Infome de Trabajo Metodo de Rigidez2222222222

8/13/2019 Infome de Trabajo Metodo de Rigidez2222222222

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INGENIERIA

CIVIL

UNSCH

• Método de la Matriz de Rigidez

• Vigas

Ing. TAIPE CARBAJAL, Javier Francisco

Ingeniería ivilUNS H

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ANALISIS ESTRUCTURAL II

DE LA CRUZ BONIFACIO, Jomar Pachacútec



[ANALISIS ESTRUCTURAL II] INGENIERIA CIVIL

DE LA CRUZ BONIGACIO, Jomar P. | Metodo de Rigidez 2

Contenido

Metodo de Rigidez _______________________________________________________ 3

1.- Introducción. ______________________________________________________________ 3

3 Matriz de Rigidez de un elemento ____________________________________________ 3

4.- Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales __________________________ 4

3.- Ensamblaje de una matriz de rigidez ____________________________________________ 5

Implementación al programa _______________________________________________ 6

Pseudocódigo del programa _____________________________________________________ 6

Programa en MATLAB __________________________________________________________ 7

Uso del Programa ____________________________________________________________ 10

Conclusiones: ___________________________________________________________ 16

Bibliografía: ____________________________________________________________ 17





Metodo de Rigidez

1. Introducción.Se presenta el cálculo de las matrices de rigidez de un elemento en coordenadaslocales y globales para los siguientes modelos numéricos de cálculo:

i) Elemento lineal de un pórtico plano de sección constante sin considerar el efectode corte y considerando dicho efecto.

ii) Elemento lineal de una armadura plana de sección constante. iii) Elemento desección constante o variable de un pórtico plano.iv) Elemento lineal de un pórtico plano considerando dos sectores de rigidez infinita.v) Elementos de un pórtico plano con inercia escalonada.

Todo esto orientado al uso del ordenador. Por hacerlo didáctico se presenta elcálculo mediante la transformación de coordenadas

3 Matriz de Rigidez de un elementoSe puede demostrar de muchas formas que la la matriz de rigidez en un plano estádefinida por:





4. Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globalesEn forma general se puede indicar que las coordenadas locales se miden axial ytransversal al eje del elemento, en cambio las coordenadas globales miden en formahorizontal y vertical en consecuencia éstas últimas tienen la misma orientación que lascoordenadas de la estructura

Coordenadas locales y globales de un elemento.

En la figura 12.3 se tiene un elemento inclinado que forma un ángulo α con lahorizontal, a la izquierda se indica el sistema de coordenadas locales y a la derechael sistema de coordenadas globales.

En la figura 12.3 se ha utilizado el asterisco para definir las coordenadas globales

del elemento. Esto se lo hace por que se va a emplear la transformación decoordenadas k1 para calcular que posteriormente se va a denominar k3 ya que alsistema de coordenadas globales se denomina sistema 3, l a matriz T será:

Para simplificar la escritura se denomina C = cosα , S = senα . Con ésta notación serealiza el siguiente producto matricial que conduce al cálculo de k3






DE LA CRUZ BONIGACIO, Jomar P. | 6

Implementación al programaPseudocódigo del programa1.- Datos de entrada:NodosElementosApoyosPropiedades (E,I,A)Fuerzas 2.- PROCEDIMIENTOS:

Ordenamiento de propiedades: EA para cada elementoOrdenamiento de propiedades: EI para cada elementoCálculo de vector de longitudes de las barras L=[Li]Ordenamiento de Fuerzas a un solo vetor de una columnaRealizamos el vector de elementos: esto es (xf-xi,yf-yi) de elementoEnsamblamiento de la matriz de rigidez de cada elemento y globalesA partir de los apoyos sacamos un vector de restriccionesCon las restricciones calculamos la matriz de rigidez reducidaLa restricción también sirve para reducir las fuerzas.Calculamos los desplazamientos desconocidosLuego los desplazamientos globalesFuerzas en cada nodo incluyendo las reacciones

3.-IMPRIMIRMatriz de rigidez global y reducidaDesplazamientos y giros en los nodosFuerzas en los nodos




