Tema: Caos y el péndulo caótico

August 29, 2015

Integrantes:

� ALDO FERNANDO FLORES CÓRDOVA (coordinador)

� LEORELY GISSEL REYES ANDRADE

� JUAN JOSE MARTINEZ VALLADARES

� FREDY ADOLFO GARAY SANDHEZ

� TITO ENMANUEL PADILLA MEZA

Introducion:

0.1 Introduccion Al Caos

Para comenzar debemos de entender ¾Qué es caos? El ser humano desde a travésde la historia ha intentado descubrir sus orígenes, la naturaleza que los rodea.Los investigadores cientí�cos han intentado establecer modelos para poder lograrentender cómo funciona la realidad.

Muchos de estos modelos son cuantitativos. La intervención del tiempo esun elemento fundamental e importante en el estudio del sistema a esto se lellama: sistema dinámico; un muy buen ejemplo de este sistema es el clima, yaque el tiempo interviene fundamentalmente.

Estudiar estos tiempos se les resulta muchas veces muy complicado, por lasmediciones que hace un investigador en el estado inicial de un modelo nuncatienen una precisión perfecta.

Por más pequeño que sea este error conduce a resultados completamentedisimiles acabo de lo largo de un periodo de tiempo y a esto se le conoce comoen un sistema caótico. Un ejemplo muy conocido para sistemas no caóticos esel péndulo, ya que si se mueve va creando una órbita periódica, si se altera unpoco el punto inicial del péndulo la órbita será muy parecida en el tiempo, enel sistema no caótico el error no aumenta con el correr del tiempo.

Un tema importante en el estudio de sistemas caóticos es estudiar cual es laregión en que ocurre los aspectos de las condiciones iniciales, y esto da origen ala teoría de fractales, los cuales provienen del hecho del sistema ser caótico.

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Popularmente, se le llama Teoría del Caos a las ramas de las ciencias exactas,principalmente físicas y matemáticas, que trata sobre comportamientos impre-decibles en sistemas dinámicos (sistemas complejos que cambian o evolucionancon el estado del tiempo)

La Teoría del Caos plantea que el mundo no sigue un patrón �jo y previsible,sino que se comporta de manera caótica y que sus procesos y comportamientodependen, en gran manera, de circunstancias inciertas.

Esto plantea que una pequeña variación en el sistema o en un punto delmismo puede provocar que en un lapso de tiempo a futuro éste presente uncomportamiento completamente diferente e impredecible. No es propiamenteuna teoría, sino un gran campo de investigación abierto que abarca numerosaslíneas de pensamiento.

De acuerdo a su de�nición, los sistemas dinámicos se clasi�can básicamenteen 3 tipos:

� Estables� Inestables� Caóticos

Los sistemas estables:

tienden a un punto a lo largo del tiempo o siguen una misma órbita, sus ecua-ciones características, condiciones iniciales, sus límites, elementos y relacionesnos permiten conocer su evolución a través del tiempo, es decir, sabemos haciadonde lo dirige su atractor.

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Los sistemas inestables:

en cambio, no se guían por atractores, se escapan de éstos y no tienden haciaun punto.

En los sistemas caóticos: se pueden conocer sus ecuaciones y sus condicionesiniciales �jas, sin embargo la más mínima variación provoca una evolución rad-ical en su comportamiento.

Un sistema debe presentar las siguientes propiedades para ser consideradocaótico:

� Sensibilidad a las condiciones iniciales� Debe ser transitivo� Sus órbitas periódicas deben formar un conjunto denso en una región

compacta del espacio físico.

¾Que es un atractor?

Es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo su�ciente.Para que un conjunto se convierta en un atractor, las trayectorias les seansu�cientemente próximas deben de permanecer cerca, incluso si son levementeperturbadas.

Un atractor puede ser: un punto, una curva, una variedad e incluso un con-junto de estructura fractal, más conocido como atractor extraño. La descripciónde los atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logrosde la teoría de caos. La trayectoria en el sistema dinámico de un atractor notiene que satisfacer ninguna propiedad en especí�co excepto permanecer en elatractor.

