Interpolación y aproximación polinomial

Programación Numérica

Definición

Un polinomio de grado n es una expresión de la forma:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0

Donde an <> 0

Teorema (teorema de aproximación de Weierstrass)

Suponga que f está definida y es continua en [a, b]. Para > 0 existe un polinomio P definido en [a, b], con la propiedad de que

|f(x) – P(x)| < , para toda x en [a, b]

Desarrollo en series de TaylorSea f(x) = ex

Desarrollando en serie de Taylor alrededor de x = 0

P0(x) = 1 P1(x) = 1 + x P2(x) = 1 + x + x2/2

P3(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 P4(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24

P5(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120

Valores de ex

x p0(x) p1(x) p2(x) p3(x) p4(x) p5(x) exp(x)-2.0 1.00000 -1.00000 1.00000 -0.33333 0.33333 0.06667 0.13534-1.5 1.00000 -0.50000 0.62500 0.06250 0.27344 0.21016 0.22313-1.0 1.00000 0.00000 0.50000 0.33333 0.37500 0.36667 0.36788-0.5 1.00000 0.50000 0.62500 0.60417 0.60677 0.60651 0.606530.0 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.000000.5 1.00000 1.50000 1.62500 1.64583 1.64844 1.64870 1.648721.0 1.00000 2.00000 2.50000 2.66667 2.70833 2.71667 2.718281.5 1.00000 2.50000 3.62500 4.18750 4.39844 4.46172 4.481692.0 1.00000 3.00000 5.00000 6.33333 7.00000 7.26667 7.38906

Valores de las aproximaciones de ex con polinomios de Taylor

Expansión de Taylor para 1/x

n

k

kkn

k

kk

n xxk

fxP

00

111!1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Pn(3) 1 -1 3 -5 11 -21 43 -85

Interpolación polinomial de Newton

Revisaremos solo algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.

Interpolación lineal

x0 x x1

f(x0)

f1(x)

f(x1)

f(x)

Utilizando triángulos semejantes

01

01

0

01

xxxfxf

xxxfxf

Reordenando

001

0101 xx

xxxfxf

xfxf

EjemploEstimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294

001

0101 xx

xxxfxf

xfxf 3583519.012

160791759.1

1ln21

f

4620981.01214

0386294.11ln21

f

Valor real ln 2 = 0.6931472

Error relativo porcentual = 33.3%

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 f(x) = ln x

f1(x)

Estimaciones lineales

Valor verdadero

Interpolación cuadráticaPolinomio cuadrático

f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (1)

simplificado

f2(x) = b0 + b1x – b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 – b2xx0 – b2xx1

Podemos escribirlo como

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

Donde

a0 = b0 – b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 – b2x0 – b2x1, a2=b2

Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene

b0 = f(x0)

01

011 xx

xfxfb

02

01

01

12

12

2 xxxx

xfxfxx

xfxf

b

ejemplo 2Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son:

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x0) = 1.386294

x0 = 6 f(x0) = 1.791759

Aplicando las ecs. anteriores

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = ((1.791759 – 1.386294)

/(6 – 4) – 0.4620981)/(6 – 1)

= – 0.0518731

El polinomio es

f2(x) = 0.4620981(x – 1) – 0.0518731(x – 1)(x – 4)

f2(2) = 0.5658444

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = ln x

Estimación cuadrática

Valor verdadero

Estimación lineal

Valor real ln 2 = 0.6931472

Error relativo porcentual = 18.4%

Forma generalPolinomio general

fn(x) = b0 + b1(x – x0) +...+ bn(x – x0)(x – x1)... (x – xn–1)

Los coeficientes se calculan con

b0 = f(x0)

b1 = f [x1, x0]

b2 = f [x2, x1, x0]

bn = f [,xn, xn–1, ..., x1, x0]

Donde los paréntesis cuadrados se denominan diferencias divididas finitas.

La n-ésima diferencia dividida finita es:

Se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas.

0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

xxxxxfxxxf

xxxxfn

nnnnnn

ejemplo 3Calculemos ln 2 con ln 0, ln 4, ln 5 y ln 6, los punto que se conocen son:

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1.386294

x2 = 6 f(x3) = 1.791759

x3 = 5 f(x2) = 1.609438

primeras diferencias

f [x1, x0] = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4602981

f [x2, x1] = (1.791759 – 1.386294)/(6 – 4) = 0.2027326

f [x3, x2] = (1.609438 – 1.791759)/(5 – 6) = 0.1823216

Segundas diferencias

f [x2, x1, x0] = (0.2027326 – 0.4602981)/(6 – 1) = –0.05187311

f [x3, x2, x1] = (0.1823216 – 0.2027326)/(5 – 4) = –0.02041100

tercera diferencia

f [x3, x2, x1 , x0] = (–0.02041100–(–0.05187311))/(5 – 1) = 0.007865529

Polinomio

f3(x) = 0 + 0.4602981(x – 1) –0.05187311(x – 1) (x – 4) + 0.007865529(x – 1) (x – 4) (x – 6)

