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“Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado
à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos”
“Implementação de um Método de Volumes Finitos de Ordem Superior com Tratamento Multibloco Aplicado
à Simulação de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos”
Aluno: Eduardo Moreira de Lemos
Orientadores: Evaristo Chalbaud Biscaia Jr. (PEQ/COPPE/UFRJ)
Argimiro Resende Secchi (PEQ/COPPE/UFRJ)
Programa de Engenharia química
COPPE / UFRJ
Programa de Engenharia química
COPPE / UFRJ
20 de Junho de 2011
A Fluidodinâmica ComputacionalA Fluidodinâmica Computacional
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão de cisalhamento (FOX et al., 2004).
O movimento do fluido é causado pela ação de forças externas.
A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics – CFD) é definida como o conjunto de metodologias que implementadas em um computador permitem simular o escoamento de fluidos (HIRSH, 2007).
A partir da CFD é possível realizar um projeto complexo de engenharia com segurança e confiabilidade de resultados.
2
A Fluidodinâmica ComputacionalA Fluidodinâmica Computacional
3
Técnicas numéricas mais comumente aplicadas na CFD:
Método de Diferenças Finitas (MDF)
Método de Elementos Finitos (MEF)
Método de Volumes Finitos (MVF)
O MVF é o método mais aplicado na resolução de escoamentos de fluidos (CEBECI et al., 2005).
Esta preferência está diretamente relacionada às características conservativas que este método apresenta (MALISKA, 2004).
4
ObjetivosObjetivos
Desenvolvimento e implementação computacional de uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos.
Procedimento fundamentado no método de volumes finitos utilizando malhas estruturadas e arranjos co-localizados das variáveis do problema.
A grande potencialidade deste procedimento está no acoplamento dos esquemas de alta ordem utilizados nas aproximações dos termos advectivos, difusivos e não lineares e as técnicas de partição multibloco utilizada no refino da malha do problema.
5
O Método de Volumes FinitosO Método de Volumes Finitos
xxxxv
yv
x yx
Volume de controle:
O Método de Volumes FinitosO Método de Volumes Finitos
6
Integrando a equação no volume de controle adotado:
1 11 11 11 1 i
i
j
j
j
j
i
i
i
i
j
j
j
j
i
i
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
dydxyy
dxdyxx
dydxvy
dxdyux
11
11
11
11
i
i
j
j
i
i
j
j
x
x jj
y
y ii
x
xjyjy
y
yixix
dxyy
dyxx
dxvvdyvv
Obtém-se a expressão:
7
2
1,
2
1,
2
1,
2
1,
jiji
y
jixji
y
x
xx
vv
Literatura: Proposta:
1
1
2
1,
2
1,
j
j
j
j
y
y iji
y
y
yixji
y
x
dyx
yx
dyvyv
xyy
yxx
xvvyvv
jijiiji
jiyjiyjixjix
,2
11,
2
12
11,
2
1,1
,2
11,
2
12
1,
2
1,1
Sistema discretizado:
xyy
yxx
xvvyvv
ji
x
ji
x
i
y
ji
y
ji
x
yji
x
yji
y
xji
y
x
,2
11,
2
1
2
1,
2
1,1
,2
11,
2
12
1,
2
1,1
O Método de Volumes FinitosO Método de Volumes Finitos
8
Esquemas de InterpolaçãoEsquemas de Interpolação
CDS:
++
2
UDS:
vvxx > 0 > 0
vvxx < 0 < 0
QUICK:
vvxx > 0 > 0
vvxx > 0 > 0
- 1- 1 + 6+ 6 + 3+ 3
833 + 6+ 6 - 1- 1
8
9
Funções de interpolação mais comumente aplicadas na literatura*:
• Aproximação dos termos advectivos – 1ª, 2ª ou 3ª Ordem• Aproximação dos termos difusivos – 2ª Ordem• Aproximação dos termos não lineares – 1ª ou 2ª Ordem• Ordem global da aproximação – 1ª ou 2ª Ordem
Metodologia de alta ordem proposta:• Aproximação dos termos advectivos• Aproximação dos termos difusivos• Aproximação dos termos não lineares • Ordem global da aproximação
Esquemas de InterpolaçãoEsquemas de Interpolação
*PATANKAR, 1980; MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995; FERZIGER e PERIC, 2002; TANNEHILL et al., 1997; HIRSCH, 2007
4ª Ordem
10
Esquemas de Alta OrdemEsquemas de Alta Ordem
Esquemas de alta ordem são assim chamados devido ao grau mais elevado de acurácia obtido por sua aplicação.
