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7/16/2019 Inv Op-II-principal.pdf

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MANUAL DE INVESTIGACINDE OPERACIONES II

CATEDRTICO:m. c. RAL LEONEL GUZMN SAMPAYO.

REALIADO POR:CASTRO OCHOA AGUSTIN.

ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO.RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C.

SONI SANTOS IRIS ABRIL.

ESPECIALIDAD:INGENIERA INDUSTRIAL

PERIODO:AGOSTO-DICIEMBRE 2008

CERRO AZUL, VER.


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NDICE

UNIDAD I:PROGRAMACIN DINMICA

1.1 Caractersticas de la programacin dinmica: etapas, estados,frmula recursiva, programacin en avance y retroceso.. .........................41.2 Algunos modelos de ejemplos de Programacin Dinmica...61.3 Programacin dinmica determinstica..71.4 Programacin dinmica probabilstica...81.5 Problema de dimensionalidad de Programacin Dinmica8Ejercicios resueltos....10Ejercicios propuestos..21

UNIDAD II:

TEORA DE COLAS

2.1 Introduccin y casos de aplicacin242.2 Definiciones caractersticas y suposiciones.242.3 Terminologa y notacin. ....262.4 Proceso de nacimiento y muerte

Modelos Poisson. ....272.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. .282.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita.302.7 Servidores mltiples, cola infinita, fuente infinita. 322.8 Servidores mltiples, cola finita, fuente finita. ..34Ejercicios resueltos..36Ejercicios propuestos..40

UNIDAD III:TEORA DE DECISIN

3.1 Caractersticas generales de la teora de decisiones. ..433.2 Criterios de decisin determinsticos y probabilsticos..443.3 Valor de la informacin perfecta. ..45

3.4 rboles de decisin. ...463.5 Teora de dualidad. .473.6 Decisiones secuenciales. ...493.7 Anlisis de sensibilidad. .....49Ejercicios resueltos..51Ejercicios propuestos..55

UNIDAD IV:CADENAS DE MARKOV

4.1 Introduccin. .584.2 Formulacin de las cadenas de Markov. .58

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4.3 Procesos estocsticos. .604.4 Propiedad Markoviana de primer orden. 604.5 Probabilidades de transicin estacionarias de un solo paso...614.6 Probabilidades de transicin estacionarias de n pasos...634.7 Estados absorbentes. 64

4.8 Probabilidades de transicin estacionarias de estados estables.Tiempos de primer paso. .65Ejercicios resueltos66Ejercicios propuestos72

UNIDAD V:OPTIMIZACIN DE REDES

5.1 Terminologa755.2 Problema de la ruta ms corta. Redes cclicas y acclicas. 77

5.3 Problema del rbol de mnima expansin. 805.4 Problema de flujo mximo. ...815.5 Problema de flujo de costo mnimo. ...835.6 Programacin lineal en teora de redes. 865.7 Uso de programas de computacin. ..88Ejercicios resueltos...95Ejercicios propuestos..103Bibiliografa....105

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UNIDAD I:

PROGRAMACIN DINMICA

1.1 CARACTERSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE

PROGRAMACIN DINMICA: ETAPAS, ESTADOS, FRMULARECURSIVA, PROGRAMACIN EN AVANCE Y EN RETROCESO

La programacin dinmica es una tcnica matemtica que se utiliza parala solucin de problemas matemticos seleccionados, en los cuales se tomauna serie de decisiones en forma secuencial.

Proporciona un procedimiento sistemtico para encontrar la combinacinde decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el problema enetapas, las que pueden ser completadas por una o ms formas (estados), yenlazando cada etapa a travs de clculos recursivos.

La programacin dinmica es un enfoque general para la solucin deproblemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Lasdecisiones tomadas en una etapa condicionan la evolucin futura del sistema,afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrar en el futuro(denominadas estados), y a las decisiones que se plantearn en el futuro.

La programacin dinmica parte de una pequea porcin del problema yllega a la solucin ptima para esa pequea parte del problema, entoncesgradualmente se agranda el problema hallando la solucin ptima en curso apartir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solucin ptimadel problema original.

El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas deprogramacin dinmica. Por tanto una manera de reconocer una situacin quese puede formular como un problema de programacin dinmica es poderidentificar una estructura anloga a la del problema de la diligencia.

Caractersticas bsicas.

1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una poltica dedecisin en cada una de ellas.

2.- Cada etapa tiene cierto nmero de estados asociados con su inicio. Losestados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar elsistema en cada etapa del problema.

3.- El efecto de la poltica de decisin en cada etapa es transformar el estadoactual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa.

4.- El procedimiento de solucin est diseado para encontrar una polticaptima para el problema completo.

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5.- Dado el estado actual, una poltica ptima para las etapas restantes esindependiente de la poltica adoptada en etapas anteriores. Este es el principiode optimalidad para programacin dinmica.

6.- El procedimiento de solucin se inicia al encontrar la poltica ptima para la

ltima etapa.

7.- Se dispone de una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para laetapa n, dada la poltica ptima para la etapa n+1. La forma precisa de relacinrecursiva difiere de un problema a otro de programacin dinmica, perousaremos una notacin anloga a la siguiente:

N = nmero de etapas.

n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N)

sn = estado actual para la etapa n

xn = variable de decisin para la etapa n

xn* = valor ptimo de xn (dado sn)

fn(sn,xn) = contribucin a la funcin objetivo de las etapas n, n+1,...,N, si elsistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisin inmediata es xny en adelante se toman decisiones ptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) La relacinrecursiva siempre tendr la forma: fn*(sn) = mn fn(sn,xn) fn*(sn) = maxfn(sn,xn)

8.- Cuando se usa esta relacin recursiva, el procedimiento de solucincomienza al final y se mueve hacia atrs etapa por etapa, hasta que encuentrala poltica ptima desde la etapa inicial.

Procedimiento de solucin.

1. Se construye una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para

cada estado en la etapa n, dada la solucin ptima para cada estado en laetapa n + l.

2. Se encuentra la decisin ptima en la ltima etapa de acuerdo a la polticade decisin establecida. Comnmente la solucin de esta ltima etapa estrivial, es decir, sin ningn mtodo establecido, tomando en cuenta solamentela "contribucin" de la ltima etapa.

3. La idea bsica detrs de la relacin recursiva es trabajar "hacia atrs",preguntndose en cada etapa: qu efecto total tendra en el problema si tomouna decisin particular en esta etapa y acto ptimamente en todas las etapas

siguientes?

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Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primeraetapa hacia la sera necesario realizar una enumeracin exhaustiva de todaslas alternativas, que resolvindolo "hacia atrs" reducimos el nmero dealternativas a analizar, simplificando la solucin del problema. Cuando se llegaa la etapa inicial se encuentra la solucin ptima.

1.2 EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA

El problema de la diligencia.

Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia, yquiere viajar de la forma ms segura posible. Tiene los puntos de salida ydestino conocidos, pero tiene mltiples opciones para viajar a travs delterritorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como pasajerode la diligencia.

El costo de la pliza estndar (cij ) se muestra en la tabla siguiente.

El problema de las monedas.Para el problema de las monedas con programacin dinmica se

necesita crear un algoritmo que permita a una mquina expendedora devolverel cambio mediante el menor nmero de monedas posible. Mediante laprogramacin dinmica se solucionar el caso en el que el nmero demonedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante elalgoritmo voraz el que el nmero de monedas es ilimitado.

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El problema de la mochila.

Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. El pesomximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochila conobjetos, tal que se maximice el beneficio.

Los pasos que vamos a seguir son los siguientes:

Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.

1.3 PROGRAMACIN DINMICA DETERMINSTICA

Los problemas determinsticos de programacin dinmica son aquellos enlos cuales el estado asociado en la etapa siguiente est totalmentedeterminado por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual. Lasiguiente figura describe el funcionamiento de la programacin dinmicadeterminstica.

