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9 Funciones

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ESQUEMA

Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

ACTIVIDAD


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G. W. Leibniz

Busca en la web

Enlace a la biografía de

Leibniz

Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin

dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero

publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de

todas las ciencias: el Cálculo.

El calculo

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/primeroa/leibnitz/portada.htm


http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/newton/newton.html


http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/newton/newton.html


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Esquema de contenidosFunciones

Coordenadas cartesianas

Concepto de función

Estudio de una función

Continuidad

Puntos de corte

Crecimiento y decrecimiento

Simetrías

Periodicidad

Representación gráfica

Tablas

Dominio y recorrido

Funciones definidas a trozos


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Coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se

escribe:

P (x , y)

SIGUIENTE


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Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

SIGUIENTE


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No es función

Sí es función

SIGUIENTE


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La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado.

Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.

No es función

Sí es función

SIGUIENTE


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Función expresada mediante tabla de valores

Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten.

H

Nº

pers

onas

x 1 2 3 4 5 6 7 8

y 100 150 50 150 250 100 200 50

SIGUIENTE


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Dominio y recorrido

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen

imagen.

Dom f(x)

El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente.

Im f(x)

SIGUIENTE


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Dominio y recorrido

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen

imagen.

Dom f(x)

El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente.

Im f(x)

Dom f x =−∞ ,0 ]∪[2,5 ]∪[ 6,∞

I m f x =[0,∞∪{−1 } SIGUIENTE


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En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.

Cuando definimos una función con expresiones parciales y se

especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una

función a trozos.

SIGUIENTE


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En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.

Cuando definimos una función con expresiones parciales y se

especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una

función a trozos.

La función definida es:

+∞<≤+−<<−

−≤<∞=

x4 52

4 x 2− 2

2− 2

)(

x

x

x

xf

SIGUIENTE


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Propiedades de funciones

Continuidad

Puntos de corte


Simetrías

Periodicidad SIGUIENTE


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Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.

Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

SIGUIENTE


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Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.

Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

discontinua

continua

continua

discontinua

SIGUIENTE


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Puntos de corte

Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.

EJE X, y = 0

Son de la forma (a, 0).

Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0.

EJE Y, x = 0

Son de la forma (0, b).

Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

SIGUIENTE


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Puntos de corte

Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.

EJE X, y = 0

Son de la forma (a, 0).

Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0.

EJE Y, x = 0

Son de la forma (0, b).

Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

(0, 2) corte con eje Y

(-3, 0) corte con eje X

SIGUIENTE


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Crecimiento y decrecimientoUna función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.

Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

SIGUIENTE


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Decreciente en (-∞, -5)

Decreciente en

(4, + ∞)

Creciente en (5, 4)

Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.

Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

SIGUIENTE


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Máximos y mínimos

Mínimo en x = -5Máximo en x = 4

En los puntos donde la gráfica pasa de ser

creciente a decreciente

se dice que la función alcanza un máximo.

En los puntos donde la gráfica pasa de ser

decreciente a creciente

se dice que la función alcanza un mínimo.

SIGUIENTE


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Simetrías

Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)

o simetría par

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando

f x = f −x

Simetría respecto del origen

o simetría impar

Una función es simétrica respecto del origen cuando

f −x =− f x

SIGUIENTE


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Simetrías

f x =x2−4

f x =x35x

f x=x35x

f −x = [−x 35−x ]=[−x3−5x ]=−[ x35x ]=− f x

)()( par xfxfSimetría −=

)()( impar xfxfSimetría −−=

SIGUIENTE

f x=x2−4f −x=−x 2−4=x2−4


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Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo.

periodo T =2

Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la

gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por

todo el dominio.

SIGUIENTE


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Estudio de una función IDominio:

Recorrido:

Puntos de corte:

P(0,0) 0 x

P(-5,0) -5 x: X==Eje

P(0,0) 0 y: Y =Eje

Continuidad:

Crecimiento y decrecimiento:

Máximos y mínimos:

Simetría

Pperiodicidad.

) (0, ,-3)(- creciente

(-3,0) ∞+∪∞

edecrecient

,0)0( en mínimo

(-3,3) en áximom

Dom f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales

Im f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales

la función es continua.

No

No


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Estudio de una función IIDominio:

Recorrido:

Puntos de corte:

Continuidad:

Crecimiento y decrecimiento:

Máximos y mínimos:

Simetría.

Periodicidad

Im f x =−∞ ,12 ]

La función NO es continua.en todos los puntos. En el intervalo (-4,-2) no está definida

Dom f x =ℝ−−4 ,−2

P.C. eje X : x=−4 ; x=−2 ; x=2 ; x=10P.C. ejeY : y=−4

f en −∞ ,−4∪0,4f en −2,0∪4,∞

Máximo relativo en x=4Mínimo relativo en x=0

No

No


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Enlaces de interés

DivulgaMat

IR A ESTA WEB

Diccionario matemático

IR A ESTA WEB

http://divulgamat.ehu.es/

http://membres.lycos.fr/mathvoc/

http://www.pntic.mec.es/

http://www.pntic.mec.es/












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Actividad: La función lineal y la función afín

En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección:

http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm




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