Upload
others
View
89
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)
Denklem (5) in sag tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralıgıuzerinde sıfıra ozdes ise, (5) denklemine lineer homogen; aksitaktirde lineer homogen olmayan denklem denir.
ORNEK
x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx
ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem,
—————–
x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0
ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogendenklemlerdir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)
Denklem (5) in sag tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralıgıuzerinde sıfıra ozdes ise, (5) denklemine lineer homogen; aksitaktirde lineer homogen olmayan denklem denir.
ORNEK
x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx
ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem,
—————–
x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0
ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogendenklemlerdir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)
Denklem (5) in sag tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralıgıuzerinde sıfıra ozdes ise, (5) denklemine lineer homogen; aksitaktirde lineer homogen olmayan denklem denir.
ORNEK
x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx
ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem,
—————–
x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0
ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogendenklemlerdir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Ikinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler
Ikinci mertebeden genel lineer
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)
diferansiyel denklemi ele alalım.
Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)
biciminde ifade edilebilir.Ilk olarak (5) ile ilgili olan
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)
homogen denklemi inceleyecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Ikinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler
Ikinci mertebeden genel lineer
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)
diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.
Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)
biciminde ifade edilebilir.Ilk olarak (5) ile ilgili olan
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)
homogen denklemi inceleyecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Ikinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler
Ikinci mertebeden genel lineer
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)
diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)
biciminde ifade edilebilir.
Ilk olarak (5) ile ilgili olan
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)
homogen denklemi inceleyecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Ikinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler
Ikinci mertebeden genel lineer
A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)
diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)
biciminde ifade edilebilir.Ilk olarak (5) ile ilgili olan
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)
homogen denklemi inceleyecegiz.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (7)
Teorem: (Superposition prensibi)
y1 ve y2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralıgı uzerinde ikicozumu olsun, C1 ve C2 keyfi sabitler olmak uzere,
y = C1y1 + C2y2 (3)
ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralıgı uzerinde bir cozumudur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 3/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y1(x) = cosx ve y2(x) = sinx
fonksiyonlarınıny′′ + y = 0
denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.
Teorem, bucozumlerin ornegin;
y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx
gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir. Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y1(x) = cosx ve y2(x) = sinx
fonksiyonlarınıny′′ + y = 0
denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.Teorem, bucozumlerin ornegin;
y(x) = 3y1(x)− 2y2(x)
= 3 cosx− 2 sinx
gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir. Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y1(x) = cosx ve y2(x) = sinx
fonksiyonlarınıny′′ + y = 0
denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.Teorem, bucozumlerin ornegin;
y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx
gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir.
Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y1(x) = cosx ve y2(x) = sinx
fonksiyonlarınıny′′ + y = 0
denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.Teorem, bucozumlerin ornegin;
y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx
gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir. Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 4/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Teorem: (Varlık ve Teklik)
p,q ve f fonksiyonları a noktasını iceren bir I aralıgı uzerindesurekli olsun. Bu takdirde, b0 ve b1 verilen sabitler olmak uzere
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (6)
denklemi, I aralıgının tamamında,
y(a) = b0, y′(a) = b1
baslangıs kosullarını saglayan bir tek (bir ve yalnız bir) cozumesahiptir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 5/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + y = 0
y(0) = 3, y′(0) = −2
baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.
COZUM
Bir onceki ornekte y(x) = C1 cosx + C2 sinx (tum reel eksenuzerinde) y′′ + y = 0 denkleminin cozumu oldugunu soylemistik.(Teorem yardımıyla)
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + y = 0
y(0) = 3, y′(0) = −2
baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.
COZUM
Bir onceki ornekte y(x) = C1 cosx + C2 sinx (tum reel eksenuzerinde) y′′ + y = 0 denkleminin cozumu oldugunu soylemistik.(Teorem yardımıyla)
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 6/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1
vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2
C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur. Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu
y(x) = 3 cosx− 2 sinx
dur.
Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1
vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2
C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur. Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu
y(x) = 3 cosx− 2 sinx
dur.
Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1
vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2
C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur.
Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu
y(x) = 3 cosx− 2 sinx
dur.
Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1
vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2
C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur. Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu
y(x) = 3 cosx− 2 sinx
dur.
Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1
vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2
C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur. Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu
y(x) = 3 cosx− 2 sinx
dur.
Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 7/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 2y′ + y = 0
y(0) = 3, y′(0) = 1
baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.
COZUM
y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir. Teorem yardımıyla
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e
x
fonksiyonunda denklemimizin bir cozumu oldugunu soyleyebilir vebaslangıc kosullarını saglayan c1 ve c2 yi bulabilirsek baslangıcdeger problemimizi cozumunu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 2y′ + y = 0
y(0) = 3, y′(0) = 1
baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.
COZUM
y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir.
Teorem yardımıyla
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e
x
fonksiyonunda denklemimizin bir cozumu oldugunu soyleyebilir vebaslangıc kosullarını saglayan c1 ve c2 yi bulabilirsek baslangıcdeger problemimizi cozumunu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 2y′ + y = 0
y(0) = 3, y′(0) = 1
baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.
COZUM
y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir. Teorem yardımıyla
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e
x
fonksiyonunda denklemimizin bir cozumu oldugunu soyleyebilir vebaslangıc kosullarını saglayan c1 ve c2 yi bulabilirsek baslangıcdeger problemimizi cozumunu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 8/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0
= 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0 = 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0 = 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0 = 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0 = 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0
= 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0 = 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0 = 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0 = 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0 = 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.
Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Baslangıc kosullarından
y(0) = c1e0 + c22e
0 = 3
vey′(0) = c1e
0 + c22e0 = 1
Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)
c1 + 2c2 = 3
c1 + 2c2 = 1
denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 9/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
TANIM
y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında reel degerlive turevlenebilir fonksiyonlar olsun
y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
determinantı y1(x) ve y2(x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarakadlandırılır. W (y1(x), y2(x)) olarak gosterilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 10/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Teorem
y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında surekliturevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralıgındaki bir x0icin W [y1(x), y2(x)](x0) 6= 0 ise y1(x) ve y2(x) fonksiyonları lineerbagımsızdır.
ORNEK
y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=ex e−x
ex −e−x = −2 6= 0
y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonları lineer(dogrusal)bagımsızdır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Teorem
y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında surekliturevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralıgındaki bir x0icin W [y1(x), y2(x)](x0) 6= 0 ise y1(x) ve y2(x) fonksiyonları lineerbagımsızdır.
ORNEK
y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=ex e−x
ex −e−x = −2 6= 0
y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonları lineer(dogrusal)bagımsızdır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 11/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y1(x) = sinx ve y2(x) = cosx fonksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=sinx cosxcosx − sinx
= −1 6= 0
y1(x) = sinx ve y2(x) = cosx fonksiyonları dogrusal bagımsızdır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 12/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
TEOREM
p ve q fonksiyonları acık bir I aralıgı uzerinde surekli olmak uzerey1 ve y2
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
homogen denkleminin dogrusal bagımsız iki cozumu olsun. c1 ve c2keyfi sabitler olmak uzere
Y (x) = c1y1(x) + c2y2(x)
genel cozumdur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 13/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
IKINCI MERTEBEDEN SABIT KATSAYILI LINEERDENKLEMLER
Bu bolumde a, b ve c sabitler olmak uzere
ay′′ + by′ + cy = 0 (4)
diferansiyel denklemi ele alınacaktır.
Denkleme baktıgımızda aradıgımız fonksiyonun turevlerinin belirlisabitlerle carpılıp toplandıgında 0 elde edildigini goruruz. Turevlerikendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi saglayacaktır. Buozelligi erx ustel fonksiyonu tasır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
IKINCI MERTEBEDEN SABIT KATSAYILI LINEERDENKLEMLER
Bu bolumde a, b ve c sabitler olmak uzere
ay′′ + by′ + cy = 0 (4)
diferansiyel denklemi ele alınacaktır.
Denkleme baktıgımızda aradıgımız fonksiyonun turevlerinin belirlisabitlerle carpılıp toplandıgında 0 elde edildigini goruruz. Turevlerikendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi saglayacaktır. Buozelligi erx ustel fonksiyonu tasır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 14/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx
⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx
⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.
Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.
y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx
ay′′ + by′ + cy = 0
ar2erx + brerx + cerx = 0
(ar2 + br + c)erx = 0
carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 15/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx
− 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx
+ 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur.
r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur.
Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.
Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 5y′ + 6y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,
r2erx − 5rerx + 6erx = 0
(r2 − 5r + 6)erx = 0
bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
seklinde yazabiliriz.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x))
=y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=e2x e3x
2e2x 3e3x
W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x
Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.
y(x) = c1e2x + c2e
3x
seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=e2x e3x
2e2x 3e3x
W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x
Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.
y(x) = c1e2x + c2e
3x
seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=e2x e3x
2e2x 3e3x
W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x
Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.
y(x) = c1e2x + c2e
3x
seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=e2x e3x
2e2x 3e3x
W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x
Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.
y(x) = c1e2x + c2e
3x
seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni
W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
=e2x e3x
2e2x 3e3x
W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x
Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.
y(x) = c1e2x + c2e
3x
seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 17/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ar2 + br + c = 0
denklemineay′′ + by′ + cy = 0 (1)
denkleminin karakteristik denklemi denir.
Eger r1 ve r2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki koku ise,
y(x) = c1er1x + c2e
r2x
fonksiyonu denklem (1) in genel cozumudur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 18/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir.
Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri
r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
2y′′ − 7y′ + 3y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
2r2 − 7r + 3 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e12x + c2e
3x
olarak yazılır.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir.
Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri
r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x
= c1 + c2e−2x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
olarak yazılır.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 20/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ay′′ + by′ + cy = 0 (1)
Eger karakteristik denklem r1 = r2 gibi esit iki reel koke sahip ise,
y(x) = (c1 + c2x)er1x
fonksiyonu denklem (1) in genel cozumudur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 21/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir.
Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri
r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
9y′′ − 12y′ + 4y = 0
diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
9r2 − 12r + 4 = 0
dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.
Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e23x
olarak yazılır.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 22/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1
= (r + 1)2 = 0
dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
dir.
Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir.
Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ + 2y′ + y = 0
y(0) = 5, y′(0) = −3
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu
y(x) = (c1 + c2x)e−x
olarak yazılır.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 23/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0
= c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1
= 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x
= −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2
= −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden
c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız.
Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
y(x) = (c1 + c2x)e−x
Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.
y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5
vey′(x) = −c1e−x + c2e
−x − c2xe−x
y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e
−x = −c1 + c2 = −3
Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz
y(x) = (5 + 2x)e−x
tur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 24/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ay′′ + by′ + cy = 0 (1)
Eger karakteristik denklemin a∓ ib, (b 6= 0) gibi kompleks eslenikiki koke sahip ise,
y(x) = eax(c1 cos (bx) + c2 sin (bx))
fonksiyonu denklem (1) in genel cozumudur.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 25/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır.
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac
= (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5
= −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur.
Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.
Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.
Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26
Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
ORNEK
y′′ − 4y′ + 5y = 0
denkleminin genel cozumunu bulun.
COZUM
Karakteristik denklemimiz
r2 − 4r + 5 = 0
dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz
y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)
seklinde yazılabilir.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26