Upload
phungtuong
View
304
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
BAB
5INTERPOLASI
INTERPOLASI
• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi
pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada
ke-2 titik tersebut sudah diketahui
• Cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn]
dengan menggunakan informasi dari seluruh atau
sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)
2
x x0 x1 x2 ……. xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn)
TEKNIK UMUM YANG DIGUNAKAN
(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg
mempunyai harga fungsi di titik-titik yang
diketahui Polinomial Interpolasi(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya
ke dalam polinomial interpolasi
3
INTERPOLASI LINIER
• ide dasar : pada saat
data dalam bentuk
tabel tidak begitu
bervariasi, sehingga
memungkinkan untuk
dilakukan pendekatan
dengan
menggunakan sebuah
garis lurus di antara
dua titik yang
berdekatan.
INTERPOLASI LINIER
CONTOH :
• Jarak yang dibutuhkan sebuahkendaraan untuk berhenti adalah fungsikecepatan. Data percobaan berikut inimenunjukkan hubungan antarakecepatan dan jarak yang dibutuhkanuntuk menghentikan kendaraan.
• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkanbagi sebuah kenderaan yang melajudengan kecepatan 45 mil/jam.
CONTOH :
• maka untuk mencari nilai x=45 maka,
EXAMPLE
The upward velocity of a rocket is given as
a function of time in Table 1. Find the
velocity at t=16 seconds using linear splines.t v(t)
s m/s
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table : Velocity as a
function of time
Figure : Velocity vs. time data
for the rocket example
LINEAR INTERPOLATION
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x desired
x s1
10x s0
10 x s range x desired
,150 t 78.362)( 0 tv
,201 t 35.517)( 1 tv
)()()(
)()( 0
01
01
0 tttt
tvtvtvtv
)15(1520
78.36235.51778.362
t
)15(913.3078.362)( ttv
At ,16t
)1516(913.3078.362)16( v
7.393 m/s
INTERPOLASI KUADRAT
F(x) = ax2 + bx + c
INTERPOLASI KUADRAT
• Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)
• Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss
CONTOH :
• Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat
• Sistem Pers Linier yang terbentuk.• 64 a + 8 b + c = 2.0794
• 81 a + 9 b + c = 2.1972
• 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266
c = 0.6762
• Sehingga p2(9.2) = 2.2192
POLINOM NEWTON
• Persamaan Polinom Linier
• Bentuk pers ini dapat ditulis :
• Yang dalam hal ini (1)
• Dan (2)
• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-
difference)
)()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
yyyxp
)()( 0101 xxaaxp
)( 000 xfya
)(
)()(
)(
)(
01
01
01
011
xx
xfxf
xx
yya
],[ 011 xxfa
POLINOM NEWTON
• Polinom kuadratik
• Atau
• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers
sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))((
)()(
1202
021022
xxxx
xxaaxfa
12
01
01
02
02
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
POLINOM NEWTON
• Dengan melakukan utak-atik aljabar,
pers ini lebih disukai
02
0112
02
01
01
12
02
2
],[],[
)()()()(
xx
xxfxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
POLINOM NEWTON
• Jadi tahapan pembentukan polinom
Newton :)()()( 0101 xxaxpxp
)()( 0101 xxaaxp
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp
POLINOM NEWTON
• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi ,
dg nilai
• Yang dalam hal ini ],,...,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn
0
012111011
),,...,,[],...,,[],,...,,[
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
POLINOM NEWTON
• Dengan demikian polinom Newton dapat
ditulis dalam hub rekursif sebagai :
• Rekurens
• basis
• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap
sbb :
],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn
)()( 00 xfxp
],,...,,[))...()((
],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
CONTOH SOAL :
• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan
empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4]
dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan
x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536
CONTOH SOAL :
• Contoh cara menghitung nilai selisih
terbagi pada tabel :
2484.002
4597.09564.0
)(
],[],[],,[
9564.012
5403.04161.0
)(
)()(],[
4597.001
15403.0
)(
)()(],[
02
0112012
12
1212
01
0101
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xx
xfxfxxf
CONTOH SOAL :
• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0= 0 sebagai titik pertama :
• Nilai sejati f(2.5) adalah• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.0(4597.00.1)()cos(
4
3
2
1
xxxxxxx
xxxxpx
xxx
xxxxpx
xxxxpx
xxpx