Intro de complejos

8/18/2019 Intro de complejos

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1

Introducción a la topolog´ıa para análisis complejoIdelfonso Izquierdo Marquez

Universidad Juarez Autonoma de Tabasco

[email protected]

om

XIX Verano de la Investigacioń Cient´fica !e"artamento

de A"licación de Microcom"utadoras Instituto de

Ciencias# Universidad Autonoma de $uebla

%& de agosto de %''(

Resumen

Este reporte proporciona una introducción a la topolog´ıa usada en el análisiscom- plejo. Se comienza con un estudio de los nu´meros complejos y después seanalizan las caracter´ısticas más importantes de los principales tipos de conjuntos

definidos en espacios métricos.

Contenido

1 Nu´meros complejos 21)1 Con*untos))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))%

1)% +l cam"o de los nu´meros com"le*os )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ,1), +l nu´mer o i )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) -1). Con*ugacioń / valor absoluto ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) -1)0 +l "lano com"le*o)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

1)- $ro/eccion estereogr a´fica )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) &

2 Topolog´ıa 11%)1 +s"acios métr icos ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 11%)% Con*untos abiertos / cerrados)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))1%%), Con*untos cone2os))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))1-%). 3ucesiones))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))1&

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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%


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%)0 Con*untos com"letos))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))%'%)- Con*untos com"actos)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))%1

Bibliograf ́ ıa 23

1 Nu´meros complejos

1.1 Conjuntos

Un conjunto es una coleccioń bien definida de ob *etos) Comuńmente los con*untos sedenotan "or letras ma/u´sculas A, B , . . .) 4os ob *etos "ertenecientes al con *unto sonllamados sus elementos# / son denotados frecuentemente "or letras minu´sculas) $araindicar que un

ob*eto x "ertenece a un con*unto X se escribe x ∈ X # "ara indicar que x no "ertenece a X se escribe x ∈ / X )

4os con*untos se "ueden es"ecificar escribiendo sus elementos se"arados "or comas /encerrados entre llaves# "or e*em"lo A 5 { 1 , % , , , . , 0 } 6 o bien# dando una "ro"iedad quedescriba a los elementos del con*unto como en B 5 { x 7 x es entero , x > ' } # que se lee 8 Bes el con*unto de todos los x tal que x es un entero / x es ma/or que cero9)

+n la siguiente definición se introducen conce"tos mu/ im"ortantes usados en todo eldocumento7

Definicioń 1.1. 3ean A / B con*untos) A es un subconjunto de B# escrito como A ⊂ B# si cada elemento de A "ertenece tam bién a B) A es un super conjunto de B# escrito como A ⊃ B# si B ⊂ A) A ⊂ B o´ A ⊃ B no e2clu/e la "osibilidad de que A 5 B) Cuando A ⊂ B

"ero A ƒ5 B se dice que A es un subconjunto pr opio de B)

+n la definicion anterior se usaron los conce"tos de igualdad / desigualdad entre con: *untos) Una manera de definir la igualdad entre con*untos es decir que dos con*untos soniguales si contienen los mismos elementos ;no necesariamente en el mismo orden


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,

1)4a unión de dos con*untos A / B# denotada "or A ∪ B# es el con*unto A ∪ B 5 { x 7

x ∈ A o x ∈ B } # donde la o es utilizada en sentido inclusivo)

%)4a intersección de dos con*untos A / B# denotada "or A ∩ B# es el con*unto A ∩ B

5

{ x 7 x ∈ A, x ∈ B } ) 3i A ∩ B 5 ∅ se dice que A / B son disjuntos)

,)+l complemento relativo de un con*unto B con res"ecto de un con*unto A# denotado

"or A − B# es el con*unto A − B 5 { x 7 x ∈ A, x

∈ / conocido como la diferencia de A / B)

B } ) +ste con*unto tam bién

es

.)+l complemento absoluto o sim"lemente el complemento de un con*unto A# denotado "or Ac # es el con*unto Ac 5 { x 7 x ∈ U, x ∈ / A } ) Ac es también U − A)

