Instabilità a compressione

8/17/2019 Instabilità a compressione

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Instabilità (Buckling)L’instabilità è rappresentata dall’innesco di un fenomeno di campi di deformazione che

presentano spostamenti per lo più ortogonali alla direzione della massima compressione

L’instabilità viene in genere presentata con l’analisi della trave di Eulero, che offre una

immediata comprensione del fenomeno

Il meccanismo è sempre legato all’insorgere di fenomeni di carico a flessione (locali o

globali) laddove si presenta uno stato di compressione più o meno diffuso

Instabilità di un traliccio

formato da insieme di travi

Instabilità di un binario

innescata da alte Temp

Classica condizione di caricodi instabilità di trave di Eulero


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Non necessariamente l’instabilità coinvolge l’intera struttura, ma può localizzarsi in singoli

componenti particolarmente compressi staticamente o dinamicamente

Cedimento di un pilastro dovuto probabilmente a

sfaldamento del cemento che ha trasferito il carico dicompressione sui ferri

il cedimento si è innescatodinamicamente in combinazione

compressione assiale-flessione Cedimento di una sola alalaterale ma che ha coinvoltotutti i piani dell’edificio

Cedimento di una gru telescopica durante ilmontaggio di un traliccio per elettrodotto


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La presenza di imperfezioni locali ha effetti determinanti sull’insorgere del fenomeno

Maggiore è l’imperfezione e minore è il caricodove si riscontra il fenomeno

D’altra parte la presenza di imperfezioni rende

più graduale il fenomeno

Le Twin Towers hanno ceduto perinstabilità provocata dall’imperfezione

generata da un pilastro che ha ceduto per indebolimento termico

Instabilità non è solo sinonimo di sciagura, ma avolte viene sfruttata per ottenere particolarifunzioni, ad es. contatti istantanei


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In determinate condizioni ci si riferisce a instabilità di parete sottile quando la flessionenon riguarda il comportamento monodimensionale della struttura, ma direttamente laflessione localizzata sulle superfici sottili dell’elemento

Ovalizzazione per effetto ditorsione su tubo in parete sottile Formazione di lobi (fold) che provocano flessione sul

mantello di un cilindro in parete sottile, previsione e prova

Per ottenere un’ottima capacità diassorbimento energetico all’urto

occorre verificare che i componentisubiscano instabilità solo di paretesottile evitando lo sviluppo di cerniere

plastiche globali


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Altri casi interessanti (e perniciosi) di instabilità locali possono riguardare

Formazione di avvallamenti (wrinkle)durante lo stampaggio perché il flusso delmateriale ha provocato un’eccessiva

compressione locale non ben bilanciatada stampo e controstampo

Batiscafi che si trovano in compressioneesterna crescente con la profondità e cherischiano il collasso

Pavimenti in parquet ove la deformabilità nel piano risulti dipendente dal tasso di umiditàe si verifichi una perdita idraulica


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Instabilità di colonne

Tipica delle strutture «snelle» compresse che, ad un certo punto,esibiscono una flessione laterale

L’instabilità, per definizione, sopraggiunge allorché una qualunque

perturbazione provoca l’insorgere di fenomeni che si autoesaltano

provocando profonde modificazioni

Condizione di equilibriostabile

Condizione di stabilità permoderate perturbazioni

Instab il ità Equilibrioindifferente

La ricerca della instabilità sarà quindi dominata dallo studio del passaggio

equilibrio stabile – equilibrio indifferente – condizione instabilità


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Si comincia dallo studio di un meccanismo composto da corpi rigidi ed una connessione elastica

La perturbazione che si applica assumela forma di un piccolo angolo θ chegenera disallineamento del punto B