Apresentam ordem de aproximação superior a dois.
A utilização de tais esquemas permite a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando-se malhas menos refinadas.
Promove redução de recursos computacionais empregados na simulação.
11
Esquemas de Alta OrdemEsquemas de Alta Ordem
ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO
1992 HYMAN et al."High Order Finite Volume Approximation of Differential
Operators on Nonuniform Grids"
1995 LEONARD et al."Order of Accuracy of QUICK and Related Convection-
Diffusion Schemes"
1999 HOBAYASHI "On a Class of Padé Finite Volume Method"
2001 PEREIRA et al."A Fourth-Order-Accuracy Finite Volume Compact Method for
the Incompressible Navier-Stokes Solutions"
2004 LACOR et al. "A Finite Volume Formulation of Compact Central Schemes on
Arbitrary Structured Grids"
ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO
1992 HYMAN et al. Physica D: Nonlinear Phenomena
1995 LEONARD et al. Applied Mathematical Modelling
1999 HOBAYASHI Journal of Computational Physic
2001 PEREIRA et al. Journal of Computational Physics
2004 LACOR et al. Journal of Computational Physics
12
Técnica MultiblocoTécnica Multibloco
A utilização do tratamento multibloco permite refinar regiões específicas do domínio do problema sem que este refinamento seja estendido a outras regiões desnecessariamente.
13
Técnica MultiblocoTécnica Multibloco
Blocos coincidentes Blocos não coincidentesBlocos sobrepostos
14
Técnica MultiblocoTécnica Multibloco
ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO
1987 BERGER "On Conservation at Grid Interfaces"
1996 LIU e SHYY "Assessment of Grid Interface Treatments for Multi-block
Incompressible Viscous Flow Computation"
1997 CHEN et al. "Local Mesh Refinement within a Multi-block Structured-grid
Scheme for General Flows"
1999TANG e ZHOU
"On Nonconservative Algorithms for Grid Interfaces"
2003DJOMEHRI e
BISWAS "Performance Enhancement Strategies for Multi-block Overset
Grid CFD Applications"
2006 CAI et al. "A parallel Viscous Flow Solver on Multi-block Overset Grids"
ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO
1987 BERGER SIAM Journal on Numerical Analysis
1996 LIU e SHYY Computers and Fluids
1997 CHEN et al. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
1999TANG e ZHOU
SIAM Journal on Numerical Analysis
2003DJOMEHRI e
BISWAS Parallel Computing
2006 CAI et al. Computer and Fluids
Características Principais de Características Principais de Fluidos ViscoelásticosFluidos Viscoelásticos
15
Associação de características elásticas e viscosas (viscoelasticidade).
Possuem viscosidade dependente da taxa de deformação aplicada sobre o material.
Presença de tensões normais em escoamento por cisalhamento.
Somadas as tensões originadas pelo cisalhamento, estes fluidos apresentam tensões extras ao longo das linhas de corrente.
Este comportamento reológico deve-se basicamente à sua constituição química.
Equações Constitutivas para Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos Fluidos Viscoelásticos
16
Não é possível representar as propriedades físicas através de uma constante material.
O tensor tensão é descrito utilizando funções materiais.
Não é possível, na maioria dos casos, a obtenção de uma relação explícita entre o tensor tensão e os componentes da velocidade.
• Equação do Movimento
• Taxa de Deformação: • Fluido Newtoniano: • Fluidos Viscoelásticos:
DN 2 PS TUUD 2
1
pUUUt
Equações Constitutivas para Equações Constitutivas para Fluidos Viscoelásticos Fluidos Viscoelásticos
17
Existe um grande quantidade de equações constitutivas.
