Research Collection

Doctoral Thesis

Homogene Raumteilung und Kristallstruktur

Author(s): Nowacki, Werner

Publication Date: 1935

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091185

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ETH Library

Homogene Raumteilungund Kristallstruktur

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

zur Erlangung der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt von

WERNER NOWACKI

aus Zürich

Referent: Herr Prof. Dr. P. NiggliKorreferent: Herr Prof. Dr. H. Hopf

ZÜRICH 1935

Druck von A.-G. Gebr. Leemann & Co.

Stockerstr. 64.

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MEINER LIEBEN BRAUT!

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Inhaltsverzeichnis.Seite

Problemstellung 7

A. Allgemeiner Teil.

I. Vorbemerkung 9

II. Einleitung 9

III. Die Wirkungsbereiche der Gitterkomplexe, die Slereoeder und

die Fundamentalbereiche. Formulierung des Problems. Die Zer¬

legungsbereiche 10

1. Der kristallographische und der affingeometrische Standpunkt 10

a) Allgemeines über Raumgruppen 10

b) Die Wirkungsbereiche 12

«) Allgemeine Eigenschaften der Wirkungsbereiche . 13

ß) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß aus¬

zeichneten Ebenenstücke und die Flächen der Wirkungs¬bereiche 15

y) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß aus¬

gezeichneten Geradenstücke und die Kanten der Wirkungs¬bereiche 19

d) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß aus¬

gezeichneten Punkte und die Ecken der Wirkungsbereiche 22

s) Zusammenfassung 24

c) Die Stereoeder, die Fundamental- und die Zerlegungsbereiche 28

d) Methodisches 30

2. Der spezielle (Isomorphieklassen) und der allgemeine (Homöo-morphieklassen) topologische Standpunkt. Die Raumformen

. 31

IV. Behandlung des Problems der Raumteilung 34

1. Kristallographisch-affingeometrisch-topologische Methode . 34

a) Experimentelle Methode 34

b) Systematik der Punktsymmetriegruppen nach /(. Weissenberg 35

c) Die Unterteilungen der Wirkungsbereiche der Hauptpunkte(im Sinne K- Weissenbergs) in Stereoeder

.... 36

d) Über die Lösbarkeit des Problems 37

2. Algebraisch-topologische Methode. Dualitätsprinzip ... 42

V. Raumteilung und Kugelpackung 46

1. Allgemeine und besondere Gitterkomplexe .... 46

2. Dichteste und dünnste Kugelpackungen 48

— 6 —

B. Spezieller Teil. Seite

VI. Die Hauptpunkte im Sinne /Ç Weissenbergs, deren Wirkungsbereiche

und Unterteilungen 49

VII. Die Wirkungsbereiche der Hauptpunkte ohne „Freiheitsgrade" .54

1. Die Wirkungsbereiche der Translationsgitter und die Paralleloeder 54

2. Die Wirkungsbereiche der übrigen Hauptgitterkomplexe und

die Stereoeder 56

VIII. Die Unterteilungen des Würfels 57

IX. Das Problem der Raumteilung und der Kugelpackungen des Rn

(n = 1,2,4,...) 60

1. Der eindimensionale Raum (Gerade) 60

2. Der zweidimensionale Raum (Kristallebene) ....61

3. Der «-dimensionale Raum (n ^_ 4) 73

X. Zusammenfassung 75

XI. Literatur 76

'

Abkürzungen1.

A. Vorlesungen überdieTheorie PI Planigon

der automorphen Funktio¬ pP primitives Parallelepiped, Pa¬

nen, von /?. Frickeu. F. Klein rallelogramm

e. A. erlaubte Abänderung R» n-dimensionaler euklidischer

EP Elementarparallelepiped, Raum

Elementarparallelogramm RG Raumgruppe, Raumsystem,

ET Ebenenteilung unendliche eigentlich¬

FB Fundamentalbereich diskontinuierliche Bewe¬

FG Freiheitsgrad gungsgruppe

GK Gitterkomplex RT Raumteilung

GP Gitterpunkt SA Schraubungsachse

GSE Gleitspiegelebene SB Symmetriebedingung

HGK Hauptgitterkomplex SE Spiegel ebene

HP Hauptpunkt im Sinne SG Symmetriegebiet

K. Weissenbergs SHG SymmetriehauptgruppeHP* Hauptpunkt im Sinne SO Symmetrieoperation

E. S. Fedoroffs Ster Stereoeder

HWB Hauptwirkungsbereich T Translations...,

Translation

i. B. in Bezug TG Translationsgitter

kGP konjugierter Gitterpunkt UT Unterteilung

KP Kugelpackung WB Wirkungsbereich

KZ Koordinationszahl ZB Zerlegungsbereich

Par Paralleloeder, Parallelogon

Problemstellung.

Ist eine Raumgruppe (RG), d.h. eine unendliche eigent¬lich diskontinuierliche Gruppe von Bewegungen (ev. mit Spiege¬

lungen) des euklidischen dreidimensionalen Raumes (R3) mit end¬

lichem Fundamentalbereich (FB) gegeben, so entsteht aus einem

einzigen Punkt des R3, der sich an einer beliebigen Raumstelle

befindet, durch die Symmetrieoperationen (SO) der Gruppe ein

sogenanntes „regelmäßiges Punktsystem", welches aus

unendlich vielen gleichartigen, in regelmäßiger Weise im Rs an¬

geordneten Punkten besteht. — In der Natur finden sich diese

regelmäßigen Punktsysteme in den Kristallstrukturen der Ele¬

mente realisiert, in denen die Punkte durch gleichartige Atome

ersetzt sind.

An Stelle der Punkte können beliebige geometrische Gebilde

gedacht werden, insbesondere später genauer zu definierende

Raum teile, sog. „Wirkungsbereiche" (WB) um die

Punkte herum, welche den R3 lückenlos ausfüllen und eine „regel¬

mäßige Raumteilung" bilden. — Physikalisch-chemisch ge¬

sprochen stellen diese Raumteile gleichsam diejenigen Gebiete

dar, in die hinein die vom einzelnen Atom ausgehenden Kräfte¬

wirkungen reichen (H. Tertsch (3,4)). Da alle Atome gleich¬

artig sein sollen, wird die gemeinsame Grenze zweier Wirkungs¬bereiche als irgendwie in der Mitte zwischen zwei benachbarten

Atomen gelegen angenommen.

Diese regelmäßigen Punktsysteme bzw. Raumteilungen sind

homogene Gebilde, weil.es sich nur um eine Art Punkte bzw.

Raumteile handelt. Das Ziel dieser Arbeit ist die Un¬

tersuchung der Eigenschaften und einer Mög¬lichkeit der vollständigen Ableitung aller homo¬

genen Raumteilungen in Wirkungsbereiche.

— 8 —

Werden zwei oder mehr Punkte bzw. Raumteile des R3, denen unter¬

scheidende Qualitäten zukommen sollen, herausgegriffen und den Symme¬

trieoperationen der Raumgruppe unterworfen, so entsteht eine Gesamtheit

von Punkten bzw. Raumteilen, die „heterogenes, regelmäßiges Punktsystem"

bzw. „heterogene, regelmäßige Raumteilung" genannt werden könnte und

die den Kristallstrukturen der aus zwei oder mehr Teilchensorten bestehenden

Verbindungen bzw. deren Kräftewirkungsgebieten entspricht, wobei zur ge¬

nauen Definition der jeder Teilchenart zukommenden Wirkungsbereiche die

relative Stärke, die Größe des Einflusses jeder dieser Teilchenart bekannt sein

müßte. Da diese Größen von Fall zu Fall variieren, wird im Folgendenausschließlich die homogene regelmäßige Raumteilung untersucht.

(Eine Zusammenfassung der erhaltenen Resultate wird in der Z. Krist.

1936 erscheinen.)

A. Allgemeiner Teil.

I. Vorbemerkung.

Jede Geometrie kann als Lehre der Invarianten von speziellen

Gebilden eines gewissen Punktfeldes i. B. auf eine gegebene Trans¬

formationsgruppe oder deren Untergruppen definiert werden

(F. Klein (1), H. Weyl (1)). Zwei Dinge sind demnach wichtig:

Das P u n k t f e 1 d, d. h. die Gesamtheit der Punkte, welche der

Betrachtung zu Grunde liegen (Raum) und die Gruppe der¬

jenigen Transformationen, welche auf die Punkte des

Feldes angewandt werden. Zwei Figuren heißen dabei gleich,wenn sie durch die Transformationsgruppe ineinander überführ¬

bar sind. Ein spezielles Gebilde des Punktfeldes kann durch eine

Untergruppe der gegebenen Transformationsgruppe in sich trans¬

formiert werden: Es besitzt eine gewisse Symmetrie.Für die Kristallgeometrie ist das Punktfeld der R3,

die Transformationsgruppe ist die Gruppe aller Ähnlich¬

keitstransformationen, und die Symmetrie der speziellen

Kristallgitter wird durch diejenigen Untergruppen aller Ähnlich¬

keitstransformationen, welche die Kristallgitter mit sich zur

Deckung bringen — die Decktransformationen — be¬

schrieben.

II. Einleitung.

Untersuchungsobjekt ist der K r i s t a 11 r a u m, d. i. derjenige

R3, welcher drei linear unabhängige Translationen (T) endlicher

Größe gestattet (T-Untergruppe), bei dem sich alle ihm inne¬

wohnenden Eigenschaften dreifach periodisch ins Unendliche

wiederholen. Die drei die Metrik bestimmenden kürzesten Grund¬

translationen e, f, g spannen das sog. primitive Parallel¬

epiped (pP) auf, das durch die dreifach periodische Wieder-

— 10 —

holung den R3 lückenlos ausfüllt. Es genügt demnach, die Ver¬

hältnisse in ei n e m pP zu kennen. Zwei, drei oder vier pP werden

manchmal zweckmäßig zu einer größeren Einheit, dem Eleraen-

tarparallelepiped (EP), zusammengefaßt. Die Eckpunkteder pP bilden ein T r a n s 1 a t i o n s g i 11 e r (TG). Nach A. Bra¬

vais (1) lassen sich die TG auf 14 i. B. auf die Symmetrie ver¬

schiedene EP zurückführen.

Die Einteilung des R3 in pP ist das einfachste Beispiel einer

regelmäßigen Raumteilung (RT). Sie hat folgende

Eigenschaften: 1. Die pP sind konvexe Polyeder, 2. alle pP sind

i. B. auf eine T-Gruppe gleichwertig, 3. die pP erfüllen den R3

lückenlos; jeder Punkt des R3 liegt im Innern oder an der Ober¬

fläche eines pP, 4. die pP grenzen nur mit „ganzen Flächen"

aneinander, d. h. es fallen immer und nur Ecken auf Ecken,

Kanten auf Kanten und Flächen auf Flächen, da es keine Seiten¬

fläche gibt, die zugleich an zwei oder mehr Flächen verschiedener

anderer pP stößt, wie dies z. B. bei folgender Anordnung der Fall

wäre: Fig. 1, und 5. die pP befinden sich alle in paralleler Stel¬

lung und Lage.

III. Die Wirkungsbereiche der Gitterkomplexe, die

Stereoeder und die Fundamentalbereiche. Formu¬

lierung des Problems. Die Zerlegungsbereiche.

1. Der kristallographische (äquiformgeometrische) und.

affingeometrische Standpunkt.

a) Allgemeines über Raumgruppen.

Die unendlichen eigentlich-diskontinuierlichen Bewegungsgruppen des

R3, die sog. Raumgruppen (RQ), zerfallen in zwei Kategorien, solche

mit endlichem und solche mit unendlichem Fundamentalbereich (FB). Durch

L. Bieberbach (1) wurde die vron D. h'ilbert (1) gestellte Frage nach der An¬

zahl der RO mit endlichem FB des R" im Sinne der Endlichkeit dieser An¬

zahl beantwortet (affin-verwandte RQ als gleich betrachtet). E. S. Fedoroff

(6), A. Schoenflies (1), P. Niggli (1), /. /. Burckhardt (4), F. Seitz (1)leiteten diese Gruppen für den R3 ab und fanden deren 230 (affin-ver¬wandte RG als gleich betrachtet, von den enantiomorphen RG abgesehen;nicht-affin-verwandte RG gibt es 219; vgl. B. Delaunay, N. Paduroff, A.

— 11 —

Alexandroff (1)). [Weitere Darstellungen findet man z.B. bei W.T.Asl-

bury and K. Yardley (1), W. Barlow (1, 2), S. >4. Bogomolov (1,3), //.

Bouasse (1), //. Heesch (1), C. Hermann (1), //. Hilton (1), Internationale

Tabellen (1), Ca. Mauguin (1), £. Schiebold (1-3), I. Weôe/- (1), tf. W. G.

Wj-c/£o//(l)]. Die RO mit unendlichem FB stellten £. Alexander (1) (0-,

1-dim. RG, Anzahl unendlich), £. Alexander und K. Herrmann (1), .4. Ä«/'-

g-<?«/ und #. Weissenberg (1), Z.. W<?6er (2), //. Heesch (1), und /. /. Burck-

hardt (1—4) (2-dim. RG., Anzahl = 80) auf. Sie interessieren in dieser Ar¬

beit weiter nicht.

Es gilt der Fundamentalsatz, daß jede RG des R" (im fol¬

genden immer mit endlichem FB verstanden) eine invariante T - U n t e r-

g r u p p e mit n linear unabhängigen Translationen (T) besitzt. Die T-

Gruppe ist die einfachste RG, welche in allen RG als ausgezeichnete Unter¬

gruppe auftritt. Ihre Faktorgruppe ist endlich und isomorph einer der 32

Kristallklassen.

Jede RG besteht aus einer Gesamtheit von Symmetrieopera¬

tionen (SO), die den Kristallraum in sich überführen. Diese SO können

entweder arithmetisch-algebraisch (/. /. Burckhardt (1—4), F. Seitz (1))

oder anschaulich geometrisch durch Symmetrieelemente (F. S. Fedoroff (6),A. Schoenflies (1), P. Niggli (1)) dargestellt werden.

Befindet sich ein geometrisches Gebilde (Punkt, Raumteil um diesen

Punkt, Linienelement von diesem Punkt aus) an einer Raumstelle, so wird

es durch die SO in unendlich viele andere Gebilde übergeführt, die mit dem

ursprünglichen kongruent (RG erster Art, keine Spiegelungen, Dreh- oder

Gleitspiegelungen unter den SO vorhanden) oder spiegelbildlich kongruent

(RG zweiter Art) sind und als gleichwertige oder äquivalente Ge¬

bilde bezeichnet werden. Gleichwertige Gebilde bilden einen (homogenen)

Gitterkomplex (GK) (P.Niggli (1), Int. Tab. (1)). Die Gesamtheit

derjenigen Operationen oder Symmetrieelemente, welche einen Punkt in

sich überführen (Punktgruppe, Kristallklasse), heißt die Symmetrie¬

bedingung (SB) des betreffenden Punktes. Ein Gebilde, dessen SB

nur die Identität ist, befindet sich in allgemeiner Lage (Cj).

Es gibt 13= 10 -j- 3 (3 davon sind einfach die Spiegelbilder von 3

anderen) RG, die fixpunktfrei sind, d. h. bei denen kein Punkt bei

irgend einer von der Identität verschiedenen Operation der RG fest bleibt.

Diese RG: Ci, C», C2/, Cf, C*/, D* ( = V*); C], C4„ C\v, C\v spielenin der Theorie der Raumformen eine wichtige Rolle. (Vgl. III, 2).Die SB sei > Cu d.h. gleich einer der 31 Kristallklassen: C„, D„, T, O

(l.Art); Cs, Cni, Cnh, S2m, D„v, Th, Dnh, Ta, Ok (2. Art) (n = 2,3,4,6;m = 1, 2, 3; n'= 2, 3). Ihre Zähligkeit werde mit v (= Ordnung) bezeich¬

net. Nach H. Minkowski [(4), vgl. P. Bachmann (1, S. 342/358) und P.

Niggli (2)] ist v ein Teiler von 48: 48, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1. Sind N GP

der SB = Q im pP einer RG enthalten, so bezeichnet man die ganze Zahl

Z = N/v als die Zähligkeit der speziellen Punktlage der betreffenden

— 12 —

SB^Cj. Die N Punkte allgemeiner Lage sind gleichsam zu Z Komplexenmit je v GP (Q) zusammengefaßt. Nma, (Q) ist folglich 48 (0A-RG),

Nma* (SB > Q) = 24. (Auf ein 2-, 3- oder 4-fachprimitives EP bezogenwird N',MV = 102.)

Das Ursprüngliche sind fur uns die RG, das sind die Gruppen aller

Symmetrieoperationen (SO) ; die Realisierung durch regelmäßige Punkt¬

systeme (A. Schoenflies, P. Niggli) bzw. Raumteilungen (RT) (E. S. Fe-

doroff) nur zwei verschiedene, duale Darstellungsweisen ein und derselben

Gruppe.

b) Die Wirkungsbereiche.

1st ein GK gegeben, so kann man auf folgende Weise um

jeden Gitterpunkt (GP) herum einen eindeutig bestimmten

Raum teil WB abgrenzen: Man ersetze den GP und alle mit

ihm gleichwertigen Punkte durch hinreichend kleine Kugeln der¬

selben Größe; lasse diese Kugeln alle gleichmäßig wachsen, bis

sie aneinanderstoßen; hierauf beginnen sie sich abzuplatten. Die

gemeinsame Ebene ist Mittelnormalebene zur Verbindungsstreckeder Mittelpunkte zweier sich abplattenden Kugeln. Beim weiteren

Wachstum und Abplatten der Kugeln behalten diese Ebenen ihre

Lage bei; es können jedoch nach Berührung mit Kugeln ent¬

fernterer Punkte neue Mittelnormalebenen entstehen. Nach einer

endlichen Anzahl von Schritten [vgl. E. Cartan{\); über alle

Grenzen kann die Zahl der begrenzenden Mittelnormalebenen

nicht wachsen, da sich sonst die GP im Endlichen häufen würden]erhält man ein von endlich vielen Mittelnormalebenen begrenztes,konvexes Polyeder, dessen Inneres aus allen den Punkten be¬

steht, deren Abstände vom GP kleiner als von irgend einem ihm

gleichwertigen GP sind (Fig. 2). Nach P. Niggli (3, 2) wird dieser

Bereich Wirkungsbereich (WB) genannt, gemäß der De¬

finition: „Dieser Wirkungsbereich umfaßt alle Punkte, die dem

herausgegriffenen Punkt enger benachbart sind als irgend einem

ihm gleichwertigen." Der WB kann auch als der Durchschnitt

aller derjenigen den GP enthaltenden Halbräume, welche von den

Mittelnormalebenen der Verbindungsstrecken des GP mit allen

ihm gleichwertigen GP gebildet werden, definiert werden. (Die

Zugehörigkeit der Randpunkte des WB zu den angrenzenden WB

bedarf einer besonderen Untersuchung.) Umgekehrt gehört zu

— 13 —

jedem WB mindestens ein sog. konjugierterGitterpunkt

(kGP), dessen WB mit dem gegebenen übereinstimmt.

Diejenigen GP, welche vom herausgegriffenen die gleiche,

absolut kürzeste Entfernung haben, bilden die Umgebung „1.

Sphäre". Alle andern GP ordnen sich je nach der Größe ihres

Abstandes vom gegebenen GP in „2., 3., ... Sphären" um

ihn an.

Anm. Stereoeder (im speziellen Sinn) (E.S. Fedoroff (1)), einfacher

Fundamentalbereich (im speziellen Sinn) (A. Schoenflies (1), E. Steinitz

(1)), zentrierter Fundamentalbereich (F. Klein (2)), normaler Diskontinui¬

tätsbereich oder Normalpolyeder (R. Fricke und F. Klein (1), H. Seifert (1),

W. Threljall (1)), polyèdre rayonné (Th. Got (1,2)) und Wirkungsbereich

(P. Niggli (3, 2)) einer allgemeinen Punktlage sind identisch. Vgl. W. No-

wacki (3).

Aus der WB-Konstruktion folgt, daß ein WB die in der Ein¬

leitung für das pP genannten vier ersten Eigenschaften besitzt und

zu besonderen Raumteilungen (RT) Anlaß gibt, die in dieser Ar¬

beit untersucht werden. Es folgt nun eine Darstellung der all¬

gemeinen Eigenschaften der WB, ihrer begrenzenden Ebenen¬

stücke, ausgezeichneten Geradenstücke und Punkte bzw. ihrer

Flächen, Kanten und Ecken und der Bedingungen dafür, daß ein

Polyeder WB einer RG ist.

a) Allgemeine Eigenschaften der Wirkungsbereiche.

Historische Anmerkung. In dem Werk von R. Fricke und F.

W«-' Vorlesungen über die Theorie der automorphen

Funktionen. 1. Bd. Die gruppentheoretischen Grundlagen. 1. Aufl. 1807,

2. anastatisch gedruckte Auflage 1926, B. G. Teubner, Leipzig (im folgenden

als A mit Seitenzahl zitiert) wird die allgemeine Theorie der Normalpoly¬

gone bzw. -polyeder, die mit unseren WB identisch sind, weitgehend behan¬

delt. Die hier gegebene Darstellung schließt sich daran an; sie bringt eine

— insbesondere auf die RG 2. Art und für spezielle GK (SB>Cj) erwei¬

terte — Spezialisierung auf den euklidischen Raum. (Über den 2-dim.

Raum vgl. die Arbeiten von Ff. Poincaré (1), über Prioritätsansprüche

F. Klein's Ges. math. Abh. Ill, 577. 1923.) (Vgl. P. Fatou(\), Th. Got

(1,2), B.L.vanderWaerden (1)).

Alle WB zusammen mit ihren ganzen Umgebungen sind der

Gleichwertigkeit der GP wegen, um die sie konstruiert wurden

(kGP), auch gleichwertig (kongruent oder spiegelbildlich

— 14 —

kongruent). Aus der WB-Konstruktion folgt unmittelbar, daß

die WB konvexe, von endlich vielen Flächen be¬

grenzte Polyeder sind, welche den Raum lücken¬

los so ausfüllen, daß immer und nur Fläche auf Fläche, Kante

auf Kante und Ecke auf Ecke fällt (mit ganzen Flächen anein-

andergrenzen), weil man sonst von einem GP aus mehrere ver¬

schiedene Lote auf eine Fläche fällen könnte. Über die Lage der

Symmetrieelemente gegenüber den WB gelten die sofort ersicht¬

lichen Sätze: Drehungsachsen, Spiegelebenen (SE) und Schnitt¬

punkte von Drehspiegelachsen mit Drehspiegelebenen können nur

auf der Oberfläche der WB liegen, es sei denn, sie beteiligen sich

an der SB des kGP, d. h. gehen bei allen Operationen der SB in

sich über; dann gehen sie natürlich durch den WB hindurch.

Schraubenachsen (SA), Translationen (T) und Gleitspiegelebenen

{GSE) hingegen dringen ins Innere der WB ein. Der um den kGP

gebildete WB weist die besondere Symmetrie der betreffenden

SB auf und geht bei allen Operationen der SB in sich über. Die

SB hat weiter zur Folge, daß im Innern jedes WB von einer Sorte

gleichwertiger Punkte im allgemeinen v und nur v, im Innern und

auf der Oberfläche von jeder Sorte mindestens im allgemeinen v

Punkte enthalten sind (v = 1, WB = allg. FB). Ist die SB eines

Oberflächenpunktes >C1} so ist er durch die Operationen der

SB sich selber zugeordnet. — Jeder WB(SB>Ci) kann durch

Ebenen gemäß der SB unterteilt werden, wodurch man zu all¬

gemeinen FB(SB = Ci) der RG gelangt. Ist umgekehrt eine RT

in WB (C^ gegeben, so kann man stets um einen Gitterpunkt der

SB > Q v WB zu einem einzigen Bereich zusammenfassen, der

den Raum auch lückenlos durch ihm lauter gleichwertige, einfach

zusammenhängende, nicht mehr notwendig konvexe Bereiche, die

mit ganzen Flächen aneinandergrenzen, ausfüllt. Seien z. B. WB

diejenigen Wirkungsbereiche der GP einer RG 2. Art, welche

durch die Operationen 1. Art und WB diejenigen, welche durch

die Operationen 2. Art auseinander hervorgehen, so bilden ein

WB -j- ein WB, die eine Seite gemeinsam haben, ein sog. Doppel¬

polyeder (A 139), das FB (im allgemeinen aber nicht WB) der¬

jenigen RG l.Art ist, aus der die betreffende RG 2. Art entstand.

