PROYECTO FINAL: HÉLICE BALANCÍN

Santiago Pulido sapulido@academia.usbbog.edu.co

Juan José Jaramillo jjaramillo@academia.usbbog.edu.co

ABSTRACT—By following work it is to explain the

implementation of control position in a bar having one degree of freedom, which involves rotation about an axis, the rotational movement is caused by an urging force produced by a propeller and a motor current directly, so that by controlling the rotational speed of the engine may regulate the thrust force acting on the bar and thus the position thereof, for many of the above can be summarized as "helicopter with a degree of freedom" the preceding sentence may be more illustrative and allow all create a mindset of the system.

INDEX TERMS— control transfer function, system, model

dynamic systems.

INTRODUCCIÓN

En este artículo se presenta el diseño y construcción de un mecanismo de hélice balancín, mostrando las debilidades y fortalezas tanto de los diseños preliminares como de los finales. Por otro lado se comparara la planta obtenida tanto teórica como experimentalmente, con el fin de mostrar al lector cuál de los dos formas es más certera. Por último se mostrara el diseño e implementación de un compensador de adelanto acoplado a un controlador proporcional y a su vez se justificara la implementación de este tipo de compensador.

OBJETIVOS

Diseñar y construir un mecanismo, que mediante su

geometría y características físicas, disminuyan en cierto

grado el esfuerzo realizado por el motor DC para elevarlo,

y a su vez sea sencillo de estabilizar dentro de un rango

de operación.

Obtener el modelo matemático del sistema en cuestión

mediante la segunda ley de Newton para el movimiento de

rotación de un sólido rígido.

Implementar un controlador que permita mantener el

mecanismo estable ante perturbaciones no deseadas,

como también de la inercia del mecanismo.

Diseñar e implementar un controlador proporcional y un

compensador en adelanto que permita al mecanismo

estabilizarse dentro de un punto de operación ya

establecido.

MARCO TEÓRICO

CONTROL PROPORCIONAL.

La parte proporcional consiste en el producto entre la señal de error 𝑒(𝑡) y la constante proporcional 𝐾𝑝 para lograr que el error

en estado estacionario se aproxime a cero.

𝑃𝑠𝑎𝑙 = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)

Imagen 1. Control proporcional

COMPENSADOR DE ADELANTO DE FASE

Un compensador de adelanto de fase hará descender la

ganancia de baja frecuencia y elevará el ángulo de fase de

la frecuencia media total, relativas a la frecuencia de corte

determinada por la constante de tiempo T. Normalmente se

utiliza para mejorar el margen de fase. Puede mejorar la

estabilidad relativa del sistema. Para compensar la pérdida de

ganancia, es común aplicar una compensación de ganancia.

𝐶(𝑠) =𝐾(𝑆 + 𝑍𝐶)

(𝑆 + 𝑃𝐶)

Dónde:

K es la ganancia del compensador,

𝑍𝐶 es el cero del compensador

𝑃𝐶 es el polo del compensador

FASE DE DISEÑO

Dado que por características físicas el hélice balancín es

una planta no lineal, se necesitó implementar tanto un

controlador proporcional para estabilizar la planta en un

punto dado, como también el cierre del lazo, para su

debida retroalimentación, con el fin de identificar este tipo

de planta. Para ello se utilizó la tarjeta de adquisición de

datos MyDaq, junto con un programa para la debida

indexación de datos y posteriormente su identificación.

El diagrama de bloques utilizado para el envío y

recepción de datos se muestra en la imagen 2.

Imagen 2. Control labview

DISEÑO MECANICO:

Basándose en un modelo CAD, se identificaron las dimensiones

y geometrías respectivas del mecanismo hélice balancín, para

su posterior construcción. A continuación se presentan tanto el

modelo preliminar, como también el modelo final de la

estructura.

MODELO PRELIMINAR:

MODELO FINAL:

ANALSIS ESTRUCTURAL:

Dado que la fuerza de empuje producida por la hélice acoplada

al motor no era lo suficientemente alta para elevar el

mecanismo se optó por reestructurar el diseño, modificando la

distribución de pesos y longitudes del mismo, procurando

disminuir el esfuerzo hecho por el motor con el fin no solo de

minimizar la corriente que consumía el motor para evitar una

avería, sino que también para aumentar la inercia a favor de la

fuerza de empuje del motor.