Los problemas de programacin dinmica determinstica son aqullos enlos que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado porel estado y la poltica en la etapa actual.

Una manera de catalogar los problemas de programacin dinmicadeterminstica es por la forma de la funcin objetivo. Por ejemplo, el objetivopodra ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas individuales, obien minimizar un producto de tales trminos y as sucesivamente. En unproblema de programacin dinmica, las temporadas deben ser las etapas.

Sn

Sn+1

fn(S

n,X

n) f

n+1*(S

n+1*)

Contribucin al objetivo

Cn(X

n)

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1.4 PROGRAMACIN DINMICA PROBABILSTICA

La programacin dinmica probabilstica difiere de la programacindinmica determinstica en que el estado de la etapa siguiente no quedacompletamente determinado por el estado y la decisin de la poltica en el

estado actual. En lugar de ello existe una distribucin de probabilidad para loque ser el estado siguiente. Sin embargo, esta distribucin de probabilidadtodava esta completamente determinada por el estado y la decisin de lapoltica del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramticamentela estructura bsica que resulta para la programacin dinmica probabilstica,en donde N denota el nmero de estados posibles en la etapa n+1.

Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados ydecisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de rbol dedecisin. Si el rbol de decisin no es demasiado grande, proporciona unamanera til de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.

1.5 PROBLEMA DE DIMENSIONALIDAD EN PROGRAMACINDINMICA

La programacin dinmica tradicional permite obtener las trayectoriasptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo defuncional o ndice de desempeo y con restricciones en las variables. Losalgoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cmputo digital

ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicacin de estos algoritmos asistemas continuos exige la discretizacin de las ecuaciones diferenciales quemodelan el proceso o sistema, as como la cuantificacin de las variables deestado, de las variables de decisin o control y del tiempo.

Para obtener resultados tiles se debe construir una rejilla de estadossuficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, sedeben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de lasvariables de decisin cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza elndice de desempeo. Se generan requisitos adicionales de clculo cuando latrayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estadocuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizarinterpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisin o controlptima y del ndice de costo.

Con un nmero del orden de cinco variables de estado, los algoritmostradicionales de programacin dinmica exigen elevados requisitos de memoriay de tiempo de clculo a los sistemas de procesamiento digital. Estacaracterstica de la metodologa fue denominada maldicin dedimensionalidad por el propio Bellman, lo cual desalent el empleo de laprogramacin dinmica tradicional durante ms de veinte aos.

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Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programacindinmica para la solucin de problemas de control ptimo, tales como, laobtencin de una solucin ptima global, el tratamiento de sistemas no linealesy variantes, la utilizacin de cualquier ndice de desempeo, y el hecho de quecuanto ms restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de

tiempo de cmputo y memoria, promovieron el inters de muchosinvestigadores por encontrar mtodos alternativos para superar los problemasque presenta la tcnica tradicional

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EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio # 1

Considere la siguiente red en la que cada nmero junto a una ligadurarepresenta la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo esencontrar la ruta mas corta del origen al destino.

Utilice programacin dinmica para resolver este problema construyendomanualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.

Solucin:

n=3

S3 f3*(s) X3*D 6 TD 7 T

n=2

sx2 D E f2*(s) X2*A 5+6=11 ---------- 11 DB 7+6=13 8+7015 13 DC ---------- 6+7=13 13 E

n=1

sx1 A B C f1(s) X1*O 9+11=20 6+13=19 7+13=20 19 B

Ruta: 0BDT

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Ejercicio # 2

Una compaa esta planeando una estrategia de publicidad durante elao prximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son bastantediferentes, cada esfuerzo de publicidad estar dedicado a un solo producto. Se

dispone de un total de 6 millones de dlares para esta campaa de publicidad yse supone que el gasto para cada producto deber ser un nmero enteromayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido elobjetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto con el fin demaximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento estimado enventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad:

Gasto enpublicidad

Producto 1 Producto 2 Producto 3

1 7 4 6

2 10 8 93 14 11 134 17 14 15

Utilice programacin dinmica para resolver este problema.

Solucin:

n=3

S3 f3*(s) X3*1 6 12 9 23 13 34 15 4

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n=2

X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10

X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14

X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17

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X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 = 19X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 = 21X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 = 20X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 = 20

X2 1 2 3 4 f 2*(s2) X2*S21 10 10 12 13 14 14 23 17 17 17 17 1,2,34 19 21 20 20 21 2

n=1


X2 1 2 3 4 f 2*(s2) X2*S26 28 27 28 27 28 1,3

123 = 7+8+13 = 28321 = 14+8+6 = 28

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Ejercicio # 3

El World Health Council, se dedica a mejorar la atencin mdica en lospases subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas mdicas paraasignarlas a 3 de estos pases con el fin de mejora el cuidado de la salud, la

educacin para la salud y los programas de capacitacin, entones, el consejonecesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno deestos pases para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas. Losequipos deben mantenerse como estn formados por lo que el nmeroasignado a cada pas debe ser un entero.

La medida de desempeo se tomara en trminos de los aos de vidaadicionales por persona (para una pas especifico, esta medida es igual alincremento en el promedio de vida esperado en aos, multiplicado por supoblacin). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos aos de vidaadicionales de vida por persona (en mltiplos de mil) para cada pas y para

cada nmero posible de brigadas mdicas asignadas.

Cual es la asignacin que maximiza la medida de desempeo?Brigadas Medicas Pas 1 Pas 2 Pas 30 0 0 01 45 20 502 70 45 703 90 75 804 105 110 100

5 120 150 130

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Solucin:

n=3

S3 f3*(s3) X3*0 0 01 50 12 70 2

3 80 34 100 45 130 5

n=2

X2 = 0 f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0

X2 = 0 f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50X2 = 1 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20

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X2 = 0 f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70X2 = 2 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45



X2 = 4 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 110

X2 = 0 f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160X2 = 5 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150

X2 0 1 2 3 4 5 f 2*(s2) X2*S20 0 0 01 50 20 50 02 70 70 45 70 0,13 80 90 95 75 95 24 100 100 115 125 110 125 35 130 120 125 145 160 150 160 4

n=1

X2 = 0 f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 = 160X2 = 1 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 = 170X2 = 2 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 = 165X2 = 3 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 = 160X2 = 4 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 = 155X2 = 5 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 120

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X2 0 1 2 3 4 5 f 2*(s2) X2*S25 160 170 165 160 155 120 170 1

131 = 45+75+50=170

Ejercicio # 4

Una estudiante universitaria tiene 7 das para preparar los exmenesfinales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de lamanera ms eficiente posible. Necesita por lo menos un da para cada curso yquiere concentrarse solo en un curso cada da, por lo que quiere asignar 1, 2, 3 4 das a cada curso. Como hace poco tom un curso de investigacin de

operaciones, ha decidido aplicar programacin dinmica para hacer estasasignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos.Estima que las distintas opciones de das de estudio redituarn puntos decalificacin segn la siguiente tabla:

Puntos de calificacin estimadosNmero deDas

Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4

1 3 5 2 62 5 5 4 73 6 6 7 94 7 9 8 9

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n=4

S4 F4*(s4) X4*1 6 12 7 2

3 9 34 9 4

n=3

X3 = 1 f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8

X3 = 1 f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9X3 = 2 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10

X3 = 1 f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11X3 = 2 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11X3 = 3 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13X3 = 1 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11X3 = 2 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13X3 = 3 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14X3 = 4 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14

X3 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S31 8 8 12 9 10 10 23 11 11 13 13 24 11 13 14 14 14 3,4

n=2

X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13

X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13

X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14


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X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S21 13 13 12 15 13 15 13 18 15 14 18 1

4 19 18 16 17 19 1


X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S2

7 22 23 21 20 23 2

2131 =5+5+7+6=23

Ejercicio # 5

Una compaa est a punto de introducir un nuevo producto al mercadomuy competido y est planeando su estrategia de comercializacin. Ha tomadola decisin de introducir el producto en 3 fases.