Estas equações podem ser enquadradas em diferentes grupos, de acordo com sua forma, natureza matemática e capacidade de predição de funções materiais.
Fluido Newtoniano Generalizado Fluido Viscoelástico Linear Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Diferenciais Teoria Cinética Teoria de Redes Teoria de Molécula Individual
Teoria da Reptação Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Integrais
18
Equações ConstitutivasEquações Constitutivas(Teoria de Redes)(Teoria de Redes)
Porção de uma rede polimérica formada por junções temporárias (○) (BIRD et al., 2004)
Considera uma rede em mutação contínua no qual os pontos de junção são temporários, formados por segmentos adjacentes que se movem juntos por um determinado tempo e então gradualmente se afastam (BIRD et al. 2004).
Modelo de Phan-Thien-Tanner (PTT)
Simplified PTT (SPPT)
Linear PTT (LPPT)
Exponential PTT (EPTT)
Fixed eta PTT (Feta-PTT)
19
Equações ConstitutivasEquações Constitutivas(Teoria de Molécula Individual)(Teoria de Molécula Individual)
Modelo de moléculas individuais esfera-mola: (a) Solução polimérica diluída e (b) Solução concentrada ou correspondente a um polímero fundido (BIRD et al., 2004)
A molécula é usualmente representada por meio de um modelo do tipo “esfera-mola”.
Representação do modelo “esfera-mola”
UCM
Oldroyd-B
White-Metzer
20
Modelo Matemático para oModelo Matemático para oEscoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos
Equação da continuidade:
0 U
Equações da conservação da quantidade de movimento:
pUUUt
Equações constitutivas:
PN
Df
Dτ
KKKKK PPPPKP
N
2
2
0KPf
Modelo de Oldroyd-B:
Modelo de SPTT:
K
K
K PP
kP trf
21
Números Adimensionais CaracterísticosNúmeros Adimensionais Característicos
Deborah: Weissenberg:
ctDe
Reynolds:
UL
Re cWe
O número de Weissenberg é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam um estiramento constante ao longo do tempo.
O número de Deborah é apropriado para descrever os escoamentos que apresentam estiramentos variáveis ao longo do tempo.
(DEALY 2010; BIRD et al., 1987)
22
Fluidos ViscoelásticosFluidos Viscoelásticos
ANOANO AUTORAUTOR TÍTULOTÍTULO
1992 KEILLER "Numerical Instability of Time-dependent flows"
2004ABOUBACAR
et al."High-Order Finite Volume Methods for Viscoelastic Flow Problems"
2004 XUE et al. "Numerical Modeling Transient Viscoelastic Flows”
2004FIÉTER e DEVILLE
"Time-dependent Algorithms for the Simulation of Viscoelastic Flows with Spectral Element Methods: Applications and Stability"
2004VAN OS e PHILLIPS
"Spectral Element Methods for Transient Viscoelastic Flow Problems "
2008 MUNIZ et al. "High-Order Finite Volume Method for Solving Viscoelastic Fluid Flows"
2008 DUARTE et al. "Numerical and Analytical Modeling of Unsteady Viscoelastic Flows: The
Start-up and Pulsating Test Case Problems"
2010 FAVERO et al. "Viscoelastic Flow Analysis Using the Software OpenFOAM and
Differential Constitutive Equations"
ANOANO AUTORAUTOR PERIÓDICOPERIÓDICO
1992 KEILLER Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
2004ABOUBACAR
et al.Journal of Computational Physics
2004 XUE et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
2004FIÉTER e DEVILLE
Journal of Computational Physics
2004VAN OS e PHILLIPS
Journal of Computational Physics
