Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL TENTU Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)
Tadris Matematika
Jumlah Riemann
Misalkan partisi P membagi interval [a, b] menjadi n
interval (tidak perlu sama panjang) dengan
menggunakan titik-titik a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 , xn = b.
Misalkan pula ∆xi = xi – xi-1.
Pada tiap interval bagian ambil sebuah titik 𝑥 i (disebut
titik sampel untuk interval bagian ke-i) yang letaknya
sebarang.
08/03/2017 email: [email protected] 2
Gbr.1
08/03/2017 email: [email protected] 3
RP disebut jumlah
Riemann untuk f
yang berpadanan
dengan partisi P.
Gbr.2
Untuk f(x) > 0
Contoh 1
Hitunglah jumlah riemann
untuk f(x) = x2 + 1 pada
interval [-1, 2] dengan
menggunakan titik-titik partisi
berjarak sama -1 < -0,5 < 0 <
0,5 < 1 < 1,5 < 2, dengan titik
sampel 𝑥 i berupa titik tengah
dari interval bagian ke-i.
08/03/2017 email: [email protected] 5
Gbr.4
Contoh 2
Hitunglah jumlah riemann
untuk
f(x) = (x+1)(x – 2)(x – 4)
pada interval [0, 5] dengan
menggunakan titik-titik
partisi berjarak sama 0 <
1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5, dengan
titik sampel yang
berpadanan 𝑥 1 = 0,5, 𝑥 2 =
1,5, 𝑥 3 = 2,5, 𝑥 4 = 3,6, dan 𝑥 5 = 5.
08/03/2017 email: [email protected] 7
Gbr.5
08/03/2017 email: [email protected] 9
Definisi Integral Tentu
Misalkan f kontinu pada interval [a, b].
Interval [a, b] dibagi kedalam n subinterval dengan lebar
masing-masing interval adalah ∆x = (b – a) / n.
Misalkan pula x0 (= a), x1, x2, ..., xn (= b) adalah titik batas
akhir dari masing-masing subinterval.
Misalkan pula x0*, x1*, ..., xn* adalah titik sampel sebarang
pada masing-masing subinterval (xi* terletak pada
subinterval ke-i [xi-1, xi].
Integral tentu dari f dengan batas a ke b adalah:
08/03/2017 email: [email protected] 10
Catatan 1
Simbol ∫ merupakan simbol integral yang
diperkenalkan oleh Leibniz. Pada
𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥, fungsi f(x) disebut debagai
integran, a limit bawah integrasi, dan b
limit atas integrasi.
Catatan 2
Notasi integral 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥, tidak selalu
tergantung pada variabel x tetapi dapat
pula diganti dengan variabel lain.
08/03/2017 email: [email protected] 11
Catatan 3
Gambar 6. Jika f(x) ≥ 0, jumlah Riemann 𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥
adalah jumlah dari semua rectangular.
Gambar 7. Jika f(x) ≥ 0, integral 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥 adalah daerah
di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.
Gbr.6 Gbr.7
08/03/2017 email: [email protected] 12
Apabila f(x) bernilai positif
dan negatif seperti pada
Gambar 8, maka jumlah
Riemann adalah jumlah
daerah rectangular di atas
sumbu-x dengan negatif
jumlah dari daerah
rectangular di bawah
sumbu-x.
Integral tentu dari kurva
Gambar 9 adalah:
Gbr.8
Gbr.9
08/03/2017 email: [email protected] 13
Dengan kata lain, secara umum 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥
menyatakan luas bertanda daerah yang dibatasi oleh
kurva y = f(x) dan sumbu-x dalam interval [a, b]
yangberari bahwa tanda positif dikaitkan dengan luas
bagian-bagian yang berada di atas sumbu-x, dan tanda
negatif dikaitkan dengan luas bagian-bagian yang
berada di bawah sumbu-x.
Gbr.10
Penyelesaian
08/03/2017 email: [email protected] 15
Partisikan [-2, 3] menjadi n interval bagian yang sama
dengan panjang masing-masing interval ∆x = 5/n. Gunakan
𝑥 i = xi sebagi titik sampel.
08/03/2017 email: [email protected] 18
Latihan
Hitunglah jumlah
Riemann untuk setiap
gambar di samping.
08/03/2017 email: [email protected] 20
Hitunglah jumlah Riemann untuk setiap data yang
diberikan berikut:
08/03/2017 email: [email protected] 21
Selesaikan dengan menggunakan Definisi Integral
Tentu seperti yang terlihat pada Contoh 3 dari kasus
berikut:
08/03/2017 email: [email protected] 22
