İki kütle ortalamasının farkının güven aralığı• Bilindiği gibi iki kütle ortalamasının farkının dağılımı kütle

varyanslarının bilinip bilinmemesine göre farklılık göstermektedir.

• 1- Kütle varyanslarının bilinmesi durumunda iki kütle ortalamasının farkının güven aralığı:

• İki bağımsız kütleden çekilen örneklerin ortalamalarının farkı kütle varyansları (1

2ve 22) biliniyorsa standart hatası

Olmak üzere normal dağılır. Buna göre iki kütle ortalamasının farkının (1-) güven aralığı şöyle yazılır.

2

22

1

21

21 nnxx

2

22

1

21

2/21212

22

1

21

2/21 )()(nn

ZXXnn

ZXX

• Kütle varyanslarının bilinmemesi durumunda iki kütle ortalamasının farkı için kütle varyanslarının eşit kabul edilip edilmemesine göre iki farklı yaklaşım kullanılır. Her iki durumda da farkların dağılımı t dağılımına uymaktadır.

• 2.1. Kütle varyanslarının eşit kabul edilmesi halinde iki kütle ortalamasını farkının güven aralığı

• Eğer varyanslar bilinmiyor ancak eşit kabul ediliyorsa iki örnek verisinden hareketle ortak bir varyans belirleyerek t dağılımı kullanılarak ortalamaların farkının güven aralığı oluşturulur. Serbestlik derecesi v = (n1+ n2 -2) olur.

2221 2

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1). ( 1).olmak üzere

2p

n s n ss

n n

2. Kütle varyanslarının bilinmemesi halinde iki kütle ortalamasının farkının güven aralığı

1 2 /2, 1 2 1 2 /2,1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )v p v pX X t s X X t s

n n n n

2.2. Kütle varyansları bilinmiyor ve eşit olmadığı düşünülüyorsa iki ortalamanın farkının güven aralığı

• Kütle varyansları bilinmiyor ve eşit olmadıkları kabul ediliyorsa farkların güven aralığı yine t dağılımı kullanılarak aşağıdaki gibi yazılır.

• v Serbestlik derecesinin tahmini Smith-Satterthwaite yöntemi ile bulunur.

2

22

1

21

,2/21212

22

1

21

,2/21 )()(n

S

n

StXX

n

S

n

StXX vv

11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

v

• Aynı tarlaya ekilen farklı mısır tohumlarının aynı üretim şartları altında verimliliklerinin farklı olup olmadığı araştırılıyor. Bunun için 1. tohumdan rasgele 14 örnek alınıyor ve ortalama verim 300 gr. Standart sapması 50 gr. olarak bulunuyor. 2. tip mısırdan 15 rassal örnek seçiliyor ve bunun da ortalama veriminin 275 gr, standart sapmasının 30 gr. olduğu görülüyor. Bu verilere göre;

• a) Varyansların eşit olduğu varsayımına göre iki cins mısır tohumunun ortalama veriminin farkı için %95 güven aralığını oluşturunuz.

• b) Kütle varyansları bilinmiyor ve eşit olmadığı düşünülüyorsa iki cins mısır tohumunun ortalama veriminin farkı için %95 güven aralığını oluşturunuz.

Problem

Çözüm• a) Varyansların eşit kabul edildiğini dikkate alarak iki kütle

ortalamasının (1-) güven aralığı şöyle oluşturulur. Serbestlik derecesi 14+15-2=27 olup t0,025,27=2,05

0,05 1 2 0,05,27 ,27

2 2

1 1 1 1300 275 40,87 300 275 40,87

14 15 14 15t t

2 2 2 22 21 1 2 2

1 2

( 1). ( 1). (14 1)50 (15 1)301670,4

2 14 15 2p p

n S n SS S

n n

1 2 1 225 31,13 25 31,13 6,13 56,13

1 2 /2, 1 2 1 2 /2,1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )v p v pX X t s X X t s

n n n n

Çözüm• b) Kütle varyanslarının eşit olmadığı durumda

2

22

1

21

,2/21212

22

1

21

,2/21 )()(n

S

n

StXX

n

S

n

StXX vv

2 22 21 2

1 22 2 2 22 2

1 2

1 2

1 2

2500 9005691614 15

212453 257,12500 900

14 1513 141 1

S Sn n

v vS Sn n

n n

1 2

2500 900 2500 900(300 275) 2,08 (300 275) 2,08

14 15 14 15

0,05 0,025,21, ,21

2 2

2,08v

t t t

1 2 1 225 32,13 25 32,13 7,13 57,13

• Bilindiği gibi aynı birimler üzerinde yapılan iki ölçüm çiftine eşlenik örnek adı verilmektedir. İki eşlenik örnekten hareketle iki ortalama arasındaki farkın güven aralığı için yine t dağılımından faydalanılır.