2008 MUNIZ et al. Brazilian Journal of Chemical Engineering
2008 DUARTE et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
2010 FAVERO et al. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
23
Modelo Matemático para oModelo Matemático para oEscoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos
221
2221
2221
1Re
1Re
0
2
2
2
2
2
2
2
2
xyExyyyxxxyyxyxxyxyyyxxE
yEyyyyxyyyyyyxyyyyyyxxE
xExxyxxxxxyxxxxxxxyyxxE
yyxyyyEyyyxy
xyxxxxExyxxx
yx
vy
vx
vy
vx
vy
vxt
WeWe
vy
vy
vx
vy
vxt
WeWe
vx
vy
vx
vy
vxt
WeWe
yxv
yv
xp
yvv
yvv
xv
t
yxv
yv
xp
xvv
yvv
xv
t
vy
vx
Termos com Derivada de 1ª Ordem
Termos com Derivada de 2ª Ordem
Termos Não Linearesna Parede do Volume
de Controle
Termos Não Linearesno Centro do Volume
de Controle
24
Esquema de Interpolação de LagrangeEsquema de Interpolação de Lagrange
Esquema de interpolação de Lagrange:
m
k
n
k ki
xyk
ki
xyk
i
y ba0 0 2
1
2
1
em que:
dxdyyxxy
i
i
i
i
x
x
y
yji
xy
1 1
,1
2
1,
2
1
1
,1 j
j
y
yi
y dyyxy
25
Esquema de Interpolação de LagrangeEsquema de Interpolação de Lagrange
2
3
2
1
2
1
2
3 12
1
12
7
12
7
12
1
i
xy
i
xy
i
xy
i
xy
i
y
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médios na interface:
2
7
2
5
2
3
2
10 4
1
12
13
12
23
12
25 xyxyxyxyy
2
1
2
3
2
5
2
7 12
25
12
23
12
13
4
1
N
xy
N
xy
N
xy
N
xy
N
y
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno: Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:
xyxyxyxyy 12
1
12
5
12
13
4
1
2
5
2
3
2
11
2
1
2
3
2
5
2
71 4
1
12
13
12
5
12
1
N
xy
N
xy
N
xy
N
xy
N
y
26
Esquema de Interpolação de LagrangeEsquema de Interpolação de Lagrange
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médio da derivada na interface:
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões do contorno:
N
y
N
xy
N
xy
N
xy
N
xy
N
y
xx
6
25
72
415
72
161
72
55
8
11
2
1
2
3
2
5
2
7
2
7
2
5
2
3
2
10
08
1
72
55
72
161
72
415
6
251 xyxyxyxyyy
xx
2
3
2
1
2
1
2
3 12
1
4
5
4
5
12
11i
xy
i
xy
i
xy
i
xy
i
y
xx
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas ao contorno:
12
1
2
3
2
5
2
7
13
5
2
1
9
23
9
4
18
11N
y
N
xy
N
xy
N
xy
N
xy
N
y
xx
2
7
2
5
2
3
2
11
118
1
9
4
9
23
2
1
3
51 xyxyxyxyyy
xx
27
Esquema de Interpolação de LagrangeEsquema de Interpolação de Lagrange
2
,2
,1
,21 hO
ji
y
ji
y
ji
y
Aproximação de Lagrange para os termos não lineares na parede do volume de controle:
Aproximação de Lagrange para os termos não lineares no centro do volume de controle:
2
2
1,
2
12
2
1,
2
11
2
1,
2
121 hOji
xy
ji
xy
ji
xy
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares na parede do volume de controle:
4
,
2
,
12
2121
0000
12hO
yy
y
yxyxi
y
i
y
i
y
Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não lineares no centro do volume de controle:
4
,
2
,
12
,
2
,
12
2
1,
2
12
2
1,
2
11
2
1,
2
121
0000
0000
12
12
hOyy
y
xx
x
yxyx
yxyxji
xy
ji
xy
ji
xy
28
O Tratamento MultiblocoO Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento par.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de refinamento impar.
A ORDEM DE APROXIMAÇÃO
NÃO É MANTIDA
29
O Tratamento MultiblocoO Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior para os volumes não coincidentes.
30
O Tratamento MultiblocoO Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento inferior.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento superior.