La trave BC subisce due effetti in contrasto

Momento elastico della molla che riallinea

Momento di disallineamento

2 E R M

sin

2 2 P

L L M P P

Il prevalere di M e determina una condizione di stabilità

Se prevale M P il piccolo piegamento si autoesaltaEsiste una condizione di indifferenza per piccole rotazioni checostituisce l’elemento di separazione tra i due comportamenti

precedenti – Questa condizione ci da li carico critico

4 Rcr P

L

P < P cr struttura stabile

P > P cr struttura instabile


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In tutta la prima parte di applicazione delcarico la trave è soggetta alla sola pressione

P

A

Incrementando il carico si raggiunge unacondizione di equilibrio indifferente, nel qualeora la reazione elastica è fornita dallacurvatura assunta dalla trave

Oltre tale valore (P cr ) la trave svelle

Alla curvatura la trave risponde con un momento riequilibrante 2

2e

v M EI

x

Consideriamo una trave elastica, perfettamente centrata, soggetta a carico P

v

2

2 0

v EI Pv

x

Separando in due la trave, rispetto al punto A si può esprimere l’equilibrio dei momenti

valido per ogni x

Eq. diff. del II ordine a

coefficienti costanti

P k

EI assumendo:

2

2

2 0

vk v

x

1 2sin cosv x C kx C kx

Questa è la soluzione generale alla quale occorre aggiungere le condizioni al

contorno che definiscono univocamente C 1 e C 2


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Per la trave double-pinned l e c.c. sono dispostamento nullo in x=0 e per x=L

0 0v

0v L

1 2sin cosv x C kx C kx

2 0C

1sin 0C kL

Soluzione banale – non si ha flessione

kL n 2 2

2cr

n P EI

L

1 sin n xv x C L

La costante C 1 – che rappresenta il massimo spostamento rimane indeterminata, potendoassumere qualsivoglia valore (ciò rappresenta la condizione di indifferenza)

1n 2n

1 2

Soluzione banale

Soluzione banale

Soluzione flessionale C 1 0

Punto di biforcazione

1 0C L’annullarsi di un prodotto implica

la nullità di uno dei due fattori sin 0kL

P k

EI

Si è trovato un valore del carico al quale corrisponde unospostamento trasversale indeterminato ma non nullo lungo latrave, di complessità legata al valore del numero naturale n


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Nelle condizioni critiche ci si trova in stato di equilibrio indifferente, come si vedericalcolando i momenti di reazione elastica e di sbilanciamento, per ogni valore di x

2 2

12 2 sine

v x M EI EI C

x L L

2

12 sin P cr

x M P EI C

L L

I Carichi critici successivi crescono rapidamente con n2 e sono di scarso interesse pratico

Cresce linearmente con momento di inerzia sezione

Cresce linearmente con modulo Young

Decresce quadraticamente con la lunghezza

Se le condizioni critiche si attuano per l’insorgere di fenomeni di instabilità elastica non si

ha alcun beneficio a utilizzare acciai più pregiati in quanto E è quasi sempre lo stesso

Utilizzare sezioni tubolari aumenta il valore di I, a parità di peso; tuttavia non si puòallontanare troppo il materiale dal baricentro della sezione, in quanto se le paretidiventano troppo sottili si presenta un’altra tipologia di instabilità: Ins tab ili tà locale

Notare che il carico critico di Eulero:

non dipende dal carico limite (snervamento per acciaio)

2

2cr P EI

L


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Per una trave generica, caricata a compressione,e libera di svellere in qualunque direzione(cerniere sferiche) essa svellerà ortogonalmentealla direzione di minimo momento inerzia Asse principale maggiore

Asse principale minore

Si calcola facilmente un valore di stress critico(che non è legato al cedimento del materiale mapiuttosto alle sue caratteristiche elastiche)

2

2cr

EI

L A

È consuetudine utilizzare la definizionedi raggio di girazione min I r

A

2

2cr

E

L r

In tal modo si fa diretto uso della definizione disnellezza di una trave

L

r

2

2cr

E

Nel calcolo si è assunto il comportamento lineare del materialequindi i risultati sono limitati alla tensione di flusso plastico

