-
Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira. ISSN 0122-1701 7
Fecha de Recepcin: (Letra Times New Roman de 8 puntos) Fecha de
Aceptacin: Dejar en blanco
IMPLEMENTACIN EN LENGUAJE GRFICO DE UN ALGORITMO BASADO EN
QUINE-McCLUSKEY Y PETRICK PARA MINIMIZACIN GLOBAL
Implementation in a graphical language of an algorithm based
on
Quine-McCluskey and Petrick methods for global minimization
RESUMEN En este trabajo se presenta la implementacin en un
lenguaje grfico de un algoritmo basado en los mtodos de
Quine-McCluskey y Petrick para la minimizacin global ptima de
funciones simultneas booleanas que comparten el mismo conjunto de
variables de entrada. Se muestra como la minimizacin global, en
comparacin con las implementaciones clsicas, obtiene una solucin de
menor costo a la obtenida mediante la combinacin de la minimizacin
ptima individual de cada funcin. Se discute su utilidad prctica y
didctica. PALABRAS CLAVES: Sntesis funciones booleanas, Petrick,
Quine-McCluskey, Solucin ptima, Programacin grfica, LabVIEW.
ABSTRACT This paper shows the implementation in a graphic language
of an algorithm based on Quine-McCluskey and Petrick methods for
optimal global minimization of simultaneous switching functions
sharing their input set of variables. It is shown how this global
minimization, when compared to classic implementations, achieve a
better solution than the one obtained combining optimal solutions
for individual functions. Its practical and didactic usability is
discussed. KEYWORDS: Switching functions minimization, Petrick,
Quine-McCluskey, Optimal solution, Graphical programming,
LabVIEW.
MAURICIO HOLGUN L. Ingeniero Electricista. Profesor Catedrtico
Estudiante Maestra en Ingeniera Elctrica. Universidad Tecnolgica de
Pereira [email protected] ANDRS ESCOBAR MEJA Ingeniero
Electricista, M. Sc. Profesor Auxiliar Universidad Tecnolgica de
Pereira [email protected] GERMN A. HOLGUN L. Ingeniero
Electricista, M. Sc. Profesor Asistente Universidad Tecnolgica de
Pereira [email protected]
Grupo de Investigacin en Control e Instrumentacin.
1. INTRODUCCIN
En la literatura relacionada con sistemas digitales se ha
tratado ampliamente la minimizacin de funciones de conmutacin como
herramienta fundamental en la sntesis de circuitos lgicos [1-6].
Tradicionalmente se emplean mtodos como el de Veitch-Karnaugh, el
cual se basa en formas rectangulares de los diagramas de Venn para
hacer representaciones de conjuntos. Los Mapas de Veitch-Karnaugh
se han mostrado como la herramienta de uso ms comn, pero con
limitacin prctica a una nica funcin y generalmente con no ms de 5
variables [7-14]. En la prctica, las implementaciones de circuitos
lgicos de conmutacin casi siempre involucran ms de dos o tres
funciones y con no menos de cuatro variables; lo cual implica el
uso de un mapa de Karnaugh por variable conllevando a una
realizacin mnima por funcin, ms no la realizacin mnima global, la
cual por ejemplo podra aprovechar resultados intermedios de una
funcin para evaluacin de otras, sin que con ello necesariamente una
funcin se base en una implementacin mnima, pero
s produciendo una implementacin general mnima para el conjunto
de funciones [8, 9]. La gran mayora de literatura siempre hace
referencia a mtodos de simplificacin para una nica funcin. Sin
embargo en algunos textos como [8, 9, 10], se encuentra mtodos
alternos de simplificacin tanto para aplicaciones de una sola
funcin como para aquellas con mltiples funciones. Entre estos
mtodos el ms destacado y recurrente es el de Quine-McCluskey que se
fundamenta en representaciones tabulares de los diagramas de Venn y
que siempre se referencia como mtodo general para implementaciones
programadas y con el poder de tratar ms variables que los mapas de
Karnaugh [8, 9, 10]. El mtodo de Quine-McCluskey, al igual que los
Mapas de Karnaugh, tiene un componente heurstico cuando se trata de
completar la cubierta, o conjunto de implicantes primos necesarios
para terminar de cubrir los mintrminos de una funcin y que no son
cubiertos por los implicantes primos esenciales [8, 9]. Para
implementaciones con un gran nmero de variables podra ser que esta
parte heurstica conduzca a resultados
-
8 Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira.
