsaA blh izdkj

vH;kl ds ckn Lo;a vxyh dM+h lw> tkrh

gSA ;fn vk/kj&okD;ksa esa gsRokfJr] rdZ&okD;

gksa rks iwoZorhZ ;k vuqorhZ dk fo/ku ;k fu"ks/

dj fu"d"kZ fudkyk tk ldrk gS vkSj ;fn

oSdfYid rdZ&okD; gks rks ,d fodYi dk

fu"ks/ ;k ;fn nks gsRokfJr okD; gksa] rks mls

feykdj fo- f}- (C. D.) ;k fu- f}- (D. D.)

ds }kjk fu"d"kZ gksxkA

fu"d"kZ dks igys ns[ksa vkSj fopkjsa fd

og fdl vk/kj&okD; ls dSls feysxk vkSj

bl izdkj eu ls ihNs pyrs tk;saA blls vkxs

dh dM+h lw>sxhA]

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh70

5. M O 1, 2 gs- U;k- (H.S.) ;gk¡ Li"V fd 5 dks ;fn 3 ds lkFk feyk;k tk;s] rks fo- gs- (M. P.) ds }kjk fu"d"kZ gksxkA

6. N P 3, 5 fo- gs- (M. P.) fu"d"kZ Q gS ;fn M P vk/kj fey tk;s rks 4 ds }kjk ljyrk ls og fu"d"kZ fudy tk,xkA vr% 6 • N P dks 1 ls feyk,¡A fu"d"kZ gksxkA

7. M P 1, 6, gs- U;k- (H.S.)

8. Q 4, 7, fo- gs- (M.P.)

[izek.kksa dh 'kq¼rk dks Lo;a ij[kus ds fy, ;g ns[ksa fd ftruh iafDr;k¡ vki vkxs fuxfer djrs gSa muesa lHkh fn, gq, vk/kj&okD;ks adk vkSj ftls vkius fuxfer fd;k mldk iz;ksx gqvk gS ;k ughaA ;fn ugha gqvk gS rks bldk vFkZ gqvk fd ml rdZokD; dh vko';drk ugha gSA bls tkuus ds fy, nkfguh vksj fy[ks gq, gj iafDr dh Øe&la[;k dks feyk nsaA ,d vk/kj&okD; dk ,d ls vf/d ckj iz;ksx gks ldrk gSA nwljs iz'u esa ik¡poha iafDr dh nkfguh vksj gS 1 vkSj 2] NBh iafDr dh nkfguh vksj 3 ls 5] lkroha dh 1 vkSj 6 vkSj vkBoha vFkkZr~ iafDr dh 4 vkSj 7A bl izdkj dqy vkB iafDr;k¡ gSa vkSj 1] 2] 3] 4] 5] 6] 7 iafDr;ksa dk iz;ksx gqvk gSA igyh iafDr dks nks ckj iz;ksx gqvk gSA ;g izek.k iw.kZ gSA ;g ladsr vius ij[kus ds fy, fn;k x;k gSA fy[kus ds fy, ughaA]

3. A (B C)

~ A [(D E) (F G)]

(B C) v [(~ A D) (~ A F)]

~ (B C) ~ (G D)

E v G

mÙkjµ

1. A (B C)

2. ~ A [(D E) (F G)]

3. (B C) v [(~ A D) (~ A F)]

4. ~ (B C) ~ (G D) / E v G

[;gk¡ fdUgha nks vk/kj okD;ksa ls Li"Vr% dksbZ fu"d"kZ ugha fudyrk gS] ij fu"d"kZ ls] ;g

ladsr feyrk gS fd Ê* vkSj ^G* nwljh iafDr esa gS % ^[(D E) (F G]* esA ;g ,d f}f}fo/k gS tks ^~ A* feyus ij fn- gs- (M. P.) ds }kjk fey ldrk gS vkSj ^~ A, ~ (B C)* feyus ijA blfy, ik¡poha iafDr esa pkSFkh ds ljyhdj.k ls izkjEHk djsaA]

5. ~ (B C) 4, ljyh] (Simp.)

6. ~ A 1, 5, fu- gs- (M. T.)

7. [(D E) (F G] 2, 6, fo- gs- (M.P.)

8. (~ A D) (~ A F] 3, 5, oS- U;k- (D. S.)

9. ~ A v ~ A 6, ;ksx (Add.)

10. D v F 8, 9, fo- f}- (C. D.)

11. E v G 7, 10, fo- f}- (C.D.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 71

4. V W

X Y

Z W

X A

[(V Y) (Z A)] (V v Z)

Y v A

mÙkjµ

1. V W

2. X Y

3. Z W

4. X A

5. W X

6. [(V Y) . (Z A)] (V v Z) / Y v A.

7. W Y 5, 2, gs- U;k- (H. S.)

8. V Y 1, 7, gs- U;k- (H. S.)

9. W A 5, 4, gs- U;k- (H. S.)

10. Z A 3, 9, gs- U;k- (H. S.)

11. (V Y) . (Z A) 8, 10, la;ks- (Conj.)

12. V v Z 6, 11, fo- gs- (M. P.)

13. Y v A 11, 12, fo- f}- (C. D.)

[blesa fu"d"kZ ^Y v A* ds nksuksa rdZokD; NBh iafDr esa gSa ftldk iwoZorhZ ,d f}fo/k gSA

vr% ;fn fodYi ^V v Z* izkIr gks rks ^Y v A* fuxfer gks tkrk gSA ^V v Z* Hkh NBh iafDr esa vuqorhZ gS tks ;fn iwoZorhZ (^V Y) • (Z A)* izkIr gks tk;s rks og fo- gs- (M. P.) ls izkIr gksxkA ^(V Y)* rFkk ^(Z A)* vU; iafDr;ksa ls fuxfer gks ldrs gSaA

5. (B v C) (D v E)

[(D v E) v F] (G v H)

(G v H) ~ D

E ~ G

B

H

mÙkjµ

1. (B v C) (D v E)

2. [(D v E) v F] (G v H)

3. (G v H) ~ D

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh72

4. E ~ G

5. B / H

6. B v C 5, ;ksx (Add.)

7. D v E 1, 6, fo- gs] (M. P.)

8. (D v E) v F 7, ;ksx (Add.)

9. G v H 2, 8, fo- gs- (M. P.)

10. ~ D 3, 9, fo- gs- (M. P.)

11. E 7, 10, oS- U;k- (D. P.)

12. ~ G 4, 11, fo- gs- (M. P.)

13. H 9, 12, oS-- U;k- (D. S.)

6. A B

A v (B v ~ C)

~ C • ~ B

mÙkjµ

1. A B

2. A v (B v ~ C)

3. ~ B 1, 3, fu- gs- (M. T.)

4. ~ A 2, 4, oS-- U;k- (D. S.)

5. B v ~ C 5, 3, oS-- U;k- (D. S.)

6. ~ C 6, 3, la;ks- (Conj.)

7. ~ C • ~ B

7. (~ A v B) (C D)

(~ E • ~ F) (D G)

(A E) • (E A)

(~ E • ~ F) • ~ H

C G

mÙkjµ

1. (~ A v B) (C D)

2. (~ E • ~ F) (D G)

3. (A E) • (E A)

4. (~ E • ~ F) • ~ H \ C G

5. ~ E • ~ F 1, 3, ljyh- (Simp.)

6. D G 2, 5, fo- gs- (M. P.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 73

7. ~ E 5, ljyh- (Simp.)

8. A E 3, ljyh- (Simp.)

9. ~ A 8, 7, fu- gs- (M. T.)

10. ~ A v B 9, ;ksx (Add.)

11. C D 1, 10, fo- gs- (M. P.)

12. C G 11, 6, gs- U;k- (H. S.)

8. (P Q) • (R S)

(Q T) • (S U)

(~ P T) • (~ Q S)

~ T

~ R v ~ QmÙkjµ

1. (P Q) • (R S)

2. (Q T) • (S U)

3. (~ P T) • (~ Q S)

4. ~ T / ~ R v ~ Q

5. ~ T v ~ U 4, ;ksx (Add.)

6. ~ Q v ~ S 2, 5, fu- f}- (D. D.)

7. ~ P v ~ R 1, 6, fu- f}- (D. D.)

8. ~ P T 3, ljyh- (Simp.)

9. ~ ~ P 8, 4, fu- gs- (M. T.)

10. ~ R 7, 9, oS- U;k- (D. S.)

11. ~ R v ~ Q 10, ;ksx (Add.)(IV) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dhft,A crkb, gq,

ladsrksa dk iz;ksx djsaA

1- ;fn lkeku de gksx] rc nke c<+sxkA ;fn 'kklu cnysxk rks VSDl ugha yxsxkA ;fn eg¡xkbZ c<+sxh rks VSDl yxsxkA ;fn lkeku vf/d gksxk] rc nke ugha c<+sxk] ;k rks lkeku vf/d gksxk ;k 'kklu cnysxkA blfy, ;k rks lkeku ugha de gksxk ;k eg¡xkbZ ugha c<+sxhA

(A : lkeku de gksxkA D : nke c<+sxkA S : ;kklu cnysxkA T : VSDl yxsxkA M : eg¡xh c<+sxhA B : lkeku vf/d gksxkA)

[vc bu ladsrksa dk iz;ksx dj bl ;qfDr dks izrhdkRed :i esa ifjofrZr djsaA]

1. A D

2. S ~ T

3. M T

4. B ~ D

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh74

5. B v S / ~ A v ~ M

6. (B ~ D) • (S ~ T) 4, 2, la;ks- (Conj._

7. ~ D v ~ T 6, 5, fo- f}- (C. D.)

8. (A D) • (M T) 1, 3, la;ks- (Conj.)

9. ~ A v ~ M 8, 7, fu- f}- (D. D.)

[crkbZ gqbZ fof/ ds vuqlkj vkdkfjd izek.kksa dh jpuk djsaA]

vH;kl djsa

(I) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa esa vuqeku ds mu fu;eksa dk ladsr dhft, ftuds }kjk vk/kj&okD;ksa

ls fu"d"kZ fuxfer gq, gSaµ

1. P • [(R S) v Q]

P

2. R ~ S

(R ~ S) v (T ~ W)

3. (L M) • [( P v Q) v (T ~ N)]

L M

4. L v (K v M)

[L v (K v M)] v [L v (K v M)]

5. A [( S v T) (Q v R)]

[(S v T) (Q v R)] P

A P

6. (~ P Q) v (R v S)

~ (~ P Q)

R v S

7. M ~ N

~ N P

M P

8. [A (B v C)] (D • E) ~ F)]

~ [(D • E) ~ F]

~ [A (B v C)]

9. [~ A (B v C)] (P v Q)

[~ A (B v C)]

P v Q

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 75

10. (A ~ B) • (C ~ D)

~ ~ B v ~ ~ D

~ A v ~ C

11. [(P Q) • (C R)]

P v C

Q v R

12. [~ A (B v C)] • [~ P (Q v R)]

~ A v ~ P

(B v C) v (Q v R)

13. P ~ Q

S (T v ~ N)

(P ~ Q) • [S (T v ~ N)]

14. ~ [G (H v P)] • ~ [(L • K) M]

~ [G (H v P)]

15. P v Q

(P v Q) v (S ~ O)

(II) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa esa vk/kj&okD;ksa dks NksM+ vU;

iafDr;ksa ds fy, ftu fu;eksa dk iz;ksx gqvk gS mudk ladsr dhft,µ

1. 1. (A v G) S

2. A • T / S

3. A

4. A v G

5. S

2. 1. A v ~ I

2. D I

3. ~ A

4. (~ D • I) W / W

5. ~ I

6. ~ D

7. ~ D • ~ I

8. W

3. 1. K L

2. M N

3. (O N) • (P L)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh76

4. (~ N v ~ L) • (~ M v ~ O) / (~ O v ~ P) • (~ M v ~ K)

5. (M N) • (K L)

6. ~ N v ~ L

7. ~ M v ~ K

8. ~ O v ~ P

9. (~ O v ~ P) • (~ M v ~ K)

4. 1. P Q

2. R S

3. ~ O v ~ S

4. ~ ~ P

5. (L • M) R / ~ (L • M)

6. (P Q) • (R S)

7. ~ P v ~ R

8. ~ R

9. ~ (L • M)

5. 1. (G H) (P Q)

2. K v ~ (I M)

3. (G H) v ~ K

4. (N : S : A : B : H : M :)

5. (R : S : N : M :)

6. (B : S : P : C : N : F : T :)

7. (A : B : P : T : K : G : R : C :)

8. (G : S : C : F : U : R : P :)

1. ;fn ujsUnz mifLFkr gS] rks lqjsUnz mifLFkr gS] vkSj ;fn lqjsUnz mifLfkr gS rks vejsUnz

mifLFkr ugha gS ;fn vejsUnz mifLFkr gS rks ohjsUnz mifLFkr ugha gSA ;fn lqjsUnz mifLFkr gS rks

gjsUnz mifLFkr gSA ;fn ohjsUnz mifLFkr ugha gS tc ehjk mifLFkr gSA ;k rks gjsUnz mifLFkr ugha

gS ;k ehjk mifLFkr ugha gSA blfy, ;k rks ujsUnz mifLFkr ugha gSA ;k rks gjsUnz mifLFkr ugha

gS ;k ehjk mifLFkr ugha gSA blfy, ;k rks ujsUnz mifLFkr ugha gS ;k vejsUnz mifLFkr ugha gSA

(N % gjsUnz mifLFkr gSA S % lqjsUnz mifLFkr gSA A % vejsUnz mifLFkr gSA B % ohjsUnz

mifLFkr gSA H % gjsUnz mifLFkr gSA M % ehjk mifLFkr gSA)

2- ;fn jke iVuk esa jgsxk ;k ';ke iVuk esa jgsxk] rc usgk iVuk esa ugha jgsxhA ;k rks

usgk iVuk esa jgsxh ;k ';ke iVuk esa jgsxkA ;fn ';ke iVuk esa jgsxk ;k jke iVuk esa ugha jgsxk

rc ehjk iVuk esa jgsxhA jke iVuk esa jgsxkA blfy, ;k rks ehjk iVuk esa jgsxh ;k ';ke iVuk

esa ugha jgsxkA (R % jke iVuk esa jgsxkA S % ';ke iVuk esa jgsxkA N % usgk iVuk esa jgsxkA

M % ehjk iVuk esa jgsxhA)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 77

3- ;fn og fookg djsxk rks og lq[k ls jgsxkA ;k rks og fookg djsxk ;k ;fn og ijh{kk

nsxk rks og dksydkrk tk,xkA ;k rks og fujksx jgsxk ;k ;fn mls Toj gksxk rks mls d"V gksxkA

;fn og fujksx jgsxk rks lq[k ls jgsxkA ;fn og fookg ugha djsxk vkSj og fujksx ugha jgsxk

rc ;k rks mls Toj gksxk ;k og ijh{kk nsxkA og lq[k ls ugha jgsxkA blfy, mls d"V gksxk ;k

og dksydrk tk;sxkA (B % og fookg djsxkA S % og lq[k ls jgsxkA P % og ijh{kk nsxkA C % og dksydrk tk;sxkA N % og fujksx jgsxkA F % mls Toj gksxkA T % mls d"V gksxkA)

