IL METODO DEGLI STATI LIMITE Esempi di verifica · Edificio per civile abitazione in zona non sismica Tre livelli Telai in una sola direzione, travi emergenti ... Le resistenze di

Dott. Ing. Marco VONA Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di POTENZA

Corso sulle Norme Tecniche Corso sulle Norme Tecniche per le costruzioni in zona sismicaper le costruzioni in zona sismica

(Ordinanza PCM 3274/2003)(Ordinanza PCM 3274/2003)

IL METODO DEGLI STATI LIMITEIL METODO DEGLI STATI LIMITEEsempi di verificaEsempi di verifica

POTENZA, 2004POTENZA, 2004

Dott.Dott. IngIng. Marco . Marco VONAVONADiSGG, Università di Basilicata DiSGG, Università di Basilicata

2Dott. Ing. Marco VONA Corso Ordinanza 3274 / 2003

Ordine degli Ingegneri di POTENZA

Caso studioEdificio per civile abitazione in zona non sismicaTre livelliTelai in una sola direzione, travi emergentiCopertura piana praticabile

5 m 5 m 5 m

5 m5 m

1,4 m

Elementi da progettare:

3 m

trave di copertura, pilastro centrale del piano terra



Azioni agenti

Valori caratteristiciGk valore caratteristico delle azioni permanentiQik valore caratteristico delle azioni variabili (i = 1,…, n)

Valori di calcolo

Gd = γg Gk azioni permanentiQid = γq Qik i = 1, 2 azioni variabili (solaio di calpestio, carico neve)

γg = 1.4 (1.0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)γq = 1.5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)



Azioni agentiCombinazioni per le verifiche allo Stato Limite Ultimo

Fd = γg Gk + γqQ1k + Σ(i>1) γq Ψ0i Qik

Gk valore caratteristico delle azioni permanentiQ1k valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazioneQik valore caratteristico delle altre azioni variabiliΨ0i coefficienti di combinazione allo stato limite ultimo (sempre uguale a 0.7)

Combinazioni per le verifiche allo Stato Limite di Esercizio

Combinazioni rare: Fd = Gk + Q1k + Σ(i>1) Ψ0i QikCombinazioni frequenti: Fd = Gk + Ψ1i Q1k + Σ(i>1) Ψ2i QikCombinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + Σ Ψ2i Qik



Combinazioni di carico

Coefficienti di combinazione (D.M. 9/1/96 Parte Gen., pt. 7, prospetto 1)

Ψ1i Ψ2i

Carichi variabili per abitazioni 0.5 0.2per uffici, negozi e scuole 0.6 0.3per autorimesse 0.7 0.6

Carichi da vento e neve 0.2 0.0

Combinazioni di carico per il caso studio trattato

Tensioni ammissibili Stato limite ultimoSolo carichi verticali Gk + Qk 1.4 Gk + 1.5 Qk

Carichi verticali + neve Gk + Qk + Fvento,k 1.4 Gk + 1.5 Qk + 0.7 (1.5 Qneve,k)1.4 Gk + 0.7 (1.5 Qk) + 1.5 Qneve,k



Analisi dei carichi agenti sulla trave di coperturaCarichi unitariPeso proprio solaio:

Gk = 5.3 kN/m2 Gd = γG x Gk x Ls Gd = 1.4 x 5.3 x 4.7= 34.9 kN/mTrave emergente 30×60:

Gk = 4.5 kN/m Gd = 6.3 kN/mCarico accidentale per solaio di calpestio:

Qk,S = 2.0 kN/m2 Qd,S = γQ x Qk,S x Ls Qd,S = 1.5 x 2.0 x 4.7 = 14.1 kN/m

Carico neve:Qk,N = 0.75 kN/m2 Qd,N = γ Q x Qk x Ls Qd,N = 1.5 x 0.75 x 4.7 = 5.3 kN/m

qd0 = 1.4 Gk + 1.5 Qk = 55.3 kN/m

qd1 = 1.4 Gk + 1.5 Qk + 0.7 (1.5 Qneve,k) = 57.6 kN/m

qd2 = 1.4 Gk + 0.7 (1.5 Qk )+ 1.5 Qneve,k = 56.3 kN/m

Combinazioni per lo Stato Limite Ultimo

qd1 = 1.4 Gk + 1.5 Qk + 0.7 (1.5 Qneve,k) = 57.6 kN/m



RESISTENZE DI CALCOLO

Le resistenze di calcolo si valutano mediante l’espressione:

m

kd

ffγ

=

Stato Limite Acciaio γs Calcestruzzo γc

Ultimo 1.15 1.6

di esercizio 1.0 1.0

In particolare la resistenza di calcolo del calcestruzzo fcd risulta pari a:

fcd = fck / γc = (Rck * 0.83) / γc



Caratterizzazione dei materiali

Calcestruzzo

Resistenze di calcolo:

cγ⋅

= ckcd

f0.85fcdf

ooo2 oo

o5,3ctkf

6,1=cγ830Rf ckck .⋅=

3 2ctk 0.27 1.2 0.7 f ckR⋅⋅⋅=

3 2ckc )R(5700E ⋅=Modulo elastico

ooo.53oo

o2Deformazioni limite

2cd N/mm11

1.60.83250.85f =

⋅⋅= 2N/mm 28500=cE

Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2)

2ctk N/mm 1.62 f =



Caratterizzazione dei materiali

Acciaio

Resistenza di calcolo:fyd

εsy ooo10

sγ= yk

ydf

f 151.s =γ

Modulo elastico Es = 206000 N/mm2

sEyd

ydf

=ε

Deformazione al limite elastico

Per un acciaio FeB 44 k fyk = 430 N/mm2

2ykyd N/mm9373

151430f

f ..s

==γ

= ooo

s/..

E821

2060009373fyd

yd ===ε



Dimensionamento trave

Si considerano le combinazioni di carico relative all’azione di progetto agli S.L.U. qd1

Gk = 25 kN/m q1 = 57 kN/mI comb.

q1 = 57 kN/m Gk = 25 kN/mII comb.

q1 = 57 kN/m q1 = 57 kN/m

5 m 5 mA B C

III comb. I massimi momenti per la III combinazione assumono i valori:

kNm1808

21 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−==

lqMM BSd

kNm10014

2

=⋅

≈= −−−

BABABASd

lqMM0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000



S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE

CONFIGURAZIONI DEFORMATE REGIONI DI ROTTURA

d

d’

d’

As

A’sx

10%o

εs’

εs

εcu=3,5%o

21

34

5

εcu=2%o

0

0

A

B

C

E’ possibile descrivere le modalità di rottura della sezione in funzione della posizione dell’asse neutro (distanza x).




σ0f

10%o

εs’

S

S’

σ0f

10%o

εs’

S

S’

σ0f

10%o

εs’

S

S’

ζ=x/d

Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A

A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0

A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso

530 ,−⇒ +10 0 0,259

B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls

-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4

Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)

-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a

Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)

-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ

C 5 Compressione con debole eccentricità

253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+




10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

x

10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

x

10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+




fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

x

fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

x

fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+




S’

fcd

εsyd

εcu

Cx

S’

fcd

εsyd

εcu

Cx

S’

fcd

εsyd

εcu

Cxx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+




S’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+




ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+

S’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xx



Progetto di una sezione inflessa a semplice armatura

Stato limite ultimo

Equazione di equilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico della sezione

In modo analogo al metodo delle T.A. si determina un parametro di dimensionamento

( )ξλξψ −=

11

slur

Nrd = 0rdydscd NfAfxB =−⋅⋅⋅ψ

Equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave:

cd

sluslu fb

Mrd⋅

=

Si utilizzano le equazioni disponibili per la soluzione del problema B

d

crdydscd McHfAxHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−ψ⋅⋅⋅

22

I valori di ψ, ξ e λ sono tabellati in funzione di x (profondità dell’asse neutro)



Progetto di una sezione inflessa a semplice armatura

Stato limite ultimo

ROTTURA BILANCIATAProgettiamo la sezione ponendoci al confine tre le regioni 2 e 3

xd,

x,

−=

010000350

810.0=ψ 416.0=λ

259.0==dxξ

d

B εcu

x

εsyd10%o

fyd S

C

fcd

mm,d 55611300

180000000312 =⋅

⋅=

31,2=slur

295990

cm.fd.