Valori usuali per la snellezza sono compresi tra 30 e 150


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Effetto di grandi spostamenti, imperfezioni, comportamento elasto-plastico

Comportamento ideale, elastico, perfetto allineamento e piccoli spostamenti A

Il carico tende a crescere quando si considera la curvatura veraB

Le imperfezioni tendono a evidenziare la flessione da subito, quando poi lefrecce diventano molto più grandi delle imperfezioni iniziali il loro effetto siaffievolisce e la tendenza torna ad essere quella di B

C

D Quando la plasticità interviene si verifica un collasso plastico catastrofico inquanto la curva diviene instabile

Limitandoci ai casi elastici, appareragionevole utilizzare il valore teoricoP cr come riferimento in quantoeccessivi spostamenti laterali non

sono comunque ammissibili


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Ottimizzazione delle forme delle colonne

1) Si può incrementare il momento d’inerzia della sezione

laddove il momento flettente risulta massimo

D i a g r a

m m a m o m e n t o f l e t t e

n t e

Incremento dellasezione che tenta diopporsi al momentorisultante

Presenza di unparziale rinforzonella parte centrale

Non la circolare come viene spontaneo pensare, ma è il triangolo equilatero!

Quale tra le sezioni presenti, a parità di area, presenta ilmassimo valore per il più basso dei momenti di inerzia?

2) Si può ottimizzare la forma della sezione


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Il momento di disallineamento risulta, ad una coordinata x

P M x P v

Per l’equilibrio momenti in x: 2

2 0

v EI P v

x

Si ottiene una eq. diff del II ordine

a coefficienti costanti e forzata

2

2 2

2

vk v k

x

P k

EI

SOLUZIONE PER ALTRE CONDIZIONI VINCOLARI

Trave incastrata - libera

Come è noto, la soluzione si ottiene sommando alla soluzione dellaomogenea associata (già calcolata prima) una soluzione particolare

part v

Assai elementare qui

1 2sin cos

v x k kxC C x

0

0

x

v

x

1 0C

1 2cos sin

vk C kx k C kx

x

Due condizioni al contorno sono riferite a x=0 0 0v 2C

1 cosv x kx

Necessitano 3 c.c.


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La terza c.c. si applica in sommità e ci fornisce v L ossia: cos 0kL

Similmente a prima abbiamo una soluzione banale ( = 0 ) ed un’altra, che lascia indefinito

cos 0kL 2

kL n 2 2

24

cr n P EI

L

La soluzione generale (autovettore a meno di un fattore di scala) risulta

1 cos2

n xv x

L

1 cos2

n xv x

L

1 2 3

Ecco come risultano leforme modali dicomplessità crescente


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Uso del concetto di lunghezza equivalente

Ribaltando verticalmente la forma della deformata incastrata liberasi intuisce immediatamente la possibile analogia fra i due casi

La curvatura corrisponde esattamente facendo riferimentoad una trave pinned-pinned di lunghezza doppia 2eq L L

Trave incastrata - incastrata

Essendo la deformata di tipo sinusoidale,considerazioni geometriche semplici ci permettonodi utilizzare il parallelismo con il I caso studiato

2eq

L L

1

2inc inc K

Tale concetto verrà ripreso anche per altre configurazioni vincolari, potendoscrivere l’espressione del I carico critico in forma assolutamente generale

2

2cr

eq

P EI L

Od anche mediante l’utilizzo di un

fattore effettivo di lunghezza K

2

2cr P EI

KL

2inc lib K


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Le due reazioni orizzontali dovranno essere uguali ed opposte

Il momento di reazione alla base dipende solo da R

0 M RL 0 M x M Pv Rx

Trave incastrata - incernierata

Solita eq. diff del II ordine acoefficienti costanti e forzata

2

2

2

v Rk v L x x EI

P k

EI

2

2

v EI Pv R L x

x

La soluzione generale è 1 2sin cosv x kx kxC C L x P

R Necessitano 3 c.c.