no mnimos, por lo que generalmente se recurre al algoritmo de
Petrick con el fin de poder evaluar la realizacin mnima [9].
Indagando sobre implementaciones programadas realizadas tanto en
varias referencias como en programas tpicos de simplificacin, se ha
encontrado que es prcticamente nula la implementacin de los
algoritmos generales de Quine-McCluskey y de Petrick y que en los
casos existentes stas implementaciones siempre se limitan a una
nica funcin. Ya que lo comn es enfrentar soluciones a problemas
como ms de una funcin y de cuatro variables, los programas
existentes de simplificacin no entregan la solucin global ptima.
Todo lo anterior ha motivado a los autores ha realizar la
implementacin de un programa de minimizacin global con base en
estos algoritmos de simplificacin, optando por una aproximacin
desde los lenguajes grficos de programacin con el fin de aprovechar
al mximo las tecnologas existentes en cuanto a procesamiento
multi-ncleo y sin mucha experiencia en programacin de tareas
multi-hilo requerida en los lenguajes textuales. Todo lo anterior
con miras a futuras comparaciones, ya sea con otras
implementaciones y/o algoritmos, permitiendo cuantificar de forma
rpida la eficiencia y aplicabilidad prctica de cada desarrollo. 2.
MARCO TERICO Inicialmente se presenta la descripcin de los
algoritmos de simplificacin de Quine-McCluskey y Petrick,
describiendo de forma rpida su naturaleza. Todos los mtodos clsicos
de simplificacin tienen su fundamento en los diagramas de Venn, los
cuales son representaciones en contorno cerrado de conjuntos, con
rectngulos para representar comnmente el conjunto universal y
crculos para los conjuntos. Un diagrama de Venn para tres variables
booleanas se muestra en la Figura 1, donde es claro que los tres
conjuntos describen un total de ocho regiones (cada una representa
a su vez un posible mintrmino de la funcin) que se caracterizan por
cambio de un slo bit entre regiones adyacentes.
Figura 1. Diagrama de Venn para 3 variables.
Un mapa de Karnaugh no es ms que una representacin rectangular
de un diagrama de Venn que conserva sus dos caractersticas
fundamentales: cada regin posee tantas regiones vecinas como nmero
de variables y entre ellas slo cambia un bit [7 a 14]. Un mapa de
Karnaugh para tres variables se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Mapa de Karnaugh para 3 Variables.
La simplificacin consiste esencialmente en aprovechar el hecho
que cuando regiones adyacentes representan mintrminos, stas se
pueden agrupar y eliminar las variables que cambia de valor entre
ellas, por lo que las agrupaciones deben ser en potencias de
2[1,2]. Adems las agrupaciones deben ser tal que cada una sea lo ms
grande posible y con el mnimo de agrupaciones para cubrir la
totalidad de mintrminos de la funcin [8,9]. stas consideraciones
que en principio parecen fciles, son directas en la simplificacin
para una funcin, ms no siempre ciertas para implementaciones con
funciones simultneas simplificadas individualmente por mapas de
Karnaugh. 2.1. ALGORITMO DE QUINE-McCLUSKEY El algoritmo de
Quine-McCluskey es una implementacin tabular de los mapas de
Karnaugh [2, 4, 5], lo cual permite un manejo amplio de ms de 5
variables y que se puede extender fcilmente a la simplificacin de
dos o ms funciones simultneas para garantizar la mnima cantidad de
grupos para cubrir el global de la implementacin y a su vez
haciendo cada grupo lo ms grande posible dentro del criterio global
de minimizacin [9]. A continuacin se hace una descripcin general
del algoritmo de Quine-McCluskey [3, 4, 5, 8, 9]: 1. Identificar
para cada funcin el nmero de unos en la
representacin binaria de sus mintrminos. Si existen trminos
Dontcare, estos deben ser incluidos.
