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IM250 Prof. Eugênio Rosa
Parte II
Formulação Integral
das Equações de Transporte
- Exercícios e Eq. da Energia
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Eq. da Massa
rsys V.C. S.C
dM dd n V dA 0
dt dt
rrÒ
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Eq. da Q. Movimento
• As velocidades são medidas do referencial (xyz),
• onde a aceleração relativa, arel é,
xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel
V.C. S.C. V.C.
dV d n V V dA F F F a d
dt
r r r r r rr rÒ
2
rel xyz2
d R da r 2 V r
dt dt
r r rr r r r r r
CAMPO
V.C.
SUP
S.C. S.C.
MEC
F gd ; atua em todo o V.C.
F n p dA n dA; atua somente na S.C.
F um eixo ou barra cruza a S.C.
r r
r r r
rÒ Ò
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Seção a-b aproxima-se um perfil uniforme com velocidade UoSeção c-d devido à viscosidade há um déficit de velocidade, U1Seção b-c há um fluxo de massa cruzando b-c devido a desaceleração do fluidoSeção a-d depende da escolha da S.C. pode haver atrito tauW ou o Arrasto D.
( )1 0 1
Resposta:
; onde w é a largura da placaD U U U wdyr=- -ò
Arrasto Total numa Placa Plana
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Superfície de Controle Deformável
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Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo em U. Despreze o atrito. FILME
h+
h-
g
z
L
Considere:
• S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0
• Tubo c/ seção transversal A constante
• Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dtRef.
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Ex. 4. 191 – Continuação
g
z
x
ho
L
n
V
z1
n
V
z2
fronteiradeformável
S.C.-B
fronteiras fixas
S.C.-A
fronteiradeformável
S.C.-C
ho – nível de equilíbrio
z1 – segue interface SC-A
V1 = dz1/dt
Vol1 = (z1 + ho).Az2 – segue interface SC-B
V2 = dz2/dt
Vol2 = (z2 + ho).A
z1 = - z2
desnível = z1 - z2
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S.C
.-B
fronteira fixa
S.C
.-A
fronteiradeformável
V
z1
V
z2
fronteira fixa
PAPB
Patm
Patm
z
x
ho
g
S.C.-C
PBPA
trecho horizontal
L
0
0
2
2 L2h0 n L
2h0
h t h Cos td z g 1
: z h tR 1e s g 1dt h 1 f
2 1
p.
h
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Referencial Não Inercial
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O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório com velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função do tempo.
Resposta:
mVj = (M0 - mt).dU/dt
U/Vj = Ln[1-t*] onde t* =t/ e = (M0/m)
UM0Vj
Aj
r
Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro
Ref N.I.
Z
XRef. I.
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Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.
A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental)
Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt
V
Lh(t)
h0S.C. se move junto com o
carro
Ref N.I.Move com
Vcarro
Z
XRef. I.
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O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
U
MVj
Aj
rX
Z
S.C. 1
2
1. S.C. não deformável, Vb =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t);2. A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz
Resposta:
-2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt
U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/( AjVj)
Ref N.I. -> U
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Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de Movimento
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• Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle. Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito na análise.
• Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal.
U1
U2
h1
h2
Po
X
Z
g
R
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U1
U2
h1
h2
Po
X
Z
g
R
2 2 1 1
2 22 2 1 22 2 1 1
2 21 2
2 2 2 1 1 1
mm
m U h U h -------------------------------------------------- massa
h hU h U h R g g --------------------- q. movimento
2 2
h hR U U h U U h g g -------
2 2
22
1 22 1
1
222 1 2
21 1
rearranjo q. mov + massa
h hR m U U g 1 --------------------- rearranjo q. mov
2 h
h h hR mU 1 g 1 ------------------ rearranjo q. mov + massa
h 2 h
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Equação da Energia: 1ª Lei da Termodinâmica
Manuscrito da 1ª Lei Forma integral
no link: 1ª Lei
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Q e W são, respectivamente, o calor e o trabalho que cruzam a S.C.. Lembre-se que Q e W são fenômenos de fronteira. Ao cruzarem a
energia é transformada em energia interna, potencial ou cinética no sistema!
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Convenção dos sinais de Q e W e definição de trabalho
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O C
alo
r: le
i de
Fo
uri
er
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VI é a velocidade absoluta do fluido na fronteira medida de um ref. Inercial.
O T
rab
alh
o n
a F
ron
teir
a
Ti,j dAj
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Par
tiçã
o d
o T
erm
o d
e T
rab
alh
o
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Trabalho de eixo representa todas as outras formas de trabalho a exceção do trabalho de fluxo e das tensões ‘viscosas’
Par
tiçã
o d
o T
erm
o d
e T
rab
alh
o
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Eq
. En
erg
ia:
Ref
eren
cial
Iner
cial
e E
stac
ion
ário
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Trabalho de fluxo
Trabalho recebido (entra) ou realizado (sai) pelo quando um volume de fluido (entra ou sai) do sistema.