• Kütle varyansları biliniyorsa,

• Kütle varyansları bilinmiyorsa,

22

21 ,

nZD

nZD DD

2

21

2

22

21 ,

n

StD

n

StD D

nn

D

nn 2,2

212,

2 2121

2.3. Eşlenik (bağımlı) örneklerde iki kütle ortalamasının farkının güven aralığı

Eşlenik örneklerde iki kütle ortalamasının farkının güven aralığı

Yukarıdaki güven aralığı formülünde

Di: i. Eşlenik örneğin farkıdır.

Di’nin dağılımının ortalaması 1- 2 , varyansı olan normal dağılıma uyar.

ortalaması varyansı olup normal dağılım özelliği gösterir.

iii XXD 21 2D

1

)( 22

n

DDS

n

DD i

Di

D D nD

D

2

Problem

• Aşağıda aynı hastaların ilaç kullanmadan ve ilaç kullandıktan belli bir süre sonraki kan basıncı değerleri verilmiştir.

• Bu verilerden hareketle ilaç kullanmadan ve kullandıktan sonraki kan basınçlarının ortalamasının %95 güven aralığını oluşturunuz

İlaç Kan Basıncı Değerleri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Öncesi 17 17 16 18 15 14 12 17 19 20

Sonrası 12 14 15 13 15 13 11 13 14 15

İki kütle oranı arasındaki farkın güven aralığı

• p1 ve p2 oranları Binom parametreleri sırasıyla

örnekten tahmin ediliyorsa ve her iki örnekte (n1 ve n2 ) yeterince büyükse normal yaklaşım kullanılarak (1-) güven aralıkları oluşturulabilir.

• Örnek: ÖSS’ye katılan kız ve erkek öğrencilerin başarı durumlarının farklı olup olmadığı araştırılıyor. Bu amaçla sınava giren kız ve erkek öğrencilerden rasgele örnekler seçiliyor. Seçilen 120 kız öğrencinin 84 tanesi, 160 erkek öğrencinin 96 tanesi sınavı kazanmıştır. Bu verilere göre %95 güvenle ÖSS ye giren kız ve erkek öğrencilerin başarı oranlarının farkını tahmin ederek sonucu yorumlayınız.

2

22

1

11

~~n

Xpve

n

Xp

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21

~~~~)~~(

~~~~)~~(

n

qp

n

qpZpppp

n

qp

n

qpZpp

• Çözüm:

• Kız ve erkek öğrencilerinin başarı oranlarının farklı olduğunu söylemek %95 güvenle (%5 anlam düzeyinde) mümkün değildir. Çünkü oranları farkı için elde edilen güven sınırları sol taraf için (–) sağ taraf için (+) değer almaktadır.

96,1160,1206,0160

96~7,0120

84~025,02/05,02121 ZZnnpp

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21

~~~~)~~(

~~~~)~~(

n

qp

n

qpZpppp

n

qp

n

qpZpp

160

4,06,0

120

3,07,096,1)6,07,0(

160

4,06,0

120

3,07,096,1)6,07,0( 21

pp

057,096,11,0057,096,11,0 21 pp

21172,001172,0 21 pp

İki kütle oranı arasındaki farkın güven aralığı

Varyanslar için güven aralığı

in varyansı olup normal dağılan rassal değişkenler,

örnek varyansı olmak üzere,

dağılımı (n-1) serbestlik dereceli 2

dağılımına uyar. Buna göre kütle varyansının örnek varyansından hareketle (1-) güven aralığı şöyle yazılır.

XXX n,....... 212

22

1 2

( 1)n

n S

1

)(1

2

2

n

XXS

N

ii

2

21

22

22/

2 ).1().1(

SnSn

Problem

A marka margarin paketlerinin ortalaması 250 gr. dır. Firma yetkilisi paketlerin ağırlığının varyansını kontrol etmek istiyor. Bu amaçla 12 örnek alıp tartılıyor ve ağırlıklarının aşağıdaki gibi olduğu görülüyor.

Çözüm:

Numune 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Toplam

Ağılık(Xi) 253 255 246 251 258 244 248 252 254 245 250 244 3000

3 5 -4 1 8 -6 -2 2 4 -5 0 -6

9 25 16 1 64 36 4 4 16 25 0 36 236

( )iX X2( )iX X

Çözüm

• Ağırlıkların ortalama ve varyansı:

2 nin %95 güven aralığı:

.25012

3000grX

n

XX i

45,21112

236

1

)(2

22

S

n

XXS i

83,6176,10 2

gr86,728,3

816,3

45,21).112(

92,21

45,21).112().1().1( 22

21

22

22/

2

SnSn

Varyans oranlarının güven aralığı

• X11, X12,............. X1m ve X21, X22,............. X2n normal kütlelerden alınmış m ve n hacimlik rassal örnekler ve bu örneklerin varyansları sırasıyla s1

2 ve s22 ise,

bu iki kütlenin varyans oranlarının (1-) güven aralığı şöyle yazılır.

