Introduction to Introduction to Regge theory and soft PomeronRegge theory and soft Pomeron

K. Itakura (KEK)K. Itakura (KEK)

1st NIC (New Interaction Code) meeting 1st NIC (New Interaction Code) meeting

May 31th @ ICRR, KashiwaMay 31th @ ICRR, Kashiwa

はじめに： Pomeron は何処に出てくるのか

R.Engel, “Very High Energy Cosmic Rays and Their Interactions” Nucl. Phys. B(Proc. Suppl.) 151 (2006) 437. の第 3 章が現状を良くまとめてい

る以下抜粋• An analysis of the same data set with different hadronic interaction models c

an lead to a wide range of different results. (…) The largest uncertainty in EAS simulation stems from the unknown characteristics of hadronic multiparticle production.

• Three energy regions: 1. At very low energy (< a few GeV): production and decay of resonances 2. Intermediate energy (<103 GeV): fragmentation of two color strings 3. High energy (>103 GeV): minijet production and multiple parton- parton interaction becomes important• Central assumptions that characterize a model’s high energy extrapolation: 1. Size and energy dependence of the QCD minijet cross section 2. Distribution of partons in transverse space (profile function) 3. Scaling of leading particle distributions or scaling violation 4. Treatment of nuclear effects (semi-superposition model, Gribov-Glauber approximation, increased parton shadowing, etc)

はじめに： Pomeron は何処に出てくるのか

典型的なモデル： QGSJET vs SIBYLL ：最初の 2 つの点について大きく異なる2. Parton distributions

QGSJET01 “pre-HERA” parton distribution

SIBYLL 2.1 “post-HERA” parton distribution

1. Minijet transverse momentum cutoff （純粋に pQCD の領域） QGSJET01 energy independent constant cutoff ~ 1.5 GeV

SIBYLL energy-dependent cutoff

~1.5GeV at low energy, 8 GeV at 1020 GeV

gluon saturation の効果を反映させている 　　 (cutoff より低い運動量の取り扱いはどうしているか ?)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

　 QGSJET II QGSJET を “ post-HERA” data を扱えるように改良したもの　　　　　　　　　それでも、 cutoff は energy independent に取っている　　　　　　　　　その代わりに、この nonperturbative 領域を記述する　　　　　　　　　 soft Pomeron とその非線形相互作用を取り入れる。　 BBL SIBYLL2.1 に強い saturation の効果 (Black-disk limit) を取り入れた

