Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
*
مقدمه اي بر رسانش
Conduction: transfer of thermal energy from the more energeticparticles of a medium to the adjacent less energetic ones
Unlike temperature, heat transfer has direction as well as magnitude,and thus it is a vector quantity
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
1/86
مقدمه اي بر رسانش
راستاي بردار انتقال حرارت
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
2/86
رسانایی متغیري از زمان و مکان
Heat transfer problems are often classified as being steady (also calledsteady-state) or transient (also called unsteady)
For example, heat transfer throughthe walls of a house will be steady whenthe conditions inside the house andthe outdoors remain constant for several hours.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
هدایت پایدار و گذرا وابستگی یا استقلال نرخ انتقال حرارت از زمان
3/86
زمان و مکانرسانایی متغیري از
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
4/86
رسانایی متغیري از زمان و مکان
The cooling of an apple in a refrigerator, on the other hand, is a transientheat transfer process since the temperature at any fixed point within theapple will change with time during cooling
temperature varies with time as well as position
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
5/86
رسانایی متغیري از زمان و مکان
Lumped System: In case of variation with time but not with position, thetemperature of the medium changes uniformly with time.
Example: A small metal object such as a thermocouple junction or a thincopper wire
Real Problems: Steady-State? Transient? Lumped?
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
به مکان وابستگی یا استقلال نرخ انتقال حرارت
6/86
انتقال حرارت چند بعدي
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
در دستگاه هاي مختلف مختصات
با توجه به هندسه و ماهیت فیزیکی مسأله
7/86
انتقال حرارت چند بعدي
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
8/86
انتقال حرارت چند بعدي
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Solar-panel simulation9/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Fourier’s law of heat conduction for one-dimensional heat conduction
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
10/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Fourier’s law of heat conduction for three-dimensional heat conduction
11/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Most engineering materials are isotropic in nature, and thus they havethe same properties in all directions. For such materials we do not needto be concerned about the variation of properties with direction.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
12/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
But in Anisotropic materials such as the fibrous or composite materials,the properties may change with direction. In such cases the thermalconductivity may need to be expressed as a tensor quantity to account forthe variation with direction.
Here, we will assume the thermal conductivity of a material to beindependent of direction.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Orthotropic materialAnisotropic material13/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
A medium through which heat is conducted may involve the conversionof electrical, nuclear, or chemical energy into heat (or thermal) energy. Inheat conduction analysis, such conversion processes are characterized asheat generation.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Heat Generation
Thermal Simulation forCPU Cooling
14/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
heat generation is a volumetric phenomenon. That is, it occursthroughout the body of a medium. Therefore, the rate of heat generationin a medium is usually specified per unit volume.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
15/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
مختصات کارتزین
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
ONE-DIMENSIONAL HEAT CONDUCTION EQUATION
16/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Consider a thin element: thickness ∆x, density of the wall is , specific heat is C, area of the wall normal to the direction of heat transfer is A
Energy balance on this thin element during a small time interval ∆t:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
17/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
18/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
= : thermal diffusivitySpecial cases:
کارتزینمعادلات کلی انتقال حرارت یک بعدي در مختصات
19/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
partial and ordinary derivatives of a function are identical when thefunction depends on a single variable only [T = T(x) in this case]
اياستوانهمختصات:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
20/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Energy balance on this cylindrical shell element during a small timeinterval ∆t:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
21/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
or
22/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
معادلات کلی انتقال حرارت یک بعدي در مختصات استوانه اي
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Special cases:
23/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
کرويمختصات:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
24/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
کرويمعادلات کلی انتقال حرارت یک بعدي در مختصات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Special cases
25/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
کارتزین، استوانه اي و کرويانتقال حرارت یک بعدي در مختصات شکل عمومی معادله
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
n=0 for a plane walln=1 for a cylindern=2 for a sphere
26/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
27/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
ASSUMTIONS Resistance wire can be considered to be a very long cylinder since its
length is more than 100 times its diameter. Heat is generated uniformly in the wire and the conditions on the outer
surface of the wire are uniform. Therefore, it is reasonable to expect the temperature in the wire to vary
in the radial r direction only and thus the heat transfer to be 1D. Then we will have T=T(r) during steady operation.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
28/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
29/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
GENERAL HEAT CONDUCTION EQUATION
Rectangular CoordinatesRectangular Coordinates
30/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Energy balance on this element during a small time interval ∆t:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
31/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
32/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Constant thermal conductivity:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Fourier-Biot EquationFourier-Biot Equation
33/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Cylindrical CoordinatesCylindrical Coordinates
34/86
معادلات حاکم بر انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Spherical CoordinatesSpherical Coordinates
35/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
36/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
heat flux and the temperature distribution in a medium depend on theconditions at the surfaces
The mathematical expressions of the thermal conditions at theboundaries are called the boundary conditions (BCs)
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Boundary & Initial Conditions
Solving of PDE (heat transfer equation)
arbitrary constants: BCs
Unique Solution 37/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
38/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Condition at the beginning of the heat conduction process
medium is initially at a uniform temperature of Ti:
steady conditions: heat conduction equation does not involve anytime derivatives, and thus we do not need to specify an initialcondition.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Initial Conditions (ICs)
= : , , , ≡ , ,, , ?, , =
39/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Boundary Conditions (BCs)
Specified Temperature Specified Heat Flux
Convection Radiation
40/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
The temperature of an exposed surface can usually be measured directlyand easily.