2. Poner todos los mintrminos formando una columna y organizados
segn el nmero de unos que contengan. Se debe indicar adems para
cada mintrmino las funciones que cubre.
3. Buscar adyacencias entre grupos vecinos, identificando con un
guin la variable que cambia y las funciones que abarca. Dos trminos
son adyacentes si slo cambia una variable y como mnimo comparten
una funcin. Si un trmino se
-
Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira. 9
____________________________ 1. Las notas de pie de pgina debern
estar en la pgina donde se citan. Letra Times New Roman de 8
puntos
agrupa abarcando todas las funciones a las que pertenece no es
implicante primo.
4. Repetir bsqueda de adyacencias formando cada vez una nueva
columna hasta que no se puede realizar ms agrupaciones.
5. Formar una nueva tabla con implicantes primos en filas y
mintrminos por funcin en las columnas. En esta parte no se incluyen
los trminos Dontcare. Cada mintrmino se cruza contra las
agrupaciones que lo contienen. Si un mintrmino slo es cubierto por
un implicante primo, ste es un implicante primo esencial que debe
ir en la cubierta y cubre de forma global todos los mintrminos
adicionales que contiene.
6. Identificar el mnimo nmero de implicantes primos necesarios
para cubrir los mintrminos an no cubiertos de cada funcin.
2.2. ALGORITMO DE PETRICK El punto 6 descrito en el algoritmo de
Quine-McCluskey implica una bsqueda heurstica del mnimo nmero de
implicantes primos que terminen de cubrir los mintrminos faltantes.
Este procedimiento podra conllevar a una solucin no ptima (mnima)
en casos donde se tengan muchas posibles soluciones, lo cual es
comn cuando se plantean sistemas con varias funciones. El algoritmo
de Petrick permite encontrar la solucin mnima mediante un
procedimiento claro y secuencial, el cual se describe a continuacin
[6,9]: 1. Escribir una expresin en forma de producto de
sumas (POS), donde cada trmino suma contiene todos los posibles
implicantes primos para un mintrmino no agrupado an.
2. Llevar la forma POS obtenida a una forma de suma de productos
(SOP). Para ello se emplea la ley distributiva y se simplifican
literales mediante leyes de absorcin o involucin.
3. Cada trmino producto de la forma SOP resultante representa
una posible combinacin de cubierta, lo cual quiere decir que se
debe seleccionar la combinacin mnima.
3. IMPLEMENTACIN DEL ALGORITMO EN UN LENGUAJE GRFICO Los
algoritmos previamente descritos han sido implementados con ayuda
del software de programacin grfica LabVIEW8.0. La programacin se
basa esencialmente en una estructura de secuencia, ver la Figura 3,
que va progresivamente realizando los diferentes pasos descritos
por los algoritmos.
Figura 3. Marcos de estructura de secuencia para el
programa.
-
10 Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira.