4- ;fn og vkxs ds njokts ls Hkkx rks cp ldrk ugha gS ;fn ihNs ls Hkkxk rks mldh

Vkaxs ugha cpsaxhA ;fn og f[kM+dh ls dwvk rks ?kk;y gksus ls ugha cpsxk vkSj ;fn cSBk jgk rks

idM+s tkus ls ugha cpsxkA ;fn og ihNs ls Hkkx rks ?kk;y gksus ls cpsxk vkSj mldh Vkaxs cpha

rks og cp ldrk gSA ;k rks og f[kM+dh ls dwVk ;k og vkxs ds njokts ls HkkxA blfy, ;k

rks og ihNs ls ugha Hkkx ;k mldh Vkaxs ugha cphaA (A % og vkxs ds njoktk ls HkkxkA B %

og cp ldrk gSA P % ihNs ls HkkxA T % mldh Vkaxsa cpsaxhA K % og f[kM+dh ls dwnkA G

% ?kk;y gksus ls cpsxkA R % og cSBk jgkA C % idM+s tkus ls cpsxkA)

5- ;fn ljdkj iztkrkfU=kd gS rks lcls jk; ysxhA ;k rks ljdkj iztkrkfU=kd gS ;k ;fn

Hkz"V gS rks ew[kks± ls izJ; nsxhA ;k rks 'kklu mi;ksfxrkoknh gS ;k ;fn /eZrkfU=kd gS rks /eZ

dks izJ; feysxkA ;fn 'kklu mi;ksfxrkoknh gS rks lcls jk; ysxkA ;fn ljdkj iztkrkfU=kd ugha

gS vkSj 'kklu mi;ksfxoknh ugha gS rks 'kklu /eZrkfU=d gS ;k Hkz"V gSA ljdkj lcls jk; ysxhA

blfy, ;k rks /ez dks izJ; feysxk ;k ew[kks± dks izJ; feysxkA (G % ljdkj iztkrkfU=d gSA

S % ljdkj lcls jk; ysxhA C % ljdkj Hkz"V gSA F % ew[kks± dks izJ; feysxkA U % 'kklu

mi;ksfxrkoknh gSA R % ljdkj /eZrkfU=kd gSA P % /ez dks izJ; feysxkA)

4-5 izfrLFkkiu fu;e

;qfDr;ksa ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk ds fy, vuqeku ds izkjfEHkd ukS fu;eksa dh O;k[;k

dj nh xbZ gs] ij cgqr&lkjh lR;rk&iQyd ;qfDr;k¡ gSa ftUgsa ek=k mu ukS fu;eksa ds }kjk oS/

ugha fl¼ fd;k tk ldrkA

mnkgj.kµP

Q v P

;g ,d oS/ ;qfDr gS ij fn, gq, ukS fu;eksa esa ls ;ksx ds }kjk ^P v Q* fl¼ gksrk gS]

^Q v P* ughaA bls fl¼ djus ds fy, vU; fu;e dh vko';drk gksrh gSA

bu ;qfDr;ksa esa tks ;kSfxd izdFku gksrs gSa] os lR;rk&iQyd ;kSfxd izdFku gksrs gSaa ;fn

fdlh ;kSfxd izdFku ;k mlds fdlh va'k ds LFkku ij ,slk okD; izfrLFkfir dj fn;k tk;s

rks rkfdZd n`f"V ls mlds leku ;k rqY; gS rks ml ;kSfxd izdFku ds ifjofrZr :i ds

lR;rk&ewY; esa dksbZ vUrj ugha gksxkA tSlsµ ^P • Q* ds LFkku ij ^Q • P* dks fy;k tk;s rks

nksuksa ds lR;rk&ewY; esa dksbZ vUrj ugha gksxkA bl izdkj fdlh izdFku ds LFkku ij rkfdZd

n`f"V ls mlds leku ;k rqY; okD; dks j[k nsuk izfrLFkkiu gSA bl fØ;k dks izfrLFkkiu fu;e

dgk tkrk gSA crk, x, ukS fu;eksa ds vfrfjDr ;s Hkh vuqeku ds fu;e gSaA buds }kjk fdlh

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh78

izdFku esa mudh ;k muds fdlh va'k dks rkfdZd n`f"V ls leku ;k rqY; okD;ksa ls izfrLFkkfir

dj vuqeku fudkyk tkrk gSA

;w¡ rks fdlh izdFku ds] rkfdZd n`f"V ls vusd rqY; ;k leku izdFku gks ldrs gSa ij

fu;e ds :i esa dsoy mUgha dks ekuk x;k gS ftudh rqY;k (lerk) Li"V gS vkSj tks ;qfDr;ksa

dh oS/krk fl¼ djus esa lokZf/d iz;qDr gksrs gSaA mudh la[;k nl gSA

izfrLFkkiu fu;e

fuEufyf[kr leku ;k rqY; rdZokD;ksa esa fdlh ,d dks nwljs ls LFkkukiUu fd;k tk ldrk gSµ

1. Mh ekxZ&lkè; (De Morgan's theirems):

~ (p • q) (~ p v ~ q)

~ (p v q) (~ p • ~ q)

2. ifj.kfr (Commutation):

(p v q) (q v p)

(p • q) (q • p)

3. lkgp;Z (Association):

[p v (q v r)] [(p v q) v r]

[p • (q • r)] [(p • q) • r]

4. forj.k (Distribuation):

[p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)]

[p v (q • r)] [(p v q) • (p v r)]

5. f}fu"ks/k (Double Negation):

p ~ ~ p

6. fofue; (Transposition):

(p q) (~ q ~ p)

7. oLrqxr vkiknu (Material Implication):

(p q) (~ p v q)

8. oLrqxr rqY;rk (Material Equivalence):

(p q) [(p q) • (q p)]

(p q) [(p • q) v (~ p • ~ q)]

9. fu;kZru (Exportation):

[(p • q) r] [p (q r)]

10. iqujQfDr (Tautology):

p (p v p)

p (p • p)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 79

izfrLFkkiu fu;e laf{kIr :i (Rules of Replacement) 1. Mh- ekxZu&lkè; Mh- ek-

(De Morgan's theirems) (De M.)

2. ifj.kfr ifj-

(Commutation) (Com.)

3. lkgp;Z lkg-

(Association) (Assoc.)

4. forj.k for-

(Distribuation) (Dist.)

5. f}fu"ks/ f}- fu-

(Double Negation) (D. N.)

6. fofue; fofu-

(Transposition) (Trans.)

7. oLrqxr vkiknu vkik-

(Material Implication) (Impl.)

8. oLrqxr rqY;rk rqY;-

(Material Equivalence) (Equiv.)

9. fu;kZru fu;kZ-

(Exportation) (Exp.)

10. iqujQfDr iqujQ-

(Tautology) (Taut.)

vc bu fu;eksa ds vk/kj ij igyh ;qfDr ‘P / Q V P’ dh oS/rk dk vkdkfjd izek.k

fn;k tk ldrk gSA

1. P / Q v P

2. P v Q 1, ;ksx (Add.)

3. Q v P 2, ifj- (Com.)

bu nl fu;eksa ds vfrfjDr dbZ ,sls ;qfDr&vkdkj gSa tks cgqr gh ljy gSa rFkk oS/ HkhA

ij os fdlh ,d oS/ ;qfDr&vkdkj ls fuxfer ugha gksrs gSa] blfy, mUgsa fu;e ds :i esa ugha

fopkjk x;k gSA mnkgj.kµ

(1) p • q

izek.kµ 1. p • q / q

2. q • p 1, ifj- (Com.)

3. q 2, ljyh- (Simp.)

vr% (p • q) q ljyh (Simp.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh80

(2) p (q • r)

(p q) • (p r)

izek.kµ 1. p (q • r) / (p q) • (p r)

2. ~ p v (q • r) 1, vkik- (Imp.)

3. (~ p v q) • (~ p v r) 2, for- (Distl)

4. (p q) • (p r) 3, vkik- (Imp.)

vr% [p (q • r)] [(p q) • (p r)] for- (Dist.)

(3) ~ p q

p v q

izek.kµ 1. ~ p q / p v q

2. ~ ~ p v q 1, vkik- (Impl.)

3. p v q 2, f}- fu- (D. N.)

vr% (~ p q) (p v q) vkik- (Impl.)

(4) ~ (p q)

p • ~ q vkik- (Impl.)

izek.kµ 1. ~ (p q) / p • ~ q

2. ~ (~ p v q) 1, vkik- (Impl.)

3. ~ ~ p • ~ q 2, Mh- ek- (De M.)

4. p • ~ q 3, f}- fu- (D. N.)

vr% ~ (p q) (p • ~ q) vkik- (Impl.)

;s lHkh ;qfDr;k¡ oS/ gSa vkSj bruh ljy fd vU; izfrLFkiu fu;eksa dh Hkk¡fr mudk iz;ksx

lEHko gS ij lHkh esa ,d ls vf/d ;qfDr&vkdkj dh vko';drk gksrh gS] blfy, bUgsa fu;eksa

ds vUrxZr ugha fopkjk x;k gSA

fdlh Hkh ;qfDr dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk esa izkjfEHkd voLFkk esa ,d

le; ,d gh vuqeku ds fu;e dk iz;ksx fd;k tkrk gSA

mnkgj.kµ

1. (A B) • (C D)

2. ~ C v D—blesa ifj.kfr (Com.) ljyhdj.k (Simp.) rFkk vkiknu (Impl.) rhuksa fu;e ,d lkFk iz;qDr gq, gSaµ

'kw¼ :iµ

1. (A B) • (C D)

2. (C D) • (A B) 1, ifj- (Com.)

3. C D 2, ljyh- (Simp)

4. ~ C v D 3, vkik- (Impl)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 81

izfrLFkkiu fu;eksa dh fo'ks"krk ;g gS fd ;s fdlh izek.k dh lEiw.kZ iafDr ;k mlds fdlh

va'k esa Hkh iz;qDr gksrs gSa] ij izFke uks fu;e lEiw.kZ iafDr esaA

mnkgj.kµÂ • B* ls ljyhdj.k ds }kjk Â* fuxfer gksrk gS] ij ^(A • B) C* ls Â*

;k Â C* v'kq¼ gksxk D;ksafd ;fn Â* lR; gks vkSj ^B* rFkk ^C* nksuksa vlR; rks fu"d"kZ

Â C* vlR; gksxk vkSj ^(A • B) C* lR;] ;k ;fn Â* vlR; gks vkSj ^B* rFkk ^C*

lR; rks ^(A • B) C* lR; gksxk vkSj fu"d"kZ Â* vlR;A vr% nksuksa esa rqY;rk ugha gksxhA

izfrLFkkiu&fu;e lEiw.kZ iafDr ;k mlds ,d va'k ij Hkh ykxw gks ldrk gSA

mnkgj.kµ^(A B) v (C v D)* ls ^(~ A v B) v (C v D)* fu"d"kZ gks ldrk gSA ;gk¡ vkiknu

nh gqbZ iafDr ^(A B) v (C v D)* ds va'k ij ykxw gqvk gS ^(~ ~ A v ~ B)* ls ^(A v ~ B)* f}fu"ks/ ds }kjk ;k ^(A B) v C* ls ^(~ B ~ A) v C* fofue; ds }kjk fuxfer gks ldrk

gSA ;s fu;e lEiw.kZ iafDr esa Hkh ykxw gksrs gSa % tSlsµ^(A v B) (C v D)* ls vkiknu ds }

kjk ^~ (A v B) v (C v D)* ;k ^(A • B) (C • D)* ls ^~ (C • D) ~ (A • B)* fofue; ds

}kjk Â (B C)* ^(A • B) C* fu;ksru ds }kjk fuxfer gksrk gSA

okD;ksa ds izfrLFkkiu rFkk n`"Vkarksa ds izfrLFkkiu esa vUrj gksrk gSA n`"Vkarksa ds izfrLFkkiu esa

fdlh ;qfDr&vkdkj ds fdlh Hkh ifjorhZ izdFku ds LFkku ij dksbZ Hkh okD; fy;k tk ldrk

gSA okD;ksa ds izfrLFkkiu esa fdlh ;qfDr&vkdkj esa fdlh Hkh okD; ds LFkku ij ,sls okD;ksa dks

fy;k tkrk gS ftudk lR;rk&ewY; rkfdZd n`f"V ls ifjorhZ okD; ds rqY; gksA nwljh ckr ;g

gS fd ;fn fdlh ;qfDr&vkdkj esa fdlh ifjorhZ izdFku ds LFkku ij dksbZ okD; fy;k x;k rks

mls lHkh LFkkuksa ij izfrLFkkfir djuk gksxk] ij okD;ksa ds izfrLFkkiu esa ,d LFkku ij fdlh

okD; dks rkfdZd n`f"V ls rqY; okD; ls ifjofrZr fd;k tk ldrk gS ij mlh ;qfDr vkdkj esa

nwljh LFkku ij mlh okD; dks vifjofrZr j[kk tk ldrk gSA

mnkgj.k

;qfDr&vkdkj izfrLFkfir n`"Vkar

1. p q 1. A B ;gk¡ lHkh okD;ksa esa (1, 2, 3 esa)

2. 2. A p ds LFkku ij A rFkk q ds LFkku ij

3. q 3. B B j[kk x;k gSA

(izfrLFkkfir&n`"Vkar dk mnkgj.k)

1. (p q) r 1. (p q) r ;gk¡ dsoy nwljh iafDr ds okD; ds

2. (p q) v ~ s 2. s (p q) LFkku ij rkfdZd n`f"V ls rqY; okD; dks

3. s r 3. s r j[kk x;k gSA

(izfrLFkkfir&n`"Vkar dk mnkgj.k)

4-6 ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dh fof/

izek.kksa dh jpuk ds fy, dksbZ ;kaf=kd fu;e ugha gSA fdl vk/kj&okD; ls dkSu&ls fu;e ds }kjk fu"d"kZ fl¼ gksxk ;k nks ckrksa ij fuHkZj gSµ

(i) vH;kl] (ii) viuh lw>A

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh82

(i) vH;kl djus esa fu;eksa dk (dqy 19) Lej.k dj ysuk vko';d gSA igys uks fu;e

rks ljy gSa D;ksafd mudsa N% vjLrwbZ rdZ&fu;e gSaA vU; rhu u, gSaaA izfrLFkkiu fu;e nl gSaA

izfrLFkkiu fu;eksa esa ;g nz"VO; gS fd izFke ik¡p vkSj nlok¡]

(i) Mh- ekxZu lkè;µ (i) ~ (p • q) (~ p v ~ q)

(De Morgan's Theorem) (ii) ~ (p v q) (~ p • ~ q)

(ii) ifj.kfrµ (i) (p v q) (q v p)

(Commutation) (ii) (p • q) (q • p)

(iii) lkgp;Zµ (i) [p v (q v r)] [(p v q) v r]

(Association) (ii) [p • (q • r)] [(p • q) • r]

(iv) forj.kµ (i) [p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)]

(Distribution) (ii) [p v (q • r)] [(p v q) • (p v r)]

(v) f}fu"ks/ p ~ ~ p

(Double Negation) vkSj nlok¡

(x) iqujQfDrµ (i) p (p v p)

(Tautology) (ii) p (p • p)

esa dgha Hkh lksikf/d okD; ugha gSA dsoy pkj fu;eksa esa lksikf/d okD; gSa] NBk ls

ukSok rd esaA

(vi) fofue;µ (p q) (~ q ~ p)

(Transposition)

(vii) oLrqxr vkiknuµ (i) (p q) (~ p v q)

(Material Implication)

