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Il ruolo del linguaggio nell’apprendimento della matematica
Pier Luigi Ferrari Università del Piemonte Orientale
ad Alessandria http://www.mfn.unipmn.it/pferrari
Schema
Sistemi semioticiLingue
Linguaggio della matematica
Linguaggio e apprendimento
Quale educazione linguistica?
Qualche idea per l’insegnamento
Autoriferimenti
Ferrari, P.L.: 2004, Matematica ed Educazione: il ruolo fondamentale dei linguaggi, Sem.Naz. di Ricerca in Didattica della Matematica, sessione XXI, http://www.dm.unito.it/semdidattica/
Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Bologna: Pitagora Editrice.
Ferrari, P.L.: 2003, 'Costruzione di competenze linguistiche appropriate per la matematica a partire dalla media inferiore', L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.26A, N.4, 469-496.
Ferrari, P.L. & L.Lunardi: 2005, ‘Inventare notazioni per risolvere problemi’, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.28°, N.5, 451-474.
Sistemi semiotici
Linguaggio verbale Scritto, orale
Notazioni simboliche Aritmetica, algebra
Rappresentazioni figurali Figure geometriche, grafici, immagini
Da un libro di testo
L'intersezione dei due insiemi A e B, e si scrive AB, è l'insieme {x | xA e xB}.
L'intersezione di A e B è così l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Vediamo quali sono le intersezioni degli insiemi visti sopra per illustrare l'unione. Per un qualunque insieme A, è AA=A, e anzi se B è un sottoinsieme di A, è AB=B.
La distanza di un punto generico (x,y) dall'origine (0,0) è data da:
La condizione che la distanza sia uguale a 1 (cioè il raggio) è data da:
2 2x y+
2 2 1x y+ =
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
-1
1
x
y
Lingua
Sistema semiotico umano, storicamente determinato
Creatività possibilità di creare insiemi infiniti di
segniDoppia articolazione
Frasi morfemi fonemiRiflessività discorsiva
Testi che analizzano altre rappresentazioni
Comprensione dei testi
Teorie del codice L’interpretazione dei testi avviene per
mezzo della grammatica e del dizionario.
Teorie dell’inferenza L’interpretazione dei testi richiede
attività creativa del soggetto, quindi anche un’enciclopedia.
Matematica e rappresentazioni
Non esistono accessi alle idee matematiche se non attraverso rappresentazioni.
Sono necessarie rappresentazioni non iconiche
Ad esempio: Insiemi infiniti Retta
Stat rosa pristina nomine,
nomina nuda tenemus
Rappresentazioni multiple
Problema cognitivo: distinguere un concetto matematico dalle sue rappresentazioni
Esigenza di disporre di almeno due rappresentazioni distinte dello stesso concetto: Conversioni da un sistema all’altro
Coordinamento di più rappresentazioni
Esempi
Numeri Dita della mano Costellazioni Insiemi di oggetti Scrittura in base dieci Regoli Abaco Linea dei numeri …
Esempi
Funzioni Descrizione verbale Equazione y = f(x) Grafico Tavola valori
Punti di vista su apprendimento e
linguaggi
Ipotesi denotazionale
I concetti si costruiscono indipendentemente e i sistemi di segni servono solo per rappresentarli. Piagetiani ortodossi, cognitivisti,
Lakoff & Nuñez, …
Ipotesi strumentale
La costruzione dei concetti richiede la disponibilità di sistemi di segni. Vygotskij, Bruner, Duval, Sfard,
approcci discorsivi, socioculturali, … Il pensiero è una forma di
comunicazione (A.Sfard) Apprendimento matematico come
partecipazione a un discorsoNon c’è noesis senza semiosis
(R.Duval)
Per l’ipotesi denotazionale la povertà linguistica è un grave ostacolo alla comunicazione dei concetti in corso di apprendimento ma non al loro sviluppo.
Per l’ipotesi strumentale la povertà linguistica è un grave ostacolo allo sviluppo del pensiero:Povertà di linguaggio povertà di pensiero
Funzioni cognitive
Reificazione
Fissare pensieri, processi, ipotesi, relazioni in oggetti che possono essere studiati e trasformati. Testi scritti Espressioni simboliche Rappresentazioni figurali
Trattamento
Testi scritti parafrasi, riassunto, …
Espressioni simboliche Prodotti notevoli, sostituzioni,
derivate, …
Rappresentazioni figurali Trasformazioni geometriche,
operazioni su grafici, …
Esempi
Esecuzione di algoritmi Operazioni in colonna Equazioni Costruzioni con riga e compasso Trasformazioni geometriche Operazioni sui grafici delle funzioni
reali
Calcoli
Algoritmi di calcolo in colonna
2643 554=
10572#
13215##
13215###
1464222#
Quanto vale il prodotto di MMDCXLIII per DLIV?