0 0

v 2 0

RL

C P

0

0

x

v

x

1 0

RC k

P

0v L 1 2sin cos 0C kL C kL

Dalle prime 2 2 1C C kL

Nella terza tankL kL

La soluzione si ricava solo per via numerica

4.4934kL

3 incognite


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4.4934cr P k EI L

2

2 220.19 2.046cr

EI EI P

L L

2

2cr

eq

P EI L

… riassumendo …

Si giunge così ad una definizionenumerica della lunghezza equivalente 0.699 0.7eq L L L 0.699inc cern K


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ECCENTRICITÀ DEL CARICO ASSIALE APPLICATO

x

Determinando la condizione di equilibrio dei momenti in una generica posizione x si ottiene

M x Pe P v x P e v

2

2

v EI P e v

x

2

2 2

2

vk v k e

x

P

k EI

La soluzione generale si ottiene immediatamente

1 2sin cosv x kx C eC kx Le c.c. da applicare sono le tipiche dell’app-app:

0 0 ; 0v v L 2

C e

10 sin 1 coskL e kLC 1 tan 2kL

C e

2 2

sin 2sin 2 cos 2

cos cos 2 sin 2

E si può ora scrivere la soluzione per sistema app-app: tan sin cos 12

kLv x e kx kx

Come si deduce esaminando la soluzione, essa è sempre finita, qualunque sia il caricoapplicato


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Si esamina il massimo valore dello spostamento trasversale, che si verifica in mezzeria:

tan sin cos 12 2 2 2

L kL kL kLv e

semplificando sec 12

kLe

1sec

cos

Ricordando ladefinizione di k

E il valore del caricocritico app-app

P k

EI

2

2cr P EI

L

Si ottiene una relazione dove compare esplicitamente ilrapporto tra il carico e il carico critico ad eccentricità nulla sec 1

2 cr

P e

P

Questa espressione si annulla quando e = 0 e diviene infinita

quando P=P cr

Al crescere di e le curve si spostano proporz. verso destra

Il valore di P cr del caso ideale rimane punto di riferimento

Quando la deflessione è troppo elevata la soluzione perde di

significato perché si è fuori dalle ipotesi di lavoro


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È opportuno evidenziare che, pur avendo svolto tutti i calcoli in regime di piccoli spostamentied elasticità lineare, la deflessione massima non risulta proporzionale al carico applicato.

Questa non linearità è indotta dal fatto che la deformabilità flessionale agisce nel senso dimodificare il carico applicato andando a incrementare il braccio del momento della forza P

Si determina ora il valore massimo del momento (in mezzeria):

max = P sec2 cr

P M P e e

P

Nella figura viene rappresentato come il momento massimovaria non linearmente in funzione del carico applicato

Per questo caso le soluzioni sono desumibili dall’ app-app prendendo L’=2L

Non si può utilizzare la lunghezza equivalente L’=0.699L e sostituirla alleespressioni precedenti – le soluzioni vanno ricercate per il caso specifico

Non ha alcun senso introdurre il concetto di eccentricità del carico in quanto ilmomento agli estremi è supportato dal vincolo stesso


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EsempioUna barra di ottone è sollecitata assialmente conun carico posto in posizione eccentrica. Se lamassima deflessione ammissibile è 30 mm, qualè la massima lunghezza ammissibile?

110ottone E GPa

Il momento di inerzia della sezione inflesse è:3 3

5 430 151.265 10 mm

12 12

bh I

La formula della massima inflessione coincidea quella del caso app-app

sec 12 cr

P e

P

Questa viene risolta intermini di P cr :

22 2

2 1.2arcos 6500 arcos 37658

4 4 1.2 30cr

e P P N

e

Si tratta del caso inc-lib per cui vale la:2

24

cr P EI L

(*)

Dalla (*) si risolve in Lamm 5110000 1.265 10954.8

2 2 37658amm

cr

EI L mm

P


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CARICO CRITICO PER UNA TRAVE IMPERFETTA