Bei ausgezeichneter Lage des GP ist es möglich, daß das Doppel-

— 15 —

polyeder zugleich WB, nicht nur FB für die RG 1. Art ist. —

Schließlich folgt aus der Definition des WB: GP! gehört dem zu

GP2 gehörigen WB2 (Inneres oder Rand) dann und nur dann an,

wenn umgekehrt GP2 dem WBi von GPj (Inneres oder Rand) an¬

gehört (A 260, Reziprozitätssatz der WB).

ß) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß ausgezeich¬neten Ebenenstücke und die Flächen der Wirkungsbereiche.

Im Folgenden sollen die Ebenenstücke, welche die Oberfläche

der WB bilden, näher untersucht werden. Bei der Ausarbeitungdes Stoffes zeigte es sich, daß eine Klassifikation der begrenzendenWB-Ebenenstücke erstens nach kinematischen, zweitens nach

Gesichtspunkten der SB der allgemeinen, konstituieren¬

den Punkte der WB-Ebenenstücke geschehen kann und daß sich

diese zwei Einteilungen z. T. durchkreuzen.

Bei der ersten Klassifikation fragt man sich, welche

kinematisch verschiedenen Ebenentypen als be¬

grenzende WB-Ebenenstücke bei fester RG-Metrik auf¬

treten können, wenn der kGP innerhalb seines Symmetrie¬

gebietes (SG) (K. Weisse/tberg (l)1)) beliebig variiert, ob

Punkte oder Geraden an der WB-Oberfläche liegen, die bei dieser

Variation des kGP fest bleiben, die neben den Ecken (Ecke =

Punkt, in dem mindestens vier, Kante = Gerade, in der mindestens

drei WB zusammenkommen) und Kanten der WB als „kine¬matisch ausgezeichnete" WB-Oberflächenelemente be¬

zeichnet werden.

Bleibt bei der kQP-Variation kein Punkt des Ebenenstückes (E.)fest, so soll es „z u f ä 11 i g" heißen. Wenn e i n Punkt, der im Endlichen

gelegen ist, fest bleibt, handelt es sich um ein „p u n k t a 1 r o t i e r e n d e s"

E.; ist dieses feste Rotationszentrum im Unendlichen gelegen, so bleibt das

E. immer normal einer bestimmten, festen Ebene oder — anders ausge¬

drückt — immer parallel einer bestimmten, festen Geraden (Zone) und

wird „zonalschraubendes" E. genannt. Sind zwei im Endlichen

gelegene Punkte von E. (und damit die ganze sie verbindende Ge¬

rade) fest, kann E. nur um diese Achse rotieren und heißt dann

„a x i a 1 r o t i e r e n d" ; liegen die beiden festen Punkte im Unend-

!) Unter dem SG versteht man alle Punkte, die im Schnitt aller Sym¬metrieelemente einer gegebenen SB liegen.

16

lichen (d. h. ist die unendlich ferne Gerade fest), so haben wir ein „trän s-

latierendes" E. vor uns, und sind schließlich drei Punkte von E.

fest, so das ganze E., welches „feste s" E. genannt wird.

Es ergibt sich daher folgende Zusammenstellung von

einzig möglichen Typen von Ebenenstücken, in der jeder Typus

von Ebenenstücken durch seine Freiheitsgrade (FG) und Para¬

meter z. B. die zwei Richtungscosinus (<£>,/?) der Normalen zum

E. durch einen beliebigen Nullpunkt und den Abstand r des Durch¬

stoßpunktes dieser Normalen mit dem E. vom Nullpunkt charak¬

terisiert wird.

Nr. konst. variabel FO Name

1

2 r = 0

r, «, ß 3

2

zufälliges E.

punktalrotierendes E.

371

"=2 r,ß 2 zonalschraubendes E.

4 r = 0, a =

71

J 1 axialrotierendes E.

5

6

1—5

a,ß

T, «, J

r 1

0

3,2,1

translatierendes E.

festes E.

bewegliche E.

Zum selben Resultat gelangt man auf folgende Weise:

Irgend zwei gleichwertige Punkte, zwischen denen die Mittelnormal¬

ebene konstruiert werden soll, müssen durch ein Symmetrieelement inein¬

ander übergeführt werden können. Solche Symmetrieelemente sind einzig :

2-, 3-, 4-, 6-zählige Drehungs- und die entsprechenden Schraubungsachsen

(SA). Translationen (T), Spiegelebenen (SE), Gleitspiegelebenen (GSE) und

2-, 4-, 6-zählige Drehspiegelachsen (-ebenen). Untersucht man daher voll¬

ständig die Bewegungsmöglichkeiten der Mittelnormalebenen (WB-Ebenen-

stücke!) der Verbindungsstrecken zweier Punkte, die i. B. auf eines der

obigen Symmetrieelemente gleichwertig sind, so gelangt man zu einer er¬

schöpfenden kinematischen Klassifikation der WB-Ebenenstücke. — Die

gleichwertigen Punkte können 3, 2, 1 oder 0 FG haben. Haben sie 2 FG,

d. h. sind sie an eine Symmetrieebene gebunden, so hat man zu untersuchen,

welche Lagen eine Symmetrieebene gegenüber den aufgezählten Symmetrie¬

elementen haben kann, was aus der Lehre des Diskontinuums bekannt ist,

und darauf zu prüfen, welcher Art die Variation der Mittelnormalebene

der Verbindungsstrecke zweier solcher gleichwertigen Punkte mit nur 2 FG

bei Variation des Punktes innerhalb der Symmetrieebene ist. — In analoger

Weise müssen alle verschiedenen Lagen einer Symmetrieachse gegenüber

obigen Symmetrieelementen aufgesucht und nachgesehen werden, welche

Variabilität der Mittelnormalebene bei Variation des Punktes (und damit

— 17 —

seines i. B. auf das betreffende Symmetrieeletnent gleichwertigen) auf der

Symmetrieachse auftritt. — Hat der kGP 0 FQ, so sind alle Ebenenstücke

„fest". — Das Ergebnis besteht in den oben abgeleiteten sechs Mög¬lichkeiten.

Beispiele.

Nr. 1, zuf ä 11 i g e s E.

Mittelnormalebene zu zwei helikoidal-gleichwertigen Punkten führt

bei allgemeiner Bewegung des kGP zufällige Bewegung aus.

Nr. 2, punktalrotierendes E.

E. dreht sich um S2m-Punkt; steht eine Symmetrieebene, in der sich

der kGP befinden soll, normal einer 3-zähligen SA, so dreht sich das Stück

der Mittelnormalebene um einen Punkt auf der 3-zähligen SA, der vom

Durchstoßpunkt der SA mit der'Symmetrieebene um Ve (der Translations¬

komponente parallel der SA) entfernt ist.

Nr. 3, zonalschraubendes E.

Stück einer Mittelnormalebene zweier durch eine GSE gleichwertigensich allgemein bewegenden GP.

Nr. 4, axialrotierendes E.

E.-Drehung um Dreh-, Drehspiegelachsen.Nr. 5, translatierendes E.

Parallelverschiebung des E., wenn kGP durch reine T gleichwertigsind oder sich auf Symmetrieachse parallel einer 2-zähligen SA bewegen.Nr. 6, festes E.

Jedes Stück einer SE ist fest; jedes E. der WB-Oberflache eines GP

mit 0 FG ist fest.

Die Oberfläche eines WB setzt sich aus solchen Ebenen¬

stücken zusammen und zwar ist die einzelne Fläche entweder

ein einziges Ebenenstück oder aus mehreren solchen

begrenzenden Ebenenstücken zusammengesetzt, wie z. B. in Fig. 3a.

Die zweite Klassifikationsmethode nach der SB

der allgemeinen Ebenenpunkte ergibt nur die zwei Typen: Ct-Ebenenstück (beweglich oder fest) und Cs-Eb en en s tück

(SE, fest). SE, die nicht zur SB des kGP gehören, nehmen immer

an der Begrenzung der WB teil, welche SB der kGP auch haben

mag. Es ist auch möglich, daß Stücke einer SE teils begrenzendeWB-Ebenenstücke sind, andere Stücke an der SB des kGP teil¬

nehmen. (Anm. Betrachtet man nur kGP mit der SB = Q (allg.FB), so können bei beliebiger Variation derselben nur Stücke von

festen SE und sich bewegenden Ebenen als begrenzende Ebenen¬

stücke der WB auftreten, weshalb R. Fricke und F. Klein erstere

— 18 —

reguläre, letztere zufällige Flächen nannten.) Man faßt die i. B.

auf die SO der RG gleichwertigen Cs-Ebenenstücke in eine

„Klasse gleichwertiger" zusammen und erhält den Satz:

Jeder WB zieht sich im allgemeinen an wenigstens v (y = Zählig-keit der SB des kGP) SE-Stücke aus der einzelnen Klasse der¬

jenigen SE-Stücke heran, die nicht zur SB des kGP beitragen,denn sonst müßten diese Ebenenstücke der Gleichwertigkeit aller

WB und der lückenlosen Raumerfüllung wegen im Innern irgendeines WB auftreten, was unmöglich ist.

Jeder WB weist, wie erwähnt, diejenige Symmetrie auf, die der

SB des kGP gleich ist. Die Gesamtheit seiner Flächen

ist folglich entweder eine einfache Kristallform, wenn

alle Flächen i. B. auf die SB des kGP gleichwertig sind, oder

eine Kombination verschiedener einfacher Kristallformen.

Es ist mittelst stereographischer Projektion leicht möglich, diejenigeneinfachen Kristallformen zu finden, die als „Orundkristallformen1. Sphäre" (S. 13) für die WB höchstens in Frage kommen. Dazu ist

nur zu bedenken, daß irgend ein Flächennormalenwinkel zwischen zwei

Flächen irgend einer einfachen Kristallform irgend einer Kristallklasse

2g600 sein muß, da sonst die 1. Sphäre, d.h. die Verbindungsstreckedes gegebenen OP mit seinem nächsten Nachbarn, nicht die absolut kür¬

zeste wäre. Durch diese Forderung scheiden sehr viele Kristallformen aus;

für andere bleibt ein genau angebbares (2-, 1-, 0-dim.) Existenzfeld in der

stereographischen Projektion übrig. Man gelangt zu folgenden an sich mög¬

lichen Orundkristallformen 1. Sphäre: Rhombendodekaeder (Oa, TA, Td,

O, T), Pentagondodekaeder (TA, T), tetr. Pentagondodekaeder (T), Okta¬

eder (Oa, TA, O), tetr. Bipyramide (DM, ClA, D4, D4A), Trapezoeder (DJ,Skalenoeder (D2d), rh. Bipyramide (D2A), Hexaeder (Oa, TA, Td, O, T), hex.

Prisma (C6, C6v, C6A, D6, D6A, S6, D3, Dsd, D3A), Rhomboeder (S6, D3, D3d),

trig. Bipyramide (D,, C3A> D3A), Trapezoeder (D3), Tetraeder ÇTd, T), tetr.

Prisma (C4, Civ, S4, D2d, ClA, D4, D4A), Pyramide (C4, C4v), Bisphenoid (S4,

D2rf), rh. Prisma (C,,,, D2, D2A), Bisphenoid- (D2), Pyramide (C2y), trig.

Prisma (C3, C3v) D3, C3A, D3A), Pyramide (C3, C3v), Pinakoid (S4, D2d,

C4/,, D4, D4A, C6A, DCl D6A, Se, D3) u3d, C3A, D3A, C2i„ D2, D2A, C2, Cs, C2A)

S2), Sphenoid (C2), Doma (C2„, Cs), Pedion (C4, Civ, C6, C6„, C3, Cj^,

C2v, C2, Cs, C4) 2). — Welche der Orundkristallformen 1. Sphäre in Kom¬

binationen auftreten können und dann das bilden, was man als Q r u n d-

g estalt (1. Sphäre) des WB bezeichnen könnte, läßt sich wenigstens in

den hochsymmetrischen Fällen mittelst stereographischer Projektion ent-

2) Die maximale Flächenzahl dieser Formen ist 12.

19 —

scheiden. Durch die Kristallformen höherer Sphären wird die Orundgestaltdurch Ecken- und Kantenabstumpfung schließlich zum raumerfüllenden WB,

wobei gewisse Regeln über die Entstehung der Kombination gelten. (Vgl.L. H. Borgström (1), E. Ernst (1)). Diese Kristallformen höherer Sphärenmüssen Formen derjenigen Kristallklasse sein, in der die Grundform 1. Sphärevorkommt. Diese Klassen sind jeder solcher Form in Klammern zugefügt,worauf in jedem Lehrbuch der Mineralogie die betreffenden, 'an sich denk¬

baren Formen einer Kristallklasse nachgeschlagen werden können. [Z. B.

P. Niggli (11), S. 26/27, 54/55, 74/79, 115, 153/154.]

Von Wichtigkeit ist die durch die SB des kGP und die SO der

RG bewirkte gegenseitige Zuordnung der begrenzendenEbenenstücke eines WB.

Der Einfachheit halber sei die SB des WB vorerst nur die

Identität Q. Die begrenzenden WB-Ebenenstücke sind dann er¬

sichtlich paarweise („ohne Rest und Überschuß") durch Ope¬rationen (1. oder 2. Art) der RG aufeinander bezogen (A 150),denn führt die SO Ax WB, in WB2, so die inverse A2 = Ar1 WB2

in WBi über; dadurch (A2) wird die gemeinsame Seite von WBt

und WB2 auf eine ihr kongruente von WBj. bezogen. Der WB

eines GP allgemeiner Lage (Cx) hat demnach eine gerade Zahl be¬

grenzender Ebenenstücke, wobei folgende Bemerkung wich¬

tig ist: Jedes begrenzende Ebenenstück ist so oft zu zählen,wie die Ordnung seiner Ebenensymmetrie angibt. Beispiele:1. Fig. 3a, zwei begrenzende Ebenenstücke, die eine Fläche

bilden; 2. Fig. 3b, zweifaches Ebenenstück; 3. Fig. 3c, n-faches

Ebenenstück; 4. Fig. 3d, jeder Punkt einer SE entspricht sich

selbst und zählt doppelt; 5. Fig. 3 e, zweifaches Ebenenstück.

Ist die SB des kGP gleich einer der 31 kristallographischen

Punktgruppen C2 bis Oh, so sind die begrenzenden Ebenenstücke

sich wieder zugeordnet, aber nicht mehr nur paarweise. Dies hat

zwei Gründe: erstens sind sie als ganze Flächen oder Teile ganzer

Flächen einer einfachen Kristallform (als i. B. auf die SB gleich¬

wertig) einander zugeordnet, zweitens kommen wie bei SB = Ct

die übrigen SO der RG in Betracht.

y) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß ausgezeich¬neten Geradenstücke und die Kanten der Wirkungsbereiche.

Kinematisch ausgezeichnete begrenzende Ge¬

radenstücke der WB werden z.B. als Schnitt je zweier be-

— 20 —

grenzenden Ebenenstücke erhalten, deren Anzahl vom kinemati¬

schen Standpunkt gleich LI + 6 = 21 ist. Eine Gerade hat im

allgemeinen vier FG, z. B. zwei Richtungscosinus und die zwei

Koordinaten ihres Durchstoßpunktes mit der xy-Ebene. Die ver¬

schiedenen Typen von Geradenstücken könnten mit besonderen

Namen bezeichnet werden, worauf verzichtet wurde, außer in den

Fällen : Schnitt zweier zufälligen Ebenenstücke = „zufälliges"Geradenstück (4 FG) und zweier festen Ebenenstücke = „feste s"

Geradenstück (OFG).

Als Beispiele mögen erwähnt werden :

1. zufälliges Qeradenstück (G.), Schnitt zweier zufälligen E. 2. Schnitt

zweier punktalrotierenden E., in CJ für allgemeine Punktlage möglich.3. Schnitt zonalschraubendes mit axialrotierendem E., in Cî|„ für allge¬meine Punktlage möglich. 4. Schnitt translatierendes mit zonalschraubendem

E., in C,2 für allgemeine Punktlage möglich. 5. Schnitt zweier axialrotie¬

renden E., Cg. 6. Schnitt axialrotierendes mit translatierendem Ej,

Cj. 7. Schnitt zweier translatierenden E., alle kinematisch ausge¬

zeichneten Oeradenstücke der WB-Oberflachen der GP in C[. 8. Schnitt

translatierendes mit festem E., C*. 9. Festes G., Teile aller Drehungs-,

Drehspiegelungs- und Schraubungsachsen, Schnittgeraden von GSE unter

sich oder mit SE, usw. — Geradenstücke mit einem FG > 0 werden auch

beweglich genannt.In Cg z. B. kann es für die SB = Cs des kGP vorkommen, daß die

SE der SB auf einer WB-Fläche normal steht und sie in einer gewissenGeraden schneidet (Fig. 3e). Solche Schnittgeradenstücke von Symmetrie¬ebenen (SE oder GSE) mit den WB-Flächen sind kinematisch nicht aus¬

gezeichnet, denn sie bewegen sich gleich wie irgend ein anderes Geraden¬

stück in der betreffenden Fläche; als Schnitt einer im Kristallraum auf¬

tretenden Symmetrieebene mit der WB-Oberfläche stellen sie aber doch

etwas Charakteristisches dar und sollen als im weiteren Sinne kinematisch

ausgezeichnet betrachtet werden.

Die Symmetrie der Punkte der Geradenstücke führt

zur zweiten Klassifikation in Cs- (beweglich oder fest) und C,;-,

C„„- (fest) Geradenstücke, die „symmetriegemäß aus¬

gezeichnet" heißen.

Die symmetriegemäß ausgezeichneten Oberflächengeraden-stücke der WB sind entweder Kanten oder liegen innerhalb der

Flächen. C3(S6)-, C4-, C6-, C3„-, C4v- und C6„-Geradenstücke, die

nicht zur SB des kGP gehören, sind immer Kanten von WB.

— 21 —

C2(S4)- und C2l,-Geradenstücke können, müssen aber nicht immer

WB-Kanten sein. Reine SA sind für Ci-GP sicher keine Kanten.

Von den übrigen Geradenstücken ist ohne Einzeluntersuchungnichts allgemeines zu sagen.

Durch die Zuordnung der Stücke der begrenzenden WB-

Ebenen wird auch eine solche der Geraden hervorgerufen. Für

die Q-Kanten gilt der Satz (Verallgemeinerung des entsprechen¬den Satzes in A 121): Die Q-Kanten eines WB gehören im all¬

gemeinen zu 3 v (v == Zähligkeit oder Ordnung der SB des kGP)[oder, wenn der kGP eine ausgezeichnete Lage einnimmt, zu

n>3v] in Zyklen zusammen, indem die zugehörigen bv [bzw.

2n] WB-Ebenenstücke ohne Rest und Überschuß (eineindeutig)durch die SO der RG und der SB (für v = 1 paarweise) ineinander

transformierbar sind. Die Summe der durchwegs konkaven

Flächenwinkel eines solchen Zyklus ist 2 711». Die Abstände des

kGP von den 3v Kanten eines Zyklus sind einander gleich.

Für v = 1 wird der Satz bei Betrachtung der Fig. 4 *) einleuchtend. (InFig. 4 sind die Q-Kanten a^ a2, as parallel und normal der Bildebene an¬

genommen, was am Beweis für den allgemeinen Fall nichts ändert.) Da

WBn—WB. gleichwertig sind, müssen die Winkel au a2', a3" für die

cii -f- a/ -}- a3" = 2 7i ist und die zu drei verschiedenen WB gehören, alle

auch in ein und demselben WB als c^, a2, a3 auftreten: a1 = a1, a2'=a2,as" = a3, et, -j- a2 + a3 = 2 n. a.u a2, as ist ein Zyklus von Cj-Kanten.Wegen des Gesetzes der WB-Konstruktion ist OPj — a1 t= QP2 — ai =

OP3 — a1 und wegen der Gleichwertigkeit der drei WB GP2 — a± = GPt — a2,

GP- — ai^GPi — a3, somit GPj von alt a2, a3 gleich weit entfernt. Sind

3lu a2, a3 parallel, so ordnen sie sich auf einem Kreiszylinder um GPt an.

Ist r>l, so wird dadurch die ganze Erscheinung im allgemeinen ver-

r-facht; zu einem Zyklus gehören 3v-Kanten und die Summe der Flächen¬

winkel eines Zyklus beträgt 2nv.

Bei Zusammenfassung der Cs-Geradenstücke in Klassen gleich¬wertiger ist die Summe der entsprechenden Flächenwinkel im all¬

gemeinen gleich nv. Gehört die SE nicht zur SB des kGP und

steht die d-Ebene normal zu ihr, so stoßen an dem Cs-Geraden-stück vier, anderenfalls sechs oder vier WB aneinander.

Für die begrenzenden Cn-, C,!V,-Geradenstücke gilt der Satz:

Der WB eines GP zieht sich wenigstens an v Geradenstücke aus

x) Fig. 4 ist nur als qualitative Skizze aufzufassen.

— 22 —

der einzelnen Klasse derjenigen gleichwertigen C„-, C„v-Geraden-

stücke, die an der SB des kGP nicht beteiligt sind, heran, denn

sonst wären diese Geradenstücke im WB-Innern (A 122). Der

kGP ist der Gleichwertigkeit der C„-, C„„-Geradenstücke einer

Klasse wegen von diesen Geradenstücken, wenn überhaupt meh¬

rere auf dem Rande des WB liegen, gleichweit entfernt.

Ist a ein C„-Geradenstück, so ist der entsprechende Ebenen¬

winkel gleich 2jr/n und E1(2) wird in E2(1) durch Drehung 2jr/n

(um a) genau übergeführt (Fig. 5).

<5) Die begrenzenden, kinematisch und symmetriegemäß ausgezeich¬neten Punkte und die Ecken der Wirkungsbereiche.

Kinematisch ausgezeichnete Oberflächen¬

punkte der WB werden z. B. als Schnittpunkte je zweier kine¬

matisch ausgezeichneten Geradenstücke oder je dreier Ebenen-

stücke oder je eines Ebenen- und je eines Geradenstückes erhalten

und lassen sich in analoger Weise wie die Ebenen- und Geraden¬

stücke einteilen; z.B. heißt der Schnittpunkt dreier zufälligen

Ebenenstücke „zufälliger" Punkt (3 FG), derjenige dreier

festen Ebenenstücke „fester" Punkt (0 FG). Daneben gibt es

Punktarten mit 2 und 1 FG. Die nicht-festen Punkte heißen b e-

weglich.

Beispiele fester Punkte sind: alle Punkte der SB= Dn, T, O, S2m, Cnfl,

®n'd, TA, D;,/„ Td, Oh; Schnittpunkte von SA unter sich, mit QSE, SE, von

GSE unter sich, mit SE usw. — Diese kinematisch ausgezeichneten Punkte

werden mit den Durchstoßpunkten von Symmetrieachsen mit den WB-

Flächen zu den im weiteren Sinne kinematisch ausgezeichneten Punkten

zusammengefaßt.

Hinsichtlich der Symmetrie kann man unterscheiden:

C,r, Cs-, C„„- (beweglich oder fest), D„-, T-, O-, S2m-, Cnh-, Dn-d-,

T/,-, D„/;-, Td-, 0A-Punkte. Diese Punkte werden „symmetrie¬

gemäß ausgezeichnet" genannt. Die symmetriegemäß aus¬

gezeichneten Oberflächenpunkte sind entweder Ecken, in denen

mindestens vier WB zusammenstoßen, oder innere Punkte von

Kanten und Flächen.