Notazione algebrica
Trouame 1.n° che gioto al suo qdrat° facia.12(Luca Pacioli, 1445 - 1514)
Qdratu aeqtur 4 rebus p:32(Girolamo Cardano, 1501 - 1576)
x+x2 = 12
x2 = 4x+32
Riflessività discorsiva
Con le lingue si esprimono giudizi su rappresentazioni di ogni tipo.
Lingua come guida del pensiero
Caratteristiche del linguaggio
matematico
Scarsa dipendenza dal contestoSignificato come prodottoTesti pianificati e gerarchizzatiEsplicitazione nessi con la sintassiDistanza, mancanza di feedback
Testi scritti, espressioni simboliche, rappresentazioni visuali
Caratteristiche del linguaggio colloquiale
Forte dipendenza dal contestoSignificato come processoTesti poco pianificatiRuolo minore della sintassiInterazioni, feedback, negoziazione
significati
Testi orali, testi informali, schizzi
" Il nostro edificio si compone di 3 rettangoli 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.
Testi orali e testi scritti(Duval, 2000)
Accessibilità Memoria a breve
Autonomia del ricevente Il lettore ha più ‘potere’ dell’ascoltatore Interpretazione globale
Attività metalinguistica La riflessione sull’adeguatezza di un testo
è più agevole se questo è in forma scritta. Testi matematici
Testi orali, testi scritti provvisori, testi scritti stabili I testi scritti provvisori hanno
caratteristiche intermedieFunzioni linguistiche profondamente
diverseOrganizzazioni testuali
profondamente diverseFunzioni cognitive profondamente
diverseAppartenenza riconoscibile a una
stessa lingua
Modi espressivi tipici della forma orale o delle scritture informali possono essere più adatti per trattare idee provvisorie o in formazione.
Il punto di vista della pragmatica
Testi per rappresentare e descrivere ma anche per raggiungere scopi
Registri linguistici come varietà d’uso dei linguaggi in relazione a contesto e scopi
Registri: orali – scritti colloquiali – evoluti
Usi linguistici in matematica come registri Non come insiemi di convenzioni
La mia tesi fondamentale è:
I registri matematici sono casi estremi di registri evoluti.
Le caratteristiche linguistiche che distinguono i registri evoluti da quelli
colloquiali sono presenti in forma massiccia ed estrema nei registri
matematici.
In classe
Durante le attività di matematica devono essere realizzate funzioni di: Comunicazione Relazione interpersonale Organizzazione delle conoscenze Esecuzione di algoritmi
In altre parole devono essere usati sia modalità tipiche dei registri colloquiali sia modalità tipiche dei registri matematici.
Un esempio
Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ corrisponde a scopi di organizzazione della conoscenza.Ma scopi di comunicazione interpersonale sono meglio realizzati da ‘quadrato’
Un altro esempio
1 1 5 3...
3 5 15 15
Le trasformazioni1 5 1 33 15 5 15
non corrispondono a finalità comunicative riconoscibili ma soprattutto a esigenze computazionali.
Tutto questo richiede:
Capacità di gestire il rapporto fra testo, contesto e scopi
Capacità di usare i registri evoluti
Flessibilità per passare da un registro all’altro in funzione degli scopi
La notazione simbolica dell’algebra
Il simbolismo algebrico - 1
Regole di trasformazione che non dipendono dai significati
Regole decidibili (è automatico stabilire se sono applicabili o no)
Proprietà testuali diverse dai linguaggi verbali
Il simbolismo algebrico - 2
2 tipi di espressioni
Termini: corrispondono ai nomi 2 x 2+x
Formule: corrispondono alle frasi 2+x =1 2=3-1 2 >3
Senso e riferimento -1
Le espressioni 5 6-1 15:3 min{7, 6, 5} 10log5
1+1+1+1+1 4.999999…
rappresentano lo stesso numero (hanno lo stesso riferimento) ma hanno sensi diversi.
Senso e riferimento -2Le proprietà matematiche hanno prevalentemente a che fare con i riferimenti.
P(5) se e solo se P(1+1+1+1+1)
1 5 1 33 15 5 15
Problema In una città si è calcolato che in media ogni tre gatti (G) ci sono quattro cani (C).
Quali fra le seguenti formule rappresentano tale relazione?
3 4 3 4
3 4 73 4
G C C G
G CG C
Risposta frequente: 3G = 4C
ogni tre gatti ci sono quattro cani
Congruenza semantica
“sette è maggiore di cinque”, 7>5 sono congruenti fra loro
“cinque è minore di sette”, 7<5 sono congruenti fra loro
Le espressioni del primo gruppo sono logicamente equivalenti ma non congruenti a quelle del secondo gruppo.
Se C rappresenta il numero dei cani e G quello dei gatti“Ogni tre gatti ci sono quattro cani”
3 G = 4 C non è equivalente alla frase data.
4 G = 3 Cnon è congruente ma è equivalente alla frase data.
Sintassi
Notazioni simboliche: sintassi rigida
‘=’ è un predicato a due argomenti
Per affermare che i numeri x, y, z sono uguali fra loro servono tre equazioni
x=y, y=z, x=z
Linguaggio verbale: sintassi rilassata
Numero di argomenti variabile
“Gli uomini sono tutti uguali”
Organizzazione dei testi
Nei registri quotidiani l’organizzazione del testo è finalizzata a scopi comunicativi.