MAyd

sluslu,s =

⋅⋅=

H = d + c H = 600 mm

As,slu = 5 φ 16 = 10.05 cm2



Verifica della sezione inflessa con semplice armatura

Stato limite ultimoCongruenza

xdcxxssc

−=

−=

εεε '

Equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave:

cd

yds

fbA

x⋅⋅

⋅=

ψσ

0==−⋅⋅⋅ rdydscd NAfxB σψ

Si procede per tentativi seguendo quattro passi:1. I ipotesi sul campo di rottura della sezione2. Definizione dei parametri necessari a calcolare x3. Verifica in modo iterativo se l’ipotesi fatta su x è soddisfacente4. Se la 3 non è soddisfatta si riparte dal punto 2 considerando il valore di x

ricavato al passo precedente




Stato limite ultimo

B

d

c

I TENTATIVO: si ipotizza che x ricada nella regione 3

fyd S

C

fcdεcu

x=0,259d

εsyd10%o

743778142590 .xx.d. lim =≤≤=⋅

810.0=ψ 416.0=λValori relativi alla regione 3

Limiti della regione 3 per la sezione 30x60

cm.f.

f.x

cd

ydI 041430810

0510=

⋅⋅

⋅= x NON RISPETTA LE

LIMITAZIONI DELLA ZONA 3




Stato limite ultimo

cm.xI 0414=

ψ e λ variabili in funzione della posizione di xDal I tentativo

246.0dxI

==ξ

795.0=ψ

4115.0=λ

B

d

c

ε ψ λ

0,17 0,6745 0,3765

0,18 0,6963 0,3813

0,19 0,7158 0,3861

0,2 0,7333 0,3909

0,21 0,7492 0,3956

0,22 0,7636 0,4001

0,23 0,7768 0,4044

0,24 0,7889 0,4086

0,25 0,8000 0,4125

fyd S

C

fcdεcu

x

10%o

II TENTATIVO: x ricade nella regione 2

0.7889 0.4086

Errore del 1,9%cm.xII 3014= III xx




Stato limite ultimo

III TENTATIVO: x ricade nella regione 2

B

d

c

fyd S

C

fcdεcu

x

10%o

ψ e λ variabili in funzione della posizione di x

Dal II tentativo cm.x 3014=

799.0=ψ246.0==

dxξ

4122.0=λ

cm.xIII 2214=

Errore < 1%IIIII xx




Determinazione del momento ultimo della sezione considerando i valori ottenuti dal III tentativo

Stato limite ultimo

B

d

c

fyd S

C

fcdεcu

x

10%o

B = 30cm H = 60 cm

As,slu = 5 φ 16 = 10.05 cm2

cmx 22,14=

799.0=ψ

4122.0=λ

sdydscdrd MkNcmkNcmcHfAxHxfBM =≥=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−ψ⋅⋅⋅= 1800019178

22



S.L.U. per Taglio (elementi armati a taglio)L'esame dello Stato Limite Ultimo per taglio va effettuato tenendo conto che la rottura per taglio è in realtà una rottura combinata per flessione e taglio e spesso anche per sforzo normale e torsione, la cui esatta valutazione è particolarmente complessa.

La trave è schematizzata con un traliccio costituito da: -bielle compresse inclinate di un angolo ϑ-bielle tese inclinate di un angolo α (armature trasversali) -corrente superiore compresso (calcestruzzo compresso delimitato dall’asse neutro)

-corrente inferiore teso (barre di acciaio

longitudinali)

α

T B

S

C

Rz/2

z/2

z

z cot θ z cot αα

corrente inferiore teso

armatura trasversale

corrente superiore compresso

biella compressa

θ

V

A



S.L.U. per Taglio (elementi armati a taglio)

1) Verifica nel conglomerato)cot1(30,0 2 α+=≤ dbfVV wcdRdSd

2) Verifica nell’armatura trasversale d’anima

wdcdRdSd VVVV 3 +=≤

δ 60.0 dbfV wctdcd =

αα+= sen)cot(fd.s

AV ywdsw

wd 190

) 0.2 ( 2/)cot1(9.01 dda ≥−= α

3) Verifica dell’armatura longitudinaleL’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere ad un momento di calcolo M*Sd pari a:

M*Sd = MSd + VSd a1



Sollecitazioni di Taglio

Combinazioni di carico relative all’azione di progetto agli S.L.U. qd1

Gk = 25 kN/m q1 = 57 kN/mI comb.

q1 = 57 kN/m Gk = 25 kN/mII comb.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

kNVSd 178 =

q1 = 57 kN/m q1 = 57 kN/m

5 m 5 mA B C

Il taglio massimo per la III combinazione assume il valore:III comb.