31
Avaliação da Técnica de Partição MultiblocoAvaliação da Técnica de Partição Multibloco
Escoamento entre placas planas e paralelas
32
Avaliação da Técnica de Partição MultiblocoAvaliação da Técnica de Partição Multibloco
Maior refinamento aplicado próximo a entrada – Arranjo 1.
Maior refinamento aplicado próximo a saída – Arranjo 2.
Maior refinamento aplicado próximo a parede – Arranjo 3.
Maior refinamento aplicado próximo a simetria – Arranjo 4.
Estrutura de refinamento homogêneo – Solução de Referência.
Corte em x=5,0vx
Corte em y=0,5Pressão
33
Avaliação da Técnica de Partição MultiblocoAvaliação da Técnica de Partição Multibloco
Perfil de velocidade vx na interface de conexão aplicando o arranjo 1.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Vx
y
Referência Bloco mais refinado
-4104,7681× xrefx vv
Perfil de velocidade vx na interface de conexão aplicando o arranjo 2.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Vx
y
Referência Bloco mais refinado
-410×4,7690 xrefx vv
Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P
x
Referência Bloco mais refinado
5-10×6,8182 PP ref
Perfil de pressão na interface de conexão aplicando o arranjo 4.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Px
Referência Bloco mais refinado
3-104,0621× PP ref
N
ix
refxx
refx ii
vvN
vv1
21
34
Avaliação da Técnica de Partição MultiblocoAvaliação da Técnica de Partição Multibloco
Comparação dos perfis de velocidade vx para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência.
Comparação dos perfis de pressão para diferentes cortes em x aplicando a técnica multibloco com arranjo 3 e a solução de referência.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Vx
y
x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Referência x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Multibloco
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
4.5
6.0
7.5
9.0
10.5
12.0
13.5
15.0
16.5
P
y
x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Referência x=2.0 x=4.0 x=6.0 x=8.0 Multibloco
Diferença entre as soluções de referência e aplicando o procedimento multibloco.
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :
LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 770 Segundos
LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 492 Segundos
35
Aplicação da Metodologia ao Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos NewtonianosEscoamento de Fluidos Newtonianos
Escoamento “Slip-stick”
36
Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)
Perfil de velocidade vx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
Perfil de velocidade vy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
37
Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)
Diferença entre as soluções obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema CDS aplicando diferentes malhas.
TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES :
CDS (120X80): 1135 Segundos
LAG4 (60X40): 480 Segundos
38
Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)
Curva de nível para velocidade vx obtida pela aplicação do procedimento multibloco.
Curva de nível para velocidade vy obtida pela aplicação do procedimento multibloco.
Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 120x60.
Curva de nível para pressão obtida pela aplicação do procedimento multibloco.
Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento multibloco.
39
Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)
Comparação entre os perfis de velocidade vx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).
Comparação entre os perfis de velocidade vy obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).
40
Resultados Resultados (Re=10)(Re=10)
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :
LAG4 (Homogêneo – 7200 Volumes): 1770 Segundos
LAG4 (Multibloco – 3600 Volumes): 851 Segundos
Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.
41
Aplicação da Metodologia ao Aplicação da Metodologia ao Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento “Slip-stick”
42
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,9)=0,9)
Perfil de velocidade vx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Vx
x
CDS-120x80 LAG4-30x10 LAG4-30x20 LAG4-60x10 LAG4-60x20 LAG4-60x40
Perfil de velocidade vy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
Vy
x
CDS-120x80 LAG4-30x10 LAG4-30x20 LAG4-60x10 LAG4-60x20 LAG4-60x40
Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
Txx
x
CDS-120x80 LAG4-30x10 LAG4-30x20 LAG4-60x10 LAG4-60x20 LAG4-60x40
Perfil de tensão τyy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
Tyy
x
CDS-120x80 LAG4-30x10 LAG4-30x20 LAG4-60x10 LAG4-60x20 LAG4-60x40
TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES:
CDS (120X80): 3557 Segundos
LAG4 (60X40): 1242 Segundos
43
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Estrutura da malha aplicando refinamento homogêneo 60x60.Estrutura da malha aplicando o procedimento multibloco.
