III. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN

Ekspresi Boolean

Adalah pernyataan logika dalam bentuk

aljabar Boolean.

B. FUNGSI BOOLEAN

Tabel 3-1 Rumus –2 pada aljabar Boolean

No AND OR KETERANGAN

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(A.B).C = A.(B.C) A .B = B .A

(A+B).(A+C)=A+AB+AC+B.C

A.O = O A.A = A A.A’= O A = A A.O= O

A .1 = A A.(A + B ) = A

(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A

(A.B)+(A.C)=A(B+C)

A+1= 1 A+A=A

A+ A’=1 A = A

A + O = A A + 1 = 1

A + (A.B) = A

Hk.Asosiatif Hk.Komutatif Hk.Distributif Hk.Identitas Hk.Idempoten Hk.Inversi/Negasi Hk.Negasi Ganda Hk.Hubungan Dgn Suatu Konstanta Hk.Absorbsi

CONTOH

1.  X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y 3.  X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y 5.  X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X’)

= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z = X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)

= X.Y + X’.Z

C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD

Adalah menyatakan suatu persamaan dalam

hubungan operasi AND atau OR antar

variabel secara lengkap pada setiap suku.

Dan antar suku dihubungkan dengan

operasi OR atau AND.

X Y Z

Minterm Maxterm

Term Designation Term Designation

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

x’y’z’ x’y’z x’yz’ x’yz xy’z’ xy’z xyz’ xyz

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

x+y+z x+y+z’ x+y’+z x+y’+z’ x’+y+z x’+y+z’ x’+y’+z x’+y’+z’

M0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm

untuk 3 variabel biner

M I N T E R M Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam minterm

Jawab. Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C suku pertama A = A(B+B’) (C+C’) = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’ suku kedua B’C = B’C (A+A’) = AB’C + A’B’C

Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C adalah F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

= m7 + m6 + m5 + m4 + m1 Atau dapat ditulis dengan notasi

F (ABC) = Σ (1,4,5,6,7)

Lanjutan …

A B C F

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1 1 1

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

M A X T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND. Contoh. Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam Maxterm. Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributif F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z) = (X + X’) (Y + X’) (X + Z) (Y + Z) = (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)

Lanjutan …….

Untuk suku 1 (X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’) (X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z) (Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)

Jadi dapat ditulis

F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’) = M0.M2.M4.M5

Atau ditulis dengan notasi F (XYZ) = π (0,2,4,5)

Lanjutan …

A B C F

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 1

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut. Soal latihan. Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm dan Maxterm.

F (ABCD) = B’D + A’D + BD

IV. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

A. GERBANG LOGIKA

Tabel 4-1. Gerbang Logika Dasar

Fig. 2-5 Hal 59 M. Mano B. RANGKAIAN DENGAN GERBANG LOGIKA

Fungsi Boolean di despresikan dalam bentuk rangkaian dengan Gerbang Logika

CONTOH.

Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika untuk aljabar Boolean sbb. X . ( X’ + Y ) Jawab. X X.( X’+Y) Y

C. IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM RANGKAIAN LOGIKA Hukum De Morgan

(A + B)’ = A’ . B’ A + B = (A’ . B’)’

(A . B)’ = A’ + B’ A . B = (A’ + B’)’ Beberapa Contoh latihan penyederhanaan fungsi dengan aljabar Boolean. 1. Buktikan X + X’ . Y = X + Y 2. Buktikan (X+Y).(X’+Z).(Y+Z) = (X+Y).(X+Z)