ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER Aljabar Boolean, Gerbang Logika, dan Penyederhanaannya

Disusun Oleh :Indra Gustiaji Wibowo (123100031)Kelas BDosenHidayatulah Himawan,ST.,M.M.,M.EngJURUSAN TEKNIK INFORMATIKAFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRIUPN VETERAN YOGYAKARTA20121. Aljabar BooleanDalammatematikadanilmu komputer,Aljabar Booleanadalahstruktur aljabaryang "mencakup intisari" operasilogikaAND,ORdanNORdan jugateori himpunanuntuk operasiunion,interseksidankomplemen.PenamaanAljabar Booleansendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernamaGeorge Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahanabad ke-19.Booleanadalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean itu sendiri adalah(.) untuk AND, (+) untuk OR dan ( ) untuk NOR.

Teori Aljabar BooleanTeori aljabar Boolean itu sendiri adalah sebagai berikut;Komutatifa. A + B = B + Ab. A . B = B . AAsosiatifa. ( A + B ) + C = A + ( B + C )b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )Distributifa. A . ( B + C ) = A . B + A . Cb. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )Identifa. A + A = Ab. A . A = ANegasi1. ( A ) = A2. ( A ) = ARedundansia. A + A . B = Ab. A . ( A + B ) = AContoh Soal1. Buktikan a + ab = a + b !Jawab := (a + ab) + ab= a + (ab + ab)= a + (a + a) b= a + 1b= a + b

2. GerbangLogikaGerbang Logika : Gerbang logika atau gerbang logik adalah suatu entitas dalam elektronika dan matematika Boolean yang mengubah satu atau beberapa masukan logik menjadi sebuah sinyal keluaran logik. Gerbang logika terutama diimplementasikan secara elektronis menggunakan dioda atau transistor, akan tetapi dapat pula dibangun menggunakan susunan komponen-komponen yang memanfaatkan sifat-sifat elektromagnetik (relay), cairan, optik dan bahkan mekanik. Dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut Rangkaian logika. Macam Macam Gerbang Logika :1. Gerbang NOT

Gerbang NOT sering disebut juga dengan istilah inverter atau pembalik. Logika dari gerbang ini adalah membalik apa yang di-input ke dalamnya. Biasanya input-nya hanya terdiri dari satu kaki saja. Ketika input yang masuk adalah 1, maka hasil output-nya adalah 0. Jika input yang masuk adalah 0, maka hasil output-nya adalah 1. Banyak sekali penerapan gerbang NOT ini pada rangkaian digital, meskipun fungsinya sangat sederhana.

2. Gerbang AND

Gerbang AND memiliki karakteristik logika di mana jika input yang masuk adalah bernilai 0, maka hasil outputnya pasti akan bernilai 0. Jika kedua input diberi nilai 1, maka hasil output akan bernilai 1 pula. Logika gerbang AND bisa diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang disusun secara seri. Jika salah satunya memutuskan hubungan rangkaian, maka hasil yang dikeluarkan dari rangkaian tersebut adalah 0. Tidak peduli saklar manapun yang diputuskan maka hasil akhirnya adalah 0. Ketika kedua buah saklar terhubung dengan rangkaian bersamaan, maka hasil akhirnya barulah bernilai 1.

3. Gerbang OR

Gerbang OR digambarkan sebagai Gerbang Penjumlah. Gerbang OR berbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang OR dapat dikatakan memiliki karakteristik memihak 1, di mana karakteristik logikanya akan selalu mengeluarkan hasil output bernilai 1 apabila ada satu saja input yang bernilai 1. Jadi gerbang logika ini tidak peduli berapa nilai input pada kedua sisinya, asalkan salah satunya atau kedua-duanya bernilai 1, maka outputnya pasti juga akan bernilai 1. Logika gerbang OR ini dapat diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang terpasang secara paralel.

Apabila salah satu saklar memutuskan hubungan (bernilai 0), maka output-nya tetaplah bernilai 1 karena input yang lain tidak akan terputus hubungannya dengan output. Apabila kedua input bernilai 0, maka output barulah benar-benar terputus atau bernilai 0. Jika keduanya bernilai 1, maka output juga akan bernilai 1.

Pengembangannya 4. Gerbang NAND

Gerbang logika NAND merupakan modifikasi yang dilakukan pada gerbang AND dengan menambahkan gerbang NOT didalam prosesnya. Maka itu, mengapa gerbang ini dinamai NAND atau NOTAND. Logika NAND benar-benar merupakan kebalikan dari apa yang dihasilkan oleh gerbang AND. Di dalam gerbang logika NAND, jika salah satu input atau keduanya bernilai 0 maka hasil output-nya adalah 1. Jika kedua input bernilai 1 maka hasil output-nya adalah 0.

5. Gerbang NOR

Gerbang NOR atau NOT-OR juga merupakan kebalikan dari gerbang logika OR. Semua input atau salah satu input bernilai 1, maka output-nya akan bernilai 0. Jika kedua input bernilai 0, maka output-nya akan bernilai 1.