>a/ también varias le/es o identidades que son u´tiles en las o"eraciones entre con*untos#el siguiente teorema enlista esas le/es7

Teorema 1.1. Leyes del algebra de conjuntos:

;a


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1) 3i x, y ∈ F # entonces su suma x A y esta´ en F )

2) x A y 5 y A x "ara todo x, y ∈ F )

3) ; x A y< A z 5 x A ; y A z < "ara todo x, y, z ∈ F )

!) +2iste un elemento ' ∈ F tal que ' x 5 x "ara cada x ∈ F )

") $ara cada x ∈ F e2iste un elemento − x ∈ F tal que x ;− x< 5 ')

#) 3i x, y ∈ F # entonces su "roducto xy esta´ en F )

$) xy 5 yx "ara todo x, y ∈ F )

%) ; xy


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3)

?;a, b< A ;c, d


7/32

3);a,b<

5 ;a,b< a

2 A b2

,

a2 Ab2

5a2 A b2

,a2 Ab2

5 ;1 , '


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11)

;a, b


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Definicio´n 1.$. +l valor absoluto de un nu´mero com"le*o z 5 a A bi# denotado "or | z | # es la r a´z cuadrada no negativa de zz B # es decir# | z | 5

√ zz B 5

√ a2 A b2)

4os siguiente teoremas muestran algunas "ro"iedades de la con*ugacio´n com"le*a / del valor obsoluto de los nu´mero com"le*os7

Teorema 1.2. Si z y w son nu´mer os complejos, entonces:

(a) z A w 5 z B A w B .

(b) z w 5 z B w B .

;c '. Si z 5 ', | z|5 '. ;b< |

z | 5 | z B | .

;c< | zw| 5 | z || w| .

;d< | z/w | 5 | z| / | w| , ;w ƒ 5 '


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&

Mediante esta re"resentaci´on geom´etrica de los nu´meros com"le*os# se observa que el valor absoluto de un nu´mero com"le*o es la distancia del origen al "unto que re"resenta al


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&

yw

P ;a, b<b

z 5 a A bi

O a

igura 17 +l nu´mero com"le*o z 5 a A bi en el "lano)

nu´mero# o equivalentemente# el valor absoluto es la longitud del vector z 5 a A bi# es decir#

| z | 5√

a2 A b2)

Con a/uda de esta re"resentaci´on geom´etrica# "uede definirse una medida de distancia

entre dos nu´meros com"le*os) !e este modo# si z / w son dos nu´meros com"le*os# entonces "or la definicion de distancia entre vectores d ; z, w< 5 | z − w| ;ver figura 1


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(

x3

N

Z x2

y z

x1 x

igura %7 $ro/eccio´n estereogr ́ afica)

+s "osible e2"resar las coordenadas del "unto ; Z ƒ5 N


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1'

t 5 1 se obtiene Z 5 N < se encuentra el valor t

1 − t 2 5 ;1 − t


14/32

11

z A z B 2

, x25 − ; z −

z B


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11

Con lo cual#.

z A

z B

.. z t A z B t

.

.

− ; z − z B


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1%

2 Topolog´ıa

2.1 Espacios métricos

Un es"acio métrico es un "ar ; X, d < donde X es un con*unto / d es una funcioń llamada funcí on de distancia o m étrica definida de X × X en R# la cual satisface las siguientescondiciones "ara x, y, z ∈ X 7


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1%

Þd ; x, y< ≥ ' Þd ; x, y< 5 ' ⇒⇐ x 5 y Þd

; x, y< 5 d ; y, x<

Þd ; x, z < ≤ d ; x, y< d ; y, z <

4a u ĺtima condicio´n es conocida como desigualdad del trí angulo# / "uede e2tenderse amas elementos# "or e*em"lo "ara x, y, z, w ∈ X se tiene que d ; x, w< ≤ d ; x, y< d ; y, z < d ; z,w


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xs

zst y

1,

Definicioń 2.2. Un con*unto ! ⊂ X es abierto si es una vecindad de cada uno de suselementos# es decir# si "ara cada x ∈ ! e2iste un > ' tal que B; x, < ⊂ !)

