Intervalo de Confianza para una proporción con muestra grande

¿Qué es una proporción?

• Es frecuente, en los sondeos de opinión, investigar las preferencias de la población por una determinada opción A, frente a otra opción B. Por ejemplo : ¿qué proporción de posibles votantes optan por un candidato A frente a otro B?.

A B

• Otras veces interesa saber, qué proporción de individuos de una población, presentan una característica A, frente a los que no la presentan.

• En cualquier caso, como normalmente no podemos estudiar a todos los individuos de una población porque, o es muy caro o sencillamente es imposible, tenemos que tomar una muestra

• La proporción viene dada por

donde x representa el número de éxitos en n pruebas.

Para construir el intervalo de confianza para una proporción de la población se construye partiendo de la proporción de la muestra a la cual se le suma y resta el Error.Para encontrar la proporción de la muestra se utiliza:

• La desviación estándar de la proporción de la población se la encuentra:

δ = p.q

El Error

E = Z/2 (δ/ n)

Es la misma fórmula del error que ya trabajamos anteriormente

• Entonces utilizamos la misma función de EXCEL “INTERVALO.CONFIANZA” que pide:

• Alfa: Nivel de significancia

• Desv estandar: desv estándar de la proporción.

• Tamaño: tamaño de la muestra

• El intervalo queda así:

• p – E < p < p + E

Figura: Intervalo de confianza para una proporción.

Ejemplo

• Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfermos de cáncer de pulmón detectados en hospital que fuman, obteniéndose que de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtener un intervalo de confianza para dicha proporción.

• p = 41/123 = 0.28

• q = 1 – p = 1 – 0.28 = 0.71

• Des stand = δ = p q

= 0.245 = 0,45222

• Error= 0.0799

Esto nos indica que el 95% de los casos el porcentaje de enfermos con cáncer al pulmón estarán entre 36% y 20%

• Y si avanzamos más y nos pidieran estudiar si dicha proporción puede considerarse igual a la proporción de fumadores en la población si ésta es de un 29%.

• Si consideramos la proporción de fumadores en la población global es igual a p= 0.29, observemos que esta proporción se encuentra dentro del intervalo de confianza, es decir, como la proporción de fumadores en la población pertenece al intervalo que contiene a la proporción de fumadores entre los enfermos de cáncer con una probabilidad de acierto de 95%, podemos considerar que esta proporción de fumadores en los enfermos de cáncer se corresponden con la de los fumadores en la población global.

• En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

• p = 0.176• q = 1 – p = 1 – 0.176 = 0.824• Des stand = δ = p q

= 0.145 = 0.3808

• Error = 0.03677

0.176 – 0.03677 límite inferior

0.176 + 0.03677 límite superior

La proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza de 95%.

•   Se quiere estimar el resultado de un referéndum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n=100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra (suponemos que no hay indecisos para simplificar el problema a una variable dicotómica). Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.

• p a favor = 0.35

• q en contra= 0.65

• p = 0.35

• q = 1 – p = 1 – 0.35 = 0.65

• Des stand = δ = p q

= 0.2275 = 0.4769

• Error = 0.09347068

0.35 – 0.09347 límite inferior

0.35 + 0.09347 límite superior

La proporción del resultado del referendum varía entre (0,2565 , 0,4434) con una confianza de 95%.