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Eq
. En
erg
ia:
Ref
eren
cial
Não
- E
stac
ion
ário
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ter
mo
s d
e T
rab
alh
o d
evid
o a
o
Ref
eren
cial
N
ão-
Est
acio
nár
io
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Eq. da Energia
sys
2I
r
V.C. S.C
dE dt
d Vˆed e n V dA Q W onde e gz u
dt 2
rr & &
14444444444444244444444444443Ò
{
2 2I I
r
V.C. S.C.
h
b
S.C. S.C.
calor cruza S.C. (J s) trabalho pressao (força normal) que cruza
d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA
dt 2 2
dRk n T dA p n V r dA
dt
rr
rrrr r r
144444424444443 I eixo
S.C. trabalho mecânico,
trabalho visc. cruza S.C. (J s) a S.C. devido as velocidades de fronteira, translacao
e rotacao do referencial (J s)
n V dA W rr &
14444442444444314444444444444244444444444443{
elétrico, químico etccruza a S.C. (J s)
Expressando em termos das componentes de ‘e’, utilizando a lei de Fourier e decompondo os termos de trabalho chega-se a:
Nota: um engano comum para quem está iniciando no assunto é confundir a definição de Vr para um referencial não inercial. Ela não muda pois ela é uma velocidade relativa dada pela diferença entre as velocidades do fluido e da fronteira, isto é, Vr = Vf - Vb. Ela é invariante em relação ao referencial.
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Um tanque grande contendo um fluido incompressível tem a válvula aberta para atmosfera em t = 0.
Considere: (i)altura de líquido h0 constante (ii)velocidade no interior do tanque é
desprezível e (iii)escoamento se dá sem atrito. Modele o escoamento no trecho horizontal do tubo.
S.C.
ho ~ const.
U(t)
2
o
oo
dU UResposta : L gh 0
dt 2
2ghU t 2gh Tanh t
2L
Z
XRef. I.
{
b
2 2I I
r eixo
V.C. S.C.
h
Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa V =0 e ref. inercial dR/dt= =0
d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA Q W W
dt 2 2
rr & &
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Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75% , determine a potência necessária para acioná-la.
Considerações:1.D reserv. >> d tubulação2.Vel. Reserv. 03. perdas por atrito desprezíveis
Z1=2 m
weixo
d1=150mm d2=75mm 170kPa
V2=3m/s
Z
XRef. I.
{
b
2 2I I
r eixo
V.C. S.C.
h
Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa V =0 e ref. inercial dR/dt= =0
d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA Q W W
dt 2 2
rr & &
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{
b
2 2I I
r eixo
V.C. S.C.
h
Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa V =0 e ref. inercial dR/dt= =0
d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA Q W W
dt 2 2
rr & &
Bernoulli : um caso especial
• Regime permanente, d/dt = 0• Uma entrada e uma saída• Referencial estacionário,
WVNI = WPNI = 0• Ausência de trabalho de eixo• Fronteira não deformável, Vb = 0
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A igualdade é válida somente se o termo de irreversibilidade for nulo, isto é, se não houver transferência de calor nem atrito viscoso
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Bernoulli
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Um jato de água emerge de um orifício com área A0 e possui uma velocidade V0. A componente horizontal do
jato permanece constante a medida que o jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade resultante do jato Ve, a distância h e a sua área transversal Ae numa seção com 45º de inclinação.
22 2 0e 0 e 0
Resp.
V 2V 2V , h e A A
h 2= = =
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h0
M
Vj
V0
Um disco de massa M é solto de uma altura H > h0 (alt. equilíbrio). Determine h0.
Considere que:(i) Jato de líquido com dens. (i) No bocal: (A, Vj) definidos.(ii) O jato atinge o disco com V0 e é defletido radialmente ao longo da direção X.
( )2 20 j j 0
Re sp.
1V m M g e h V V
2g× = × = -
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• Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios Resolvidos de Q. Mov e 1ª Lei
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Eq. Energia x Q. Movimento
• Para escoamentos incompressíveis, sem transferência de calor (adiabáticos) e em regime permanente, a Equação da Energia e a Equação de Quantidade de Movimento são Linearmente dependentes.
• Consequência: pode-se usar tanto uma quanto outra para resolver os problemas.
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Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.
U
MVj
Aj
rX
Z
S.C.
1
2
S.C. não deformável, Vb =0, mas que se desloca com velocidade U(t)
Resposta: A) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/t e t = (M/2)/(rAjVj)
IM250 Prof. Eugênio RosaVel
oci
dad
es R
elat
ivas
x A
bso
luta
s
Velocidade de um referencial que se move com o carro:
r1 j r2 jˆ ˆV V U i e V V U i
r r
Relação entre Vr e VI -> VI = Vr + U Velocidades inerciais V1 e V2:
1 j j
2 j j
ˆ ˆV V U U i V i e
ˆ ˆV V U U i 2U V i
r
r
U
MVj
Aj
r
X
Z
S.C.
1
2 x
z
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2 2 2I I I
shaft
2 1
V V Vd P Pu gz u gz u gz m Q W
dt 2 2 2
& &&
Isotérmico (u=0), P = Patm sem transferência de calor e trabalho na S.C.:
2 2 2I I I
2 1
V V Vdm 0
dt 2 2 2
&
Fluxo E.K. cruza a S.C.
2
22 2j jI I
j j
2 1
2U V VV Vm V U A
2 2 2 2
&
Variação E.K. dentro do V.C.:
2IVd dU
MUdt 2 dt
Eq. Final 2
j j
dU2 V U A M
dt