DE LA CRUZ BONIGACIO, Jomar P. | Implementación al programa 7

Programa en MATLABEl programa se implemento en script y en GUI (interfaz grafica de usuario)El código lo mostramos a continuación, con explicación de procedimiento incluidos:

%Datos:

nodos=[0 0; 50 0; 130 0]; elementos=[1 2 1;3 2 2]; fuerzas=[2 0 0 -1600;3 0 0 1600]; apoyos=[1 1 1 0;2 0 1 0;3 0 1 0 ]; propiedades=[1 500 1;1 800 1];

%ordenando los propiedades [fel,cel]=size(elementos); for i=1:fel

pact=elementos(i,3); EA(i,1)=propiedades( pact,1)*propiedades( pact,3); pact2=elementos(i,3); EI(i,1)=propiedades( pact2,1)*propiedades( pact,2);

end

%calculo de hiperestaticidad [j,jj]=size(elementos); [ki,kj]=size(nodos); rx=sum(apoyos(:,2)); ry=sum(apoyos(:,3)); rz=sum(apoyos(:,4)); hiperext=rx+ry+rz-3 hiperint=3*j-3*ki+3hiper=hiperint+hiperext

%calculo de las longitudes de las barras o elementos [j,jj]=size(elementos); for i=1:j

LONG(i,1)=((nodos(elementos(i,1),1)-nodos(elementos(i,2),1))^2+(nodos(elementos(i,1),2)-nodos(elementos(i,2),2))^2)^(0.5); end Ls=LONG'; %calculo de las fuerzas %cargas en cada nudo %NCg=[NUDO FX FY] [k,kk]=size(nodos); [ll,lll]=size(fuerzas); for i=1:k

NCg(i,1)=i; for j=1:ll

if i==fuerzas(j,1) NCg(i,2)=fuerzas(j,2) ; NCg(i,3)=fuerzas(j,3) ; NCg(i,4)=fuerzas(j,4) ;

end end

end %Vector elemento [j,jj]=size(elementos);





for i=1:j V(i,1)=-(nodos(elementos(i,1),1)-

nodos(elementos(i,2),1)); %+(nodos(elementos(i,1),2)-nodos(elementos(i,2),2))^2)^(0.5);

V(i,2)=-(nodos(elementos(i,1),2)-nodos(elementos(i,2),2)); %^2)^(0.5); end %calculo de ecuaciones de equilibrio en cada nudo [fn,cn]=size(nodos); [fel,cel]=size(elementos); K=zeros(3*fn); for i=1:fel

i %matriz de rigidez de cada elemento K11=[EA(i,1)/LONG(i,1) 0 0; 0 12*EI(i,1)/(LONG(i,1)^3)

6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2); 0 6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2) 4*EI(i,1)/(LONG(i,1))] K12=[-EA(i,1)/LONG(i,1) 0 0; 0 -12*EI(i,1)/(LONG(i,1)^3)

6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2); 0 -6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2)2*EI(i,1)/(LONG(i,1))]

K21=[-EA(i,1)/LONG(i,1) 0 0; 0 -12*EI(i,1)/(LONG(i,1)^3) -6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2); 0 6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2) 2*EI(i,1)/(LONG(i,1))]

K22=[EA(i,1)/LONG(i,1) 0 0; 0 12*EI(i,1)/(LONG(i,1)^3) -6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2); 0 -6*EI(i,1)/(LONG(i,1)^2)4*EI(i,1)/(LONG(i,1))]

%EA(i,1)/LONG(1,i)*[1 -1; -1 1]; R=[V(i,1)/LONG(i,1) -V(i,2)/LONG(i,1) 0;V(i,2)/LONG(i,1)

V(i,1)/LONG(i,1) 0; 0 0 1 ] K11r=R*K11*R' K12r=R*K12*R' K21r=R*K21*R' K22r=R*K22*R' %matriz de rigidez global elementos(i,1)*2-1; elementos(i,2)*2-1; K(elementos(i,1)*3-2:elementos(i,1)*3,elementos(i,2)*3-

2:elementos(i,2)*3)=K12r; K(elementos(i,2)*3-2:elementos(i,2)*3,elementos(i,1)*3-

2:elementos(i,1)*3)=K21r;