Los sistemas dinámicos suelen ser de�nidos en términos de ecuaciones difer-enciales. Estas ecuaciones de�nen el comportamiento del sistema en periodosbreves.

Si se quiere determinar el comportamiento en sistema de periodos más lar-gos se debe de integrar estas ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodosnuméricos y se ha convertido imprescindiblemente el uso de los ordenadores.

La parte del espacio en fases del sistema dinámico que corresponde al com-portamiento típico es el atractor. Los conjuntos invariables y los conjuntoslímites son conceptos muy similares con un atractor.

Conjunto invariante:

Es el conjunto que evoluciona hacia sí mismo cuando está sujeto a la legalidaddel sistema dinámico. Los atractores pueden contener conjuntos invariantes.

Conjunto límite: Es el estado al que llega después de un tiempo in�nito.Los atractores son conjunto de límites, pero no todo conjunto límite es un atrac-tor.

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Atractores

Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiemposu�cientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias quele sean su�cientemente próximas han de permanecer próximas incluso si sonligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto,una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractalconocido como atractor extraño.

La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno delos grandes logros de la teoría del caos. La trayectoria del sistema dinámicoen el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la depermanecer en el atractor; puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo.

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento,es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es im-plícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistemaen reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódicoserá dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases nomuestra una trayectoria bien de�nida, sino que ésta se encuentra errada alrede-dor de algún movimiento bien de�nido. Cuando esto sucede se dice que elsistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractorespueden ser clasi�cados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nom-bres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en lossistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de unpéndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectoriaserráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores.

Tipos de atractores:

1. Atractores clásicos: En los atractores clásicos, todas las trayectorias con-vergen en un único punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un estadoestacionario.

Algunos atractores clásicos:

� Punto �jo: Un punto �jo o punto de equilibrio es el punto correspondi-ente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. Ejemplos:el estado �nal de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua.

� Ciclo límite: Un ciclo límite es una órbita periódica del sistema que estáaislada. Ejemplos: el circuito de sintonía de un radio.

� Toro límite: Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gober-nada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman unafracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no secerrará y el ciclo límite se convertirá en un toro

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2. Atractores extraños: La mayoría de los tipos de movimientos mencionadosen lateoría anterior sucede alrededor de atractores muy simples, tales comopuntos ycurvas circulares llamadas ciclos limitados. En cambio, el movimientocaótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, atractores quepueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelotridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor deLorenz.

El atractor deLorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticosmás conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque esuno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiarmás bien parecida a las alas de una mariposa.

Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describenla trayectoria de un sistema en movimiento caótico. Un sistema de estas car-acterísticas es plenamente impredecible, saber la con�guración del sistema enun momento dado no permite predecir con veracidad su con�guración en unmomento posterior . De todos modos, el movimiento no es completamentealeatorio.

Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámi-cos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (porejemplo el mapa Hènon).

Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipoConjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntosde atracción �jos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos,atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente unaestructura fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólopuede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más di-mensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos,los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso unadimensión. (En sistemas simples los atractores suelen ser puntos).

Como escohotado en "Caos y Orden" señala, "La dinámica clásica enseñaque cualquier trayectoria supone alguna fuerza, responsable del desplazamientode tal o cual masa desde un lugar a otro.

En contraste con ello, ciertos atractores dependen como cualquier sistemafísico de limitaciones externas, pero reelaboran espontáneamente esos límitescon cascadas de bifurcaciones, que acaban resolviéndose en alguna �uctuacióninterna triunfante.

A diferencia de los sistemas inerciales, ese tipo de existencia elige hasta ciertopunto su evolución, incluyendo algo con�gurado más parecido a los genes, queestá animado y no se despliega en una sino en todas direcciones.