Valor calculado con el polinomio

f3(2) = 0.6287686

Ejemplo 3 (cont.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = ln x

Valor verdadero

Estimación cúbica

f3(x)

Estimación del error

Rn = f [,xn+1, xn, ..., x1, x0](x – x0) (x – x1)... (x – xn)

Para estimar el error requerimos de un datos más (xn+1). La siguiente fórmula puede utilizarse para estimar el error.

Interpolación y polinomio de Lagrange

Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que

Ln,k(xi) = 0 cuando i k y Ln,k(xk) = 1

Se requiere entonces que el numerador contenga

(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)

El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

n

kii ik

i

nkkkkkkk

nkkkn xx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

01110

1110,

N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange

Teorema

Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que

f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n

Este polinomio está dado por

n

kknknnnn xLxfxLxfxLxfxP

0,,0,0

n

kii ik

i

nkkkkkkk

nkkkn xx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

01110

1110,

donde

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange

P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3

P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15

f(3) = P(3) = 0.325

Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25.

Los polinomios de Lagrange son:

3

55.45.24245.22

2,

332244

45.225.242

1,

105.6425.0245.2

0,

xxxxx

nL

xxxxx

nL

xxxx

xn

L

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange

P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15

f(3) = P(3) = 0.325

El error en la interpolación de Lagrange

El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con

n

n

xxxxxxn

xfxPxf

...!1 10

1

0

Algoritmo en Matlabfunction fi = Lagran_(x, f, xi)

fi=zeros(size(xi));

np1=length(f);

for i=1:np1

z=ones(size(xi));

for j=1:np1

if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end

end

fi=fi+z*f(i);

end

return

Calcula coeficientes de P2(x)

%Calcula el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2

function [a,b,c] = Lagrange(x0,x1,x2,fx0,fx1,fx2)

t0 = (x0 - x1)*(x0 - x2);

t1 = (x1 - x0)*(x1 - x2);

t2 = (x2 - x0)*(x2 - x1);

a = fx0/t0 +fx1/t1 +fx2/t2;

b = -fx0*(x1 + x2)/t0 - fx1*(x0 + x2)/t1 - fx2*(x0 + x1)/t2;

c = fx0*x1*x2/t0 + fx1*x0*x2/t1 + fx2*x0*x1/t2;

Interpolación InversaTabla de valores de f (x) = 1/x.

x 1 2 3 4 5 6 7

f (x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429

Se desea conocer el valor de x tal que f (x) = 0.3.

El problema se resuelve definiendo un polinomio de interpolación de grado 2 con los puntos (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25) y resolviendo la ecuación:

f (x) = 0.3 = 1.08333 – 0.375x + 0.041667x2

Lo que da x = 5.704158 y x = 3.295842, el valor real es 3.333.

Trazadores (Splines)Dados n +1 puntos podemos construir un polinomio de grado n para interpolar valores dentro del intervalo.

También se pueden usar líneas rectas entre cada par de puntos para hacer interpolación lineal entre ellos o polinomios cuadráticos o cúbicos.

Tales interpoladores se llaman trazadores lineales, cuadráticos y cúbicos, respectivamente.

La ventaja de los trazadores es que no presentan el efecto de oscilación de los polinomios de alto grado.

f (x)

x

f (x)

f (x)

f (x)

Trazadores linealesPara los trazadores lineales se definen rectas entre cada intervalo para calcular los valores intermedios.

f (x) = f (x0) + m0(x – x0) x0 <= x <= x1

f (x) = f (x1) + m1(x – x0) x1 <= x <= x2

f (x) = f (x0) + mn–1 (x – x0) xn–1 <= x <= xn

Los valores de mi se calculan con:

ii

iii xx

xfxfm

1

1

ejemplo

x f (x)

3.0 2.5

4.5 1.0

7.0 2.5

9.0 0.52 4 6 8 10

2

0

Trazadores cuadráticosEl polinomio en cada intervalo es de la forma:

fi(x) = ai x2 + bi x + ci

Para encontrar los ai , bi , ci se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores, 2n – 2 ecuaciones.

