Questo lavoro, da me svolto come tesina di maturità scientifica, ripercorre la storia del concetto di infinitesimo, in un intreccio di matematica e filosofia. Partendo dall'antica Grecia, il discorso lambisce la nascita del calcolo con Newton e Leibniz, per poi fermarsi nello specifico su Hegel e sul ruolo fondamentale, ma molto spesso trascurato, che l'infinitesimo ha nella sua filosofia. In conclusione, vi è una breve citazione del lavoro di Robinson e Conway sull'analisi non-standard, e sul ritorno dell'infinitesimo in matematica.
Il peso della ussionePiccola storia del concetto di innitesimo,
e sua rilevanza nella losoa hegeliana
RICCARDO PENGO
2
INDICE
Indice1 Introduzione 2 Nascita e maturit` a 2.1 Lantica Grecia .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Pitagora . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Anassagora,
Democrito . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Eudosso . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Archimede . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2.2 Dal Medioevo allet` a dei Lumi . . .
. . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Kepler, Cavalieri e il metodo degli
indivisibili . . . 2.2.2 La Francia di Fermat, Descartes, Roberval
e Pascal 2.2.3 Isaac Newton e le quantit` a uenti . . . . . . . . .
2.2.4 Leibniz e il dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5
Il XVIII secolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Linnitesimo in Hegel 3.1 Vita e opere . . . . . . . . . . . . . . .
. 3.2 Hegel e lanalisi innitesimale . . . . . . 3.2.1 Hegel e la
matematica . . . . . . 3.2.2 Hegel e linnito matematico . . 3.2.3
Hegel e linnitesimo . . . . . . . 3.3 Dallinnitesimo al sistema . .
. . . . . 3.3.1 Matematica, realt` a e storia . . . 3.3.2 Finito e
innito . . . . . . . . . . 3.3.3 Calcolo, esperienza e conoscenza 4
La morte 5 La rinascita Riferimenti bibliograci 3 4 4 4 5 6 7 9 10
12 14 16 19 19 19 20 20 21 22 25 26 27 28 30 33 36
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3
1
IntroduzionePer ogni matematico c` e un senso di innito nel dar
la caccia ai numeri gi` a sfuggenti di per s e Angelo
Branduardi
Lungo la storia del pensiero matematico e scientico tout court
pochi concetti hanno trovato cos` fecondo terreno dibattimentale
come quello di innito. Fin dalle origini della sua esistenza,
infatti, luomo si ` e trovato di fronte a forze cos` imponenti che,
dominando interamente la sua vita, gli parvero incontrollabili,
illimitabili e, dunque, illimitate e prive di conni: innite,
insomma. Ecco dunque spiegata la predilezione dei greci per il pi`
u controllabile e studiabile nito, di volta in volta espresso come
ben rotonda sfera in Parmenide o come numero intero in Pitagora. In
questo lavoro, per` o, noi ci vogliamo rivolgere al polo opposto
della scala: non vogliamo guardare allinnit` a delle sfere celesti,
ma alla piccolezza, anzi allinnita piccolezza di un granello di
sabbia staccato da un monte. Fuor di metafora, ci preggiamo il
compito di tracciare una limitatissima storia di quel singolare
concetto che, nato molto dopo quello di innito matematico, gli ha
fatto da contrappunto no ai giorni nostri: quello, cio` e, di
innitesimo. Il nostro itinerario inizier` a dunque in Grecia, luogo
che pi` u di ogni altro ha partorito le branche e i concetti
cardine dellindagine matematica. Ivi accenneremo al metodo di
esaustione, e alla problematica delle monadi in Pitagora e Zenone.
Dopo aver fatto ci` o, ci sposteremo denitivamente sul continente
europeo, sorvolando il metodo degli indivisibili di Bonaventura
Cavalieri e i pionieristici metodi delle tangenti di Pierre de
Fermat e Isaac Barrow. Da qui esploreremo i fondamentali passi
compiuti da quegli autentici giganti sulle spalle di giganti che
furono Isaac Newton e Gottfried Leibnitz. Fatte queste necessarie
osservazioni, ci concentreremo su un aspetto poco noto
nellevoluzione del calcolo innitesimale, che vuole per` o assurgere
qui al ruolo di colonna portante del nostro lavoro: lintervento di
Georg W. F. Hegel nel dibattito sul ruolo dellinnitesimo in
matematica. Vedremo in particolare le sue posizioni sui fondamenti
del calcolo innitesimale, e quale ruolo esso rivesta nella sua
losoa. Analizzeremo inne il periodo immediatamente successivo ad
Hegel, che port` o alla denitiva scomparsa degli innitesimi dal
calcolo, ad opera di Karl Weierstrass e della sua moderna denizione
di limite. Per concludere, osserveremo come in realt` a il concetto
di innitesimo sia ritornato prepotentemente alla ribalta della
ricerca matematica novecentesca, con la scoperta dei numeri
iperreali da parte di Abraham Robinson e dei numeri surreali da
parte di John Conway.
4
2
` NASCITA E MATURITA
22.1
Nascita e maturit` aLantica Grecia
Non vi ` e dubbio, ad oggi, che si possa far risalire la nascita
del concetto di innitesimo alla matematica greca, che fu per` o
(come la losoa greca) tradizionalmente avversa al concetto di
innito. Questa apparente contraddizione si sana immediatamente
vedendo come, in realt` a, allinnitesimo non fosse conferito un
proprio livello di esistenza, ma esso fosse usato (come del resto
nella matematica ottocentesca) come posizione limite a cui lintuito
avrebbe potuto appigliarsi per meglio comprendere teoremi
dimostrati in altro modo. Aermando ci` o, possiamo senza dubbio
ritenere che il pensiero matematico greco sia stato quello che pi`
u si avvicin` o alla formalizzazione dellidea di limite quale fu
esplicitata solo nel 1859 da Karl T.W. Weierstrass (1815-1897),
come vedremo meglio nella terza sezione. 2.1.1 PitagoraIl numero
governa le forme e le idee, ed ` e la causa degli dei e dei demoni
Pitagora
La prima origine del concetto di innitesimo ` e riscontrabile
nellopera di Pitagora da Samo (569-475 a.C. ca). Figura molto
controversa di losofo e matematico, emigrato a Crotone e fondatore,
ivi, di una delle pi` u celebri scuole matematiche dellantichit` a,
Pitagora ` e soprattutto ricordato per la dimostrazione del teorema
omonimo sui triangoli rettangoli, e per la conseguente scoperta, da
parte della sua scuola, dei numeri irrazionali. E proprio la
scoperta dei numeri irrazionali port` o Pitagora ad una revisione
radicale delle sue precedenti concezioni di numero e di gura. La
matematica e la losoa pitagorica, infatti, erano essenzialmente
fondate sui numeri naturali, espressione e legge costitutiva del
reale. Nellopposizione pari-dispari, ad esempio, i pitagorici
vedevano lorigine di tutte le opposizioni esistenti al mondo
(maschio-femmina, luce-tenebre, buono-cattivo, etc.);
nellinterpretazione mistica dei numeri trovavano spiegazione ai
fatti morali; nella armonia musicale i numeri esprimevano la loro
armonia intrinseca. Essendo cos` importanti, per i pitagorici, i
numeri naturali trovavano applicazione anche in geometria. Cos`
come, infatti, ogni numero naturale proviene dallunit` a o
parimpari, allo stesso modo ogni ente geometrico (linea, gura,
solido) deve essere costituito di enti indivisibili (chiamati
monadi o punti materiali). Ma fu proprio la dimostrazione del
teorema di Pitagora, uno dei maggiori risultati della scuola, a
mettere in crisi questa visione del mondo. Una volta che Pitagora
ebbe, infatti, dimostrato che la somma dei quadrati dei cateti di
un triangolo rettangolo d` a il quadrato dellipotenusa del medesimo
rettangolo (teorema noto, per triangoli particolari, anche a
babilonesi ed egizi), egli riusc` immediatamente a dimostrare, come
riportano Aristotele negli Analitici Primi ed Euclide negli
Elementi, che la diagonale di un quadrato ed il suo
2.1
Lantica Grecia
5
lato sono incommensurabili (oppure, come si usa dire oggi, che 2
` e un numero irrazionale, cio` e non pu` o essere scritto come
rapporto di numeri interi). Questa scoperta, che la leggenda vuole
fosse custodita come un geloso segreto dai pitagorici (violato da
Ippaso di Metaponto, che per questo mor` in un naufragio),
costrinse la scuola di Crotone a rivedere completamente la propria
visione del mondo: se, infatti, il lato e la diagonale del quadrato
fossero stati composti entrambi di un numero intero di monadi
indivisibili, sarebbe dovuta esistere una unit` a di misura comune
a tutti e due (cio` e, ssato un numero intero che misuri uno dei
due segmenti, sarebbe dovuto esistere il numero intero che avrebbe
dovuto misurare laltro). Pertanto, dato che i segmenti non possono
essere costituiti da un numero nito di grandezze ultime, essi
devono essere fatti di inniti punti. Ecco che Pitagora e la sua
scuola furono costretti a teorizzare per primi linnita divisibilit`
a del segmento, argomento analizzato in seguito no alle ricerche
sul continuo della seconda met` a dellOttocento. 2.1.2 Anassagora,
DemocritoDel piccolo infatti non c` e il minimo ma sempre un pi` u
piccolo [...] - ma anche del grande c` e sempre un pi` u grande
[...] Anassagora
Se per i pitagorici fu molto dicile accettare il concetto di
continuo, esso avrebbe trovato piena espressione nella losoa di
Anassagora di Clazomene (499-428 a.C.), losofo ionico, cittadino
dellAtene periclea e da essa scacciato con laccusa di empiet` a
attorno al 450 a.C. Ogni ente ` e infatti, per Anassagora,
suddivisibile in innite ed invisibili omeomerie, che determinano,
in base alla loro concentrazione, le qualit` a di un oggetto.
Risulta evidente gi` a da questo accenno, e dal frammento posto in
epigrafe, come Anassagora non ebbe alcuna remora nei confronti
dellinnito, come egli lo pose anzi al centro della sua losoa, che
contrapponeva ad un cosmo innito in estensione una materia
innitamente suddivisibile in profondit` a. Apparentemente
contrapposti alle innitamente piccole omeomerie di Anassagora
apparirebbero gli atomi di Democrito di Abdera (460-370 a.C. ca),
losofo viaggiatore che condusse vita da asceta, trascurando del
tutto le condizioni materiali dellesistenza. In realt` a latomismo
democriteo, il primo vero sistema scientico dellantichit` a, privo
di qualunque misticismo o nalismo, si riferisce essenzialmente e
solo al mondo sico: anche Democrito credette infatti, come
Anassagora, nella innita suddivisibilit` a delle gure geometriche.