Los marcos de la estructura de secuencia realizan
respectivamente las siguientes labores: Marco 0: Se encarga de
inicializar la tabla de verdad en valores como: Iniciar tabla con
ceros, unos o Dontcares. Marco 1: Realiza una depuracin de la tabla
de verdad ingresada, con lo cual todo lo que no se introduce como
un 1 o un 0 lgico se trata como un Dontcare. Marco 2: Realiza
puntos 1 y 2 de Quine-McCluskey. Marco 3: Realiza puntos 3 y 4 de
Quine-McCluskey. Marco 4: Realiza punto 5 de Quine-McCluskey. Marco
5: Realiza algoritmo de Petrick. Marco 6: Realiza ajuste para
presentacin de resultados. El poder del algoritmo combinado de
Quine-McCluskey con Petrick se muestra a continuacin con aplicacin
a la simplificacin de un conjunto de funciones de referencia. El
objeto es mostrar la operacin adecuada del algoritmo implementado,
demostrar su alcance de simplificacin global y adems tener un
sistema de funciones de referencia con base en el cual se puedan
hacer futuras comparaciones. La interfaz de usuario para el
programa se muestra en la siguiente seccin. 4. EJEMPLO DE
REFERENCIA Para mostrar la aplicabilidad del mtodo se ha
seleccionado un ejemplo clsico encontrado en [9] pginas 220 a 222.
Adicional a este ejemplo, se ha verificado la correcta operacin del
programa implementando todos los ejemplos que trae la misma
referencia tanto para el algoritmo de Quine-McCluskey como para el
de Petrick, ver pginas 211 a 244. El sistema costa de un conjunto
de tres funciones con cuatro variables, donde las variables son
comunes para todas las funciones.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, , , 0,2,7,10 12,15
, , , 2,4,5 6,7,8,10
, , , 2,7,8 0,5,13
f A B C D m d
f A B C D m d
f A B C D m d
= += += +
(1)
Inicialmente se realiza la simplificacin usando mapas de
Karnaugh, para lo cual cada funcin es llevada de forma individual a
uno de estos mapas. El procedimiento de simplificacin se asume
conocido por parte del lector.
Figura 4. Mapa de Karnaugh para f
Figura 5. Mapa de Karnaugh para f
Figura 6. Mapa de Karnaugh para f
De las Figuras 4, 5 y 6 se obtienen las expresiones mnimas por
funcin, las cuales se pueden denominar como mnimos locales. Estas
expresiones tienen forma SOP y son las siguientes:
( )( )( )
, , ,
, , ,
, , ,
f A B C D BCD ABD BCD
f A B C D AB BCD
f A B C D ABD BCD ABD
= + += += + +
(2)
El costo de realizacin de una implementacin se define como la
cantidad de elementos de circuito y su tipo necesarios para
llevarlo a efecto [7 a 14]. En general se debe tener en cuenta: la
cantidad de trminos productos diferentes; s se desea realizar todos
estos productos con un nico tipo de elemento (por ejemplo, solo con
compuertas AND de dos entradas); la cantidad de trminos suma de
acuerdo con la naturaleza del elemento que las implementa (por
ejemplo, solo con compuertas OR de dos entradas) y el nmero total
de literales usados. Para el ejemplo realizado con mapas de
Karnaugh se tienen las siguientes relaciones de elementos a usar:
Total de trminos producto diferentes: 6 Total de compuertas AND de
2 entradas necesarias: 9 Total de compuertas OR de 2 entradas
necesarias: 5 En esta evaluacin de costos se ha tenido en cuenta
los trminos AND de 2 variables que igualmente se pueden reutilizar
en otros trminos, como por ejemplo, en f el trmino BCD puede ser
implementado haciendo primero BD para poder reutilizar esta parte
en el trmino BCD de la funcin f . Sin embargo, se debe tener en
cuenta que los trminos reutilizables son circunstanciales en
minimizaciones locales.
-
Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira. 11
____________________________ 1. Las notas de pie de pgina debern
estar en la pgina donde se citan. Letra Times New Roman de 8
puntos
Usando el algoritmo de minimizacin global que se ha programado,
se pretende observar cmo se comportan estos mismos costos. Para
ello inicialmente se introducen los datos en la interfaz de
usuario, la cual se muestra en la Figura 7 con las configuraciones
para las funciones ya descritas en la ecuacin (1):
Figura 7. Interfaz de usuario del programa.