La fase 1 incluir ofertas especiales de introduccin a un precio muyreducido para atraer a los compradores de primera vez.

La fase 2 comprender una campaa intensa de comerciales y anunciospara persuadir a estos compradores de primera vez, que continen comprandoel producto a precio normal. Se sabe que otra compaa introducir otro nuevoproducto competitivo ms o menos cuando termine la fase 2.

La fase 3 entonces, incluir una campaa de seguimiento de promocinpara tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de lacompetencia.

Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dlares para estacampaa comercial. El problema consiste ahora en determinar como asignareste dinero de la manera ms efectiva a las 3 fases. Sean m el porcentaje demercado inicial que se logra en las fases, f2 la fraccin de este mercado que seretiene en la fase 2 y f3 la fraccin restante del porcentaje de mercado que seretiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, aplique programacindinmica para determinar cmo asignar los $ 4 millones de dlares paramaximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo producto, es decir,maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enterasmltiplos de 1 milln en cada fase y que el mnimo permisible es 1 para la fase

1 y 0 para las fases 2 y 3.

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n=3

S3 F3*(s3) X3*0 0.3 01 0.5 12 0.6 23 0.7 3

X2 = 0 f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1X2 = 1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12

X2 = 0 f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12X2 = 1 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2X2 = 2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15

X2 = 0 f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 = 0.14X2 = 1 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 = 0.24X2 = 2 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 = 0.25X2 = 3 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 = 0.18

X2 0 1 2 3 F2*(s2) X2*S20 0.6 0.2 01 0.1 0.12 0.12 13 0.12 0.2 0.15 0.2 13 0.14 0.24 0.25 0.18 0.250 2

X1 = 0 f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 = 5X1 = 1 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 = 6

X1 = 2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 = 4.8X1 = 3 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2 = 10

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X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S2

4 5 6 4.8 10 10 3

3 millones en la 1a fase

1 millones en la 2a fase0 millones en la 3a fase

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio Propuesto # 1

El gerente de ventas de una editorial de libros de texto universitariostiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas delpas. Ha decidido que cada regin debe tener por lo menos un agente y quecada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones con elfin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en lasventas de cada regin si se le asignan diferentes cantidades de agentes.

Agentes Regin 1 Regin 2 Regin 31 35 21 282 48 42 413 70 56 63

4 89 70 75


Una campaa poltica se encuentra en su ltima etapa y las preliminaresindican que la eleccin est pareja. Uno de los candidatos tiene suficientesfondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas demayor audiencia en estaciones localizadas en 4 reas diferentes. Con base enla informacin de las preliminares se hizo una estimacin del nmero de votos

adicionales que se pueden ganar en las diferentes reas de difusin segn elnmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en lasiguiente tabla en miles de votos.

Comerciales rea 1 rea 2 rea 3 rea 40 0 0 0 01 4 6 5 32 7 8 9 73 9 10 11 12

4 12 11 10 145 15 12 9 16

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Utilice programacin dinmica para determinar como deben distribuirselos 5 comerciales entre las 4 reas con el fin de maximizar el nmero estimadode votos ganados.


El propietario de una cadena de tres supermercados compr 5 cargas defresas frescas. La distribucin de probabilidad estimada para las ventaspotenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas alas tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativasno quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, esta de acuerdo enasignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla proporciona laganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:

Numero de cargas Tienda 1 Tienda 2 Tienda 30 0 0 01 5 6 42 9 11 93 14 15 134 17 19 185 21 22 20

Utilice programacin dinmica para determinas cuantas cargas deben

asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.


La presidenta de un partido poltico en un estado est haciendo planespara las prximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboracin de 6voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar a 4distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa que seraineficiente asignar un voluntario a ms de un distrito pero est dispuesta a no

asignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr ms en otro distrito. Lasiguiente tabla da el aumento estimado en el nmero de votos para elcandidato del partido en cada distrito si se asignan distintos nmeros devoluntarios:

Voluntarios Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 40 0 0 0 01 4 7 5 62 9 11 10 113 15 16 15 144 18 18 18 165 22 20 21 176 24 21 22 18

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Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos voluntariosdeben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total esperadoen la popularidad del candidato del partido. Utilice programacin dinmica paraencontrar todas las soluciones ptimas, para que la presidenta del partidopueda hacer una seleccin tomando en cuenta otros factores.


Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo PERT,donde el nmero junto al arco es el tiempo requerido para la actividadcorrespondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria ms grande(el mayor tiempo total) a travs de esta red desde el vento uno (inicio delproyecto) al evento 9 (terminacin del proyecto), ya que la trayectoria ms largaes la ruta crtica.

a) Cules son las etapas y los estados para la formulacin deprogramacin dinmica de este problema?

b) Utilice programacin dinmica para resolver este problema construyendolas tablas usuales.

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UNIDAD II:

TEORA DE COLAS

2.1 INTRODUCCIN Y CASOS DE APLICACIN.

Las lneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas:

Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en unbanco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,vehculos esperando pagar ante una estacin de peaje o continuar su camino,ante un semforo en rojo, Mquinas daadas a la espera de ser rehabilitadas.

Los anlisis de colas ayudan a entender el comportamiento de estossistemas de servicio (la atencin de las cajeras de un banco, actividades demantenimiento y reparacin de maquinaria, el control de las operaciones en

planta, etc.).

Desde la perspectiva de la Investigacin de Operaciones, los pacientesque esperan ser atendidos por el odontlogo o las prensas daadas esperandoreparacin, tienen mucho en comn. Ambos (gente y mquinas) requieren derecursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure ose los haga funcionar nuevamente.

2.2 DEFINICIONES CARACTERSTICAS Y SUPOSICIONES.

Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin demodelos matemticos que describen sistemas de lnea de espera particulares osistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromisoentre costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para unsistema dado.

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionanservicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde lostrabajos o clientes llegan buscando un servicio de algn tipo y salen despus

de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas deeste tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colasinterconectadas formando una red de colas

La teora de colas es el estudio matemtico del comportamiento delneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugardemandando un servicio a un servidor, el cual tiene una cierta capacidad deatencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decideesperar, entonces se forma la lnea de espera.

A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un

sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Losservidores del sistema seleccionan miembros de la cola segn una regla

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predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionadotermina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema,pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas.

Fuente

Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidadesque piden un servicio. Si el nmero de unidades potenciales es finito, se diceque la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita.

Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que seproduzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamao de lafuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemasde colas con fuentes infinitas.

Tiempo entre llegadas

Existen dos clases bsicas de tiempo entre llegadas:

Determinstico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo detiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clsico es el de una lnea de ensamble, endonde los artculos llegan a una estacin en intervalos invariables de tiempo.

Probabilstico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto yvariable. Los tiempos entre llegadas probabilsticos se describen mediante unadistribucin de probabilidad.

Mecanismos de servicio

Se llama capacidad del servicio al nmero de clientes que pueden serservidos simultneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un soloservidor (o que el sistema es monocanal) y si hay ms de un servidor,multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de uncliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio.

Disciplina de la cola

En sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo conuno de los siguientes criterios (prioridades):

El que lleg antes. El que lleg el ltimo. El que menos tiempo de servicio requiere. El que ms requiere.

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Supuestos

El modelo simple de teora de colas que se ha definido, se basa en lassiguientes suposiciones:

a) Un solo prestador del servicio y una sola fase.

b) Distribucin de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.

c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.

d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas lasllegadas esperan en lnea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad deuna longitud infinita en la cola.