The specified temperatures can be constant, which is the case for steadyheat conduction, or may vary with time
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Specified Temperature Boundary Condition
41/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
When there is sufficient information about energy interactions at asurface, it may be possible to determine the rate of heat transfer and thusthe heat flux ̇ (heat transfer rate per unit surface area, W/m2) on thatsurface.
The heat flux can be expressed by Fourier’s law:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Specified Heat Flux Boundary Condition
42/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
43/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Some surfaces are commonly insulated in practice in order to minimizeheat loss (or heat gain) through them.
a well-insulated surface can be modeled as a surface with a specified heatflux of zero:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Special Case: Insulated Boundary
temperature function must be perpendicularto an insulated surface since the slope oftemperature at the surface must be zero
44/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
For example, the two surfaces of a large hot plate of thickness Lsuspended vertically in air will be subjected to the same thermalconditions, and thus the temperature distribution in one half of the platewill be the same as that in the other half
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Special Case: Thermal symmetry
45/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
heat transfer problem in this plate will possess thermal symmetry aboutthe center plane at x=L/2
no heat flow across the center plane.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
the center plane can be viewed as aninsulated surface
insulation or zero heat flux boundarycondition
46/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
cylindrical (or spherical) bodies
thermal symmetry about the center line (or midpoint)
first derivative of temperature with respect to r (the radialvariable) be zero at the centerline (or the midpoint)
47/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
48/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
49/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
50/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
most common boundary condition
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Convection Boundary Condition
Surface Energy Balance
51/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
52/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
1D heat transfer in the x-dir in a plate of thickness L
Note that a surface has zero thickness and thus no mass, and itcannot store any energy. Therefore, the entire net heat entering thesurface from one side must leave the surface from the other side.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
heat continues to flow from a body to the surrounding medium atthe same rate, and it just changes vehicles at the surface from
conduction to convection (or vice versa)
T(0,t) & T(L,t) ??
53/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
54/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
55/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Radiation Boundary Condition
56/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
In some cases, a heat transfer surface is surrounded by an evacuatedspace and thus there is no convection heat transfer between a surface andthe surrounding medium.
In such cases, radiation becomes the only mechanism of heat transferbetween the surface under consideration and the surroundings.
1D heat transfer in the x-dir in a plate of thickness L
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
57/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
تعیین شرایط مرزي در ناحیه در تماس دو محیط به دو فرض زیر وابسته است:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Interface Boundary Condition
layers of different materialslayers of different materials
1. same temperature at the area of contact1. same temperature at the area of contact
2. an interface (which is a surface) cannot store any energy, and thus theheat flux on the two sides of an interface must be the same
2. an interface (which is a surface) cannot store any energy, and thus theheat flux on the two sides of an interface must be the same
58/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Perfect ContactPerfect Contact
59/86
شرایط مرزي و اولیه حاکم بر معادلات
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Imperfect ContactImperfect Contact
results in thermal contact resistance, which is considered in the next chapterresults in thermal contact resistance, which is considered in the next chapter
60/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Solution of steady 1D heat conduction problems
مسأله انتقال حرارتمسأله انتقال حرارت
معادله انتقال حرارت حاکم بر مسأله با در نظر گرفتن ترم هاي مختلف حرارتی) بدست آوردن معادله دیفرانسیل حاکم(
معادله انتقال حرارت حاکم بر مسأله با در نظر گرفتن ترم هاي مختلف حرارتی) بدست آوردن معادله دیفرانسیل حاکم(
حل عمومی معادله دیفرانسیلحل عمومی معادله دیفرانسیل
شرایط مرزياعمال شرایط مرزياعمال 61/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
62/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
فرضیات:
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
noثابت kثابت kرسانایی پایارسانایی پایارسانایی یک بعديرسانایی یک بعدي heat gen.no heat gen.
63/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
64/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
65/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
66/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
67/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
noثابت kثابت kرسانایی پایارسانایی پایارسانایی یک بعديرسانایی یک بعدي heat gen.no heat gen.فرضیات:
no radiationno radiation
68/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
69/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
70/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
71/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
72/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
معادله توزیع دما در یک استوانه
73/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
= lnln − + = ( ) ( − )
74/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
معادله توزیع دما در یک کره
75/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
= − ( − )76/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
77/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Composite Media
78/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
79/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Wire:Wire:
Twire(r=0)=? ButTI,wire=Twire(r=r1)??
Twire(r=0)=? ButTI,wire=Twire(r=r1)??
T1? Heat transfer equation on ceramicT1? Heat transfer equation on ceramic
Ceramic:Ceramic:
80/86
مسائل انتقال حرارت رسانایی
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
Interface B.C.
81/86
ضریب انتقال حرارت رسانایی متغیر
When the variation of thermal conductivity with temperature in aspecified temperature interval is large, however, it may be necessary toaccount for this variation to minimize the error.
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
82/86
ضریب انتقال حرارت رسانایی متغیر
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
83/86
ضریب انتقال حرارت رسانایی متغیر
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
84/86
ضریب انتقال حرارت رسانایی متغیر
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
85/86
ضریب انتقال حرارت رسانایی متغیر
Chapter2: Conduction Dr. Afsaneh MojraChapter2: Conduction Dr. Afsaneh Mojra
86/86