Ecken, welche SB und Lage der kGP auch haben möge, sind

sicher und nur die T-, O-, TA-, T>, 0/,-Punkte. Wenn die SB (kGP)

— 23 —

nur Ci sein soll, sind die C3h-, Cih-, C6A-, Dnh-, T>. T>. CvPunkte

sicher Ecken. Die S4-, S6-, D2d-, D3i-Punkte sind nur Ecken, wenn

bei SB = Q der kGP außerdem nicht in der Drehspiegelebene

liegt. C2A-, S2-, C„v-, Cn-, Cs-Punkte können Ecken sein, brauchen

es aber nicht immer zu sein. — Ist die SB (kGP) > Cu so läßt sich

ohne Spezialuntersuchung nichts allgemeines aussagen.

Für die verschieden symmetrischen Punktarten ergeben sich

bei Zusammenfassung in Klassen gleichwertiger Punkte Zuord¬

nungssätze, die denen über Zuordnung der Ebenen- und Ge¬

radenstücke entsprechen. Satz: Die Cj-Ecken eines WB sind

konkav und im allgemeinen dreiseitig; sie ordnen sich der Zählig-keit v der SB wegen in Zyklen zu im allgemeinen je 4 v Q-Ecken.

Zusammengehörige Q-Ecken eines Zyklus haben vom kGP gleiche

Entfernung (sphärische Anordnung). Die Summe der räumlichen

Winkel der zu vieren zusammengehörenden WB ist 4jt; sie füllen

die räumliche Umgebung der gemeinsamen Spitze, von denen es

im allgemeinen v hat, gerade voll aus. (Verallgemeinerung des

Satzes A 121 für v = \.)

In einem C„-Punkt münden ein C„-Geradenstück und n (VGeraden-stücke.

Cw-Punkte (fest oder beweglich) entstehen im Schnitt zweier SE-

stücke mit einem Q-Ebenenstück (Fig. 7) ; in ihnen kommen ein Cnv- und

mindestens zwei Q-Geradenstücke und im allgemeinen 4n WB zusammen.

Ein Q-Punkt (fest oder beweglich) entsteht im Schnitt eines SE-

Stückes mit zwei Q-Ebenenstücken (Fig. 6).S2m (S2 = Q, Sc = C3l)-Punkte (fest). Wenn SB(kGP) = Q und kGP

nicht in Drehspiegelebene liegt, kommen in einem S4-, S6-Punkt 4, 6 WB,4 Cj-Ebenenstücke, 1 C2-, C3-Geradenstück und 3 Q-Geradenstücke zusam¬

men; in einem S2-Punkt, der sich innerhalb einer Fläche befindet, 2 WB.

In einem D„-, T-, O-Punkt (fest) grenzen im allgemeinen (SB(kGP)=Ci)2n, 12 oder 24 WB aneinander und zwar in lauter 6-seitigen Punkten, und

3 C„- sowie 3 Cj-Geradenstücken (A 123). Man beweist dies am einfachsten

durch Konstruktion derjenigen Teile der WB um nahe an dem Dn-, T-, O-

Punkt gelegene, i. B. auf die Punktgruppe Dn, T, O gleichwertige GP, die

in ihm zusammenstoßen. (Fig. 8, 9).Hat der kGP spezielle Lage, so stoßen bei den D„-Punkten für die

SB = C„ des kGP (in Dn enthalten) zusammen: 2 WB; 4 Q-Ebenen- und

4 C„-Geradenstücke; für die SB = C2: n WB; 4 CrEbenen- und 4 C„-Geradenstücke. Bei den T-, O-Punkten kommen für die SB = C4 (bei O) zu¬

sammen: 6 WB, 8 CrEbenen- und 8 C„-Geradenstücke (4 Digyren und 4

— 24 —

Trigyren); für die SB = C3: :4(T), 8 (O) WB; 6 Q-Ebenen und 6 C„-Geradenstiicke (3 Trigyren und 3 Digyren, 3 Trigyren und 3 Tetragyren)und für die SB = C2 :6(T), 12(0) WB; 4 Q-Ebenen und 4 C„-Geraden-stiicke (4 Trigyren, 2 Tetragyren und 2 Trigyren).

Für die Cnh-\ Dn-d-, lh; Dnh-, Td-, 0A-Punkte gilt: Bei derSB = C„A

(des Oberflächenpunktes) kommen im allgemeinen zusammen: 2n WB, 2 Ct-und 1 Cj-Ebenenstück, 1 C„-Geraden- und 2 Cs-Geradenstücke ; bei SB =

D„w> TA :4n, 24 WB, 2 Cs- und 2 Q-Ebenenstücke, 2 C„-Geraden- und

2 Cs-Geradenstücke; bei der SB= Dnh, Td, Oh: 4n, 24, 48 WB, 3 Cs-Ebenen-und 3 C„-Geradenstücken. (Beweis durch Konstruktion wie oben.) — Hat

der kGP spezielle Lage (SB^Ci), so kann man auch für alle C„- usw.

Punkte durch Konstruktion die Zahl der WB, Ebenen- und Geradenstücke

angeben, die in ihm zusammenkommen.

Diejenigen ausgezeichneten Oberflächenpunkte, deren SB>C,.

ist, und die i. B. auf die SO gleichwertig sind, werden in eine

Klasse vereinigt, worauf der folgende Satz gilt: Der WB eines

GP, dessen SB die Ordnung v hat, zieht sich an wenigstens jeeinen und damit im allgemeinen an v ausgezeichnete Oberflächen¬

punkte aus der einzelnen Klasse derjenigen Oberflächenpunkte

heran, die nicht zur SB des kGP gehören, denn sonst wären diese

Punkte im Innern der WB gelegen. Und zwar ragt der WB wegen

des Reziprozitätssatzes an diejenigen Oberflächenpunkte der ein¬

zelnen Klasse heran, deren zugehörigen WB der GP angehört

(A 261).

e) Zusammenfassung.

Die allgemeinen Eigenschaften des WB eines GP

in einer gegebenen RG, dessen SB von der Ordnung (Zähligkeit)v ist, lassen sich in folgenden vier Fundamentalsätzen zusammen¬

fassen.

1. Der WB ist ein konvexes Polyeder, das von end¬

lich vielen Ebenenstücken begrenzt ist.

2. Die begrenzenden Ebenenstücke des WB sind

entweder vom Typus Ct oder Cs. Die Flächengesamtheit ist eine

einfache Kristallform oder eine Kombination von einfachen Kri¬

stallformen einer gegebenen Kristallklasse (= SB = Q bis Oh).Die Oberflächenpunkte des WB sind einerseits durch die Ope¬rationen der SB, andererseits durch die übrigen Operationen der

— 25 —

RO aufeinander eineindeutig (ohne Rest und Überschuß) bezogen.

Nach kinematischem Gesichtspunkt geordnet sind die be¬

grenzenden Ebenenstücke einzig vom Typus zufällig (3 FG),

punktalrotierend (2FG), zonalschraubend (2 FG), axialrotierend

(1 FG), translatierend (1 FG) oder fest (OFG).

3. Die symmetriegemäß ausgezeichneten Ge¬

radenstücke des WB sind vom Typus Cs, C„ oder C„„. Zu¬

sammen mit den Q-Kanten gehören sie in zyklisch geschlossene

Systeme zusammen, die durch die Gleichwertigkeit aller WB und

die Operationen der SB bedingt sind. Die Summe der Flächen¬

winkel mit gleichwertigen Scheitelpunkten im einzelnen System2 u

beträgt im allgemeinen 2nv (Q-Kante) bzw. —v (g = ganz)

(Cs-, C„-, C„„-Geradenstücke).

Kinematisch ergeben sich wieder verschiedene Typen von

Geradenstücken, von denen nur die zufälligen und festen mit

Namen benannt wurden. — Die Geradenstücke im Schnitt einer

Symmetrieebene mit einer WB-Fläche können im weiteren Sinn

kinematisch ausgezeichnet genannt werden.

4. Die s y m m e t r i egem ä ß ausgezeichnetenOber-

flächenpunkte des WB sind vom Typus C„, Q, C„„, S2m, D,„

T, O, Cnh, Dn-d, T/„ D„A, Td, Oh. Wegen der Gleichwertigkeit aller

WB und der Wirkung der Operationen der SB lassen sie sich, wie

die Q-Ecken, zu sphärisch geschlossenen Systemen vereinigen und

die an ihnen auftretenden räumlichen Winkel sind von solcher

Größe, daß entweder volle oder ganzzahlige Teilausfüllung um

einen Oberflächenpunkt entsteht.

Kinematisch wurden die zufälligen und die festen Punkte be¬

sonders erwähnt. — Schnittpunkte von Symmetrieachsen mit WB-

Flächen können im weiteren Sinn kinematisch ausgezeichnet ge¬

nannt werden.

Welche von den begrenzenden Geradenstücken und Ober¬

flächenpunkten Kanten und Ecken sein können, wie eine ein¬

zelne Fläche aus mehreren Ebenenstücken bestehen kann und

wie diese u. U. als mehrfache Ebenenstücke zu zählen sind, wurde

erläutert.

— 26 —

Von Wichtigkeit ist die Gültigkeit der Umkehrungder voneinander unabhängigen Fundamentalsätze 1. bis 4., d.h.

es gilt der Satz:

Weist ein Polyeder die unter 1. bis 4. genannten, sich auf die

Symmetrie und die Cj-Flächen, -Kanten, -Ecken beziehenden Eigen¬schaften auf (wobei statt „übrige Operationen der RG" Be¬

wegungen 1. oder 2. Art gesagt werden muß), so ist es WB eines

GP einer eindeutig bestimmten RG. (Definition einer RG durch

geeignet identifizierten WB!)

Für v = 1 (SB = Q) und RG 1. Art gehen die vier Sätze in

diejenigen von A 150/151 über, aus denen sie durch Verallgemeine¬

rung gewonnen wurden.

An dieser Stelle empfiehlt es sich, die Reziprozität,welche zwischen den regelmäßigen Punkt(Teilchen-)Systemenund Raumteilungen besteht, einmal zu konkretisieren. Folgende

Gegenüberstellung ist dazu ohne weiteres einleuchtend.

Tabelle.

Raumteilung in WB j Regelmäßiges Teilchensystem

1. Konvexes Polyeder; Zahl, Art und 1. Anordnung der Teilchen an be¬

Anordnung der begrenz. Ebenen- stimmten Raumstellen (ohne Rück-

stiicke (Bedg. 1): Gestalt des WB. sieht auf SB und gegenseitige Stel-

' lung): OK.

2. SB (Punktgruppe): Zuordg. (z.T.)der begrenzend. Ebenen-,Geraden-stücke und Punkte. (Bedg. 2, 3, 4

z.T.)

3. Operationen der RG bzw. Bewe¬

gungen, die die übrigen Zuord¬

nungen bewirken. (Bei SB = Cj j maßgebend!)neben 1 ) allein maßgebend !) (Restder Bedg. 2, 3, 4.)

2. Teilchengestalt (SB) oder Sym¬metrie des Nachbarschaftsbildes.

Gegenseitige Stellung der Teil¬

chen. (Bei SB = Cj neben 1) allein

Eindeutig bestimmte RG!

Anm. Bedingung 3. ist absolut notwendig (vgl. P.Niggli (2), S. 222).Beispiel: [i i i| ... | £ \ f ] (Bedg. 1) und SB = T (Bedg. 2) ist in den

drei RG ~X\, 7l, O3 möglich. Erst durch die gegenseitige Stellung bei glei¬chen Koordinaten und gleicher SB ist die RG eindeutig bestimmt.

— 27 —

Dieser Vergleich legt die Frage nahe, bei in bestimmter Weise

identifiziertem, gegebenem WB nach dem oder den kGP zu fragen ;

statt wie bisher vom GP auf den WB, vomWBaufdenkGP

zu schließen. Der geometrische Ort für den kGP

wird mittelst der Zuordnungssätze, speziell derjenigen über die

sphärische Anordnung der ausgezeichneten Ct-Oberflächenpunkte

(insbesondere der Ecken) zu im allgemeinen je 4v, gefunden.

Denn diese v 4 Punkte müssen vom kGP äquidistant sein, woraus

sich seine Konstruktion als Mittelpunkt einer durch 4 Punkte ge¬

gebenen Kugel ergibt. — Es ist auch möglich, daß oo1 oo2, co3 kGP

existieren, für die das gegebene Polyeder WB ist. Wenn der WB

z. B. nur von SE begrenzt ist, so ist er WB für jeden der cc3 in

ihm gelegenen Punkte. Andere Beispiele sind folgende: Fig. 10,

11. Es ist auch sofort ersichtlich, ob ein gegebenes Polyeder, das

Fundamentalbereich (FB) (Def. siehe unten) einer RG ist, als WB

auftreten kann; fällt nämlich der geometrische Ort für den kGP

auf oder außerhalb des Polyeders, so ist es als WB unmöglich

(Beispiel: Fig. 12). Hieraus ergibt sich bei bestimmter RG mit

fester Metrik eine Klassifikation der WB nach der Zahl (0, 1, 2, 3)

der FG der zugehörigen kGP.

Nachdem die Definition und die allgemeinen Eigenschaften

der WB dargelegt worden sind, kann man sich die Aufgabe

stellen, alle möglichen verschiedenen WB abzu¬

leiten, wobei erklärt werden muß, wann zwei WB als ver¬

schieden angesehen werden sollen. Dabei kann man verschie¬

dene Standpunkte einnehmen, je nach der zu Grunde gelegten

Transformationsgruppe.

Vom kristallographischen Standpunkt aus kann

man zwei Figuren dann als gleich ansehen, wenn sie entweder

ähnlich (äquiforme Geometrie) sind oder bei „gleicher Gestalt"

(genaue Definition siehe III. 2) dieselben Decktransformationen

besitzen. Beispiele „gleicher" Figuren: Würfel verschiedener

Kantenlänge; alle rh. Bipyramiden; alle rh. Bisphenoide. Bei¬

spiele „verschiedener" Figuren: Würfel und trkl. Parallelepiped;

reg. Tetraeder und tetr. oder rh. Bisphenoid; Oktaeder und tetr.

oder rh. Bipyramide.

— 28 —

Eine kleinere Zahl „verschiedener" Typen erhält man vom

Standpunkt der affinen Geometrie aus, wenn alle

affin-verwandten Figuren, die man in eine Affinitätsklasse ver¬

einigen kann, als „gleich" gelten. Beispiel „gleicher" Figuren:RT in Würfel, tetr., hex., rho., rh., mkl., trkl. Parallélépipède;Oktaeder, tetr., rh. Bipyramide; usw.

Die gestellte Aufgabe läßt sich also präzisieren: es sollen alle

vom kristallographischen (äquiform-geometrischen) oder affin¬

geometrischen Standpunkte aus verschiedenen RT in WB abge¬leitet werden. Schließlich erhält man durch affine Deformation

aus jeder RT in WB eine neue regelmäßige RT in Bereiche, die

nicht mehr WB zu sein brauchen (vgl. unten, Stereoeder). Hier

stellt sich ebenfalls die Frage nach den verschiedenen Affinitäts¬

klassen von RT.

c) Die Stereoeder, die Fundamental- und die Zer¬

legungsbereiche.

Die RT in WB sind der besonderen Konstruktion der WB

wegen ganz spezieller Natur. Da die WB besondere konvexe

Polyeder sind, wird man durch sie zu folgendem allgemeine¬ren Problem geführt: Der Kristallraum soll durch konvexe,nur mit ganzen Seiten aneinandergrenzende und i. B. auf eine RG

gleichwertige Polyeder lückenlos ausgefüllt werden. Wieviele und

welche im kristall- oder affingeometrischen Sinne verschiedene

Typen derartiger regelmäßigen RT gibt es?

Diese Polyeder werden Stereoeder (Ster) genannt. Die

WB sind demnach spezielle Ster.

A n m. Der Ausdruck stammt von E. S. Fedoroff (1), der ihn aber nicht

immer in derselben Bedeutung braucht, denn die ursprüngliche Defini¬tion (1): „Die den Raum lückenlos und regulär ausfüllenden gleichen (odersymmetrischen) Polyeder heißen Stereoeder," zeigt (soweit man dies bei der

Nicht-Definiertheit des Wortes Polyeder entscheiden kann) wohl die Identi¬

tät mit dem Begriff FB (siehen unten) ; andererseits benutzt E. S. Fe¬

doroff ihn in unserem Sinne und endlich wird das Wort auch für den durch

die Konstruktion wachsender Kugeln, die E. S. Fedoroff ebenfalls angibt(16, S. 232), erhaltenen WB angewandt. Diese Tatsache erschwert das Ver¬

ständnis seiner Arbeiten einigermaßen.

— 29 —

Es zeigt sich, daß dank der geforderten Voraussetzungen die

Eigenschaften der Ster mit den Eigenschaften 1. bis 4.

der WB identisch sind, ausgenommen die nicht notwendiger¬

weise vorhandene Anordnung der ausgezeichneten Oberflächen¬

punkte in sphärisch geschlossene Systeme. Wohl erlauben diese

Punkte auch der Ster Zusammenfassungen in sonst analoge ge¬

schlossene Systeme, aber die sphärische Anordnung,welche eine Folge der besonderen (Kugel-) Konstruktion der WB

ist, ist im allgemeinen nicht vorhanden. Fordert man umgekehrtvon einem Polyeder die Eigenschaften 1. bis 4. (exklusive sphä¬rische Anordnung), so ist es Ster einer eindeutig bestimmten RG.

Da die Ster z. T. metrisch unbestimmt sind, wenn nämlich SE

als begrenzende feste Symmetrieelemente fehlen, können an ihnen

gestaltliche Deformationen, „erlaubte Abände¬

rungen" vorgenommen werden. Definition: Bei einer er¬

laubten Abänderung (e. A.) eines Ster sollen folgende Bedin¬

gungen erfüllt werden: 1. Die RG bleibt dieselbe (Parameter¬

änderungen möglich). 2. Das einzelne Ster, wie die gesamte RT

bleibt zu sich selbst „isomorph", d. h. ändert seine Gestalt nicht.

(Genaue Def. siehe III. 2.) 3. Feste Ebenen, Geraden, Punkte der

Oberfläche bleiben solche. 4. Bewegliche Oberflächenelemente

sind ihrer Symmetrie entsprechend beliebig veränderlich.

Eine RT in WB wird durch e. A. zu einer RT in Ster und um¬

gekehrt wird man vermuten, daß man der weitgehenden Überein¬

stimmung der Eigenschaften der Ster mit denen der WB, der Be¬

weglichkeit der nicht-festen begrenzenden Ebenen, Geraden und

Punkte und der eventuell möglichen Variabilität der speziellenMetrik der RG wegen durch e. A. jede RT in Ster zu einer solchen

in WB umgestalten, d. h. daß man die sphärische Anordnung der

ausgezeichneten Oberflächenpunkte durch e. A. immer bewirken

kann. In der Ebene kann man die Vermutung durch explizite

Untersuchung aller Ster bzw. WB bestätigen (vgl. S. 63.).Für spezielle Ster, die sog. Paralleloeder (vgl. Spez. Teil) ist sie

ebenfalls richtig. Ein allgemeiner Beweis ist für den R3 noch

nicht gelungen.Vom kristallographischen Standpunkt aus wird man nach allen

den RT in Ster fragen, die kristallographisch verschieden sind;

— 30 —

vom affingeometrischen nach allen Affinitätsklassen von Ster, eine

Frage, die dem endgültigen Problem nahe steht.

WB und Ster der SB = Q sind besondere Fundamental¬

bereiche (FB) (A. Schoenflies (1)) (oder Diskontinui¬

tätsbereiche (DK)), wenn man darunter einen Bereich ver¬

steht, „welcher keine zwei äquivalente Punkte enthält, aber zu

jedem Punkt des Raumes einen äquivalenten enthält" (A. Spei¬

ser (1)).

„Es erhebt sich die Frage, ob ferner auch solche Polyeder existieren,

die nicht als Fundamentalbereiche von Bewegungsgruppen auftreten und

mittelst derer dennoch durch geeignete Aneinanderlagerung kongruenter

Exemplare eine lückenlose Erfüllung des ganzen Raumes möglich ist."

(18. Math. ProbletnvonO. Hubert (1)). K. Reinharde (1—6) und H.

Engelhardt (1) haben sich mit dieser Frage der „Zerlegungsbe¬reiche" (ZB) beschäftigt. (Vgl. auch L. Bieberbach (3)). Das Resul¬

tat ist dies: „In jedem R" (n >. 3) gibt es Zerlegungsbereiche, die nicht

Fundamentalbereiche einer Bewegungsgruppe sind." (K- Reinhardt (5)).Der innere Grund für die Existenz solcher ZB =J= FB ist in der Existenz

mehrfach zusammenhängender ZB zu erblicken. Es gibt sogar einfach

zusammenhängende, allerdings konkave Zerlegungspolyeder, die nicht FB

einer RQ sind. In einer anderen Arbeit (2) gibt K. R e i n h a r d t ein Beispieleiner RT in konvexe, weder unendlich große noch unendlich kleine, iso¬

morphe (vgl. III, 2), aber nicht mehr kongruente, folglich auch nicht i. B.

auf eine RG gleichwertige Polyeder, deren Eckenzahl beliebig groß sein

kann (Gegensatz zu R2! Vgl. S. 68).

d) Methodisches.

Die mathematische Kristallographie ist zweier Behandlungs-weisen fähig, einer anschaulich-geometrischen {E. S. Fedoroff,A. Schoenflies, P. Niggli) und einer arithmetisch-algebraischen

(G. Voronoi (1), /. /. Burckhardt, F. Seitz). In dieser Arbeit wird

beinahe ausschließlich die erste angewandt. G. Voronoi (1) hat

aber gezeigt, wie es auch »arithmetisch (mittelst quadratischer

Formen) möglich ist, die WB der TG z. B. zu deduzieren. Analogmuß es möglich sein, die WB irgend eines OK arithmetisch abzu¬

leiten; doch ist hierüber bis jetzt nichts bekannt.

— 31 —

2. Der spezielle (Isomorphieklassen) und der allgemeine

(Homöomorphieklassen) topologische Standpunkt. Die

Raumformen.

Der Erweiterung der Transformationsgruppe beim Übergangvon der äquiformen (Kristall-)Geometrie zur affinen Geometrie

entsprechend, sollen jetzt zwei „isomorphe" Gebilde als

„gleich" angesehen werden; alle isomorphen Figuren bilden

eine „Isomorphieklasse". Dabei bedeutet (holoedrische oder ein¬

stufige) Isomorphic die Existenz einer eineindeutigen, beider¬

seits stetigen und inzidenzerhaltenden Abbildung der Figuren auf¬

einander. Erhaltung der Inzidenzen sagt aus: Eckpunkt geht in

Eckpunkt, Kante in Kante, Seitenfläche in Seitenfläche über und

das Koinzidieren dieser Elemente bleibt bei der Abbildung er¬

halten (vgl. z. B. K- Reidemeister (1, S. 109)). Sind zwei Figuren

isomorph, so soll ihnen dieselbe „Gestalt" zugesprochen wer¬

den [nach L. Euler (1) „species", /. Steiner (1) „Gattung", C.Jor¬

dan {2) „aspect", E. Steinitz (1) „Typus"].

Beispiele: 1. Hexaeder, trkl. EP und stetige Defor¬

mationen davon sind isomorph; ebenso die entsprechenden RT.

2. Alle gewöhnlichen n-Ecke sind isomorph. 3. Die in den Figg.

13, 14 angegebenen ET sind isomorph; die Polygone für sich be¬

trachtet sind nicht isomorph. Erst durch die Aneinanderreihungentstehen neue Ecken, wodurch die Isomorphic erzeugt wird.

Mittelst des Isomorphiebegriffes läßt sich das zu lösende

Problem so formulieren:

Problem : Wieviele und welche verschiedenen

Isomorphieklassen von Raumteilungen in Ste-

reoeder bzw. Wirkungsbereiche gibt es?

An dieser Stelle müssen die Arbeiten zur „M orphologie der

Polyeder" erwähnt werden. Zwei Behandlungsweisen existieren, die

eine weit ausgebaute, von geometrisch-topologischem [L. Euler (1), /.

Steiner (1), A. M. Legendre (1), S. Lhuilier (1), E. Catalan (1), L. Poln-

sot (1), Th. P. Kirkman (1), A. Cayley (1), A. L. Cauchy (1—3), A. F. Moe-

bius (1), C. Jordan (2), M. Brückner {2), V. Eberhard (1), E. Steinitz (1),E. Steinitz und H. Rademacher (1)], die andere wenig behandelte, von

geometrisch-gruppentheoretisch-kristallographischem Charakter [E. S. Fe-

doroff (9), S. A. Bogomolov (2)].