2.3 TERMINOLOGA Y NOTACIN.

Caractersticas operativas.- Medidas de desempeo para una lnea deespera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, lacantidad promedio en la lnea, el tiempo de espera promedio, etc.

Operacin de estado estable.-Operacin normal de la lnea de esperadespus de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Lascaractersticas operativas de las lneas de espera se calculan para condicionesde estado estable.

Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades quellegan en un periodo dado.

Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades quepuede atender una instalacin de servicio en un periodo dado.

Lnea de espera de canales mltiples.- Lnea de espera con dos oms instalaciones de servicio paralelas.

Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la

lnea de espera debido a que el sistema est lleno. Las unidades bloqueadaspueden ocurrir cuando no se permiten las lneas de espera o cuando las lneasde espera tienen una capacidad finita.

Poblacin infinita.- Poblacin de clientes o unidades que puedenbuscar servicio, no tiene un lmite superior especificado.

Poblacin finita.- Poblacin de clientes o unidades que pueden buscarservicio, tiene un valor fijo y finito.

Usualmente siempre es comn utilizar la siguiente terminologa

estndar:

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P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola yclientes que estn siendo atendidos).

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera.

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por elservicio.

Todas estas caractersticas operativas de estado estable se obtienenmediante formulas que dependen del tipo de modelo de lnea de espera que seeste manejando. Para calcular stas, se necesitan los siguientes datos:

= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media dellegadas)

= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media deservicio)

2.4 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. MODELOSPOISSON.

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que lasentradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistemaocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importanteproceso de teora de probabilidad tiene aplicaciones en varias reas. Sinembrago en el contexto de la teora de colas, el trmino nacimiento se refiere allegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el trmino muerte se refiere ala salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotadopor N (t), es el nmero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempot. El proceso de nacimiento y muerte describe en trminos probabilsticos cmocambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertesindividuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrenciadependen del estado actual del sistema. De manera ms precisa, lassuposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

SUPOSICIN 1. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual del

tiempo que falta para el prximo nacimiento (llegada) es exponencial conparmetro (n=0,1,2,.).

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SUPOSICIN 2. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual deltiempo que falta para la prxima muerte (terminacin de servicio) esexponencial con parmetro (n=1,2,.).

SUPOSICIN 3. La variable aleatoria de la suposicin 1 (el tiempo que falta

hasta el prximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposicin 2 (eltiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Excepto por algunos casos especiales, el anlisis del proceso denacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra encondicin transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre estadistribucin de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener unbuen uso prctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribucindespus de que el sistema ha alcanzado la condicin de estado estable (encaso de que pueda alcanzarla).

Distribucin de llegadas.

Definir el proceso de llegada para una lnea de espera implicadeterminar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en unperiodo dado. Para muchas situaciones de lnea de espera, cada llegadaocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemospredecir cuando ocurrir. En tales casos, los analistas cuantitativos hasencontrado que la distribucin de probabilidad de Poisson proporciona una

buena descripcin del patrn de llegadas.

La funcin de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de xllegadas en un periodo especfico. La funcin de probabilidad es como sigue:

P(x)= xe-x!

para x= 0,1,2,

2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA.

Para los modelos de lnea de espera introducidos hasta ahora, lapoblacin de unidades o clientes que llegan para servicio se han consideradoilimitadas. En trminos tcnicos, cuando no se pone lmite respecto a cuntasunidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una poblacininfinita. Bajo esta suposicin, la tasa media de llegada permanece constante

sin importar cuntas unidades hay en el sistema de lnea de espera. Estasuposicin de una poblacin infinita se hace en la mayora de los modelos de

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lnea de espera.

En otros casos, se asume que la cantidad mxima de unidades o clientesque pueden buscar servicio es finita. En esta situacin, la tasa media dellegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la

lnea de espera y se dice que el modelo de lnea de espera tiene una poblacinfinita. Las frmulas para las caractersticas operativas de los modelos de lneade espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la poblacinfinita.

El modelo de poblacin finita que se expone en esta seccin se basa enlas siguientes suposiciones.

1. Las llegadas para cada unidad siguen una distribucin de probabilidad dePoisson, con una tasa media de llegada .

2. Los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidadexponencial, con una tasa media de servicio .

3. La poblacin de unidades que pueden buscar servicio es finita.

Con un solo canal, el modelo de lnea de espera se conoce comomodelo M/M/1 con una poblacin finita.

La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una poblacin finitase define en funcin de cun a menudo llega o busca servicio cada unidad.Esta situacin difiere de la de modelos de lnea de espera anteriores en los que denotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una poblacin finita,

la tasa media de llegada para el sistema vara, dependiendo de la cantidad deunidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistemacambiante, en el modelo de poblacin finita indica la tasa media de llegadapara cada unidad.

Caractersticas operativas para, el modelo M/M/1 con una poblacin finitade demandantes.

Las siguientes formulas se usan para determinar las caractersticasoperativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una poblacin finita

donde:

= la tasa media de llegada para cada unidad= la tasa media de servicioN = el tamao de la poblacin

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

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2. Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por elservicio:

7. Probabilidad de n unidades en el sistema:

2.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA.

Las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas ope-

rativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal se citarnms adelante. Las frmulas son aplicables si las llegadas siguen unadistribucin de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen unadistribucin de probabilidad exponencial. Mostramos cmo pueden usarse lasfrmulas para determinar las caractersticas de operacin de un sistema de unservidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a laadministracin informacin til para la toma de decisiones.

La metodologa matemtica usada para derivar las frmulas para lascaractersticas operativas de las lneas de espera es bastante compleja. Sinembargo, el propsito no es proporcionar el desarrollo terico de estos

modelos, sino mostrar cmo las frmulas que se han elaborado pueden darinformacin acerca de las caractersticas operativas de la lnea de espera.

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Caractersticas operativas.Las frmulas siguientes pueden usarse para calcular las caractersticas

operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal conllegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde:

= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada).

= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio).

P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera:

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola yclientes que estn siendo atendidos):

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera:



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Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por elservicio.

2.7 SERVIDORES MLTIPLES, COLA INFINITA, FUENTEINFINITA.

Una lnea de espera con canales mltiples consiste en dos o mscanales de servicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de sucapacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan

en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. Laoperacin de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema dedos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestraun diagrama de la lnea de espera de dos canales de Burger Dome.

En esta seccin presentamos frmulas que pueden usarse paradeterminar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea deespera de varios canales. Estas frmulas son aplicables si existen lassiguientes condiciones.

1.-Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson.2.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribucin de probabilidad

exponencial.3.- La tasa media de servicio es la misma para cada canal.4.- Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y luego pasan al primer

canal disponible para el servicio.

Caractersticas Operativas

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Pueden usarse las siguientes frmulas para calcular las caractersticasoperativas de estado estable para lneas de espera con canales mltiples,donde:

.- la tasa media de llegada para el sistema.

.- la tasa media de servicio para cada canal.k.- la cantidad de canales.

P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola yclientes que estn siendo atendidos).

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera.



Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por elservicio:

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Debido a que es la tasa media de servicio para cada canal, k es latasa media de servicio para el sistema de canales mltiples. Como sucedi conel modelo de lnea de espera de un solo canal, las frmulas para lascaractersticas operativas de las lneas de espera con mltiples canales slopueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para elsistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras, lasfrmulas son aplicables slo si k es mayor que .

2.8 SERVIDORES MLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA.

Este tipo de modelo es el M/M/c : DG//, donde el lmite del sistema esfinito igual a N; eso quiere decir que el tamao mximo de la cola es N c. Lastasas de llegada y de servicio son y .

Las caractersticas operativas para este sistema se calculan como sigue:

Probabilidad de n unidades en el sistema:

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

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Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

Para determinar Wq, W y L, se calcula el valor de efcomo sigue:


Ejercicio Resuelto # 1

Martys Barber Shop tiene una peluquera. Los clientes llegan a la tasade 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco

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por hora. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de serviciosexponenciales para responder las siguientes preguntas.

a.-Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y

nadie este esperado?c.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo yun cliente este esperando?d.-Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo ydos cliente este esperando?

