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Leonardo Paris

Dal problema inverso della prospettivaal raddrizzamento fotografico

con un contributo di Wissam Wahbeh

Copyright © MMXIVaRaCNE editrice S.r.l.

www.aracneeditrice.itinfo@aracneeditrice.it

via Raffaele Garofalo, 133/a–B00173 Roma

(06) 93781065

isbn 978–88–548–7387–2

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,

con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: luglio 2014

Un ringraziamento speciale a Cecilia per tutto. Ringrazio anche Achille per il suo impareggiabile sostegno scientifico e umano. Ringrazio infine Wissam che ha curato con grande impegno e dedizione la seconda parte di questo volume.

Indice

Introduzione

Parte I - Dalla prospettiva alla fotogrammetria

1. Il problema inverso della prospettiva2. I trattati scientifici tra teoria e pratica3. Restituzione prospettica e fotogrammetria4. Dalla fotogrammetria analogica a quella digitale5. Analogie tra prospettiva e fotografia

Parte II - Il raddrizzamento fotografico (a cura di Wissam Wahbeh)

1. La calibrazione dell’immagine fotografica2. La scala di rappresentazione3. La presa fotografica4. Il raddrizzamento 5. Esemplificazioni

GlossarioBibliografiaIndice dei nomi

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139151155169179

191195201

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IntroduzioneNoi che disegnamo lo facciamo

non solo per rendere visibile qualcosa agli altri, ma anche per accompagnare qualcosa di invisibile

alla sua incalcolabile destinazione.John Berger, Il taccuino di Bento

Uno dei più interessanti ambiti di studio che costituiscono il corpo dellascienza della rappresentazione è quello che indaga le relazioni che si in-staurano tra la realtà e le sue rappresentazioni nelle proiezioni centrali,per cui è possibile, utilizzando i principi geometrici, risalire alla cono-scenza oggettiva partendo da una sua raffigurazione. Questi principisono oggi il fondamento della fotogrammetria, cioè quella disciplina checonsente di rilevare il territorio, i monumenti, le architetture, le scultureecc. utilizzando immagini fotografiche.

Nell’evoluzione storica della scienza della rappresentazione il pro-blema che è alla base della fotogrammetria, affonda le sue radici già nelRinascimento, cioè nel momento in cui viene scoperta la “prospettivaartificiale”. L’aspetto determinante che è alla base della fotogrammetriae che deriva direttamente dalla prospettiva è quella corrispondenza biu-nivoca di tipo proiettivo che si instaura tra la realtà, per sua natura tridi-mensionale, e una sua rappresentazione su un piano a due dimensioni.

È importante sottolineare l’influenza che ha avuto la rigorosa impo-stazione matematica riscontrabile nei primi trattati del ’600 in cui perla prima volta viene esplicitamente posto il problema, meglio conosciutocome “problema inverso della prospettiva” e cioè del passaggio dalla

Introduzione8

immagine ad una conoscenza oggettiva della realtà raffigurata. Questotema ha subìto una lenta maturazione durante un arco di tempo che vaappunto dalla nascita della prospettiva fino alla metà dell’800, sempreperò strettamente legato agli sviluppi della prospettiva stessa. Se da unlato, la possibilità di raffigurare su un quadro una realtà tridimensionalecome se questa fosse vista da un occhio umano diviene subito di grandedivulgazione e trova grandi consensi in tutti gli ambienti scientifici edartistici, dall’altro, viceversa, la possibilità, attraverso un procedimentografico per così dire a ritroso, di ricavare dati oggettivi da un disegnonon trova per lungo tempo una divulgazione applicativa tale da potergiustificare un altrettanto generale interessamento scientifico. In ognicaso già diverso tempo prima della scoperta della fotografia, nei primidecenni dell’800, si erano sperimentate numerose procedure di restitu-zione prospettica e già erano stati formulati i passaggi fondamentali allabase della fotogrammetria.