— 32 —

Das Hauptziel der ersten Richtung war die vollständige Auf¬

stellung aller untereinander nicht-isomorphenTypenkonvexer Polyeder. Nach vielen tastenden Versuchen und Behaup¬

tungen, die einer genauen Kritik nicht standhielten (E. Steinitz (1)), wurde

das Problem von E. Steinitz allgemein und streng gelöst. Statt reeller Poly¬eder werden Schemata (ideelle Polyeder), welche die Polyeder in eindeu¬

tiger Weise charakterisieren, aufgestellt, und die Aufgabe bestand in der

Aufstellung notwendiger und hinreichender Bedingungen dafür, daß ein

Schema eine Realisierung als konvexes Polyeder zuläßt. Das Resultat be¬

steht in dem Fundamentalsatz konvexer Polyeder von

E. Steinitz: „Jedes [ideelle] K-Polyeder (Eulersches Polyeder ohne über¬

greifende Elemente; Def. siehe E. Steinitz und H. Rademacher (1)) ist als

konvexes Polyeder realisierbar." Und: „Jedes K-Polyeder läßt sich durch

gewisse Prozesse auf ein Tetraeder reduzieren." Dem Beweise dieser Satze

ist beinahe das ganze Buch von E. Steinitz und H. Rademacher: „V o r-

lesungen über die Theorie der Polyeder" (1) gewidmet,woraus die Schwierigkeit dieser Fragen hervorgeht. Einfach sind die sog.

Dreikants- bzw. Dreieckspolyeder, bei denen in allen Ecken

nur drei Kanten zusammenstoßen bzw. deren Flächen lauter Dreiecke sind.

Sie haben daher schon früher (V. Eberhard (1)) eine abgeschlossene Be¬

handlung erfahren. — Nach diesen Sätzen ist es also möglich, vom einzigen

Vierflächner, dem Tetraeder, ausgehend, alle Typen konvexer f-Flächner

abzuleiten (vgl. M. Brückner (2)). Dabei wird ein beliebiges konvexes

Polyeder als Qrenzfall eines Dreikantpolyeders behandelt.

Für den Kristallographien E. S. Fedoroff (9) lag es nahe, diesen geo-

metrisch-topologischen Betrachtungen solche gruppentheoretisch-kristallo-

graphischer Natur zur Seite zu stellen, da man im Äußeren der Kristalle

eine herrliche Beispielsammlung konvexer Polyeder der verschiedensten

Gestalt vor sich hat. Da jeder Kombination von Kristallformen eine be¬

stimmte Punktgruppe (Kristallklasse) zu Grunde liegt, glaubte E. S. Fe¬

doroff in denjenigen Kombinationen einfacher Kristallformen, deren Zen¬

traldistanzen alle gleich lang gemacht werden können (Polyeder, die einer

Kugel umbeschrieben werden können) und die er „typische Poly¬eder" nannte (vergl. P. Niggli und W. Nowacki (1)), die prinzipiell wich¬

tigen Polyeder gefunden zu haben und stellte darauf basierend seine Syste¬matik der Polyeder auf. Wie E. Steinitz (3) zeigte, läßt sich aber nicht

jedes konvexe Polyeder eines beliebigen Typus als Tangentialpolyeder an

eine Kugel darstellen (S. A. Bogomolov (2)). Auf die kristallographischeFormenlehre übertragen erhält man den bekannten Satz, daß man bei

gleicher Zentraldistanz nicht alle Kombinationen gegebener Formen her¬

stellen kann. Indem E. S. Fedoroff einen topologischen Standpunkt ein¬

nahm, wurde er von der Symmetrielehre der Kristallographie zu der von

C. Jordan (2) begründeten „Lehre der scheinbaren Symme¬trie" geführt. Er definierte: „Sous la symétrie apparente on comprend la

— 33 —

propriété des polyèdres d'avoir le même aspect sous différents points de

vue (en supposant l'identité non seulement dans l'ordre directe, mais aussi

dans l'ordre inverse)." — Die Verschmelzung der zwei bei der Morphologie

angewandten Methoden, wie der weitere Ausbau der Lehre der scheinbaren

Symmetrie ist unseres Erachtens ein interessantes Thema, dessen Behandlungfür die theoretische Morphologie (P. Niggli (8)) von Bedeutung ist.

Noch umfassender als die Gruppe aller isomorphenTransformationen ist diejenige aller homöomorphen,d. i. eineindeutigen und beiderseits stetigen Abbildungen. Die

dazugehörige Geometrie ist die Topologie (vgl. z.B. H. Sei¬

fert und W. Threlfall (1) und P. Alexandroff und H. Hopf{\)).Zwei homöomorphe Gebilde heißen „gleich" ; alle homöomorphenGebilde werden in eine „Homöomorphieklasse" vereinigt. Bei¬

spiele homöomorpher Figuren: 1. alle konvexen Polyeder, Kugel,

Ellipsoid; 2. Kreisring und Zylinder endlicher Höhe.

Die Identifizierung der Seitenflächen der WB bzw. Ster mit

der SB = C, durch die Operationen der RG bewirkt in diesen FB

die Entstehung von geschlossenen dreidimensionalen Mannigfal¬

tigkeiten mit im Kleinen euklidischer Metrik. Sind Fixpunkte, das

sind Punkte mit einer SB > Cu in der RG enthalten, so weisen

diese Mannigfaltigkeiten in diesen Punkten in metrischer Hin¬

sicht Singularitäten auf. Die fixpunktfreien RG (nur Punkte der

SB^Q) (vgl. S. 11) hingegen liefern in ihren FB dreidimensio¬

nale, geschlossene Mannigfaltigkeiten mit im Kleinen euklidischer

Metrik ohne Singularitäten, sog. „Raumformen" [F. Klein (3),IV. Killing (1), H. Hopf(\), H. Seifert (l), W. Threlfall (1),C. Weber und H. Seifert (1)], und es erhebt sich die Frage nach

allen verschiedenen H o mö om o r p hi ekl as s en der

euklidischen, dreidimensionalen Raumformen,welche in den Arbeiten von IV. Hantzsche und H. Wendt(\) und

IV. Nowacki (7) gelöst ist. Auch die offenen, euklidischen,dreidimensionalen Raumformen, die als unendliche FB aller fix-

punktlosen RG gewonnen werden, sind aufgezählt und durch FB

mit Rand-Identifizierungen beschrieben (IV. Nowacki (7)). Es gibt10 geschlossene und 8 offene Typen von euklidischen,dreidimensionalen Raumformen. Interessant wäre eine topo-logische Untersuchung der FB der fixpunkt h a 1 ti gen RG. Mög-

— 34 —

licherweise könnte man dadurch (die RQ des sphärischen und

hyperbolischen dreidimensionalen Raumes eingeschlossen) dem

Problem der Aufstellung aller dreidimensionalen Mannigfaltig¬keiten näher kommen (?).

IV. Behandlung des Problems der Raumteilung.

1. Kristallographisch-affingeometrisch-topologischeMethode.

a) Experimentelle Methode.

Um alle Isomorphieklassen von RT in Ster bzw. WB zu er¬

halten, könnte man für sämtliche Punkte aller RG z. B. darstellend

geometrisch die zugehörigen WB konstruieren, an ihnen alle denk¬

baren erlaubten Abänderungen (e. A.) vornehmen, und die iso¬

morphen RT in eine Klasse vereinigen. Diese Art und Weise,

das Problem zu behandeln, ist gleichsam „experimentell"und stößt bei der konkreten Durchführung wenn auch nicht auf

prinzipielle, so doch auf einigermaßen erhebliche Schwierigkeiten,

die in Folgendem ihren Grund haben: Solange die spezielle Me¬

trik der RG, d. h. Länge und Winkel der EP-Kanten, die bei der

WB-Konstruktion wesentlich in Betracht kommt, fest ist (kubische

RG) und solange der GP, um den herum der WB gebildet wird,

keinen FG aufweist (SG = Punkt), ist es relativ einfach, den

WB zu konstruieren. Besitzt der GP aber einen (SG = Gerade),

zwei (SG = Ebene) oder drei (SG = Raum) FG, so verändert

der WB (auch bei fester RG-Metrik) je nach der Lage des GP

seine Metrik, u. U. aber auch seine Gestalt, d. h. bei Variation

der Koordinaten des GP kann man nicht-isomorphe WB und da¬

mit Ster erhalten. Dasselbe tritt ein, wenn entweder die Metrik

der RG bei GP ohne FG oder die Metrik der RG und die Koordi¬

naten des GP variabel sind. Deshalb muß man nach einer Me¬

thode suchen, welche diese Variationsmöglichkeiten besser zu

übersehen gestattet und die direkte Konstruktion derWB auf ein

Minimum reduziert. Die Berücksichtigung der Hauptpunkte

— 35 —

im Sinne K- Weissenbergs und die Unterteilungen ihrer

W B können, wenn eine bestimmte Annahme allgemein bewiesen

werden kann, die Lösung geben.

b) Die Systematik der Punktsymmetriegruppend'er Raumgruppen nach K- Weisse nb erg.

K- Weissenberg (1—4) hat eine Analyse der RG geschaffen,von der hier vor allem der Begriff „Symmetriehaupt¬

gruppe" (SHG) als SB der „Hauptpunkte" (HP) eines

„Hauptgitterkomplexes" (HKG) (vgl. P. Niggli (\0))einer RG interessiert. Untersucht man nämlich die Punktsym¬

metriegruppen (Symmetriebedingungen SB) aller Punkte aller

RG, so erkennt man, daß in einer gegebenen RG manche SB in

anderen als Untergruppen enthalten sein können. SHG sind

solche Punktgruppen, die in keiner anderen Punkt¬

symmetriegruppe enthalten sind. Diejenigen GP, deren

SB eine SHG ist, heißen Hauptpunkte (im Sinne K- Weissen¬

bergs) (HP) und die Gitterkomplexe (GK) aller gleichwertigenHP Hauptgitterkomplexe (HGK). Das Enthaltensein

einer Punktsymmetriegruppe in einer SHG ist übrigens nicht nur

gruppentheoretisch, sondern auch rein geometrisch zu verstehen.

C2 z. B. ist nur dann in C2„ nicht enthalten (gruppentheoretisch ist

C2 immer in C2l, enthalten), wenn die Digyre wirklich von der

Schnittgeraden der beiden SE in C2„ verschieden ist. Diese HP

sind für alle RG tabellarisch zusammengestellt (Tab. 4, S. 32 in

(1)). Man erhält sie als Resultat der Prüfung aller Punktlagenaller RG in explicite.

Ist ein GK allgemeiner oder spezieller Art in einer RG ent¬

halten, wobei wir nicht nur den Punkt, sondern irgend ein geo¬

metrisches Gebilde (Punkt, Raumteil) als den SO der RG unter¬

worfen gedacht annehmen, so kann man diese geometrischen Ge¬

bilde (Bausteine, A. Schoenflies (1, 2)) zu „Mi.kr ohau p t-

i n s e 1 n" zusammenfassen, wenn man darunter eine Gesamtheit

von Gebilden, die i. B. auf eine HSG gleichwertig sind, versteht.

Diese Reduktion, Zusammenfassung der Gebilde zu größeren Ein¬

heiten um die HP herum ist aber nicht eindeutig, weil ein

bestimmtes Gebilde nicht nur einem HP, sondern allen über-

— 36 —

haupt existierenden HP einer RG zugeordnet werden kann. Ganz:

besonders gilt dies für Punkte als konstituierende geometrische

Gebilde. Ist eine RT in Ster gegeben, ist die Eindeutigkeit inso¬

fern bestimmt, als alle diejenigen Ster zu einer Gesamtheit ver¬

einigt werden, welche in einem HP zusammenstoßen. Vieldeutig¬

keit herrscht jetzt nur dann, wenn ein Ster mehrere HP auf seiner

Begrenzung aufweist, so daß man die Ster auf verschiedene Weisen

zu größeren Einheiten zusammenfügen kann.

Umgekehrt erhält man alle Punktlagen einer ge¬

gebenen RG, in denen man sich dann einen Punkt oder einen

R a u m t e i 1 (WB, Ster) als repräsentierendes Gebilde vorstellen

kann, wenn man, von allen in der RG enthaltenen HP aus¬

gehend, eine Punktlage allgemeiner oder spezieller SB annimmt

und sie durch alle Operationen aller HP kaleidoskopartig in

gleichwertige Lagen überführt. Wie bemerkt, gilt dies im Be¬

sonderen auch für irgend einen WBbzw. Sterallgemeiner

oder spezieller SB.

c) Die Unterteilungen der Wirkungsbereiche der

Hauptpunkte in Stereoeder.

Ist ein WB oder Ster mit einer SB>Cj gegeben, erlaubt

dieses Polyeder eine „Unterteilung nach der betreffen¬

den SB"; das bedeutet, daß der WB bzw. das Ster durch Ebenen

in so viele kongruente Teile zerlegt wird, wie die Ordnung der

SB angibt. Die teilenden Ebenen müssen, da die neuen Polyeder

die SB = d aufweisen, durch die Gyren gehen und mit eventuell

vorhandenen SE koinzidieren, so daß diese Symmetrieelemente

auf dem Rande der neu entstandenen Polyeder liegen. Neue

Polyeder mit einer SB > d erhält man durch Unterteilen eines

WB bzw. Ster mit gegebener SB nach einer selbständigen Unter¬

gruppe der betreffenden SB (vgl. unten). Diese Polyeder sind

alle gleichwertig, konvex und erfüllen den R3 lückenlos. Hin¬

gegen gibt es Fälle, bei denen diese Polyeder weder mit ganzen

Seiten aneinanderstoßen, noch es möglich ist, ihnen durch e. A.

diese Eigenschaft beizubringen. Die durch UT erhaltenen Polyeder

sind folglich nicht immer Ster, sondern manchmal allgemeinere,

raumzerlegende, konvexe, gleichwertige Polyeder.

— 37 —

d) Über die Lösbarkeit des Problems.

Mittelst dieser Methode zusammen mit der Existenz der HP

gelingt die Lösung des gestellten Problems der Aufstellung aller

Isomorphieklassen von Ster bzw. WB, wenn man die in Spezial¬fällen richtige Vermutung, daß jedes Ster durch e. A. in ein WB

übergeht, als allgemein bewiesen annimmt. Man erhält dann noch

mehr, nämlich alle Affinitätsklassen, sogar alle kristallographischverschiedenen Typen von WB. Unter dieser noch nicht all¬

gemein bewiesenen Voraussetzung würde der Satz gelten :

Man erhält alle verschiedenen Isomorphieklas¬sen von Raumteilungen in Stereoeder bzw. Wir¬

kungsbereiche durch Unterteilen der Wirkungs¬bereiche aller Hauptpunkte (H au p t w i r kun gsb e-

reiche) sämtlicher Raumgruppen nach den selb¬

ständigen Untergruppen ihrer speziellen Sym¬

metriebedingung und durch Zusammenfassen

aller isomorphen Raumteilungen in eine Klasse.

— Durch Zusammenfassen aller affin-verwandten Raumteilungen

gewinnt man alle Affinitätsklassen von RT in Ster bzw. WB und

ohne dieses Vereinigen in Klassen alle kristallographisch ver¬

schiedenen RT. '

Durch Unterteilen der WB mit einer SB>C1; falls

Punkte mit solcher SB in der RG überhaupt vorhanden sind, er¬

hält man jedenfalls, nachdem durch e. A. das eventuelle Nicht¬

vorhandensein des ganzflächigen Aneinandergrenzens hergestelltwurde (anderenfalls die entstehenden Polyeder für unsere Be¬

trachtungen ausscheiden), RT in Ster bzw. WB (bei obiger

Voraussetzung). Um sicher zu sein, alle Möglichkeiten erfaßt

zu haben, muß man, wie in b) gezeigt wurde, nur alle HP

aller R Q berücksichtigen. Die direkte Konstruktion (a) der

WB aller Punktlagen aller RG bei allen Koordinatenwerten der

GP und allen besonderen metrischen Verhältnissen der RG und

die eventuelle Vereinigung in Affinitäts- oder Isomorphieklassenwird durch den obigen Satz auf die Konstruktion der WB von

bedeutend weniger GP, die auch i. B. auf Variabilität der Para¬

meter (Koordinaten) und der Metrik der RG leichter zu übersehen

sind, zurückgeführt.

— 38 —

Bei der Konstruktion der Hauptwirkungsbereiche (HWB)

kann es vorkommen, daß man für verschiedene HP WB erhält, die

in Gestalt und z. T. auch in der Art der Aneinanderreihung über¬

einstimmen. Um dies auszuschließen, führt man folgende Defi¬

nition ein: Zwei Gitterkomplexe (GK), das sind zwei Gesamt¬

heiten von gleichwertigen Gitterpunkten, heißen (im Sinne der

affinen Geometrie) „g 1 e i c h", wenn sie durch eine affine Trans¬

formation ineinander überführbar sind. Z. B. gehören alle reinen

TG und kub., tetr. wie rh. Diamantgitterkomplexe je zum selben

GK. Diese Definition ist allgemeiner als die ursprünglich von

P. Niggll(l) und auch die von C. Hermann in den Int. Tab.{\)

gegebene (S. 419: „In den vorliegenden Tafeln werden zwei Punkt¬

lagen dem gleichen Gitterkomplex zugerechnet, wenn sie sich

durch irgendwelche Drehungen und Maßstabsänderungen inein¬

ander überführen lassen, vorausgesetzt, daß dabei das betreffende

Kristallsystem und die Richtung seiner Achsen nicht geändert

wird"). Es werden folglich alle HGK [Tab. 4 bei K- Weissen-

berg(\); übrigens ist zu bemerken, daß bei Angabe der RG, der

SB und der Zähligkeit u. U. ein GK auch im hier definierten Sinne

nicht eindeutig bestimmt ist, was bei der Benutzung der Tab. 4

zu berücksichtigen ist. Beispiel: D9ih, FG = 0,'Zähligkeit — 2,

SB = D2;„ (a, b) verschieden von (c, d)] daraufhin untersucht, ob

sie zum selben HGK gehören oder nicht. Zu diesem Zweck emp¬

fiehlt es sich, die zusammengehörigen Koordinaten auf ein pri¬

mitives Parallelepiped zu beziehen, weil dadurch die Identität

der HGK öfters sogleich ersichtlich wird; alle TG z.B. können

als [000] geschrieben werden. Die Tabellen von C. Hermann

(Int. Tab. (1)) über die GK leisten dabei sehr gute Dienste. Das

Resultat dieser Untersuchungen wurde tabellarisch zusammen¬

gestellt und wird im Speziellen Teil (S. 51—53) folgen.

Darauf wird man zur Konstruktion aller HWB

schreiten, die nach verschiedenen Methoden vorgenommen werden

kann. Die Aufgabe ist mit dem Zeichnen einer Kombi¬

nation von Kristallformen bei gegebenen Indizes

und bekannter Zentraldistanz identisch (vgl. H.

Tertsch (2)), denn die Flächen der WB sind solche Kombinationen.

— 39 —

Da die HP im kub., tetr. und rh. Fall durch rechtwinklige (auf das

EP bezogen), im hex. Fall durch z. T. rechtwinklige Koordinaten gegebenwerden und die Verhältnisse im rho. System nicht sehr schwer, im mkl.

und trkl. Fall leicht zu übersehen sind, wurde für die Konstruktion der

WB das darstellend-geometrische Verfahren in Grund-

und Aufriß angewandt. Man konstruiert zuerst die Mittelnormalebenen der

Verbindungsstrecken des gegebenen HP mit den in kürzester Entfernungvorhandenen gleichwertigen HP (1. Sphäre), darauf die Mittelnormalebenen

der „Koordinationsstrecken" 2. Sphäre u. s. w., bis man zu Mittelnormal¬

ebenen gelangt, welche den entstandenen WB nicht mehr schneiden. —

Sämtliche affin-verwandte HQK, die einen Typus ausmachen, werden in

eine Deformationsreihe gebracht (analog wie bei P. Niggli und F. Laves (1))und die Variabilität in der Gestalt der WB in Abhängigkeit von der be¬

sonderen Metrik der RG untersucht. Mehr allgemeines als das bisher Be¬

sprochene läßt sich hierüber, im Gegensatz zur Variabilität der WB-Gestalt

beim Wandern des GP bei fester Metrik (siehe unten), wohl kaum aus¬

sagen. Um genauere Angaben machen zu können, muß immer die spezielleNatur des HGK und der RG berücksichtigt werden.

Die SB der HP derjenigen HGK, die nach unserer Definition

zum selben Typus von HGK gehören, ist natürlich verschieden,auch wenn der WB dieselbe Gestalt hat; und auch bei gleicherSB und Anordnung kann die gegenseitige Stellung der Gesamt¬

heiten von die SB erzeugenden Symmetrieelementen verschieden

sein, was in der gegenseitigen Stellung bei gleicher Anordnungder WB (die alle dieselbe Gestalt haben) zum Ausdruck kommt.

Dies ist bei der Unterteilung (UT) von Wichtigkeit.An die Konstruktion aller HWB schließt sich die Unter¬

teilung (UT) nach der betr. SB dieser WB an. Um alle

Möglichkeiten zu erfassen, wird jeder gefundene WB nach den

selbständigen Untergruppen (das sind diejenigen Untergruppeneiner Punktgruppe, welche ein eigenes SG besitzen; C2 in C2„ z. B.

unselbständige Untergruppe; vgl. Tab. S. 270 bei P. Niggli (2))in Ster zerlegt. Da jede SB Cj und sich selbst als Untergruppeenthält, sind die HWB selbst und die UT in Ster mit der Sym¬metrie Cj immer gesuchte RT. Die anderen selbständigen Unter¬

gruppen liefern Ster mit einer gewissen SB>Ci, so daß immer

Zahl der entstandenen Ster mal Ordnung deren SB gleich der Ord¬

nung der ursprünglichen SB ist. Beispiel: (Fig. 15a) SB = C2v,

Ordnung = 4 ; selbständige Untergruppen C2„, Cs, Cs, Ci ; UT nach

ihnen ergeben Figg. 15 b—e.

— 40 —

Es ist möglich, daß durch die SE der SB die UT in Ster a priori fest¬

gelegt ist (bei Cs, Cnv, D„A, Jd, Oh). Das entstandene Ster ist dann WB für

alle in seinem Innern gelegenen Punkte (vgl. S. 27). Oder es sind einige SE

vorhanden, die das Ster in seiner Gestalt z. T. fixieren (bei C„A, D„y, lh),

während die übrigen teilenden Ebenen durch die vorhandenen Drehungs¬

achsen gehen müssen. Bei S2m müssen die Ebenen diesen Symmetrien ge¬

mäß gelegt werden; bei S4j6 durch die Drehspiegelachse, die zugleich Di-

bzw. Trigyre ist. Bei den Punktgruppen erster Art ist einzige Bedingung,daß die Teilungsebenen die Gyren enthalten. — Der Möglichkeit, die be¬

grenzenden Seitenflächen um Achsen zu drehen (e. A!) entspricht das Wan¬

dern des im Innern gelegenen GP. Dadurch wird die Variation der Gestalt

eines WB in Folge der Parameteränderung (Koordinaten) des kGP (beifester RG-Metrik), die im allgemeinen schwer zu übersehen ist, auf die

Variation (Drehung um Achsen) der zerteilenden Ebenen, die leicht zu

verfolgen ist, zurückgeführt. Für die entstehende Gestalt ist die

Lage der Symmetrieelemente und der teilenden Ebe¬

nen i. B. auf den WB von größter Wichtigkeit, was E. S.