= 2.2 clientes/hr. = 0.037 clientes/min. = 5 cortes/hr. = 0.083 cortes/min.

a) P0 = 1 - 2.2 = 0.565

b) P0 = 2.2 0 0.56 = 0.565

c) P1 = 2.2 1 0.56 = 0.24645

d) P2 = 2.2 2 0.56 = 0.10845

Ejercicio Resuelto # 2Willow Brook Bank opera una ventanilla para atencin de automovilistas

que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde susautos, en las maanas de los das hbiles, las llegadas a las ventanillasocurren al azar, con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora o 0.4clientes por minuto.

a.- Cul es la cantidad media o esperada de clientes que llegara en unperiodo de cinco minutos?b.- Suponga que puede usarse la distribucin de probabilidad de Poisson para

describir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso a y

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calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0, 1, 2 y 3 clientesdurante un periodo de cinco minutos.c.- Se esperan demoras si llegan ms de tres clientes durante cualquier periodode cinco minutos. Cul es la probabilidad de que ocurran esas demoras?

a) 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. =

b) P0 = (2)0 e-2 = 0.13530!

P1 = (2)1 e-2 = 0.27071!

P2 = (2)2 e-2 = 0.27072!

P3 = (2)3 e-2 = 0.18043!

c) P(demoras) = 1 (0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804) = 0.1429


En el sistema de lnea de Willow Brook National Bank, suponga que lostiempos de servicio para la ventanilla de atencin en el automvil siguen unadistribucin de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribucin de probabilidad

exponencial para responder las siguientes preguntas.

a.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto omenos?b.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos omenos?c.- Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de dominutos?

a) P (tiempo de servicio 1 min) = 1 e-0.6(1) = 0.4512

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b) P (tiempo de servicio 2 min) = 1 e-0.6(2) = 0.6988

c) P (tiempo de servicio 2 min) = 1 0.6988 = 0.3012


Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media de2.8 pacientes por hora.

El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3 pacientespor hora. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientes muestra que,en promedio, un paciente espera 30 min de ver al dentista.

a) Cules son las tasas medias de llegada y de tratamiento en funcin depacientes por minuto?

b) Cul es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera?c) Si un paciente llega a las 10: 10 A. M. A que hora se espera que salga

del consultorio?

= 2.8 pacientes / hrs. = 3 pacientes / hrs.

Wq = 30 min.

a) = 2.8 / 60 = 0.0467 pacientes / min. = 3 / 60 = 0.05 pacientes / min.

b) Lq = (0.0467 * 30) = 1.401 pacientes

c) Wq = 30 min.W = 30 + (1/0.05) = 50 minutos10: 10 + 50 min. = 11: 00 A. M.


Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado;suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. Los tiempos

de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribucin la probabilidad

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exponencial. A continuacin se muestra dos diseos propuestos para laoperacin de ensamblado de la planta.

TIEMPO DE SERVICIODISEO MEDIA DESVIACIN ESTNDAR

A 6. 0 3. 0B 6. 25 0. 6

a) Cul es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cadadiseo?

b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, Qu diseo pareceproporcionar la tasa de servicio mejor o mas rpida?

c) Cules son las desviaciones estndar de los tiempos de servicio enhoras?

d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las caractersticas operativas paracada diseo

e) Cul diseo proporciona las mejores caractersticas operativas? Porqu?

= 5 trabajos / hra = 0.0833 trabajos / min.

a)Para A.- = 6.0 min. / trabajo = 10 trab / hra = 0. 167 trabajos / min.Para B.- = 6.25 min. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.16 trabajos / min.

b)La del diseo A

c)A.- = 3.0 min / 60 min. = 0.05 hrsB.- = .6 min / 60 min. = 0.01 hrs

d)A.-Po = 1 5/10 = 0.5Lq = (52 * 0.052)+ (5 /10)2 = 0.3125 trabajos

2* (1-(5/10)

L = 0.3125 + 5/10 = 0.8125 trabajosWq = 0.3125 / 5 = 0.0625 hrs.W = 0.0625 + 1/ 10 = 0.1625 hrs.Pw = 5/10 = 0.5

B.-Po = 1 5/ 9.6 = 0.4792Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.6)2 = 0.2857 trabajos

2 * (1 5)/9.6)

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L = 0.2857 + 5/9.6 = 0.8065 trabajosWq = 0.2857/ 5 = 0.0571 hrsW = 0.2857 + 1/9.6 = 0.1613 hrsPw = 5 / 9.6 = 0.5208

e) El diseo B. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor y existemayor probabilidad de que no haya ningn cliente en la fila.



El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibesolicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribucin deprobabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora quedescribe el patrn de llegada y que los tiempos de servicio siguen unadistribucin de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 12solicitudes de ayuda en el sistema?

a.- Cul es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en elsistema?b.- Cul es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio?c.- Cul es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empiece el

servicio?d.- Cul es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos(tiempos de espera mas tiempo de servicio?e.- Cul es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por elservicio?


El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidad deagrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerse para

cargar combustible y recibir servicio de manera simultanea. Suponga que latasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de serviciopara cada canal es de 10 por hora.

a) Cul es la probabilidad de que el muelle estar ocioso?b) Cul es a cantidad promedio de embarcaciones que estar esperando

por servicio?c) Cul es el tiempo promedio que pasara una embarcacin esperando

por servicio en el muelle?d) Cul es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle?e) Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft, Estara satisfecho

con el nivel d servicio que proporcionara su sistema? Por qu?

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Un estudio de una operacin de servicio de comidas con canalesmltiples en el parque de bisbol Red Birds muestra que el tiempo promedio

entre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido surtido esde 10 minutos. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4por minuto. La operacin de servicio de comida requiere un promedio de 2minutos por pedido del cliente.

a) Cul es la tasa media de servicio por canal en funcin de clientes porminuto?

b) Cul es el tiempo de espera promedio en la lnea antes de colocar unpedido?

c) En promedio Cuntos clientes hay en el sistema del servicio decomidas?


3.-Movies Tonight es un establecimiento tpico de renta de videos y DVDpara clientes que ven pelculas en casa. Durante las noches entre semana, losclientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientes porminuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de dosclientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicioexponenciales.

a.- Cul es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?b.- Cul es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio?c.- Cul es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience elservicio?d.- Cul es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar porel servicio?e.- Las caractersticas operativas indican que el sistema de mostrador con unsolo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable?

Ejercicio Propuesto # 5Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite

y lubricacin de automviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2.5automviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automviles porhora. Suponga que las llegadas siguen una distribucin de probabilidad dePoisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribucin exponencial.

a.- Cul es la capacidad promedio de automviles en el sistema?b.- Cul es el tiempo promedio que espera un automvil para que comience elservicio de aceite y lubricacin?

c.- Cul es el tiempo promedio que pasa un automvil en el sistema?

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d.- Cul es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por elservicio?

UNIDAD III:

TEORA DE DECISIN

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3.1 CARACTERSTICAS GENERALES DE LA TEORA DEDECISIONES.

En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupacin ahora serefiere a tomar quiz una sola decisin (o a lo ms una secuencia de unascuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No obstante,todava se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que crean ciertaincertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes cursos deaccin.

El anlisis de decisiones proporciona un marco conceptual y unametodologa para la toma de decisiones racional en este contexto. Unapregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisin necesaria en estemomento o hacer primero algunas pruebas (con algn costo) para reducir elnivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisin.

Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promocin de prueba deun nuevo producto propuesto para ver la reaccin del consumidor antes detomar la decisin de proceder o no con la produccin y comercializacin a granescala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizarexperimentacin. Entonces, el anlisis de decisiones divide la toma dedecisiones en los casos sin experimentacin y con experimentacin.