+l siguiente teorema afirma que una bola abierta es un con*unto abierto# la figura a/udaa clarificar la demostracion7

Teorema 2.1. na bola abierta es un conjunto abierto.

!emostración. 3ea B; x, ' "ara

elcual B; x, < ⊂ !k ⊂ " ) !e B; x, < ⊂ " se sigue que " es abierto)

;c< 3ea !1 , !2 , . . . , !n una colección de con*untos abiertos / sea " 5 Tn

!k ) 3i x ∈ " entonces x ∈ !k "ara # 5 1 , . . . , n) $uesto que cada !k es abierto se tiene que "ara

cada con*unto !k e2iste un k > ' tal que B; x, k < ⊂ !k ) 3ea 5 $in{ 1 , . . . , n } #entonces "ara todos los con*untos !k # B; x, < ⊂ !k # / aś B; x, < ⊂ " )

k =

k =


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1.

4os con*untos cerrados se definen a "artir de los con*untos abiertos7Definicioń 2.3. Un con*unto ! ⊂ X es cerrado si su com"lemento es abierto)

Teorema 2.3. n subconjunto ! de un espacio métrico X es abierto si y ś olo si su com"

plemento es cerrado.

!emostración. 3ea ! abierto# como ! 5 ;!c


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10

Definicio´n 2.". 4a cerr adura de A es el con*unto T

{ ! 7 ! es cerrado / ! ⊃ A } # es decir#la intersecci´on de todos los su"ercon*untos cerrados de A) +quivalentemente# la cerradurade A es el con*unto cerrado m ás "equenEo que contiene a A) 4a cerradura de A se denota

"or A−)


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10

Definicio´n 2.#. 4a frontera de A es la interseccí on entre la cerradura de A / la cerradurade Ac # es decir# el con*unto A− ∩ ; Ac


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1-

"orque Int A es la union de todos los subcon*untos abiertos de A)


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1-

;g


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1

"untos a, b ∈ X # con a < b se tiene que ;a, b< ⊂ X '# esta´ contenido en A) 3i un "unto cualquiera en este disco "uedeser unido a a mediante un "ol ́gono# entonces a2 también "uede ser unido a a mediante un "oĺgono# lo cual contradice la definicion de A2# luego todo el disco está en A2 / aś A2 es

abierto) Como A es cone2o / A1 es no vać o ;"orque contiene a a< se tiene# "or la definiciónde con*unto cone2o# que A2 es vać o) 4uego todos los "untos en A "ueden ser unidos a amediante un "ol ́gono# / de este modo cualesquiera dos "untos "ueden ser unidos entre ś

mediante un "ol ́gono usando a como un "unto intermedio)A=ora su "ońgase que A esta´ conformado "or dos con*untos abiertos dis*untos# A 5

A1 ∪ A2# luego A no es cone2o) 3u"ongase que a1 ∈ A1 "uede ser unido a a2 ∈ A2 medianteun segmento de recta) +ste segmento tiene una re"resentación "aramétrica z 5 a1 ;a2− a1


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1&

2.4 ,ucesiones

Muc=os conce"tos de la teoŕ a de es"acios métricos "ueden ser e2"resados en términos desucesiones# "or lo cual es im"ortante com"render los conce"tos basicos de las sucesiones)

Definicioń 2.11. Una sucesí on infinita o secuencia infinita es una funcion cu/o dominio esel con*unto de los enteros "ositivos)

+l contradominio de una sucesion "uede ser cualquier con*unto# en "articular si R es elcontradominio de una sucesion se obtiene una sucesion de nu´meros reales# / si el contrado:minio es C se obtiene una sucesioń de nu´meros com"le*os)