Fedoroff in seinen Arbeiten immer wieder betonte (vgl. z. B. (15), S. 80

und P. Niggli und W. Nowacki (2)). Ersteres findet bei Berücksichtigung

aller HP zusammen mit Charakter und gegenseitiger Stellung der SB seine

richtige Behandlung (vgl. unten, Aneinanderreihung) ; letzteres mag ein

Beispiel erläutern: (Fig. 16) WB = Quadrat, SB = C4; bei Fig. 16b sind

alle entstehenden Ster-Teilungen isomorph, Variationsmöglichkeit vorhan¬

den; bei Figg. 16c, d keine Variationsmöglichkeit; Figg. 16b, c, d nicht iso¬

morph. Diejenigen Stellungen der teilenden Ebenen, welche isomorphe

Ster-RT liefern, mögen „topologisch gleich" heißen. Damit bei

diesen UT keine Möglichkeit übersehen wird, muß der Ebene durch eine

Achse der Punktgruppe (SB) alle „topologisch verschiedene" Stellungen

gegeben und alle anderen Ebenen durch etwa noch vorhandene Achsen der

SB um 2 TT gedreht werden. Diese Konstruktion wird für jede Achse der

SB wiederholt. Der Abhängigkeit und Gleichwertigkeit der Achsen einer

Punktgruppe wegen wird man auf diese Weise mehrmals zu identischen

Resultaten gelangen.

Hat man so alle HWB nach den selbständigen Untergruppen

ihrer SB unterteilt, müssen diese unterteilten WB entsprechend

der gegenseitigen Stellung der HP aneinandergereiht wer¬

den. Dabei können, wie schon das einfache ebene Beispiel Fig. 13

zeigt, neue Kanten und Ecken auftreten und eine Seitenfläche kann

in mehrere geteilt werden. Eigentlich konkave Polyeder entstehen

dabei nie; hingegen tritt manchmal der Fall ein, daß an einer

Kante ein Flächenwinkel gleich n ist. Es muß dann untersucht

werden, ob die Fläche längs dieser Kante „gebrochen" werden

— 41 —

kann, um ein eigentlich konvexes Polyeder (Ster) mit lauter

Flächenwinkeln <jr zu erhalten. Dies wird in den meisten Fällen

durch e. A. möglich sein, anderenfalls kommen diese RT hier nicht

in Frage.

Schließlich faßt man alle Ster- bzw. WB-RT in

Affinitäts- oder Isotnorphieklassen zusammen und ist

damit am Ziel der Untersuchung angelangt.

Historische Anmerkung. Außer den bis jetzt im Text er¬

wähnten, sich mit dem Problem der RT beschäftigenden Arbeiten sind be¬

sonders die Abhandlungen von E. S. Fedoroff, A. Schoenflies und A. An¬

dreini von allgemeiner Bedeutung. W. Barlow, G. Wulff, D. M. Y: Som-

merville, T. Kubota (1) und T. tiayashi (2) behandelten spezielle Fragen.

[Vgl. die zusammenfassende Darstellung „The structure of crystals", Part 1,

Report on the development of the geometrical theories of crystal structure,

1666—1901.]

Besonders hervorzuheben ist, daß E. S. Fedoroff (1,6) die 230—

219 -f- 11 RQ nicht auf Orund der Untersuchungen über RT, sondern

genau wie A. Schoenflies und P. Niggli als mögliche Kombinationen von

Symmetrieelementen erhalten hat (1,6) und erst nachdem die RQ bekannt

waren, deren Theorie auf die RT anwandte, wie dies eindeutig z. B. aus

der Abhandlung „Reguläre Plan- und Raumteilung" (15) her¬

vorgeht. — Der zentrale Begriff seiner Kristallstrukturtheorie, denn es

handelt sich seiner Meinung nach nicht ausschließlich um mathematische

Deduktionen, ist derjenige des ,,P a r a 11 e 1 o e d e r s" (Par) (eines kon¬

vexen Polyeders, das durch mit ganzen Seiten aneinandergrenzende gleich¬

wertige, parallel gelagerte Exemplare den R3 lückenlos erfüllt; vgl.

Spez. Teil) und seiner Unterteilung in ,,S t e r e o e d e r", wobei man nie

genau weiß, was er eigentlich mit letzterem Wort meint. E. S. Fedoroff

ist offenbar von der Tatsache, daß in jeder RQ eine T-Untergruppe ent¬

halten ist, zum Begriff des Par gelangt. In der Tat entsteht ja auch durch

Zusammenfassung der WB bzw. Ster (in unserem Sinne) aller Punkte eines

pP ein Körper, der den Raum durch parallel gestellte, kongruente Exem¬

plare lückenlos ausfüllt. Nur wird dieser Körper im allgemeinen

nicht konvex sein. Um mit dem Prinzip „UT der Par in Ster" aus¬

zukommen, mußte E. S. Fedoroff in jeder RQ nach OP suchen, die mit

ihren gleichwertigen zusammen ein wirkliches oder „schein¬

bares" TG bilden, d. h. nach Punkten, die in den Punkten eines TQ

gelegen sind (die von diesen Punkten ausgehenden Linienelemente z. B. brau¬

chen dabei nicht alle parallele Lage einzunehmen). Solche Gitterpunktenannte er „Hauptpunkte" (HP* im Gegensatz zu den HP!). Die WB

der HP* haben folglich die Gestalt von Par [E. S. Fedoroff operiert übri¬

gens fast ausschließlich nur mit 4 Par, ohne das „verlängerte Rhomben-

— 42 —

dodekaeder", welches aber als WB eines TO sehr wohl auftreten kann (vgl.B. Delaunay (3)), zu berücksichtigen], brauchen allerdings nicht alle pa¬

rallele Stellung einzunehmen. Es zeigt sich, daß außer in den RG 06>7

überall HP* vorhanden sind, so daß durch Konstruktion der WB aller HP*

aller RO und deren UT in Ster alle (?) RT außer denen von Oe>7 gefundenwerden können. O6'7 erfordert eine besondere Untersuchung. E. S. Fe-

doroff (15) selbst beschritt den umgekehrten Weg, indem er von den unter¬

teilten Par ausging und prüfte, in welcher Weise diese Körper aneinander¬

gereiht werden können. Dabei entdeckte er 228 = 218 -(-10 der früher

abgeleiteten 230= 210 -f- 11 RG, was bewies, daß in diesen 218(+10) RG

HP* vorhanden sind. Damit ist auch evident, daß eine Ableitung der

219(-j-ll) RG auf Grund der Par und deren UT in Ster unmöglich ist.

Natürlich kann jede RG durch einen geeignet identifizierten WB definiert

und erzeugt werden; nur bleibt dann eben die Aufgabe, alle diese WB zu

finden. Der Grund, weshalb die HP* keine allgemeine Lösung liefern, liegtdarin, daß sie nicht wie die HP K- Weissenbergs gruppentheoretisch be¬

dingt, sondern mehr zufälliger Natur sind. (Die RG-Theorie nach E. S.

Fedoroff hat durch S. A. Bogomolov (3) und B. Delaunay, N. Paduroff,A. Alexandroff (1) eine neue Darstellung erfahren.)

Die Untersuchungen von A. Schoenflies (1) über RT sind ganz allge¬meiner Art. Es werden Sätze über die Lage der Symmetrieelemente und

Ebenenzuordnung abgeleitet.

A. Andreini (1) bestimmte alle diejenigen RT in reguläre und halb¬

reguläre Polyeder, bei denen die auftretenden Ecken alle gleichwertig sind.

(Ein halbreguläres Polyeder hat lauter gleichwertige Ecken und gleichlangeKanten; von den Prismen und „verdrehten Prismen" abgesehen gibt es 13

solcher sog. Archimedischen Körper; D'A.W.Thompson (1)). Seine ins

Duale übertragenen Resultate würden besondere RT in gleichwertige Poly¬eder ergeben. Die angewandte Methode ist algebraisch-trigonometrischerNatur. — G. Wulff (1) studierte eingehend die Eigenschaften des Hepta-paralleloeders (vgl. Spez. Teil). — W. Barlow (3) zeigt ein Beispiel einer RTin enantiomorphe Polyeder (13 Flächen, TJj, 8h, C3 nach R. W. G. Wyckoff(1)). Die WB-Konstruktion ist analytisch-geometrisch. — D. M. Y. Som-

merville (1,2) suchte alle RT in kongruente (nicht-kubische) Tetraeder auf

und fand 4 verschiedene Typen.

2. Algebraisch-topologische Methode. Dualitätsprinzip.

Die Grundgleichung für jede Teilung des Kri¬

stall räum es, d.i. eines pP, welches.dem dreidimensionalen

Torus homöomorph ist, lautet:

(1) e—k+f—p=0 oder (!') e'— k' + f —1=0

— 43 —

ge' = —, ...

= Ecken-, ...Zahl in der RT pro Polyeder.

(Vgl. M. Seifert und W. Threlfall ((1), S. 211, 2. Beispiel) oder A.

Schubnikow (2), F. Haag (8)). Es seien folgende Bezeichnungen eingeführt:

eJ = Ecken- )

'*'_— Kanten- | zahl des einzelnen Polyeders j (ey-'*'+ (pJ = 2)

(pj = Flächen- )

'/ Zahl,.

der Gesamtkonfiguration, die in der i-ten Ecke des

F"* = y l Flachen ;...

'• I der Polyeders j zusammenstoßen; Pj — Fj +KJ — 2.

Pj = J [ Polyeder]3 l l '

Bjj = Zahl der Polyeder der Gesamtkonfiguration, die an der »;-ten der yJ

Kanten des Polyeders j zusammenkommen.

Gleichung (1) wird zu:

<2> .2 [2iT-Si7 + -f-,] = °

/=1 Lj=1 r< »)=1 D»? J

(2) kommt durch Ausklammern von p in (1)

»(}-k f— + 1 = 0

P P

und Einzelsummation über die p Polyeder zustande. Die erste Summation

erstreckt sich über alle Polyeder j, die zweite über alle Ecken des ein¬

zelnen Polyeders j und die dritte über alle Kanten desselben Polyeders.

Die vom gestellten Problem verlangte Gleichwertigkeit aller den Kristall¬

raum teilenden, einfach zusammenhängenden Polyeder j bedeutet das Ver¬

schwinden des Klammerausdruckes in (2) für jedes j :

v ,

) zahl der gleichwertigen Polyeder

1= Flächen-1 («-*+? = 2)

K; = 1 7..

( Kanten j der Gesamtkonfiguration, die in der i-ten Ecke

F; = .I Flächen l eines einzelnen Polyeders zusammenkommen;

P,- = J"

| Polyeder] P,,- F,- + K,- = 2.

Die Gleichwertigkeit, welche ursprünglich i. B. auf eine RG gedacht war,

bei der Zusammenfassung zu Isomorphieklassen auf eine speziell-topolo-

gische Abbildung (Isomorphismus) Bezug nahm, ist hier von vorneherein,

— 44 —

des Charakters der Methode wegen, topologischer Natur. Man fragt nach

allen denjenigen einfach zusammenhängenden Zellen (vgl. H. tieesch

(3, 6)), die den Kristallraum lückenlos erfüllen und die eine topologische

Abbildung (Isomorphismus), welche jede Zelle in jede andere überführt,

gestatten. Dabei brauchen diese Zellen weder ebenflächig begrenzt noch

konvex zu sein, so daß durch Auflösen der Qrundgleichung (3) nach den

ganzzahligen, positiven P„ B,;, cp ein Problem, das allgemeiner als das

ursprünglich gestellte, gelöst wäre.

Der Begriff „duale R T" kann hier zweckmäßig eingeführtund erläutert werden. Es sei eine ganz beliebige Teilung des R3

in einfach zusammenhängende Zellen gegeben. Im Innern jeder

gegebenen Zelle greifen wir irgend einen Punkt heraus und ver¬

binden jedes dieser Zellzentren mit allen den Zentren, deren Zellen

an die gegebene Zelle grenzt. Durch diese Konstruktion erhält

man aus der gegebenen RT eine zu ihr „duale". Der Dualismus

besteht darin, daß den Polyedern (Zellen), Flächen, Kanten und

Ecken der ursprünglichen Teilung die Ecken, Kanten, Flächen

und Polyeder der dualen entsprechen und umgekehrt. (Beispiel:RT in hex. Prismen, duale RT in trig. Prismen.) Ist die duale RT

mit der gegebenen isomorph, so heißt die RT zu sich selbst dual.

Das Problem in dualer Fassung lautet demnach:

Der R3 soll durch konvexe, nur mit ganzen Seiten aneinandergren-zende Polyeder derart lückenlos erfüllt werden, daß die entstehen¬

den Ecken alle i. B. auf eine RQ gleichwertig sind. Welche kristal-

lographisch, affingeometrisch oder topologisch (isom.) verschie¬

denen RT treten auf? Die Gesamtheit von i. B. auf eine RG gleich¬

wertigen Punkten heißt regelmäßiges Punktsystem (vgl. S. 7, 26).Die Lösung in kristallographischer Hinsicht erhält man durch Aus¬

führen folgender Konstruktion an sämtlichen regelmäßigen Punkt¬

systemen (SB = Ci bis Oh, bei allen Parameterwerten): Man ver¬

bindet einen beliebigen Punkt eines GK (regelmäßiges Punkt¬

system), und damit alle seine .gleichwertigen, mit den Punkten,die ihm am nächsten stehen (1. Sphäre), dann führt man diese

Konstruktion für die 2., 3., ... Sphäre aus, bis man zu einer lücken¬

losen RT in einfach zusammenhängende, geschlossene Polyedergelangt.

Bezeichnet man die dualen Elemente mit einem *, so erhält man den

Orundgleichungen (1) bis (3) entsprechend folgende Beziehungen:

— 45 —

P.J. = I Zahl der in der Gesamtkonfiguration in der j Polyeder | sJ

F.'. = ( Ecke j zusammenstoßendenFlachen = z

KJ = ) l Kanten ( T7

fjpV = Flächen- j( K/

v'J — Kanten- , zahl des i-ten einzelnen Polyeders an der Ecke j = l FJe'J = Ecken- j (e?' - v'/+ cfY = 2) 1 Pj

E'J = Zahl der Ecken der i-ten der FV Flächen an der Ecke j = BJtj.

Gleichung (1) wird:

(1*) p* —P + k* —e* = 0

'Ve

* e* e* j

<2*> .S S^-Sev + t-1 =0-

Oleichwertigkeit aller Ecken bewirkt:

^i £ i

.

**

(3*) S-^-S-^ + v-

,=1 £( v=i E„ 2

(3*) muß nach t*, E*„, x* wieder ganzzahlig und positiv aufgelöst werden.

Es zeigen sich aber bei Behandlung von Gleichung (3) (oder (3*))

ganz erhebliche Schwierigkeiten, ähnlich denen, die bei der Morphologie

der Polyeder auftreten. Wie früher bemerkt, muß der Gleichwertigkeit

der WB bzw. Ster wegen für die Flächenzahl ep ein Maximum (q9mav) existie¬

ren. Dieses gilt es zuerst zu finden. Darauf müssen zu jedem ço-Wert

(<q>max) alle möglichen x- und e-Werte abgeleitet werden, die der Euler-

schen Formel e — x -f cp=2 und den Ungleichungen 3 e <, 2x, 3cp <:2x

genügen. Daß zu jedem Wertetripel e, x, <p, welches diesen Forderungen

genügt, wirklich mindestens ein Polyeder existiert, hat E. Steinitz (2) be¬

wiesen. Zu jedem möglichen e, x, <p-Tripel müssen dann alle nicht-isomor¬

phen Typen konvexer Polyeder, die in den s, x, gs-Werten übereinstimmen,

aufgesucht werden, was nach der Lehre der Polyedermorphologie theoretisch

möglich, in concreto und mit Sicherheit aber nur für Dreikantspolyeder

bis zur Flächenzahl ç?=10 (M. Brückner (2)) geschehen ist. Die Zahl der

verschiedenen Typen konvexer Dreikantspolyeder gegebener Flächenzahl

ist von Interesse:

Flächenzahl <p 4 5 6 7 8 9 10

Zahl der nichtisomorphen

Typen w(r) 1 1 2 5(+l) 14(+3) 50(+25) 233

— 46 —

(Vgl. M. Brückner {2), E. S. Fedoroff (g), E. Steinitz (1)). Die Tabelle

für die Zahl %p' der <p-Flächner (exklusive Dreikantspolyeder) lautet:

y> 4 5 6 7

V'(?) 0 1 5(+l) 30 (+10)

Total ergeben sich bei gegebener Flächenzahl qp^T:

<T 4 5 6 7

V+ip' 1 2 7(+l) 35 (+11)

Die Zahlen in Klammern bedeuten die Anzahlen der mit anderen enantio-

morphen Typen (Spiegelbilder). Ungelöst ist die Frage nach dem Gesetz

des Wachsens der Funktion yj(cp), yj'(<p) in Abhängigkeit von cp.

Selbst wenn all dies bekannt wäre, müßte jetzt Gleichung (3) nach

den P, (i = 1,..., e) und B^ (rj = 1,... , x) aufgelöst werden. Sie besitzt

abzählbar unendlich viele Lösungen der Existenz von zwei Summen wegen,

auch wenn man nur konvexe Polyeder als Realisierungen zuläßt (//. Heesch

(6)). Hingegen wird die Zahl endlich, sobald Realisierungen als WB bzw.

Ster gefordert werden. So bleibt immer noch die Frage nach der Realisier¬

barkeit als WB bzw. Ster einer RT, die sicher nicht leichter als die nach

der Realisierbarkeit eines einzelnen Polyeders zu beantworten ist.

V. Raumteilung und Kugelpackung.

1. Allgemeine und besondere Gitterkomplexe.

Die Erzeugung der WB durch gleichmäßiges Wachsen kon¬

gruenter Kugeln führt in natürlicher Weise zum Begriff der

„Kugel packung" (KP). Definition: Eine Konfiguration

gleich großer, sich berührenden Kugeln heißt eine homogene

KP, wenn die Kugelzentren i. B. auf eine RO gleichwertig sind

und einen „einparametrigen, mindestens eindimensionalen Zu¬

sammenhang" bilden. Eine KP im eigentlichen Sinn ist drei¬

dimensional zusammenhängend (vgl. W.Nowacki (4)). „Einpara-

metrig zusammenhängend" bedeutet die Tatsache, daß man von

einem Kugelzentrum ausgehend mit ein und derselben absolut kür¬

zesten Entfernung zweier Zentren über andere Zentren zu jedem

gleichwertigen Kugelzentrum gelangen kann. Die Zahl der eine

Kugel berührenden Kugeln heißt „Koordinationszahl"

(KZ) (1. Sphäre, S. 13, 39), die Konfiguration der entsprechenden

Verbindungsstrecken der Zentren „Koordinationsschema"

— 47 —

(1. Sphäre). Die KZ heißt einfach oder homogen, wenn die eine

gegebene Kugel berührenden Kugeln i. B. auf die SB der ge¬

gebenen Kugel gleichwertig sind; anderenfalls zusammengesetzt

oder heterogen. KP mit homogenen Koordinationszahlen heißen

regulär (P. Niggli und W. Nowacki (3)).Alle kristallographisch verschiedenen KP können unter Ver¬

wendung der „Symmetriebereiche" (P. Niggli (3)) wenig¬

stens theoretisch abgeleitet werden. Definition: „Es sollen

innerhalb des Symmetriebereiches die in bezug auf das Symmetrie¬element gleichwertigen Punkte voneinander kleinere Abstände

haben als von allen übrigen gleichwertigen Punkten" (P. Niggli (3,

I), S. 395). Führt man die Konstruktion dieser Symmetriebereichean allen Symmetrieelementen aller RG bei allen Parameterwerten

durch, so erhält man RT in Symmetriebereiche, bei denen Punkte,

die an der Grenze der Symmetriebereiche liegen, als Kugelzentren

zu 1-, 2- oder 3-dim. KP Anlaß geben. In concreto stößt man auf

ähnliche Schwierigkeiten wie bei den WB. Die regulären KP sind

ohne Symmetriebereichskonstruktion direkt ableitbar, indem man

vom einzelnen homogenen Koordinationsschema ausgeht und

dessen Fortsetzbarkeit untersucht.

Bildet ein GK einer RG eine (dreidimensionale) KP, so ist

sein WB besonderer Natur, denn es müssen bei ihm unter anderem

mindestens drei Seitenflächen vom Zentrum gleiche Entfernung

haben, weil die bei räumlichen KP auftretende minimale KZ

drei ist. Das es überhaupt KP mit dieser KZ gibt, hat F. Laves (4)an einem Beispiel gezeigt.

Besonders einfache KP werden mittelst der Translations¬

gitter (TG) erhalten. Ihre WB sind isomorph den fünf Pa-

ralleloedern (Par) (vgl. Spez. Teil, S. 54) und geben zu fol¬

genden höchstsymmetrischen Kugelpackungen Anlaß:

IHexaeder einfach kub. Gitter KZ = 6

Kubooktaeder innenzentriertes kub. Gitter KZ = 8

Rhombendodekaeder flächenzentriertes kub. Gitter KZ = 12

D6A Hex. Prisma hex. KP mit KZ = 6 + 2

D4A VerlängertesRhombendodekaeder keine 3-dim. KP sondern 2-dim. Schicht.

(Vgl. E. S. Fedoroff (1, S. 226, Anm.)

— 48 —

Die Flächenzahl der WB kann gleich der KZ (1. Sphäre) sein

wie bei Hexaeder, Rhombendodekaeder, hex. Prisma, braucht es

aber nicht zu sein (Kubooktaeder). — Die Par führen noch auf

andere KP translatorischen Charakters, z. B. auf das tetr. innen¬

zentrierte Gitter mit der KZ = 8 oder 10 = 8 + 2 (WB = tetr.

deformiertes Kubooktaeder, verlängertes Rhombendodekaeder).

2. Dichteste und dünnste Kugelpackungen.

Die Frage nach der dichtesten KP, d. h. derjenigen KP,

bei welcher der Quotient des von den Kugeln eingenommenen

Raumes zum Oesamtraum ein Maximum ist, wurde von L. Kel¬

vin (1) gestellt und von H. Minkowski (1, 2) gelöst (vgl. die rein

synthetische Herleitung von B. Delaunay (5)). Die Dichte beträgt

q = 0,74 ...; die KP tritt in zwei verschiedenen Anordnungen auf:

als kubisch flächenzentriertes Gitter (KZ = 12) und als hex.

dichteste KP (KZ = 6 -j- 6), bei beiden aber kann das reg.Tetra¬

eder, in dessen Ecken sich die Kugelmittelpunkte befinden, als

Baumotiv gelten.

Die dünnste KP ist unbekannt; vielleicht ist es die von

H. Heescli und F. Laves (1) angegebene mit einer Dichte von

q = 0,056 ... (KZ = 3) (vgl. D. Hilbert und S. Cohn-Vossen (1)).

Mit KP im allgemeinen beschäftigen sich weiter die Arbeiten von W.

Barlow (1), E. S. Fedoroff (1,16), F. Haag (2, 4), A. Johnsen (1), F.

Laves (1, 4), E. Manegold (1), P. Niggli (2, 3, 5), A. Schoenflies (1), W. J.

Sollas (1) u. a.

Das Problem der „dichtesten gitterförmigen Lagerung

kongruenter Körper" wurde von H. Minkowski (1, 2) gestellt und

gelöst. Der ebene Fall wurde im Hinblick auf die Feststellung der „dünn¬

sten dichtesten Lagerung" von Â^. Reinhardt (7) weiter verfolgt.

B. Spezieller Teil.,

VI. Die Hauptpunkte im Sinne K- Weissenbergs,deren Wirkungsbereiche und Unterteilungen.

Als Fortsetzung der allgemeinen Betrachtungen von S. 38

wird im folgenden eine Zusammenstellung der vom

Standpunkt der affinen Geometrie verschiede¬

nen HOK der 219 RG gegeben, deren Ausgangspunkt die

Tab. 4, S. 32 bei K- Weissenberg (1,1) bildet.