Il massimo valore di sollecitazione di compressione, presente in mezzeria per la trave app-app, si determina sommando i contributi di sforzo assiale e flessione

max

max

M c P

A I

max sec sec

2 2cr

P L P M Pe Pe

P r EA

r I A Raggio di girazione

2

2cr P EI

L

Il valore del rapporto di eccentricità, può variare tra 0 e 3; tuttavia nei casi pratici risulta

sempre < 1 . Nella pratica costruttiva si tende semplicemente a prenderlo = 1

max 21 sec

2

P ec L P

A r r EA

Nota come formula della secante

2

ec Rapporto eccentricità

r

La formula della secante può essere utilizzata come strumento di progetto noto che sia ilvalore dello stress ammissibile oppure come verifica del coefficiente di sicurezza rispetto alvalore limite della tensione

c= max distanza in

compressione dalbaricentro sezione

Si noti che il coefficiente di sicurezza non viene calcolato rispetto al caso ideale 2

2cr

EI

L A


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Instabilità elasto-plastica di colonne

Finora si è considerato solo il caso di materiali sollecitati al di sotto del loro limite diproporzionalità

Si può determinare un valore critico disnellezza, che limita l’utilizzo di Eulero (CD)perché si supera lo stress di proporzionalità

2

cr

cr lp

L E

r

Allo stesso modo si può determinare uncollasso plastico finale, comunque non (AB)superabile anche per snellezza molto bassa

Tuttavia, se la snellezza dell’elemento diminuisce, si entra in una zona non rappresentata dal

comportamento elastico, ma all’interno della quale occorre considerare fenomeni inelastici

Vi è dunque una zona intermedia, diinstabilità inelastica dove l’andamento nonbanale raccorda il tratto BC

Nella formula secante si impone il valore diσ lp su tutto il tratto tratteggiato


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Nella zona intermedia non si può più considerare il comportamento lineare del materiale,si ricade in una zona ove la pendenza della curva stress-strain diminuisce per cui ilcarico critico dovrà risultare minor della previsione di Eulero

La curva ABCD viene utilizzata come curva di riferimento nella progettazione, utilizzando

coefficienti di sicurezza sullo stress spesso uguali circa a 2

Teoria del modulo tangente

Superato il limite di proporzionalità la pendenza della curvadiminuisce e si può definire E t localmente

t d

E d

La trave rimane perfettamente rettilinea finché nonsbanda, per cui si può applicare direttamente la soluzionedi Eulero, utilizzando il modulo tangente

2 2

22;

t t

t t

E I E P P

L A L r

Il metodo di calcolo si dimostra quindi essere iterativo, partendo daun E t iniziale si calcola P t , si trova il corrispondente σ t e quindi unnuovo valore aggiornato di E t da cui ripartire, fino a che tutti i valoriconvergono


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Teoria del modulo ridotto

La precedente teoria presenta una difficoltà concettuale: quando avviene lo sbandamento laflessione genera: un incremento dello stress nel bottom compresso, uno scarico nel top flessionalmente in tensione

top

bottom

In pratica la trave si comporta come se fosse realizzata con duemateriali differenti, uno con modulo tangente E t , l’altro con ilmodulo di Young elastico

La difficoltà che risulta è che per il calcolo del bending bisognaanche tenere in considerazione lo sviluppo della sezione della trave

Si determina un modulo di Young ridotto E rid che sarà maggiore delprecedente E t

Essendo presente solo un carico di flessione,

le risultanti di trazione e compressione sono = 2 2

1 2t Eh E h con 1 2h h h

1

t

t

h E h

E E

2

t

h E h

E E

Per una trave a sezione rettangolare si forma il seguente diagramma di sollecitazione

curvatura

22 2 2Eh bh Eh bh bhE


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Quindi, per la sezione rettangolare, si ha un modulo risultante E rid