FUERZAS DE EMPUJE:

DISEÑO PRELIMINAR DISEÑO FINAL

Fp=5.3N Fp=0.015N

Se puede evidenciar claramente que con el cambio de la

estructura, la fuerza de empuje que debe generar el motor,

debe ser mucho menor con el diseño final que con el preliminar

y esto es debido a las inercias a favor de la fuerza de empuje y

el cambio en la geometría de la estructura.

MATERIALES UTILIZADOS:

Dado que el mecanismo debería ser liviano, se utilizaron

ángulos de aluminio, con el fin de proporcionar rigidez en la

estructura sin comprometer el peso de la misma. Por otro lado

se utilizó una barra de aluminio para soportar todo el peso de la

estructura, con la finalidad de desarrollar un punto de fulcro en

la misma. Por último se utilizó una chumacera que sirvió de

base para soportar toda la estructura.

Por otro lado se utilizó un motor dc de 9600 revoluciones

acoplado a una hélice EP-7035, para generar la suficiente

fuerza para levantar la estructura. (NOTA: Dado que se

necesitaba grandes velocidades pero con un peso pequeño, se

utilizó el motor que más se ajustaba a estas condiciones).

MODELANDO TEORICAMENTE LA PLANTA:

Imagen 3. Planta con masas puntuales

Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a sistemas

rotacionales se tiene que:

𝑙𝐹𝑒 − 𝑙𝐹𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑙𝛽𝜃 − 0,05𝑊𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑙2𝐹𝑔2𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝐼��

Dónde:

θ: posición de la barra respecto al eje de giro, se consideraran

desplazamientos muy pequeños por lo que sin θ≈ θ en [rad].

l: longitud desde el motor principal al punto de giro de la barra

móvil

Fg: fuerza de gravedad que actúa sobre el motor.

Fg2: fuerza de gravedad que actúa sobre el contrapeso.

β: Factor de amortiguamiento

𝐼: Momento de inercia del sistema móvil.

α: aceleración angular

Donde 𝐹𝑒 es: 𝐹𝑒 =1

2𝜌𝑉2𝑆𝑟𝑒𝑓𝐶𝐿

ρ: densidad del aire [Kg/m3 ]

V: velocidad de giro de la hélice [m/s]

Sref: área que forma la hélice al girar [m2]

CL: coeficiente de elevación [ad]

𝑙𝐹𝑒

𝐼−

𝑙𝐹𝑔𝜃

𝐼−

𝑙𝛽

𝐼

𝑑𝜃

𝑑𝑡−

0,05

𝐼𝑊𝑏𝜃 +

𝑙2𝐹𝑔2𝜃

𝐼=

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

Se aplica transformada de Laplace

𝐿 (𝑙𝐹𝑒

𝐼) − 𝐿 (

𝑙𝐹𝑔𝜃

𝐼) − 𝐿 (

𝑙𝛽

𝐼

𝑑𝜃

𝑑𝑡) − 𝐿 (

0,05

𝐼𝑊𝑏𝜃)

−𝐿 ( 𝑙2𝐹𝑔2𝜃

𝐼) = 𝐿 (

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 )

𝑙𝐹𝑒(𝑠)

𝐼−

𝑙𝐹𝑔𝜃(𝑠)

𝐼−

𝑙𝛽

𝐼[𝑠𝜃(𝑠) − 𝜃(0)] −

0,05

𝐼𝑊𝑏𝜃(𝑠)

− 𝑙2𝐹𝑔2𝜃(𝑠)

𝐼= [𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝜃(0) − 𝜃(0)]

Partiendo de condiciones iniciales 0

𝑙𝐹𝑒(𝑠)

𝐼 = 𝑠2𝜃(𝑠) +

𝑙𝐹𝑔𝜃(𝑠)

𝐼+

𝑙𝛽

𝐼𝑠𝜃(𝑠) +

0,05

𝐼𝑊𝑏𝜃(𝑠)

− 𝑙2𝐹𝑔2𝜃(𝑠)

𝐼

𝜃(𝑠)

𝐹𝑒(𝑠)=

𝑙𝐼

𝑠2 +𝑙𝛽𝐼 𝑠 +

𝑙𝐹𝑔

𝐼 +0,05

𝐼 𝑊𝑏 −𝑙2𝐹𝑔2

𝐼

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

𝐾

𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2

RESULTADOS Y ANÁLISIS

El diseño de los sistemas de control, está basado en un modelo

matemático del proceso a controlar, este modelo matemático

describe el comportamiento de una dinámica. La identificación

de sistemas permite obtener mediante el análisis de su

respuesta ante un conjunto de entradas, un modelo matemático

que describe su comportamiento dinámico, por lo tanto,

mediante el programa realizado en Labview, expuesto

anteriormente en el documento, se procedió a identificar la

planta; Para el proceso de identificación, se vio en la necesidad

de estabilizar la planta dentro de un punto de operación dado o

una referencia, en este caso se estabilizo dentro de los 5°,

teniendo como origen del eje coordenado el punto de apoyo de

la estructura, esto se logró a partir de la implementación de un

controlador proporcional cuya constante tenía un valor de 45.