(viii) oLrqxr rqY;rk (i) (p q) [(p q) • (q p)]

(Materical Equivalence) (ii) (p q) [(p • q) v (~ p • ~ q)]

(ix) fu;kZru [(p • q) r ] [p (q r)] (Exportation)

blls ladsr ;g feyrk gS fd oSls vk/kj&okD;ksa ls ftuesa lksikf/d okD; ugha gks igys

ik¡p fu;eksa ds }kjk fu"d"kZ fudkyus dk iz;Ru djsa vkSj ;fn vk/kj&okD; esa lksikf/d okD;

gksa rks ckn okys fu;eksas lsA

vkjEHk djus ds igys fu"d"kZ dks Hkyh&Hkk¡fr ns[k ysaA ;g ns[ksa fd mlesa ,sls dkSu&ls

okD; gSa tks vk/kj&okD; esa gSa ij muesa ughaA ;fn vk/kj&okD; ds dqN okD;ksa dks Nk¡Vuk gS

rks ljyhdj.k ;k gSR;kfJr U;k; ds fu;e ds }kjk oSlk lEHko gSA

tSlsµ 1. A B

2. B C / A C

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 83

;gk¡ ,d okD; ^B* fu"d"kZ esa ugha gS rks gsRokfJr U;k; ds vuqlkj] Â B* vkSj ^B C* ls fu"d"kZ Â C* gksxkA ^B* N¡V x;kA Â • B / Â* ds ljyhdj.k ds }kjk Hkh fdlh

okD; dk fujkdj.k lEHko gSA fiQj forj.k ds }kjk Hkh bl izdkj ds okD; ^p v (q • r)* dks

ifjofrZr dj ^(p v q) • (p v r)* ljyhdj.k ds }kjk ^(p v r)* dk fujkdj.k fd;k tk ldrk gSA

;fn fu"d"kZ esa ,sls okD; gksa rks vk/kj&okD; esa ugha gSa rks mi;qDr LFkku ds ;ksx ds }kjk mUgsa tksM+ nsaA tSlsµ

1. A

2. (A v B) C / C

;gk¡ igyh iafDr esa B* tksM+ nsaA

3. A v B 1, ;ksx (Add.)

4. C 2, 3, fo- gs- (M.P.)

;fn vk/kj&okD; dsoy ,d gS rks vf/drj vkiknu ;k fofue; ;k fu;kZru ds fu;e

yxrs gSaA lkgp;Z vkSj forj.k esa mQijh lekurk gSµ

lkgp;Zµ (i) [p v (q v r)] [(p v q) v r]

(ii) [p • (q • r)] [(p • q) • r]

forj.kµ (i) [p v (q • r)] [(p v q) • (p v r)]

(ii) [p • (q v r)] [(p • q) v (p • r)]

ij nksuksa esa vUrj ;g gS fd lkgp;Z esa ;k rks dsoy fo;kstu dk ;k dsoy la;kstu dk

iz;ksx gksrk gS ij forj.k esa la;kstu vkSj fo;kstu nksuksa dkA

;s lHkh funsZ'k ek=k ladsr gSa] fu;e ughaA ftu vk/kj&okD;ksa ls dksbZ rdZ&okD; fuxfer

gksrk gS vkSj ftu fu;eksa dk iz;ksx gqvk gS muds laf{kIr :i dks izR;sd iafDr esa vafdr djuk

izek.k dk vax ugha gS ij lqfo/k ds fy, mUgsa vafdr dj nsuk vko';d gSA

vH;kl ds fy, dqN ,sls iz'u fn, tk jgs gSa ftuls fu;eksa dk Lej.k gks tk;sA

dqN gy fd, gq, iz'u

(1) fuEufyf[kr ;qfDr;ksa esa mu fu;eksa dk mYys[k djsa ftuds }kjk vk/kj&okD;ksa ls fu"d"kZ

fuxfer gksrk gSµ

1. (B v C) • (~ C D)

(C v B) • (~ C D) —ifj- (Com.)

vk/kj&okD; rFkk fu"d"kZ esa ek=k igys la;qDr esa vUrj gSA ifj.kfr (com.) ds }kjk (B v C) ls (C v B) fu"d"kZ fudyk gSA

2. P v ~ (Q v R)

P v (~ Q • ~ R) —Mh- ek- (De M.)

3. (X v Y) ~ (Q • R)

(X v Y) (~ Q v ~ R) —Mh- ek- (De M.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh84

4. M ~ (N v ~ O)

M (~ N • ~ ~ O) —Mh- ek- (De M.)

5. [S • (T • U)] (A ~ B)

[(S • T) • U)] (A ~ B) —lkg- (Assoc.)

(2) 1. L M / (L • N) M

2. ~ L v M

3. (~ L v M) v ~ N

4. (~ L v ~ N) v M

5. ~ (L • N) M

6. (L • N) M

mÙkjµ

1. L M / (L • N) M

2. ~ L v M 1. vkik- (Impl.)

3. (~ L v M) v ~ N 2. ;ksx (Add.)

4. (~ L v ~ N) v M 3. lkg- (Assoc.)

5. ~ (L • N) v M 4. Mh- ek (De M.)

6. (L • N) M 5. vkik- (Impl.)

(3) 1. S (T • ~ U) / S (U T)

2. ~ S v (T • ~ U)

3. (~ S v T) • (~ S v ~ U)

4. (~ S v T)

5. (~ S v T) v ~ U

6. ~ U v (T v ~ S)

7. (~ U v T) v ~ S

8. ~ S v (~ U v T)

9. S (U T)

mÙkjµ

1. S (T • ~ U) / S (U T)

2. ~ S v (T • ~ U) 1. vkik- (Impl.)

3. (~ S v T) • (~ S v ~ U) 2. for- (Dist.)

4. ~ S v T 3. ljyh- (Simp.)

5. (~ S v T) v ~ U 4. ;ksx- (Add.)

6. ~ U v (T v ~ S) 5. ifj- (Com.)

7. (~ U v T) v ~ S 6. lkg- (Assoc.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 85

8. ~ S v (~ U v T) 7. ifj- (Corn.)

9. S (U T) 8. vkik- (Impl.)

(4) 1. (~ L v M) • (L v N)

2. ~ A ~ N / M v A

3. ~ L v M

4. L M

5. N A

6. (L M) • (N A)

7. (L v N) • (~ L v M)

8 L v N

9. M v A

mÙkjµ

1. (~ L v M) • (L v N)

2. ~ A ~ N / M v A

3. ~ L v M 1, ljyh- (Simp.)

4. L M 3, vkik- (Impl.)

5. N A 2, fofu- (Trans.)

6. (L M) • (N A) 4, 5, la;ks- (Conj.)

7. (L v N) • (~ L v M) 1, ifj- (Com.)

8. L v N 7, ljyh- (Simp.)

9. M v A 6, 8, fo- f}- (C.D.)

(5) 1. ~ L v [(M N) • (P N)]

2. L • (M v P) / N

3. L [(M N) • (P N)]

4. L

5. (M N) • (P N)

6. (M v P) • L

7. M v P

8. N v N

9. N

mÙkjµ

1. ~ L v [(M N) • (P N)]

2. L • (M v P) / N

3. L [(M N) • (P N)] 1, vkik- (Impl.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh86

4. L 2, ljyh- (Simp.)

5. (M N) • (P N) 3, 4, fo- gs- (M. P.)

6. (M v P) • L 2, ifj- (Com.)

7. M v P 6, ljyh] (Simpl.)

8. N v N 5, 7, fo] f}- (D. P.)

9. N 8, iqujQ- (Taut.)

(6) 1. (L M) • (N O)

2. L v N

3. (L ~ O) • (N ~ M) / ~ M O

4. M v O

5. ~ ~ M v O

6. ~ M O

7. ~ O v ~ M

8. O ~ M

9. (~ M O) • (O ~ M)

10. ~ M O

mÙkjµ

1. (L M) • (N O)

2. L v N

3. (L ~ O) • (N ~ M) / ~ M O

4. M v O 1, 2 fo- f}- (C. D.)

5. ~ ~ M v O 4, f}- fu- (D. N.)

6. ~ M O 5, vkik- (Impl.)

7. ~ O v ~ M 3, 2 fo- f}- (C. D.)

8. O ~ M 7, vkik- (Impl.)

9. (~ M O) • (O ~ M) 6, 8 la;ks- (Conj.)

10. ~ M O 9, rqY; (Equiv.)

(7) 1. A (B C)

2. B (C D) / A (B D)

3. (A • B) C

4. (B • C) D

5. (C • B) D

6. C (B D)

7. (A • B) (B D)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 87

8. A [B (B D)]

9. A [( B • B) D]

10. A (B D)

mÙkjµ

1. A (B C)

2. B (C D) / A (B D)

3. (A • B) C 1, fu;kZ- (Exp.)

4. (B • C) D 2, fu;kZ- (Exp.)

5. (C • B) D 4, ifj- (Exp.)

6. C (B D) 5, fu;kZ- (Exp.)

7. (A • B) (B • D) 3, 6, gs- U;kZ- (Exp.)

8. A [B (B D)] 7, fu;kZ- (Exp.)

9. A [(B • B) D] 8, iqujQ- (Exp.)

10. A (B D) 9, fu;kZ- (Exp.)

(8) 1. (A B) • (C D) / (A v C) (B v D)

2. A B

3. ~ A v B

4. (~ A v B) v D

5. ~ A v (B v D)

6. (C D) • (A B)

7. C D

8. ~ C v D

9. (~ C v D) v B

10. ~ C v (D v B)

11. ~ C v (B v D)

12. [~ A v (B v D)] • [~ C v (B v D)]

13. [(B v D) v ~ A] • [(B v D) v ~ C]

14. (B v D) v (~ A • ~ C)

15. (B v D) v ~ (A v C)

16. ~ (A v C) v (B v D)

17. (A v C) (B v D)

mÙkjµ

1. (A B) • (C D) / (A v C) (B v D)

2. A B 1, ljyh- (Simp.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh88

3. ~ A v B 2, vkik- (Imp.)

4. (~ A v B) v D 3, ;ksx (Add.)

5. ~ A v (B v D) 4, lkg- (Assoc.)

6. (C D) • (A B) 1, ifj- (Com.)

7. C D 6, ljyh- (Simp.)

8. ~ C v D 7, vkik- (Impl.)

9. (~ C v D) v B 8, ;ksx- (Add.)

10. ~ C v (D v B) 9, lkg- (Assoc.)

11. ~ C v (B v D) 10, ifj- (Com)

12. [~ A v (B v D)] • [~ C v (B v D)] 5, 11, la;ks- (Conj.)

13. [(B v D) v ~ A] • [(B v D) v ~ C] 12, ifj- (Com.)

14. (B v D) v (~ A • ~ C) 13, for- (Dist.)

15. (B v D) v ~ (A v C) 14, vkik- (De. M.)

16. ~ (A v C) v (B v D) 15, ifj- (Com.)

17. (A v C) (B v D) 16, vkik- (Impl.)

III. vkdkfjd izek.kksa dh jpuk dh fof/µgy fd, x, mnkgj.k

(1) 1. S G

2. ~ S E / G v E

3. ~ G ~ S 1, fofu- (Trans.)

4. ~ G E 3, 2, gs- U;k- (H. S.)

5. G v E 4, vkik- (Impl.)

(2) 1. A v (B • C)

2. (A v B) D / C v D

3. (A v B) • (A v C) 1, for- (Dist.)

4. A v B 3, ljyh- (Simp.)

5. D 2, 4, fo- gs- (M. P.)

6. D v C 5, ;ksx (Add.)

7. C v D 6, ifj- (Com)

(3) 1. (S • U) P

2. (U P) W

3. S / W

4. S (U P) 1, fu;kZ- (Exp.)

5. S W 4, 2, gs- U;k- (H. S.)

6. W 5, 3, fo- gs- (M. P.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 89

(4) 1. G (B C)

2. G • ~ C / ~ B

3. G 2, ljyh- (Simp.)

4. B C 1, 3, fo- gs- (M. P.)

5. ~ C • G 2, ifj- (Com.)

6. ~ C 5, ljyh- (Simp.)

7. ~ B 4, 6, fu- gs- (M. T.)

(5) 1. P S / P (H S)

2. ~ P v S 1, vkik- (Impl.)

3. (~ P v S) v ~ H 2, ;ksx (Add.)

4. ~ P v (S v ~ H) 3, lkg- (Assoc.)

5. ~ P v (~ H v S) 4, ifj- (Com.)

6. P (H S) 5, vkik- (Impl.)

(6) 1. (G • L) v (W • T)

2. ~ G / T

3. [(W • T) v G] • [(W • T) v L] 1, for- (Dist.)

4. (W • T) v G 3, ljyh- (Simp.)

5. W • T 4, 2, oS- U;k- (D. S.)

6. T • W 5, ifj- (Com.)

7. T 6, ljyh- (Simp.)

(7) 1. (~ A v B) • (A C)

2. B (C E) / A E

3. (~ A v B) • (~ A v C) 1, vkik- (Impl.)

4. ~ A v (B • C) 3, for- (Dist.)

5. A (B • C) 4, vkik- (Impl.)

6. (B • C) E 2, fu;kZ- (Exp.)

7. A E 5, 6, gs- U;k- (H. S.)

(8) 1. A (B C)

2. (B v C) I / A I

3. ~ (B v C) I 2, vkik- (Impl.)

4. ~ (B • ~ C) v I 3, Mh- ek- (De. M.)

5. (~ B v I) • (~ C v I) 4, for- (Dist.)

6. ~ B v I 5, ljyh- (Simp.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh90

7. B I 6, vkik- (Impl.)

8. ~ A v (B • C) 1, vkik- (Impl.)

9. (~ A v B) • (~ A v C) 8, for- (Dist.)

10. ~ A v B 9, ljyh- (Simp.)

11. A B 10, ljyh- (Impl.)

12. A I 11, 7, gs- U;k- (H. S.)

(9) 1. A (B v C)

2. B C / A I

3. ~ A v (B v C) 1, vkik- (Impl.)

4. ~ A v (C v B) 3, ifj- (Com.)

5. (~ A v C) v B 4, lkg- (Assoc.)

6. ~ ~ (~ A v C) v B 5, f}- fu- (D. N.)

7. ~ (~ A v C) B 6, vkik- (Impl.)

8. ~ (~ A v C) C 7, 2, gs- U;k- (H. S.)

9. ~ ~ (~ A v C) v C 8, vki- (Impl.)

10. (~ A v C) v C 9, f}- fu- (D. N.)

11. ~ A v (C v C) 10, lkg- (Assoc.)

12. ~ A v C 11, iqujQ- (Taut.)

13. A C 12, vkik- (Impl.)

(10) 1. P (C N)

2. (N • R) E

3. (T R) • ~ E / P (C ~ T)

4. (P • C) N 1, fu;kZ- (Exp.)

5. N (R E) 2, fu;kZ- (Exp.)

6. (P • C) (R E) 4, 5, gs- U;k- (H. S.)

7. [(P • C) • R] E 6, fu;kZ- (Exp.)

8. ~ E 3, ljyh- (Simp.)

9. ~ [(P • C) • R] 7, 8, fu- gs- (M. T.)

10. ~ (P • C) v ~ R 9, Mh- ek- (De. M.)

11. T R 3, ljyh- (Simp.)

12. ~ R ~ T 11, fofu- (Trans.)