もの　　　　　　　　 CGC(nonlinear hard Pomeron) の物理　（ soft な寄与は？）

kt2

dN/dkt2

1/kt2

高エネルギー極限高エネルギー極限　＝ Regge 極限　　「全散乱エネルギー」　≫　「反応における典型的運動量スケー

ル」

s=(pa+pb)2

s >> |t|

ハドロン・ハドロン散乱

t=(pa - pc)2

a

b

c

d

s

t

W2 =(p+q)2 -p の全散乱エネルギーの二乗Q2 =-q2 　　　　光子の仮想度

W2 >> Q2

或いは､ x ~ Q2 /(W2 + Q2 ) 0

陽子の深非弾性散乱

p

qee

ProtonCf) Bjorken limit: x=Q2/2pq を固定して　 Q2 ∞, 2p

q~ W2 + Q2 ∞

重心系散乱エネルギーの二乗

運動量移行の二乗

ソフトとハード反応における典型的運動量スケール μ と ΛQCD の比較　

　　　　　 ΛQCD ：　 QCD 結合定数が発散する運動量スケール　 ~ 200-4

00MeV

　　　　　　　　　例） 1 loop

ハード（摂動的）　　　　　 μ Λ≫ QCD 　

ソフト（非摂動的） 　 μ ＜ ΛQCD 　

～例）

• 散乱全断面積（光学定理から 前方散乱振幅　 t=0 　と関係）　　　　　　　• DIS における仮想光子・陽子散乱断面積

Q2 大→　摂動的に計算可能（因子化：ソフトとハードの分離が可能）　　 Q2 小　→　光子（ or vector meson ）と陽子のソフトな散乱、非摂動的

しかし 一般の物理量に対して明確にソフトとハードの分離がされているわけではない､

fs nQ

Q3

211 ,

)/ln(

4)( 02

QCD2

0

歴史的経緯QCD 前史1943 Heisenberg 　 S 行列の理論の提唱1958 Mandelstam 　 相対論的 S 行列の理論（ Mandelstam 変数の導入）1959 Regge 　　　　　 Regge 極の提唱（量子力学）1961 Chew-Frautschi 　相対論的「 Regge 理論」の完成　→　 soft Pomeron 　　　　　　 → その後、 dual resonance model, Veneziano amp, string theory

QCD 以後 1970 年代　　　 QCD の確立 1976-78 　 BFKL QCD による高エネルギー散乱（ LO-BFKL 方程式）の導出　　　　　　　　　　　　　→　“ hard Pomeron” ( 1993 ごろから HERA で観測 ) ~2000 NLO-BFKL の完成　→　さらにその再足しあげ

1983 GLR(Gribov-Levin-Ryskin) 初めて saturation を議論 . BFKL の変更 . CGC の原形 1986 Mueller-Qiu DLA(DGLAP の small-x limit) に対する非線形補正 1994 McLerran-Venugopalan 模型　高速で走る原子核の有効模型 2000 Iancu, McLerran, etc. 　 GLR を MV 模型から再定式化し、さらにそれを超えた　　　　　　　　　　　　　　 JIMWLK 方程式 , BK 方程式 (LO) 　繰り込み群的視

点 Color Glass Condensate 　（ 2001 Geometric scaling at HERA ） (2004 RHIC forward dAu)

線形

非線形

Regge 理論• ハドロンの自由度を用いた S 行列による散乱の記述• S 行列に対していくつかの要請をして、散乱振幅の可能な形（特に高エ

ネルギーでの）を規定していく• QCD 前史。しかし、いつかは QCD から説明されるべき• 特にハードかソフトかを限定していないが もともと摂動的な記述が不､

可能な領域を扱おうとしたもの

Kinematics (2 体散乱 )

s=(p1+p2)2

t=(p1 – p3)2

1

2

3

4

s

tu=(p1 – p4)2

Mandelstam 変数 ← Lorentz 不変

　　　　　　　　　　　　　　　独立な変数は２つのみ

それぞれの質量を mi

4

1

2

iimuts

散乱振幅を s と t の関数として表現

　　　　　　 A(s,t)

S 行列と散乱振幅• 定義

（注） Outstate |b,out> を instate の基底で表現すると <b,out|a,in>=<b,in| S |a,in> なる演算子 S を定義できる。

• S 行列に対する３つの要請

　　

　　　 I. 　 S 行列は Lorentz 不変な変数の関数　 2 体散乱なら　 S(s, t)

　　　 II. 　 Cutkosky則　→　光学定理　　　 III. S 行列は simple pole + cut の特異点構造を持つ

S 行列とは、その成分が状態 |a,in> から 状態 |b,out>への遷移行列要素　 Sba = <b, out|a, in>で与えられる行列。ここで、 |a,in> （ |b,out> ）は tinfinity (tinfinity) での漸近状態であり、それぞれ規格直交完全系をなす。

I. S 行列は Lorentz 不変である

II. S 行列はユニタリーである S+ S = S S+ = 1 ( 確率の保存 )

III. S 行列は複素化された Lorentz 不変量の解析関数であり、 ユニタリ性から許される特異点構造を持つ

要請 II の帰結• 散乱振幅 A(s,t)

• Cutkosky rule (S+S=1 より )

• Optical theorem 　（ Cutkosky rule で a=b とする）

baa

ab

bbaba AppiS )()2( 4

cabca

ac

cc

ba AAppA )()2(Im2 4

中間状態に可能な全ての状態 (c) について足しあげる

=2 Im

a b+ + …….