2. La primera y última función debe pasar por los extremos, 2 ecuaciones.

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales, n – 1 ecuaciones. O sea: 2ai –1 xi–1 + bi –1 = 2ai xi–1 + bi

4. Suponer derivada 0 en el primer punto. a1 = 0

)(

)(

112

1

11112

11

iiiiii

iiiiii

xfcxbxa

xfcxbxa

)(

)(2

0101201

nnnnnn xfcxbxa

xfcxbxa

ejemplo

x f (x)

3.0 2.5

4.5 1.0

7.0 2.5

9.0 0.5

Encontrar f (5)

La condición 1 genera las siguientes ecuaciones:

20.25a1 + 4.5b1 + c1 = 1.0

20.25a2 + 4.5b2 + c2 = 1.0

49a2 + 7b2 + c2 = 2.5

49a3 + 7b3 + c3 = 2.5

La condición 2 da las siguientes ecuaciones

9a1 + 3b1 + c1 = 2.5

81a3 + 9b3 + c3 = 0.5

La condición 3 genera:

9a1 + b1 = 9a2 + b2

14a2 + b2 = 14a3 + b3

0

0

5.0

5.2

5.2

5.2

1

1

0114011400

00001901

198100000

00000013

174900000

000174900

00015.425.2000

00000015.4

3

3

3

2

2

2

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

El sistema resultante es:

La solución es:

a1 = 0 b1 = –1 c1 = 5.5

a2 = 0.64 b2 = –6.67 c2 = 18.46

a3 = –1.6 b3 = –24.6 c3 = 91.3

f(5) = 0.64(5)2 – 6.67(5) +18.46 = 1.11

yi = ppval (pp, xi) - Evalúa polinomio a trozos pp en los puntos xi. Si pp.d es un escalar mayor que 1, o un arreglo, entonces el valor regresado yi será un arreglo que es d1, d1, ..., dk, length (xi).

pp = spline (x, y) yi = spline (x, y, xi)Regresa los interpolantes cúbicos de y en los puntos x. Si se llama con dos argumentos, regresa los trozos polinomicos pp que ueden ser evaluados con ppval.Si se llama con tres parámetros, evalúa el los puntos xi.

Splines cúbicos

xxhz

hy

xxhz

hy

xxh

zxx

hz

xS

iii

i

ii

ii

i

i

ii

ii

i

ii

111

3131

66

66

Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline.

Donde hi = xi+1 – xi y z0, z1, … ,zn son incognitas.

Aplicando las condiciones de continuidad se llega a

11

11

1111

662

ii

iii

iiiiiiii yy

hyy

hzhzhhzh

La ecuación anterior, genera un sistema de n–1 ecuaciones lineales con n+1 incógnitas.

2

3

2

1

2

3

2

1

12

22

32

221

11

0000

000

000

000

000

0000

n

n

n

n

n

n

v

v

v

v

z

z

z

z

uh

hu

uh

huh

hu

1

111

1

1

21

1

6

2

i

iiiii

iii

i

i

iiii

u

vhbbv

yyh

b

u

hhhu

donde

Los valores del spline S se calculan eficientemente con

iiiiiiii AxxBxxCxxyxS

Donde

iii

ii

ii

i

ii

iii

i

yyh

zh

zh

C

zB

zzh

A

11

1

136

2

61

Los coeficientes de los polinomios se pueden calcular con:c1 = yi – xi Dc2 = D – xi Ec3 = E – xi Ac4 = A

Para obtener: fi (x) = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3

Donde

AxBE

AxBxCD

yyh

zh

zh

C

zB

hzz

A

i

ii

iii

ii

ii

i

i

ii

2

136

2

6

2

11

1

Guión en MatLab%encuentra los trazadores cúbicos para un conjunto de puntos x,y% x - vector con los n valores de x% y - vector con los n valores de y% w - matriz de n-1 por 4 con los coeficientes de los polinomios cúbicosfunction w = spline3(x,y) [dummy n] = size(x); for i = 1:n-1 h(i) = x(i+1)-x(i); b(i) = 6*(y(i+1)-y(i))/h(i); end u(2) = 2*(h(1)+h(2)); v(2) = b(2)-b(1); for i = 3:n-1 u(i) = 2*(h(i)+h(i-1))-h(i-1)^2/u(i-1); v(i) = b(i)-b(i-1)-h(i-1)*v(i-1)/u(i-1); end

z(n) = 0; for i = n-1:-1:2; z(i) = (v(i)-h(i)*z(i+1))/u(i); end z(1) = 0; for i = 1:n-1 A = (z(i+1)-z(i))/6/h(i); B = z(i)/2; C = -h(i)*z(i+1)/6-h(i)*z(i)/3+(y(i+1)-y(i))/h(i); D = C-x(i)*B+A*x(i)^2; E = B-2*x(i)*A; w(i,4) = y(i)-x(i)*D; w(i,3) = D-x(i)*E; w(i,2) = E-x(i)*A; w(i,1) = A; endend

Ejemplo