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2Potencias y radicales

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ESQUEMA

Para realizar determinadas mediciones necesitamos los

radicales.

ACTIVIDAD


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El inventor del ajedrez

Busca en la web

Problemas de ajedrez

La historia del ajedrez

“Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez

presentó su invento a un príncipe de la India”

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/ajedrez.htm

http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/leyendaajedrez.htm

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Esquema de contenidos

Potencias y radicales

Potencias de exponente entero

Radicales

Operaciones con radicales

Sumar y restar

Multiplicar y dividir

Potencia y raíz

Valor numérico de un radical

Racionalización

Denominador con 1 raíz

Denominador con binomio


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Si a es un número real y n es un número natural, definimos:

an=a⋅a⋅. ..⋅an veces

a−n= 1a

n

=1a⋅

1a⋅.. .⋅

1a

n veces

Ejemplos:

5225

22

2532

5322222

553364

225 −⋅⋅=⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=a)

( )31

3 :es 3 de inverso El 1 −=−− −b)

SIGUIENTE


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Dados a y b números reales y m y n números enteros, se verifican las propiedades:

Producto y cociente de potencias de la misma base

Potencia de un producto y de un cociente

Potencia de otra potencia

Potencia negativa de un número fraccionario

Casos especiales

mnmn aaa +=⋅ mnm

n

aa

a −=

( ) nnn baba ⋅=⋅ ab n

=an

bn

( ) mnmn aa ⋅= an

bn m

=an⋅m

bn⋅m

ab −n

= ba n

1a

−n

=an

10 =a aa =1

SIGUIENTE


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Ejemplos:

= 32

−4

⋅ 32

3

= 32

−43

= 32

−1

= 23

1

=23

b 2⋅34⋅

2−3

32⋅38

2

=

a 32

−4

⋅ 32

3

=

= 2⋅34⋅

2−3

32⋅38

2

=2⋅34⋅

2−3

32⋅32

82=

2⋅3⋅2−3⋅32

22⋅32⋅ 223=

2⋅3⋅2−3⋅32

22⋅32⋅26=

=2−2⋅33

28⋅32=2−10⋅31


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Radicales

Dado un número real a, raíz enésima (o radical de índice n) de a es cualquier número real r que verifique que:

raar nn ==

La potencia de exponente fraccionario es el radical de índice n y radicando .

n

m

ama

n mn

m

aa =Dos fracciones son equivalentes

cuando sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes

equivalentes. SIGUIENTE


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Radicales

Indicamos, el índice, el radicando y la potencia de cada radical.

RADICAL ÍNDICE RADICANDO POTENCIA

3 4

5 2

4 125

27

3

5

4

2

224 =

2

35125 =

3327 =

5

1

2

( ) 3

2

3

123 23 2224 ===

( ) 43

41

34 34 555125 ===

( ) 23

21

33 33327 ===

SIGUIENTE


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Reducir radicales a índice común

1. Se ponen como potencias de exponente fraccionario.

2. Se reducen a común denominador.

3. Se vuelve a poner en forma de radical.

Extraer factores del signo radical


2. Si la fracción es impropia se transforma en la suma de un número entero y una fracción propia.

3. Se extrae del radical el factor elevado a la parte entera y se convierte el resto en radical.

SIGUIENTE


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Ejemplos:

.27 ,2 ,5 común índice a Reducir 43a)





SIGUIENTE


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Ejemplos:

4

343

132

1

327 22 55 1. ===






SIGUIENTE


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Ejemplos:

4

343

132

1

327 22 55 1. ===

12

9

4

3

12

43

1

12

6

2

1

33 22 55 12 (2,3,4)m.c.m. 2. ===→=






SIGUIENTE


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Ejemplos:

4

343

132

1

327 22 55 1. ===

12 912

912 412

412 612

6

33 22 55 3. ===






12

9

4

3

12

43

1

12

6

2

1

33 22 55 12 (2,3,4)m.c.m. 2. ===→=

SIGUIENTE


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Ejemplos:

. rSimplifica 7 47aa)





SIGUIENTE


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Ejemplos:

7

477 47 1. aa =






SIGUIENTE


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Ejemplos:

7

56

7

47 2. +=

7

477 47 1. aa =






SIGUIENTE


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Ejemplos:

7

56

7

47 2. +=

3 . a477 =a

657 =a6⋅a

57=a6⋅

7a5

7

477 47 1. aa =






SIGUIENTE


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Operaciones con radicales. Suma y resta

Ejemplos:

Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes.