24 ||)()2(Im2 caa

ac

cc

aa AppA

前方散乱 t = 0 状態 a から任意の状態へ行く確率　←　全断面積

)0,(Im ||2

1

1

tsAsp

totalp1 は COM での入射粒子の運動量

可能な中間状態についての和中間状態 c の粒子についての和

要請 III の帰結• Cutkosky則 中間状態にｎ粒子の状態が効く･･･

1粒子状態

2粒子状態

n粒子状態

=2 Im

a b

…質量ｍの束縛状態　 → simple pole

2212)( ,

1pps

ms

2)2( 4),(Im mstsA

s > (2m)2 で連続であり ､ s = 4m2 を branch point として Cutが存在

s > (nm)2 で連続であり､ s = (nm)2 を branch point として Cut が存在

s

m2 4m2 9m2

他チャンネルの議論から

特異点構造

部分波展開と複素角運動量• 部分波展開　　

• 角運動量の複素化 (Sommerfeld-Watson 変換 )

非相対論的量子力学での散乱振幅 f() は角運動量の固有状態で展開

0

)(cos)()12()(l

ll Pkflf 部分波振幅　 Legendre 関数 (k は入射粒子の波数 )

同様にして（ t channel を主として見る。 s を t と散乱角 の関数とする）

t

szzPtaltzsA tt

ltllt

21cos ,)()()12()),((

0

)()1(sin

),()12(

2

1),( tl

l

CzP

l

tlaldl

itsA

l

実は a(l,t) は一意に決定できないが、角運動量の偶奇を分ければ、一意に解析接続可能→ “signature” =+, の導入

)(),(),(sin

12

2

1),( )()(

tlCzPtlatla

l

ldl

itsA

角運動量が偶 (+)／奇 () から作られる解析関数

Regge 極積分路の変更

l部分波振幅が Re l > 0 に一つ pole を持つとした

)(

)(~),(

tl

ttla

簡単のために signature は無視

i

i

tlt zPtlal

ldl

izP

t

ttsA

2/1

2/1

)(),(sin

12

2

1 )(

)(sin

)(~

),(

“Regge pole”

Regge pole は散乱振幅の高エネルギーでの振る舞いを支配する

　　 s 依存性は P( zt ) の　 zt=1+2s/t を通じて入るのみ　　 Regge limit s/|t| infinity では、線積分の寄与は無視できる　　　　　　　　

　　 Regge pole のうち、最も大きな Re の寄与のみを拾うと

これは、 t-channel に交換される spin の粒子のように見なせる

s/|t|sttsA t , )(),( )(

s/|t|

t

stsP ,

||~)/21(

“Reggeon”

Regge軌跡Regge軌跡

t channel に交換される粒子的な Reggeon が実際に物理的な粒子であるならば それを､ スピン J 　 質量 Mとすれば、「角運動量」 (t) に対して、次が成り立つはず。

JMt )( 2複素角運動量空間での pole が複素 t 空間でのpole に対応すると考えると､ と t の間の線形な関係が示唆される。

tt ')0()(

JMM 22 ')0()( つまり、角運動量 J と質量 M とが、関係づく

“Regge trajectory” (0) = 0.55 < 1 切片 ’ = 0.86 GeV –2 　　 傾き

Pomeron全断面積

Reggeon のように intercept が 1 より小さければ、全断面積は s infty で減少

Pomeranchuk の定理 (1956)

　　電荷の交換を伴う散乱の断面積は s infty でゼロになる。

Foldy-Peierls (1963)

s infty で断面積が減少しなければ その散乱過程は「真空と同じ量子､数」

　（ isospin 0, charge conjugation even ）の交換によって与えられる。

実験では、ハドロン・ハドロン散乱の全断面積の増加が観測されている。 Reggeon ( (0) < 1 ) とは異なる trajectory が存在する！

これを、 Pomeron と呼ぶ。 ( (0) > 1 )

1)0(~)0,(Im1

~ stsAstot

Pomeron vs exp. data (standard picture)

陽子・陽子、陽子・反陽子散乱

Donnachie-Landshoff, 1992 Pomeron + Reggeon で表現可P(0)=1.08 > 1, R(0)=0.55 < 1

ポメロン項が主要項で、 pp, ppbar で同じ依存性Reggeon の R(0)=0.55 は Regge 軌跡からの値と一致+p, p, p 散乱も同様に記述可

P(0)=1.08 をもつ exchange を“soft Pomeron” と呼ぶ

Fit region

pp, ppbar の弾性微分断面積から

　　’ P= 0.25 GeV

Pomeron の正体 ?