Una svolta importante nell’800 sta nella sempre maggiore consape-volezza, da parte di molti studiosi appartenenti alle varie scuole europee,delle grandi potenzialità applicative insite nel metodo di restituzioneprospettica di disegni con specifico riferimento alle problematiche di ri-levamento architettonico e topografico. Tanto più in questi disegni si ri-duce la componente soggettiva di interpretazione della realtà da partedel disegnatore (soprattutto grazie al perfezionarsi delle macchine perdisegnare) tanto più viene aumentando questa consapevolezza. Occorrestabilire subito delle regole precise e dettagliate di interpretazione rigo-rosa del disegno al fine di determinare quanto più possibile oggettiva-mente gli elementi di base per la restituzione. La scoperta dellafotografia, con la quale in un tempo brevissimo si riesce, meccanica-mente, ad "imprigionare" una infinità di dati oggettivi senza ricorrereall’ausilio del disegnatore, produce come effetto immediato un’accen-tuazione del problema della interpretazione critica, preliminare al pro-cedimento di restituzione grafica vera e propria.La fotogrammetriaquindi subisce questa fondamentale trasformazione: nasce come sem-plice applicazione del procedimento inverso della prospettiva e divienein seguito strumento importantissimo di indagine una volta verificata lavalidità metrica della relazione biunivoca che si instaura tra immagine

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immagine ad una conoscenza oggettiva della realtà raffigurata. Questotema ha subìto una lenta maturazione durante un arco di tempo che vaappunto dalla nascita della prospettiva fino alla metà dell’800, sempreperò strettamente legato agli sviluppi della prospettiva stessa. Se da unlato, la possibilità di raffigurare su un quadro una realtà tridimensionalecome se questa fosse vista da un occhio umano diviene subito di grandedivulgazione e trova grandi consensi in tutti gli ambienti scientifici edartistici, dall’altro, viceversa, la possibilità, attraverso un procedimentografico per così dire a ritroso, di ricavare dati oggettivi da un disegnonon trova per lungo tempo una divulgazione applicativa tale da potergiustificare un altrettanto generale interessamento scientifico. In ognicaso già diverso tempo prima della scoperta della fotografia, nei primidecenni dell’800, si erano sperimentate numerose procedure di restitu-zione prospettica e già erano stati formulati i passaggi fondamentali allabase della fotogrammetria.

Una svolta importante nell’800 sta nella sempre maggiore consape-volezza, da parte di molti studiosi appartenenti alle varie scuole europee,delle grandi potenzialità applicative insite nel metodo di restituzioneprospettica di disegni con specifico riferimento alle problematiche di ri-levamento architettonico e topografico. Tanto più in questi disegni si ri-duce la componente soggettiva di interpretazione della realtà da partedel disegnatore (soprattutto grazie al perfezionarsi delle macchine perdisegnare) tanto più viene aumentando questa consapevolezza. Occorrestabilire subito delle regole precise e dettagliate di interpretazione rigo-rosa del disegno al fine di determinare quanto più possibile oggettiva-mente gli elementi di base per la restituzione. La scoperta dellafotografia, con la quale in un tempo brevissimo si riesce, meccanica-mente, ad "imprigionare" una infinità di dati oggettivi senza ricorrereall’ausilio del disegnatore, produce come effetto immediato un’accen-tuazione del problema della interpretazione critica, preliminare al pro-cedimento di restituzione grafica vera e propria.La fotogrammetriaquindi subisce questa fondamentale trasformazione: nasce come sem-plice applicazione del procedimento inverso della prospettiva e divienein seguito strumento importantissimo di indagine una volta verificata lavalidità metrica della relazione biunivoca che si instaura tra immagine

Introduzione 9

e realtà non solo nei suoi aspetti quantitativi ma anche e soprattutto neisuoi valori qualitativi. La fotogrammetria non è semplicemente un me-todo per ricavare misure oggettive, ma anche uno strumento per indagaree conoscere la realtà nei suoi aspetti più complessi di interrelazione trale parti, cioè uno strumento di lettura critica della realtà stessa. Questanuova concezione, maturata soprattutto a cavallo del secolo scorso, incui coesistevano i due aspetti, quello grafico e quello critico, potremmodire quello quantitativo e quello qualitativo, subisce un’ulteriore trasfor-mazione, questa volta sicuramente più traumatica, con la nascita dellafotogrammetria analitica. Si assiste quindi al superamento di quello cheper secoli era stato l’aspetto predominante e forse anche più affascinantedel metodo, cioè quello di ottenere un modello geometrico della realtàsenza toccarla o addirittura senza averla mai vista, utilizzando procedureesclusivamente grafiche; con le nuove procedure è possibile risalire almedesimo modello geometrico passando attraverso il dato numerico incui le informazioni raccolte possono essere utilizzate in maniera più ver-satile a seconda dei diversi scopi. La crescente esigenza di penetraresempre più in profondità questa realtà, fin nei più minimi particolari,sommata alla ormai improrogabile necessità di manipolare e gestire apiacimento i dati ottenuti, superando i limiti imposti dal passaggio gra-fico, hanno rappresentato la spinta maggiore verso una conoscenza nu-merica dell’oggetto rilevato che è stata alla base della fotogrammetriaanalitica. Un’ulteriore spinta innovativa è stata data dalla grande capa-cità elaborativa introdotta dalla rivoluzione informatica che ha di fattosoppiantato, nell’arco di un decennio, la fotogrammetria analitica.