Resta per` o da dire che linteresse che Democrito ebbe per
latomismo gli imped` di raggiungere risultati importanti come
quelli anassagorei nel campo delle ricerche innitesimali. `
comunque tramandato che sia Anassagora che Democrito furono ottimi
E geometri: al primo ` e infatti ascritto da Erich Frank il primo
utilizzo del cosiddetto metodo di esaustione (di cui parleremo nel
prossimo paragrafo) nel tentativo di risolvere il problema della
quadratura del cerchio, mentre al secondo ` e attribuita da
Archimede nel Metodo sui teoremi meccanici la scoperta del teorema
secondo cui il volume di una piramide o di un cono ` e un terzo del
volume
6
2
` NASCITA E MATURITA
del prisma o cilindro circoscritti ad esse. Alcuni studiosi
(Erich Frank, Thomas L. Heath, Rodolfo Mondolfo) ritengono che
Democrito sia giunto a queste scoperte utilizzando una primordiale
versione di quello che poi sar` a il metodo di Archimede e di
Bonaventura Cavalieri (considerando cio` e i solidi come composti
di una innit` a di lamine innitamente sottili), mentre altri
(Federigo Enriques, Enrico Runi) sostengono che Democrito abbia
utilizzato una versione sostanzialmente perfetta del metodo di
esaustione, che sarebbe stata poi perfezionata ulteriormente da
Eudosso. 2.1.3 EudossoSe da una qualsiasi grandezza si sottrae una
parte non inferiore alla sua met` a e se dal resto si sottrae
ancora non meno della sua met` a e se questo processo di
sottrazione viene continuato, niremo con lottenere un resto minore
della pi` u piccola fra le due grandezze precedentemente assegnate
Euclide
Nato a Cnido nel 408 a.C. e ivi morto nel 355 a.C., Eudosso fu
un grande viaggiatore: and` o in Egitto, studi` o a Taranto dallo
scolarca pitagorico Archita, ebbe frequenti e procui contatti con
lAccademia platonica ad Atene, prima di stabilirsi a Cizico, dove
fond` o la sua scuola. Importante in questa sede ` e soprattutto il
cosiddetto metodo di esaustione, che Eudosso sicuramente formalizz`
o ed applic` o rigorosamente (come detto, non si ` e certi sulla
paternit` a del metodo, attribuibile forse ad Anassagora, a
Democrito o a Ippocrate di Chio). Questo metodo, in realt` a, ha la
sua base nella teoria delle proporzioni, che pose basi cos` solide
per il calcolo reale che soltanto verso il 1870 i matematici hanno
sentito il bisogno di integrarle con i mezzi forniti dalla tecnica
moderna [L .Geymonat - 2008]. I principi fondanti di questa teoria
sono poi gli stessi che fondano il metodo di esaustione, e cio` e:
lesistenza di somme di grandezze omogenee, e luguaglianza delle
somme di grandezze uguali; lesistenza di dierenze di grandezze
omogenee diseguali; lesistenza di un multiplo di una grandezza che
superi una grandezza diseguale maggiore. Questultimo, chiamato
principio di Eudosso-Archimede (poich e, secondo Otto Stolz, esso
si trova esposto rigorosamente solamente nelle opere del
siracusano), ` e il pi` u importante (nonch e, se vogliamo, il meno
ovvio) dei tre. Da esso discende immediatamente, infatti, il lemma
esposto nella proposizione I del libro X degli elementi di Euclide,
qui citato in epigrafe, che sta alla base del metodo di esaustione.
Questo metodo, che per i greci sostitu` il concetto di integrale,
si basa infatti sulla costruzione di una serie di grandezze a
partire da una incognita, in modo tale che la prima sia maggiore
della met` a dellincognita, la seconda maggiore della dierenza fra
lincognita e la prima, e cos` via. In questo modo, sottraendo alla
incognita la somma della serie otterremo, stando al lemma di cui
sopra, una grandezza sempre pi` u piccola allaumentare dei termini
della serie, poten-
2.1
Lantica Grecia
7
zialmente minore di qualunque altra grandezza considerata. Inne,
sfruttando questa serie di grandezze, si dimostra per assurdo che
una data grandezza (ad esempio il rapporto fra le aree di due
cerchi) non possa essere diversa da unaltra grandezza presa in
esame (ad esempio il rapporto fra i quadrati dei raggi dei due
cerchi in questione). Cos` Eudosso, ad esempio, dimostr` o che le
aree di due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro raggi;
che due piramidi di egual base ed altezza sono equivalenti, e che
un cono ` e la terza parte del cilindro in cui ` e inscritto.
Questi teoremi, esposti da Euclide nel XII libro degli Elementi,
furono corredati da una serie di altri teoremi dimostrati dallo
stesso Euclide, quale quello che aerma che due sfere stanno fra
loro come i cubi dei loro diametri. Come ha osservato Gino Loria,
il rigore di questo metodo ha permesso di bandire lidea di innito,
implicata giocoforza nei ragionamenti precedenti. In queste
dimostrazioni, infatti, non c` e, come si potrebbe pensare, alcun
riferimento a processi inniti, n e a concetti che possano ricalcare
quello di limite: il metodo di esaustione aveva nalmente permesso
di eliminare linnito (e, dunque, linnitesimo) dalla matematica
greca, sostituendoli con dimostrazioni perfettamente rigorose, che
implicavano solamente un procedimento (nito) con un numero
arbitrariamente grande di passaggi (la serie delle grandezze).
2.1.4 ArchimedeVeramente le cose dette non dimostrano il risultato;
danno per` o alla conclusione una certa apparenza di verit` a.
Perci` o, vedendo che la conclusione non ` e dimostrata, ma
sospettando con ragione che sia vera, ne ricercheremo la
dimostrazione geometrica Archimede
Se con Eudosso linnitesimo era sparito dalla matematica greca,
un secolo dopo Archimede di Siracusa, il pi` u grande matematico
dellantichit` a, ne promosse la reintroduzione a pieno titolo. Nato
nel 287 a.C. da una famiglia probabilmente imparentata con il
tiranno Gerone II, allievo ad Alessandria di Conone di Samo, con il
quale svilupp` o un discreto scambio epistolare, Archimede seppe
fondere nella sua gura interessi matematici, sici ed
ingegneristici, esponendo le sue scoperte in trattati dallo stile
agile e conciso, rivolti agli specialisti della materia e non agli
studenti, come era abituale per i matematici dellepoca, che spesso
erano anche insegnanti. Impegnatosi a fondo nella difesa di
Siracusa, Archimede mor` nel 212 a.C. per mano di un soldato romano
che contravvenne allordine di Marcello, che avrebbe voluto
Archimede vivo. Sulla sua tomba fu inciso, per suo stesso volere,
un cilindro inscritto in una sfera, a ricordo della sua
dimostrazione pi` u grande, che aveva scoperto il rapporto fra il
volume della sfera e quello del cilindro in essa inscritto. La
prima opera in cui Archimede fece riferimento esplicito al concetto
di innito fu lArenario, opera nella quale, proponendosi di
calcolare i granelli di sabbia necessari a riempire luniverso (o,
meglio, la sfera delle stelle sse), egli
8
2
` NASCITA E MATURITA
dimostr` o che il loro numero era in realt` a seguito da una
serie innita di numeri maggiori. Per fare ci` o, invent` o un nuovo
sistema di numerazione, in cui le miriadi di miriadi (108 )
divengono unit` a di partenza di nuovi numeri, raggruppati in
dierenti ordini che, riuniti no alle unit` a di ordine miriadico
(108 ) formano i numeri del primo periodo, il cui ultimo numero ` e
preso come unit` a del secondo periodo, in cui si procede in
maniera analoga. Dato che il numero dei granelli in questione
appartiene, secondo Archimede, al primo periodo, tutti i numeri di
tutti i periodi superiori (inniti numeri ed inniti periodi) sono
maggiori di questo numero. Cos` Archimede aveva risposto
polemicamente ad Aristarco di Samo, sostenitore dellinnit` a
delluniverso. Ma non ` e lArenario lopera pi` u importante di
Archimede, n e tantomeno quella pi` u signicativa per noi. Infatti
la ricerca di Archimede non si limit` o allinnito, ma scese anche
nellinnitesimo. In particolare, di Archimede si ricordano numerose
dimostrazioni eseguite ancora con il metodo di esaustione di
Eudosso, come il calcolo dellarea del segmento parabolico
(necessario ad Archimede per determinarne il baricentro), il
calcolo della supercie e del volume della sfera, il calcolo
dellarea di un settore di spirale o il calcolo del volume di
conoidi e sferoidi. In tutte queste dimostrazioni, per` o, il
lettore antico come quello moderno riscontrano notevoli dicolt` a.
Innanzitutto, queste dicolt` a sono intrinseche al metodo di
esaustione: per quanto grande, infatti, fosse la bravura di
Archimede nello scegliere le grandezze ausiliarie che formassero
poi la successione necessaria per portare a termine la
dimostrazione, le dimostrazioni sembravano sempre celare la vera
via tramite la quale Archimede era giunto al valore cercato. Come
notano Federigo Enriques e Gino Loria, sembrava che Archimede
avesse a sua disposizione altri strumenti rispetto al solo metodo
di esaustione, che diventa di molto dicile utilizzo quando ci si
allontana da problemi di semplice risoluzione. Questi dubbi
rimasero aperti no ai primi anni del Novecento, ed in particolare
no al 1906, quando Johann L. Heiberg recuper` o da un palinsesto
conservato a Istanbul il testo del Metodo sui teoremi meccanici,
una lunga lettera di Archimede ad Eratostene di Cirene in cui il
siracusano cercava di spiegare come egli era riuscito a portare a
termine le sue gi` a note ricerche sulle quadrature, i volumi, e
pi` u in generale tutte le dimostrazioni portate a termine col
metodo di ` curioso che questo Metodo ricalchi in tutto e per tutto
quello che esaustione. E sar` a poi il metodo utilizzato dagli
analisti dal Seicento in avanti: Archimede, infatti, vede le gure
piane come composte di tutte le sezioni monodimensionali (di
larghezza innitesima, potremmo dire) e i solidi come composti di
tutte le loro sezioni bidimensionali (di spessore innitesimo).
Archimede svolger` a no in fondo questa interpretazione,
servendosene in tal modo per determinare superci e volumi anche
molto complicati. Anche se si pu` o pensare, dunque, che questo
metodo fosse gi` a stato scoperto (si pensi a quanto detto prima di
Democrito), ` e indubbio che Archimede ha saputo individuarne tutte
le potenzialit` a, e sfruttare appieno tutti gli artici meccanici
necessari ad ogni circostanza, dimostrando cos` ancora una volta
come in lui lunione fra spirito teorico-matematico e capacit` a
meccanico-ingegneristicche fosse procuamente inscindibile. `
interessante inne notare come Archimede stesso non nutrisse piena E
ducia nel suo Metodo, che risultava troppo poco rigoroso ai suoi
occhi: ogni dimostrazione svolta con il metodo, infatti, era
seguita da una pi` u rigorosa di108
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
9
mostrazione geometrica che formalizzasse quanto gi` a
intuitivamente chiarito. In questo Archimede fu pi` u vicino ai
matematici dellOttocento, che, come vedremo, ritennero necessaria
una fondazione rigorosa e formale dellanalisi, rispetto a quelli
del Seicento, che fondarono la moderna analisi riscoprendo il
Metodo archimedeo, ma, non avendo avuto la stessa attenzione di
Archimede per il rigore puramente geometrico, poterono procedere
pi` u spediti verso lelaborazione di nuovi simboli e la creazione
di un calcolo autonomo [L .Geymonat - 2008].
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
Dopo il ponderoso lavoro di Archimede, potremmo dire che le
ricerche di carattere innitesimale (e, quindi, lo sviluppo del
concetto di innitesimo) restarono in qualche modo sopite no al XVI
secolo, con pochi o nulli contributi ad esse. Le matematiche,
infatti, coltivate per lo pi` u in India e nel mondo arabo
(latamente considerato, dal Nord Africa a Timbuktu a Baghdad) si
concentrarono per lo pi` u sulla teoria dei numeri, sullalgebra e
sulla trigonometria, non avendo lampiezza di respiro e la
profondit` a delle ricerche greche, ma comunque determinando
progressi signicativi. Ci` o che fece cambiare il passo, in Europa,
fu un rinnovato interesse per lalgebra, che si nutriva delle opere
arabe di sintesi della matematica greca ed indiana, e che porter` a
alla scoperta nel XV secolo, da parte di alcuni illustri matematici
italiani (come Niccol` o Tartaglia e Gerolamo Cardano) della
soluzione alle equazioni di terzo grado. Questa scoperta aument` o
di molto linteresse per la matematica negli uomini di cultura
europei, convinti che ci fosse ancora molto da scoprire. A ci` o va
unito il frutto della temperie culturale che stava attraversando il
Vecchio Continente proprio in quegli anni: un rinnovato interesse
per le antichit` a classiche, volto a riscoprire le versioni
originali dei testi letterari e scientici del passato, in modo da
poterne dare uninterpretazione scevra da qualunque fuorviante
interpretazione allegorica della cristianit` a. Questi nuovi
interessi portarono molti uomini di cultura europei, spesso esterni
al mondo accademico tradizionale, ad interessarsi di matematica,
leggendo nalmente in versione originale greca (e non in traduzione)
i classici della matematica, a partire da Euclide. Fu dunque in
questo clima di prosperit` a culturale che, nei secoli XV e XVI,
una nuova matematica inizi` o a prendere forma, una matematica
destinata ad abbandonare il rigore metodologico e logico degli
antichi greci, per guadagnarne in agilit` a espositiva e ampiezza
dei risultati. Una matematica che non avr` a mai remore a
confrontarsi con quellinnito che pareva tanto imperfetto ai greci.