Ejemplo prototipo.

La GOFERBROKE COMPANY es duea de unos terrenos en los quepuede haber petrleo. Un gelogo consultor ha informado a la gerencia quepiensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petrleo. Debido a estaposibilidad, otra compaa petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90 000.Sin embargo, la Goferbroke est considerando conservarla para perforar ellamisma. Si encuentra petrleo, la ganancia esperada de la compaa seraproximadamente de $700 000; incurrir en una prdida de $100 000 siencuentra un pozo seco (sin petrleo). Sin embargo, otra opcin anterior atomar una decisin es llevar a cabo una exploracin ssmica detallada en elrea para obtener una mejor estimacin de la probabilidad de encontrarpetrleo.

Este caso es de una toma de decisiones con experimentacin, y en esemomento se proporcionarn los datos adicionales necesarios. Esta compaaest operando sin mucho capital por lo que una prdida de $100 000 serabastante seria.

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3.2 CRITERIOS DE DECISIN DETERMINSTICOS YPROBABILSTICOS.

Determinsticos.

Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren unconocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apro-piados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianzaen su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable unanlisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones enfoquesdiferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisionesnecesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el enfoqueespecfico que, de acuerdo con su juicio, sea el ms apropiado.

Enfoque optimista

El enfoque optimista evala cada alternativa de decisin en funcin delmejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisin que serecomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en elque se desea la ganancia mxima el enfoque optimista conducira al tomadorde decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Paraproblemas que implican minimizacin, este enfoque conduce a elegir laalternativa con el resultado ms pequeo.

Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejorresultado para cada alternativa de decisin; luego, seleccionamos la alternativade decisin que proporciona el mximo resultado global. Estos pasosidentifican de manera sistemtica la alternativa de decisin que proporciona lamayor ganancia posible

Enfoque conservador

El enfoque conservador evala cada alternativa de decisin desde elpunto de vista del peorresultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisinrecomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles.Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia el enfoqueconservador conducira al tomador de decisiones a elegir la alternativa quemaximiza la ganancia mnima posible que podra obtenerse. Para problemasque implican minimizacin, este enfoque identifica la alternativa que minimizarel resultado mximo.

Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos el resultadomnimo para cada una de las alternativas de decisin, luego, seleccionamos la

alternativa de decisin que maximiza el resultado mnimo. Este enfoque dedecisin se considera conservador debido a que identifica el peor resultado

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posible y luego recomienda la alternativa de decisin que evita la posibilidad deresultados extremadamente "malos".

Probabilsticos.En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener

evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando estndisponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperadopara identificar la mejor alternativa de decisin. Definamos primero el valoresperado de una alternativa de decisin.

Sea

N= el nmero de estados de la naturaleza

P(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj

Debido a que puede ocurrir uno y slo uno de los N estados de lanaturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones:

El valor esperado (VE) de la alternativa de decisin d1 se define comosigue:

En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisin es la sumade los resultados ponderados para la alternativa de decisin. El peso para unresultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y, por

consiguiente, la probabilidad de que ocurrir el resultado.

3.3 VALOR DE LA INFORMACIN PERFECTA.

Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valorpotencial. Existe un mtodo que supone (de manera poco realista) que laexperimentacin eliminar toda la incertidumbre sobre cul es el estado de lanaturaleza verdadero y despus hace un clculo rpido sobre cul sera lamejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentacin). Estacantidad, llamada valor esperado de la informacin perfecta proporciona una

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cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces, si esta cotasuperior es menor que el costo del experimento, este definitivamente debellevarse a cabo.

Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva cual

es el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esto, informacinperfecta. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado, seelegir la accin con el mximo pago para ese estado. No se sabe deantemano cul estado se identificar, por lo que el clculo del pago esperadocon la informacin perfecta (ignorando el costo de la experimentacin) requiereponderar el pago mximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidada priori de ese estado.

Para evaluar si debe de realizarse el experimento, se usa la cantidad delpago esperado para calcular el valor esperado de la informacin perfecta(VEIP); ste se calcula como:

VEIP= pago esperado con informacin perfecta pago esperado sinexperimentacin.

As, como la experimentacin casi nunca puede proporcionarinformacin perfecta, el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado dela experimentacin.

3.4 RBOLES DE DECISIN.

Un rbol decisin proporciona una forma para desplegar visualmente elproblema y despus organizar el trabajo de clculos. Estos rboles de decisinson especialmente tiles cuando debe tomarse una serie de decisiones.

Ejemplo de un rbol de decisin:

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Los nodos del rbol de decisin se conocen como nodos de decisin ylos arcos se llaman ramas. Un nodo de decisin, representado por uncuadrado, indica que una decisin necesita tomarse en ese punto del proceso.Un nodo de probabilidad, representado por un crculo, indica que ocurre unevento aleatorio en ese punto.

3.5 TEORA DE DUALIDAD.

El dual es un problema de PL que se obtiene matemticamente de unmodelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal estn relacionados atal grado, que la solucin smplex ptima de cualquiera de los dos problemasconduce en forma automtica a la solucin ptima del otro.

El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay unaasociacin y una relacin muy importante con otro problema de programacinlineal, llamado precisamente dual.

Si el Primal es:

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Mx Z = CXs.a.AX bxi 0

El Dual es:

Min Z = bTYs.a.AT Y CT

yi 0

Usos de la formulacin dual.

Las estructuras duales permiten entre otras cosas:

a) Resolver problemas lineales que tienen ms restricciones queactividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa linealpor medio de una computadora est en funcin del nmero de filas de lamatriz A y no en el nmero de columnas, al aplicarse la dualidad a unproblema primal donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde elnmero de filas n es menor al nmero de columnas m.

b) Hacer interpretaciones econmicas de las soluciones ptimas de losproblemas de programacin lineal.

c) Crear nuevos algoritmos para la solucin de problemas de redes deoptimizacin.

d) Generar mtodos como el dual simples para el anlisis de sensibilidadde los programas de programacin lineal.

Propiedades del primal y del dual.

a) Si el Primal es un problema de Maximizacin (Minimizacin), el Dual es

un problema de Minimizacin (Maximizacin).

b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientesde la funcin objetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de lafuncin objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual.

c) La matriz de los coeficientes tecnolgicos del Dual es la matriztranspuesta de los coeficientes tecnolgicos del Primal. Y como (A T)T=Aentonces el Dual(Dual)=Primal.

d) El nmero de restricciones del Primal es igual al nmero de variables de

decisin del Dual, es decir, por cada restriccin del Primal existe unavariable Dual asociada.

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e) El nmero de variables de decisin del Primal es igual al nmero derestricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe unarestriccin asociada del Dual.

f) Si una restriccin del Primal esta en la forma cannica del problema, lavariable Dual asociada es no negativa y viceversa.

g) Si una restriccin del Primal no esta en la forma cannica del problema,la variable Dual asociada es no positiva y viceversa.

h) Si una restriccin del Prima es una igualdad, la variable Dual asociadaes sin restriccin de signo y viceversa.

3.6 DECISIONES SECUENCIALES.

Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante quese resuelve con lo que se denomina un rbol de decisiones. Para estos casoses necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativasa la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que sedesea ofertar y ello arrojara un % tal que sera el peso subjetivo que seutilizara en el rbol de decisiones. a su vez los rendimientos segn alternativasse hara con el valor actualizado de una anualidad constante, a fin de conocerel van (valor actualizado neto) segn cada inversin para cada alternativa. Pero

siempre considerando el van de la decisin de no hacer nada o sea de seguircon sus servicios actuales.

Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidad decontratar por 10 aos sus servicios para una nueva operacin diferente a suactual operacin. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo 500.000unidades monetarias por ao, y tendra que abandonar ese servicio paraaceptar el nuevo contrato, que incluso le supone realizar una nueva inversinestimada en 6 millones de unidades monetarias, entonces se deben comparara valor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir.

3.7 ANLISIS DE SENSIBILIDAD.

El anlisis de sensibilidad puede usarse para determinar cmo loscambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o los cambiosen los resultados afectan la alternativa de decisin recomendada. En muchoscasos, las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados sebasan en afirmaciones subjetivas. El anlisis de sensibilidad ayuda al tomadorde decisiones a entender cules de estas entradas son crticas para la eleccinde la mejor alternativa de decisin. Si un cambio pequeo en el valor de una de

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las entradas causa un cambio en la alternativa de decisin recomendada, lasolucin para el problema de anlisis de decisin es sensible a esa entradaparticular. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional paraasegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. Por otraparte, si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradas no

causa un cambio en la alternativa de decisin recomendada, la solucin alproblema de anlisis de decisin no es sensible a esa entrada particular. No serequerira tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entrada estimado.

Un enfoque para el anlisis de sensibilidad es seleccionar valoresdiferentes para las probabilidades de los estados de la naturaleza y losresultados y luego resolver el problema de anlisis de decisiones. Si cambia laalternativa de decisin recomendada, sabemos que la solucin es sensible alos cambios hechos.

Es obvio que podramos continuar modificando las probabilidades de losestados de la naturaleza y aprender an ms acerca de cmo afectan loscambios en las probabilidades a la alternativa de decisin recomendada. Elinconveniente de este enfoque son los numerosos clculos que se requierenpara evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidades delestado de la naturaleza. Para el caso particular de dos estados de lanaturaleza, puede usarse un procedimiento grfico, para determinar cmoafectan los cambios de las probabilidades a la alternativa de decisinrecomendada.


Ejercicio # 1

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Pinsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado,que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamnicas. Estaempresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten lasvitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los

preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de laspastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2.Sean y1, y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y Crespectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consiganmaximizar sus beneficios pero que adems resulten atractivo para losresponsables de la granja.

a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que deberapagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas enpastillas sera: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultaran rentables las

pastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 2.b) Cada kilogramo del preparado P2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3

unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio quedebera pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades devitaminas en pastillas sera: 3y1+3y2+1,5y3. A la granja no le resultaranrentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 3.

c) Por supuesto, los precios de las pastillas vitamnicas deben serpositivos, por tanto se tienen adems las condiciones de no negatividadde y1, y2 y y3.

Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarnjustamente las necesarias para aportar las necesidades mnimas del ganado decada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y da se compraran 27unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto losingresos de la empresa por la venta de las pastillas seran de Z =27y1+15y2+9y3 por animal y da.

Para establecer los precios, la empresa debera plantearse el programalineal:

PRIMAL

Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3s.a.5y1 + 1,5y2 + 1y3 23y1 + 3y2 +1,5y3 3y1, y2, y3 0

DUAL

Max = 2y1 + 3y2

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s. a.

5y1 + 3y2 271.5y1 + 3y2 15

y1 + 1.5y2 9

Solucin:

Max = 2(4.07) + 3(3.29) = 18.01

Ejercicio # 2

Suponga que de sea invertir $10, 000, en el mercado de valores,comprando acciones de una de dos compaas: A y B. Las acciones de lacompaa A son arriesgadas, pero podran producir un rendimiento de 50%sobre la inversin durante el prximo ao. Si las condiciones del mercado devalores no son favorables, las acciones pueden perder el 20% de su valor. Laempresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado a la alza ysolo 5% en un mercado a la baja. Todas las publicaciones que consulto

predicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alza y 40%de que este a la baja. Dnde debera invertir su dinero?

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(1.5) 5y1 + 3y2 = 27(-5) 1.5y1 + 3y2 = 15

7.5y1 + 4.5y2 = 40.5-7.5y1 - 15y2 = - 75

- 10.5y2 = -34.5

y2 = - 34.5 / - 10.5

y2 = 3.29

y1 + 1.5y2 = 9y1 = 9 1.5(3.29)y1 = 4.07

Invertir enacciones de A

Mercado a la alza (0.6) $ 5, 000


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Para las acciones A = $ 5, 000 *0.6 + (-200) * 0.4 = $2200

Para las acciones B = $ 1, 500 * 0.6 + $ 500 * 0.4 = $ 1100

En base a estos clculos se recomienda invertir en la empresa A.

Ejercicio # 3

Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en losque se construir un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicacinproporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del TrianguloDorado, donde se unen los ros Allegheny y Monongahela para formar el riOhio. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre $300,000 y $ 1 400 000 cada una.

PDC comisiono los bocetos arquitectnicos preeliminares para tresproyectos de diferente tamao: uno con 30 condominios, otro con 60 y unoms con 90. El xito financiero del proyecto depende del tamao del complejode condominios y del evento fortuito para la demanda que exista de losinmuebles. El problema de decisin de PDC es seleccionar el tamao delnuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre en lademanda de los condominios.

d1 = complejo pequeo con 30 condominios.d2 = complejo mediano con 60 condominios.d3 = complejo grande con 90 condominios.

Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de lanaturaleza son para PDC:

s1 = Demanda fuerte para los condominios.s2 = Demanda dbil para los condominios.Enfoque optimista

Alternativa de dedicin Resultado mximo

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1

Invertir enacciones de B

2

3

Mercado a la alza (0.6)

Mercado a la baja (0.4)

Mercado a la baja (0.4)

- $ 2, 000

$1, 500

$ 500


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Complejo pequeo, d1 8Complejo mediano, d2 14Complejo grande, d3 20

El mximo de los valores de resultados mximos es 20, por lo que se

recomienda la alternativa de decisin de un complejo de condominiosgrande.

Enfoque conservador

Primero, identificamos el resultado mnimo para cada una de lasalternativas de decisin; luego, seleccionamos la alternativa de decisin quemaximiza el resultado mnimo.

Alternativa de dedicin Pago mnimoComplejo pequeo, d1 7Complejo mediano, d2 5Complejo grande, d3 -9

El mximo de los valores de resultados mnimos es 7, por lo que serecomienda la alternativa de decisin de un complejo de condominiospequeos.

Enfoque de arrepentimiento mnimax.

Suponga que PDC construya un complejo de condominios pequeos y la

demanda resulta ser fuerte. LA ganancia resultante para PDC seria de $8, 000,000 sin embargo, dado que ha ocurrido en el estado de la naturaleza dedemanda fuerte, nos damos cuenta que la decisin d construir un complejo decondominios grande, que produce una ganancia de $20, 000, 000, abra sidoal mejor decisin. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa dedecisin y el pago por la dedicin de construir un complejo de condominiospequeo es la perdida de oportunidad o arrepentimiento.

Para este caso la perdida de oportunidad o arrepentimiento es:

$ 20 000 000 - $ 8 000 000 = $12 000 000.

Generalmente, al siguiente expresin representa la perdida deoportunidad o arrepentimiento:

Rij = | Vj* - Vij |

El siguiente paso es enlistar el arrepentimiento mximo para cadaalternativa de decisin.Tabla de prdida de oportunidad o arrepentimiento.

Estado de la naturaleza

Alternativa de dedicin Demanda fuerte s1 Demanda dbil s2Complejo pequeo, d1 12 0

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Complejo mediano, d2 6 2Complejo grande, d3 0 16

Arrepentimiento mximo para cada alternativa de decisin

Alternativa de dedicin Arrepentimiento mximoComplejo pequeo, d1 12Complejo mediano, d2 6Complejo grande, d3 16

Se toma el mnimo del arrepentimiento mximo que es 6, el cualcorresponde a un complejo mediano.