Viviamo oggi nell’era della fotogrammetria digitale; non si produ-cono più le immagini analogiche su pellicola. Non si esegue più la re-stituzione per via grafica perché le possibilità di modificazione delleimmagini digitali è tale da poter eseguire facilmente dei raddrizzamenti.Si stanno sempre più affermando gli algoritmi di riconoscimento auto-matico di punti omologhi su immagini distinte di uno stesso oggetto im-plementando gli automatismi della fotogrammetria multimmagine egenerando modelli tridimensioni anche molto affidabili.

La sensazione che si ha quando si devono gestire oggi immagini di-gitali per scopi metrici e di ricostruzione della forma è quella di uno

Introduzione10

scollamento rispetto ai principi teorici della fotogrammetria rimasti in-vece invariati, ma dei quali non si ha la piena consapevolezza e il suffi-ciente controllo nel momento in cui si devono gestire situazioniparticolari, ingenerando così errori anche grossolani.

Questa constatazione è molto evidente, per esempio, nelle proceduredi raddrizzamento fotografico (spesso utilizzate negli ambienti tecnicidell’architettura e dell’ingegneria) che sono parte integrante della foto-grammetria e che pertanto si è ritenuto opportuno inserire in questabreve trattazione. L’obiettivo della seconda parte di questo libro non èperò quello di fornire un manuale operativo per il raddrizzamento foto-grafico ma di restituire una dignità scientifica a questa modalità opera-tiva di gestione di informazioni e dati desumibili da una immaginefotografica; una dignità scientifica basata su un metodo che si è storica-mente consolidato sulla base di principi in gran parte ancora attuali edai quali se ne sono aggiunti di nuovi, specifici della tecnologia digitale.

La storia di questo libro inizia esattamente vent’anni fa quando co-minciai ad occuparmi di fotogrammetria nel Dottorato di ricerca. Nel1995 discussi la tesi Fotogrammetria teorica. Teoria ed applicazionipratiche. L’argomento trattato aveva la particolarità di coniugare i mieiinteressi per la Geometria Descrittiva e per il rilievo strumentale. Eroaffascinato dalla fotogrammetria analitica e dalla sua forte scientificitàdel metodo che si basava sulla necessità di individuare ed applicare tuttequelle accortezze tali da ancorare in maniera indissolubile un modello,il modello fotogrammetrico, alla realtà architettonica in esso rappresen-tata. Mi affascinava la correlazione diretta con il corrispondente modellotridimensionale che era possibile generare come emanazione diretta delmodello fotogrammetrico; che è poi il principio di base della GeometriaDescrittiva, cioè l’individuazione della connessione diretta tra lo spazioreale (o anche semplicemente immaginato del progetto) e le sue molte-plici rappresentazioni, grafiche o informatiche.

Nel 2000 elaborai i risultati di questa ricerca in un libro edito daKappa dal titolo Il problema inverso della prospettiva nel quale mettevoin relazione gli studi storici con le applicazioni che erano, ancora, di na-tura analogica, cioè riguardavano quelle procedure di restituzione pro-

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scollamento rispetto ai principi teorici della fotogrammetria rimasti in-vece invariati, ma dei quali non si ha la piena consapevolezza e il suffi-ciente controllo nel momento in cui si devono gestire situazioniparticolari, ingenerando così errori anche grossolani.