6. Gerbang XOR

Gerbang XOR merupakan singkatan dari kata Exclusive-OR. Sesuai dengan namanya, gerbang logika ini merupakan versi modifikasi dari gerbang OR. Jika pada gerbang OR Anda akan mendapatkan hasil output yang serba 1 jika salah satu input atau keduanya bernilai 1, tidak demikian dengan XOR. Gerbang logika ini hanya akan mengeluarkan hasil output bernilai 1 jika hanya salah satu input saja yang bernilai 1. Maksudnya jika kedua input bernilai 1, maka hasil output-nya tetaplah 0.Jadi dengan demikian, logika XOR tidak akan membiarkan kedua input bernilai sama. Jika sama, maka hasil output-nya adalah 0.

7. Gerbang XNOR

Gerbang XNOR atau Exclusive NOR ini mungkin tidak terlalu sering terdengar, namun aplikasinya cukup lumayan penting juga. Gerbang logika XNOR memiliki kerja ebalikan dari XOR. Jika pada gerbang logika XNOR terdapat dua input yang sama, maka gerbang XNOR akan mengeluarkan hasil output bernilai 1. Namun jika salah satunya saja yang berbeda, maka nilai output pastilah bernilai 0.

Contoh Soal dan Jawaban :Diketahui suatu rangkaan digital seperti di bawah ini :

Carilah persamaan booleannya dan tabel logikanya!Jawab : Persamaan Boolean :Y = (A AND B) OR (C AND D)Y= (A . B) + (C . D) Tabel Logika :

3. Rangkaian KombinasionalPada dasarnya rangkaian logika (digital) yang dibentuk dari beberapa gabungan kompenen elektronik yang terdiri dari bermacam-macam Gate dan rangkaian- rangkaian lainnya, sehingga membentuk rangkaian elekronika yang bersifat yang bersifat kompleks dan cukup rumit. Untuk mengatasi hal tersebut maka dipergunakanlah beberapa metode penyerdehanaan rangkaian logika. Implemnentasi dari fungsi booleanGerbang logika adalah alat fisis yang merupakan implementasi dari fungsi Boolean. Karena fungsi Boolean dinyatakan dalam bentukAND, OR, dan NOT, lebih mudah untuk mengimplementasikan suatu fungsi Boolean dengan jenis gerbang. Kemungkinan membangungerbang untuk operasi logika lainnya adalah kepentingan praktis.Dalam penyerdehanaan rangkaian logika, dapat menggunakan beberapa cara, diantaranya :1. Penyerdehanaan Aljabar Boolean2. Metode Peta Karnaugh

1. Penyederhanaan fungsi Aljabar Boolean

Suatu bentuk variabel biner dapat bernilai 0 atau1.Suatu fungsi boleen adalah suatu pernyataan yang dibentukdengan variabel-variabel biner, operator AND, OR, NOT,tanda kurung, dan sama dengan. Untuk nilai-nilai variabelyang diketahui, fungsi itu dapat bernilai 0 atau 1.Dalam aljabr boolen digunakan dua konstanta yaitulogoka 1 dan logika 0. Kedua konstanta tersebut biladiterapkan dalam rang kaian logika akan berupa taraftegangan. Yakni taraf tegangan rendah dan taraf tegangantinggi.Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika1 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 0, makadisebut dengan penerapan logika positif.Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika0 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 1, makadisebut dengan penerapan logika negatif.Teori-teori aljabar boolean ini merupakanaturan-aturandasarhubunganantaravariabel-variabel boolean. Aturan ini digunakanuntukmemanipulasidanmenyederhanakansuaturangkaian logika ke dalam bentuk yangbervariasi. Adapun teori-teori aljabar boolean inidapat kita rangkum menjadi bentuk-bentuk sepertiberikut ini:

Dalil-dalil Boolean (Boolean postulates)P1: X= 0 atau X=1P2: 0 . 0 = 0P3: 1 + 1 = 1P4: 0 + 0 = 0P5: 1 . 1 = 1P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Theorema Aljabar BooleanT1: Commutative LawA + B = B + AA . B = B . A

T2: Associative Law( A + B ) + C = A + ( B + C )( A . B ) . C = A . ( B . C )

T3: Distributive LawA . ( B + C ) = A . B + A . CA + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

T4: Identity LawA + A = AA . A = A

T5: Negation Law( A ) = A( A ) = A

T6: Redundant LawA + A . B = AA . ( A + B ) = AT7:0+A=A1 . A = A1 + A = 10 . A = 0

T8:A +A =1A.A = 0

T9:A +A .B =A +BA .( A+ B) =A .B

T10:DeMorgansTheorema.(A+B) = A . B(A . B)= A + B

Contoh Soal:

Sederhanakanlah fungsi berikut dengan menggunakan teorema aljabar1. A.B + B.C + C.A

atau= A (B + C) + BC= A () + B.C= A. + B.C= A + B.C= (A + B) . (A + C)Teorema 3aTeorema 10b