S.L.U. per Taglio: verifica del conglomerato

Sezione 30 x 60 a semplice armatura con staffe φ8 passo 20

2cd N/mm11

1.620.750.83f =

⋅= 2

ctk N/mm 1.62 f = 2ctd N/mm 1.22 f =

2ykyd N/mm9373

151430f

f ..s

==γ

=

In presenza di sole staffe (α = 90°):

kNdbf.V wcdRd 5653002 =⋅⋅⋅=

kNVVkN RdSd 565 178 2 =≤=



S.L.U. per Taglio: verifica dell’armatura trasversale

Sezione 30 x 60 a semplice armatura con staffe φ8 passo 20

2cd N/mm11

1.620.750.83f =

⋅= 2

ctk N/mm 1.62 f = 2ctd N/mm 1.22 f =

2ykyd N/mm9373

151430f

f ..s

==γ

= 200.1 cmAsw =

kNdbf.V wctdcd 124 600 =δ= kNfd.s

AV ydsw

wd 62990 =⋅⋅⋅=

In assenza di sforzo normale e con l’asse neutro che taglia la sezione δ = 1

kNVVVVkN wdcdRdSd 1087 178 3 =+=≤=



S.L.E. (Controllo della fessurazione)

1.Stato limite di decompressioneE’ lo stato per il quale la minima tensione di compressione raggiunge il valore nullo

2.Stato limite di formazione delle fessureE’ lo stato per il quale la massima tensione di trazione raggiunge il valore caratteristico della resistenza a trazione del conglomerato

3.Stato limite di apertura delle lesioniE’ lo stato per il quale l’apertura delle fessure è pari ad un valore nominale prefissato dalle norme.

I valori nominali per la norma italiana sono: w = 0.1, 0.2, 0.4

La verifica di tale stato limite si effettua confrontando il momento di esercizio con il momento di prima fessurazione MF, (rottura per trazione del calcestruzzo al lembo teso della sezione).

MF va calcolato in ipotesi di sezione interamente reagente, ossia portando in conto anche la resistenza a trazione del cls.



S.L.E. (Controllo della fessurazione)5 m 5 m 5 m

5 m5 m

Ci si riferisce allo stato limite di esercizio, le combinazioni previste sono:

Combinazioni rare: Fd = Gk + Q1k + Σ(i>1) Ψ0i Qik = 41.3 kN/mCombinazioni frequenti: Fd = Gk + 0.5 x Qk,S + 0 x Qk,N = 34.1 kN/m

Fd = Gk + 0.2 x Qk,S + 0.2 x QiN = 32.0 kN/mCombinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + 0.2 x Qk,S= 31.3 kN/m



S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)

La verifica dello stato limite di formazione delle fessure consiste nel controllare che il momento flettente agente risulti ovunque non maggiore del momento di fessurazione MF, ovvero, con riferimento alla sezione, che la tensione agente al lembo teso risulti ovunque non maggiore della resistenza caratteristica a trazione σ0ct del calcestruzzo.

Il valore medio della resistenza a trazione può essere assunto pari a: - trazione semplice: fctm = 0.27 ((Rck)2)1/3 (N/mmq)- trazione per flessione: fcfm = 1.2 fctm

In entrambi i casi il valore caratteristico σ0ct, corrispondente al frattile 5%, può assumersi pari a 0.7 volte il valore medio.



S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)

La posizione dell’asse neutro si determina dall’equazione di equilibrio alla traslazione (si ricava, in assenza di sforzo assiale, l’annullamento all’asse neutro il momento statico totale della sezione reagente Sn).