Una matematica che, dunque, si inoltrer` a anche negli abissi
dellinnitamente piccolo, che trover` a conferma dei suoi risultati
non nelle proprie basi ma nei propri continui successi. Una
matematica che trov` o i suoi precursori in Bonaventura Cavalieri
in Italia e in Johannes Kepler in Germania.
10
2
` NASCITA E MATURITA
2.2.1
Kepler, Cavalieri e il metodo degli indivisibiliTutto quello che
si dimostra con le giuste regole degli indivisibili si dimostrer` a
anche nel modo e col rigore degli antichi [...] cos` i due metodi
non dieriscono fra loro che nella forma espressiva Blaise
Pascal
Fino allepoca di Kepler e Cavalieri lEuropa era stata dominata
da una accanita disputa (non priva di qualche punta di acuto
acrimonio) fra i seguaci stretti di Archimede (si intenda, il
rigidissimo e rigorosissimo Archimede utilizzatore del metodo di
esaustione, capace di ingegnosit` a sempre diverse nelle sue
dimostrazioni complicatissime), che non credevano possibile altro
metodo se non quello di esaustione, e gli innovatori, che volevano
rompere con la tradizione e tentare strade impervie e sconosciute.
Fra i primi vanno citati Luca Valerio (1552-1618), a cui si deve
lesposizione generale del metodo per trovare larea sottesa da una
curva (cio` e, in termini b moderni, per calcolare numericamente
lintegrale denito a f (x) dx) e Paul Guldin (1577-1643), autore dei
due teoremi che vanno sotto il nome di PappoGuldino, relativi al
calcolo delle superci e dei volumi dei solidi di rotazione. Se
fossero esistiti solo i primi, per` o, la matematica sarebbe
rimasta a livello di Vindiciae Archimedis (titolo di unopera di
Alexander Anderson, matematico scozzese seguace di Archimede), cos`
come la sica sarebbe rimasta a livello di ipse dixit aristotelico
se non ci fosse stata lopera di Galileo Galilei. Molte idee nuove,
per` o, si andavano diondendo fra i matematici dellepoca, e
venivano in special modo recepite da Kepler e Cavalieri. Il primo,
nato a Weil der Stadt in Svevia, ` e principalmente ricordato oggi
per i suoi grandi lavori astronomici, elaborati grazie alla vasta
mole di dati accumulata dal suo maestro Tycho Brahe (1546-1601).
Professore a Graz, Praga e Linz, dove tenne anche la cattedra di
astronomo della corte imperiale, Kepler visse una vita molto
religiosa alle dipendenze dellimperatore prima e del duca Albrecht
von Wallenstein dopo il 1626. Mor` dopo una breve malattia a
Regensburg, nel 1630. Ci` o che a noi interessa, per` o, ` e il suo
lavoro Nova Stereometria Doliorum (1615), nel quale egli per primo
svolse molte considerazioni che rassomigliano a quelle archimedee
del Metodo o a quelle, successive, di Cavalieri. Egli infatti
considera il cerchio come formato (o potremmo dire esaurito, dando
nuovo signicato e forza a quanto intuito da Eudosso) da tutti i
triangoli aventi un vertice sul centro e un lato su una corda
piccolissima (o, per meglio dire, innitesima, che sia cos` piccola
da approssimare esattamente larco che sottende); la sfera come
composta di innite piramidi aventi vertice nel centro della sfera e
base determinante un segmento sferico ad una base piccolissimo; il
toro (solido ottenuto facendo ruotare un cerchio attorno ad una
retta esterna ad esso) come composto da tanti innitesimi cilindri
retti aventi per basi sezioni meridiane del toro. Sembrerebbe
pertanto da quanto detto che Kepler possa essere considerato come
liniziatore della nuova matematica. In realt` a, come nota sempre
Geymo-
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
11
nat, Kepler non arriv` o mai ad una trattazione organica di
questi procedimenti, ma si limit` o ad applicarli a problemi
particolari, come quelli gi` a citati o quello di scoprire come mai
i viticoltori austriaci utilizzassero botti dalla forma cos`
stravagante, che d` a il titolo al libro. Kepler, dunque,
nonostante fosse un abilissimo geometra che avrebbe avuto poi
grandissima inuenza sulla matematica del tempo, non riusc` a
derivare dalle sue disseminate ricerche un metodo come quello che,
solo qualche anno dopo, avrebbe inventato Bonaventura Cavalieri.
Nato a Milano nel 1598, Cavalieri entr` o nellordine dei Gesuati n
da molto giovane (e ci` o acuir` a lacrimonio delle sue dispute con
il gesuita Guldin). Trasferitosi nel monastero di Pisa nel 1616, fu
portato ad incontrare Galileo (che ivi insegnava dal 1610) per
tramite del cardinale Federigo Borromeo, che aveva visto in lui un
astro nascente della matematica. Dopo essersi dedicato ad impegni
pi` u religiosi, Cavalieri divenne professore a Bologna nel 1629,
per intercessione del suo maestro Benedetto Castelli. Mor` , sempre
a Bologna, nel 1647. Ad egli, e alla sua scuola (il cui maggior
allievo fu Evangelista Torricelli (1608-1647), sico e matematico
che non riusc` a pubblicare il suo capolavoro matematico che andava
preparando prima della sua morte prematura) va riconosciuta non
tanto linvenzione del nuovo metodo degli indivisibili (gi` a
accennato da Kepler, e che, comunque, era nellaria come viole a
primavera, per citare Bolyai), e nemmeno il merito di grandissimi
risultati applicativi (sar` a Pierre de Fermat (1601-1665) a farlo
in Francia), ma quello di essere stato il teorico della nuova
matematica, colui che ` e riuscito prima di ogni altro a sistemarla
in un corpo unico di dimostrazioni sucientemente rigorose (Paul
Tannery, citato in [L .Geymonat - 2008, pag. 79]). Ed ` e proprio
per questo che egli ` e cos` interessante per la nostra
esposizione, di carattere teorico pi` u che applicativo. Nel suo
capolavoro Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam
ratione promota (1635), a cui fece seguito, in risposta alle
numerose polemiche, Exercitationes geometricae sex (1647),
Cavalieri espose quello che egli riteneva un metodo radicalmente
nuovo ed opposto a quello archimedeo, quando in realt` a non faceva
altro che ricalcare, come gi` a detto, lArchimede del Metodo sui
teoremi meccanici. Come Archimede, infatti, Cavalieri consider` o
le aree di gure piane come composte da indivisibili di supercie, e
i solidi come composti da indivisibili di volume, dove il termine
indivisibile va inteso, da un lato, nel senso letterale, come ci` o
oltre al quale non ` e possibile procedere, ma dallaltro, essendo
inniti, essi dovranno avere spessore innitesimo, minimale, non
potendo avere spessore nullo (in tal caso, infatti, ogni area o
volume sarebbero nulli). Tant` e vero che molto spesso, come per
Archimede e per Kepler, si suole dire che per Cavalieri le gure
sarebbero sono composte da corde di sezione tutte parallele, e i
solidi da sezioni piane tutte parallele. Cos` facendo, Cavalieri
accolse nalmente nella matematica lidea di innitesimo, vista non
pi` u come qualcosa di contraddittorio o poco soddisfacente, ma
anzi assurta a ruolo di fondamento per unintera nuova teoria. Gli
indivisibili non erano, per Cavalieri, n e logicamente insucienti
(come lo furono per Archimede), n e posizioni-limite di un
procedimento (come saranno, poi, nellOttocento): per Cavalieri gli
indivisibili esistevano, avevano realt` a loro propria e potevano
essere trattati come qualsiasi altro ente matematico (posizione che
sar` a, come vedremo, fatta propria da Leibniz e, in tempi molto
pi` u recenti, da Robinson). Nella maggior parte delle sue
dimostrazioni, per` o, pi` u che usare gli indivi-
12
2
` NASCITA E MATURITA
sibili nella loro piena potenzialit` a, Cavalieri si limita a
ricondurre superci e volumi sconosciuti ad altri noti trovando due
indivisibili in rapporto costante fra loro, uno scorrente lungo
tutta la supercie o il volume ignoto e laltro lungo una supercie o
volume noto, ed applicando poi ad essi il cosiddetto principio di
Cavalieri, per il quale le due superci/volumi stanno fra loro come
gli indivisibili. In questo modo, ad esempio, Cavalieri calcol` o
ci` o che, in simboli a a 2 a2 a3 moderni, sarebbe 0 x dx = 2 , e
anche 0 x dx = 3 , con una dimostrazione facilmente adattabile per
calcolare il valore pi` u generalea
xn dx =0
an+1 . n+1
Questo metodo, nonostante i suoi successi, sembrava per` o
portare ad alcune apparenti contraddizioni, che volevano larea del
segmento parabolico uguale a 2 larea del rettangolo ad esso
circoscritto, o che volevano uguali le aree di due 2 triangoli
aventi stessa altezza ma basi una multipla dellaltra. In entrambi i
casi, per` o, Cavalieri rispose ai suoi detrattori ritenendo
scorretto il loro utilizzo del metodo di esaustione (nel primo
caso), oppure con considerazioni di carattere tessile (paragonando
i triangoli a dei telai) che rinviavano a considerazioni
spiccatamente innitesimali. Queste ricerche furono ulteriormente
arricchite dal contributo inestimabile di Torricelli, che oltre ad
essere riuscito a determinare (con metodi archimedei) il valore
dellintegraleb a
x
p q
b1 q a1 q dx = 1 p q
p
p
ebbe anche il merito di aver introdotto il concetto di
indivisibile curvilineo (come le circonferenze concentriche che
esauriscono un cerchio) e, come sostiene Ettore Bortolotti, di aver
addirittura intuito il principio di inversione 1 (quello per cui,
in termini moderni, g (f (x)) = f 1 (x) = g (x)) e il (x) essendo f
carattere intimamente correlato dei problemi di quadratura e di
determinazione delle tangenti. Sta di fatto, per` o, che allepoca
il terreno era stato preparato per ricerche innitesimali molto pi`
u ardite: ormai linnito e linnitesimo sembravano aver segnato il
passaggio di unepoca, aver determinato moltissimi progressi nella
nuova matematica e aver impregnato di s e le migliori menti
dItalia, Francia, Inghilterra, Germania. Ormai la nuova matematica
era aare europeo, e non attendeva altro che nuovi, sorprendenti
risultati. Linnitamente piccolo, che poteva apparire cos`
insignicante, si mostrava allora in tutta la sua grandezza. 2.2.2
La Francia di Fermat, Descartes, Roberval e PascalId comparo [...]