Comparação entre os perfis de velocidade vx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Vx
x
y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9
Comparação entre os perfis de tensão τxx obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Txx
x
y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9
Comparação entre os perfis de tensão τyy obtidos para diferentes cortes em y utilizando a malha de refinamento homogêneo (linhas) e malha multibloco (pontos).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Tyy
x
y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9 y=0.1 y=0.3 y=0.5 y=0.7 y=0.9
Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.
44
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :
LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 1753 Segundos
LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 941 Segundos
45
Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e WeWe=0,1)=0,1)
Perfil de tensão τxx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ηE, usando o modelo de Oldroyd-B.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
Txx
x
ne=0.1 ne=0.3 ne=0.5 ne=0.7 ne=0.9
Perfil de tensão τxy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ηE, usando o modelo de Oldroyd-B.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Txy
x
ne=0.1 ne=0.3 ne=0.5 ne=0.7 ne=0.9
46
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Perfil de tensão τxx obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT.
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Txx
x
Perfil de tensão τyy obtidos pela aplicação do esquema LAG4 para diferentes valores de ε, usando o modelo de SPTT.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tyy
x
47
Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Perfis de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B.
Perfis de tensão τyy obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 usando malha 60x10 e 60x20 utilizando o modelo de Oldroyd-B.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Txx
x
We=0.10-60x10 We=0.10-60x20 We=0.15-60x10 We=0.15-60x20 We=0.20-60x10 We=0.20-60x20
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Tyy
x
We=0.10-60x10 We=0.10-60x20 We=0.15-60x10 We=0.15-60x20 We=0.20-60x10 We=0.20-60x20
48
Resultados Resultados ((ReRe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Perfil de velocidade vy obtidos para posição y=0,90 pela aplicação do esquema LAG4.
Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 60x10 utilizando o modelo de Oldroyd-B.
Perfil de tensão τxx obtidos para posição y=0,9 pela aplicação do esquema LAG4 com malha 30x40 utilizando o modelo de Oldroyd-B.
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Txx
x
We=0.10 We=0.15 We=0.20 We=0.25 We=0.30
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Txx
x
We=0.10 We=0.15 We=0.20 We=0.25 We=0.30
49
Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento em Cavidade
50
Resultados Resultados ((WeWe=0,1, =0,1, ReRe=100 e =100 e ηηEE=0,7)=0,7)
Valores das velocidades mínimas e máximas em x=0,5 e y=0,5 para o escoamento em cavidade viscoelástico.
51
Resultados Resultados ((WeWe=0,1, =0,1, ReRe=100 e =100 e ηηEE=0,7)=0,7)
Comparação entre os perfil de velocidade vx na linha vertical central (x=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009).
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y
Vx
YAPICI et al., 2009 LAG4-M20x20 LAG4-M40x40
Comparação entre os perfil de velocidade vy na linha horizontal central (y=0,5) obtidos pela aplicação do esquema LAG4 e os resultados obtidos por YAPICI et al. (2009).
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
Vy
x
YAPICI et al., 2009 LAG4-M20x20 LAG4-M40x40
-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
Vx
YAPICI et al., 2009 LAG4-M20x20 LAG4-M40x40
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
Vy
x
YAPICI et al., 2009 LAG4-M20x20 LAG4-M40x40
52
ConclusõesConclusões
Uma nova metodologia numérica para resolução das equações de Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos foi desenvolvida.
A metodologia numérica desenvolvida é baseada no método de volumes finitos, utilizando uma malha estruturada e um arranjo co-localizado das variáveis do problema.
Os valores médios lineares e não lineares das variáveis nas interfaces dos volumes de controle são aproximados através de esquemas de Lagrange de 4ª ordem.
A utilização de esquemas de alta ordem permitiu a obtenção de uma solução com melhor acurácia utilizando malhas menos refinadas.
53
ConclusõesConclusões
A técnica de conexão multibloco desenvolvida foi capaz de conectar adequadamente os blocos de diferentes refinamentos de forma simples e eficiente.