2 21 12 2 22 1 2

22

, 1, 1 1 , 1, 12 2

m n m n

S SS S

F F

Problem

İki farklı paketleme makinesinde yapılan tartım işleminin varyanslarının farkı için (varyans oranları) bir araştırma yapılıyor. Bu makinelerde 1000 gr. lık paketleme işlemi yapılmaktadır. 1. makinenin tarttığı 12 paket rassal olarak alınıp tartılıyor ve varyansının s1

2=16, 2. makinenin tarttığı 10 paket rassal olarak seçilip tartılıyor varyansının s2

2=36 olduğu görülüyor. Varyans oranlarının %95 güven aralığını oluşturarak sonucu yorumlayınız.

Çözüm

• Bu sonuca göre iki kütlenin varyanslarının farklı olduğunu söylemek %95 güvenle mümkün değildir. Çünkü varyans oranları her iki taraf için 1 in altında ya da üstünde değildir.

05,095,0)1(36,16,10,12 22

21 SSnm

279,059,3

119,11,59,391,3

11,9,025,0975,011,9,025,09,11,025,0

FFFF

2 21 12 2 2 22 1 2 1

2 22 2

, 1, 1 1 , 1, 12 2

16 1636 36

3,91 0,279m n m n

S S

S S

F F

2122

0,114 1,59

Ortalama ve Oranların tahmininde örnek büyüklüğünün belirlenmesi

• Kütlenin bütünü için veri toplamak oldukça pahalı, zaman alıcı ve yorucu olacağından bütün kütleyi gözlemlemek yerine o kütleyi temsil eden bir örneğin seçilmesi makul bir yoldur. Örneğin büyük seçilmesi de pahalı ve zaman alıcı olabilir. Örnekleme maliyetlerini düşürmek ve zamandan tasarruf ederek daha kısa sürede sonuca ulaşmak için küçük örnekler üzerinde çalışılması arzu edilir. Bununla birlikte kütle parametresinin iyi bir şekilde tahmini için örnek hacminin de yeterince büyük olması gerekmektedir. Bu durumda örnek hacmi ne olmalıdır ki sonuçları arzu edilen güvenilirlikte olsun?

• Örnek hacminin büyüklüğü aşağıdaki 3 faktöre bağlıdır. Bunlar:– Güven aralığının genişliği,– Güven aralığının güven düzeyi,– Örneğin seçileceği kütlenin eleman sayısıdır.

Ortalamaların tahmini için örnek büyüklüğünün belirlenmesi

• Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi çekilen örnek hacmi, güven düzeyi ve standart hataya bağlı olarak belli bir hata ile kütle parametresi µ tahmin edilebilmektedir. Kütle ortalaması ile örnek ortalaması arasındaki uzaklık örnek hatası olarak düşünülürse (E), bu hataya bağlı olarak örnek hacmi şöyle belirlenir.

2

2

2

E

Z

nn

ZE

Örnek• Bir banka veznesinde işlem sürelerinin ortalamasını

tahmin etmek amacıyla bir çalışma yapılıyor. Geçmiş verilerden işlem sürelerinin dağılımının standart sapmasının 3 dakika olduğu biliniyor. %95 güvenle en fazla 1 dakika hata ile ortalama işlem süresi tahmin edilmek istendiğine göre kaç gözlem yapılmalıdır?

2

2

2 1,96 334,5 35 gözlem yapılmalıdır.

1

Z

nE

Oranların tahmini için örnek büyüklüğünün belirlenmesi

• Aşağıdaki grafikte örnekteki uygun hal oranına bağlı olarak kütle oranı tahmin edilebilmektedir. Burada örnekten tahmin edilen oranın hatası (E) olmak üzere;

•

( )p

oldugundan0,25~.~olup~.~

2

qpn

qpZE

olur.25,0~.~2

2/

2

2/

E

Znqp

E

Zn

Örnek

• Bir toplumdaki şeker hastası oranını belirlemek amacıyla bir araştırma yapılıyor. Şeker hastası oranını 0,01 hata ile ve %90 güvenle tahmin edebilmek için kaç kişi üzerinde gözlem yapılmalıdır?

22

/2 1,650,25 0,25 n=6806 gözlem yapılmalıdır.

0,01

Zn

E

Problem

• A ilacının belli bir hastalığa etkinliği için yapılan araştırmada bu hastalığa yakalanan rastgele seçilen 80 hastaya ilaç tatbik edilmiş ve 50 hasta iyileşme görülmüştür.

• a) İlacın etkinliğini %95 güven düzeyinde belirleyiniz.• b) Aynı hastalık için geliştirilen B ilacı 110 hastaya tatbik

ediliyor bu hastalardan 60 tanesi iyileşmiştir. İki ilacın etkinliğinin farkını %90 güvenle hesaplayınız

• c) Bu gruptan 15 hasta gözlemlendiğinde varyansın 6400dk olduğu görülmüştür. Tedavi süresinin varyansının %95 güven aralığını hesaplayınız.