Encontrado el punto de estabilización, se procedió a identificar

la planta mediante una entrada escalón es decir se cambiaba

la referencia teniendo en cuenta que estuviese dentro del rango

de operación del mecanismo, dado que si no se estuviese

dentro de este rango se corría el riesgo de inestabilizar la planta

y a su vez de atentar contra la integridad de la misma. Luego

capturados esos datos se procedió a utilizar la herramienta

ident de Matlab para la identificación de la función de la planta.

A continuación se muestra tanto la respuesta a la entrada

escalón, como la propia entrada.

ANALISIS DE LOS RESULTADOS:

Al observar el porcentaje de aproximación que genera Matlab,

se puede pretender que es un excelente modelado o

aproximación, pero al observar la ecuación definida por Matlab

que representaría la planta, se concluyó que hubo algunos

inconvenientes durante la identificación experimental de la

planta.

La ecuación correspondiente al experimento fue:

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

655.55

𝑠2 + 9596 𝑠 + 1250

PROCESO TEÓRICO.

Reemplazando los valores en la función de transferencia se

obtiene:

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

35.807

𝑠2 + 9.5644 𝑠 + 11.95

Ya que se pueden apreciar inconsistencias entre los

procedimientos teóricos y prácticos, para el control proporcional

se decidió utilizar el valor de Kp para el cual el sistema se

estabilizaba encontrado gracias a pruebas con labview, el cual

oscila entre 40 y 45.

La respuesta en lazo abierto de la planta es de:

Imagen 4.planta lazo abierto

En lazo abierto el sistema tiene un tiempo de estabilización de

4 segundos.

La respuesta de la planta con el controlador proporcional es:

Imagen 5. Control proporcional

Luego de aplicar el control proporcional el tiempo de

establecimiento se reduce a 1 segundo y se incrementa el

sobresalto.

Para el control proporcional se utilizaron los siguientes

componentes de diseño.

COMPONENTE VALOR

RESISTENCIA 1 40 K

RESISTENCIA 2 1 K

Para mejorar la respuesta transitoria se aplicó un compensador

en adelanto de fase, a continuación se presentara el diseño del

compensador de adelanto.

Utilizando la planta modelada teóricamente se calcularon tanto

las variables del compensador, como también el debido valor

de sus componentes.

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

35.807

𝑠2 + 9.5644 𝑠 + 11.95

Para el diseño e implementación del compensador en adelanto,

se utilizó un Margen de fase mayor a 50, con el fin de que el

compensador tenga una tolerancia alta, debido a que la certeza

de la función de trasferencia de la planta no es muy buena.

Con el valor del margen de fase se calcula el cita y junto con el

valor del sobre pico, dado que es una planta de un modelo no

lineal se procuró reducir las exigencias del controlador al

máximo, tomando como el tiempo de estabilización 1.8 seg.

POLOS DEL SISTEMA:

El sistema al ser de grado 2, posee dos polos, la ubicación de

estos estarán representados en la siguiente tabla.

POLO DOMINANTE POLO 2

S=-1.478 S=-8.087

Utilizando los parámetros antes mencionados, se calculó la

ubicación del polo del compensador, para permitir controlar la

planta de la mejor manera.

UBICACIÓN DEL POLO DEL COMPENSADOR:

UBICACIÓN DEL POLO

Sc=-1.8+3.38i

PROCEDIMIENTO: Se procederá a calcular los ángulos

conformados por la posición de los polos del compensador con

respecto al polo del compensador.

𝜃1 = tan−1 (3.38

8.07 − 1.8)

𝜃1 = 28.328°

𝜃′2 = tan−1 (3.38

1.8 − 1.47)

𝜃′2 = 84.424°

𝜃2 = 95.5763°

Angulo del compensador:

𝜃𝑐 = 56.096°

Ubicación del cero del compensador de adelanto, dado que la

sumatoria total del ángulo que aporta el compensador ya está

dada, se optó por escoger un polo en -10, para que el ángulo

que aporta el cero del compensador de adelanto sea muy

pequeño en comparación con el del polo.