Questa constatazione è molto evidente, per esempio, nelle proceduredi raddrizzamento fotografico (spesso utilizzate negli ambienti tecnicidell’architettura e dell’ingegneria) che sono parte integrante della foto-grammetria e che pertanto si è ritenuto opportuno inserire in questabreve trattazione. L’obiettivo della seconda parte di questo libro non èperò quello di fornire un manuale operativo per il raddrizzamento foto-grafico ma di restituire una dignità scientifica a questa modalità opera-tiva di gestione di informazioni e dati desumibili da una immaginefotografica; una dignità scientifica basata su un metodo che si è storica-mente consolidato sulla base di principi in gran parte ancora attuali edai quali se ne sono aggiunti di nuovi, specifici della tecnologia digitale.

La storia di questo libro inizia esattamente vent’anni fa quando co-minciai ad occuparmi di fotogrammetria nel Dottorato di ricerca. Nel1995 discussi la tesi Fotogrammetria teorica. Teoria ed applicazionipratiche. L’argomento trattato aveva la particolarità di coniugare i mieiinteressi per la Geometria Descrittiva e per il rilievo strumentale. Eroaffascinato dalla fotogrammetria analitica e dalla sua forte scientificitàdel metodo che si basava sulla necessità di individuare ed applicare tuttequelle accortezze tali da ancorare in maniera indissolubile un modello,il modello fotogrammetrico, alla realtà architettonica in esso rappresen-tata. Mi affascinava la correlazione diretta con il corrispondente modellotridimensionale che era possibile generare come emanazione diretta delmodello fotogrammetrico; che è poi il principio di base della GeometriaDescrittiva, cioè l’individuazione della connessione diretta tra lo spazioreale (o anche semplicemente immaginato del progetto) e le sue molte-plici rappresentazioni, grafiche o informatiche.

Nel 2000 elaborai i risultati di questa ricerca in un libro edito daKappa dal titolo Il problema inverso della prospettiva nel quale mettevoin relazione gli studi storici con le applicazioni che erano, ancora, di na-tura analogica, cioè riguardavano quelle procedure di restituzione pro-

Introduzione 11

spettica definite in alcuni testi come fotogrammetria elementare. Quellibro aveva anche delle finalità didattiche perché era usuale nelle Facoltàdi Architettura, quando si spiegava la prospettiva, approfondire anche ilproblema inverso come esercitazione atta a consolidare i passaggi logicidel metodo della proiezione centrale. In quegli anni la fotografia digitale,benchè già diffusa, non riusciva ancora a garantire l’accuratezza delleimmagini analogiche, soprattutto di quelle cosiddette metriche dedicateal rilievo fotogrammetrico.

La tecnologia digitale ha reso obsolete, nell’arco di pochi anni, tantecose; così è stato per la fotografia analogica, così è stato per la fotogram-metria analitica. Negli ultimi dieci anni le immagini digitali hanno rag-giunto un livello di accuratezza e di manipolazione inimmaginabili finoa pochi anni prima. Pensiamo ad esempio all’uso delle gigafoto o ai pa-nomami sferici che non hanno praticamente limiti se non quelli di cal-colo nella loro elaborazione. Ma come detto prima la sensazione è chel’utilizzo di queste immagini e dei software di gestione per un uso me-trico siano conseguenza esclusiva del digitale e non invece il prodottodi una riconversione.

Da qui la volontà di non disperdere quanto riportato nel libro del 2000ma di riproporlo sotto una nuova luce, in cui la vecchia restituzione pro-spettica da fotogramma singolo si è tramutata nel raddrizzamento foto-grafico. Concetti come proiezione centrale, quadro, distanza principale,orientamento interno, scala della rappresentazione, omologia di ribalta-mento, rappresentazione ortografica non sono superati; si ritrovano tuttinel raddrizzamento fotografico, in alcuni casi con differenti denomina-zioni in conseguenza dell’introduzione di termini anglosassoni, altri im-plementati da definizioni proprie del digitale, come per esempio il pixel,il punto di legame, la calibrazione, la risoluzione, lo stitching o il groun-dpixel.