Jeder HOK wird durch ein Symbol mH" (ev. mH"r, mH"l) charak¬

terisiert. In ihm bedeuten H Hauptgitterkomplex, n die Zahl der „FG",aber nicht im Sinne der SB eines Punktes des HOK, sondern im Sinne

einer Änderung der Gestalt des HOK (z.B. hat der HGK [xyz]Cj (a)Cj3 FO im Sinne seiner SB = C1; aber 0 „FG", was seine Gestaltsänderunganbelangt, da er (bei fester RG-Metrik) immer als [000] geschriebenwerden kann). Indizes r und 1 weisen auf Enantiomorphie rechts-links hin.

m gibt die laufende Nummer innerhalb desselben „FG" an. In der Zu¬

sammenstellung erhalten zwei HGK dieselbe Nummer m, wenn ihre niedrigstsymmetrischen Realisierungen als HGK durch geeignete Wahl der Metrik

der gleichen RO kongruent oder spiegelbildlich kongruent gemacht werden

können. (Kub., tetr. und rh. Diamantgitterkomplex erhalten z. B. dasselbe

Symbol 9H°.) Verschiedenheit in m heißt im allgemeinen nicht-affin-ver¬

wandt, außer bei IHi—2Hi, 17Hi— 18Hi, 2H°—3H°, welche affin-verwandt

sind. In eckigen Klammern folgt die Angabe der Koordinaten, wobei auf¬

tretende Brüche gleichnamig gemacht werden und der gemeinsame Nenner

mit Angabe der betreffenden Achse (bzw. Achsen) hinter die Klammer ge¬

schrieben wird; der HGK D4 (c)C2 z. B. kann geschrieben werden:

[xx§|xx{|xxj|xxf] = [000J2x2x||0 2x|-J2x0f] =

[000|XO|JXX|JOX{] = [OOOJXOI jXX2(0X3]4c; oder: ü6(a)Ds

[lll|U4|>] = [0Oo|Hl|>] = [oOo|llll>] = [O0O!132i>]4v

Q = zyklische Vertauschung!). Diese Schreibweise wird durch die Auf¬

fassung der OK als Translationsgitter (TG), von denen gewisse GP fehlen,

— 50 —

nahegelegt. Das betreffende TO hat dabei eine soviel mal kleinere Gitter-

konstante, als die Zahlen hinter der eckigen Klammer angeben, v bedeutet,

daß sich die Verkleinerung auf das ganze Volumen des EP bezieht; A,

C, F und I weisen auf Zentrierungen von (010), (001), aller Flächen und

des EP-Zentrums hin. — Hierauf folgt die Angabe des Vorkommens des

HQK, eventuell mit "'Zitierung der Seitenzahl des Abschnittes VIII. Gitter¬

komplexe von C. Hermann in den „Internationalen Tabellen zur Bestimmung

von Kristallstrukturen" (1, I), wo die meisten weiteren Vorkommen (nurausreichend für OP mit 0,1 FO; Druckfehler dieser Tabellen wie auch der

korrigierten von A^. Weissenberg (1,1) werden in der Z. Krist. zusammen¬

gestellt werden) nachgeschlagen werden können. Die SB, welche den Punk¬

ten desselben HGK in den verschiedenen RG zukommen und für die UT

der HWB von Bedeutung sind, bilden das letzte Charakteristikum. Affin¬

verwandte HGK gehören per definitionem zum selben Typ, was eine be¬

deutend geringere Anzahl von „verschiedenen" HGK als in den Int. Tab.

vorhandenen zur Folge hat.

(Siehe Tabelle 1, S. 51—53).

Ein für die strukturelle Kristallographie wichtiges Resul¬

tat dieser Zusammenstellung besteht in der Tatsache, daß alle

HGK ohne „FO" durch affine Deformation (Vari¬ation der RQ-Metrik) in kubische oder hexago¬

nale HQK übergehen. Die von E. S. Fedoroff (19) aufge¬

stellte Hypothese der phänomenologischen Kristallo¬

graphie (welche durch die Tatsache, daß jede Kristallklasse eine

Untergruppe entweder von kubisch- oder hexagonal-holoedrisch

ist, sehr nahegelegt wird), nach der jeder Kristall als Deformation

entweder eines kubischen oder hexagonalen Kristalles angesehen

werden kann, findet in obiger Tatsache ihr strukturelles

Ana logon, das auch experimentell plausibel erscheint, sind

doch viele niedrigsymmetrische Kristallstrukturen bekannt, die An¬

klänge an kubische oder hexagonale Symmetrie aufweisen.

Als nächstes müßten sämtliche HWB (= WB der HP) kon¬

struiert werden. Dies konnte des großen Umfanges wegen natür¬

lich nur für einige HP geschehen. Die WB der HP ohne „FG"

wurden vollständig konstruiert (vgl. Abschn. VII).Einen Anhaltspunkt für die Gestalt der WB der HP mit 1, 2

„FG" gibt die Tatsache, daß diese HP bei speziellen Parameter¬

werten in HP ohne „FG" übergehen, ihre WB, folglich in die

WB der letzteren.

Dieim

Sinne

der

affinen

G

1H8

[000

I 1+xy

1I1

1+y

zI x

1

1+z]

2v

xy

1]2c

(2-zählige

Achse

=

z-Achse)

xyl

|xl0[01+yl]2b2c

x

l

z

j

1

+

x

l

1jl

01+z]2v

x+y

2y-x

1| 2

x-y

x+y

2]3c

x+y

2y-x

2| 2

x-y

x+y

1]3c

x+yy-x

1|2x2y2

| x-yx+y

3]4c

x-yx+y

1|2x2y2

| x+yx-y

3]4c

yy-x

1| x+y

2y-x

2|2x2y3

| 2x-y

x+y

4

x-y

x5]

6c

x-y

x1

| 2x-y

x+y

2|2x2y3

| x+y

2y-x

4|

yy-x

5]6c

10z]2a

0yl]2c

1

lz]2a2b

x

l

0

[

A]2b2c

1Oz

| A]2a

10z|I]2v

12z]3a3b

xx

1

|2xx2]3c

2

x

x

l

|xx2]3c

Oxl

[x02]3c

xOl

| 0x

2

]

3c

1

+

x

l

1

|xx2|

11+x

3]2a2b4c

1

1

+

x

l

|xx2|l+xl,3]2a2b4c

Tabelle

1.

etrieverschiedenen Hauptgitterko

mplexe.Di

(a)C,

Cl

(a)Q,

C«,

(e)C,

CL

(a)Clt

DÏl(d)C«

01(3)^, D",(c)C.

Cî(a)d

Cs(a)Ci

d(a)d

CÎ(a)Ci

Ce

(a)C,

d(a)

d

C«(a)Ci,

Csn(e)C2,

C2t>

(c)

CCl

(a,b)C„

D2

(c)C2—

(428)

—

D»

(e)C,

CL

(a)

C.—

(428)

—

Da.(a)

C2u,

SÎ(g)

Q—

(436)

DL

(c)C4„

Cil(c)Cs,

DÛ

(k)C2—

(429)

—

D".(g)C2„

Ct(a)Ci,

C«,(e)C2,

C2„(b)C„Cu

(a)C„,

DÛ

(a)Ca—

(429)

—

D»

(c)C2„

C"

(b)C«,

DÛ(a)C2—

(430)

—

DÛ,8,

(e)C2„

C«

(d)C3—

(443)

—DL

(d)Ca.

Da(a)C2

Ds(a)C2

Ds(a)C2

DÛ(a)C2

DÎ(a)C2

D!(a)C2

7H1

r[000

1[000

8H1

r[000

1[000

9H1

r[000

1[000

10H1

r[000

1[000

11H1

[000

12H1

[000

13H1

[000

14H1

[xOl

15H1

[xOl

16H1

[000

17H1

[000

18H1

[000

1H°

[000]

x01|xx2|0x3]4c0xlixx2|x03

]4c

xx

1

]02x2|xx3]4c

xxl

|02x2|xx3]4c

Oxl|xx2|2x03[2xx4[xx5]6c

xxl

|2xx2

|2x03

| xx4

|0x5]

6c

2

x

x

l

|3x3x2j2x4x3

| 03x4|

xx

5]6c

xx

1|0

3x2

|2x4x3

|3x3x4

|2xx

5]6c

2x2

0| 1

+x3-x3

| 3+x3+x

3| I

]4v

2

x

2

0

| 3+x3-x3

| l+x3+x3

| I]

4

v

22y

013-y

1+y

1

13+y

3+y

112

021

02y2

[3-y3+y

313+y

1+y311

]4v

4-x21

| j)

| I]4v

4-x03

| x23

! ^| I

]4v

111

|31+y3+y|>|I]4v>]2v

>|I]2v

4-x2

1|

22+yy

|11+yy

11+yy

[000

| C]

[000

| I]

[000

| F]

D5(c)C2

DÎ(c)Ca

D!(a)C2

Dl(a)C3

De(a)C2

De(a)C2

D'(b)C2

De(b)C2

Dr(f)C2

D^(d)C2

Du,(e)C2

T6.(b)C2

Tl(d)

C2

TÎ(c)Cs

T*(a)C8

TB(a)Cs

Cl

(a)G,

C.1(a)G,Ck

(a)

(424)(Ca.,

C„

C2,C),

DL

(a)

(425)(D8M

D2,

C«,,

G„,G,

C2),

Dsj(a)(441)(Dsi,

Ds,C,„G,,

C8),

Dk(a)

(431)(D4h,

D4,Dm,

Cth,

Dîh,

C4«,

S4,D2,

Csj,,

C4,Cu,G,

C2),

Oi(a)(445)(Oh,

O,

T«,,

Th,T,

D3d,

DS)

C3)),Dk(a)(439)(De*,

D6,

D3fc,Gi>,

Ceh,

D3d,

Csh,

C6,D3,

Cs(,

G»,

Cs,D2,Ca)

Cl

(a)G,

G-(a)

G,

CL(a)(C«.,

G,

C2>

C.),

D»(a)(425)(Du,

D2,

Cih,

C2o,

Ci,C2)

Cl

(a)G,

Cl

(a)G,

C»

(a)

(424)(C»,

G,

Ca,G),

D^

(a)

(427)

(D*/.,

D2,

C,h,

C,,,

Cj),

D"h(a)

(434)(Dih,

D4,Dm,

C«.,

D2fc,

G„,

S4,

D2,C2»,C4,G„,C,

Q,),

Oh

(a)(446)(O,,,O,T

„,T„

,T,

CSl)

Cl

(a)G,Cl

(a)G,CL

(a)

(424)(Ci*,

G,C,G),DÎ*

(a)

(426)(D2„,

D2,G„,

C2Ä,

G,

C2),

Ofc(a)(445)(Oä,

O,T*,T„,T,

D«,D„

C3i)

2H"

011

|3H°

[011

|4H"

r

[000

|1

[000

|5H°

[021

|6H»

[000

|

7H°

[201

|8H°

000|

9H"

[000

|

1

0

H

°

[000

|11H"

021

|12H°

[023

|13H°

[021

|14H°

[023

|15H°

[120

[16H°

r

[100

|1100

|17H0

[121

|18H°

[100

|

»2V

>l

I]2v

213

l>]4v

231

l>]4v

023

l>]4v

031

l>|I]4v

203

l>|I]4v

031

| 111

|012

\! l

]4v

111

l>|F]4v

033|

>|

F

]

4

v

063

|>|I]8v

061

l>|I]8v

063

| 067

| 025

>1 I

]8v

061

| 065

| 027

\1 I

]

8

v

210]

3

a

3

b

011

| 112]2a2b3c

012

| Ill]2a2b3c

213]3a3b4c

010

| 110]

2a2b

DL

(d)

(442)(C«,,

C),

Oj.(c)

(446)(Di„,

D4,

D2„,

Cih,

D2„,

S4,D„,

C«,)

Ol(b)(447)(D4/.,

D4,

D2„,

D2,

S4)

Oe(a)(448)(D3)

0'(a)(448)(D8) Of.(c)(447)(D!M,

D2)S4)O8

(a)

(449)(D„)

0'.(d)(447)(D2ä,D

2,

S4)

Of.°(b)(448.)(D3)D2fc(a)(427)(D2,

C2),

D«.(a)(435)(D2i,

S4,D2,

C2„,

C3),

0?.(a)(446)(Td,T)D2i(c)(427)(G),

D^(c)(435)(C»,

G),

O?.(c)

(448)(Da*,

D3,

C3()

Os(c)(448)(D2) l1(a)(448

)(S4) Oi°(c)(447)(D2) Oi.°(d)(448)

(S4)De,,(c)(441)(D3,,,C,h,

D3,

C3„,

C3)

De6(c)(442)(D2,C2)De(c)(442)(D2,C2)DÎh(c)(441)(Ds,„Cs,.,

D3,C.„

C3)

DÎ;.(f)(442)(D2Ä,

D2)

C2,„

C2„,

G,

C2)

— 54 —

Die Unterteilung. (UT) der HWB nach allen möglichen SB

führt unter den gemachten Voraussetzungen zu allen RT in Ster

bzw. WB, deren Anzahl sehr groß ist und von denen nur wieder

wenige Beispiele, die UT des Würfels (Abschn. VIII), ausgeführt

und publiziert wurden.

VII. Die Wirkungsbereiche der Hauptpunkte ohne.

„Freiheitsgrade".

1. Die Wirkungsbereiche der Translationsgitter und die

Paralleloeder.

Die T-Gruppe ist die einfachste RG, das durch sie erzeugte

Gitter ein reines (wirkliches) Translationsgitter (TG). Die 14

kristallographisch verschiedenen TG (Bravais-Gitter) gehören in

eine Affinitätsklasse des „TG" schlechthin.' Für die Gestalt (ohne

Berücksichtigung der Zuordnung der Oberflächenpunkte) der da¬

bei entstehenden WB ist es offensichtlich belanglos, daß die kGP

alle durch T auseinander hervorgehen; die Gestalt der WB ändert

sich nicht, wenn nur die kGP mit den Punkten eines TG zusammen¬

fallen, auch wenn sie nicht alle rein translativ gleichwertig sind.

Solche GK sollen „scheinbare TG" heißen. Die Gestalt der

WB eines wirklichen oder scheinbaren TG von gleicher Metrik

ist dieselbe. Die WB der (wirklichen oder scheinbaren) TG sind

von B. Delaunay (3) eingehend untersucht worden.

Historische Anmerkung. In Bezug auf ein TG sind parallélo-

èdre (G.Voronoi (1); mit dem weiter unten zu besprechenden Paralleloeder

nicht identisch), Fundamentalbereich (im speziellen Sinn) (A. Schoen-

flies (1), E. Steinitz (1)), zentrierter Fundamentalbereich (F. Klein (2)),

konvexer Restbereich {H. Minkowski (1,3) ; Beweis, daß derselbe nicht

mehr als 14=2(25 — 1) Flächen haben kann), normaler Diskontinuitäts¬

bereich oder Normalpolyeder (R.Fricke und F. Klein (1), W.Threlfall und

H. Seifert (1)), Wirkungsbereich (P. Niggli (3)), Voronoischer Bereich und

domaine de Dirichlet (B. Delaunay (3, 2)) identisch.

Aus der Konstruktion des WB eines TG folgt, daß er neben

den allen WB zukommenden noch folgende Eigenschaften besitzt

(nach B. Delaunay (3)) : 1. Jeder WBeinesTG geht aus einem

— 55 —

der fünf Körper: Kubooktaeder (Kombination von Hexaeder

und Oktaeder, so daß sechs reg. 4-Ecke und acht reg. 6-Ecke als

Flächen entstehen, Fig. 24), Rhombendodekaeder (Fig.

22), verlängertes Rhombendodekaeder (= Kombi¬

nation aus tetr. Prisma und Bipyramide, Fig. 23), Hexaeder

(Fig. 20), hexagonalem Prisma (und Pinakoid, Fig. 21)durch affine Deformation hervor; 2. jeder WB hat ein Symmetrie¬zentrum (Flächen paarweise vorhanden, gerade Flächenzahl) ;

3. jede Fläche jedes WB hat ein Symmetriezentrum [2. und 3.

sind Folgen des zentrosymmetrischen Charakters der T-Gruppe] ;

4. die Verbindungsstrecken des Körpersymmetriezentrums mit den

Flächensymmetriezentren stehen zu den betreffenden Flächen nor¬

mal. Wie B. Delaunay zeigte, sind diese Bedingungen notwendigund hinreichend dafür, daß ein Polyeder WB eines TG ist. — Nach

einem Satz von H. Minkowski (3) : „Ein konvexes Polyeder mit

einer geraden Anzahl von Seitenflächen, wobei diese paarweiseparallel und von gleichem Flächeninhalt sind, ist stets ein Polyedermit Mittelpunkt" bzw. A. D. Alexandroff (2): „Wenn bei einem

n-dimensionalen (n^2) konvexen Vielflächner alle „Flächen" der

(n—l)-ten Dimension ein Symmetriezentrum haben, dann besitzt

er selber auch ein Symmetriezentrum" (rein synthetische Ab¬

leitung), sind die aufgezählten Eigenschaften voneinander ab¬

hängig.Aus den vier Fundamentaleigenschaften der WB (S. 24/25) lassen sich

leicht noch andere Eigenschaften des allgemeinsten WB eines TO, des

Kubooktaeders (und dessen affinen Deformationen (von G.Wulff (1) genau

untersucht)) ableiten. Da die 36 Kanten (bei RG = C}) alle vom CrTypus(beweglich) sind, ordnen sie sich der Zentrosymmetrie des WB (v — 2)wegen in 6 Zyklen zu je 3-2=6 Kanten und zwar, da die Kanten paar¬

weise parallel auftreten, in 6 Zonen. Alle Kanten einer Zone sind auf

einem Kreiszylinder um den kGP gelegen (gleicher Abstand vom kOP).Die 24 Ecken sind vom Q-Typus (beweglich) ; folglich lassen sie sich bei

Berücksichtigung der Zentrosymmetrie (v = 2) zu je 4 • 2 = 8 in 3 sphärischgeschlossene Systeme vereinen, d. h. sie liegen auf 3 konzentrischen Kugeln(gleicher Abstand vom kGP). -(Vgl. die ganz andere Herleitung dieser

Resultate von B. Delaunay (2); G.Voronoi (1) deduzierte die WB der TG

im R3, die er paralléloèdres nannte, auf arithmetische Weise.)

Unabhängig von der Idee des Wirkungsbereiches kann man

sich die Aufgabe stellen, alle diejenigen Polyeder, welche kon-

— 56 —

vex und i. B. auf eine T-Qruppe gleichwertig, d. h. kongruent sind

und sich in paralleler Lage und Stellung befinden, die den R3

lückenlos erfüllen und nur mit ganzen Flächen aneinander grenzen,

zu finden. E. S. Fedoroff (1—3, 15) hat diese Aufgabe voll¬

ständig durch die Ableitung der fünf nicht affin-ver¬

wandten Paralleloeder (Par), wie er diese Körper ihrer

parallelen Lage wegen nannte, gelöst. Sie haben dieselben Eigen¬

schaften wie die WB der TG mit Ausnahme der nicht notwendiger¬

weise vorhandenen vierten, daß die Verbindungsstrecken des

Körpersymmetriezentrums mit den Flächensymmetriezentren auf

den Flächen normal stehen, was ein anderer Ausdruck des Nicht¬

vorhandenseins der sphärischen Anordnung der ausgezeichneten

Oberflächenpunkte ist (S. 29). Die Par sind allgemeiner als die

WB der TG. Letztere stehen zu den Par im selben Verhältnis wie

die WB eines allgemeinen GK zu den Ster.

B. Delaunay (4) gab noch eine Verallgemeinerung des Pro¬

blems der RT in parallel gestellte, konvexe und ähnliche Polyeder

im folgenden Satz: „Si l'on partage l'espace à trois dimensions en

des morceaux convexes et homothétiques (c'est-à-dire semblables

et parallèlement disposés), ces morceaux ne seront autre chose que

les paralléloèdres de Fedoroff."Die Symmetrieverhältnisse (kristallographischer Standpunkt)

von speziellen Par, der WB der TG sind von B. Delaunay (3,

S. 135 und 138, Figg. 11/12) abgeleitet worden; vom affin-geo¬

metrischen Standpunkte aus erhält man 5 Affinitätsklassen von

Par; ebenso 5 Isomorphieklassen, denn teils ist die Flächenzahl

der Par, teils (bei gleicher Flächenzahl) die Eckenzahl der begren¬

zenden Flächen verschieden, die Par folglich nicht isomorph. Die

rein topologische Betrachtung (Homöomorphie) endlich führt in

allen Par, da sie FB einer einzigen (fixpunktfreien) RG, der

T^Gruppe Cj sind, zu einer Homöomorphieklasse, der des „3-

dim. Torus" (euklidische 3-dim. Raumform).

2. Die Wirkungsbereiche der übrigen Hauptgitter¬

komplexe und die Stereoeder.

Die HWB der übrigen HGK (ohne „FG") mußten neu kon¬

struiert werden. Alle affin-verwandten HGK wurden in eine De-

— 57 —

formationsreihe gebracht und die Variation in der Gestalt der

HWB als Funktion der besonderen Metrik der RG bestimmt. So¬

wie das Achsenverhältnis variabel wird, stellt die Konstruktion

des WB bei gegebenem GK eine langwierige Untersuchung dar,

die für zwei rhombische und einen rhomboedrischen HGK nicht

vollständig durchgeführt wurden. Die „experimentelle Methode"

konnte leider auch jetzt nicht vollkommen eliminiert werden;

irgendwo scheint sie immer zum Vorschein kommen zu müssen.

Ihrer prinzipiellen Wichtigkeit wegen wurden alle kubischen

und hexagonal-isometrischen (c/a = 1) HWB konstruiert und

publiziert. Deren auftretende Formenkombinationen, das Verhält¬

nis der Abstände der verschiedenen Sphären und Gesamtflächen¬

zahlen wurden neben denen einiger Deformationstypen in Ta¬

belle 2 zusammengestellt.Die kub. HWB (GP mit 0 FG) sind von Kristallformen mit

rationalen Indizes <8 begrenzt: rational sind sie deshalb, weil

die GP rationale Koordinaten haben, <; 8, weil die Koördinaten-

differenz der kub. HP eines HGK nur ~, ^, ~ sind.

(Siehe Tabelle 2, S. 58 u. 59).

VIII. Die Unterteilungen des Würfels.

Die UT aller HWB nach allen möglichen SB bilden den Ab¬

schluß dieser Betrachtungen. Die ins einzelne gehende Unter¬

suchung führt zu einer außerordentlich großen Zahl von Sonder¬

problemen, von denen nur ein Spezialfall, die Teilungen des

Würfels nach sämtlichen SB, vollständig ausgeführt

wurde und beim Verfasser jederzeit eingesehen werden kann, denn

aus finanziellen Gründen lassen sich bloß wenige, die auftreten¬

den Verhältnisse generell illustrierende Figuren publizieren.

Die Figg. 48—52 zeigen Würfel-UT bei einer SB = 0/,; die erzeugten

Polyeder sind schon Ster wie auch WB. Ihre SB sind bzw. Cu Cs, Cs,

C2v, Civ. [Die UT der vier WB der TQ (ohne das verlängerte Rhomben¬

dodekaeder) in Polyeder der Symmetrie Cx findet man schon bei E. S.

Fedoroff (6)]. Bei diesen Beispielen sind alle Flächen feste Ebenen; in

Fig. 53 hingegen (SB = T/,) ist die zerteilende Ebene durch die Trigyre

Tabelle2

.

Kubische, hexagonal-is

ometrischeHWB

und

einige

Deformationstypen.

Symbol

desHOK

Formen

und

deren

Stellung

Verhältnisd

er

Zentraldistanzen

der

auftretendenFormen

1.,

2.,

3.

Sphäre

1H°

Isomorph

zuden5

Paralleloedern

höchster

Symmetrie:

Hexaeder(Fig.

20)

Rhombendodekaeder(F

ig.

22)

„verlängertesRhombendodekaeder",

z.B.

=

tetr.Prisma

II+

Bipyramide

I

(Fig.

23)

Kubooktaeder

—

Oktaeder

+

Hexaeder(Fig.

24)

H

e

x

.

Prisma

+

Pinakoid(Fig.

21)

2H°

Tetr.

Bipyramide

(Fig.

40)

3H°

Tetr.Prisma

I+

tetr.Bipyramide

I

(Fig

26)

4H°

Trig.Trapezoeder+ tr

ig.Bipyramide

(Fig.

25)

5H°

Tetr.

Skalenoeder+

Pinakoid(Fig.

47)

6H°

Trig.Prisma

II+

trig.Trapezoeder+

trig.Trapezoeder(F

ig.

46)

7H°

Tetr.