=−+ 666 321

3334 a)

( ) 6666 32

133

21

7321

37 =−=−=

SIGUIENTE


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Operaciones con radicales. Suma y resta

Ejemplos:

Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes.

= 32−

12 452 45=12 45=3 45

444 52521

523

+−b)

=−+ 666 321

3334 a)

( ) 6666 32

133

21

7321

37 =−=−=

SIGUIENTE


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Operaciones con radicales. Producto y cociente

Ejemplos:

=⋅ 74

3

273a)

( )27 2527

25

27

421

7

1

4

3

7

3

4

3

7

134

3

7

1

4

374

3

3333

3333273273

====

=⋅=⋅=⋅=⋅=++

SIGUIENTE


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Operaciones con radicales. Producto y cociente

Ejemplos:

=4

5

196

800 )b

( )( )

( )( )

1010 51010

1

2

12

1

5

3

2

11

2

1

2

1

5

31

4

2

4

2

5

3

5

5

4

122

5

135

4

1

5

1

4

5

22472727272

27

72

27

72

27

72

196

976.10

196

10.976

=⋅= =⋅=⋅=⋅=

=⋅

⋅=⋅

⋅=⋅

⋅===

−−

=⋅ 74

3

273a)

( )27 2527

25

27

421

7

1

4

3

7

3

4

3

7

134

3

7

1

4

374

3

3333

3333273273

====

=⋅=⋅=⋅=⋅=++

SIGUIENTE


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Ejemplos:

( ) =⋅4

7 53 )a

= 3⋅75

4=3⋅5

17

4

=34⋅547=34⋅

754

Operaciones con radicales. Potencia y raíz

SIGUIENTE


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Ejemplos:

( ) =⋅4

7 53 )a

= 3⋅75

4=3⋅5

17

4

=34⋅547=34⋅

754

=3 5 92 )b

=32⋅9

15 =

32⋅32 15=

32⋅325 =2⋅3

25

13=2

13⋅3

215 =

=2515⋅3

215=

1525⋅32=15 288

Operaciones con radicales. Potencia y raíz


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Racionalizar

Ejemplos:

La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones

equivalentes que no los tengan.

SIGUIENTE


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Racionalizar

Ejemplos:

=3 2

1 )a

2

2

2

2

2

2

2

1 3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3==⋅



SIGUIENTE


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Racionalizar

Ejemplos:

=3 2

1 )a

2

2

2

2

2

2

2

1 3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3==⋅

=4 5

3 )b

5

53

5

53

5

53

5

5

5

3

4 324 3

4 4

4 3

4 3

4 3

4

⋅=⋅=⋅=⋅=



SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Racionalizar

Ejemplos:

=+ 24

3 )a

=−+

21

32 )b

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Racionalizar

Ejemplos:

( )14

2312

216

2312

24

243

24

24

24

322

−=−

−=−

−⋅=−−⋅

+=

=+ 24

3 )a

=−+

21

32 )b

Conjugado del denominador

Diferencia de cuadrados

SIGUIENTE


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Racionalizar

Ejemplos:

=+ 24

3 )a

( )14

2312

216

2312

24

243

24

24

24

322

−=−

−=−

−⋅=−−⋅

+=



( ) ( )

( )632221

63222

21

63222

21

2132

21

21

21

32

22

+++−=−

+++=

=−

+++=−

+⋅+=++⋅

−+=



=−+

21

32 )b


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→

=→<→=

→>

=

única. es raíz La impar es

a.b

N 0a

0. es raíz La 0a

negativo. otro y positivo

uno raíz, la para valores 2 0a

par es n

nverifiqueque

bdevalorningúnexisteoan

Índice Radicando Valores

SIGUIENTE

n

→


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Ejemplos:

3 4)a raíz única una impar, índice Tiene →

...587401052,143 = centésimas las a redondeo por 59,143 =

3 4) −b raíz única una tiene impar, indice tiene →

...587401052,143 −=

4 3)c raíces dos tiene par, indice tiene →

...316047013,13 ...316047013,13 44 −==

4 3) −d raices tiene no par, indice tiene →


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Enlaces de interés

Direcciones Web matemáticas

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Anécdotas Matemáticas

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http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/ntint/matematicas/

http://www.portalplanetasedna.com.ar/anecdotas_matematicas.htm












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Actividad: Algebra y potencias

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2b.htm

En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad te permitirá descubrir y analizar algunas propiedades importantes de las potencias.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2b.htm



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