K(elementos(i,1)*3-2:elementos(i,1)*3,elementos(i,1)*3-2:elementos(i,1)*3)=K(elementos(i,1)*3-2:elementos(i,1)*3,elementos(i,1)*3-2:elementos(i,1)*3)+ K11r;

K(elementos(i,2)*3-2:elementos(i,2)*3,elementos(i,2)*3-2:elementos(i,2)*3)=K(elementos(i,2)*3-

2:elementos(i,2)*3,elementos(i,2)*3-2:elementos(i,2)*3)+K22r; end

%restricciones por nodos [fn,cn]=size(nodos); [fap,cap]=size(apoyos); rest=zeros(3*fn,1);





for i=1:fn for j=1:fap if apoyos(j,1)==i rest(3*i-2,1)=apoyos(j,2); rest(3*i-1,1)=apoyos(j,3); rest(3*i,1)=apoyos(j,4); else end end

end t=1; for i=1:3*fn

if rest(i,1)==0 Kr2(:,t)=K(:,i);

t=t+1; end

end t=1; for i=1:3*fn

if rest(i,1)==0

Kr3(t,:)=Kr2(i,:); t=t+1; end

end Kr=Kr3 %vector de fuerzas reducudas

[fn,cn]=size(nodos); for i=1:fn

P(i*3-2,1)=NCg(i,2); P(i*3-1,1)=NCg(i,3); P(i*3,1)=NCg(i,4);

end

%fuerzas reducidas t=1; for i=1:3*fn

if rest(i,1)==0 Pr(t,:)=P(i,:);

t=t+1; end

end

%Calculo de los desplazamientos desconocidos qr=inv(Kr)*Pr

%desplazamiento global [fn,cn]=size(nodos); t=1; for i=1:3*fn

if rest(i,1)==0 q(i,:)=qr(t,:)

t=t+1; else





q(i,:)=0 end

end [fn,cn]=size(nodos); for i=1:fn qxy(i,1)=q(3*i-2,1)qxy(i,2)=q(3*i-1,1) qxy(i,3)=q(3*i,1) end qxy %fuerzas actuantes en los nodos incluye las reacciones P=K*q [fn,cn]=size(nodos); for i=1:fn Pxy(i,1)=P(3*i-2,1) Pxy(i,2)=P(3*i-1,1) Pxy(i,3)=P(3*i,1) end Pxy

Uso del ProgramaP1.- Ejecutamos el programa matlab y abrimos el archivo: VigasyPorticosMR.m ycorremos presionando F5, nos presenta:





Lo corremos para el siguiente ejemplo:

Primero hacemos las fuerzas equivalentes en los nudos:

Como vemos las fuerzas que intervienen en los grado de libertad son los momenton enlos nodos 2 y 3 son las que añadiremos al programa

P2.- Esta armadura es isostatica, presionamos nodos e ingresamos los datos en orden

P3.-Procedemos con elementos:

3

2





P4.-Apoyos:

P5.-Propiedades:

P6.-Fuerzas:

P7.- Calculamos presionando PROCESAR

3

2

2





P8.- Observamos los resultados presionando:Gráfico

Nos permite ver si se colocaron bien los datos, además de ver los elementos y la

numeración de los nodosMatriz de rigidez global

Matriz de rigidez reducida





Desplazamientos de los nudos:

Fuerzas en los nodos

Las fuerzas finales en los extremos de los elementos son las calculadas mas las fuerzasdel empotramientos para este ejemplo:

Las respuestas de las reacciones:





Ejemplo 2Estos datos se autollenaran al presionar ejemplo2El mismo procedimiento se seguirá para la siguiente armadura Hiperestática, aunqueeste método sea general. Donde E,I y A son contaantes, siendo I/A=1000

Cuyos datos se autollenarán al presionar ejemplo 2





Conclusiones: El método de rigidez es fácil de aplicar manualmente El procedimiento no distingue la hiperestaticidad de la armadura El programa resuelve cualquier pórtico en 2D El método hace más fácil la solución de porticos por su procedimiento breve, y

mecánico.





Bibliografía:Introducción al Análisis Estructural con Matrices KARDESTUNCER HAYRETTINMATLAB MIGUEL CUTIPA COAQUIRA

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