En la interfaz, se ingresan los datos directamente en forma de
tabla de verdad, asignando un 1 a los mintrminos que se deben
cubrir, una d a los trminos Dontcare y un 0 a los dems. Por
facilidad se ha programado la inicializacin de la tabla con valores
adecuados, por ejemplo, en el caso descrito la tabla posee ms ceros
que cualquier otro valor, por lo que se ha optado inicializarla en
consecuencia. Con los datos ya ingresados, se procede a solicitar
la simplificacin, como se observa en la Figura 8.
Figura 8. Simplificacin mediante algoritmo programado.
En la parte superior a la solucin, Figura 8, se pueden consultar
los valores intermedios producto de los puntos 3 y 4 del algoritmo
de Quine-McCluskey y que de forma generalizada se conocen como los
n-Cubos. En la solucin obtenida, para cada funcin la respuesta est
igualmente en forma SOP, asignando un cero a la posicin de una
variable complementada, un uno a la posicin de una variable sin
complementar y un guin para la posicin de una variable que se
simplifica. Por tanto, llevando a una notacin igual a la mostrada
para la ecuacin (2), los resultados son:
( )( )( )
, , ,
, , ,
, , ,
f A B C D BCD ABD ABCD
f A B C D AB BCD
f A B C D ABD ABCD BCD
= + += += + +
(3)
Los costos de implementacin de esta realizacin se muestran a
continuacin: Total de trminos producto diferentes: 5 Total de
compuertas AND de 2 entradas necesarias: 8 Total de compuertas OR
de 2 entradas necesarias: 4 En el anterior totalizado de elementos,
se ha tenido en cuenta que ahora es posible reutilizar
adicionalmente un resultado parcial de una operacin OR entre dos
trminos comunes a las funciones f y f . Una observacin rpida de los
resultados muestra que la realizacin obtenida por el programa no
implica una solucin mnima para cada una de las funciones a
implementar, pero evidentemente la solucin requiere ahora de menos
elementos de circuito y por ende, se logra una solucin mnima global
en comparacin a la obtenida con los mapas de Karnaugh (2). Lo
anterior se logra gracias a que el mtodo hace una bsqueda
exhaustiva de todos los posibles implicantes primos y le asigna
prioridad a aquellos que son compartidos entre varias funciones lo
que permite a la postre una reutilizacin mayor de resultados
intermedios en la implementacin global. 5. TRABAJOS FUTUROS El
propsito de los autores es seguir ahondando en mtodos de
simplificacin para funciones de conmutacin, donde se pueda superar
las limitaciones prcticas de los mtodos tradicionales. Se pretende
continuar trabajando sobre mtodos que permitan la simplificacin de
varias funciones simultneas y garanticen a la vez redes libres de
riesgos por tiempo.
-
12 Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad
Tecnolgica de Pereira.