3i f es una sucesioń infinita# entonces a cada entero "ositivo # le corres"onde un valor f ;#


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1(

!emostraci´on. 4a funcion de distancia usada comu´nmente en C es el valor absoluto)

;a< $ara cualquier > ' e2isten enteros "ositivos N 1 / N 2 tales que si n ≥ N 1 , N 2# entonces

| n − | ' e2iste enteros N 1 / N 2 tales que si n ≥ N 1 , N 2 entonces | n − | <

√ # /| t n − t |


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%'

!emostrací on. 3u"ongase que A es cerrado / que x 5 lim xn donde cada xn "ertenece a A) As´ "ara cada > ' siem"re =a/ cuando menos un "unto de { xn } en B; x,


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%1

Teorema 2.1! ;Teorema de Cantor


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%%

Como un e*em"lo consid´erese el con*unto A 5 { z ∈ C 7 | z |


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%,

intersecci´on no vac´ıa, esto es T

{ F 7 F ∈ F } 5 ∅ .

!emostrací on. 3ea + ⊂ X com"acto / seaF es una coleccio´n de subcon*untos cerrados de + con la "ro"iedad de interseccion finita) 3u"ongase que

T{ F 7 F ∈ F } 5 ∅ # / sea


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%,

G 5 { X − F 7 F ∈ F } ) +ntoncesS

{ X − F 7 F ∈ F } 5 X −T

{ F 7 F ∈ F } 5 X − ∅ 5 X # "or la su"osición que se =izo) !e este modo G es un cubrimiento abierto de X # / en "articular es un cubrimiento abierto de + ) !ebido a que + es com"acto e2isten con*untos F 1 , F 2 , . . . , F n tales que + ⊂

Sn

; X − F k < 5 X −Tn

F k ) !e + ⊂ X −Tn

F k se obtieneTnk =1 F k ⊂ X − + # / "uesto que cada F k es subcon*unto de + # T

n F k debe ser el

con*unto vać o "ara que "ueda ser subcon*unto de X − + # lo cual contradice la "ro"iedad

de intersección finita de F ) $or lo tanto T

{ F 7 F ∈ F } 5 ∅ )

$or u´ltimo# se demuestra que todo es"acio métrico com"acto es com"leto)

Teorema 2.1$. n espacio métrico compacto es completo.

!emostración. 3ea X un es"acio métrico com"acto) +ntonces "ara cualquier coleccioń G

de con*untos cer rados de X que tenga la "ro"iedad de intersección finita se tiene que T

{ ! 7

! ∈ G } 5 ∅ )

3ea F una coleccioń de subcon*untos cerrados no vacós de X en la cual F 1 ⊃ F 2 ⊃ · · · / diam F n → ') !e esta forma F tiene la "ro"iedad de intersección finita "orquesiem"re que { F 1 , F 2 , . . . , F n } ⊂ F entonces F 1 ∩ F 2 ∩ · · · ∩ F n 5 F n ƒ5 ∅ ) D ademáscomo X escom"acto

T∞

F n ƒ5 ∅ # es decir# T∞

F n contiene al menos un elemento) $ero debido a que

diam F n → '#T∞ F n consiste de un solo elemento) +ntonces# "or el teorema de Cantor#

k = k = k =que

k =

n= n=

n=


32/32

X es com"leto)

Bibliograf ́ ıa

?1@Jo=n H) Cona/) (unctions of )ne $omplex *ariable) 3"ringer:Verlang# secondedition# 1(&)

?%@Jalter Kudin) +rinciples of at%ematical -nalysis) McLraI:>ill# t=ird edition# 1(-.)

?,@4ars V) A=lfors) $omplex -nalysis) McLraI:>ill# t=ird edition# 1(()

?.@4iang:3=in >a=n# and Hernard +"stein) $lassical $omplex -nalysis) Jones and Hartlett$ublis=ers# 1((-)

?0@3e/mour 4i"sc=utz) %eory and +roblems of /eneral opology ) McLraI:>ill# 1(-0)

Documents

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