tamquam esset aequalia, lict revera aequalia non sint, et hujusmodi
comparatione vocavi adequalitatem Pierre de Fermat
Se la nuova matematica aveva avuto la sua genesi in Italia,
furono le fervide menti di Pierre de Fermat (1601 - 1665), Ren e
Descartes (1596 - 1650), Gilles
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
13
Personne de Roberval e Blaise Pascal (1623 - 1662) ad accrescere
enormemente la mole di risultati ottenuti con essa. Il merito
maggiore di questa generazione di matematici francesi fu
innanzitutto quello, attribuibile a Descartes e Fermat, di aver
trovato nalmente il modo di fondere algebra e geometria in una
geometria analitica che permettesse di descrivere enti geometrici
tramite espressioni algebriche, e che tanta parte avr` a nelle
successive ricerche innitesimali. Sorvoleremo solamente, ora, i
problemi di carattere applicativo che questepoca port` o con se e,
come detto, le molte scoperte che furono allora conseguite. Fermat,
con lo spirito del tecnico, non si pose infatti le remore tipiche
di Descartes, assolutamente contrario a procedimenti che non
avessero il carattere della piena limpidezza. Per questo, riusc` in
breve tempo a fare ci` o che anche Cavalieri aveva fatto, cio` e
calcolarea
xn dx, n Z {1}0
Il caso di n = 1, infatti, presentava ancora qualche problema,
anche se era gi` a stato intuito che potesse essere correlato con i
logaritmi. Moltissime ricerche allepoca verterono inoltre sulla
determinazione di aree sempre pi` u complesse (come quelle della
cicloide, della concoide, della foglia di Cartesio etc.) e sulla
retticazione delle curve (problema non molto trattato nei secoli
precedenti, se si escludono il celeberrimo caso della circonferenza
e quello della spirale archimedea). Fermat e Pascal, inoltre,
giunsero a determinare un caso particolare dellintegrazione per
parti, senza essere per` o riusciti ad estendere questa conquista
alla regola generale. Mancava infatti a loro, come a tutti i
matematici precedenti, unidea chiara del concetto di
dierenziazione. Ci` o` e comprensibile se si pensa che il problema
delle tangenti ad una curva (problema che, come noto, ` e
intimamente correlato al concetto di dierenziazione) non era stato
mai trattato con la diusione e con linteresse con cui erano stati
esaminati i problemi di quadratura: gli antichi, infatti, giunsero
al pi` ua trovare alcuni procedimenti per determinare la tangente
al cerchio, alle coniche e alla spirale di Archimede. Questo
principalmente perch e essi potevano ricorrere solamente ad alcuni
arteci geometrici, senza avere a disposizione il grande strumento
della geometria analitica. Sia Descartes che Fermat, invece,
giunsero, forti dei nuovi strumenti, a trovare, indipendentemente
luno dallaltro, un metodo generale per determinare la tangente ad
una curva F (x, y ) = 0 in un punto qualsiasi. Per il primo, ci` o
verteva sulla costruzione di un cerchio che secasse la curva in due
punti coincidenti (ovvero, la tangesse). Questo metodo fu per` o
quasi subito semplicato da Frans van Schooten, che convert` il
cerchio in una retta secante, e Johann van Waveren Hudde, che trov`
o addirittura il modo di trovare successivamente la derivata
(espressa in termini moderni) di una qualunque funzione
polinomiale. Per Fermat, invece, fu innanzitutto importante trovare
un metodo per determinare i punti di massimo e minimo di una curva,
a cui fa seguito un metodo delle tangenti molto approssimativo e
dimostrato solamente nel caso della parabola, e supposto vero per
tutti gli altri casi. Questo ed il primo metodo sono importanti sia
perch e contengono la prima trattazione moderna del problema
fondamentale del calcolo dierenziale sia perch e esprimono gi` a
tendenze che
14
2
` NASCITA E MATURITA
saranno poi proprie delle dimostrazioni successive. Il metodo di
Fermat per trovare i massimi e i minimi, in particolare, consisteva
nel trovare quei punti che, in termini moderni, soddisfacevano la
seguente equazione:E 0
lim
f (x + E ) f (x) = 0. E
Fermat, per` o, che non possedeva n e una denizione precisa n e
una nozione di limite, dovette ricorrere ad un articio che segna un
punto di svolta per la nostra indagine. Egli pone, infatti, f (x) f
(x + E ), intendendo per quanto scritto in epigrafe: egli non pone
le due quantit` a esattamente uguali, ma molto prossime.
Utilizzando la terminologia che sar` a poi propria di Leibniz,
possiamo dire che egli renda f (x + E ) f (x) innitesimo. Un
ulteriore problema gli venne poi dal fatto che, per risolvere
questa adeguaglianza egli dovette prima operare tutte le
semplicazioni possibili e soltanto dopo pot e procedere ponendo E =
0. Se lo avesse fatto prima, infatti, avrebbe irrimediabilmente
ottenuto unidentit` a, inutilizzabile per lo scopo cercato. Siamo
qui in presenza di uno dei primi problemi che lanalisi incontrer` a
sul suo cammino: problemi che non derivano tanto da errori
applicativi, ma da un difetto di fondo: la mancanza, per quella
analisi, del solido fondamento del limite. Per il momento, per` o,
forti degli ottimi risultati ottenuti, i matematici continueranno a
riporre le loro speranze in questo metodo: no a quando la sua
nebbiosit` a diventer` a cos` elevata da non poter essere pi` u
tollerabile per un futuro procuo sviluppo. 2.2.3 Isaac Newton e le
quantit` a uentiLinae describuntur [...] non per appositiones
partium sed per motum continuum punctuorum. [...] Hae Geneses in
rerum natura locum vere habent et in motu corporum quotidie
cernuntur Isaac Newton
Importantissimo, per la nostra indagine, fu il contributo di
Isaac Newton (1643-1727) e, prima di lui, del suo maestro Isaac
Barrow (1630-1677). Egli, infatti, nonostante fosse di idee
conservatrici (ammirando molto gli antichi e detestando lalgebra),
pubblico sotto consiglio di un amico (che si seppe, pi` u tardi,
essere Newton) il suo metodo di determinazione delle tangenti, che
ricalca quello di Fermat ma compie due sostanziali passi avanti
nella considerazione del triangolo caratteristico (il triangolo,
cio` e, formato da due punti della curva innitamente vicini e dalla
intersezione fra la parallela allasse delle ascisse passante per il
primo e la parallela allasse delle ordinate passante per il
secondo): egli consider` o, infatti, non un sono incremento ma due
incrementi x e y , svolgendo ci` o che in termini moderni si
scrive:x0 y 0
lim
y . x
Ci` o ovviamente permetteva di considerare le tangenti ad ogni
curva in cui le due variabili x e y fossero legate da una qualche
equazione algebrica, non
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
15
necessariamente esprimibile come f (x) o f (y ). Ma fece di pi`
u: nel risolvere questo limite, infatti, considerando f (x + a, y +
e), essendo a ed e gli incrementi delle due variabili, arriv` o a
trascurare tutti i termini in a ed e superiori al primo grado. Egli
aveva gi` a intuito, infatti, che la piccolezza di a e di e fosse
tale da rendere qualsiasi loro potenza trascurabile, a meno della
prima. Fu con Newton, per` o, che la nuova matematica ricevette
limpulso pi` u grande. Nato a Woolsthorpe nel 1643, Newton fu prima
studente alla scuola di Grentham, per poi frequentare il Trinity
College, dove avrebbe sviluppato il suo talento sotto la diretta
inuenza di Barrow. Diventato professore nel 1669 (ricoprendo la
cattedra che prima era stata del suo maestro), Newton fu impegnato
nei pi` u svariati campi della ricerca, dalla meccanica allottica,
dalla chimica alla matematica. Divenne membro della Accademia delle
Scienze di Parigi e della Royal Society di Londra (di cui divenne,
poi, presidente), fu nominato baronetto e seppellito, nel 1727,
nellabbazia di Westminster, con tutti gli onori degni della fama da
lui conquistata. Nel campo della matematica, importantissime furono
le sue ricerche sulle serie numeriche, che lo portarono alla ben
nota formula del binomio di Newton, che permette di calcolare lo
sviluppo di (a + b)q per ogni q Q. Questo lavoro di Newton riveste
un ruolo fondamentale per la nostra storia, data la predilezione
che Newton avr` a, trattando di analisi, per gli sviluppi in serie.
Ci` o che riveste per noi maggiore importanza, per` o, ` e il
concetto che sta a fondamento dellanalisi newtoniana, vale a dire
quello di ussione. Dierentemente da quanto si potrebbe pensare,
questo concetto non fu aatto usato da Newton nella maggioranza dei
suoi lavori, e specialmente nel suo capolavoro, i Philosophiae
Naturalis Principia Matematica, in cui egli volle riconvertire
tutte le dimostrazioni analitiche in dimostrazioni geometriche, per
paura che la poca chiarezza potesse inciare i risultati sici
raggiunti. Lidea newtoniana di ussione, comunque, parte da una
considerazione di carattere sico, che ha a fondamento il concetto
di tempo. Il tempo, infatti, scorre per Newton uniformemente ed in
modo continuo (e scorrer` a cos` ancora per qualche secolo), e da
questa uniformit` a prende origine il concetto newtoniano di
quantit` a, vista come generated by continous motion, with denite
(constant or variable) velocity [W.R. Smith - 1912, pag. 19]. Come
la quantit` a, poi, cos` ` e generata la linea per moto continuo di
punti, cos` le superci, i volumi, gli angoli etc. Se, per` o, il
tempo scorre linearmente e con velocit` a costante, cos` non fanno
la maggior parte delle grandezze che, come il tempo, uiscono
continuamente. Diviene perci` o importante studiare le ussioni
delle quantit` a uenti, in modo di riuscire a capire quale velocit`
a queste quantit` a abbiano rispetto al tempo, lunica uente senza
ussione (proprio perch e tutte le altre ussioni sono rapportate ad
essa). Da qui prende piede la teoria newtoniana dellanalisi: data
una qualunque espressione in due variabili, infatti, Newton cerca
una nuova relazione che leghi la velocit` a di accrescimento delle
due variabili. Quindi, ad esempio, data una y = f (x), Newton cerca
quella funzione y = g (x ), che metta in relazione x ey , ovvero le
ussioni delle due quantit` a. Con termini pi` u moderni, potremmo
dire che Newton cerca la funzione derivata della funzione di
partenza. Con ci` o, Newton aveva fondato il suo calcolo. Egli
infatti ` e perfettamente a conoscenza di molte delle regole di
derivazione che ci sono oggi note. Inoltre, egli evidenzia subito
come di una quantit` a possano esistere successive ussioni,
16
2
` NASCITA E MATURITA|
e come si possa cercare di risalire da una quantit` a x alla
quantit` a x, di cui essa ` e ussione, creando la successione||| ||
| ... . . . , x, x, x, x, x, x , x, . . .
in cui, come nota lo stesso Newton, ogni termine rappresenta
larea di una gura curvilinea di cui la quantit` a seguente a quella
considerata ` e lordinata in un sistema di assi ortogonali ([L
.Geymonat - 2008, pag. 131]). Con il principio di inversione,
perci` o, il calcolo newtoniano pu` o dirsi completo. Nonostante la
chiarezza di questi ragionamenti, Newton non volle utilizzarli, per
la loro novit` a, allinterno dei Principia. Egli fu per` o comunque
costretto a fare considerazioni di carattere innitesimale, data la
mal celabile origine di tutti i suoi risultati. Ed ` e ivi che si
dimostra tutta la grandezza di Newton. Nello spiegare il metodo
utilizzato per giungere ai suoi risultati, da lui chiamato metodo
dei primi e ultimi rapporti, Newton risponde infatti ad alcuni
dubbi che gi` a allora erano evidenti, e che sono al centro del
nostro lavoro. Gi` a al tempo, infatti, ci si chiedeva come
potessero due quantit` a avere un ultimo rapporto: infatti, prima
che esse svaniscano il loro rapporto non ` e lultimo, e allorch e
sono svanite non ne hanno pi` u alcuno ([L .Geymonat - 2008, pag.
132]). Ma allora Newton aerma che l ultimo rapporto fra due
quantit` a debba essere trovato non prima e non dopo, ma
nellistante stesso in cui svaniscono ([L .Geymonat - 2008, pag.