Lo scopo della seconda parte di questo libro, curata da Wissam Wah-beh che nel 2012 ha discusso una tesi di dottorato dal titolo ArchitecturalDigital Photogrammetry. Panoramic Image-based Interactive Model-ling, è quella di far capire quali implicazioni si celano dietro la banaledistorsione di una fotografia in cui è rappresentata per esempio la fac-ciata di un edificio e quali conseguenze si possono avere se si perde di

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vista la correlazione proiettiva con lo spazio rappresentato. Nella riorganizzazione logica di questo libro c’è stata la necessità di

mettere in evidenza la continutà storica delle diverse fasi di trasforma-zione della fotogrammetria, da analogica a digitale passando per l’ana-litica. Ho inserito pertanto nella prima parte un nuovo capitolo (il quarto)che sintetizza gli aspetti teorici ed applicativi della moderna fotogram-metria e le modificazioni intervenute negli ultimi anni in continuità conle fasi precedenti. Il capitolo è, in parte, la riproposione di una mia pub-blicazione che ho curato nell’ambito di una ricerca nazionale Prin 2008coordinata da Riccardo Migliari. Il contributo si intitola Fotogrammetriae/o fotomodellazione e contiene anche una breve disamina sulle ragioniscientifiche di un neologismo diventato imperante in questi ultimi annima spesso, ancora oggi, utlizzato nel mondo accademico con poca at-tenzione. Colgo l’occasione per riproporre anche in questa sede i terminidella questione così come sono stati posti allora.

Il quadro complessivo delle ricerche che si muovono nell’ambitodella fotogrammetria / fotomodellazione è alquanto complesso ed incontinua e rapida evoluzione proprio perché strettamente correlate aduna tecnologia, quella digitale, che vive di continue contaminazioni in-terdisciplinari.

Entrando nel merito della questione è lecito cercare di capire se lafotomodellazione è da considerarsi come una ramo della fotogrammetriao se invece l’humus digitale ha dato vita ad una nuova pianta con un co-dice genetico in parte o in tutto derivato dalla pianta madre.

La distinzione credo non è di poco conto perché, continuando la me-tafora vegetale, nel primo caso si assisterebbe ad un energico rinvigori-mento di una disciplina scientifica con già un secolo e mezzo di storia,nel secondo caso non resta che continuare a coltivare la nuova pianta evedere inesorabilmente appassire la vecchia.

La mia risposta, dettagliatamente motivata, è alla fine del quarto ca-pitolo.

Leonardo Paris

Introduzione

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vista la correlazione proiettiva con lo spazio rappresentato. Nella riorganizzazione logica di questo libro c’è stata la necessità di

mettere in evidenza la continutà storica delle diverse fasi di trasforma-zione della fotogrammetria, da analogica a digitale passando per l’ana-litica. Ho inserito pertanto nella prima parte un nuovo capitolo (il quarto)che sintetizza gli aspetti teorici ed applicativi della moderna fotogram-metria e le modificazioni intervenute negli ultimi anni in continuità conle fasi precedenti. Il capitolo è, in parte, la riproposione di una mia pub-blicazione che ho curato nell’ambito di una ricerca nazionale Prin 2008coordinata da Riccardo Migliari. Il contributo si intitola Fotogrammetriae/o fotomodellazione e contiene anche una breve disamina sulle ragioniscientifiche di un neologismo diventato imperante in questi ultimi annima spesso, ancora oggi, utlizzato nel mondo accademico con poca at-tenzione. Colgo l’occasione per riproporre anche in questa sede i terminidella questione così come sono stati posti allora.

Il quadro complessivo delle ricerche che si muovono nell’ambitodella fotogrammetria / fotomodellazione è alquanto complesso ed incontinua e rapida evoluzione proprio perché strettamente correlate aduna tecnologia, quella digitale, che vive di continue contaminazioni in-terdisciplinari.

Entrando nel merito della questione è lecito cercare di capire se lafotomodellazione è da considerarsi come una ramo della fotogrammetriao se invece l’humus digitale ha dato vita ad una nuova pianta con un co-dice genetico in parte o in tutto derivato dalla pianta madre.

La distinzione credo non è di poco conto perché, continuando la me-tafora vegetale, nel primo caso si assisterebbe ad un energico rinvigori-mento di una disciplina scientifica con già un secolo e mezzo di storia,nel secondo caso non resta che continuare a coltivare la nuova pianta evedere inesorabilmente appassire la vecchia.

La mia risposta, dettagliatamente motivata, è alla fine del quarto ca-pitolo.

