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II – 6Flexion simple (effet du cisaillement)
[email protected] 16 juillet 2011
II – 6 - 1 - 2Flexion simple (effet de cisaillement)
II - 6 - 1 Flexion simple� Définition [Frey, T. II, Chap. 9, 157-172+180]
� Effet du cisaillement sur les pièces fléchies[pas de référence pour la dém.]
� Moments statiques� Parois minces� Déformation due au cisaillement
II – 6 - 1 - 3Flexion simple (effet de cisaillement)
Flexion simple� Mz ≠ 0 et Ty ≠ 0� la relation reste valable car
– l’effort tranchant perturbe peu les contraintes normales
– la courbure est également peu sensible à l’effort tranchant
� l’effort tranchant est la résultante des contraintes de cisaillement
∫=A
xyy dAT τ
z
zx
I
yM=σ
II – 6 - 1 - 4Flexion simple (effet de cisaillement)
Flexion simple� Essai de flexion 3 points
– Illustre que la déformée est peu influencée par T
http://www.si.ens-cachan.fr/ressource/r14/r14.htm
II – 6 - 1 - 5Flexion simple (effet de cisaillement)
Calcul des contraintes de cisaillement� théorie de Jourawski� calcul de l’effort rasant car réciprocité des
contraintes tangentielles τxy = τyx
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 6Flexion simple (effet de cisaillement)
Effort rasant� comparons les assemblages de sections
carrées a x a
� � �
sections � et �
6
a2
y
I
12
a2I
3
max
z
4
z
=
=
section �
( )
( )6
a2a
y
I
12
a2aI
2
max
z
3
z
=
= � est 4x plus rigide
� est 2x plus résistant
II – 6 - 1 - 7Flexion simple (effet de cisaillement)
Calcul de l’effort rasant
0dSTdSTdSTdSTlatS
)n(x
coupe
)n(x
'
)x(x
)x(x =+++ ∫∫∫∫ ∑∑
−
0dSTS
)n(x =∫
Équation d’équilibre de translation horizontal(en l’absence de forces de volume fx=0)
II – 6 - 1 - 8Flexion simple (effet de cisaillement)
Calcul de l’effort rasant
( ) ( )[ ]
0
0
0
0)()(
'
)()(
=+∂
∂
=+∂
∂
=+−+
=+++
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∑
∑
∑
∑∑
−
ABnx
x
coupenx
x
coupenxxx
S
nx
coupe
nx
xx
xx
ddSx
dxddxdSx
dxddSxdxx
dSTdSTdSTdSTlat
λ
λ
λ
τσ
τσ
τσσ
poutre prismatique =0,
pas de force tangentielle en
surface
effort rasant
II – 6 - 1 - 9Flexion simple (effet de cisaillement)
Calcul de l’effort rasant
( )
( )λ
λ
λ
∑−=
∑−=
−=
∫
∫∫ ∑
S
I
T
SI
Td
ydSI
Td
z
y
nx
z
y
ABnx
z
y
ABnx
τ
τ
τ
moment statique de Σ
valeurmoyenne
Supposons que (hypothèse de Bernoulli)Or,
D’où,
yI
T
xT
dx
dM
z
yxy =
∂
∂⇒=
σ
yI
M
z
zx =σ
II – 6 - 1 - 10Flexion simple (effet de cisaillement)
Théorie de Jourawski� récapitulation des hypothèses simplificatrices
– fx = 0– pas de force de surface tangentielle– poutre prismatique– Bernoulli– calcul de la contrainte moyenne
II – 6 - 1 - 11Flexion simple (effet de cisaillement)
Cas particulier� dans le cas où AB est parallèle à Oz
( )b
S
I
T
z
y
xy
xyyx
yxnx
∑=
=
−=
τ
ττ
ττ
formule deJourawski
dans le plan de coupe
II – 6 - 1 - 12Flexion simple (effet de cisaillement)
Centre géométrique et moment statique
� coordonnées du centre géométrique
où apparaissent les moments statiques
∫∫
=
A
Ac
dA
xdAx
∫∫
=
A
Ac
dA
ydAy
∫=A
x ydAS ∫=A
y xdAS
[Frey, 1990, Vol. 1]
II – 6 - 1 - 13Flexion simple (effet de cisaillement)
Moment statique� coordonnées du centre géométrique
deviennent
� conséquences– le moment statique de A par rapport à un axe
passant par le centre géométrique est nul– le moment statique d’une surface d’aire S est égal
au produit de l’aire S par la distance de son centre géométrique à l’axe
A
Sx
yc =
A
Sy x
c =
II – 6 - 1 - 14Flexion simple (effet de cisaillement)
Sections massives� moment statique
� calcul des contraintes
( )
( ) G
22
2h
y
yy2
h
2
1y
2
hbS
y4
h
2
bbydyS
∑=
+
−=∑
−==∑ ∫
A
T
2
3
y4
h
I2
T
ymaxxy
22
z
yxy
=
−=
τ
τz
y
II – 6 - 1 - 15
Application : poutre en béton armé
• Armatures principales : traction due à la flexion• Étriers : effort tranchant• Armatures secondaires et de couture : fissuration• Exercice suggéré : déduire de ce plan le schéma statique