O aspecto mais importante deste procedimento é a utilização direta das fórmulas de interpolação, garantindo assim que a ordem global da aproximação seja mantida. Permitindo também que o procedimento possa ser facilmente estendido a outros esquemas.
A utilização em conjunto destas duas técnicas permitiu o desenvolvimento de um código computacional associando a melhor acurácia dos esquemas de alta ordem à flexibilidade do tratamento multibloco.
54
Sugestões Sugestões
Implementação de técnicas de tratamento de oscilações numéricas.
Implementação de metodologias para resolver escoamento com elevados valores do número de Weissenberg.
Estudar a relação entre o número Weissenberg e o grau de refinamento da malha.
Testar novas ferramentas numéricas na resolução do sistema discretizado.
55
Agradecimentos Agradecimentos
Meus pais Noberto e Diomarina
Meus orientadores Evaristo e Argimiro
A minha namorada Cristiane
Aos grande amigos do LMSCP: João, André, Kese, Fabrício, Pedro e Cauê
Aos Amigos de longa data: Leonardo, Renata, Paulo, Thiago, Henrique, Luciana, e Bruno
Aos amigos Rogério, Fabiano, José, Márcio, Eduardo, Heloisa, Marcelo e Diego
Ao Jovani e a Thais do LTFD
Aos professores e funcionários do PEQ
A meus professores da PUC-Rio
Aos membros da banca
Ao CNPq pelo suporte financeiro
56
Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Pseudo-Compressibilidade)(Pseudo-Compressibilidade)
0
yx vy
vxt
p
y
v
yx
v
xx
pvv
yvv
xv
txx
xyxxx
y
v
yx
v
xy
pvv
yvv
xv
tyy
yyyxy
Pseudo-Compressibilidade
Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante
57
Solução numérica utilizando LAG4 e a pseudo-compressibilidade com Nx=Ny=40.
Solução Numérica utilizando o pacote CFX com malha formada por 20945 elementos.
Escoamento entre placas paralelas(Água na temperatura de 296K e Re=250)
Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Pseudo-Compressibilidade)(Pseudo-Compressibilidade)
58
Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Compressibilidade Artificial)(Compressibilidade Artificial)
02
yx vy
vx
a
t
p
y
v
yx
v
xx
pvv
yvv
xv
txx
xyxxx
y
v
yx
v
xy
pvv
yvv
xv
tyy
yyyxy
Compressibilidade Artificial
Escoamento bidimensional, incompressível, isotérmico e transiente, com viscosidade constante
ttxx
tt
a
pxx
a
p
exp1expouexp1exp
22
59
Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τx=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.
Solução numérica utilizando LAG4 e a compressibilidade artificial com γ=1, τt=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.
Escoamento entre placas paralelas(Água na temperatura de 296K e Re=250)
Acoplamento Pressão-VelocidadeAcoplamento Pressão-Velocidade(Compressibilidade Artificial)(Compressibilidade Artificial)
60
Escoamento de Fluidos ViscoelásticosEscoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento em Contração 2:1
61
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento LAG4 multibloco, utilizando 3400 volumes de controle.
Estrutura da malha computacional aplicando o procedimento CDS, utilizando 6000 volumes de controle.
62
Resultados Resultados ((ReRe=0,1, =0,1, WeWe=0,1 e =0,1 e ηηEE=0,5)=0,5)
Comparação entre os perfis de velocidade vy utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).
8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0-0.40
-0.35
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
Vy
x
0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90
Comparação entre os perfis de velocidade vx utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).
8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Vx
x
0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90
Comparação entre os perfis de tensão τxx utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).
8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0-1
0
1
2
3
4
5
Txx
x
0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90
Comparação entre os perfis de tensão τyy utilizando o esquema CDS (6000 volumes – linhas) e o esquema multibloco (3400 volumes – pontos).
8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
Tyy
x
0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES:
CDS (9000 Volumes): 2394 Segundos
LAG4 (3400 Volumes): 1556 Segundos
GRAU DE REFINO NA REGIÃO PRÓXIMA A CONTRAÇÃO:
CDS (9000 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0125
LAG4 (3400 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0083