2

4 t rid

t

EE E

E E

Si deduce che il modulo di Young ridotto dipende sia dalle caratteristiche del materiale, che

dallo sviluppo geometrico della sezione della trave

2 2

22 ;

rid rid

rid rid

E I E P P

L A L r

Il momento flettente risultante è:

2

1 1 2 2 1

1 2

2 2 2

2 3 2 3 2 3

Eh bh Eh bh bh E M h h h

Sostituendo il valore di h1 calcolato in precedenza:

2

2

4

12

t

t

EE bh M

E E

La teoria che tiene in considerazione il moduloridotto fornisce carichi di instabilità un pocosuperiori a quella precedente


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Modello pratico di JohnsonSecondo tale modello, nella zona a comportamento elasto-plastico si evidenzia un andamento parabolico del tipo

2

,cr pl sn k

con 2

1

2

snk E

Appare chiaro che per fare una verifica occorrepreliminarmente valutare dal valore della snellezzaquale delle due formule sia più opportuna

222

, , 2

1

2

scr E cr J s t

t

E

E

L’equazione di IV grado risolvente ha il

determinante nullo, le due curve sono tangenti

22

t

s

nE

cr

Johnson

Eulero

transizione

sn

Per valori più elevati della snellezza di transizione si utilizza il collasso di Eulero, per valoripiù bassi l’instabilità parabolica di Johnson

Esempio acciaio, se s=500 MPa, t = 90,1

se l = 1000 mm, dt = 44.35 mm

Diametro > dt collasso plasticoDiametro < d

t collasso elastico


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Di t i


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Imponendo l’equilibrio radiale per

una lunghezza assiale unitaria:

2 2c

d

Ku Rd s

d

’ c ’ c

-Ku

Se anche i carichi sono assialsimmetrici, il comportamento di unsingolo elemento può caratterizzare l’intero tubo, il problema diviene

monodimensionale z

s

2 2

2c c

R u R u E E E

R R

La tensione circonferenziale in funzione di η:

Sostituendo tale valore si determina il valore di k (oraper unità di superficie) equivalente al trattenimentocirconferenziale del mantello 2

2 2

E s E s

K k R K R R

Quindi la tubazione sottile, caricata assialsimmetricamente, può essere trattata come unatrave su fondazione elastica

z

k

q(z)

u

Un tubo sottile può pensarsi come formato da una serie di elementimonodimensionali lateralmente connessi

Dimostrazione

Si assume che la sia trascurabilea


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Ora si può studiare comportamento di un concio di travesu fondazione elastica soggetto a carico assiale P

dV w ku

dz

dM du P V

dz dz

2

2

d u M E I

dz

4 2

4 20

d u P d u ku

dz E I dz E I

Considerando assenteil carico distribuito w

4 20

P k a a

E I E I

La soluzione, del tipo si determina cercando gli zeri della soluzione algebrica a z u Ae

2

2 1 4

2

P k P a

E I E I E I

Nella soluzione che si ricava, il termine di decadenza esponenziale si annulla se si annullala precedente radice

04 P kE I

In tale caso il carico critico comporta la criticità estesa a tutto lo sviluppo longitudinale dellatrave su fondazione elastica, con l’apparire, in tutta la sua estensione di numerosi fold

32 R


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Il momento di inerzia complessivo vale: 3

2

12

R s I

21

E E

2

E sk

R La rigidezza equivalente era stata calcolata come

04 P kE I

3

0

24 2

12

E s R s P E

R

22 4

0 22

3 1

E P s

Passando ora al calcolo della tensione critica assiale:

0

22 3 1cr P E s

Rs R

242

3.45

12 1

rs rs

Lunghezza d’onda delle pieghe longitudinali, valore in

genere molto piccolo e facilmente superabile

Nelle sollecitazioni bidimensionali, il modulo del rapporto tratensione e deformazione relativa assume il valore

0c c a

a a c

E

E

21

a a

E

Questo calcolo è valido purché la lunghezzaassiale del tubo sia sufficientemente lunga perassicurare la formazione dei fold

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