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INTEGRAL DEFINIDA
Nice Maria Americano da Costa
A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas integrais.
Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções. Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo.
A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS
Aproximadamente, poderíamos dividir o intervalo [a,b] em pequenos segmentos e construirmos retângulos sob a curva e somar as suas áreas.
0 1 2
0 1 2
1 0 1 2 1 2
, , ,....
....
, ....
n
n
a x x x x b
x x x x
x x x x x x
X0=a Xn=bx1 x2 x3 Xn-1
m
M
Sejam, em cada pequeno intervalo [xi, xi+1], mi e Mi o menor valor e o maior valor da função no intervalo. Então
Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então duas somas dessas áreas:
Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente. Temos ainda que vale:
i i
i i
m x
M x
mi
Mi
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
...
...n n n
n n n
s m x m x m x m x
S M x M x M x M x
n ns S
ix
*
Note que ( )m b a
representa a área do retângulo construído com o menor valor da função, em todo o intervalo [a,b].
( )M b a
representa a área do retângulo construído com o maior valor da função, em todo o intervalo [a,b].
x3 Xn-1X0=a Xn=bx1 x2
m
M
e que
Vemos que
( )
( )n
n
s m b a
S M b a
Podemos escrever então:
( ) ( )n nm b a s S M b a
Ou seja: a área construída com o retângulo formado pelo tamanho do intervalo e o maior valor da função é maior que a soma integral superior, que, por sua vez, é maior que a soma integral inferior, que, por sua vez, é maior que área construída com o retângulo formado pelo menor valor da função e o tamanho do intervalo.
A INTEGRAL DEFINIDA
X0=a Xn=b
Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=xi e x=xi+1.
Xi xi+1
Tomemos agora um ponto intermediário,x=i em cada subintervalo [xi,xi+1] e construamos a área do retângulo formado por f(i ) e pelo tamanho do subintervalo, xi.
( )i if x
Somemos essas áreas assim formadas:
int 1 1 2 2 3 3
int1
( ) ( ) ( ) ... ( )
( )
n n
n
i ii
S f x f x f x f x
S f x
Sint é a soma integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Como mi f(i)Mi, teremos:
( )i i i i i im x f x M x
Somando sobre todos os subintervalos, teremos finalmente
1 1 1
int
( )n n n
i i i i i ii i i
n n
m x f x M x
s S S
max 01
lim ( ) ( )i
bn
i ix
i a
f x f x dx
Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o maior xi→0 e esse limite existe, dizemos que esse limite é a integral definida de f(x)
Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b] corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida entre o eixo x e as retas x=a e x=b
X0=a Xn=b
( )b
a
f x dx
Na expressão simbólica da integral definida
a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo [a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração
Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo.
A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:
( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x dx f t dt f z dz
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx
1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal:
Exemplo:
cos cosb a
a b
xdx xdx 2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração;
( ) ( )b b
a a
cf x dx c f x dx Demonstração:
max 0 max 01 1
( ) lim ( ) lim ( ) ( )i i
b bn n
i i i ix x
i ia a
cf x dx cf x x c f x x c f x dx
3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais definidas das mesmas funções
( ( ) ( )) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Demonstração:
max 0 max 0 max 01 1
( ( ) ( )) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )i i i
i i i
b b bn n
i i i i i i i i ix x x
i ia a a
f x g x dx f x g x x f x x g x x f x dx g x dx
4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) (x), então, tem-se
( ( ) ( )b b
a a
f x dx x dx
max 01
( ( ) ( )) lim ( ) ( )i
i
b n
i i ix
ia
x f x dx x f x x
Demonstração:
( ) ( )
, ( ) ( ) 0
Se
x f x
entao x f x
0ix e
( ( ) ( )) 0
( ) ( )
b
a
b b
a a
x f x dx
x dx f x dx
Temos, então
5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior valor da função no intervalo [a,b], então, tem-se
( ) ( ) ( )b
a
m b a f x dx M b a Demonstração:
Por hipótese, no intervalo [a,b], tem-se
( )m f x M
Pela propriedade anterior
( )
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
b
a
mdx f x dx Mdx
m b a f x dx M b a
*
Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um ponto , tal que se tem:
( ) ( )( )b
a
f x dx f b a Demonstração:
Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior valor de f(x) no intervalo, teremos:
1( )
( )
b
a
m f x dx Mb a
Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse por . Temos então
m M
Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é, um ponto , ab, tal que f()= (o valor médio da função no intervalo).
( ) ( ) ( )( )b
a
f x dx b a f b a
1( )
( )
b
a
f x dxb a
com
Propriedade 6. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á:
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
a bc x
INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz
Considerando que, para a integral ( )b
a
f x dx , o limite de integração inferior seja fixo,a.
Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de integração por t. Então
( ) ( )x
a
f t dt x
xa
(x) é portanto igual à área subtendida pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e as retas t=a e t=x.
t
Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se colocamos ( ) ( )x
a
f t dt x então
( ) ( )x f x Demonstração:
( ) ( )x
a
x f t dt Se então ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x x x x
a a x
x x x x x x
a x a x
x x
x
x x f t dt f t dt f t dt
x x x
f t dt f t dt f t dt f t dt
f t dt
Aplicando o teorema da média,temos
0 0
0
( )
( )
lim lim ( ) ( )
lim ( )
( ) ( )
x x
x
f x
fx
f f xx
xx
x f x
Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de f(x) então
( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a Demonstração:
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva de f(x). Mas,
( ) ( )x
a
x f t dt Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. Então:
( ) ( )x
a
f t dt F x C Determinemos C, calculando a integral para x=a:
( ) ( )a
a
f t dt F a C Mas
( ) 0a
a
f t dt 0 ( )
( )
F a C
C F a
( ) ( ) ( )x
a
f t dt F x F a
Coloquemos então x=b
( ) ( ) ( )b
a
f t dt F b F a
Esta é a fórmula de Newton Leibniz
( ) ( ) ( ) ( )b
ba
a
f x dx F b F a F x
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO
f(a)
a b
f(b)
x1x2
x3
int0
1
( ) lim limb b n
i ix n
a a
f x dx cxdx c x S
b ax
n
1
2
3 2
...
( 1)n
a
a x
a x
a n x
int 1 1 2 2
int
int
int
...
( 2 ) ... ( ( 1) )
( ( 2 ... ( 1) )
( (1 2 ... ( 1)) )
n nS c x c x c x
S ca x c a x x c a n x x
S c na x x n x x
S c na n x x
Mas,( 1)
1 2 3 ....( 1)2
n nn
int
int
int
int
2 2
( (1 2 ... ( 1)) )
( 1)( )
2
( 1)( )
2( 1)
( )( )2
( 1) ( )( )lim ( )( )
2 2 2
1lim 1
n
n
S c na n x x
n nS c na x x
mas
b ax
nn n b a b a
S c nan n
n n b aS c a b a
n
n n b a b a b a b ac a b a c c
npois
n
n
01
lim ( )b n
ix
a
kdx k x k b a
1
limn
in
x b a
a b
k
x1x2
x3
( )b b
a a
f x dx kdx
( ) ( ) ( ) ( )b
bà
a
f x dx F b F a F x Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz
2 2 21 1
2 2
bba
a
kxdx kx k b a
0
0
2 2 2 cos cos0 4senxdx cox
2
20
0
2 2 2 cos 2 cos0 0senxdx cox
2
2 2 0 20
0
1x xe dx e e e e
1 1 11 1( 1)
1 1
bn n b n n
a
a
x dx x b a nn n
Teorema (Mudança de variável) . Seja dada a integral
( )b
a
f x dxonde f(x) é contínua no intervalo [a,b]. Introduzamos a variável t, por ( )x t
Se ( )
( )
a
b
e, ainda, se (t) ´(t) são contínuas no intervalo [ ], e também f[(t)] é definida e contínua no intervalo [ ], então
( ) [ ( )] ( )b
a
f x dx f t t dt
Demonstração: se F(x) é uma primitiva de f(x), podemos escrever:
( ) ( )
[ ( )] ( ) [ ( )]
f x dx F x C
f t t dt F t C
( ) [ ( )] ( )b
a
f x dx f t t dt
Da primeira podemos escrever
( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a
[ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( )f t t dt F F F b F a
Da segunda podemos escrever
Sabemos que( )uv u v v u
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Integrando entre x=a e x=b, teremos
( )b b b
a a a
uv dx u vdx v udx Mas,
( ) ( )uv dx d uv ( ) ( )uv dx d uv uv C Então
( )b
ba
a
uv dx uv
,u dx du v dx dv
b bbà
a a
b bba
a a
uv udv vdu
udv uv vdu
, e
EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL
Integrais com limites de integração infinitos
a b
Definição. Se o limite lim ( )b
ba
f x dx
existe, ele será representado por
( )a
f x dx
Por definição, então ( ) lim ( )b
ba a
f x dx f x dx
e diz-se que a integral converge.
( ) lim ( )b b
aa
f x dx f x dx
( )b
a
f x dx
0
0
00
Calcule
1
lim 1 1
x
b bx x b b
b
b
e dx
e dx e e e e
e