𝜃𝑧𝑐 = tan−1 (3.38

10 − 1.8)

𝜃𝑧𝑐 = 22.4012°

Ya que se encontró el ángulo del cero del compensador, es

sencillo calcular el ángulo del polo del mismo ya que es solo

restar estos ángulos con ello obtenemos.

𝜃𝑧𝑝 = 78.4972°

Calculando la ubicación del polo del compensador.

tan(78.4972°) =3.38

𝑃 − 1.8

𝑃 = 2.5

Al obtener los valores de los polos y los ceros se procedió a

calcular el valor de la ganancia del compensador.

𝐾 = 0.27

Teniendo los valores correspondientes de las ganancias polos

y ceros del compensador se calcularan los valores de las

resistencias y condensadores que componen el mismo.

COMPONENTE VALOR

Resistencia 1 10K

Resistencia 2 4.2K

Condensador 10µF

CIRCUITO QUE COMPONE EL CONTROLADOR Y

COMPENSADOR

Imagen 6. Esquema circuito control

Diagrama en SIMULINK

Imagen 7. Control proporcional y compensador en adelanto de

fase

Se puede observar que luego de implementar el compensador

efectivamente se mejora la respuesta de estado transitorio,

reduciendo el número de sobresaltos y reduciendo el tiempo de

estabilización a 0.9 segundos.

Para que el funcionamiento del compensador fuera optimo,

debido a la dificultad de la identificación de la función de

transferencia tanto teórica como práctica, la resistencia de 4.2

K se sustituyó por una resistencia de 9 K.

COMPARACION MODELO PRACTICO Y TEORICO.

Ya que se observaron grandes diferencias en los dos modelos,

en la parte práctica puesto que los experimentos no fueron en

las condiciones ideales, y no se logró obtener confiabilidad de

más del 65 %, y en la parte teórica ya que la linealización en un

punto dado no fue muy exacta, en base a estos inconvenientes

se optó por utilizar el modelo teórico para efectuar el análisis de

planta para posteriormente implementar el sistema de control

elegido.

CONCLUSIONES

Para el diseño y posterior construcción de una

estructura se deben evaluar todos los detalles

posibles, dado que si no se evalúan correctamente se

corre el riesgo de reestructurar el diseño generando

pérdidas económicas y de tiempo.

Dado que le modelamiento de la planta de una forma

experimental presento muchos inconvenientes

durante la identificación, se concluyó que para plantas

no lineales o que sean difíciles de identificar, es mejor

optar por el modelo teórico, ya que no solo facilita su

modelamiento sino que también se tiene un cierto

grado de confiabilidad.

El compensador de adelanto mejoro la respuesta

transitoria, ya que la planta respondía más rápido

cuando a esta se le generaban algunas

perturbaciones, esto se ve evidenciado tanto los

resultados teóricos, como también en los resultados

experimentales, ya que se vio como el tiempo de

estabilización se disminuyó considerablemente. Por

otro lado se observó que el acoplamiento de este tipo

de compensador género un cambio considerable en la

ganancia total del sistema, en otras palabras al acoplar

el compensador de adelanto al controlador

proporcional, la velocidad de la hélice se disminuyó

notoriamente.

El mecanismo presentaba un problema de alta fricción

debido al tipo de acoplamiento que se le instaló, esto

perjudico de gran manera tanto la estabilidad del

sistema como también la identificación del mismo y a

su vez comprometió en gran medida la funcionalidad

del controlador.

Aunque la implementación del compensador se hizo a

partir de unos cálculos ya definidos, se vio en la

necesidad de modificar el valor de algunos de los

componentes, debido a que el compensador no se

comportaba de la forma en la cual se había diseñado.

REFERENCIAS

G. G, LUIS ANGEL, R G, JORGE LEONARDO, CONTROL PID PARA EL

CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DC, UNIVERSIDAD

TECNOLÓGICA DE PEREIRA, CITACION: T621.381535

G463;6310000107493 F2780, 2014, DISPONIBLE EN: HTTP://HDL.HANDLE.NET/11059/4440

VLADIDIMIR, V, CONTROL DE POSICION DE UN BALANCIN CON MOTOR Y

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OGATA, K., DORMIDO, C. S., DORMIDO, C. R., & DORMIDO, B. S. (2003). INGENIERIA DE CONTROL MODERNA. MADRID: PRENTICE

HALL.