El modelo lineal empieza y termina por la predicción, idealizando constante-mente su contenido, mientras los atractores son extraños o caprichosos, aunquellevan en sí cierta forma que se auto produce; cada uno de sus momentos vainventándose, y desde esa libertad/necesidad que es su caos "atrae" constante-mente algo afín (nunca igual, nunca distinto) a una particular existencia."

En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten

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un tipo de movimiento repetitivo y , a veces, geométricamente establecido. Losatractores son los encargados de que las variables que inician en un punto departida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecerde una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener alrecorrer las órbitas que puedan llegar a establecer los atractores.

Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de unsatélite alrededor de la Tierra; lo que a parece en este caso como algo indeter-minado, son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentaral objeto para efectuar este recorrido.

El Atractor de LorenzEl atractor de Lorenz está regido por un sistema de tres ecuaciones no lin-

eales:

x = σ(y − x)

˙y = x(ρ− z) − y

z = xy − βz

donde σ, ρy βparametros reales y x,y,z son las derivadas temporales x,y,zrespectivamente. Este atractor surgio a travez del estudio de Edward N. Lorenzde ecuaciones de fenomenos esfericos.

Integrando numéricamente el sistema de Lorenz a través del método deRunge-Kutta para σ = 10,ρ = 28,y β = 8

3 se obtienen las �guras 1 y 2. Laprimera muestra la serie temporal de la variable x. Por motivos de de�nición semuestran sólo 100 segundos de la serie temporal, donde se nota que la evoluciónes de tipo oscilatoria, pero no periódica, aunque de a tramos sea cuasi-periódica.Esto se ve re�ejado en la altura máxima de los picos de las oscilaciones, que enun ciclo cuasi-periódico la oscilación se parece en forma pero no llega al mismovalor (ej: la diferencia entre la oscilación que se encuentra entre los 310 y los320 segundos y la oscilación que le sigue). Las �guras 2 y 3 muestran el atractorde Lorenz, para su corte en el plano xy (�gura 2) y en tres dimensiones (�gura3).

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En estos grá�cos se aprecia el motivo de que la señal temporal sea oscilatoria,pero no periódica. Las trayectorias cruzan de un foco hacia el otro del atractor,oscilando en forma espiralada hasta que cruzan de un foco hacia el otro.

Ahora, en la �gura 4, se muestran las trayectorias dentro del sistema para doscondiciones iniciales distanciadas en 10^=3 en la coordenada x. Para las demásvariables se han mantenido las condiciones iniciales �jas en 0. En esta �gura seaprecia que las evoluciones temporales del sistema con un pequeño cambio enlas condiciones iniciales divergen entre sí después de un cierto tiempo.

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Esto demuestra la sensibilidad de la evolución temporal respecto de las condi-ciones iniciales. Dado que uno puede medir dichas condiciones con una ciertaprecisión, esto afecta directamente la capacidad de predicción sobre un sistemareal que se comporte como un atractor extraño debido a la imposibilidad de de-terminar a largo plazo la evolución del sistema. Se puede, sin embargo, realizarpredicciones a corto plazo, ya que se nota cierta similitud en las evoluciones delfoco derecho en la �gura (zona cercana a las condiciones iniciales utilizadas enesta simulación).

Bifurcación

Bifurcación (del latín bifurcus, ahorquillado) Es la acción de separar algo envarias partes, especialmente se puede referir a:

� Matemática: La cual estudia los campos de la estructura cualitativa otopológica de una familia determinada.

� Informática: (Desarrollo de Software) Es la creación de un proyecto enuna dirección diferente a un proyecto ya existente

� Geografía: Bifurcación, aplicada sobre todo en ríos y caminos

La teoría de las bifurcaciones es un campo matemático centrado en el estudiode los cambios en las estructuras cualitativa o topológica del comportamientode un conjunto de ecuaciones.

La bifurcación estudia el comportamiento de familias de soluciones matemáti-cas como por ejemplo: las curvas integrales de un campo vectorial y las solu-ciones de la familia de ecuaciones diferenciales.