Teorema 9aTeorema 3b

3. Penyederhanaan fungsi logika dengan K-MapMetoda Karnaugh Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika denngan cara pemetaan K-Map terdiri dari kotak-kotak (bujur sangkar) yang jumlahnya tergantung dari jumlah variable darifungsi logika atau jumlah input dari rangkaian logika.Rumus menentukan jumlah kotak dalam KMap N = 2 dimana N = jumlah kotak dalam K-MapN = banyaknya variable /inputLangkah-langkah pemetaan Karnaugh Map secara umum.1. Menyusun aljabar Boolean minterm (dari suatu taaabel kebenaran)2. Menggambarkan satuan dalam peta Karnaugh Map.3. Membuat kelompok dua-an, empat-an, delapan-an satuan dan seterusnya dimana satuan tersebut berdekatan satu sama lain.4. Menghilangkan variabel-variabel dengan rumus bila suatu variabel dan inversinya terdapat didalam suatu kelompok lingkaran maka variabel tersebut dihilangkan.5. Meng-OR-kan variabel yang tersisa.a) Macam Karnaugh Map1) Karnaugh Map dengan 2 variabel Contoh:InputOutput

ABY

001

010

101

111

Langkah PertamaY = A.B + A.B + A.B Langkah ke Dua BABB

A

1

A

11

Langkah ke Tiga BABB

A

1

A

1

1

Langkah ke EmpatY = A. B + A.B + A.BY = B ( A +A ) + ABY = B + A.B2) Karnaugh Map dengan 3 variabel Contoh:INPUTOUTPUT

ABCY

00001111001100110101010101110101

Penyederhanaan dengan K-MapLangkah pertama:Y=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.CLangkah kedua: CABCC

A B

1

A B

11

A B

1

A B

1

Langkah ketiga: Penyederhanaan dengan Aljabar BooleanY = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C+ A.B.C+ A.B.CY = B.C (A+A)+A.B (C+C)+ A.B.CY = B.C+A.B+ A.B.CY = B.C+B(A+AC)Y = B.C+B(A+C)Y = B.C+A.B+B.CY = A.B+C(B+B)Y = A.B+C

3) Karnaugh Map dengan 4 variabelContoh: INPUTOUTPUT

ABCDY

00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101010101011101010101

Penyelesaian: Penyederhanaan dengan Karnaugh Map Langkah pertama: Y = A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D

Langkah kedua:

Langkah ketiga: Penyederhanaan dengan Aljabar Boolean:

Variasi pelingkaran yang tidak biasa a. Tidak dapat disederhanakan b. Satu variabel dapat dihilangkan

c. Dua variabel dapat dihilangkan

Contohsoal:

Penyelesaian:

Bentuk soal sudah dalam bentuk SOP. Jumlah input = 4 variabel. Bentuk map setelah semua persamaannya disubstitusi:

Bentuk map setelah penggabungan:

Dihasilkan penyederhanaan:

4. Rangkaian Sekuensial

Pembahasan:1. RS -flip -flop2. D -flip -flop3. JK -flip -flop4. T-flip -flop5. AnalisadanDesainRangkaianSekuensial

flip-flop adalah multivibratorbistabil, dimana keluarannya adalah suatu tegangan rendah (0) atau tinggi (1). Keluaran ini tetap rendah atau tinggi selama belum ada masukkan yang merubah keadaan tersebut. Rangkaian yang bersangkutan harus di-drive (dikendalikan) oleh satu masukkan yang disebut pemicu (trigger). Keadaan tersebut akan berubah kembali bila ada masukkan pemicu lagi.RS Flip-flopmempunyai dua masukan dan dua keluaran. 2 input yaitu, S=Set dan R=Reset. 2 output yaitu Q dan Q. Bertindak sebagai 1 bit memori dengan output Q sebagai nilai bit tersebut. S=1, R=1 tidak dibenarkan (tidak boleh di setserentak) karena akan menghasilkan output yang tidak konsisten.

D-Flip-flopmodifikasi dari RS flip-flop dengan tambahan gerbang pembalik pada masukan R sehingga masukan R merupakan komplemen dari masukan S. Saat D = 0 keadaan flip-flop reset (Q = 0) sedangkan bila D = 1 maka keadaan flip-flop set (Q = 1).

JK Flip-flopFlip-flop ini mempunyai dua masukan dan dua keluaran, dimana salah satu keluarannya (y) berfungsi sebagai komplemen. Flip-flop JK dapat dibentuk dari kombinasi empat gerbang NAND, flip-flop ini tidak memiliki keadaan terlarang seperti yang terdapat pada flip-flop RS.

T-Flip-flopMerupakan modifikasi dari JK flip-flop, dengan menggabungkan kedua masukan J dan K sehinga keluaran (y) akan berubah-ubah sesuai perubahan pada clocknya.

CONTOH SOAL !

Tentukan persamaan next state dan tabel present state/next state untuk clock SR flip flop dibawah ini.