Leonardo Paris

Introduzione

Parte I

DALLA PROSPETTIVA ALLA FOTOGRAMMETRIA

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L’origine della prospettiva è stata oggetto di innumerevoli approfondi-menti da parte dei più illustri studiosi pur rimanendo ancora oggi av-volta da un alone di incertezza e di contraddittorietà. La questioneprincipale rimasta ancora insoluta è se il passaggio dalla prospettiva na-turale a quella artificiale ha avuto una sua lenta e costante maturazionenei corso dei secoli o se è da ritenersi prerogativa esclusiva e identifica-tiva del Rinascimento.

L’indagine sul problema inverso della prospettiva presenta evidente-mente le medesime problematiche. Possiamo sicuramente affermare chela restituzione prospettica, vista nella sua componente di relazione biu-nivoca tra realtà e rappresentazione bidimensionale, nasce contempora-neamente all’invenzione della prospettiva stessa. Nell’attività di FilippoBrunelleschi molti studiosi intravedono una svolta decisiva nella defi-nizione del procedimento prospettico moderno. Nelle sue tavolette pro-spettiche egli riassume, anche se in modo del tutto empirico, i concettibasilari della prospettiva. Mario Fondelli trae le seguenti conclusioni:“...,il Brunelleschi sembra aver intuito, primo fra tutti, l’importanza del pro-cesso di restituzione per proiezione ottica, tuttora applicato nella mo-

Capitolo 1

Il problema inverso della prospettiva

Parte I, Dalla prospettiva alla fotogrammetria16

derna fotogrammetria (fig. 1). È fuori di dubbio che Filippo Brunelleschipuò essere ritenuto, a pieno diritto, oltre che l’inventore della prospet-tiva, anche inventore, o fondatore, della moderna fotogrammetria”1.

Massimo Scolari sottolinea inoltre come in Brunelleschi viene ma-turando la consapevolezza di poter misurare oggetti attraverso semplicioperazioni di intersezione della piramide visiva: “Ed è legittimo chie-dersi se la prospettiva si sia sviluppata all’interno di una problematicapittorica o non ne sia piuttosto un’applicazione derivata dalla misura-zione a vista degli edifici, vale a dire dal rilievo architettonico. ScriveAntonio Manetti che Donatello e Brunelleschi nel rilievo di quasi tuttigli edifici di Roma certificavano le altezze mediante strisce di perga-mene...con numero d’abaco.... Non è improbabile che, proprio nel mi-surare altezze e larghezze degli edifici romani con un traguardograduato, Brunelleschi avesse compreso come le misure apparenti va-riavano in modo inversamente proporzionale alla distanza; e che in de-

finitiva le strisce di pergamenacon numero d’abaco, materia-lizzando un piano a distanzafissa dall’occhio, rilevavano laprospettiva della dimensionereale”2. Nella biografia di An-tonio Manetti è riportata la de-s c r i z i o n e d e l l ’ a p p a r a t oprospettico improntato daBrunelleschi per dimostrare insitu l’efficacia della sua sco-perta (fig. 2). La prospettiva èverificata nel momento in cuiquesta viene osservata po-nendo l’occhio in un puntoben preciso rispetto al dise-gno; completato in questomodo l’orientamento internooccorre riposizionare l’interoapparato prospettico nella sua

Fig. 1La Tavoletta di San Giovanni, schema di co-struzione a partire dalla pianta al suolo e inelevazione del Battistero, A.Parronchi, Studisu la dolce prospettiva, fig. 90 Foto Bibl.Naz.Parigi

Parte I, Dalla prospettiva alla fotogrammetria16

derna fotogrammetria (fig. 1). È fuori di dubbio che Filippo Brunelleschipuò essere ritenuto, a pieno diritto, oltre che l’inventore della prospet-tiva, anche inventore, o fondatore, della moderna fotogrammetria”1.

Massimo Scolari sottolinea inoltre come in Brunelleschi viene ma-turando la consapevolezza di poter misurare oggetti attraverso semplicioperazioni di intersezione della piramide visiva: “Ed è legittimo chie-dersi se la prospettiva si sia sviluppata all’interno di una problematicapittorica o non ne sia piuttosto un’applicazione derivata dalla misura-zione a vista degli edifici, vale a dire dal rilievo architettonico. ScriveAntonio Manetti che Donatello e Brunelleschi nel rilievo di quasi tuttigli edifici di Roma certificavano le altezze mediante strisce di perga-mene...con numero d’abaco.... Non è improbabile che, proprio nel mi-surare altezze e larghezze degli edifici romani con un traguardograduato, Brunelleschi avesse compreso come le misure apparenti va-riavano in modo inversamente proporzionale alla distanza; e che in de-