13. (P • C) ~ R 10, vkik- (Impl.)

14. (P • C) ~ T 13, 12, gs- U;k- (H. S.)

15. P (C ~ T) 14, fu;kZ- (Exp.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 91

(11) 1. R v N

2. R G

3. G ~ S

4. (N B) • (B ~ S)

5. S v C / C

6. ~ N R 1, vkik- (Impl.)

7. ~ N G 6, 2, gs- U;k- (H. S.)

8. ~ N ~ S 7, 3, gs- U;k- (H. S.)

9. S N 8, fofu- (Trans.)

10. N B 4, ljyh- (Simp.)

11. S B 9, 10, gs- U;k- (H. S.)

12. B ~ S 4, ljyh- (Simp.)

13. S ~ S 11, 12, gs- U;k- (H. S.)

14. ~ S v ~ S 13, vkik- (Impl.)

15. ~ S 14, iqujQ- (Taut.)

16. C 5, 15, oS- U;k- (D. S.)

(12) 1. (T E) • (A L) / (T v A) (E v L)

2. T E 1, ljyh- (Simp.)

3. (T E) v L 2, ;ksx (Add.)

4. A L 1, ljyh- (Simp.)

5. (A L) v E 4, ;ksx (Add.)

6. (~ T v E) v L 3, vkik- (Impl.)

7. ~ T v (E v L) 6, lkg- (Assoc.)

8. (~ A v L) v E 5, la;ks- (Impl.)

9. ~ A v (E v L) 8, for- (Assoc.)

10. [~ T v (E v L)] [~ A v (E v L)] 8, 9, Mh- ek- (Conj.)

11. (~ T ~ A) v (E v L) 10, vkik- (Dist.)

12. ~ (T v A) v (E v L) 11, Mh- ek- (De. M.)

13. (T v A) (E v L) 12, vkik- (Impl.)

(13) 1. (T E) • (A L) / (T • A) (E • L)


3. ~ T v E 2, vkik- (Impl.)

4. (~ T v ~ A) v ~ A 3, ;ksx (Add.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh92

5. (~ T v ~ A) v E 4, lkg- (Assoc.)


7. ~ A v L 6, vkik- (Impl.)

8. (~ A v L) v ~ T 7, ;ksx (Add.)

9. (~ T v ~ A) v L 8, lkg- (Assoc.)

10. [(~ T v ~ A) v E)] • [(~ T v ~ A) v L] 5, 9, la;ks- (Conj.)

11. (~ T v ~ A) v (E • L) 10, for- (Dist.)

12. ~ (T • A) v (E • L) 11, Mh- ek- (De. M.)

13. (T • A) (E • L) 12, vkik- (Impl.)

(14) 1. E S

2. E (S N)

3. S (N F) / E F

4. (E • S) N 2, fu;kZ- (Exp.)

5. (S • E) N 4, ifj- (Com.)

6. S (E N) 5, fu;kZ- (Exp.)

7. E (E N) 1, 6, gs- U;k- (H. S.)

8. (E • E) N 7, fu;kZ- (Exp.)

9. E N 8, iqujQ- (Taut.)

10. E (N F) 1, 3, gs- U;k- (H. S.)

11. (E • N) F 10, fu;kZ- (Exp.)

12. (N • E) F 11, ifj- (Com.)

13. N (E F) 12, fu;kZ- (Exp.)

14. E (E F) 9, 13, gs- U;k- (H. S.)

15. (E • E) F 14, fu;kZ- (Exp.)

16. E F 15, iqujQ- (Taut.)

(15) 1. A (B v C)

2. E (C v P)

3. ~ C / (~ B • ~ P) (~ A • ~ E)

4. ~ A v (B v C) 1, vkik- (Impl.)

5. (~ A v B) v C 4, lkg- (Assoc)

6. ~ A v B 5, 3, oS- U;k- (D. S.)

7. ~ E v (C v P) 2, vkik- (Impl.)

8. C v (~ E v P) 7, lkg- (Assoc.)

9. ~ E v P 8, 3, oS- U;k- (D. S.)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 93

10. (~ A v B) v P 6, ;ksx (Add.)

11. ~ A v (B v P) 10, lkg- (Assoc.)

12. (~ E v P) v B 11, ;ksx (Add.)

13. ~ E v (B v P) 12, lkg- (Assoc.)

14. [~ A v (B v P)] • [~ E v (B v P) 11, 13, la;ks- (Conj.)

15. (B v P) v (~ A • ~ E) 14, for- (Dist.)

16. ~ (~ B • ~ P) v (~ A • ~ E) 15, Mh- ek- (De. M.)

17. (~ B • ~ P) (~ A • ~ E) 16, vkik- (Impl.)

(16) 1. (A v B) [(C v E) (~ P • V)]

2. (~ P v ~ N) U / A (C U)

3. [( A v B) • (C v E)] (~ P • V) 1, fu;kZ- (Exp.)

4. ~ [(A v B) • (C v E)] v (~ P • V) 3, vkik- (Impl.)

5. {~ [(A v B) • (C v E)] v ~ P} • {~ [(A v B) • (C v E)] v V}

4, for- (Dist.)

6. ~ [(A v B) • (C v E)] v ~ P 5, ljyh- (Simp.)

7. [(A v B) • (C v E)] ~ P 6, vkik- (Impl.)

8. (A v B) [(C v E) ~ P] 7, fu;kZ- (Exp.)

9. ~ (A v B) v [(C v E) ~ P] 8, vkik- (Impl.)

10. (~ A • ~ B) v [(C v B) ~ P] 9, Mh- ek- (De. M.)

11. {~ A v [(C v E) ~ P]} • {~ B v [(C v E) ~ P]}

10, for- (Dist.)

12. ~ A v [(C v E) ~ P] 11, ljyh- (Simp.)

13. A [(C v E) ~ P] 12, vkik- (Impl.)

14. [A • (C v E) ~ P] 13, fu;kZ- (Exp.)

15. ~ (P • N) U 2, Mh- ek- (De. M.)

16. (P • N) v U 15, vkik- (Impl.)

17. (P v U) • (N v U) 16, for- (Dist.)

18. P v U 17, ljyh- (Simp.)

19. ~ P U 18, vkik- (Impl.)

20. [A • (C v E)] U 14, 19, gs- U;k- (H. S.)

21. ~ [A • (C v E)] v U 20, vkik- (Impl.)

22. [~ A v ~ (C v E)] v U 21, Mh- ek- (De. M.)

23. (~ A v U) v (~ C • ~ E) 22, lkg- Mh- ek- (Assoc., De. M.)

24. [(~ A v U) v ~ C] • [(~ A v U) v ~ E] 23, for- (Dist.)

25. (~ A v U) v ~ C 24. ljyh- (Simp.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh94

26. ~ A v (~ C v U) 25, lkg- (Assoc.)

27. A (C U) 26, vkik- (Impl.)

vH;kl djsaµ

I. fuEufyf[kr ;qfDr;ksa esa vuqeku ds mu fu;eksa dk ladsr djsa ftuls vk/kj&okD; ls

fu"d"kZ fuxfer fd;k x;k gSµ

1. (E • G) ~ (H v I)

(E • G) (~ H • ~ I)

2. U ~ U

~ U v ~ U

3. (A ~ C) • (~ B ~ D)

(A ~ C) (~ B • ~ D)

4. A [B v (B v C)

~ A v [B v (B v C)]

5. [A (B v C)] • [A (B v C)]

A (B v C)

6. (X • ~ Y) (A B)

(X • ~ Y) [(A • B) v (~ A • ~ B)]

7. X [(X v X) C]

X (X C)

8. [( X v Y) • ~ Z] [(X • Y) v Z]

~ [( X • Y) v Z] ~ [(X v Y) • ~ Z]

9. [(A B) C] {[(A D) E] (A E)}

{(A B) C] • [(A D) E]} (A E)

10. [(K ~ L) ~ M] ~ [(K N) T]

[(K N) T] ~ [(K ~ L) ~ M]

11. ~ ~ ~ (~ X • ~ Y) • ~ ~ ~ (Z v A)

(~ X • ~ Y) • ~ (Z v A)

12. ~ (~ X • ~ Y) • ~ (Z v A)

(~ ~ X v ~ Y) • ( ~ Z • ~ A)

13. (~ ~ X v ~ ~ Y) • (~ Z • ~ A)

(X v Y) • (~ Z • ~ A)

14. (A B) v [P ~ (Q v R)]

(A B) v [~ ~ (Q v R) ~ P]

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 95

15. (X Y) [P ~ (Q v R)]

[(X Y) • P] ~ (Q v R)

II. fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds vkdkfjd izek.kksa esa vk/kj&okD;ksa dks NksM+ iafDr;ksa

ds fy, ftu fu;eksa dk iz;ksx gqvk mudk ladsr djsaA

(1) 1. L / M L

2. L v ~ M

3. ~ M v L

4. M L

(2) 1. E F / E (F v G)

2. ~ E v F

3. (~ E v F) v G

4. ~ E v (F v G)

5. E (F v G)

(3) 1. A (B • C) / A C

2. ~ A v (B• C)

1. ;fn vke yxkvksxs rks iQy 'kh?kZ vk,axs vkSj ;fn rkM+ yxkvksxs rks iQy esa cgqr nsjh

gksxhA blfy,] ;fn ;k rks vke yxkvksxs ;k rkM` yxkvksxs rks iQy 'kh?kz vk,axs ;k

iQy esa cgqr nsj gksxhA (M, E, P, L)

2. ;fn vke yksxkvksxs rks iQy 'kh?kz vk,axs vkSj ;fn rkM+ yxkvksxs rks iQy esa nsj gksxhA

blfy,] ;fn vke vkSj rkM+ nksuksa yxkvksxs rks iQy 'kh?kz vk,axs vksj esa Hkh vk,axsA

(M, E, P, L)

3. ;fn ge yksx jktLFkku x, rks t;iqj tk,axs] ;fn ge yksx jktLFkku x, rc ;fn t;iqj x, rks vkcw igkM+ ij Hkh tk,axsA ;fn ge yksx tk;iqj x, rc ;fn vkcw igkM+

ij x, rc ogk¡ dk fnyokjk efUnjk Hkh ns[ksaxsA blfy,] ;fn ge yksx jktLFkku x,

rc fnyokjk dk efUnj Hkh ns[ksaxsA (R, J, A, D)

4. ;fn vesfjdk us lkfk fn;k rks btjkby lkFk jgsxk ;k teZuh lkFk jgsxkA ;fn baXyS.M

lkFk jgsxk rks ;k rks teZuh lkFk jgsxk ;k izQkUl lkFk jgsxkA tezuh lkFk ugha jgsxkA

blfy,] ;fn btjkby lkfk ugha jgk ;k izQkUl ugha jgk rks vesfjdk lkfk ugh jgsxk

;k baXyS.M lkFk ugha jgsxkA (A, I, G, E, F)

5. ;fn ubZ f'k{kk ykxw gks ;k ugha rks] ;gk¡ dh gkry ;gh jgsxhA ;gk¡ dh gkry ;gh

jgsxhA (N, S)

4-7 lksikf/d izek.k dk fu;e

oSlh ;qfDr;ksa dh oS/rk dk] ftuds fu"d"kZ lksikf/d okD; gksrs gSa] tSlssµ A B* ;k Â (B C)*] lh/k izfrLFkkiu fu;e ds vis{kkd`r ,d nwljk ljy izek.k gks ldrk gSA mls

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh96

lksikf/d izek.k dk fu;e dgk tkrk gSA bl fu;e dh O;k[;k ds iwoZ dqN ckrksa dk Lej.k

djuk vko';d gSµ

(i) izR;sd O;fDr dks ,d lksikf/d okD; ds :i esa ifjofrZr fd;k tk ldrk gSA mnkgj.kµ

A— (lHkh euq"; ej.k'khy gSa)

B—(jke euq"; gS)

C—(jke ej.k'khy gS)

bldk ifjofrZr :i gksxkµ;fn Â* vkSj ^B*] rc ^C* vFkkZr~ ^(A • B) C*

[;fn lHkh euq"; ej.k'khy gSa vkSj ^jke euq"; gS*] tc ^jke ej.k'khy gS*A ;fn ,slh ;qfDr gks ftldk fu"d"kZ lksikf/d okD; gks A B

C D rks bldk :i gksxk (A • B) (C • D)

;fn nksuksa vk/kj okD;ksa ds la;kstu (conj) dks P* eky fy;k tk;s rks (A • B) (C • D)* dk :i gksxk ^P (C • D)*A lksikf/d izek.k ds fu;eksa dk lEcU/ ,slh gh ;qfDr;ksa ls gSA

(ii) fu;ekuqlkj] dksbZ ;qfDr oS/ gksrh gS ;fn vkSj dsoy ;fn ml ;qfDr dk laoknh lksikf/d okD; iqujQfDr gksA bls lR;rk&lkj.kh ds }kjk fl¼ dj fn;k x;k gSA vc ;qfDr] A B

C D dk laoknh lksikf/d okD; gS ^(A • B) (C D)*A nksuksa vk/kj&okD;ksa dk la;kstu ^P* ekuk x;k gS] vr% okD; gqvk ^P (C D)*A ;g ;qfDr rHkh oS/ gksxh tc ^P (C D)* iqujQfDr gksA vc fu;ekuqlkj ^P* ls ^(C D)* fu"d"kZ fuxfer fd;k tk lds rks ;g fl¼ gksrk gS fd lksikf/d okD; ^P (C D)* iqujQfDr gSA vr% ;g ;qfDr oS/ gSA

fu;kZru ds }kjk ^P (C D)* okD; ^(P • C) D* ds rqY; gSA ij]

^(P • C) D* esa vk/kj&okD;ksa ds :i esa fn, gq, vk/kj&okD; ^P* rFkk fu"d"kZ dk iwoZorhZ ^C* gS vkSj fu"d"kZ ds LFkku fn, gq, fu"d"kZ ^(C D)* dk vuqorhZ ^D*A vc ;fn bl ;qfDr ^(P • C) D* ds fu"d"kZ ^D* dks fu;ekuqlkj ^(P • C)* ls fuxfer fd;k tk;s rks ;g ;qfDr ^(P • C) D* oS/ gksxhA blfy, og lksikf/d okD; ^P (C D)* Hkh] tks blds rqY; gS iqujQfDr gksxhA vr% bldh laoknh ;qfDr Hkh oS/ gksxhA blfy, bl fu;e ds vuqlkj P

A C

dh oS/rk P A

C

dh oS/rk ds vkdkfjd izek.k ls fuxfer fd;k tk ldrk gSA

la{ksi esa] ;fn dksbZ ,slh ;qfDr gks ftldk fu"d"kZ lksikf/d okD; gS rks mldh oS/rk ds izek.k dh jpuk lksikf/d fu;e ds vuqlkj] ml fu"d"kZ ds iwoZorhZ dks ,d vfrfjDr vk/kj&okD; ekudj fu;ekuqlkj ml fu"d"kZ ds vuqorhZ dks fuxfer dj dh tkrh gSA mnkgj.kµ

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 97

fuEufyf[kr ;qfDr dh oS/rk dk lksikf/d izek.kµ

S (~ T • U)

T v V

S V

bl ;qfDr dk fu"d"kZ lksikf/d okD; ^S V* gSA bldk iwoZorhZ ^S* vkSj vuqorhZ ^V* vc iwoZorhZ ^S* dks vk/kj&okD; eku ysaA

S (~ T • U)

T v V

S

V

fu;eksa ds vuqlkj ^V* fl¼ dj nsa rks ;qfDr oS/ fl¼ gks tkrh gSA

1. S (~ T • U)

2. T v V / S U

3. S / V (C. P.)

;gk¡ rhljh iafDr esa fu"d"kZ ds iwoZorhZ dks vk/kj&okD; ekuk x;k gSA vr% vuqorhZ ^V*

fu"d"kZ gks tkrk gS ftls ,d frjNh js[kk nsdj igys dh Hkkafr ^blfy,* dk fpÞu vkxs lks-

izk- ;k C. P. vafdr fd;k x;k gS tks lksikf/d izek.k dk laf{kIr :i gSA ,slk vafdr djus

ls ;g Li"V gksrk gS fd bl izek.k dh jpuk lksikf/d izek.k ds fu;e ds }kjk gqbZ gSA vkxsµ

4. ~ T • U 1, 3, fo- gs- (M. P.)

