Il piano fattoriale a due fattori

Il piano fattoriale a due fattori

• Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie

Tipo di Materiale

Temperatura (°F)

15 70 125

1130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

2150 188 136 122 25 70

159 126 106 115 58 45

3138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,

indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al temperatura)

Durata Batterie


• Piano completamente causalizzato

abnababnaaanaaa

bnbbnn

bnbbnn

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

,...,,...,...,,,...,,

............

,...,,...,...,,,...,,

,...,,...,...,,,...,,

212222111211

222122222222121212211

121111212212111112111

Fattore B1 2 … b

Fat

tore

A

1

2

…

a

Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk

nereplicazioesima k

B Fattorelivello esimoj

A Fattorelivello esimoi

k

j

i


• Piano completamente causalizzato

abnababnaaanaaa

bnbbnn

bnbbnn

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

,...,,...,...,,,...,,

............

,...,,...,...,,,...,,

,...,,...,...,,,...,,

212222111211

222122222222121212211

121111212212111112111

Fattore B1 2 … b

Fat

tore

A

1

2

…

a

Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale:

colonna eriga di fattori tra einteraziondell' effetto

colonna B di Fattoredel livello esimoj del effetto

Ariga di Fattoredel livello esimoidell' effetto

generale medio effetto

ji

j

i

jijiij

ijkijijkjijiijkY

dove

,

0

0

0

11

1

1

b

j ij

a

i ij

b

j j

a

i i


• L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione

0)( un almeno:

,0)(:

:eInterazion

0 un almeno:

0...:

:colonna di Effetto

0 un almeno:

0...:

:riga di Effetto

1

0

1

210

1

210

ij

ij

i

a

i

a

H

i,jH

H

H

H

H

H0 = Nessun Effetto

H1 = Presenza Effetto


abn

YYYY

bj

ai

n

YYYY

bjan

YYYY

aibn

YYYY

yyyy

y

y

y

y

a

i

b

j

n

k ijk

ijij

n

k ijkij

jj

a

i

n

k ijkj

ii

b

j

n

k ijki

ij..j.i

ij.

.j.

i

......1 1 1...

..1.

....1 1..

....1 1..

.....

...

..

;

,...,2,1

,...,2,1 , ;

,...,2,1 , ;

,...,2,1 , ;

:mentematematica Espresso

,, ,:medie rispettive le con

niosservazio le tuttedi generale totale

esima-ijcella nella niosservazio delle totale

Bfattore del esimo-j livello col effettuate niosservazio delle totale

A fattore del esimo-i livello col effettuate niosservazio delle totale


• La somma dei quadrati totale corretta può essere scritta come:

2

1 1 1 .

1 1

2

........1

2

.....1

2

.....

2

1 1 1.........

..........2

1 1 1 ...

a

i

b

j

n

k ijijk

a

i

b

j jiij

b

j j

a

i i

a

i

b

j

n

kijijkjiij

jia

i

b

j

n

k ijk

YY

YYYYnYYanYYbn

YYYYYY

YYYYYY

Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:

EABBAT SSSSSSSSSS

Riarrangiando


• Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è:

1

1

11

1

1

abnTotale

nabErrore

baABeInterazion

bB

aA

libertàdiGradiEffetto

I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.


• Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74-79):

2

1 1

2

2

1

2

2

1

22

1)(

1111)(

11)(

11)(

nab

SSEMSE

ba

n

ba

SSEMSE

b

an

b

SSEMSE

a

bn

a

SSEMSE

EE

a

i

b

jABAB

b

jBB

a

iAA

ij

j

i

Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati

Dimostrazione esemplificativa


ti! trattameniper opera si Similmente

)(

:ha si nullo atteso valorehanno contengono che prodotti doppi i che infine, ed, erroredell' atteso valoreil nullo assunto

stato essendo termineil che presente tenendoquantità, delle atteso valoreil calcolando quadrato, al Elevando

1

1

1)(

:modello il poi, o,Sostituend

1

1

1)(

:quindi e ,/1/21

1)(

,...,2,1

,...,2,1 , ; :che presente però Tenendo

21

1

1)(

:cui da , :edefinizionPer

1)(

2

22

1 1 1 1

2

11

2

1 1 1 1

2

1

2

1 1 1 1 1

2

1

2

1

2

..1.

1 1 1

2.

2

2

1 1 1 .

2

1 1 1 .

2

.

..

.

E

ijk

a

i

b

j

a

i

b

j

n

k ijkjiji

n

k ijkjijiE

ijkjijiijk

a

i

b

j

a

i

b

j

n

kE

a

i

b

j

a

i

a

i

b

j

b

j

n

kE

ijij

n

k ijkij

a

i

b

j

n

k ijijk

a

i

b

j

n

k ijijk

E

a

i

b

j

n

k ijijkE

EE

MSE

nE

nabMSE

Y

Yn

YEnab

MSE

YnYnYEnab

MSE

bj

ai

n

YYYY

YYYYEnabnab

YYEMSE

YYSS

nab

SSEMSE

ijk

ijijk

ijijijk

ijijk


• Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore.

• Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1


• Se i termini di errore ijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante 2:Origine della

variabilitàSomma dei

quadratiGradi di libertà

Media dei Quadrati F0

A trattamenti SSA a-1 MSA= SSA/(a-1) MSA/MSE

B trattamenti SSB b-1 MSB= SSB/(b-1) MSB/MSE

Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB= SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE

Errore SSE ab(n-1) MSE= SSE/(ab(n-1))

Totale SST abn-1


• Le somme dei quadrati possono essere anche calcolate manualmente, comunque si suggerisce l’uso di un calcolatore

ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YY

nSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1

1

SSSubtotali

Progettazione batteria













Progettazione batteriaM

ean o

f R

ispost

a

321

150

140

130

120

110

100

90

80

70

601257015

Materiale Temperatura

Main Effects Plot (fitted means) for Risposta


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

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j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

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j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1





ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


ABBATE

BA

a

i

b

jAB

b

jB

a

iA

a

i

b

j

n

kT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

YYSS

abn

YY

anSS

abn

YY

bnSS

abn

YYSS

ij

j

i

ijk

2...

1 1

2

2...

1

2

2...

1

2

2...

1 1 1

2

.

..

..

1

1


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