finitiva le strisce di pergamenacon numero d’abaco, materia-lizzando un piano a distanzafissa dall’occhio, rilevavano laprospettiva della dimensionereale”2. Nella biografia di An-tonio Manetti è riportata la de-s c r i z i o n e d e l l ’ a p p a r a t oprospettico improntato daBrunelleschi per dimostrare insitu l’efficacia della sua sco-perta (fig. 2). La prospettiva èverificata nel momento in cuiquesta viene osservata po-nendo l’occhio in un puntoben preciso rispetto al dise-gno; completato in questomodo l’orientamento internooccorre riposizionare l’interoapparato prospettico nella sua

Fig. 1La Tavoletta di San Giovanni, schema di co-struzione a partire dalla pianta al suolo e inelevazione del Battistero, A.Parronchi, Studisu la dolce prospettiva, fig. 90 Foto Bibl.Naz.Parigi

1. Il problema inverso della prospettiva 17

esatta collocazione spaziale, opera-zione assimilabile a quello che ogginoi chiamiamo orientamento asso-luto. Da notare come nell’apparen-temente complicato gioco diriflessione improntato da Brunelle-schi per fondere in un’unica visioneelementi naturali ed artificiali dandopiù forza e meraviglia alla sua di-mostrazione, il punto di vista, mate-rializzato da un foro di forma conica(il cono visivo), coincide con ilpunto principale cioè con il punto difuga delle rette ortogonali al quadro.

Siamo nella prima metà del ’400.Occorre però attendere quasi 150 anni affinché l’intuizione geniale diBrunelleschi si concretizzi nel “problema inverso della prospettiva”;questa volta non nei termini empirici brunelleschiani tramandati dai suoibiografi ma in un vero e proprio trattato scientifico di prospettiva. Il trat-tato in questione è il Perspectivae Libri Sex di Guidobaldo del Monte,noto matematico pesarese ed allievo di Federico Commandino. Nel trat-tato3, pubblicato a Pesaro nel 1600, troviamo, nel secondo libro oltre ainumerosi esempi con i quali viene descritto il procedimento prospettico,la risoluzione di un problema di ricostruzione geometrica di punti deiquali sia nota l’immagine prospettica, ed anche la determinazione delpunto di vista quando siano note due rette, una delle quali immagineprospettica dell’altra (figg. 3 - 4).

Al di là degli esempi che certo non permettono di intravedere unavera e propria teoria della restituzione prospettica, vale comunque l’al-tissimo valore teorico di questa opera in cui la prospettiva, vista anchenei suoi innumerevoli risvolti geometrici, si eleva a vera e propria di-sciplina scientifica gettando le basi per nuovi ed originali contributi.

Non è un caso che proprio nel trattato di Guidobaldo compaia per laprima volta un problema di restituzione prospettica. Questa concomi-tanza deriva essenzialmente dall’importanza che il trattato in questione

Fig. 2Il primo esperimento di Brunelleschi;

istruzioni per l’uso della tavoletta.

Parte I, Dalla prospettiva alla fotogrammetria18

riveste nell’evoluzione storica della prospettiva stessa.L’opera è senza dubbio il primo vero trattato sistematico di prospet-

tiva che segna il definitivo passaggio di mano di questa disciplina daipittori ai matematici. Qui troviamo dimostrata per la prima volta la pro-prietà dei punti di fuga (punti di concorso).

Il trattato è la testimonianza concreta di quel cambiamento culturale,in atto già dalla seconda metà del XVI secolo, che porta i matematici,ed in particolare i geometri, ad interessarsi sempre più della disciplinaa scapito di tutti quegli operatori empirici, a cui sicuramente spetta ilmerito della spinta iniziale ma che, a lungo andare, diventano anchecausa di un inaridimento scientifico riducendo la disciplina ad una fattopuramente meccanico e ripetitivo (vedi schede con figg. da 5 a 10).

Figg. 3 - 4Perspectivae Libri SexFrontespizio e pagina in cui viene spiegato uno dei casi del problema inverso.

Parte I, Dalla prospettiva alla fotogrammetria18

riveste nell’evoluzione storica della prospettiva stessa.L’opera è senza dubbio il primo vero trattato sistematico di prospet-

tiva che segna il definitivo passaggio di mano di questa disciplina daipittori ai matematici. Qui troviamo dimostrata per la prima volta la pro-prietà dei punti di fuga (punti di concorso).