5. ~ T 4, ljyh- (Simp.)

6. V 2, 5, oS- U;k- (D. S.)

mi;qZDr lksikf/d izek.k dh jpuk fuEufyf[kr rjhds ls gqbZ gSµ

1. S (~ T • U)

2. T v V / S V

3. S / V lks- iz- (C. P.)

4. ~ T • U 1, 3, fo- gs- (M. P.)

5. ~ T 4, ljyh- (Simp.)

6. V 2, 5, oS- U;k- (D. S.)

fu"d"kZ ds lksikf/d okD; ds iwoZorhZ dks ,d vk/kj&okD; eku ysa vkSj vuqorhZ dks

fu"d"kZ u, fu"d"kZ dks igys fu"d"kZ dh Hkkafr frjNh js[kk ds ckn ^* fpÞu nsdj fy[ksa vkSj

ftl fu;e dk ikyu fd;k x;k gS C.P. ;k lks- iz- vafdr dj nsaA

nwljk mnkgj.kµ

1. (C D) • (E F)

2. G (C v E) / G (D v F)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh98

3. G / D v F

4. C v E 2, 3, fo- gs- (M. P.)

5. D v F 1, 4, fo- f}- (C. D.)

lksikf/d fu"d"kZ ^G D v F* ds iwoZorhZ ^G* dks vk/kj&okD; ekuk x;k gS vkSj vuqorhZ ^D v F* dks fu"d"kZA fiQj] fu;ekuqlkj oS/rk ds vkdkfjd izek.k dh jpuk gqbZ gSA

;fn fu"d"kZ esa lksikf/d okD; ds iwoZorhZ dks vk/kj&okD; eku ysus ds ckn Hkh fu"d"kZ lksikf/d okD; gks rks mlds iwoZorhZ dks Hkh vk/kj&okD; eku ysaA

mnkgj.kµ

1. A (B C)

2. C (D • E) / A (B D)

3. A / B D (C. P.)

4. B / D (C. P.)

5. A • B 3, 4, la;ks- (Conj.)

6. (A • B) C 1, fu;kZ- (Exp.)

7. C 6, 5, fo- gs- (M. P.)

8. D • E 2, 7, fo- gs- (M. P.)

9. D 8, ljyh- (Simp.)

lksikf/d okD; Â (B D)* ds iwoZorhZ dks vk/kj&okD; eku ysus ij fu"d"kZ ^B D* gksrk gS tks lksikf/d gSA vr% fiQj blds iwoZorhZ ^B* dks vk/kj&okD; ekuk x;k gSA ;g fu;e ,d ls vf/d ckj Hkh ykxw gksrk gSA ftruh ckj iwoZorhZ dks vk/kj&okD; ekuk tkrk gS vuqorhZ dks fu"d"kZ :i esa frjNh js[kk ds ckn ^* fpÞu nsdj vafdr fd;k tkrk gS vkSj fu;e (C.P.) ;k lks- iz- dk mYys[k dj fn;k tkrk gSA

oS/rk ds izek.kksa dh jpuk esa lksikf/d izek.kksa ds nks fo'ks"k ykHk gSaµ

(i) bldh fof/ vU; fu;eksa dh vis{kk ljy gSA tgk¡µ

(C D) • (E F)

G (C v E) / G (D v F)

dh oS/rk ds izHkko esa izfrLFkkiuk fu;e ds }kjk dqy 19 iafDr;k¡ gksrh gSa] ogk¡ bl fu;e

ds }kjk ek=k 5 iafDr;k¡A

(ii) ij lcls cM+k ykHk ;g gS fd dqN ,slh ;qfDr;k¡ gSa ftudh oS/rk dk izek.k izfrLfkkiu

fu;e ds }kjk ugha lEHko gS flok; lksikf/d izek.k dsA

tSlsµX Y

X (X • Y)

lksikf/d izek.k

1. X Y / X (X • Y)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 99

2. X / X • Y (C.P.)

3. Y 1, 2, fo- gs- (M. P.)

4. X • Y 2, 3, la;ks- (Conj.)

(iii) lksikf/d izek.k mUgha ;qfDr;ksa esa yxkbZ tkrh gS ftuesa fu"d"kZ lksikf/d okD; gSA

dqN gy fd, gq, iz'u

fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk ds lksikf/d izek.kksa dh jpuk djsaµ

(1) 1. (A B) • (C D) / (A v C) (B v D)

2. A v C / B v D (C. P.)

3. B v D 1, 2, fo- f}- (C. D.)

(2) 1. O (P Q)

2. P (Q R) / O (P R)

3. O / P R lks- iz- (C. P.)

4. P / R (C. P.)

5. P Q 1, 3, fo- gs- (M. P.)

6. Q 5, 4, fo- gs- (M. P.)

7. Q R 2, 4, fo- gs- (M. P.)

8. R 7, 6, fo- gs- (M. P.)

(3) 1. [L • (M v N)] (M • N) / L (M N)

2. L / M N lks- iz- (C.P.)

3. M / N (lks- iz- (C.P.)

4. M v N 3, ;ksx (Add.)

5. L • (M v N) 2, 4, la;ks- (Conj.)

6. M • N 1, 5, fo- gs- (M. P.)

7. N • M 6, ifj- (Com.)

8. N 7, ljyh- (Simp.)

(4) 1. A B

2. A (B D)

3. B (D E) / A E

4. A / E lks- iz- (C.P.)

5. B 1, 4, fo- gs- (M. P.)

6. B D 2, 4, fo- gs- (M. P.)

7. D 6, 5, fo- gs- (M. P.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh100

8. D E 3, 5, fo- gs- (M. P.)

9. E 8, 7, fo- gs- (M. P.)

(5) 1. (T E) • (A L) / (T • A) (E • L)

2. T • A / E • L lks- iz- (C. P.)


4. T 2, ljyh- (Simp.)

5. E 3, 4, fo- gs- (M. P.)


7. A 2, ljyh- (Simp.)

8. L 6, 7, fo- gs- (M. P.)

9. E • L 5, 8, la;ks- (Conj.)

(6) 1. (X v Y) [(Z v A) (~ B • C)]

2. (~ B v ~ D) E) / X (Z E)

3. X / Z E lks- iz- (C. P.)

4. Z / E lks- iz- (C. P.)

5. X v Y 3, ;ksx (Add.)

6. (Z v A) (~ B • C) 1, 5, fo- gs- (M. P.)

7. Z v A 4, ;ksx (Add.)

8. ~ B • C 6, 7, fo- gs- (M. P.)

9. ~ B 8, ljyh- (Simp.)

10. ~ B v ~ D 9, ;ksx (Add.)

11. E 2, 10, fo- gs- (M. P.)

7. (A B) • (C D)

(A • C) (B • D)

8. ~ (X • Y) (Z ~ A)

(X • Z) (A Y)

9. (A B) • (B C)

(D A) • (C D)

(~ A v ~ C) (~ A v ~ C)

10. X Y

~ (Y • Z) ~ (Z • X)

fuxeu fof/

uksV

Lo&vè;;u lkexzh 101

4-8 lksikf/d izek.k dk vfrcy fu;e

lksikf/d izek.k ds fu;e oSlh ;qfDr;ksa esa ykxw gksrs gSa ftuds fu"d"kZ lksikf/d okD;

gksaA lksikf/d izek.k dh Hkkafr gh ,d ,slk fu;e LFkkfir fd;k tk ldrk gS tks oSlh ;qfDr;ksa

esa Hkh ykxw gks ftuds fu"d"kZ Li"Vr% lksikf/d ugha gksaA bl fu;e dks lksikf/d izek.k dk

vfrcy fu;e dgk tkrk gS

lksikf/d izek.k oSlh ;qfDr;ksa esa ykxw fd;k tkrk gS ftuds fu"d"kZ lksikf/d okD; gSaA

fu"d"kZ ds iwoZorhZ dks vU; vk/kj&okD;ksa ds lkfk ,d vk/kj&okD; ds :i esa ekudj vuqorhZ

dks fu"d"kZ ds :i esa fuxfer fd;k tkrk gSA tSlsµ

(A B) • (C D)

E (A v C)

E (B v D)

lksikf/d izek.kµ

1. (A B) • (C D)

2. E (A v C) / E (B v D)

3. E / B / D lks- iz- (C. P.)

4. A v C 2, 3, fo- gs- (M. P.)

5. B v D 1, 4, fo- f}- (C. D.)

fu"d"kZ ds iwoZorhZ Ê* dks ,d vk/kj&okD; ekudj vuqorhZ ^B v D* fuxfer gqvk gSA ;g lksikf/d izek.k gSA

lksikf/d izek.k ds vfrcy fu;e ds vuqlkj miq;ZDr ;qfDr dh oS/rk dk izek.k nwljh jhfr ls fy[kk tk,xkA

1. (A B) • (C D)

2. E (A v C) / E (B v D)

3. E ekU;rk (Assumption.)

4. A v C 2, 3, fo- gs- (M. P.)

5. B v D 1, 4, fo- f}- (C. D.)

6. E (B v D) 3, 5, lks- iz- (C. P.)

bl izek.k esa NBh iafDr ,d&nks iwoZorhZ iafDr;ksa ls fuxfer ugha fd;k x;k gS vfirq 3] 4 vkSj 5oha iafDr;ksa ds vuqØe ls] tks 1 rFkk 2oha iafDr;ksa ls fu;ekuqlkj fuxfer gq, gSaA NBh iafDr esa ;qfDr dh oS/rk blls izekf.kr gksrh gS fd Ê* ls oS/ fu"d"kZ ^B v D* fudyrk gSA

bl izek.k esa 4 vkSj 5oha iafDr 4oha iafDr ij fuHkZj gS ij NBh iafDr 1 vkSj 2oha iafDr;ksa ijA blfy, NBh iafDr Ê (B v D)* rhljh iafDr esa tks ekU;rk gS vFkkZr~ Ê* mlds {ks=k ds ckgj gSA tc lksikf/d izek.k esa dksbZ ekU;rk gksrh gS rks mldk {ks=k cjkcj lhfer gksrk gSA tgk¡ ml ekU;rk ds {ks=k dk vUr gksrk gS ogk¡ bl ekU;rk dk foltzu gks tkrk gSA fiQj ml ekU;rk ds vk/kj ij dksbZ fu"d"kZ fuxfer ugha gks ldrkA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh102

ekU;rk ds {ks=k dks n'kkZkus ds fy, ekU;rk ls ysdj tgk¡ rc mldk foltzu gksrk gS cka;h

vksj ,d lh/h js[kk [kahap nh tkrh gS vkSj ekUr;k dh vksj rhj dh Hkkafr eksM+ fn;k tkrk gS]

fiQj tgk¡ rd mldk {ks=k gqvk ml lh/h js[kk dks iafDr dh vksj eksM+ nsrs gSaa ;g bl ckr dk

ladsr gS fd ekU;rk rhu dh uksd ls vkjEHk gksrh gS vkSj ftl iafDr ds ckn og js[kk eqM+rh

gS] ogha rc mldk {ks=k gSA vr% êkU;rk (Assumption)* 'kCn ladsr ds :i esa fy[kus dh

vko';drk ugha gSµrhj ls gh ekU;rk dk ladsr gks tkrk gSA mnkgj.k ds fy, mi;qZDr ;qfDr ysaµ

1. (A B) • (C D)

2. E (A v C) / E (B v D)

3. E

4. A v C 2, 3, (M. P.)

5. B v D 1, 4, (C. D.) 6. E (B v D) 3, 5, (C. P.)

ekU;rk rhljh iafDr gS Ê* vkSj pkSFkh vkSj ik¡poha iafDr muds }kjk fuxfer gSA NBh iafDr

mlls fuxfer ugha gSA og lksikf/d izek.k ds }kjk 3 ls 5oha iafDr ds vuqØe ls fuxfer gSA

vr% 5oha iafDr ds ckn ekU;rk dk {ks=k lekIr gks tkrk gS vkSj mldk foltZu gks tkrk gSA

;gk¡ dqN ckrksa dk è;ku j[kuk vko';d gSA

(i) dsoy lksikf/d izek.k ds vuqeku fd, x, iafDr ekU;rkoknh iafDr ds chp esa gh

fdlh ekU;rk dk {ks=k gksrk gSA tgk¡ mldk {ks=k lekIr gksrk gS ogha ml ekU;rk dk foltZu

gks tkrk gSA mlds ckn dh iafDr;ksa dks mlls ;k mlds vkSj lksikf/d izek.k ds }kjk fuxfer

fu"d"kZ ds chp dh fdlh ,d ;k nks iafDr;ksa ls] fuxfer ugha fd;k tk ldrk gSA

(ii) ,d gh ;qfDr esa ,d ekU;rk ds folftZr gksus ij nwljh ekU;rk Hkh yh tk ldrh

gS ;k ,d ekU;rk ds vUrxZr nwljh ;k rhljh ekU;rk ls Hkh mlh izdkj fu"d"kZ fuxfer fd;k

tk ldrk gSA

(iii) ekU;rk ds :i esa ;g vko';d ugha gS fd fu"d"kZ ds iwoZorhZ dks vk/kj&okD;

cuk,aA dksbZ Hkh rdZokD; ekU;rk ds :i esa fy;k tk ldrk gS D;ksafd vkf[kjh iafDr vFkkZr~

fu"d"kZ mlls lh/k fuxfer ugha gksrk gSA

(iv) fn, gq, vk/kj&okD;ksa dk {ks=k lhfer ugha gksrkA mudk ml izek.k esa dgha Hkh

iz;ksx gks ldrk gSA ekU;rk,¡ muds lkFk vk/kj&okD; ds :i esa iz;qDr gksrh gSA blfy, oS/

rk ds vkdkfjd izek.k esa izR;sd iafDr ;k rks vk/kj&okD; gksrk gSA ;k lhfer {ks=k dh ekU;rk

;k fu;ekuqlkj muls fuxfer rdZokD; ;k lksikf/d izek.k ds fu;e ds }kjk mu iafDr;ksa ds

vuqØe ls fuxfer rdZokD;A

mnkgj.kµ

(d) ~ S Q

Q R

fuxeu fof/

uksV


S v ~ R

S

mÙkjµ

1. ~ S Q

2. Q R

3. S v ~ R / S

4. Q

5. R 2, 4, fo- gs- (M. P.)

6. ~ ~ R 5, f}- fu- (D. N.)