Tipos de Bifurcación:� Bifurcaciones locales:

Bifurcaciones locales son aquellas que pueden ser analizadas completamentemediantes cambios en las propiedades de estabilidad local, ya sean puntos deequilibrios, orbitas locales u otros conjuntos invariables.

� Bifurcaciones globales: Bifurcaciones globales ocurren normalmente enmayores conjuntos invariantes del sistema de los cuales �colisionan� entre ellosno con los puntos de equilibrio del sistema. No pueden ser detectados de formaexclusiva mediante un análisis.

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Linealidad y no linealidad (Sistemas estables y no estables)

E s necesario dar un breve analisis de como y por que surge el caos, por ellose considera en primer lugar varios tipos de sistemas �sicos que surgen en lanaturaleza.

Los sistemas estables:

tienden a un punto a lo largo del tiempo o siguen una misma órbita, susecuaciones características, condiciones iniciales, sus límites, elementos y rela-ciones nos permiten conocer su evolución a través del tiempo, es decir, sabemoshacia donde lo dirige su a tractor.

Ahora una ecuación diferencial es lineal si relaciona la variable o las variablesdependientes y sus derivadas solo linealmente ejemplo: tenemos el movimientode un sistema masa resorte con una constante de recuperadora k la ecuación demovimiento es una ecuación diferencial lineal:

mx = −kx

Y si aplicamos una fuerza externa F(t) sobre este sistema nuestra ecuacióndiferencial nos queda:

mx = −kx+ F (t)

La caracteristica de un sistema estable es que esta sigue siendo lineal cuandose le aplica una fuerza externa aunque ya no homogénea.

Los sistemas inestables:

en cambio, no se guían por atractores, se escapan de éstos y no tienden haciaun punto.

Ahora por el contrario la ecuación de movimiento del péndulo simple es:

mL2 = −mgLSenφ

Esta es una ecuación no lineal es escencial pues Senφ es no lineal en φ si lasoscilaciones son pequeñas, entonces Senφ ≈ φ sin embargo la ecuación para unpéndulo simple es no lineal. Otro ejemplo es la ecuación de movimiento paraun único planeta en el campo gravitatorio del sol:

mr = −GmMr2

r

La no lienalidad es esencial para el caos, pero la no linealidad no garantizael caos. Por ejemplo para un péndulo simple es no lineal, pero incluso con laamplitud es grande y la aproximación lineal no es buena en lo absoluto el péndulosimple no exhibe caos. Por otro lado si añadimos una fuerza de amortiguamiento

−bv = −bL2φ

y una fuerza externa que dependa del tiempo la ecuación

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mL2φ = −mgLSenφ

se convierte en la ecuacion del pendulo amortiguado y forzado:

mL2φ = −mgLSenφ− bL2φ+ LF (t)

esta ecuación si conduce al caos para algunos valores de los parámetros.Informalmente hablando, el requisito para el caos es que las ecuaciones demovimiento sean no lineales y de una manera complicadas.

Uno de los Ejemplos del Caos en la Mecanica Clasica es el llamado PenduloDoble.

Pendulo Doble:

En general, un péndulo doble o doble péndulo es un sistema compuesto pordos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso mássimple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masapendular del superior.

Donde las ecuaciones de la posicion estan dadas como:

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Por Segunda Ley, se las aceleraciones como:

Una de las Caracteristicas mas vistosas del pendulo doble, es la variedad demovimientos que puede presentar.

EL Pendulo Amortiguado ForzadoDebido a que es de Gran importacia �sica y uno de los ejemplos de sistemas

que conduce al caos se considera vital dar algunos detalles sobre el penduloamortiguado forzado.