Il trattato è la testimonianza concreta di quel cambiamento culturale,in atto già dalla seconda metà del XVI secolo, che porta i matematici,ed in particolare i geometri, ad interessarsi sempre più della disciplinaa scapito di tutti quegli operatori empirici, a cui sicuramente spetta ilmerito della spinta iniziale ma che, a lungo andare, diventano anchecausa di un inaridimento scientifico riducendo la disciplina ad una fattopuramente meccanico e ripetitivo (vedi schede con figg. da 5 a 10).

Figg. 3 - 4Perspectivae Libri SexFrontespizio e pagina in cui viene spiegato uno dei casi del problema inverso.

1. Il problema inverso della prospettiva 19

La dualità, sintetizzata nel binomio teorico-pratico, sarà l’elementoricorrente di tutti i trattati a seguire, a partire proprio da Guidobaldo;elemento capace di condizionarne anche la maggiore o minore diffu-sione. Non sfugge a questa regola il Perspectivae Libri Sex; “tutti coloroche studiarono quest’opera furono compresi d’ammirazione per il suoautore e se il numero di cotali estimatori non è legione gli è che i mate-matici ritennero trattarsi di uno scritto destinato agli artisti e questi, perla maggior parte, trovarono ostico e duro un trattato scritto nel più purostile euclideo”4. Guidobaldo rappresenta anche uno degli ultimi arteficidi quella scuola italiana che tanto ha dato per lo sviluppo della prospet-tiva; d’ora in poi la consistente eredità scientifica lasciata dal matematicopesarese sarà raccolta prevalentemente da studiosi di differenti scuoleeuropee, anche per quanto riguarda la restituzione prospettica. Se ai pit-tori interessava poter disporre di strumenti adeguati per poter rappre-sentare una realtà tridimensionale su un quadro, per Guidobaldo divienenaturale, in una logica prettamente matematica, prevederne le procedureinverse. Guidobaldo propone per esempio il seguente problema: data nelpiano sottostante una linea e data in una sezione eretta una linea appa-rente, e sia data la linea di sezione, trovare il punto di distanza e l’altezzadell’occhio sopra il piano sottostante.

I primi tentativi di passaggio inverso della prospettiva riguardano pre-valentemente la possibilità di ritrovare quello che noi oggi definiamoorientamento interno. Cioè data una rappresentazione prospettica e co-noscendo alcuni dati oggettivi risalire alla posizione dell’occhio rispettoal quadro.

È lo stesso problema che si pone, solo qualche anno più tardi, in ma-niera ancor più sistematica, il fisico fiammingo Simon Stevin che nelDe perspectivis, pubblicato nel 1605, dedica una parte del primo librointeramente al problema inverso5. Il quesito proposto è sempre lo stesso:oculi locus quaerendus est, cioè trovare la posizione dell’occhio. Sul-l’importanza di questo argomento l’autore si sofferma rilevando che laconoscenza esatta della posizione del punto da cui è stata realizzata unaprospettiva è fondamentale per poter osservare senza deformazioni il di-pinto ed anche per poter stabilire se questo è stato realizzato secondo leregole della prospettiva stessa6.

Parte I, Dalla prospettiva alla fotogrammetria20

Dal Trattato Perspectivae Libri Sex, 1600Il primo problema di restituzione prospettica è quello di un punto, nel caso in cuisiano noti la posizione dell’occhio e la linea di sezione, problema affrontato nel se-condo libro.Problema proposizione XXXI Dato l’occhio, data la linea di sezione e dato un punto in una sezione eretta, trovarenel piano sottostante il punto che appare nelpunto assegnato.

B - punto in prospettiva.DE - linea di sezione.AS - distanza dell’occhio dal piano sottostante.S - piede della perpendicolare da A sul pianosottostante e quindi distante dal piano sezionequanto l’occhio.C - punto oggettivo da determinareIn questo caso il problema viene risolto rico-struendo sul quadro la proporzione di riduzioneprospettica AS:SC=BD (ribaltato in DE):DC

Figg. 5 -6Grafico del problema proposizione

XXXI e ricostruzione tridimensionale

SCHEDA SU GUIDOBALDO DEL MONTE