7. S 3, 6, oS- U;k- (D. S.) 8. Q S 4—7, lks- iz- (C. P.)

9. ~ S S 1, 8, gs- U;k- (H. S.)

10. S v S 9, vkik- (Impl.)

11. S 10, iqujQ- (Taut.)

fu"d"kZ lksikf/d okD; ugha gS] vr% ljy lksikf/d izek.k ugha ykxw gksrkA blfy, dksbZ

ekU;rk ^Q* okD;] ftldk {ks=k lhfer gS] fy;k tk ldrk gSA lkroha iafDr ds ckn vFkkZr~

lksikf/d izek.k ykxw djus ds igys ekU;rk dk {ks=k lekIr gks tkrk gS vkSj ekU;rk dk foltZu

gks tkrk gSA blhfy, ekU;rk ls ysdj lkroha iafDr rd js[kk [khap nh xbZ gSA vc ,d nwljk

mnkgj.k gS ftlesa ,d gh ;qfDr esa ,d ekU;rk ds foltZu ds ckn nwljh ekU;rk yh xbZ gSµ

([k) (E v F) G

H (I • G)

(E G) • (H I)

mÙkjµ

1. (E v F) G

2. H (I • G) / (E G) • (H I)

3. E

4. E v F 3, ;ksx (Add.)

5. G 1, 4, fo- gs- (M. P.) 6. E G 3—5, lks- iz- (C. P.)

7. H

8. I • G 2, 7, fo- gs- (M. P.)

9. I 8, ljyh- (Simp.) 10. H I 7 —9, lks- iz- (C. P,)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh104

11. (E G) • (H I) 6, 10, la;ks- (Conj.)

bl ;qfDr esa ekU;rk Ê* dk vUr 5oha iafDr esa gqvk gS] fiQj nwljh ekU;rk ^H* yh xbZ gS

ftldk vUr 9oha iafDr esa gksrk gSA X;kjoha iafDr esa nksuksa ekU;rkvksa ds {ks=k ls dksbZ vk/kj&okD;

ugha fy;k x;k gSA vc nwljk mnkgj.k ysa ftlesa ,d ekU;rk ds vUrxZr nwljh ekU;rk gksµ

(x) A v (B C)

[B (B • C)] (D v E)

(D A) • (E G)

A v G

mÙkjµ

1. A v (B C)

2. [B (B • C)] (D v E)

3. (D A) • (E G) /A v G

4. ~ A

5. B C 1, 4, oS- U;k- (D. S.)

6. B

7. C 5, 6, fo- gs- (M. P.)

8. B • C 6, 7, la;ks- (Conj.)

9. B (B • C) 6—8, lks- iz- (C. P.)

10. D v E 2, 9, fo- gs- (M. P.)

11. A v G 3, 10, fo- f}- (C. D.) 12. ~ A (A v G) 4—11, lks- iz- (C. P.)

13. ~ ~ A v (A v G) 12, vkik- (Impl.)

14. A v (A v G) 13, f}- fu- (D. N,)

15. (A v A) v G 14, lkg- (Assoc.)

16. A v G 15, iqujQ- (Taut.)

bl ;qfDr esa igyh ekU;rk gS ^~A* ftldk foltZu 11oha iafDr ds ckn gksrk gSA ij

chp esa gh ,d nwljh ekU;rk yh xbzZ ^B* ftldk foltZu vkBoha iafDr ds ckn gqvkA chp dh

iafDr;ksa dk iz;ksx 11oha iafDr ds ckgj ugha gksrk gSA

dqN gy fd, gq, iz'u

(1) 1. X Y

2. Y [(Z ~ ~ Z) A] / X A

fuxeu fof/

uksV


3. X

4. Y 1, 3, fo- gs- (M. P.)

5. (Z ~ ~ Z) A 2, 4, fo- gs- (M. P.)

6. Z

7. ~ ~ Z 6, f}- fu- (D. N.)

8. Z ~ ~ Z 6—7, lks- iz- (C. P.)

9. A 5, 8, fo- gs- (M. P.)

10. X A 3— 9, lks- iz- (C. P.)

(2) 1. (A C) • (B D)

2. (C v D) {[E (E v F)] (A • B)} / A B

3. A v B

4. C v D 1, 3, fo- f}- (C. D.)

5. [E (E v F)] (A • B) 2, 4, fo- gs- (M. P.)

6. E

7. E v F 6, ;ksx (Add.)

8. E (E v F) 6—7, lks- iz- (C. P.)

9. A • B 5, 8, fo- gs- (M. P.)

10. (A v B) (A • B) 3—9, lks- iz- (C. P.)

11. ~ (A v B) v (A • B) 10, vkik- (Impl.)

12. (A • B) v ~ (A v B) 11, ifj- (Com.)

13. (A • B) v (~ A • ~ B) 12, Mh- ek- (De. M.)

14. A B 13, rqY; (Equiv.)

(3) 1. [L (~ M • ~ N)] • [O ~ (M v N)]

2. (~ X L) • (~ Y O)

3. (X M) • (Y N) / M N

4 . ~ M v ~ N

5. ~ X v ~ Y 3, 4, fu- f}- (D. D.)

6. L v O 2, 5, fo- f}- (C. D.)

7. (~ M • ~ N) v ~ (M v N) 1, 6, fo- f}- (C. D.)

8. (~ M • ~ N) v (~ M • ~ N) 7, Mh- ek- (De. M.)

9. ~ M • ~ N 8, iqujQ- (Taut.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh106

10. (~ M v ~ N) (~ M • ~ N) 4 —9, lks- iz- (C. P.)

11. ~ (M • N) (~ M • ~ N) 10, Mh- ek- (De. M.)

12. ~ ~ (M • N) v (~ M • ~ N) 11, vkik- (Impl.)

13. (M • N) v (~ M • ~ N) 12, f}- fu- (D. N.)

14. M N 13, rqY; (Equiv.)

(4) 1. (X v Y) (A B)

2. [A (A • B)] Z

3. Z [(~ C v ~ ~ C) (X • C)] / X Z

4. X

5. X v Y 4, ;ksx (Add.)

6. A B 1, 5, fo- gs- (M. P.)

7. A

8. B 6, 7, fo- gs- (M. P.)

9. A • B 7, 8, la;ks- (Conj.) 10. A (A • B) 7 —9, lks- iz- (C. P.)

11. Z 2, 10, fo- gs- (M. P.)

12. X Z 4 —11, lks- iz- (C. P.)

13. Z

14. [(~ C v ~ ~ C) (X • C)] 3, 13, fo- gs- (M. P.)

15. (C ~ ~ C) (X • C) 14, vkik- (Impl.)

16. C

17. ~ ~ C 16, f}- fu- (D. N.) 18. C ~ ~ C 16—17, lks- iz- (C. P.)

19. X • C 15, 18, fo- gs- (M. P.)

20. X 19, ljyh- (Simp,)

21. Z X 13—20, lks- iz- (C. P)

22. (X Z) • (Z X) 12, 21, la;ks- (Conj.)

23. X Z 22. rqY;- (Equiv.)

vH;kl djsa

fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh oS/rk dks izekf.kr djus esa lksikf/d izek.k ds vfrcy fof/

dk iz;ksx djsaµ

1. (X v Y) [(Z v A) B]

fuxeu fof/

uksV


X [( Z • A) B]

2. (K L) • (M N)

(L v N) {[P (P v Q)] (K • M)}

K N

3. [L (~ M • ~ N)] • [O (~ M • ~ N)]

(~ P L) • (~ Q O)

(P M) • (Q N)

~ M • ~ N

4. A B

(C v D) A

~ C v B

5. O (P Q)

P (Q R)

O (P R)

6. (S ~ T) • (T U)

U S

~ V T

V

7. (V W) • (X Y)

(W ~ Z) • (Y ~ A)

(~ Z ~ B) • (~ A ~ B)

~ (B • V)

8. (C v D) (E F)

[E (E • F)] G

G [(~ H v ~ ~ H) (C • H)]

C H

4-9 vlk{kkr~ izek.k dk fu;e

vlk{kkr~ izek.k dh fof/ dks O;k?kkr izn'kZu ds }kjk izek.k dh fof/ Hkh dgk tk ldrk

gSA fdlh Hkh ;qfDr ds fu"d"kZ ds fojks/h okD; dks lR; ekudj ;fn dksbZ folaxfr fey tk;s

rks og fojks/h okD; vo'; vlR; gksxk vkSj blfy, fn;k gqvk fu"d"kZ vo'; lR; gksxkA eku

ysa fd ;g fl¼ djuk gS fd fdlh f=kHkqt ds rhuksa dks.k feykdj nks ledks.k ds cjkcj gksrs

gSaA ;fn bls lR; ugha ekuk tk;s rks bldk fojks/h okD; vFkkZr~ fdlh f=kHkqt ds rhuksa dks.k

feykdj nks ledks.k ds cjkcj ugha gksrs] lR; gksxkA ij T;kfefr esa ,slh ekU;rk esa folaxfr

izekf.kr fd;k x;k gS] blhfy, ;g ekU;rk vlR; Bgjrh gSA blfy, bldk fojks/h vFkkZr~ fn;k

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh108

gqvk fu"d"kZ vFkkZr~ fdlh f=kHkqt ds rhuksa dks.k feykdj nks ledks.k ds cjkcj gksrs gSa] lR;

izekf.kr gksrk gSA blh izdkj fdlh ;qfDr dks lh/k izekf.kr ugha dj mlds fu"d"kZ ds fojks/h

okD; dks lR; ekudj mlesa folaxfr iznf'kZr dh tk;s rks fn;k gqvk fu"d"kZ izekf.kr gks tkrk

gSA bls gh vlk{kkr~ izek.k dk fu;e dgk tkrk gSA

vlk{kkr~ izek.k esa fdlh ;qfDr ds fu"d"kZ dk fu"ks/d okD; ,d vfrfjDr vk/kj&okD;

eku fy;k tkrk gS vkSj rc muls ,d Li"V fojks/d okD; fuxfer fd;k tkrk gSA iz;Ru ;g

djuk pkfg, fd fojks/d okD; fu"d"kZ dks NksM+ vU; okD; gksaA vlk{kkr~ izek.k dk ladsr

v-iz- (I.P.) ls fd;k tkrk gSA

mnkgj.kµ

L (M • N)

(M v O) P

O v L

P

mÙkjµ

1. L (M • N)

2. (M v O) P

3. O v L /P

4. ~ P v- iz- (I. P.)

5. ~ (M v O) 2, 4, fu- gs- (M. T.)

6. ~ M • ~ O 5, Mh- ek- (De M.)

7. ~ O • ~ M 6, ifj- (Com.)

8. ~ O 7, ljyh- (Simp.)

9. L 3, 8, oS- U;k- (D. S.)

10. M • N 1, 9, fo- gs- (M. P.)

11. M 10, ljyh- (Simp.)

12. ~ M 6. (Simp.)

13. M • ~ M 11, 12, la;ks- (Conj.)

rsjgoha iafDr Li"V :i ls O;k?kkrd gSA vr% folaxfr iznf'kZr djus ls nh gqbZ ;qfDr dh oS/rk vlk{kkr izek.k ls fuxfer gksrh gSA

fu"d"kZ P* dk O;k?kkrd ~P*] ftls vlk{kkr~ izek.k ds fu;ekuqlkj vk/kj&okD; ekuk x;k gS] mls lksikf/d izek.k ds vfrcy fu;e ds vuqlkj Hkh ,d ekU;rk ds :i esa vk/kj&okD; ekudj fn;k gqvk fu"d"kZ ^P* fl¼ fd;k tk ldrk gSA

vfrcy izek.k esa geus ns[kk gS fd lhfer {ks=k dh dksbZ ekU;rk vk/kj&okD; ds :i esa yh tk ldrh gSA blhfy, fu"d"kZ ds O;k?kkrd Hkh ekU;rk ds :i esa fy;k tk ldrk gSA vr% vlk{kkr~ izek.k dk vUrHkkZo vfrcy izek.k esa gSA nksuksa ea vUrj ;g gS fd vlk{kkr~ izek.k esa O;k?kkr n'kkZ dj jQd tkrs gSa] tSlsµrsjgoha iafDr esa ^M • ~ M* ij vfrcy fu;e ds vuqlkj

fuxeu fof/

uksV


O;k?kkr nh[kus ij Hkh vkxs fu"d"kZ fuxfer djrs tk;saxs tc rd og ekU;rk folftZr u gks tk;sA

okLro esa fdlh fojks/ ls dksbZ Hkh fu"d"kZ fuxfer fd;k tk ldrk gSA

p

~ p

q—oS/ gS] p rFkk q ds fy, dksbZ okD; izfrLFkkfir fd;k tk;sA blfy, vlk{kkr~

izek.k dk ;g vFkZ ugha gS fd dksbZ ;qfDr blfy, oS/ gksrh gS fd dksbZ O;k?kkr izkIr gksrk gS]

vfirq ml O;k?kkr ls gh ;qfDr dk fu"d"kZ fuxfer gksrk gS blfy,] bl rF; dks rkfdZd fu;e

ls Hkh fl¼ fd;k tk ldrk gSA

;fn fu"d"kZ dk O;k?kkr lR; gS rks fu"d"kZ lR; gSµ

~ P P

^fu"d"kZ lR; gS* dk ladsr ^P* ls fd;k x;k blfy, fu"d"kZ dk O;k?kkrd (fu"ks/) lR; gS ^P* gSA

~ P P

P v P—vkiknu (Impl.) ds }kjk

P—iqujQfDr (Taut.) ds }kjk

vr% ;fn fu"d"kZ dk O;k?kkrd vk/kj&okD; ekuk x;k vkSj fn;k gqvk fu"d"kZ mlls fuxfer gqvk gks rks blesa dksbZ nks"k ugha gksrkA vc vlk{kkr~ izek.k dks vfrcy izek.k ds :i esa ifjofrZr fd;k tkrk gSA blesa igyk gh mnkgj.k fy;k x;k gSA

1. L (M • N)

2. (M v O) P

3. O v L /P

4. ~ P (ekU;rk)

5. ~ (M v O) 2, 4., fu- gs- (M. T.)

6. ~ M • ~ O 5, Mh- ek- (De M.)

7. ~ O • ~ M 6, ifj- (Com.)

8. ~ O 7, ljyh- (Simp.)

9. L 3, 8, oS- U;k- (D. S.)

10. M • N 1, 9, fo- gs- (M. P.)

11. M 10, ljyh- (Simp.)

12. ~ M 6, ljyh- (Simp.)

13. M • ~ M 11, ;ksx (Add.) [;gk¡ vlk{kkr~ izek.k dh rsgjoha iafDr ugha yh xbZ gSA pw¡fd ;g vfrcy izek.k gSA blfy, ekU;rk dks folftZr djuk vko';d gSA]

14. P 13, 12, oS- U;k- (D. S.)

15. ~ P P 4—14, lks- iz- (C. P.)