133]). Potremmo allora pensare al triangolo caratteristico, e al
rapporto fra i suoi due lati: e potremmo dire che questo rapporto
vada trovato esattamente nellistante precedente a quando i tre
vertici del triangolo collassano tutti in un unico punto. Tutti
vedono i problemi di questo ragionamento: ` e molto dicile,
infatti, visualizzare questo momento, e si potrebbe essere portati
a pensare che se ` e dato lultimo rapporto di due quantit` a
evanescenti, saranno anche date le ultime grandezze di tali
quantit` a ([L .Geymonat - 2008, pag. 132]), ritenendo che esista
un triangolo caratteristico innitesimo, in cui i lati abbiano
grandezza innitesima. Ma se esistessero, queste sarebbero le ultime
grandezze, ovvero le grandezze indivisibili di cui ogni quantit` a`
e costituita. Poich e per` o, nonostante quanto aermato da Kepler e
Cavalieri, ci` o` e impossibile (come ci hanno dimostrato Pitagora
ed Euclide), Newton conclude che [gli ultimi rapporti] sono i
limiti a cui si avvicinano i rapporti delle quantit` a innitamente
` evidente, come vedremo, decrescenti ([L .Geymonat - 2008, pag.
132]). E che qui Newton anticipa di secoli quello che sar` a lo
sviluppo pi` u rigoroso dellanalisi innitesimale, quello che la
priver` a di ogni contraddizione o stortura: il passaggio al
limite, operato da Weierstrass nel XIX secolo. 2.2.4 Leibniz e il
dx
Nato a Lipsia il 21 giugno 1646, Gottfried Wilhelm von Leibniz
fu il losofo e lo scienziato che fece risollevare la cultura
tedesca dopo la miseria in cui era precipitata a causa della Guerra
dei Trentanni. Morto suo padre, Leibniz intraprese molto presto e
di propria iniziativa il proprio corso di studi, attingendo
profondamente dalla vasta biblioteca paterna, e mostrando n da
subito lolistica vastit` a di interessi che lo accompagner` a per
tutta la vita. Avendo studiato losoa e giurisprudenza a Lipsia, ed
essendosi laureato ad Altdorf nel 1666, intraprese la carriera di
diplomatico presso lelettorato di
2.2
Dal Medioevo allet` a dei Lumi
17
Magonza. E fu proprio per una missione diplomatica che si rec` o
a Parigi nel 1672: ivi conobbe Christiaan Huygens (1629 - 1695),
celebre sico e matematico del tempo, che lo introdusse alla nuova
matematica in tempi incredibilmente brevi. Egli stesso studi` o per
suo diletto Descartes, Pascal, Fermat e tutti i maggiori matematici
che si erano occupati di questioni innitesimali. Dopo svariati
viaggi fra la Francia, lOlanda e lInghilterra, in cui cercava
sempre di ottenere maggiori notizie sui lavori di Newton, Leibniz
si stabil` nel 1676 al suo nuovo posto di bibliotecario presso
Johann Friedrich, duca di Brunswick, ad Hannover. Da questo posto
privilegiato, Leibniz continu` o ad occuparsi di losoa e di
scienza, contribuendo a dar vita a moltissime accademie e riviste
scientiche. Nel 1684, a seguito di una pubblicazione di Ehrenfried
W. von Tschirnhaus (1651 - 1708) sulla quadratura delle curve,
pubblic` o egli stesso sugli Acta eruditorum da lui fondati una
memoria che aveva intenzione di rendere nota gi` a dal 1677: la
celebre Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus,
quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare
pro illis calculi genus, in cui egli non fece nessun accenno ai
lavori analoghi di Newton, mentre linglese aveva accennato alle
ricerche di Leibniz ` da qui che inizi` in uno scolio ai suoi
Principia. E o la lunghissima contesa fra Newton e Leibniz, che
dura tuttora e non riesce, come non riusc` allora, a trovare un
padre al calcolo innitesimale. Fatto sta che Leibniz mor` stanco e
amareggiato nel 1716, dopo essere stato ripudiato dalla Societ` a
reale di Londra (che aveva conferito la paternit` a del nuovo
calcolo a Newton) dalla Societ` a delle scienze di Berlino (per la
quale aveva redatto il primo statuto) e dalla casata Brunswick. Per
quanto attiene al nostro lavoro, per` o, non ci interessano tanto
limmensa vastit` a di interessi e di progetti a cui Leibniz fu
sottoposto e collabor` o, oppure gli ignobili sviluppi della gi` a
citata contesa sulla paternit` a del calcolo, o ancora le
sottigliezze della sua losoa, quanto piuttosto le idee di Leibniz
sui fondamenti del calcolo innitesimale. Per capire queste idee,
per` o, ` e utile sottolineare quale fosse il ruolo conferito da
Leibniz ai simboli, a cui si aggiunge il peculiare interesse,
proprio della sua losoa e della sua persona, per le piccole
dierenze. Cos` come in psicologia, infatti, ci` o che segna la
dierenza fra due caratteri sono i piccoli elementi di distanza,
cos` la matematica del suo tempo era insuciente perch e era
incapace di trattare con le quantit` a innitesime, con i momenti di
piccola dierenza nellevoluzione delle quantit` a. Lalgebra di
Descartes, infatti, non era stata pensata per trattare con queste
quantit` a, ed ` e perci` o criticata da Leibniz come calcolo delle
grandezze nite: per questo essa non era in grado di assurgere a
quel ruolo universale, di teoria ultima per il quale Descartes
laveva concepita. Serviva pertanto una nuova teoria capace di
divenire caratteristica universale, unalgebra innitesimale (come la
chiama Bloch) che possa nalmente confrontarsi con ogni problema di
carattere innitesimale. E questa algebra dovr` a essere,
soprattutto, un nuovo sistema di simboli. I simboli erano infatti
per Leibniz il fulcro di una nuova teoria, che avrebbe dovuto
permettere (nella sua espressione pi` u elevata) una quasi
meccanica operazione di ragionamento, fatta di scomposizione dei
problemi complessi in problemi pi` u semplici, che avrebbero potuto
essere risolti anche automaticamente se fosse stato escogitato per
loro un sintetico ed appropriato sistema di simboli caratteristici.
Limportanza della ricerca innitesimale di Leibniz, dunque, fu
soprattutto questa, di aver posto le basi simboliche del nuovo
calcolo, che lo distanziavano
18
2
` NASCITA E MATURITA
denitivamente dallaritmetica e dallalgebra precedenti. Sono di
Leibniz, ad esempio, il termine funzione (1694), il simbolo e,
soprattutto, il fortunato dy simbolo dx, con la ane simbologia dx
per indicare la derivata di una funzione. Innanzitutto Leibniz
invent` o il simbolo come una versione pi` u stilizzata ed
allungata della S che normalmente a quel tempo era utilizzata per
indicare una sommatoria al posto dellodierno . Quando introdusse
questo simbolo, per` o, Leibniz si muoveva ancora sostanzialmente
allinterno dellorizzonte della scuola galileiana, ritenendo, come
Cavalieri, che tutte le grandezze fossero composte di indivisibili.
Fu poi con la successiva lettura di matematici pi` u moderni e con
lo studio e la riscoperta per proprio conto dellimportanza del
triangolo caratteristico che Leibniz arriv` o ad una pi` u matura
simbologia e, con essa, ad una propria teoria degli innitesimi. Con
lo studio di questo triangolo, che egli ritiene lelemento peculiare
di una curva, Leibniz si confront` o non pi` u solamente con la
somma ma anche con il rapporto fra quantit` a piccolissime, notando
n da subito lo stretto legame sussistente fra queste due
operazioni, e fra il calcolo delle tangenti e delle aree. Cercando
quindi di trovare una simbologia adatta ad indicare loperazione
inversa rispetto a quella di integrazione, Leibniz arriva,
attraverso una serie di passaggi, a denire il simbolo dx come
dierentia inter duas x proximas, e a dy . Questo nuovo scrivere
loperazione inversa rispetto a l dx = y come l = dx sistema di
simboli permise a Leibniz di introdurre una pi` u intuitiva visione
del mondo matematico: le aree non erano pi` u composte da corde ma
da piccole aree (cos` , infatti, Leibniz giusticava il passaggio di
dimensione che avveniva con lintegrazione), i volumi da piccoli
volumi e cos` via. Con questa nuova simbologia, inne, Leibniz fu
capace di arontare non solo molti problemi di carattere
applicativo, ma anche di trovare facilmente le formule di
derivazione del prodotto, delle funzioni composte e della funzione
inversa. La grande versatilit` a e ampiezza di risultati del nuovo
metodo port` o dunque Leibniz a proseguire sempre pi` u nelle sue
ricerche. Fermiamoci per` o con lanalisi dei risultati del nuovo
calcolo per analizzare meglio, invece, i suoi fondamenti.
Lattenzione che Leibniz ebbe per le piccole dierenze, la sua
simbologia e il suo linguaggio portarono infatti i matematici a lui
successivi ad intendere il dx come eettivamente esistente, ad
intendere insomma ci` o che Newton si era caldamente raccomandato
di non indendere. In realt` a lo stesso Leibniz, con un linguaggio
simile a quello di Newton, den` gli innitesimi come nzioni ben
fondate della realt` a, che permettono di abbreviare ragionamenti
che, altrimenti, sarebbero troppo lunghi da fare. Ci` o che
importava, secondo Leibniz, non era tanto la stranezza di questo
concetto di innitesimo, quanto piuttosto le capacit` a applicative
del nuovo calcolo fondato su di esso. Ecco che quindi Leibniz segna
una tappa fondamentale nel nostro lavoro, sia come colui che ha
introdotto la simbologia che utilizziamo ancora oggi per denire un
innitesimo, sia perch e egli ha dato proprio a questa idea, quella
di innitesimo, unimportanza campale, pur non denendola mai
compiutamente. Questa concezione di matematica e di innitesimi
rest` o invariata per circa 150 anni, dando origine a moltissimi
risultati ma, allo stesso tempo, segnando anche molti problemi.
19
2.2.5
Il XVIII secoloAndate avanti e la fede vi verr` a Jean Le Rond
dAlembert
Per tutto il Settecento, la ricerca matematica si pu` o dire
fondata su questo motto, che fu di Jean Le Rond dAlembert
(1717-1783) ma, si pu` o dire, avrebbe potuto essere attribuito a
qualsiasi matematico del tempo. In questepoca, infatti, nessuno o
quasi dubitava della consistenza della analisi innitesimale,
nessuno metteva in dubbio una cos` procua branca della matematica.
Ogni matematico di quel periodo, infatti, aveva una fede completa e
incrollabile nellonnipotenza e nella generalit` a [dellanalisi
innitesimale] [L .Geymonat - 2008, pag. 157]. Questa fede
nellanalisi (o, meglio, nei risultati che essa consentiva di
ottenere) aveva come retroterra una pi` u generale ducia nella
scienza e nelle capacit` a umane tutte, tipica della temperie
culturale illuminista che caratterizz` o gran parte del secolo. Una
serie di opere scritte a cavallo fra i secoli lun contro laltro
armati costituisce il riassunto pi` u ecace della matematica
dellepoca: opere come la M ecanique Analitique di Lagrange,
radicalmente diverse dalle opere poco posteriori di Augustin Louis
Cauchy (1789 - 1857), che furono gi` a espressione delle nuove
esigenze di rigore della matematica successiva: una matematica
irrimediabilmente glia della rivoluzione francese, che vedr` a un
orire di scuole superiori in ogni nazione europea, veri centri di
sviluppo di una scienza che andava sempre pi` u specializzandosi.
Fra queste due concezioni della matematica, per` o, a cavallo fra
questi secoli cos` diversi fra loro visse un uomo, Georg Wilhelm
Friedrich Hegel, che fu il ponte ideale fra queste due dierenti
concezioni della matematica e del calcolo, che tent` o di fornire
una terza via allannosa questione dellinnitesimo.
3
Linnitesimo in Hegel
Uno dei pi` u grandi ed inuenti loso mai vissuti, Georg W.F.
Hegel non lasci` o che alcun campo del sapere cadesse al di fuori
della sfera delle sue conoscenze, e la matematica non fece
eccezione.