Bisphenoid,

zu

Rhombendodekaeder

zusammenfügbar

(Fig.

28)

8H°

Trig.Prisma

II+

Pinakoid

+

trig.

Bi¬

pyramide

+

trig.Trapezoeder(F

ig.

29)

9H°

Tetraeder

+

Rhombendodekaeder(F

ig.

34)

10H°

Rhomboeder,z

u

Rhombendodekaeder

zusammenfügbar

(Fig.

42)

:-g-|/3=

1:1,155

:

beliebig

:y2

~=

1:

1,414

:J/y= 1:1,528

Vt

1:

1,225

Flächenzahlen

( )

bedeutetgleicheZentral¬

distanz

:|/3

:y5=

1

:1,732:2,236

:J/-|:|/}=1:1

,225:1,581

:

|/J-

=1

:

1,633

6 12 4+

8=

12

8+

6=

14

6+

2=

88 4+

8=

12

6+

6=

12

8+

2=

10

3+

6+

6=

15

4 3+

2+

(6+

6)=

17

4+

12=

16

6

Ol

00

11H°

Rh.

Bisphenoid,

+rh.

Bisphenoid

(Fig.

27)

12H°

Tetr.

-

+

tetr.

-

+

tetr.Bisphenoid

(Fig.

41)

13H°

R

h

.

-

+rh.

Bisphenoid

(Fig.

31)

14H°

Tetr.

-

+

tetr.

-

+

tetr

Bisphenoid

(Fig.

30)

15H°

Trig.Prisma

+

Pinakoid

(

c

/

a

=1)

(Fig.

43)

16H°

Rh.

-

+rh.

-

+rh.

Bisphenoid

(Fig.

45)

17H°

Trig.Bipyramide

+

Pinakoid

+

h

e

x

.

Prisma(versch.Stellung)

(Fig.

39)

18H°

Rh.

Prisma

+

Pinakoid(Fig.

44)

9H°

Mit

abnehmendemAchsenverhältnis:

Tetr.Prisma

+

tetr.Bisphenoid

(Fig.

32)

Tetr.Prisma

+

tetr.Bisphenoid

(Fig.

33)

Tetr.Bisphenoid

+

tetr.Prisma

+

tetr.

Bipyramide

(TypusFig.

34)

Tetraeder+

Rhombendodekaeder(F

ig.

34)

Tetr.Bisphenoid

+

tetr.Bisphenoid

+

Tetr.Bipyramide(Orundriss

Fig.

35)

Pinakoid

+

tetr.Bisphenoid

+

tetr.

Bisphenoid

+

tetr.Bipyramide

(Qrundriss

Fig.

36)

17H°

H

e

x

.

Prisma

+

trig.Bipyramide

(versch.Stellung)

(Fig.

37,

38)

H

e

x

.

Prisma

+

trig.Bipyramide

(versch.Stellung)

+

Pinakoid(Fig.

39)

:

^

3

~

1:1,732

4+

4=

8

:|/f =1:1,429

(4+

4)+

4=

12

:J/y

=1

:1,528

4+

4=

8

:|/j =1:1,528

4+

(4+

4)=

12

:-|yj=1:1,155

3+

2=

5

:}/ff:|/?|=1:1,387:1,5444

+4+

4=

12

:21/^=

1:1,309

(6+

2)+

6=

14

:2

4+2

=6

4+

4=

84+

4=

8

4+

4+

8=

16

4+

12=

16

4+

4+

8=

16

2+

4+

4+

8=

18

6+

6=

12

6+

6+

2=

14

— 60 —

um dieselbe drehbar; analog in Fig. 55 (SB —T), wo alle teilenden Ebe¬

nen 1 FG besitzen. — Die unterteilten Würfel müssen je nach dem Cha¬

rakter des HOK aneinandergereiht werden. Der einfachste Fall tritt bei

den „symmorphen" RO auf, die gleich dem Produkt aus einer T- und einer

Punktgruppe sind; bei ihnen müssen die unterteilten Würfel parallel zusam¬

mengefügt werden. Dabei können wie z. B. in Fig. 54 (SB = Td) neue

Kanten entstehen: BD in Fläche ABCD, EG in EFGH,EB in EABF, DG in

HDCG und es ist in jedem Einzelfall zu entscheiden, ob dadurch die

zerlegenden Polyeder immer noch eigentlich konvex bleiben und ob man

die Konvexität durch erlaubte Abänderung („brechen" der Flächen längsdieser Kanten) herstellen kann. In Fig. 54 ist dies nicht der Fall, hingegenin Fig. 56 (SB = D2rf), aus der Fig. 57 hervorgeht. Fig. 58 ist ein Bei¬

spiel einer Teilung nach D3rf; Fig. 59 eines nach Cs mit der SB = C3v des

entstehenden Polyeders. Beim parallelen Aneinanderreihen entstehen die

neuen Kanten AB, BC, CA; das Polyeder wird durch „Brechung" der

Flächen zu Fig. 60; die entstehende RT ist der RT (QH°, kub. Diamant¬

gitter, Fig. 34; vgl. H. Tertsch (1)) isomorph.

IX. Das Problem der Raumteilung und der Kugel¬packungen des Rn (n = 1,2,4,..,).

1. Der eindimensionale Raum (Gerade).

Unendliche, eigentlich diskontinuierliche Bewegungsgruppendes R1 mit endlichem FB gibt es zwei: ^und c, (D. Motzok (1—3)).Cj ist die reine 1-dim. T-Qruppe; c,- besteht aus einer Reihe äqui-distanter Symmetriezentren. Die WB sind zum R3 analog definiert.

An Stelle der Mittelnormalebenen treten die Halbierungspunkteder Verbindungsstrecken gleichwertiger Punkte. Man erhält die

Fälle der Figg. 17a, b, c. Die WB sind Strecken der Länge % oder

- (t = T-Qröße), die aneinandergereiht den R1 lückenlos erfüllen.

Da bei ct die beiden Endpunkte Ax und A2 des WB durch die T

identifiziert werden, ist dieser WB dem Kreise homöomorph. Die

Identifikation gleichwertiger Punkte ergibt bei c,- die abgeschlos¬sene Strecke.

Einzige RG des R1 mit unendlichem FB ist c,: ein Symmetrie¬zentrum. WB ist für die SB = Q die an einem Ende, für C, die

an beiden Enden offene Strecke.

— 61 —

Es gibt folglich zwei euklidische, eindimensionale Raum¬

formen: die Gerade selbst (offen) und der Kreis (geschlossen).

2. Der zweidimensionale Raum (Kristallebene).

Nach E. S. Fedoroff (8), R. Flicke und F. Klein (1) [diese Ableitung

mit funktionentheoretisch-geometrischen Mitteln scheint völlig übersehen

worden zu sein; eine andere Anwendung der Funktionentheorie in der Kri¬

stallographie siehe W. Kleber (1)], A. M. Gänzburg (sen. und jun.) (1—3),

G. Pôlya (1), P. Niggli (6), D. Motzok (1—3), H. Heesch (1), /. /. Burck-

hardt (1—4) existieren im R2 17 unendliche, eigentlich diskontinuierliche

Bewegungsgruppen (RG2, Index gibt Dimension an) mit endlichem FB.

[C. Jordan (1) vergaß einzig C^, L. Sohncke (1) C\, Cj1, C"1; vgl. die

Zusammenstellung bei E. S. Fedoroff (8, S. 387) ; F. Haag (3) leitete

18 RG2 ab, vgl. Berichtigung (5)J. Jede solche RG2 besitzt eine ausgezeich¬

nete T-Untergruppe mit zwei linear unabhängigen T, deren Faktorgruppe

endlich und mit einer der 10 ebenen Punktsymmetriegruppen Cn, C„p (n =

1, 2, 3, 4, 6) isomorph ist. Symmetrieelemente sind zur Ebene normal ste¬

hende Drehungsachsen, Spiegel- und Gleitspiegelebenen. Die übrigen Be¬

griffsbildungen sind denen des R3 analog. (Röntgeneffekte vgl. A. L.

Patterson (1)).Außer diesen 17 RG2 mit endlichem FB existieren noch 7 unendlich

eigentlich diskontinuierliche Bewegungsgruppen mit unendlichem FB und

einer T-Untergruppe mit einer T. Diese RG2 werden nicht weiter benutzt.

(G. Pôlya (1), P. Niggli (7), A. M. Günzburg (1—3), D. Motzok (1—3)).

An Stelle des räumlichen tritt der ebene WB, begrenzt von

den Mittelloten der Verbindungsstrecken eines GP mit seinen

Nachbarn. Von Wichtigkeit sind wieder begrenzende Ge¬

radenstücke und kinematisch bzw. symmetriege¬

mäß, ausgezeichnete Randpunkte verglichen mit den

Seiten1) und Ecken1) der WB. Die allgemeine Bewegung

eines Geradenstückes im R2 hat zwei FG (Hessesche Normalform;

r, a), die zu den fünf Spezialbewegungen Anlaß geben:

Nr. konstant variabel FG Name

1.

— r, a 2 zufällig2 r = 0 « 1 rotierend

3 a r 1 translatierend

4 r, « — 0 fest

1—3 beweglich

!) Seite = Gerade, an der zwei, Ecke = Punkt, in dem mindestens

drei WB zusammenkommen.

— 62 —

Rotationspunkt von Nr. 2 kann sein: C2- bis C6-Punkte; Schnittpunkt

der Spur einer GSE mit Verbindungsgeraden von C2-Punkten. Feste Ge¬

radenstücke können sein: Stücke von Spuren von SE(CS); GSE^); von

Verbindungsgeraden eines C2-Punktes mit Cj-, C2-, C3-, C4-, Cs-Punkten,

eines C3-Punktes mit C3-, C6-Punkten, eines C4-Punktes mit C4-Punkten;

einer Cj-Geraden durch Schnittpunkt der Spuren zweier GSE. — Die Klas¬

sifikation i. B. auf die SB der Punkte ergibt Ci-Geradenstücke (beweglichoder fest) und Cs-Geradenstücke (fest). Die WB-Seiten werden von diesen

Geradenstücken gebildet. Sie sind so oft zu zählen, wie die Zähligkeit der

Symmetrie verlangt. Beispiel: 2-fach Figg. 18—19.

Kinematisch ausgezeichnete Randpunkte der

WB ergeben sich z. B. als Schnittpunkte der vier Typen von Qe¬

radenstücken. Hervorgehoben seien nur die „zufälligen" (zu¬

fälliges X zufälliges Geradenstück) und die „feste n" Punkte

(festes X festes Geradenstück). Daneben unterscheidet man i. B.

auf die Symmetrie: Cs-, C„- und C^-Punkte (n = 2, 3, 4, 6)

und CrEcken. Ist die SB des kGP d, so sind alle C3_6- und

C2v_e„-Punkte auch WB-Ecken (d. h. Punkte, in denen mindestens

drei WB zusammenkommen) ; begrenzende C3_6-, C3F_6y-Punkte

sind immer WB-Ecken, welche SB und Lage der kGP auch be¬

sitzen mag. C2-, Cs-, C2„-Punkte können als Ecken figurieren,

.brauchen es aber nicht immer.

Überlegungen, die den beim R3 angestellten entsprechen, er¬

geben die drei Fundamentalsätze:

1. Die WB sind konvexe, von endlich vielen Geraden¬

stücken begrenzte Polygone.

2. Die Geradenstücke des Randes der WB sind einander

einerseits durch die SO der SB, andererseits durch die übrigen

SO der RG2 zugeordnet. Sie sind entweder vom Typus Ci oder Cs.

Die Punkte der Geradenstücke letzterer Art entsprechen sich selbst.

Kinematisch sind die begrenzenden Geradenstücke einzig vom

Typus zufällig (2FG), rotierend (1 FG), translatierend (1 FG)

oder fest (OFG).

3. Die symmetriegemäß ausgezeichnetenRand-

punkte und die Q-Ecken der WB gehören dank der SB und der

übrigen SO der RG2 in kreisperipherisch geschlossene Zyklen zu¬

sammen. Die Ci-Ecken gehören im allgemeinen zu dreien in Zyklen

— 63 —

zusammen und die Winkelsumme um einen solchen Punkt beträgt

2jr. An einem Cs-Punkt stoßen entweder 4 oder 6 WB, an einem

Cn- bzw. C„v-Punkt (n = 2, 3, 4, 6) n bzw. 2n WB zusammen.

Die Summe der Kantenwinkel einer Klasse von C„-, C„„-Punkten

ist ein ganzzahliger Teil von 2ji. Jeder WB zieht sich an minde¬

stens einen C„-, C„„-Punkt derjenigen Klasse heran, der die SB

seines kQP nicht angehört.

Kinematisch wurden die zufälligen und festen Punkte er¬

wähnt; mit den eventuell vorhandenen Schnittpunkten von WB-

Seiten mit Spuren von Symmetrieebenen zusammen kann man sie

als im weiteren Sinn kinematisch ausgezeichnet bezeichnen.

Umgekehrt ist jedes Polygon gegebener SB, das den Vor¬

aussetzungen 1. bis 3. genügt (das Wort RG2 ist durch Be¬

wegungen erster oder zweiter Art zu ersetzen) WB einer eindeutigbestimmten RG2. (Für SB (kGP) = d vergleiche A 112, 113,

138, 148.)

Die WB sind metrisch vollkommen fixiert. Da sie aber be¬

wegliche ausgezeichnete Randpunkte aufweisen können, ist es

möglich, sie durch „erlaubte Abänderung" (e.A.) zu

„Planigonen" (PI), die nicht mehr WB zu sein brauchen, zu

deformieren. Denn neben das Problem, alle verschiedenen Typenvon WB der 17 RG2 zu finden, läßt sich das andere stellen, die

Kristallebene durch konvexe Polygone endlicher Seitenzahl, die

nur mit ganzen Seiten aneinander grenzen und die i. B. auf eine

RG2 gleichwertig sind, lückenlos auszufüllen und alle ver¬

schiedenen Typen solcher Ebenenteilungen (ET)in Planigone (PI), wie diese Polygone heißen mögen, aufzu¬

stellen. (Der Ausdruck stammt von E. S. Fedoroff (1, 8, 15) und

ist das ebene Analogon zum Stereoederbegriff.)

Die Definition der e. A. lautet analog der beim R3 gegebenen.— Die Eigenschaften der PI sind mit denen der WB iden¬

tisch, außer der Anordnung der ausgezeichneten Randpunkte in

kreisperipherisch geschlossene Systeme, die ein Spezifikum der

WB darstellt und durch deren spezielle Kreiskonstruktion bedingtist. Durch e. A. ist es nun immer möglich, wie dies

die explizite Untersuchung zeigt, aus einem PI

— 64 —

einen WB zu erhalten. — WB wie PI sind spezielle FB

(vgl. die sehr schönen Muster von ET in FB bei A. M. Gänz¬

burg (2, 3)). Ein Polygon, das den fundamentalen Bedingungen 1.

bis 3., die Anordnung in kreisperipherisch geschlossene Systeme

u. U. ausgenommen, genügt, ist PI, somit FB einer eindeutig be¬

stimmten RG2.

Wie im R3 fragt es sich, ob jeder Bereich, der den R2 lückenlos durch

lauter kongruente Exemplare ausfüllt (ZB), FB einer RG2 ist. H. Heesch

(7) fand durch Probieren ein Beispiel einer ET in ZB, die keine FB sind;

hingegen existiert eine zu ihr isomorphe ET (Fig. 14), in der die ZB auch

FB sind. (Vgl. top. Standpunkt.)

Die Aufgabe, alle kristallographisch verschiedenen WB abzu¬

leiten, läßt sich z.T. „experimentell" lösen, indem man für

alle GP der 17 RG2 bei jeder Metrik die WB direkt konstruiert.

Nur ist man bei Anwendung dieser Methode nie sicher, auch eine

wirkliche Vollständigkeit erreicht zu haben. F. Haag (1—8) ging

so vor und zeichnete für die einzelnen RG2 viele Beispiele. F. La¬

ves (2) erkannte den Mangel, untersuchte das System C^ voll¬

ständig, ohne streng zu beweisen, daß die gefundenen ET die

einzig möglichen sind, was in der folgenden Arbeit (3) nachgeholt

wird (siehe unten). P. Niggli (3, II) gab ebenfalls Beispiele ein¬

zelner WB anläßlich der Ableitung der 31 Kreispackungen (siehe

unten), doch legte er gezwungenermaßen das Hauptgewicht auf

die Ableitung der Symmetriebereiche.Die Existenz der Hauptpunkte im Sinne K- Weissen-

bergs und die Unterteilung ihrer WB nach den selb¬

ständigen Untergruppen ihrer Symmetriebedin¬

gung erlauben hier im zweidimensionalen Fall eine elegante und

vollständige Lösung. —

In der Tabelle 3 sind alle HP der 17 RG2 zusammen¬

gestellt. (Im Gegensatz zum R3 sind hier alle HP Punkte minimaler

Zähligkeit oder minimalen Freiheitsgrades.)Die Konstruktion der HWB verlangt nur bei C'1 die „experi¬

mentelle Methode", die aber hier leicht und vollständig zu über¬

blicken ist. Wenn die HP ein TG bilden, sind ihre WB immer

spezielle Parallelogone (Par), die im Falle eines wirklichen TG

alle durch reine T auseinander hervorgehen, und wenn die HP nur

— 05 —

Tabelle 3.

Die Hauptpunkte im Sinne K- Weissenbergs der 17 ebenen

Bewegungsgruppen.

RO2 Koordinaten Zähligkeit SB FG

d a(xy) 1 d 2

d a(00) b(lO) c(0i) d(H) 1 d 0

d a(0y) b(iy) 1 C. 1

ci1 a ( x y | x y + i) 2 d 2

«m

a(°y;jy + è) b(iy|°y + *) 2 c. 1

Czv a(00) b(iO) c(0i) d(ii) 1 Csu 0

a(00|ü) bU°iH) 2 d &

,-,111<-2t> a(00|0i) b(iOjii) 2 d 0

c(xijx|) 2 c. 1

pIV a(°o|H) b(è° 1 °è) 2 Ctv 0

caiiiiiiüif) 4 d 0

d a(00) b(li) 1 d 0

c(°ili°) 2 d 0

Cio a(00) b(H) 1 Cly 0

c(°èlè°) 2 C2ü 0

pH a(00IH) 2 d 0

b(è°]°è) 2 C20 0

d a(°0) b(i§) c(|i) 1 d 0

Cl a(00) b(H) c(§i) 1 Cst7 0

rii a(00) .1 Cs» 0

b (X 2 1 2 JA\3 3 1 3 3/

2 c3 0

ci a(00) 1 d 0

b(HIH) 2 c, 0

c(è°lièi°è) 3 c2 0

Ce» a(00) 1 Ce« 0

b (* § 1 § è) 2 C3» 0

c(i°IH!°è) 3 Cs„ 0

der Anordnung, nicht aber der Stellung nach ein TG bilden (schein¬bares TG), so haben die WB doch die Gestalt von Par, die aber

nicht mehr alle translativ ineinander überführbar sind. Das P a -

rallelogon (E. S. Fedoroff (1,15)) ist das zweidimensionale

— 66 —

Analogon zum Paralleloeder und ist als konvexes Polygon, welches

den R2 lückenlos durch lauter kongruente, parallelgestellte, nur

mit ganzen Seiten aneinandergrenzende Exemplare ausfüllt, defi¬

niert. Nach E. S. Fedoroff (1, 15) und B. Delaunay(\, 3) gibt

es zwei nicht-affinverwandte Par: das Hexagon

(Sechseck mit paarweise parallelen und gleichen Seiten) und das

Parallelogramm (Figg. 61, 62). Sollen diese Par WB eines

TG sein, müssen sie die kreisperipherische Zusammenfassung ihrer

Ecken gestatten und werden dann zu Kreisen einbeschriebenen

Hexagonen (Kreishexagonen), bzw. Rechtecken (speziell

Quadraten), ein Resultat, das schon L. Dirichlet (1) und G. Vo-

ronoi (1) mit Hilfe der Lehre der quadratischen Formen gefunden

hatten. (Vgl. R. Fricke und F. Klein: A 217, § 3. Beziehung der

Normalsechsecke der parabolischen Rotationsgruppen zur Reduk¬

tion der binären, quadratischen Formen.)

Aus Platzmangel konnten nicht alle Figuren der HWB mit

ihren UT, sondern nur je ein Exemplar der 11 auftretenden

nicht-isomorphen ET abgebildet werden. Im übrigen lie¬

fern z. B. folgende RG2 mit ihren unterteilten HWB die 11 Iso-

morphieklassen:

RO- HP HWBHWB

unterteilt

nach :

PINr. bei

F. Laves (3)Fig. bei

W. Nowacki

cl a Kreishexagon Q 6-Eck 1 63

a Rechte.ck Ci 4-Eck 7 64

c\ a-d Kreishexagon c. 5-Eck 4 65

a-d Rechteck c2 3-Eck 11 66

CIIV-2„ a,b Rechteck Ca 5-Eck 3 67

pIVa, b Rechteck c2l. 3-Eck 9 68

c1 a—c Reg. 6-Eck c. 4-Eck 5 69

c1*~Su a Reg. 6-Eck c3„ 4-Eck 6 70

b Reg. 3-Eck Q 3-Eck 8 71

c1 a Reg. 6-Eck c6 5-Eck 2 72

c1 a Reg. 6-Eck Ce» 3-Eck 10 73

Bei C"v speziell sind die HWB der HP (a, b) entweder Kreishexagone

oder Rechtecke (Quadrate). Die UT eines Kreishexagons.nach C2 ergibt

die Figg. 65, 74, 75, 76, 77, welche mit den Figg. 9, 7, 8,, 3, 5 bei F.

Laves (2), eines Rechtecks nach C2 die Figg. 66, 78, welche mit den Figg. 10,

4 loc. cit. isomorph sind.

— 67 —

Durch die Existenz dieser 11 Isomorphieklassen wird man

zur Frage geführt, welche lückenlose Teilungen in einfach zu¬

sammenhängende Polygone, die alle zusammen mit ihren ganzen

Umgebungen isomorph sind, d. h. die eine eineindeutige, beider¬

seits stetige und inzidenzerhaltende Abbildung aufeinander ge¬

statten (topologisch gleichwertig), die Kristallebene zuläßt. F. La¬

ves (3) gelang es, auf algebraisch-topologischem Wege not¬

wendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für solche ET ab¬

zuleiten und fand dieselben 11 Isomorphieklassen wie oben; im

Gegensatz zum R3, wo unendlich viele solcher Teilungen möglich

sind, eine endliche Anzahl. Die notwendigen Bedingungenlieferten ihm eine endliche Zahl von Lösungen, deren geometrischeRealisierbarkeit aber nicht nach allgemeinen Gesetzen erfolgte

(weil hinreichende Bedingungen fehlten), sondern in jedem Spe¬zialfall entweder durch Zeichnen der ET im positiven oder durch

einen Unmöglichkeitsbeweis im negativen Sinne entschieden

wurde. Dieselbe Schwierigkeit tritt bei der Behandlung des Pro¬

blems nach der von A. Schubnikow (1) beim dualen Problem (siehe

unten) angewandten Methode auf. Für die Teilung der Kristall¬

ebene, d. h. der Ebene, die zwei linear unabhängige T gestattet,

gilt, da die Betrachtung eines pP, welches dem Torus homöomorph

ist, genügt, die Eulersche Formel in der Gestalt:

(1) e —k + f = 0

0') f(~-^+l)=0Sei i die Eckenzahl der nach Voraussetzung gleichwertigen Poly¬

gone, ]k die Zahl der in der k-ten Ecke jedes Polygons zusammen¬

stoßenden Kanten; dann wird

— 68 —

T*'

(3)

Satz: Die maximale Eckenzahl der Polygone, welche eine regel¬

mäßige topologische Teilung der Kristallebene bilden, ist sechs:

i = 3, 4, 5, 6.