( ) ( ) 022

22

=−

⋅⋅−−⋅⋅−⋅

=xHB'nxdAnxBS sn

Per il valore medio della resistenza a trazione si assume: - trazione semplice: fctm = 0.27 ((Rck)2)1/3 (N/mm2)- trazione per flessione: fcfm = 1.2 fctm

La sezione è costituita da tre materiali diversi: cls compresso, cls teso, acciaio

d

B

x

cls compresso

cls teso

acciaio

n = Ef / Ec=15 n’= Ect / Ec=0.5

Si omogeneizza rispetto al cls compresso introducendo:



S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)Risolvendo l’equazione di II grado rispetto ad x e considerando la radice positiva:

( )( ) ( )

( )mm

HB'nAn/HB'ndAn'nB

'nBBH'nAnx

s

ss 280212111 2

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

++−⋅−⋅

⋅+⋅=

Il momento d’inerzia della sezione omogeneizzata risulta:

( )[ ] ( ) 49233 105.13

mmxhnAxH'nxbI csccci ⋅=−+−+=

( )cci

t xHIMn −= 'σLa tensione σt al lembo teso della sezione vale :

Il momento di prima fessurazione si ottiene ponendo σt = fctm :

( ) kNmMkNm.xH

I'n

fM slec

cictmF 129 888 =≤=

−= VERIFICA NON

SODDISFATTA



S.L.E. (limitazione delle tensioni)

Il calcolo delle tensioni nella sezione, per il calcestruzzo e l’acciaio, viene condotto assumendo un comportamento elastico lineare con sezione parzializzataIl coefficiente di omogeneizzazione acciaio – cls è assunto convenzionalmente pari a n = 15.Si impongono alle tensioni le seguenti limitazioni:

Tensioni MassimeMateriale Combinazione rara Combinazione

quasi permanente

Calcestruzzo compresso in ambiente aggressivo 0.50 fck

0.60 fck

0.70 fyk

0.40 fck

Calcestruzzo compresso in ambiente ordinario 0.45 fck

Acciaio teso

2ck N/mm75.20f =2

yk N/mm430f =



S.L.E. (limitazione delle tensioni)Combinazioni rare: Fd = Gk + Q1k + Σ(i>1) Ψ0i Qik = 41.3 kN/mCombinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + 0.2 x Qk,S= 31.3 kN/m

Sollecitazioni dovute alle combinazioni di carico:

Appoggio [kNm] Campata [kNm]Combinazioni rare 129 72Combinazioni quasi permanenti 98 55

S

C

fck

fyk / n

B

d

c

x ( )xHIMnf

cis −=

( )32

xHxBMfc −⋅⋅

=



S.L.E. (limitazione delle tensioni)

Impiegando i metodi e le espressioni della teoria elastica del c.a. si risolve il problema determinando la profondità dell’asse neutro e il momento d’inerzia

mmAn

BHBAnx

s

s 200211 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅

++−⋅⋅

=

( ) 49x

23c 10 3.212x

3b mmxhnAI csci =−+⋅=

Tensioni di esercizio sull’appoggio (in ambiente aggressivo):

Calcestruzzo Acciaio

fc[N/mm2]

fs[N/mm2]

αfck[N/mm2]

αfyk[N/mm2]

Combinazioni rare 8 10.4 242 301Combinazioni quasi permanenti 6.2 8.3



Progetto di sezioni presso - inflesse

Valutazione dello sforzo normale

Lo sforzo normale dei pilastri può essere individuato in maniera approssimata individuando l’area d’influenza che compete a ciascuno di essi

5 m 5 m 5 m

5 m5 m

Edificio a 3 pianiCopertura piana

Area solaio = 22.09 m2

Azione variabile principale: solaio di calpestioAzione variabile secondaria: carico neve




Valutazione dello sforzo normale

Peso proprio pilastro: Gk =6.75 kN Gd = 1.4 x 6.75 = 9.45 kNPeso proprio solaio: Gk =5.3 kN/m2 Gd = 1.4 x 5.3 x 22.09 = 163.91 kNTrave emergente 30×60: Gk =4.5 kN/m Gd = 1.4 x 4.5 x 4.7 = 29.61 kNCarico solaio di calpestio: Qk =2.0 kN/m2 Qd = 1.5 x 2.0 x 22.09 = 66.27 kNCarico neve: Qk =0.75 kN/m2 Qd = 0.7 x 0.75 x 22.09= 11.60 kN

III livello Nd = 280.8 kNI e II livello Nd = 2 x 269.2 kNTotale Nd = 819.3 kN

Area di calcestruzzo strettamente necessaria (Stato Limite Ultimo)

2cm79125101110819850

251850

=⋅⋅

==./.