16. P v P 15, vkik- (Impl.)

17. P 16, iqujQ- (Taut.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh110

dqN ;qfDr;k¡ ,slh gksrh gSa ftuds fu"d"kZ lksikf/d okD; gksrs gSa vkSj vk/kj&okD; dqN Hkh gks os iqujQfDr gksrs gSaA ij ;fn iqujQDr fu"d"kZ lksikf/d ugha gks vkSj vk/kj&okD;ksa esa ijLij laxfr gks rFkk os fu"d"kZ ds fy, vizklaxfd gksa rks vU; izek.kksa ls oSlh ;qfDr;ksa dh oS/rk fl¼

ugha gksrh gSA mUgsa vfrcy izek.k ;k vlk{kkr~ izek.k ds }kjk gh fl¼ fd;k tk ldrk gSA tSlsµ

X

Y v (Y Z)

bl ;qfDr esa fu"d"kZ lksikf/d okD; ugha gS vkSj vk/kj&okD; fu"d"kZ ds fy, vizklafxd

gSA vizklafxd blfy, gS fd bldk dksbZ okD; fu"d"kZ esa ugha gSa bldh oS/rk vU; fof/;ksa ls

fl¼ ugha gksxh flk; vlk{kkr~ ;k vfrcy izek.kksa ds }kjk (vlk{kkr~ izek.k dk vUrHkkZo vfr

esa gS] vr% ;g bUgha nksuksa ls fl¼ gksrh gSA)

vlk{kkr~ izek.kµ

1. X / Y v (Y Z)

2. ~ [Y v (Y Z)] v- iz- (I. P.)

3. ~ [Y v (~ Y v Z)] 2, vkik- (Imp.)

4. ~ [(Y v ~ Y) v Z] 3, lkg- (Assoc.)

5. ~ (Y v ~ Y) • ~ Z 4, Mh- ek- (De M.)

6. ~ (Y v ~ Y) 5, ljyh- (Simp.)

7. ~ Y • ~ ~ Y 6, Mh- ek- (De M.)

vfrcy izek.kµ

1. X / Y v (Y Z)

2. ~ Y

3. ~ Y v Z 2, ;ksx (Add.)

4. Y Z 3, vkik- (Impl.) 5. ~ Y (Y Z) 2—4, lks- iz- (C. P.)

6. Y v (Y Z) 5, vkik- (Imp.)

(9) (S v ~ S) A

A (10) (P Q) (~ R S)

~ Q S

R v S

4-10 iqujQfDr;ksa dk izek.k

lksikf/d rFkk vlk{kkr~ izek.kksa ds }kjk u ek=k ;qfDr;ksa dh oS/rk LFkkfir dh tkrh gS vfirq dqN izdFkuksa ;k izdFku&vkdkjksa dh iqujQfDr dks Hkh izekf.kr fd;k tkrk gSA okLro esa

fuxeu fof/

uksV


fdlh lkiksf/d izdFku dk laokn ml ;qfDr ls gS ftldk vk/kj&okD; ml lksikf/d izdFku dk iwoZorhZ vkSj fu"d"kZ mldk vuqorhZ gksrk gSA tSlsµ

(P • Q) P dk laokn fuEu ;qfDr ls gSµ P • Q P

lksikf/d izdFku ^(P • Q) P* dk iwoZorhZ ^(P • Q)* ;qfDr dk vk/kj&okD; gS vkSj vuqorhZ ^P* ;qfDr dk fu"d"kZA ;g lksikf/d izdFku ^(P • Q) P* iqujQfDr gksxk ;fn] dsoy ;fn mldh laoknh ;qfDr ^(P • Q) P* oS/ gksA

blfy, fdlh lksikf/d izdFku dks mlds vuqorhZ dks iwoZorhZ ls fu;ekuqlkj fuxfer dj] iqujQfDr fl¼ fd;k tkrk gSA

(P • Q) P iqujQfDr gS] D;ksafd 1. P • Q / P 2. P 1, ljyh- (Simp.)

mi;qZDr ;qfDr oS/ gSA tfVy lksikf/d izdFkuksa dks iqujQfDr fl¼ djus esa lksikf/d fu;eksa dk iz;ksx fd;k tk ldrk gSA tSlsµ

1. [(P v Q) R] {[(R v S) T] (P T]}

;g ,d tfVy lksikf/d izdFku gSA bldk iwoZorhZ ^[(P v Q) R]* gS vkSj vuqorhZ ^{[(R v S) T] (P T]}*A bldh laoknh ;qfDr gS]

[(P v Q) R] / {[(R v S) T] (P T]}

;fn bl ;qfDr dh oS/rk izekf.kr dj nh xbZ rks mi;qZDr lksikf/d izdFku iqujQfDr fl¼ gksxkA

1. (P v Q) R / {[(R v S) T] (P T]} 2. [(R v S) T] / P T lks- iz- (C. P.) 3. P / T lks- iz- (C. P.) 4. P v Q 3, ;ksx (Add.) 5. R 1, 4, fo- gs- (M. P.) 6. R v S 5, ;ksx (Add.) 7. T 2, 6, fo- gs- (M. P.)

dqN tfVy lksikf/d izdFkuksa dks iqujQfDr fl¼ djus dh ;g ,d ljy fof/ gSA

dqN iqujQfDr;k¡ gSa tks lksikf/d ugha gksrhA mUgsa lksikf/d izek.k ls ugha fl¼ fd;k tk ldrkA ij fdlh Hkh iqujQfDr dks vlk{kkr~ izek.k ls fl¼ fd;k tk ldrk gSA tc fdlh iqujQfDr dh oS/rk ds vlk{kkr~ izek.k dh jpuk gksrh gS rc fu"d"kZ ds O;k?kkrd dks ,d vk/kj&okD; ekudj mlls Li"V O;k?kkr fuxfer fd;k tkrk gS ij fdlh okD; dks iqujQDr fl¼ djus esa mls izdFku ds O;k?kkrd dks vk/kj&okD; ekudj mlls fu;ekuqlkj ,d Li"V O;k?kkr iznf'kZr fd;k tkrk gSA blesa fdlh vU; vk/kj&okD; dh vko';drk ugha gksrhA

izdFku ^P v ~ P* dks iqujQfDr izekf.kr djus ds fy, blds O;k?kkrd ^~ (P v ~ P)* dks vk/kj&okD; eku ysa vkSj ^P v ~ P* dks fu"d"kZA fiQj fu;ekuqlkj ns[ksa fd mlls dksbZ folaxfr fuxfer gksrh gSA

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh112

1. ~ (P v ~ P) / P v ~ P v- iz- (I.P.)

2. ~ P • ~ ~ P 1, Mh- ek- (De M.)

fdlh Hkh izdFku ds iqujQfDr gksus dk vFkZ gS mldk ,d fujQikf/d izdFku gksukA blfy,

mls mls iqujQfDr djus esa fdlh vk/kj&okD; dh vko';drk ugha gSA

1. [X (Y Z)] [(X Y) (X Z)]

mÙkjµ 1. [X (Y Z)] / [(X Y) (X Z)] lks- iz- (C. P.)

2. X Y / X Z lks- iz- (C. P.)

3. X / Z lks- iz- (C. P.)

4. Y 2, 3, fo- gs- (M. P.)

5. Y Z 1, 3, fo- gs- (M. P.)

6. Z 5, 4, fo- gs-(M. P.)

2. (P Q) [(P • R) (Q • R)]

mÙkjµ 1. (P Q) / [(P • R) (Q • R)] lks- iz- (C. P.)

2. P • R / Q • R lks- iz-(C. P.)

3. P 2, ljyh- (Simp.)

4. Q 1, 3, fo- gs- (M. P.)

5. R • P 2, ifj- (Com.)

6. R 5, ljyh- (Simp.)

7. Q • R 4, 6, la;ks- (Conj.)

3. [(X Y) • (X Z)] [X (Y • Z)]

mÙkjµ 1. [(X Y) • (X Z)] / [X (Y • Z)] lks- iz-(C. P.)

2. X / (Y • Z) lks- iz- (C. P.)

3. X Y 1, ljyh- (Simp.)

4. (X Y) • (X Z) 1, ifj- (Com.)

5. (X Z) 4, ljyh- (Simp.)

6. Y 3, 2, fo- gs- (M. P.)

7. Z 5, 2, fo- gs- (M. P.)

8. Y • Z 6, 7, la;ks- (Conj.)

4. (P Q) [(~ P Q) Q]

mÙkjµ 1. (P Q) / [(~ P Q) Q] lks- iz- (C. P.)

2. ~ P Q / Q lks- iz- (C. P.)

3. ~ Q ~ ~ P 2, fofu- (Trans.)

4. ~ Q P 3, f}- fu- (D. N.)

5. ~ Q Q 4, 1, gs- U;k- (H. S.)

fuxeu fof/

uksV


6. ~ ~ Q v Q 5, vkik- (Imp.)

7. Q v Q 6, fM- fu- (D. N.)

8. Q 7, iqujQ- (Taut.)

5. (P Q) [(R v P) (Q v R)]

mÙkjµ 1. (P Q) / (R v P) (Q v R) lks- iz- (C. P.)

2. R v P / Q v R lks- iz- (C. P.)

3. ~ ~ R v P 2, vkik- (D. N.)

4. ~ R P 3, (Impl.)

5. ~ R Q 4, 1, gs- U;k- (H. S.)

6. ~ ~ R v Q 5, vkik- (Impl.)

7. R v Q 6, f}- fu- (D. N.)

8. Q v R 7, ifj- (Com.)

6. [(P v Q) R] {[(R v S) T] (P T)]

mÙkjµ 1. (P v Q) R / [(R v S) T] (P T) lks- iz- (C. P.)

2. (R v S) T / P T lks- iz- (C. P.)

3. P / T lks- iz- (C. P.)

4. P v Q 3, ;ksx (Add.)

5. R 1, 4, fo- gs- (M. P.)

6. R v S 5, ;ksx (Add.)

7. T 2, 6, fo- gs- (M. P.)

7. [(P Q) Q] (P v Q)

mÙkjµ 1. [(P Q) Q] / P v Q lks- iz- (C. P.)

2. ~ (~ P v Q) v Q 1, vkik- (Impl.)

3. (~ ~ P • ~ Q) v Q 2, Mh- ek- (De M.)

4. (P • ~ Q) v Q 3, f}- fu- (D. N.)

5. Q v (P • ~ Q) 4, ifj- (Com.)

6. (Q v P) • (Q v ~ Q) 5, for- (Dist.)

7. Q v P 6, ljyh- (Simp.)

8. P v Q 7, ifj- (Com.)

8. (P Q) P] P

mÙkjµ 1. [(P Q) P] / P lks- iz- (C. P.)

2. ~ (~ P v Q) v P 1, vkik- (Impl.)

3. (~ ~ P • ~ Q) v P 2, Mh- ek- (De M.)

4. (P • ~ Q) v P 3, f}- fu- (D. N.)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh114

5. P v (P • ~ Q) 4, ifj- (Com.)

6. (P v P) • (P v ~ Q) 5, for- (Dist.)

7. P v P 6, ljyh- (Simp.)

8. P 7, iqujQ- (Taut.)

II. fuEufyf[kr dks iqujQfDr fl¼ djus ds fy, vlk{kkr~ izek.kksa dh jpuk djsaµ

1. (P Q) V (P ~ Q)

2. (P Q) v (~ P R)

3. (P ~ Q) v (~ Q ~ P)

4. (~ P Q) v (~ Q ~ P)

5. (~ P ~ Q) v (P Q)

6. P v (P Q)

7. (P ~ P) v (~ P P)

8. P [P • (~ P Q)]

9. P ~ ~ P

10. P [~ P (P • Q)]

4-11 voS/rk dk izek.k

lR;rk&lkj.kh dh laf{kIr fof/

dksbZ ;qfDr rHkh voS/ izekf.kr gksrh gS tc mlds vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ

vlR;A blls lR;rk&lkj.kh ds }kjk izekf.kr djus dh fof/ dh O;k[;k dj nh xbZ gSA ;fn

lR;rk&lkj.kh esa de&ls&de ,d Hkh iafDr ,slh feyrh gS fd ljy izdFkuksa ds lR;rk&ewY;

iznÙk djus ij vk/kj&okD; lR; gksrs gSa vkSj fu"d"kZ vlr; gks ;qfDr voS/ izekf.kr gks tkrh

gSA ij ;fn fdlh ;qfDr esa cgqr ls ljy rdZokD; gksa rks lR;rk&lkj.kh esa vusd iafDr;k¡ gks

tkrh gSa vkSj og fof/ tfVy gks tkrh gSA ;fn lEiw.kZ lR;rk&lkj.kh u cukdj ,d ,slh iafDr

fey tk;s ftleas vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; gks ;qfDr voS/ izekf.kr gks tk;sxhA

,slk rHkh gks ldrk gS tc fdlh voS/ ;qfDr ds ljy izdFkuksa ds fy, bl izdkj lR;rk ewY;

iznRr fd; tk;sa fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A ;gh lR;rk&lkj.kh dh laf{kIr

fof/ gSA ,d voS/ ;qfDr dk mnkgj.k ysa]

;fn dqyifr cny tk;saxs] tks fo'ofo|ky; lq/j tk;saxsA

;fn jktuhfrd gLr{ksi :d tk;sxk] rks fo'ofo|ky; lq/kj tk;saxsA

blfy,] ;fn dqyifr cny tk;sa] rks jktuhfrd gLr{ksi :d tk;sxkA

bldk izrhdkRed :i gS (igys v{kjksa ls ladsr djsa)µ

V U

P U

V P

fuxeu fof/

uksV


bls voS/ Bgjkus ds fy, lEiw.kZ lR;rk&lkj.kh u cukdj ;fn ljy izdFkuksa dks ,slk

lR;rk&ewY; iznRr fd;k tk;s fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR; gks ;g ;qfDr voS/k

izekf.kr gks tk;sxhA fu"d"kZ rHkh vlr; gksxk ;fn iwoZorhZ Û* lR; gksaA Û* lR; gS vkSj ^P* vlR; ekuk x;k gS] vr% nwljk vk/kj&okD; Hkh lR; Bgjrk gSA blfy, nksuksas vk/kj&okD;

lR; gSa vkSj fu"d"kZ vlR;A ;g ;qfDr voS/ fl¼ gksrh gSA rdZokD;ksa dh lR;rk ;k vlR;rk

ds lEcU/ esa fuEufyf[kr fu;e Lej.k j[kuk vko';d gSµ

(i) dksbZ lksikf/d rdZokD; rHkh vlR; gksxk tc mldk iwoZorhZ lR; gks vkSj vuqorhZ vlR;A nwljh lHkh fLFkfr;ksa esa ;g lR; gksxkA

(ii) dksbZ oSdfYid rdZokD; rHkh vlR; gksxk tc nksuksa fodYi vlR; gksaA vU; fLFkfr;ksa esa ;g lR; gksxkA