Gleichung (2) kann aufgelöst werden:

2 h h h

ji'

h '

is'

n

J5 Je

In jedem Fall erhält man nur endlich viele Lösungen. Die Reali¬

sierbarkeit (hinreichende Bedingungen?) kann vorläufig wieder

nur durch Untersuchung jedes Einzelfalles und Zeichnung ent¬

schieden werden. Als geometrisch realisierbare Fälle erhält man:

Nr. i u j, h h

1 3 3 12 12

2 3 4 6 12

3 3 4 8 8

4 3 6 6 6

5 4 3 3 6 6

6 4 3 4 4 6

7 4 4 4 4 4

_

1 l î 11 + + +

~~

ii h J3 u

3_

î 1 1 1+ + +

2~~

ii h is u

_

i 1 l i2 + + +—

ii is J3 h

9

10

11

5 3 3 3 3 6

5 3 3 3 4 4

F. LavesS. 226

Nr.

(3)

Fig.

8

10

10

12

9 11

11 13

5 7

6 8

7 9

2 3

3 4

4 5

Nr. 9 und 10.stimmen in den i- und j^-Werten überein, sind aber-

trotzdem nicht isomorph.

— 69 —

An eine oben gemachte Bemerkung anschließend sei über die Arbeiten

von K. Reinhardt (1—6) und anderen kurz referiert.

Der Hauptsatz der die Ebene betreffenden Arbeiten lautet : Teilt

man die euklidische Ebene in lauter gleicheckige (Eckenzahl = n), kon¬

vexe Polygone, welche die Ebene lückenlos und einfach überdecken, wobei

jedes Polygon in einem Kreis mit gegebenem Radius R, und in jedem Poly¬

gon ein Kreis mit gegebenem Radium r Platz findet, so kann n nicht größer

als 6 sein : n <| 6. In diesem Satz, dessen Voraussetzungen viel geringer als

diejenigen bei F. Laves (3) und hier formulierten sind, ist unser Satz über

die Teilung der kristallographischen Ebene in gleichwertige Polygone ent¬

halten. Zum selben Resultat gelangt auch W.P.D. MacMahon (I): „No

convex repeat polygon exists of order greater than 6." Seine Arbeit ist

ein Versuch einer systematischen Ableitung der ET mittelst metrisch-alge¬

braischen (Winkel-) Betrachtungsweisen, unter spezieller Berücksichtigung

der Ränderzuordnung, ohne daß der topologische Gesichtspunkt heraus¬

gearbeitet ist. Die Realisierungsmöglichkeit und die dabei auftretenden

Vieldeutigkeiten bleiben undiskutiert.

In der Dissertation von K. Reinhardt (1) ist das Problem der ET

in explicite gelöst. Er nennt eine Ebenenzerlegung, bei der die „Anzahl der

singulären Ecken sowie die Anzahl derjenigen Ecken, die mit dreifachen,

vierfachen usw. Netzpunkten identisch sind", für alle Polygone dieselben

sind, regulär und leitet auf Grund ganz allgemeiner topologischer Über¬

legungen folgende Formel für reguläre ET her:

k ElK

= 4" e'-4» + 4" e(5> + e <» + -|- e"> +4 e<8> + 4" e<" + Z- e(10>L 5 / 4 5 O

Ml^

2+1"

n = Eckenzahl der Polygone; eM = Zahl der Ecken eines Polygons, in

denen k Kanten zusammenstoßen, e(k) ^ 0, ganz. (In einer Ecke sollen

mindestens drei Kanten münden.)

Durch Auflösen dieser Gleichung für n = 3, 4, 5, 6 nach den eW er¬

hielt K. Reinhardt eine Tabelle (S. 58) aller an sich möglichen regulären ET,ohne aber deren Realisierbarkeit zu untersuchen. Nimmt man

darauf Rücksicht, so ergeben sich naturgemäß die 11 ET von F. Laves. Die

Lösung des topologischen Problems bei K- Reinhardt hat, abgesehen von

der Realisierungsmöglichkeit, gegenüber den anderen Arbeiten den Vor¬

zug einer rein topologischen Begründung.

Als Antwort auf die von D. Hilbert (1) gestellte Frage ergeben sich

die Sätze: a) Jedes beliebige Drei- oder Viereck kann FB einer ebenen

— 70 —

Bewegungsgruppe sein. (S. 66.) b) Alle kongruenten normalen Sechsecke,

die die Ebene lückenlos erfüllen, sind FB einer Bewegungsgruppe. (S. 69.)

c) Jedes Fünfeck, das zu einem der fünf aufgestellten Typen gehört und

das die Ebenen lückenlos bedeckt, ist FB einer Bewegungsgruppe (S. 79),

wobei eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, daß andere zu einer Ebenen¬

zerlegung Anlaß gebende Fünfecktypen als die in Satz 2 aufgezählten dabei

nicht mehr zutage treten (S. 85.) [a) und b) kommen auch bei P.A.Mac-

Mahon and W. P. D. MacMahon (1), aber weniger exakt abgeleitet, vor.]

Allgemein ist jedes konvexe Polygon als ZB auch FB eine RG2.

E. S. Fedoroff's Methode der Konstruktion der WB aller HP* aller

RG2 und deren UT in PI führt hier zum Ziel, weil im Gegensatz zum R3

in jeder RG2 HP* vorhanden sind. Man gelangt zu den 11 Iso-

morphieklassen. Daher erhielt E. S. Fedoroff in „Reguläre P1 a n-

und Raumteilung" im ebenen Falle durch Aneinanderreihen der

unterteilten Parallelogone alle 17 früher von ihm durch Nullsetzen einer

Koordinate in den RG3 abgeleiteten RG2.

Außer diesen systematischen Untersuchungen sind eine Reihe von klei¬

neren Arbeiten erschienen, die Teilprobleme lösten. 1. T. Hayashi (1,2)

bestimmte alle diejenigen Polygone, die bei sukzessiver Spiegelung die

Ebene genau überdecken und fand mit Hilfe diophantischer Gleichungen

acht Typen, nämlich die Nr. 7, 9, 11, 1, 5, 6, 8, 10 von F. Laves. 2. T.

W.Chaundy (1) untersuchte die gewissen ET zugeordneten algebraischen

Schemata. 3. D. M. Y. Sotnmerville (1, 2) gibt eine sehr klare Zusammenstel¬

lung der Teilungen der a) elliptischen, b) euklidischen und c) hyperbolischen

Ebene in reguläre 3-, 4-, 5-, 6-, > 6 -Ecke, wobei unter a) die 5 regulären

Körper, unter b) das reg. 3-, 4-, 6-Eck und unter c) unendlich viele reguläre

Polygone auftreten. Im weiteren wird nur die Teilung der drei Ebenen¬

arten in Dreiecke untersucht.

Zu jeder ET in gleichwertige Polygone läßt sich eine duale

ET in Polygone mit gleichwertigen Ecken her¬

stellen. Die Dualität ist wie im R3 definiert: Annahme irgend

eines Punktes im Innern der Polygone, verbinden dieser Punkte

entsprechend dem Aneinanderstoßen der Polygone. Von A. Schub-

nikow (1) stammt die Lösung des dualen topologischen Problems,

alle Teilungen der Kristallebene in Polygone mit topologisch

gleichwertigen Ecken zu finden. Die Ableitungsmethode im Du¬

alen ist identisch mit der hier gegebenen (S. 67). Es ergibt sich

der duale Satz, daß die Anzahl der in einer Ecke zusammen¬

laufenden Kanten <; 6 sein muß. Die notwendigen, aber nicht hin¬

reichenden Bedingungen liefern wieder ein System von endlich

— 71 —

vielen Lösungen, deren Realisierbarkeit auf 11 nicht-isomorpheET führen. In derselben Arbeit wird auch das kristallographischeProblem der ET in Polygone („P 1 a n a t o m e") mit i. B. auf eine

RG2 gleichwertigen Ecken explizite gelöst. Man geht von einem

Punktsystem einer der 17 RG2 aus und „verbindet jeden Punkt

mit dem ihm nächstliegenden durch eine Gerade; hierauf führt

man diesen Prozeß soweit wie möglich weiter, wobei das Schneiden

der Geraden in irgendwelchen außer den gegebenen Punkten zu

vermeiden ist. Falls mehrere gleiche kürzeste Abstände existieren,

tragen wir sie alle auf, wenn sie einander nicht schneiden, und

keinen von ihnen, wenn sie einander schneiden" (1, S. 764). Die

Vollständigkeit wurde zusammen mit den endlich vielen Resultaten

des topologischen Problems erreicht.

A. Andreini (1) löste trigonometrisch-algebraisch die Aufgabe, in wel¬

cher Weise sich die Ebene lückenlos mit regulären Polygonen gleicher Seiten¬

länge derart überdecken läßt, daß sich in jedem Eckpunkt die gleiche Zahl

regulärer Polygone in gleicher oder in entgegengesetzter Anordnung fin¬

den. Notwendige Bedingungen liefern ihm 11 Möglichkeiten, deren Duale

mit den hier abgeleiteten 11 Isomorphieklassen von WB isomorph sind und

deren Existenz durch Konstruktion erwiesen wird. Es sind die Fälle: 3N13,

3N, 3N10, 3N12, 4N6, 4N„ 4N10, 5N5, 5N2, 5N3 und öNj bei P. Niggli (3 I,S. 409 ff.; siehe unten). Dasselbe behandelt G. Tacchella (1) 24 Jahre später.

Fordert man den „einparametrigen Zusammenhang" (vgl. S. 46) der

GP durch den absolut kürzesten Abstand zweier GP, erhält man eine

„Kreispackung" (KP). Alle 31 bezüglich der Symmetrie verschie¬

denen KP sind von P. Niggli (3) durch eingehende Untersuchung der Sym¬metriebereiche der RG2 abgeleitet worden.

Es bleibt noch zu fragen übrig: „Welche gitterhaften Ebenen¬

teilungen (in Teilpolygone, Kanten und Ecken) gibt es, bei denen

durch eine Decktransformation jede Kante in jede andere über¬

gehen kann?" (//. Heesch (2)). Man erhält auf algebraisch-topo-logische Weise 28 verschiedene Fälle, deren Existenz durch Zeich¬

nung bewiesen wird.

Damit ist das Problem der ET in beinahe jeder Hinsicht

vollständig untersucht. Folgende Zusammenstellung gibt einen

Überblick.

Ebenenteilung

Polygonegleichwertig

|

Eckengleichwertig

d

u

a

l

b

z

w

.reziprok

Kantengleichwertig,

zu

s

i

c

h

selbstd

u

a

l

F.

Laves:nurnotwendige Beding¬

ungen

;Realisierungeinzelne

n

t

¬

schieden;Vollständigkeit.

Topologischer Standpunkt

A.Schubnikow

:nurnotwendige

Be¬

dingungen;Realisierungeinzeln

entschieden

;Vollständigkeit.

H.

Heesch

:nurnotwendige Beding¬

ungen;Realisierung einzelne

n

t

¬

schieden;Vollständigkeit.

ET

inPlanigone

b

z

w

.Wirkungs¬

bereiche

;

E.S.Fedoroff:

Methode

derUT

der

WB

der

H

P

*

;Vollständigkeit.F.

Haag:ExperimentelleMethode

;

keineVollständigkeit.

W.Nowacki:

Methode

derUT

der

WB

derHP;Vollständigkeit.

ET

inWB

vonKP

(nichtbearbeitet)

Ktistallogr. Standpunkt

ET

inPlanatome;

A.Schubnikow

:experimentelle

Me¬

thode;zusammen

mit

topolo¬

gischer Methode.Vollständigkeit.

Ableitungaller

KP;

P.NiggU:Experimentelle

Methode

undVollständigkeit.

H.

Heesch:experimentellezusam¬

men

mittopologischer Methode

;

Vollständigkeit

— 73 —

Die WB der RG2 sind in rein topologischer Hinsicht

{Homöomorphie) vollkommen zu übersehen, weil durch Identi¬

fikation bezüglich der RG2 gleichwertiger Punkte Flächen ent¬

stehen und deren Klassifikation und Typisierung genau bekannt

ist. Geschlossene zweidimensionale euklidische Raumformen gibt

es der Fixpunktfreiheit der RG2 wegen, als deren FB sie erzeugt

werden, zwei: Torus (RG2 = C\, orientierbar) und Kleinscher

Schlauch (RG2 = C1], nichtorientierbar) ; bei Berücksichtigung

der offenen Raumformen (RG2 mit unendlichem FB) noch: un¬

endlich langer Zylinder (RG2 •= Ou Symbol nach P. Nlggli(l),

orientierbar) und unberandetes Moebiusband (RG2 = O], nicht

orientierbar) ; mit der Ebene (orientierbar, offen) zusammen exi¬

stieren folglich 5 Homöomorphieklassen von eukli-,

dischen zweidimensionalen Raumformen (vgl. H.

fiopf(\), der sie zuerst in ihrer Gesamtheit ableitete).

3. Der n-dimensionale Raum Rn (n 2g 4).

Das Gebiet der RT des R" ist wenig erforscht. Im R" (für jedes n)

sind bekannt : die Punktgruppen (d. h. diejenigen endlichen, eigent¬

lich diskontinuierlichen Bewegungsgruppen, die einen Punkt fest lassen)

der regulären, halbregulären und Sternpolyeder (Po¬

lytope). [Vgl. die Arbeiten von H. S. M. Coxeter (1—8), E.L.Elte (1),D. E. Littlewood {!), D. K. Motzok (4, 5), A. Puchta{\,2), K- Rudel (1),L. Schlafli (1), V.Schlegel (1,2), P. H. Schoute (2), G. Segre (1), D.M.Y.

Sommervilla (3—6), E. Steinitz (1), A. Boole Stott (1), W. J. Strlngham (1),/. A. Todd{\,2), A. Urech (1), P. Du Val(\)]; ferner diejenigen Punkt¬

gruppen, welche durch Spiegelungen erzeugt werden und diejenigen,deren FB Simplexe sind (//. S. M. Coxeter (4, 6, 7)) ; die Eigenschaftender regulären, gewisser halbregulären und Sternpolytope (obige Lit.) und

gewisser „K r i s t a 11 f o r m e n" des „regulären (kub.) Systems" im R"

(P. H. Schoute (2)). Speziell den R4 behandelten: M. Brückner (1), R.

Hoppe (1), S. L. van Oss (1—3), O. de B. Robinson (1,2), P. H. Schoute (1),A. Boole Stott (1), F. Surrer (1), A. Urech (1), R. Weitzenböck (1). Ed.

Goursat (1) stellte alle Punktgruppen des R1 auf und untersuchte deren

Beziehungen zu den regulären RT. — H. ffeesch (1) und A /. Burckhardt (4)behandelten diejenigen 4-dim. RQ, welche einen R3 invariant lassen.

Daß es im R" nur endlich viele unendliche, eigentlich diskontinuier¬

liche Bewegungsgruppen (RQ") gibt, hat L. Bieberbach (1) bewiesen. Die

T-Gruppe ist die einfachste RG". Die WB der n-dim. TG („paralléloèdres")

— 74 —

hat G.Voronoi (\) (vgl. P. Bachmann (1, S. 328—335)) eingehend unter¬

sucht, speziell die „primitiven Paralleloeder", bei denen in jeder Ecke nur

(n -f- 1) Polytope zusammenkommen. Alle anderen („paralléloèdres im¬

primitifs") sind Grenzfälle der ersteren und können aus ihnen abgeleitetwerden.

Von B. Delaunay (1) stammt die rein synthetische Ableitung aller

Paralleloeder des R4, deren es 51 gibt. Sie sind durch Projektionauf den R3 durch Figuren veranschaulicht. A. D. Alexandroff (3) leitete für

den R4 sechs nicht-normale Paralleloeder ab, d. h. solche, die nicht mit

ganzen Flächen aneinandergrenzen. Fünf derselben erfüllen den R4 auch,

wenn sie nur ähnlich sind (neben der Konvexität und der parallelen

Lagerung).Die im engeren Sinne regulären RT, welche reguläre

Polytope und Ecken aufweisen, sind: R2, Quadrat, reg. Drei- und Sechs¬

eck; R3, Würfel; R4, 8-Zell, 16- und 24-Zell; R", B„-Polytop (n-dim. Wür¬

fel). (Vgl. E. Steinitz (1) und D. M.Y. Sommerville (3), die das Problem

allgemein für nicht-euklidische R'; lösten; außerdem H. Jansen (1), Th.

Schmidt (1), S.W.P.Steen (1).Airs. A. Boole Stott (1) bezeichnet das Ziel ihrer Arbeit mit: „The ob¬

ject of this memoir is to give a method by which bodies having a certain

kind of regularity may be derived from regular bodies in an Euclidean

space of any number of dimensions; and space fillings of the former from

space fillings of the latter." Speziell wird der R4 untersucht und als Re¬

sultat 47 halbreguläre Polytope und 46 halbreguläre „Netze", das sind RT

in halbreguläre Polytope, wobei die Ecken in der RT alle gleichwertigsind (Punktsysteme), als Polytope des R5 mit unendlich vielen begrenzen¬den Polytopen, gefunden. Halbregularität eines Polyeders bedeutet Gleich¬

wertigkeit der Ecken und gleiche Länge aller Kanten. Die Arbeit schließt

sich an die von A. Andreini (1) an. P. H.Schoute (4) gibt eine analytische

Darstellung des dazu dualen Problems der RT in gleichwertige Polytope.

Wichtig ist, daß für den WB eines GP allgemeiner Lage einer RG"

erster Art die allgemeinen Fundamentaleigenschaften 1) bis 4), welche beim

R3 auftraten, auch hier in sinngemäß erweiterter Form Geltung behalten

und daß umgekehrt ein Polytop, das diese Eigenschaften aufweist, als

WB einer bestimmten RG" angesehen werden kann. (Vgl. E. Steinitz (1).)Von Kugelpackungen in höheren Räumen ist nur die dichteste

parallelepipedische Anordnung im R4 bekannt (B. Delaunay (5)). Man

könnte in Analogie zum R2 und R3 vermuten, daß die dichteste 4-dim. KP

die nach dem regulären 4-dim. Tetraeder ist. Das ist hingegen nicht der

Fall. Denn, genau wie man die dichtesten 3-ditn. KP durch Aufsetzen einer

dichtesten 2-dim. Kugelschicht auf eine gegebene derartige Schicht erhält

und zwar so, daß die Kugeln der zweiten Schicht in die Vertiefungen der

ersten Schicht zu liegen kommen, gelangt man durch Aufsetzen von 4-dim.

Kugeln in die Lücken der dichtesten „3-dim. Schicht" zur dichtesten 4-dim.

— 75 —

KP. Diese Lücken sind zweierlei Art: Mitten von Tetraedern und Mitten

von Oktaedern. Von den Tetraederzentren ausgehend gelangt man zu einer

4-dim. KP, die nach dem regulären 4-dim. Tetraeder aufgebaut ist, die aber

dünner als diejenige KP ist, die man von den Oktaederzentren ausgehend

erhält. Letztere ist die dichteste 4-dim. KP-

H. F. Blichfeldt (1) untersucht die obere Grenze der Dichte q der dich¬

testen, parallelepipedischen KP im R" mit Hilfe quadratischer Formen.

X. Zusammenfassung.

Auf Grund der allgemeinen Raumgruppenlehre und der Syste¬

matik von K- Weissenberg wurde insbesondere die Teilung des

zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raumes in Wirkungs¬

bereiche, Stereoeder (Planigone) und Fundamentalbereiche und

deren Eigenschaften untersucht. Es wurde eine allgemeine Me¬

thode entwickelt, die gestattet, im R2 alle und im R3 sehr viele

Wirkungsbereiche abzuleiten. Wenn der in der Ebene allgemein,

und im Raum in Sonderfällen (Paralleloeder) gültige Satz, daß

jedes Stereoeder (im hier definierten Sinne) durch erlaubte Ab¬

änderung in einen Wirkungsbereich deformiert werden kann, sich

allgemein beweisen läßt, so liefert die entwickelte Methode ein

Mittel, alle Wirkungsbereiche des R3 bei weitgehender Um¬

gehung der direkten Konstruktion abzuleiten.

Außer dieser Frage wurden folgende ungelöste Pro¬

bleme gestreift, die einer Bearbeitung wert wären:

1. Qruppentheoretisch-topologische Synthese der Morpho¬

logie der Polyeder (S. 33).2. Gesetz des Wachstums der Funktion yj (ç>) (S. 46).

3. Arithmetische Deduktion der Wirkungsbereiche des R2 und

R3 (Fortsetzung der Arbeiten von G.Voronoi) (S. 30).4. Übertragung des ganzen Fragenkomplexes auf den R4, R'!

(vgl. Arbeiten von /. /. Burckhardt, H. S. M. Coxeter, H. Heesch,

G.Voronoi) (S. 30, 73), und

5. Allgemein - topologische Untersuchung der Wirkungs¬

bereiche fixpunkthaltiger Raumgruppen und das Problem der

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9. Stereochemie der Kristallverbindungen, II. Komplexe VerbindungenAB, Z. Krist. 75, 228. 1930.

10. Bemerkungen zu der Nomenklatur der geometrischen Kristallographiedes Diskontinuums, Z. Krist. 63, 174. 1926.

11. Tabellen zur allgemeinen und speziellen Mineralogie. Berlin. Gebr.

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2. Der arithmetische Begriff der Kristallklasse usw., Z. Krist. 91, 321. 1935.

3. Einfache, reguläre Kugelpackungen, erscheint in Z. Krist.

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2. Die nichtkristallographischen Punktgruppen, Z. Krist. 86, 19. 1933.

3. Der Begriff „Voronoischer Bereich", Z. Krist. 85, 331. 1933.

4. Kristallographische Bemerkungen zur Arbeit von E. Manegold und W.

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Erläuterungen zu den Figuren.

1 Vergleiche S. 10, Raumteilung

2 S. 12, Kugelkqnstruktion der WB

3 S. 19, Ebenentypen

4—9 S. 21--24, Geraden- und Punkttypen

10—12 S. 27, WB—FB

13—14 S. 31, Isomorphe ET

15—16 S. 39, UT eines PI

17 S. 60, WB des R1

18—19 S. 62, Seitentypen

20—47 S. 54--57, HWB der HP ohne „FG"

48—60 S. 57, 60, UT des Würfels

61—78 S. 66, Ebenenteilung

Lebenslauf.

Geboren 14. März 1909 in Zürich als Sohn des Karl Werner und der

Anna Henriette Nowacki. Nach Absolvierung des Kant. Qymn. Zürich, an

dem ich dank meiner Lehrer E. Beck, R. Huber, U. Seiler f Freude an

mathematisch-naturwissenschaftlichen Dingen erhielt, trat ich Herbst 1927

in die Abteilung für Mathematik und Physik der Eidg. Techn. Hochschule ein,

an der ich 1929 das Vordiplom und 1932 das Schlußdiplom als Physiker

bestand. Im Sommersemester 1932 studierte ich an der Universität Göttin¬

gen und wurde Herbst 1932 Assistent von Herrn Prof. Dr. P. Niggli am

mineralogisch-petrographischen Institut der E. T. H. Diese Stelle hatte ich

bis Frühjahr 1934 inne. Seither bin ich als Hülfslehrer am Kant. Gymn.

Zürich tätig.

Ich hörte Vorlesungen bei den HH. Prof. E. Amberg, E. Baur, J.

Franel, R. Eueter, A. Hirsch, H. Hopf, L. Kollros, E. Meissner, P. Niggli,

W. Pauli, M. Plancherel, Q. Pôlya, W. Saxer, P. Scherrer, A. Speiser, W. D.

Treadwell; in Göttingen : M. Born, V. M. Qoldschmidt, D. Hubert, H. Weyl.

Ihnen allen sei herzlich gedankt für die Vermittlung von Wissensgut

und persönliche Anteilnahme; Herrn Prof. Dr. H. Hopf für die gütige Über¬

nahme des Korreferates dieser Arbeit!

Besonders möchte ich meinem verehrten Lehrer Herrn Prof. Dr. P.

Niggli herzlich danken, mich als Diplomanden, Assistenten und Doktoranden

angenommen und mich während dieser Zeit durch seinen Unterricht in viel¬

seitiger Weise gefördert zu haben.

Mein Dank gilt auch dem Präsidenten des Darlehens- und Stipendien¬fonds der E. T. H., Herrn Schulratspräsidenten Prof. Dr. A. Rohn, der Stadt

und dem Kanton Zürich, die mich während und nach meiner Studienzeit in

großzügiger Weise finanziell unterstützt haben.

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