.,/fN.A

cd

dnec,c Sezione 30 x 30




Armatura nel pilastro

Barre d’armatura con diametro non minore di 12 mm.La quantità minima di armatura longitudinale totale As,min è determinata con la seguente equazione:

cyd

dmin,s A.

fN.A 0030150

≥=

fyd è la tensione di snervamento di calcolo dell’armatura;NSd è la forza di compressione assiale di calcolo;Ac è l’area della sezione trasversale del calcestruzzo.

22 7290000303337390

819000150 cm..cm..A min,s =⋅≥=⋅

=

As,slu = 4 φ 14 = 6.15 cm2



Domini M – N allo Stato Limite Ultimo

La frontiera del dominio di resistenza M-N è costituita dal luogo dei punti del piano N-M corrispondenti alle coppie di coordinate M (momento flettente) ed N (sforzo normale) che determinano la crisi della sezione

Si costruisce il dominio di resistenza M-N della sezione utilizzando le equazioni di congruenza, di equilibrio alla traslazione e di equilibrio alla rotazione.

Si considera la coppia MSd ed NSd (momento flettente e sforzo normale) che sollecita la sezione.

Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd )

Si presentano due possibilità:

(NSd, MSd ) punto INTERNO al dominio SEZIONE VERIFICATA

(NSd, MSd ) punto ESTERNO al dominio SEZIONE NON VERIFICATA



Costruzione del dominio M – N allo Stato Limite Ultimo

0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

H d

B

fyd10%o

εs’

S

S’




0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

fcd

fyd

εs’

S

S’ Cεcu

10%o

x

H d

B




0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

H d

B

fyd S

S’C

fcd

εsyd

εcu

x




0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

H d

BS’

fcd

C

εsyd

εcu

x




0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

H d

BS’

fcd

C

2%o

x=+∞ S



Utilizzo dei domini M – N per progetto-verificaLe dimensioni della sezione sono note.Si stabilisce a priori il rapporto tra As ed A’s;

Si costruiscono i domini M-N per diverse quantità di armatura.Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd)Si determina la quantità di armatura necessaria

0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

As= A’s = 2 φ 10 cm2

As= A’s = 2 φ 12 cm2

As= A’s = 2 φ 14 cm2

As= A’s = 2 φ 16 cm2

As= A’s = 2 φ 18 cm2



Confronto con il criterio delle Tensioni Ammissibili

Limitazioni e difetti del Metodo delle Tensioni Ammissibili

1 Non si considerano stati di pericolo diversi con differenti livelli di sicurezza ma si considera sempre la peggiore condizione in assoluto con un conseguente maggiore onere economico

2 Il metodo T.A. si basa sull’ipotesi di materiali a comportamentoelastico lineare ed isotropo non considerando invece il reale comportamento anelastico

3 Le incertezze vengono conglobate tutte in un solo coefficiente di sicurezza γ utilizzato per definire le tensioni ammissibili senza distinguere le incertezze legate a fattori diversi (carichi e azioni) quindi non possono essere introdotte informazioni di tipo probabilistico



Confronto con il criterio delle Tensioni Ammissibili

4 Si ipotizza una proporzionalità tensioni – sollecitazioni – forze fino alle condizioni ultime. Tale ipotesi non è valida nel campo anelastico

5 Poiché la verifica è condotta sulla base delle sole tensioni locali non è garantito il proporzionamento ottimale nei confronti della sicurezza a rottura

Le strutture si “scartano” se superano localmente il limite elastico

Maggiori costi e comportamento non ottimale

Non esiste un criterio per superare il limite elastico

Si opera a sfavore di sicurezza

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