Pomeron trajectory

もし実際に粒子的なものなら　（ Reggeon の時と同様にして）

Spin 2 , M=1.9GeV の粒子　・・・・　 f2(1950) , JPC=2++

?? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　それとも、未知の glueball? 　　　

　　　　　（実在する粒子として見なせるかは未解決）

ttt PPP 25.008.1')0()(

)2( GeV 9.125.0

08.1 )( 2

J

JMJMtP

Beyond single Pomeron exchange

Froissart上限 1 Pomeron exchange による全断面積の増加は早すぎる。　　　部分波のユニタリ性から、全断面積に対して次の「上限」が導ける　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 Froissart 1

961, Martin 1966

(s0 は次元を合わせるために導入したパラメータ )

つまり、 1 Pomeron による表現は高エネルギーでは破綻するはず。　　　何らかの効果によって、変更を受ける。　　　　　　 多重 Pomeron交換、 Pomeron 相互作用　の効果（注意１）　 s0 が未定なので、直接実験と比較することは厳密にはできない。

　　　　　もし、典型的なハドロンスケールを選んで、 s0 ~ 1GeV2 とするなら、

　　　　　非常に大きな値になる。

（注意２）　係数は本当か ? 　カイラル極限では上限が無くなるのか ?

0

22

ln)(s

s

mstot

(LHC) TeV 14at barn 25

(Tevatron) TeV 8.1at barn 10ln

0

22 s

s

s

s

m

Froissart 上限の直観的説明Heisenberg (1952) 高エネルギー核子・核子散乱を核子を取り巻くメソン場の shock wave の衝突として記述した（！）

Total energy

Saturation is implicit

係数が 1/4だけ違うのみ！

実験データ再び陽子陽子全散乱断面積ln s, ln2 s (Froissart bound), or s(Pomeron) の比較最近の PDG は ln2 s とコンシステントだという COMPETE Collab. を採用

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B はプロセスに依らな

い

Fit には cosmic ray pp data of AKENO & Fly’s eye

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を含むS1/2 10 102 103 104 GeV

但し 係数､ B は Froissart上限のものより、遥かに小さい

従って、この log2 behavior を「ユニタリ性の現れ」と見なすのは微妙…

なお、 CGC は dipole-proton の全断面積に対して COMPETE に近い値を与える

/m2 = 62 mb

LO BFKL B = 2.09 ~ 8.68 mb (S=0.1 ~ 0.2) 　　 rNLO BFKL B = 0.446 mb (S=0.1 )

Pomeron 相互作用• Single diffractive event

実験データから triple Reggeon vertex が決定できる

→ 　より高エネルギーでは、多重 Pomeron の交換や　　　 Pomeron同士の相互作用などが効いてきて、　　　単純な１ Pomeron交換の描像を書き換える　　　（ Reggeon Field Theory という「有効模型」）

まとめ +

• ハドロンの高エネルギー散乱は、 S 行列の理論に基づいて自然に導入される「 Pomeron 」や「 Reggeon 」を交換すると考えて表現できる。それらは高エネルギーで断面積にエネルギーのべきで寄与し 特に､ ､ Pomeron はエネルギー増加とともに増加し 断面積の主要な寄与を与える。､

• １ Pomeron交換は、ある程度は実験結果を記述するが 非常に高エネル､ギーでは破綻するはず（ Froissart上限）。　多重 Pomeron交換､ Pomeron 相互作用などが効いてくる。

• 今後明らかにすべきは、ハードとソフトの寄与の interplay. 実際に必要なのは、 forward cross sectionだろうが、それがどれほど soft Pomeronで記述され、 hard, semi-hard の寄与がどれくらいあるのか ?

Soft (soft Pomeron, string)

Semi-hard (CGC)

Hard (pQCD)

energy

“cross section”