3.1
Vita e opere
Nato a Stuttgart nel 1770, Hegel studi` o teologia a Tubinga,
dove strinse unamicizia con Friedrich H olderlin (17701843) e
principalmente con Friedrich von Schelling (17751854) che costitu`
una tappa fondamentale della sua formazione. Dopo un periodo in cui
fu precettore a Berna e Francoforte e fu interessato soprattutto da
tematiche sociali e religiose, a cavallo del secolo Hegel fu
attratto dalla losoa critica di Immanuel Kant (1724-1804) e da
quella del suo allievo Johann Gottlieb Fichte (1762-1814), e per
approfondire queste tematiche si trasfer` nel 1801 alluniversit` a
di Jena, luogo centrale per la cultura idealistica e romantica.
Dopo aver pubblicato poco pi` u che dei pamphlet (come la Dierenza
fra il sistema losoco di Fichte e quello di Schelling del 1801),
giunse nel 1807 a da-
20
3
LINFINITESIMO IN HEGEL
re alle stampe Fenomenologia dello spirito, la sua prima grande
opera. Chiusa luniversit` a di Jena per larrivo delle truppe di
Napoleone, Hegel fu costretto a lasciare la citt` a e a trasferirsi
a Norimberga, dove divenne insegnante di ginnasio no al 1815. Nel
1816 fu chiamato come professore di losoa alluniversit` a di
Heidelberg, mentre nel 1818 ottenne la cattedra pi` u prestigiosa
dellintera Germania, quella di losoa alluniversit` a di Berlino.
Questo dopo aver pubblicato la Scienza della logica (Norimberga,
1812-16) e il suo capolavoro, lEnciclopedia delle scienze losoche
in compendio (Heidelberg, 1817). Hegel manterr` a la cattedra di
Berlino no alla sua morte, circondato di alunni e colleghi da cui
era generalmente molto apprezzato. Pubblic` o a Berlino lultima sua
grande opera, gli Elementi di losoa del diritto (1821), basati
essenzialmente su un corso di studi tenuto ad Heidelberg. Mor`
improvvisamente di colera nel 1831, cedendo la sua cattedra a
quello che era stato lamico e rivale di una vita: Friedrich von
Schelling.
3.2
Hegel e lanalisi innitesimale
Solitamente poco considerato rispetto alla losoa di Hegel (che
contiene riferimenti ed accenni ad ogni disciplina nota al suo
tempo) ` e il ruolo di primo piano rivestito in essa dalla
matematica e in special modo dallanalisi innitesimale. Mi sono qui
proposto, pertanto, di fare soltanto alcuni accenni a questo ruolo,
concentrandomi in modo particolare sulla concezione hegeliana di
innitesimo, che deve essere vista come il punto centrale di questo
lavoro. In seguito, seguendo nello schema lopera di Remo Bodei ([R.
Bodei - 1975]), a cui rimando per ogni approfondimento, noter` o il
ruolo chiave della analisi innitesimale come fondamento di tutta la
teoria hegeliana della esperienza. 3.2.1 Hegel e la matematicaLei
sa che mi sono occupato moltissimo [...] anche di matematica, e
recentemente di analisi superiore, del calcolo dierenziale [...]
Hegel
Mi sembra doveroso, per` o, premettere a tutto il ragionamento
alcune considerazioni di carattere pi` u specico circa il rapporto
di Hegel con la matematica. Come si nota dalla epigrafe, tratta da
una lettera di Hegel a Paulus del 1814, Hegel fu dedito anche allo
studio della matematica, ed in particolare di quella nuova
matematica di cui abbiamo parlato nelle sezioni precedenti: il
calcolo innitesimale. Probabilmente, egli apprese questa nuova
matematica sia dai testi pi` u antichi (Cavalieri, Newton, Leibniz)
sia dalle sistematizzazioni settecentesche pi` u vicine a lui. ` un
fatto poco noto, invece, che Hegel abbia insegnato aritmetica e
geomeE tria alluniversit` a di Jena negli stessi anni in cui
componeva la Fenomenologia dello spirito, tanto che anche Karl
Popper ritenne che la sua presunta conoscenza matematica fosse solo
frutto di millanteria (vedi [R. Bodei - 1975, pag. 227, nota 1]). I
suoi corsi furono tenuti, come era tradizione in quegli anni, ex
libro, cio` e utilizzando come testo di riferimento un manuale
particolarmente
3.2
Hegel e lanalisi innitesimale
21
chiaro ed aermato (tali erano, ad esempio, il manuale di Stahl
per laritmetica ` curioso, in particolare, notare come e quello di
Lorenz per la geometria). E Hegel ritenesse, non distante dalla
maggior parte dei suoi contemporanei, che aritmetica e geometria
fossero scienze chiare di per s` e perch e fondate su verit` a
ovvie e conclamate. Quando, anzi, egli pens` o di scrivere un libro
di aritmetica e geometria per linsegnamento nei licei, volle
assolutamente lasciare fuori ogni riferimento alla losoa: questa
scienza, senza mescolarvi la losoa, che non centra, pu` o essere
trattata in modo pi` u intelligente e sistematico del solito,
scriver` a in una lettera del 1812. Oltre a questi impegni pi` u
tecnici, per` o, Hegel tratter` a diusamente allinterno delle sue
opere della matematica in quanto tale e, specialmente, del rapporto
fra matematica e losoa. Particolarmente signicativi a questo
riguardo sono la Scienza della logica e la sezione Logica della
Enciclopedia delle scienze ` un fatto, purtroppo, che queste
trattazioni hegelialosoche in compendio. E ne furono
particolarmente avversate da certi loso americani, come Popper o
Bertrand Russell, le cui visioni sono oggi unanimemente considerate
di eccessiva durezza e partigianeria (per una esposizione completa
di queste problematiche vedi [T. Pinkard]). 3.2.2 Hegel e linnito
matematico
Caposaldo fondamentale della sua losoa e concetto cardine
dellepoca romantica, linnito fu sicuramente un ente, metasico prima
che matematico, con cui Hegel era particolarmente familiare. La sua
losoa, infatti, in quanto vero idealismo, partiva dal principio
fondamentale della dissoluzione del nito nellinnito, dellidealit` a
del primo che, in un continuo procedere dialettico attraverso la
storia, avrebbe dovuto necessariamente annullarsi in quello che
alcuni hanno denito il mare piatto della tranquillit` a: la
totalit` a della realt` a, il solo ente a poter esistere di per s
e, senza legami o relazioni con altri enti. Guardando alla
matematica, invece, Hegel sostiene che i matematici posseggano il
concetto di vero innito (cio` e quellinnito che ` e capace di
conservare in s e tutte le dierenze dei niti, eliminandone le
opposizioni) ma non lo esplicitano, non lo utilizzano in tutte le
sue potenzialit` a, contentandosi solo di una sua versione
sbrigativa, che sia in grado di portare tangibili risultati, senza
preoccuparsi di quanto questo innito sia vero oppure no. Egli
disprezza in particolare tutti i ragionamenti per serie numeriche,
perch e essi non dimostrano il vero innito, ma lo nitizzano,
mostrando solamente un numero nito di termini della serie (e non
potrebbe essere altrimenti), e intuendo linnito o come progressione
allinnito, potenziale ma mai raggiunta, oppure come unentit` a
attuale che per` o, in quanto tale, sta al di l` a del nito. [T.
Pinkard, pagg. 461-462]. Questultimo innito, per` o, ` e del tutto
slegato dal nito (cosa inconcepibile nella losoa hegeliana), mentre
la prima denizione non d` a conto di un innito esistente in atto,
ma solamente in potenza, alla ne della serie (concezione pressoch e
identica a quella Aristotelica di innito matematico). Quello
hegeliano, invece, deve sia esistere che essere in rapporto con il
nito, e deve pertanto contenere entrambe le denizioni, quella
potenziale (che risiede nella serie stessa piuttosto che nella sua
somma) e quella aermativa (che risiede cio` e nella somma della
serie, e sta al di l` a dellinnito). Ed egli dimostra infatti come
i due tipi di innito sostanzialmente si equivalgano, in quanto
quello aermativo non fa altro che rappresentare idealmente ci` o
che accade alla ne di quello che ` e
22
3
LINFINITESIMO IN HEGEL
solamente un movimento, ovvero la serie numerica, evidenziata
come tale dalla concezione potenziale dellinnito. ` di particolare
rilievo, inne, notare come Hegel prenda in seria consideE razione
la denizione spinoziana di innito. Baruch de Spinoza (1632-1677),
losofo ebreo olandese, ebbe infatti il merito, secondo Hegel, di
aver trovato una denizione di innito capace di rendere la sua
natura di determinazione assoluta o concetto assoluto [V. Verra -
2007, pag. 43]. Questa denizione si basava sullimmagine di due
cerchi non concentrici, di cui uno fosse interamente contenuto
nellaltro: le innite disuguaglianze possibili fra le distanze delle
due circonferenze rendono bene, secondo Spinoza, lidea di innito in
atto. Anche secondo Hegel, infatti, questa costruzione,
assolutamente indipendente dalle dimensioni delle due circonferenze
o da qualsiasi altra variabile, ` e cos` intimamente connaturata
alla natura della cosa da poter essere utilizzata come costruzione
che ben esponga alla intuizione la natura dellinnito actu,
svincolata da qualsiasi riferimento numerico (vedi [G.W.F. Hegel -
1968, pag. 275]). 3.2.3 Hegel e linnitesimo
` un fatto, per` E o, come fa presente [T. Pinkard], che la
maggior parte della nota hegeliana La determinatezza concettuale
dellinnito matematico (inclusa nella Scienza della logica ) sia
dedicata al trattamento di una delle questioni pi` u scottanti
dellepoca: il concetto di innitesimo, appunto. Hegel innanzitutto
nota come lintroduzione dellinnito e dellinnitesimo nel
ragionamento matematico abbiano sicuramente abbreviato moltissimi
procedimenti (si pensi, ad esempio, alla lunghezza del metodo di
esaustione) e come siano addirittura risultati indispensabili per
trovare alcuni risultati non raggiungibili tramite procedimenti
tradizionali. Ma, come scrive Hegel, questa maniera di calcolo
dellinnito si mostra ` cio` travagliata dallapparenza
dellinesattezza. E e innegabile che, nei procedimenti innitesimali,
si consideri che linnitesimo o dierenziale dx sia come se fosse = 0
(si ricordi, ad esempio, il metodo delle tangenti di Fermat) sia
come b se fosse = 0 (altrimenti, ad esempio, qualsiasi integrale
denito a f (x) dx non avrebbe signicato, perch e sarebbe la somma
di innite quantit` a tutte nulle). Hegel ha dunque riscontrato i
dubbi tradizionali sul concetto di innitesimo quale era stato
presentato soprattutto da Leibniz: un numero pi` u piccolo di ogni
altro numero ma non nullo. Numeri di questo tipo non se ne erano
mai visti, ed era anche dicile congurarseli. Per questo, scrive
Hegel, i matematici avrebbero cercato, nel corso del tempo, una
analogia o una ratio che rendesse pi` u chiaro il procedere o lo
guidasse segretamente. Cos` ad esempio Hegel critica il divisibile
evanescente newtoniano perch e non ` e ben chiaro il momento in cui
debba essere considerato il rapporto. In questo, per` o, Hegel
dimostra di non tenere in giusta considerazione le frasi successive
che anticipano, come detto, lidea moderna di limite, e per questo
sar` a duramente criticato da [W.R. Smith - 1912]. Allo stesso
modo, Hegel critica le posizioni di Guillaume F. A. Marquis de LH
opital (1661-1704) e di Christian Wol (1679-1754). Questultimo in
particolare si serviva di immagini geologiche ed astronomiche per
permettere al suo lettore di comprendere lidea di dierenziale.
Esso, infatti, era minuto e trascurabile come un granello di sabbia
portato via dalla cima di un monte, che non ne altera minimamente
la forma, o come laltezza delle case o delle torri nel calcolo
delle eclissi
3.2
Hegel e lanalisi innitesimale
23
lunari [G.W.F. Hegel - 1968, pag. 286]. In ci` o Hegel vede un
malaccorto tentativo di Wol di rendere comprensibile il concetto di
innitesimo, secondo la sua maniera di render popolari le cose,
facendo cio` e perdere al concetto la sua purezza, e mettendo in
luogo suo inesatte rappresentazioni sensibili. [G.W.F. Hegel -
1968, pag. 285]. Nel periodo immediatamente vicino ad Hegel,
invece, furono scritti testi fondamentali sui fondamenti del
calcolo innitesimale, che rappresentavano linizio di un fecondo
movimento di convergenza tra metasica e calcolo innitesimale [R.