Nella notazione algebrica è condizionata dalla sintassi e dall’esecuzione di algoritmi.
È ieri che Carlo è andato a giocare a tennis con Mara al circolo.
È Carlo che è andato ieri a giocare a tennis con Mara al circolo.
È a tennis che Carlo ha giocato ieri con Mara al circolo.
È Mara la persona con cui Carlo ha giocato a tennis ieri al circolo.
È al circolo che Carlo è andato ieri a giocare a tennis con Mara.
In 5<7 il tema è ‘5’.
In 7>5 il tema è ‘7’.
Le due formule sono matematicamente equivalenti.
La scelta fra le due spesso dipende da esigenze non comunicative ma tecniche, in relazione al formato dei dati disponibili.
ProblemaBill e Tom giocano a dadiAll’inizio Bill ha il doppio dei dollari di TomBill perde 100$ (e Tom ne vince altrettanti)Alla fine del gioco Tom ha una volta e mezza i dollari di BillScrivete due equazioni colle lettere B, T per esprimere le relazioni iniziale e finale fra i dollari posseduti da Bill e Tom
Risposta frequente:
2
1,5
B T
T B
B e T sono interpretati come indicali
IndicaliGli indicali (riferimenti deittici) sono quelle espressioni la cui interpretazione richiede informazioni sul contesto in cui sono state prodotte e che si aggiornano automaticamente.Oggi, quello, qui, lui, la mia età, i tuoi soldiLa notazione algebrica non ha indicaliQuest’anno: La mia età xFra un anno: La mia età x +1
Dizionario
Linguaggio verbale
Possibilità di costruire termini composti buona ma non illimitata
Ampia scelta di predicati (verbi)
Notazione algebrica
Possibilità di costruire termini composti illimitata
Pochissimi predicati (=, …, <, >, …)
Nominalizzazione
n è parin è disparix è il doppio di yx supera y di 50m è maggiore o
uguale di nm è maggiore di n
k(n=2k)k(n=2k+1)x = 2yx = y+50k(m=n+k)
k(m=n+k+1)
Aspetti percettiviLa regola
(x+y)2 = x2+2xy+y2
ha minore salienza visuale rispetto a(xy)2 = x2y2
Questo può indurre gli studenti a conformare la prima alla seconda.
Esempi di regole salienti
w y wyx z xz
w y wz xyx z xz
Esempi di regole non salienti
nn nxy x y
2 2 ( )( )x y x y x y- -
Esempi di ‘maleregole’
w y w yx z x z
nn nx y x y
Implicazioni didattiche
Le difficoltà di comunicazione possono rendere vano ogni altro intervento.
In certi casi è futile ragionare solo sui contenuti disciplinari.
È inutile spiegare più volte un concetto se l’interlocutore non capisce quello che diciamo.
Rapido mutamento dei comportamenti linguistici, delle competenze e delle difficoltà
All’insegnante non basta più l’esperienza: ogni 2-3 anni può trovarsi davanti situazioni completamente diverse.
Classi multilingue
In molti paesi occidentali ormai è il problema principale.Quanta e quale competenza linguistica serve a uno studente non madrelingua per affrontare le discipline?
La tecnologia spesso contribuisce al degrado della competenza linguistica (cellulari, televisione, videogiochi, …)
Tuttavia mette a disposizione opportunità enormi, che vanno sfruttate:
comunicazione interazione sistemi semiotici
elaborazione testinotazioni simbolichevisualizzazione, figure, grafici, …
e-learning
ComunicareLe modalità di comunicazione sono
fondamentali. Aspetti usualmente trascurati influenzano
gli atteggiamenti degli studenti. Tempo di esposizione adeguato per
svolgere inferenze.Conoscenze contestuali indispensabili
per svolgere inferenze (‘enciclopedia’) Le definizioni astratte non sono a costo
zero.
Evoluzione competenze linguistiche
Nuove tecnologie
Rappresentazioni visuali
Forme di comunicazione che penalizzano L’esplicitazione dei significatiLa riflessione sui testiLa possibilità di inferenze consapevoli
Educazione linguistica
Metodi tradizionali inefficaci Modelli grammaticali Scarsa attenzione a usi, contesti e
scopi Separazione fra educazione
linguistica e scientificaConvinzioni, atteggiamenti
Obiettivi
Consapevolezza metalinguistica Relazione testi – contesti (scopi, …) Controllo sui testi Uso flessibile dei registri
Registri matematici registri colloquiali
Uso registri evolutiCoordinamento di sistemi semiotici
Consapevolezza metalinguisticaUso registri evolutiCoordinamento di sistemi semiotici
non sono risorse naturali per tutti.Devono essere costruite attraverso attività specifiche.
In altre parole: non esiste il ‘linguaggio
naturale’