(iii) dksbZ la;qDrd rHkh lR; gksxk tc nksuksa la;qDrd lR; gksaaA vU; fLFkfr;ksa esa ;g vlR; gksxkA

bl vof/ ds fy[kus dk ljy rjhdk gS fd ,d iafDr esa ljy izdFkuksa dks fy[kdj muds ckn vk/kj&okD;ksa dks mlh iafDr esa vafdr djsaA loZizFke fu"d"kZ dks vlR; Bgjkus esa izdFkuksa dk tks lR;rk&ewY; gksxk mls igys vafdr djsaaA bl lR;rk&ewY; esa dksbZ ifjorZu ugha gksxkA ifjorZu gksus ls fu"d"kZ lR; gks tk;sxk ij gesa mls vlR; Bgjkuk gSA fiQj vU; izdFkuksa dk ,slk ewY; iznÙk djsa ftlesa vk/kj&okD; lR; gksaA fdlh&fdlh ;qfDr esa ,d&nks ckj ps"Vk djuh iM+rh gSA ;fn fdlh izdFku dk lR;rk&ewY; lR; (T) ekudj dksbZ rdZ&okD; lR; (T) Bgjrk gS vkSj vlR; (F) ekudj Hkh rks mlh ds uhps ^T* vkSj mlds uhps ^F* vafdr dj nsaA dsoy eu esa ^T* ;k ^F* ekudj vkus ugha c<+saA

nh gqbZ ;qfDr dks voS/ izekf.kr djus dh fof/µ

P U V V U P U V PF T T

,d gh iafDr esa ljy izdFkuksa dks vadr djsa ^P, U, V* dks] fiQj vk/kj&okD;ksa rFkk fu"d"kZ dks flyflysokj ^V U*] ^P U* vkSj ^V P* dksA

vc fu"d"kZ ^V P* rHkh vlR; gksxk tc ^V* lR; gks vkSj ^P* vlR;A blfy, lEiw.kZ iafDr esa ,d js[kk nsdj ^P* ds uhps ^F* vkSj ^V* ds uhps ^T* vafdr djsaA bl ewY; esa dksbZ ifjorZu ugha djsaA vc igyk vk/kj&okD; ^V U* dSls lR; gksxk\ ^V* lR; gS] vr% ^V U* rHkh lR; gksxk ;fn Û* lR; gksA vr% Û* ds uhps ^T* vafdr djsaA nwljk vk/kj&okD; Hkh lR; gksuk pkfg,A ^P U* esa ^P* vlR; gSA ij Û* lR;] vr% ^P U* lR; gSA bl izdkj ,d iafDr ,slh fey tkrh gS ftlesa ^P* dks vlR;] rFkk Û* vkSj ^V* dks lR; ekuus ls nksuksa vk/kj&okD; lR; rFkk fu"d"kZ vlR; gksrk gS vr% ;g ;qfDr voS/ izekf.kr gksrh gSA lEiw.kZ lR;rk&lkj.kh cukus dh vis{kk ;g ,d ljy fof/ gSA bu lHkh ;qfDr;ksa dks] ftUgsa lR;rk&lkj.kh ds }kjk voS/ izekf.kr fd;k tk ldrk gS] bl fof/ ls Hkh fd;k tk ldrk gSA

dqN gy fd, gq, iz'u

lR;rk ewY; iznÙk djus dh fof/ ds }kjk fuEufyf[kr ;qfDr;ksa dh voS/rk izekf.kr djsaµ

(1) P (Q v R)

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh116

S (T • U) ~ T P U

P Q R S T U (Q v R) (T • U)T T F F F F T Fvk- 3 vk- 1 vk- 2 fu-

~ T P (Q v R) S (T • U) P U

T T T F

(2) A (B C)

B (~ C D)

(C v D) E

A EA B C D E (B C) ~ C (~ C D) (C v D)T F F F F T T F F

vk- 3 vk- 2 vk- 3 fu-

A (B C) B (~ C D) (C v D) E A E

T T T F

;g vH;kl ds fy, gSA ;fn ewY; bhd fey tk;s rks bls ,d js[kk esa vafdr dj nsaA

loZizFke fu"d"kZ ds izdFkuksa dk ewY; Bhd djsaa fu"d"kZ vlR; gSa ^F* rks Â* lR; ^T* vkSj

Ê* vlR; ^F* gksxkA bls Â* rFkk Ê* ds uhps vafdr djsaA fiQj ;g ns[ksa fd Â* ;k Ê* fdl vk/kj&okD; esa gSaA ml vk/kj&okD; esa tks vU; izdFku gksa mudk ewY; fu/kZfjr djsaa rhljs

vk/kj&okD; esa Ê* gSA ;fn Ê*] ^F* gS rc ^C v D* dks ^F* gksus ij gh ;g vk/kj&okD;

^T* gksxkA ^C v D* ^F* rHkh gksxk tc ^C* vkSj ^D* nksuksa ^F* gksaA bUgsa Hkh vadr djsaA vc

;fn ^C* vkSj ^D* nksuksa ^F* gSa rc ^~C* ^T* vkSj ^(~C D)* F gksxkA tc ^B*] nwljs vk/

kj&okD; dks ^T* gksus ds fy, vo'; ^F* gksxkA ;fn ^B*] ^F* gS rc igyk vk/kj&okD; Hkh

^T* gksxkA bl izdkj rhuksa vk/kj&okD; ^T* vkSj fu"d"kZ ^F* gksrk gSA tgk¡ drkj yEch gks ljy

izdFku dks igys vyx vafdr dj ysaA mnkgj.k (3) ls Li"V gks tk,xkA

(3) (A B) • (C D)

A v C

(B v D) (E • F)

E (F G)

G (A H)

H

A B C D E F G HF T T T T T T F

fuxeu fof/

uksV


A B C D B v D E • F F G A H

T T T F F F vk- 1 vk- 2 vk- 3 vk- 4 vk- 5 fu-

(A B) • (C D) A v C (B v D) (E • F) E (F G) G (A H) HT T T T T F

(4) X (Y Z)

Y (~ X • ~ Z)

Z (X v ~ Y)

Y

X v ZX Y ZF T F

Y Z ~ X ~ Z ~ X • ~ Z ~ Y X v ~ YF T T T F F

vk- 1 vk- 2 vk- 3 vk- 4 fu-X (Y Z) Y (~ X • ~ Z) Z (X v ~ Y) Y X v Z

T T T T Ffu"d"kZ X v Z rHkh ^F* gksxk tc ^X* vkSj ^Z* nksuksa ^F* gksaA ,d vk/kj&okD; ^Y*

gS vr% og ^T* gksxkA blh vk/kj ij vU; okD;ksa ds lR;rk&ewY; fudky ysaA

;qfDr dh oS/rk fl¼ djus esa ;g fn[kyk nsuk i;kZIr gS fd bl izdkj lR;rk&ewY; ugha iznku fd;k tk ldrk fd vk/kj&okD; lR; gksa vkSj fu"d"kZ vlR;A ,slh ;qfDr;ksa esa ;fn fuekZ;d ljy izdFkuksa dk ,slk lR;rk&eY; iznku fd;k tk;s fd fu"d"kZ vlR; gks rks lHkh vk/kj&okD; lR; ugha gks ldrsA ,slk rHkh lEHko gS tc lR;rk&ewY; iznku djus esa folaxfr gks] vFkkZr~ ftl ljy izdFku dks lR; ekuk x;k gS mldk O;k?kkRed (mls gh) vlR; ;k ;fn vlR; ekuk x;k gS rks mls lR; ekuuk gksxkA ij ;g O;k?kkrd gSA

vr% ;qfDr voS/k ugha oS/ Bgjrh gSA

;g ,d izdkj dk lR;rk&lkj.kh fof/ ds }kjk O;k?kkr izn'kZu ls fdlh ;qfDr dh oS/rk dk izek.k gksrk gSA

mnkgj.kµ

A (B • C) (B v C) D A D

;fn bl ;qfDr esa mi;qZDr fof/ ykxw dh tk;s tc]

vk- 1 vk- 2 fu-A B C D B • C B v C A (B • C) (B v C) D A DT T T F T T T F F

T T

izfrrkRed rdZ'kkL=k

uksV

Lo&vè;;u lkexzh118

fu"d"kZ rHkh vlR; gksxk tc Â* (T) vkSj ^D* vlR; (F) gksaxsA vc igys vk/kj&okD; esa Â* lR; (T) gS] vr% bls lR; gksus ds fy, (B • C) dk lR; (T) gksuk vko';d gSA (B • C) rHkh lR; gksxk tc ^B* vkSj ^C* nksuksa lR; (T) gksaxsA vc nwljs vk/kj&okD; esa iwoZorhZ (B v C) lR; (T) Bgjrk gSA vr% bls lR; (T) gksus ds fy, ^D* dk lR; (T) gksuk vko';d gSA ij ^D* dks vlR; (F) ekuk x;k gSA vr% ^D*, ^F* vkSj ^T* nksuksa gks tkrk gSA ;g ,d O;k?kkr gSA vr% ;qfDr oS/ gSA bl fof/ ls voS/ ;qfDr dh voS/rk rks lh/h jhfr ls fl¼ gksrh gS ij oS/ ;qfDr;ksa dh oS/rk O;k?kkr izn'kZu ds }kjkA ;fn fu"d"kZ dks vlR; (F) ekudj ljy izdFkuksa dk lR;rk&ewY; iznku fd;k tk;s rks dksbZ ljy izdFku lR; ^T* rFkk vlR; ^F* nksuksa gksrk gSA ;g ,d O;k?kkr gSA blfy, ;qfDr oS/ gksrh gSA

lR;rk&lkj.kh dh laf{kIr fof/ ds }kjk iqujQfDr] O;k?kkrd rFkk vkikfrd izekf.kr djus dh fof/µ

bl fof/ ds }kjk ;g Hkh iznf'kZr fd;k tk ldrk gS fd dksbZ izdFku iqujQfDr gS ;k

O;k?kkrd ;k vkikfrd (O;k?kkr izn'kZu)

(d) iqujQfDrµoSls izdFku&vkdkj iqujQfDr gSa ftuds lHkh izfrLFkkfir n`"Vkkar lR; gksaA

vc ;fn fdlh izdFku dks vlR; ekuus esa mlds fdlh fu;kZk;d ljy izdFku dks lR; vkSj

vlR; nksuksa ekuuk iM+s rks mlesa O;k?kkr gksrk gSA vr% og izdFku lR; vkSj iqujQfDr fl¼ gksrk gSA1. P (Q P)—;fn bls iqujQfDr ugha ekuk tk;s vkSj vlR; ekuk tk;s rc ;g lHkh

vlr; gksxk tc iwoZorhZ vFkkZr~ ^P* lR; (T) vkSj vuqorhZ ^Q P* vlR; (F) gksA ^Q P* rHkh vlR; (F) gksxk ;fn iwoZorhZ ^Q* lR; (T) rFkk vuqorhZ ^P* vlR; (F) gksA ij ^P* dks igys lR; (T) ekuk x;k gSA vr% ^P* dks lR; rFkk vlR; nksuksa ekuuk gksxk tks O;k?kkrd

gSA vr% mnkgj.kµP (Q P) lR; gS vkSj iqujQfDr fl¼ gksrk gSA

([k) O;k?kkrdµoSls izdFku&vkdkj O;k?kkrd gSa ftuds lHkh izfrLFkkfir n`"Vkar vlR; gksaA vr% ;fn fdlh izdFku dks lR; ekudj mlds fuekZ;d ljy izdFkuksa dks lR;rk&ewY; iznku fd;k tk;s vkSj mlesa folaxfr gks rc og izdFku vlR; vkSj O;k?kkrd fl¼ gksrk gSA

mnkgj.kµ

2. A • ~ A —;fn bl izdFku dks lR; ekusa rc nksuksa la;qDrksa Â* vkSj ^~ A* dks lR;

ekuuk gksxkA ij ;fn Â* lR; gks rks ^~A* vlR; vkSj ;fn Â* vlR; gks rks ^~A* lR;

gksxkA Â* vkSj ^~A* nksuksa lR; ugha gks ldrsA blesa folaxfr gS] vr% ;g izdFku O;k?kkrd gSA

vkikfrdµ;fn fdlh izdFku dks lR; ekuus ij rFkk vlR; ekuus ij Hkh mlds fuekZ;d

ljy izdFkuksa dks lR;rk&ewY; iznku djus esa dksbZ folaxfr ugha gks rks og izdFku vkikfrd gSA

mnkgj.kµ

3. A ~ A—;fn bls lR; ekuk tk;s] tks iwoZorhZ Â* vlR; vkSj vuqorhZ ^~ A* lR;

gksxk vkSj blesa dksbZ folaxfr ugha gSA ;fn bls vlR; ekuk tk;s] rks iwoZorhZ Â* lR; vkSj

vuqorhZ vlR; gksxkA blesa Hkh dksbZ folaxfr ugha gSA vr% ;g izdFku vkikfrd gSA

;qfDr;ksa dh oS/rk dh ijh{kk ds fy, rFkk izdFkuksa ds oxhZdj.k ds fy, ;g ,d ljy

fof/ gSA

fuxeu fof/

uksV


loZizFke] fn, gq, izdFku dks vlR; ekudj fuekZ;d ljy izdFkuksa dks lR;rk&ewY; iznku

djus esa dksbZ folaxfr ugha feys rc og izdFku vkikfrd gSA

dqN gy fd, gq, iz'u

(i) (p • q) p—;fn ;g izdFku vlR; gS] rc iwoZorhZ ^p • q* lR; vkSj vuqorhZ ^p* vlR; gksxkA ;fn ^p • q* lR; gS] rc ^p* vkSj ^q* nksuksa la;qDr] lR; gksaxsA vr% ^p* lR; vkSj vlR; nksuksa gks tkrk gSA blesa folaxfr gSA blfy, ;g iqujQfDr gSA

(ii) (p ~ p) • (~ p p)—;fn ;g izdFku vlR; gS rc ;k rks nksuksa la;qDr vlR; gksaxs ;k dksbZ ,dA vc ;fn ^p* dks lR; ekuk tk;s rks vlR;] dksbZ ,d la;qDr vlR; gksrk gSA vr% ^(p ~ p) • (~ p p)* vlR; Bgjrk gSA blesa dksbZ folaxfr ugha gSA vr% ;g iqujQfDr ugha gSA

;fn bls lR; ekuk tk;s rks nksuksa la;qDrksa dks lR; gksuk pkfg,A ij ^p* dks lR; ekusa ;k vlR; ekusa

p q (p q) [(p q) q] [(p q) q] qT F F T F

vlR; blesa dksbZ folaxfr ugha gSA

vc bls lR; ekudj lR;rk&ewY; iznku djsaA

p q (p q) [(p q) q] [(p q) q] qF T T T T

lR; blesa dksbZ folaxfr ugha gSA

vr% ;g izdFku vkikfrd gSA

;fn fn;k gqvk izdFku iqujQfDr cryk;k tk pqdk gS rc mls fl¼ djus ds fy, dsoy mls vlR; ekudj lR;rk&ewY; iznku djsa vkSj ;fn O;k?kkrd tc dsoy lR; ekudj vkSj;fn vkikfrd rc lR; vkSj vlR; nksuksa ekudjA

;kn j[ksaµ(d) igys ukS vuqeku ds fu;e izek.k ds lEiw.kZ ykbZu ij ykxw fd, tk ldrs gSaA tSlsµ(A • B) v C, rc blesa A • B ls A ljyhdj.k djds A v B fu"d"kZ ugha fudkysaxs D;ksafd A • B iwjk ykbZu ugha gSA iwjk ykbZu gS (A • B) v C

([k) izfrLFkkfir fu;e fdlh ykbZu ds ,d va'k ij Hkh ykxw fd;k tk ldrk gSA tSlsµ ~ (A v B) C| ~ (A v B) ls Mh- ek- ds }kjk (~ A • ~ B) vkSj rc fu"d"kZ (~ A • ~ B) C fudkyk tk ldrk gSA

4-12 lUnHkZ xzUFk

1. f0

Documents

if'peh çrhdkRed rdZ'kkL=klnmuacin.in/studentnotice/ddelnmu/2020/M.A... · dsoy ogh ml Hksn dks tkurk gS ,sls vusd mnkgj.k feyrs gSa tc fo[;kr rdZ'kkfL=k;ksa us Hkh v'kq¼ ;qfDr;ksa