Bodei - 1975, pagg. 230-231]. Esponenti di spicco di questo
movimento furono DAlembert, Lagrange e Lazare N. M. Carnot
(1753-1823) In particolare si pensa che Hegel fosse a conoscenza
delle voci Limite e Di erentiel scritte proprio da dAlembert per la
celebre Encyclop edie. Nella seconda, in particolare, dAlembert d`
a sostanzialmente conto delle posizioni prese sullinnitesimo no a
lui, dandone una piuttosto scarna denizione: On appelle dans la
haute G eom etrie, quantit e di erentielle ou simplement di
erentielle, une quantit e inniment petite, ou moindre que toute
grandeur assignable. [dAlembert & Diderot, Dierentiel].
DAlembert aveva scritto sullargomento anche il trattato Sur les
Principes m etaphysiques du calcul innit esimal (in M elanges de
litt erature et de philosophie, 1768), che era per` o ignoto ad
Hegel. A dimostrazione della vivacit` a con cui si sviluppava il
dibattito in quegli anni, basti ricordare che Lagrange, come
presidente dellAccademia delle Scienze di Berlino, indisse un
concorso che richiedeva di trovare une th eorie claire et pr ecise
de ce quon appelle Inni en Math ematique [R. Bodei - 1975, pag.
233], con particolare riferimento, ovviamente, al problema
dellinnitesimo. A questo concorso parteciparono molti matematici di
punta dellepoca, fra cui spicca il nome di Carnot, che present` o
le sue R eexions sur la m etaphysique du calcul innit esimal. Il
premio, per` o, fu vinto da Simon LHuilier (1750 - 1840), con il
suo Exposition el ementaire des principes des calculs sup erieurs.
Lo stesso Lagrange, inoltre, avrebbe anche lui cercato, in seguito,
di trovare nuove fondazioni allanalisi. La sua voleva essere
unanalisi d esgags de toute consid eration dinniment petits, come
Lagrange stesso scrive nel sottotitolo alla sua Th eorie des
fonctions analytiques (1797). Il suo intento, pertanto, era di
recuperare lapproccio seriale, che era stato del primo Newton, per
sottrarsi alle dicolt` a che accompagnano la rappresentazione
dellinnitamente piccolo [G.W.F. Hegel - 1968, pag. 296]. Con questo
nuovo metodo ottenne anche importanti risultati (come la
dimostrazione del teorema di Taylor e del resto della serie di
Taylor), ma si discost` o nettamente da quello che sarebbe stato
poi lo sviluppo della analisi innitesimale, in cui il concetto di
limite avrebbe ripreso vigore. Hegel pensa che i matematici
francesi abbiano s` toccato il punto pi` u alto della matematica
contemporanea [R. Bodei - 1975, pag. 234], ma rigetta il loro modo
di vedere. Egli utilizza, contro questa concezione, due categorie
di argomenti: da un lato egli ritiene la serie utilizzata superua,
in quanto poich e non ` e dessa che nel fatto vien cercata, si
porta dietro un troppo [G.W.F. Hegel - 1968, pag. 336], mentre
dallaltro il suo riuto ` e legato alla sua losoca avversione per il
cattivo innito, ovvero per linnito potenziale, per quellinnito
ideale rappresentato da una quantit` a innitamente crescente ma che
non ` e compiutamente innita.
24
3
LINFINITESIMO IN HEGEL
Il primo motivo considerato, in particolare, ` e spiegato dal
secondo: infatti qualora noi pervenissimo (come Hegel fa) ad una
concezione matematicolosoca di innito (e, quindi, di innitesimo),
pienamente soddisfacente, ecco allora che la serie diverrebbe un di
pi` u, un accessorio assolutamente inutile, che rende solamente pi`
u pesanti le dimostrazioni. In pi` u lo strumento della serie, come
gi` a detto, ` e rigettato perch e addirittura dannoso, in quanto
predispone a quellidea di cattivo innito che Hegel cerc` o cos`
radicalmente di eliminare nella sua losoa, criticando aspramente
chi, come Fichte, aveva, a suo dire, costruito un sistema losoco
proprio su unidea erronea, ideale, cattiva, nita di innito. Secondo
Hegel, infatti, ` e pur vero che una frazione qualunque (ad
esempio, 2 ) pu` o essere espressa dal suo sviluppo decimale (nel
caso specico, 0.285714), 7 1 o che speciche funzioni (come ad
esempio 1 x considerata nellintervallo [0, 1]) possono essere
approssimate da speciche serie polinomiali (come, ad esempio, 1 + x
+ x2 + x3 + + xn + . . . ), ma queste serie esplicitano il quanto
(vale a dire lente matematico, sia esso una funzione o un numero
razionale) come moltitudine di tali che si aggiungono luno
allaltro, ossia come un numero di volte [G.W.F. Hegel - 1968, pag.
271]. Ogni entit` a matematica, dice Hegel, pu` o essere espressa
sotto forma di serie, cio` e di somme innite: se, ad esempio,
consideriamo una frazione che ha espressione decimale nita (come,
ad esempio, 1 10 = 0.110 ), essa potrebbe non averla in un sistema
diverso (come, ad esempio, 1 quello ternario, in cui 10 = 0.00223
). E tutti i numeri che non hanno espansione frazionale nita sono
potenzialmente delle serie: essi, infatti, sono la somma di ogni
cifra della loro espansione frazionale, moltiplicata per lesponente
cor0 1 rispondente (ad esempio, 2 + 8 102 + . . . ). Ritroviamo 7 =
0 10 + 2 10 qui in Hegel quellattenzione per i simboli e per le
notazioni che avevamo visto essere propria di Leibniz, quella
elevata considerazione dei simboli che li rende parte integrante
dellessenza dellente indicato. Qual` e, dunque, la scrittura
preferibile? Il rapporto o la serie? La risposta dovrebbe essere
ovvia, data lavversione hegeliana per ogni tipo di cattivo innito.
Inutile dire, infatti, che per Hegel con la serie sparisce anche il
lato secondo cui il frutto [cio` e lente matematico], come gi` a fu
mostrato, aveva linnit` a in lui [G.W.F. Hegel - 1968, pag. 272], e
che linnit` a della serie sia la cattiva innit` a del progresso.
Hegel, infatti, riconosce pure che linnit` a` e entrata qui [nella
serie] in unaltra maniera: vale a dire che la serie stessa ` e
innita: nella sua totalit` a, infatti, nellinnit` a dei suoi
passaggi, la serie equivale al rapporto, esprime realmente lo
stesso ente matematico. Ma mentre il rapporto lo esprime
immediatamente e compiutamente, contenendo in s e linnito
aermativo, al numero di volte, che ` e espresso in serie, manca
sempre qualcosa, cosicch e per raggiungere la determinatezza
richiesta si deve oltrepassare quello che ` e stato posto. ` E da
questo discorso, dunque, che prende le mosse la teoria hegeliana
degli innitesimi. Anche nellinnitamente piccolo, infatti, il vero
innito ` e conte, e non negli innitesimi separati dx e dy : le nuto
solamente nel rapporto dx dy forme che di esse [le grandezze
variabili] si presentano, dx e dy , debbono dx assolutamente
prendersi solo come momenti di dx dy , e lo stesso dy si deve
riguar` dare come un unico segno indivisibile [G.W.F. Hegel - 1968,
pag. 297]. E quindi il rapporto, e solo esso, che ha lincredibile
capacit` a di trasformare la quantit` a in qualit` a, di togliere
il quantum e di superarlo, per poi farlo ritorna-
3.3
Dallinnitesimo al sistema
25
re in s e dalla sua dierenza, oltrepassando i limiti e le
barriere quantitative [R. Bodei - 1975, pag. 236]. Nelloriginale
concezione hegeliana, dunque, una cosa non svanisce
nellassolutamente piccolo, come non va oltre di s e
nellassolutamente grande [R. Bodei - 1975, pag. 236]. Per Hegel,
infatti, la grandezza scompare del tutto nellinnitamente piccolo,
non rimane nulla di essa se non la sua qualit` a, un sistema di
rapporti. Infatti, poich e la grandezza ` e essenzialmente questo:
non ` e una determinatezza della cosa stessa, essa non ha realt` a
sua propria, ma ` e necessariamente un derivato da qualcosa di pi`
u fondamentale. Questo qualcosa ` e appunto il sistema di momenti
in cui si viene a generare tutto linsieme dopo la scomparsa della
quantit` a e la sua trasformazione in rapporto [R. Bodei - 1975,
pag. 237]. In questo sistema di momenti ritroviamo tutte le
caratteristiche della dialettica hegeliana: esso, infatti, ` e
ununit` a di opposti che non sono nulla al di fuori di questa
opposizione, al di fuori di questo rapporto [R. Bodei - 1975, pag.
237], ` e una sintesi perfettamente hegeliana di tutti i momenti,
di tutte le quantit` a innitesime. In questo sistema, il dx non
esiste pi` u di per s e, in quanto nito, ideale, slegato da tutto
il resto del sistema: il dx equivale dunque agli indivisibili di
Cavalieri, ` e la presunta ultima grandezza possibile che, per` o,
non esiste in quanto tale, ma ` e posta solamente come tesi.
Negando se stesso nellinnit` a di tutto il sistema, nella totalit`
a di tutti i momenti, linnitesimo entra nella sintesi di tutto
linsieme, scomparendo nella sua nitezza e conservandosi come
rapporti: la quantit` a evanescente [` e] contemporaneamente
conservata e soppressa (proprio aufgehoben, come gli opposti
dialettici), utilizzata e ripudiata, [` e] = 0 e non lo [` e] [R.
Bodei - 1975, pag. 229]. Gli innitesimi, come scrive lo stesso
Hegel, si tolgono nellatto stesso in cui vengono rappresentati
nella loro opposizione al sistema come unit` a [R. Bodei - 1975,
pag. 237]. Come in ogni sintesi dialettica, duqnue, ci` o che ha
valore non sono pi` u le cose isolate, gli enti presi di per s e,
ma solo le loro relazioni e, soprattutto, le loro opposizioni, come
prima e pi` u importante forma di relazione: come momento esso
[linnito o linnitesimo] ` e in unit` a essenziale col suo altro,
solo come determinato mediante questo altro, vale a dire ha un
signicato solo in relazione a qualcosa che sta con lui in rapporto
[G.W.F. Hegel - 1968, pag. 269]. Questa concezione hegeliana
dellinnitesimo non ebbe, purtroppo, molta fortuna in matematica: si
pu` o solo ravvisare in essa, e nella eliminazione del dx in quanto
tale, unanticipazione di quanto verr` a dopo, un preludio al nuovo
concetto di limite portato da Weierstrass, e gi` a anticipato, come
abbiamo visto, da Newton. La sua scarsa risonanza nellambiente
matematico, per` o, non giustica il modo in cui linnitesimo
hegeliano ` e stato dimenticato: esso rappresenta, infatti, uno dei
primi tentativi di giusticare losocamente i fondamenti della
matematica, una delle prime visioni losoche delluniverso
matematico. In questo Hegel, abilissimo nellincludere nel suo
sistema qualunque branca del sapere, ` e riuscito perfettamente nel
suo intento, lasciandoci una teoria compiuta e fondata su un
solidissimo retroterra losoco, incastonata perfettamente nella
armoniosa organicit` a della losoa hegeliana.