Es igualmente de inters mtodos que superen los retos
computacionales que plantean algoritmos como el presentado en este
artculo, y que se ven afectados en el tiempo de ejecucin a medida
que el nmero de variables crece debido a la inherente bsqueda
exhaustiva de implicantes primos. Aunque en la prctica, al igual
que en el ejemplo planteado, es comn ver funciones con menos
mintrminos que posibles combinaciones, solamente una funcin de
cinco variables con todos sus mintrminos conlleva a problemas de
cmputo, as la solucin sea tan trivial como 1 lgico. 6. CONCLUSIONES
Y RECOMENDACIONES Mtodos tradicionales de simplificacin de
funciones de conmutacin, tales como los mapas de Karnaugh o
simplificaciones mediante aplicacin iterativa de teoremas del
lgebra de Boole, son herramientas clsicas que siempre conducen a
soluciones mnimas para una nica funcin, adems stos mtodos son
difcilmente aplicables a funciones con ms de cinco variables; en el
caso de los mapas de Karnaugh su representacin grfica presenta
dificultadas de abstraccin y los mtodos de simplificacin por lgebra
podran no asegurar una solucin mnima. Sin embargo, en el campo
prctico las implementaciones comunes conllevan siempre varias
funciones con varias variables, lo cual debe ser afrontado desde un
punto de vista diferente. El algoritmo de Quine-McCluskey es uno de
los ms reconocidos gracias a su aplicabilidad a la simplificacin de
varias funciones y adems permite encontrar una solucin mnima
global, aunque presenta situaciones heursticas en su punto 6 (ver
Seccin 2). La solucin al problema heurstico de Quine-McCluskey es
resuelta por Petrick mediante el algoritmo que lleva su nombre y el
cual realiza una bsqueda completa de la solucin mnima entre los
implicantes primos necesarios para terminar de cubrir los
mintrminos no cubiertos por los implicantes primos esenciales. Los
dos prrafos anteriores justifican la eleccin por parte de los
autores de estos mtodos como algoritmos de base en la implementacin
programada realizada. Adems la seleccin de implementacin en un
lenguaje grfico entrega ventajas didcticas que no sera fcilmente
explorables en lenguajes textuales tradicionales, ya que se
facilita el seguimiento al flujo de la informacin, comprensin de
las diferentes etapas de los algoritmos, especialmente por parte de
alumnos de pregrado, as como la mantenibilidad y optimizacin del
mismo algoritmo implementado. Los resultados de la implementacin
muestran el poder de simplificacin global del programa montado,
donde el nmero total de elementos de circuito es menor a una
realizacin con mtodos que slo garantizan mnimos por
funcin. Aunque ciertas situaciones en trminos que se pueden
reutilizar pueden ser circunstanciales de un conjunto de funciones
dadas, lo que s se puede garantizar es que el nmero total de
trminos producto a implementar gracias a los algoritmos programados
es menor, y en el peor de los casos igual, a los obtenidos por
mtodos tradicionales; lo cual conlleva necesariamente a una
implementacin mnima global. Se debe abordar temas adicionales como
requerimientos de redes libres de riesgo por tiempo o esfuerzos
computacionales de los mtodos programados, los cuales son fuente de
inters y motivacin para los autores en futuros trabajos. 7.
BIBLIOGRAFA [1] M. Karnaugh, The map method for synthesis of
combinational logic circuits. AIEE Comm electronics, 1953.
[2] E. W. Veitch, A chart method for simplifying truth
functions. Proc Computing Machinery Conf, 1952.
[3] W. V. Quine, The problem of simplifying truth functions,
American Mathematical Monthly, vol. 59, no. 8, pp. 521531,
1952.
[4] E. J. McCluskey, Minimization of boolean functions, Ph.D.
dissertation, M.I.T., 1956
[5] E. J. McCluskey, Introduction to the theory of switching
circuits. New York, McGraw-Hill Books, 1965.
[6] S. R. Petrick, Ed., On the minimization of boolean
functions. Symposium on Switching theory, 1959.
[7] Floyd Thomas L. Fundamentos de sistemas digitales, 7 Edicin.
Prentice Hall, 2000.
[8] John Wakerly. Diseo Digital: Principios y prcticas, 3ra
Edicin. Pearson Educacin, 2001.
[9] Victor P. Nelson, Nagle H. Troy, Carroll Bill, Irwin J.
David. Anlisis y diseo de circuitos lgicos digitales. Prentice
Hall, 1996.
[10] Tinder Richard. Engineering digital design, Second Edition
Revised. Academic Press, 2000.
[11] M. Morris Mano. Diseo Digital 3ra ed., Pearson, Prentice
Hall, 1995.
[12] R. L Tokheim. Principios digitales, 3ra Edicin.
McGraw-Hill, 1995.
[13] E. Mandado. Sistemas electrnicos digitales, 7ma Edicin.
Marcombo Boixereu Editores, 2004.
[14] Ronald J. Tocci. Sistemas Digitales: Principios y
aplicaciones. Prentice Hall, 2007.