La ecuacion del movimiento de el pendulo esta dada por:

Iφ = Γ

donde I, es el momento de Inercia y Γes el momento de fuerza alrededor delanclaje.

la fuerza apliacada puede representarse como una fuerza sinusoidal, por loque se nombrara a F(t) como:

F (t) = FoCosωt

Haciendo algunos cambios como:

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bm = 2β , g

L=ω2o , γ = Fo

mLω2o

La ecuacion diferencial queda como:

φ+ 2βφ+ ω2oφ = γω2

oCosωt

El comportamiento inicial del pendulo depende de las condiciones iniciales,pero cualesquiera diferencias debidas a las condiciones iniciales se extinguen yel movimiento de acerca a un unico tractor, donde el pendulo oscila a la mismafrecuencia de la fuerza externa:

φ(t) = ACos(ωt− δ)

Es un Hecho, sea cuales sean las condiciones iniciales que se elijan, el

movimiento siempre se aproximara al mismo atractor.

Ahora como la magnitud de la fuerza es proporcional a γ entonces es posibleque sucede cuando γ posee ciertos rango de valores:

1. g <�< 1 y f pequeño:

Para el caso que g <�< 1, y suponiendo pequeñas oscilaciones podemos aprox-imar el movimiento del péndulo a oscilaciones forzadas con amortiguamiento,Siendo que cuando t tiende a in�nito:

φ = Acos(ωt− δ)

2. g <�< 1

Cuando existen oscilaciones con amplitud muy marcada la aproximación dejade ser válida y se debe expandir en más términos la serie de Taylor. Esto causaque haya oscilaciones seudo-senoidales periódicas.

φ = Acos(ωt− δ) + βcos(3(ωt− δ)) . . .

3. 1.06<g<1.082Estamos entrando al mundo del caos dentro de la variación de este parámetro.

A pesar de que el intervalo tiene un tamaño de apenas 0.02. Es necesario ver

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que dentro de este intervalo la función f duplica su periodo cada vez en menostiempo.

Numero de Faigenbaum:A �nales de los 70, el físico Mitchell Feigenbaum demuestra la siguiente

relación entre los puntos de bifurcación, o puntos(calores del parametro) dondela función duplica su periodo.

limn→∞(γn+1 − γn) =1

δlimn→∞(γ − γn−1)

Siendo d el número de Feigenbaum con valor constante 4.6692016Esto quiere decir que la sucesión de puntos de bifurcación va convergiendo

a un valor especí�co de g. En el ejemplo del péndulo forzado el gmax = 1.0829

Sensibilidad a las Condiciones Iniciales y el exponentede Liapunov

Ahora nos interesaremos encontrar como varía la diferencia de dos funcionesϕ1, ϕ2 con similares (aunque diferentes) condiciones iniciales. Llamaremos aesta diferencia ∆f.

Para un péndulo con pequeñas oscilaciones y una g<�< 1,∆ϕ = De−βtcos(ωt−δ) , es decir decae exponencialmente y eventualmente ambos péndulos termi-naran oscilando bajo el mismo atractor

Este es el caso para los valores de gε(1 ,1.082) después del cual comienza lazona del caos donde se descubrirá que la diferencia crece de forma exponencial.La relación Se cumple, y es el exponente de Liapunov, si el sistema no es caótico,pero si el sistema presenta el fenómeno del caos.

Diagramas de BifurcaciónLos diagramas de bifurcación es una manera de representar la función ϕ(t)

frente a g y ver como esta varía.Construcción: Se parte un intervalo en el espacio del parámetro g y se di-

vide en pequeñas porciones equidistantes. Una vez hecha la partición se resuelvenuméricamente la ecuación correspondiente para el parámetro. De manera quetengamos el mismo número de f(t).

Debemos tomar una de las funciones ϕ(t) y gra�car s valor como un puntoevaluado en algún t grande. Ya que debemos esperar a que la función se estabil-ice o se acople a su atractor. Luego comoϕ(t+T ) = ϕ(t) cada periodo podemosrevisar el valor de la función.

En caso de tener periodo 1, la función se gra�caría como una recta, periodo2 como dos líneas, y así sucesivamente.

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Otra cosa importante es notar que aun cuando se llega a la región del caosde vez en cuando encontramos valores de g que vuelven no-caótica a la función.Esta representación nos da una idea de cómo está distribuido el caos, paraciertas condiciones iniciales.

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