3.3
Dallinnitesimo al sistema
La teoria hegeliana dei quanti inniti riserva ancora molti
spunti interessanti. Facendo essa infatti parte del complesso
sistema hegeliano, che ` e esso stesso
26
3
LINFINITESIMO IN HEGEL
frutto di una armonica sintesi dialettica fra tutte le
suddivisioni parziali della totalit` a del sapere, la sua
importanza sta proprio nella sua relazione con tutto il sistema,
nella sua capacit` a di essere, da sola, immagine della totalit` a
della losoa hegeliana. Essa pu` o essere, come ogni altra
partizione del sistema, il punto di partenza per esporre, con la
sua terminologia, tutta la losoa hegeliana. 3.3.1 Matematica,
realt` a e storia
` innanzitutto importante vedere come questa concezione
innitesimale sia traE sposta nella polemica hegeliana contro
Schelling, come cio` e essa possa essere trasferita dalla realt` a
matematica alla realt` a tout court. Alla visione schellighiana
della realt` a, fatta di momenti quantitativamente dierenti in
progressione ascendente (simile alla serie di potenze a, a2 , a3 ,
. . . , an , . . . ), Hegel sostituisce infatti una visione
qualitativa della realt` a, in cui tutti i quanta niti divengono
rapporto, relazione sussistente entro tutta la realt` a, no alla
relazione innitesima dx . Hegel ci d` a dunque unimmagine della
realt` a come regolata dalla qualit` a dy piuttosto che dalla
quantit` a, e mentre in Schelling lAssoluto era un insieme di
dierenze meramente quantitative [R. Bodei - 1975, pagg. 237-238],
la totalit` a della realt` a diviene qui sistema di momenti
qualitativi, che non annullano le dierenze fra le varie nit` a, ma
eliminano la loro stessa nitezza, il loro essere separate le une
dalle altre. Allo stesso modo, la visione matematica pu` o essere
trasferita allepoca che Hegel vive, a quella et` a di gestazione e
di trapasso a una nuova et` a (come egli la denisce nella
Prefazione alla Fenomenologia dello spirito ) in cui lo spirito ha
rotto i ponti col mondo del suo esserci e rappresentare, durato no
ad oggi. Il vecchio mondo, infatti, non si distrugge radicalmente:
si dissolve, si sbocconcella, ma non cade nel nulla [R. Bodei -
1975, pag. 238]. Piuttosto che disintegrarsi o modicare lentamente
la sua natura quantitativa, infatti, il vecchio mondo si frammenta,
si divide in una totalit` a di dx quasi impercettibili, che non si
risolve in lente modicazioni, ma in rivoluzioni . Per cambiare
assetto, la realt` a si riorganizza, riordina il suo insieme di
rapporti, raggiungendo, secondo Hegel, la sua compiutezza, il
momento in cui la quantit` a, lidealit` a, la nitezza sarebbero
state denitivamente sostituite dalla qualit` a, dalla concretezza,
dallinnit` a: lo spirito che si forma matura lento e placido verso
la sua nuova gura e dissolve brano a brano ledicio del suo mondo
precedente [R. Bodei - 1975, pag. 238]. Da questa particolare
concezione di mutamento deriva anche la critica di Hegel al
ciceroniano historia magistra vitae e alle utopie come inversioni
positive del presente: poich e ogni nuova gura dello svolgimento
dialettico del reale, ogni nuovo mondo ` e qualitativamente
diverso, irripetibile, allora lo studio parziale di qualsiasi mondo
nito, di qualsiasi momento storicamente determinato, di qualsiasi
gura, di qualsiasi sistema di rapporti slegato da quelli passati e
da quelli futuri, non pu` o portare a delle considerazioni generali
sullo sviluppo della storia e su ci` o che accadr` a. Infatti se `
e pur vero che il passaggio da un momento allaltro ha il carattere
della necessariet` a, che lo sviluppo storico dei sistemi di
rapporti ` e destinato ad evolversi progressivamente, ` e pur vero
che linterpretazione corretta di questo sviluppo pu` o essere solo
data a posteriori, riguardando allo sviluppo della realt` a come fa
la nottola di Minerva che si risveglia solamente a sera, quando il
giorno ` e ormai concluso. Hegel vede perci` o come anche la storia
debba risolversi in un sistema di rapporti, come non solo la
3.3
Dallinnitesimo al sistema
27
retta dei numeri, non solo la totalit` a della realt` a ma anche
linsieme di tutte le realt` a storicamente determinate sia, in
verit` a, un sistema organico di rapporti, in cui ogni momento
determinato si annulla e si conserva come il dx nella totalit` a
dei numeri. Il concetto di mutamento pu` o essere dunque derivato
da questa concezione del calcolo innitesimale. Data la
determinazione qualitativa della realt` a sul modello della
determinazione innitesimale dei numeri, infatti, risulta chiaro
come il movimento del reale ha i caratteri di una lenta
rivoluzione, simile a quella del sole nella volta celeste. Il
passaggio da unepoca ad unaltra non avviene dunque, come gi` a
accennato, ex abrupto, ma ` e frutto di una lunghissima serie di
piccolissimi mutamenti, che ` e compito della losoa identicare come
segnali di unepoca di rivoluzione. Simile allaruspice del mondo
antico, che interpretava le viscere degli animali, il volo degli
uccelli e i sorprendenti fenomeni naturali, luomo hegeliano
interpreta le minute vibrazioni del reale alla ricerca di una
tendenza globale. Se non facesse cos` , ritornerebbe a considerare
le piccolezze nite del reale, i dx slegati dalle loro relazioni con
tutto linsieme, i granelli del Monte Bianco, cio` e linnitamente
piccolo ed insignicante del senso di Wol [R. Bodei - 1975, pag.
240]. 3.3.2 Finito e innito
Linterpretazione hegeliana dellanalisi innitesimale riesce bene
a spiegare anche il rapporto fra nito ed innito, uno dei capisaldi
della losoa hegeliana. Nel corso degli anni si sono succedute
molteplici interpretazioni di questo rapporto: negli anni fra il
1948 ed il 1962, in particolare, la losoa italiana vicina a Galvano
Della Volpe (1895-1968), Lucio Colletti (1924-2001) e Nicolao
Merker (1931), in contrasto con la tradizione idealistica di cui
era stato espressione Giovanni Gentile (1875-1944) ha interpretato
questo rapporto come una distruzione del nito, come un totale
rigetto del sensibile e del nito che sarebbe nato sul terreno della
mistica o del ritorno a Platone [R. Bodei - 1975, pag. 240]. In
realt` a, come spiega giustamente [R. Bodei - 1975], facendo
nascere questo rapporto sulla base del calcolo innitesimale e della
sua metasica, esso risulta molto pi` u chiaro da esporre e da
comprendere. Il nito, infatti, non ` e in Hegel distrutto
totalmente, ma vive nel suo stesso annullarsi, nellintegrale
dellintero [R. Bodei - 1975, pagg. 242-243]. Il punto centrale ` e,
infatti, il grande interesse che Hegel ha per il continuo mutamento
del reale piuttosto che per la sua statica. Dato questo interesse,
Hegel vuole concentrarsi sul presente, sul momento eternamente
stante davanti ai nostri occhi e sempre diverso, in cui proprio i
mutamenti accadono. Egli vuole superare loperato astratto di Kant,
che guarda solo sopra di s e e dentro di s e, non vuole negare il
nito come i romantici o Fichte, che portano ad un progresso innito
per raggiungere linnit` a e, dunque, alla mestizia del nito che,
conscio di non esistere di per s e, guarda allinnito come ad un
punto ideale. La losoa di Hegel, invece, ` e una losoa che vuole
assistere alla negazione del nito, per arontarla e superare la
devastazione causata da essa: il pensiero della nit` a delle cose
porta con s e questa mestizia poich e una tal nit` a` e la
negazione qualitativa spinta al suo estremo [G.W.F. Hegel - 1968,
pag. 129]. Nonostante ci` o, nonostante questo travaglio del
negativo a cui luomo hegeliano deve prestare attenzione, il nito
non ` e completamente distrutto, ma
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3
LINFINITESIMO IN HEGEL
solamente riorganizzato in un nuovo sistema di rapporti. Esso,
infatti, non avrebbe potuto n e morire del tutto, senza una
controparte, facendo precipitare la realt` a nel nulla, n e
annullarsi nellinnito. Questutlimo ha infatti non meno idealit` a
del nito, tanto ` e vero che chi pensava che Hegel avesse distrutto
lidea di un Dio trascendente identicava questo Dio con linnito
matematico, arrivando ad appellare Hegel come distruttore
dellinnito. Ci` o che interessa veramente a Hegel ` e perci` o,
come abbiamo gi` a sottolineato, il movimento, il cambiamento, la
dinamicit` a del reale, e in particolare labilit` a di nito ed
innito di tornare ciascuno a s e per mezzo della propria negazione,
di trasformarsi luno nellaltro e di completarsi. Il nito sarebbe
dunque ideale senza linnito, mentre una negazione troppo drastica
del nito avrebbe un risultato simile a quello chtiano, di mestizia
e devastazione. La negazione del nito deve dunque ricalcare quella
del dx, deve negare solamente la sua realt` a astratta, al di fuori
del rapporto con ogni altro nito, cos` come il dx era stato negato
solo come preso al di fuori del rapporto e della relazione dx dy e
non in quanto tale. Cos` come il quantum matematico non ` e morto
del tutto ma ritorna b nellintegrale a y dx, operazione inversa del
rapporto dx/dy , cos` il nito torna come soggetto di relazioni
allinterno di una totalit` a pi` u vasta: linnito e il nito stan
cost` solo come momenti di un tutto, e [...] si presentano ciascuno
solo per mezzo del suo opposto, ma insieme [...] per mezzo del
togliere del suo opposto. Proprio per questo, dunque, ` e errato
pensare, come la concezione comune fa, che Hegel identichi il nito
ed il sensibile come vuota apparenza, come accessorio. In realt` a,
sia il nito che linnito esprimono quella stessa totalit` a,
espressa dallo spirito come conuenza del tutto [R. Bodei - 1975,
pag. 244]. Per questo anche il mondo sensibile, se riguardato in
rapporto con il vero e proprio idealista, cio` e con lo Spirito,
pu` o essere un utile oggetto di studio, che vada elaborato come il
lavoro umano elabora le materie prime, idealizzandole e plasmandole
ad uno scopo ben preciso. Luomo hegeliano, perci` o, non deve
guardare con sdegno n e al quantum n e al nito, perch e entrambi
sono stati conservati prima di essere tolti nel processo
dialettico, cos` come non deve guardare con disprezzo al sensibile,
perch e espressione della stessa totalit` a di cui ` e espressione
lo spirito. Questo ` e, in fondo, il vero spirito di Hegel, una
volont` a di conservazione di ogni aspetto del reale, per
incastonarlo in una teoria che lo comprenda tutto, ogni suo
aspetto, branca e meandro, come un gioiello ornato di tutte le
gemme esistenti. 3.3.3 Calcolo, esperienza e conoscenza
Lultimo ambito in cui il calcolo si rivela illuminante ` e la
teoria hegeliana del` proprio il passaggio fra queste due, infatti,
lesperienza e della conoscenza. E lambito in cui si riscontra il
maggiore parallelismo con la teoria hegeliana degli innitesimi.
Mettendo infatti in rilievo la legge della continuit` a, cio` e
quella legge che permette il conservarsi del rapporto per mezzo del
dileguare dei quanti, [R. Bodei - 1975, pag. 245] e consente di
mettere in rilievo il puro rapporto e di far dileguare la
determinazione irrelativa [G.W.F. Hegel - 1968, pag. 284] (cio` e
quella che d` a realt` a al quanto anche quando ` e fuori da un
rapporto), Hegel paragona il suo ruolo, ed il procedimento operato
nel passaggio dal dileguare dei quanti al sistema di r
![lezione5 [modalità compatibilità] - docente.unicas.it · teorema di bernoulli sotto la spinta della pressione p1e della forza peso, il fluido scende nel condotto fino ad arrivare](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5bacaeef09d3f2b47d8c046e/lezione5-modalita-compatibilita-teorema-di-bernoulli-sotto-la-spinta-della.jpg)