Ejercicio # 1

Tiene usted oportunidad de invertir en tres fondos de ahorros: servicios,de crecimientos agresivos y globales. El valor de su inversin cambiara,dependiendo de las condiciones del mercado. Hay 10% de probabilidades deque el mercado baje, 50% de que quede estable, y 40% de probabilidades deque suba. La tabla siguiente muestra el cambio porcentual en el valor de lainversin bajo las tres condiciones:

Rendimientos en un ao por inversin de $10,000Alternativa Mercado baja (%) Mercado moderado (%) Mercado sube

Servicios +5 +7 +8Crecimiento -10 +5 +30

global +2 +7 +20

a) Represente el problema con un rbol de decisinb) Cul fondo de ahorro deber seleccionar?

Ejercicio # 2

Escribir el dual del siguiente problema y determinar su solucin ptimausando la base primal optima.

Minimizar z = 3x + 5y

Sujeto a:

x1 + 2 x2 + x3 = 5- x1 + 3 x2 + x4 = 2

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x1, x2, x3, x4 0

Ejercicio # 3

La siguiente tabla de resultados muestra las ganancias para unproblema de anlisis de decisiones con dos alternativas y tres estado de lanaturaleza.

Estado de la naturalezaAlternativa dedecisin

S1 S2 S1

d1 250 100 25d1 100 100 75

a) Construya un rbol de decisin para este problema.b) Si el tomador de cisiones no sabe nada sobre las probabilidades de los

tres estados de la naturaleza, Cul es la decisin recomendada usandolos enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mnimax?

Ejercicio # 4

La decisin de Sowthland Corporation de producir una lnea nueva de

productos recreativos a dado como resultado a la necesidad de construir yasea una planta pequea o una grande. La mejor seleccin del tamao de alplanta depende de cmo reaccione el mercado a la nueva lnea de produccin.Para realizar un anlisis, la gerencia de mercadotecnia ha decidido calificar laposible demanda a largo plazo como baja, media o alta. La siguiente tabla deresultados muestra la ganancia proyectada en millones de dlares.

Demanda a largo plazoTamao de la planta baja media Altapequea 150 200 200Grande 50 200 500

a) Cual es la decisin que se ve a tomar y cual es el evento fortuito parael problema de Sowthland?

b) Construya un rbol de decisin.c) Recomiende una decisin basada en el uso de los enfoques optimista,

conservador y de arrepentimiento minimax.

Ejercicio # 5

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La tabla de resultados siguiente muestra la ganancia para un problemade decisin con dos estados de la naturaleza y dos alternativas de decisin.

Estado de la naturalezaAlternativa de

decisin

S1 S2

d1 10 1d2 4 3

a) Use una anlisis de sensibilidad grafico para determinar le rango deprobabilidades del estado de la naturaleza S1.

b) Suponga que P (s1) = 0.2 y P (s2) = 0.8. Cul es la mejor decisinusando el enfoque del valor esperado?

UNIDAD IV:

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CADENAS DE MARKOV

4.1 INTRODUCCIN.

En los problemas de toma de decisiones, con frecuencia surge lanecesidad de tomar decisiones basadas en fenmenos que tienenincertidumbre asociada a ellos. Esta incertidumbre proviene de la variacininherente a las fuentes de esa variacin que eluden el control o proviene de lainconsistencia de los fenmenos naturales. En lugar de manejar estavariabilidad como cualitativa puede incorporarse al modelo matemtico ymanejarse en forma cuantitativa. Por lo general este tratamiento se puedelograr si el fenmeno natural muestra un cierto grado de regularidad de maneraque sea posible describir la variacin mediante un modelo probabilstico.

Este captulo presenta modelos de probabilidad para procesos queevolucionan en el tiempo de una manera probabilstica. Tales procesos se

llaman procesos estocsticos. El capitulo est dedicado a un tipo especialllamado cadena de Markov. Las cadenas de Markov tienen la propiedadparticular de que las probabilidades que describen la forma en que el procesoevolucionar en el futuro dependen slo del estado actual en que se encuentrael proceso y, por tanto son independientes de los eventos ocurridos en elpasado. Muchos procesos se ajustan a esta descripcin por lo que las cadenasde Markov constituyen una clase de modelos probabilisticos de granimportancia.

4.2 FORMULACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual laprobabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior.En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimoevento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Estadependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de lasseries de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov;

el generador de Markov produce uno de n eventos posibles. Ej. donde j = 1,2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Lasprobabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen delestado del generador. Este estado se describe por el ltimo evento generado.En la figura 4.1.1, el ltimo evento generado fue Ej. de manera que elgenerador se encuentra en el estado Mj .

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La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es unaprobabilidad condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transicindel estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena deMarkov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades detransicin.

Probabilidades de transicin.

Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama deestados, como el que se muestra en la figura de abajo. En sta se ilustra unsistema de Markov con cuatro estados posibles : M1, M2 , M3 y M4 . Laprobabilidad condicional o de transicin de moverse de un estado a otro seindica en el diagrama:

Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar unamatriz de transicin. . La matriz de transicin para el ejemplo del diagrama deestados se muestra en la tabla siguiente .

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Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar unamatriz de transicin. .Para n = 0, 1, 2, ....

El superndice n no se escribe cuando n = 1.

4.3 PROCESOS ESTOCSTICOS.

Un proceso estocstico se define sencillamente como una coleccinindexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subndice t toma valores de unconjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros nonegativos y X, representa una caracterstica de inters medible en el tiempo t.Por ejemplo, el proceso estocstico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar lacoleccin de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un productodado, o puede representar la coleccin de demandas semanales (o mensuales)de este producto.

Un estudio del comportamiento de un sistema de operacin durantealgn periodo suele llevar al anlisis de un proceso estocstico con la siguiente

estructura. En puntos especficos del tiempo t , el sistema se encuentraexactamente en una de un nmero finito de estados mutuamente excluyentes yexhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo puedenencontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender delcomportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido elproceso estocstico. Aunque los estados pueden constituir una caracterizacintanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay prdida de generalidadcon las etiquetas numricas 0, 1, . . , M , que se usarn en adelante paradenotar los estados posibles del sistema. As la representacin matemtica delsistema fsico es la de un proceso estocstico {X i}, en donde las variablesaleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria

puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M . Estosenteros son una caracterizacin de los M + 1 estados del proceso.

4.4 PROPIEDAD MARKOVIANA DE PRIMER ORDEN.

Unproceso markoviano de orden 1 es un proceso estocstico de orden1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presenteest especificado.

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Cuando una probabilidad condicional depende nicamente del sucesoinmediatamente anterior, cumple con el Principio de Markov de Primer Orden,es decir:

ijpitXjtXPitXKXKXjtXP ===+=====+ ))()1(())(,.....,)1(,)0()1(( 10

Definiciones en los procesos de Markov de primer orden:

Estados:Las condiciones en las cuales se encuentra un ente sucesosposibles.

Ensayos:Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia.

Probabilidad de Transicin:La probabilidad de pasar de un estado actualal siguiente en un perodo tiempo, y se denota por pij (la probabilidad depasar del estado i al estadoj en una transicin perodo)

Caractersticas de los procesos de Markov de primer orden:

Se pueden usar como modelo de un proceso fsico econmico quetenga las siguientes propiedades:

a) Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov.

b) Existencia de un nmero finito de estados.

c) Laspijson constante con respecto al tiempo perodo.

d) Ensayos en perodos iguales.

Si un suceso depende de otro adems del inmediatamente anterior, estees un proceso de Markov de mayor orden. Por ejemplo, un proceso de segundoorden describe un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesosanteriores.

4.5 PROBABILIDADES DE TRANSICIN ESTACIONARIAS DEUN SOLO PASO.

Una tienda de cmaras tiene en almacn un modelo especial de cmaraque se puede ordenar cada semana. Sean d1, d2, ... las demandas de estacmara durante la primera, segunda, .

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