Flexion simple (effet de cisaillement)
armatures principales armatures secondaires armatures de couture
étriers
pas
II – 6 - 1 - 16Flexion simple (effet de cisaillement)
Rupture par cisaillement� Commentaires
– État bidimensionnel de contraintes– 2 directions principales– Directions de cisaillement max à 45°– Fissures typiques de cisaillement
II – 6 - 1 - 17Flexion simple (effet de cisaillement)
Rupture par cisaillement
Credits: A. Hellebois (Service BATir, ULB, 2010)
Rupture par flexion (contraintes normales) Rupture par cisaillement
Essai de flexion 3 points
II – 6 - 1 - 18Flexion simple (effet de cisaillement)
Structures à parois minces� La formule de Jourawski
donne une bonne précision pour les parois minces
� flux de cisaillement (N/m)
( )t
S
I
T
z
y
xnxn
∑−=≈ ττ
( ) ∫−=∑−==s
z
y
z
y
xn dstyI
TS
I
Ttf
0τ
Σ
n
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 19Flexion simple (effet de cisaillement)
Section à parois minces ouverte � Poutre prismatique à t variable
( )t
S
I
T
z
y
xn
∑−=τ
constant
variable
τxn max. lorsque S/t max. [Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 20Flexion simple (effet de cisaillement)
Autres contraintes dues à Ty� contrainte normale σy
� contrainte tangentielle τxz
� montre que ne dépend pas de z ⇒ que τxz est linéaire en z
( )( )
y
y
ybT
qTy
∑−=σ toujours négligeable
0fzyx
xxzxyx =+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ττσ
z
xz
∂
∂τ
II – 6 - 1 - 21Flexion simple (effet de cisaillement)
Section en U
s
A
b
τ
ττ
y
tw
h
t
b
y tw
t
h/2F
F
τ
τtb
tb
Fwd e
ab
τmax
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 22Flexion simple (effet de cisaillement)
Section en U� contraintes dans les ailes
( )0
2
2 2
2
2 4
s
yxz
z
yxzz
z
h hS t ds st
T hs
I
T tb hbtF
I
τ
τ
∑ = =
=
= =
∫
résultante aile inférieure
s
A
b
τ
ττ
y
tw
h
t
Σ
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 23Flexion simple (effet de cisaillement)
Section en U� contraintes dans l’âme
( )
+=
+=
+
−=
+
+
−+=∑
212
28
242
1
2
2
22
23
2max
22
bthht
I
TF
tI
bthT
I
hT
t
bthy
h
I
T
enégligeabl
correctionyh
yh
ttbh
S
w
z
y
w
wz
y
z
y
xy
wz
y
xy
w
τ
τ
b
y tw
t
h/2
résultante âme[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 24Flexion simple (effet de cisaillement)
Section en U� inertie en flexion
� conclusion :
� solution approchée
12
bt2
2
bth
12
htI
323w
z ++=
négligeable
yw TF =
w
yxy
A
T=τ
II – 6 - 1 - 25Flexion simple (effet de cisaillement)
Section en I� contraintes tangentielles
τmax
τwm
w
y
wmA
T≈τ
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 6 - 1 - 26Flexion simple (effet de cisaillement)
Facteurs de concentration de contraintes
� Tout changement brutal de section induit des concentrations de contraintes
� Principe de Saint-Venant : ces discontinuités ne sont pas correctement représentées par Jourawski
� On introduit des facteurs de concentration de contraintes
II – 6 - 1 - 27Flexion simple (effet de cisaillement)
Facteurs de concentration de contraintes
[Burr, 1982]
II – 6 - 1 - 28Flexion simple (effet de cisaillement)
Facteurs de concentration de contraintes
nomt
nom
K
dP
σσπ
σ
=
=
max
24
sous effort normal
)(D
dfK t =
[Burr, 1982]
II – 6 - 1 - 29Flexion simple (effet de cisaillement)
Facteurs de concentration de contraintes
nomt
nom
K
dM
σσπ
σ
=
=
max
332
sous moment fléchissant
[Burr, 1982]
II – 6 - 1 - 30Flexion simple (effet de cisaillement)
Section à parois minces fermée� poutres tubulaires ou caissons� la théorie de Jourawski ne s’applique pas
aisément car on ne dispose plus d’un endroit où le flux de cisaillement a une valeur connue a priori
II – 6 - 1 - 31Flexion simple (effet de cisaillement)
Déformation due à l’effort tranchant� l’hypothèse de Bernoulli pas rigoureusement
satisfaite
( )υτγ
+==
12
EGavec
G
1xyxy
τxy pas uniforme
les sections gauchissent
hypothèse de Bernoulligénéralisée