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9/3/2015 Investigacion de operaciones Documentos Nichig

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Investigacion de operacionesBy nichig | Studymode.com

SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN(http://www.investigacionoperaciones.com/Grafica_Inecuaciones.htm)

Puntos en el planoEl plano, por ejemplo, la pantalla del ordenador o la hoja de papel sobre la queescribimos, lo consideramos formado por puntos.Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con lasletras mayúsculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema dereferencia .Un sistema de referencia son dos rectas perpendiculares entre si, que llamamos ejes,que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes esuna recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje deabcisas y al vertical eje de ordenadas.Sobre cada eje se establece una unidad para medir, no tiene que ser la misma, queestablece una correspondencia entre cada punto del eje y un número real y entre cadanúmero real y cada punto del eje.Ejemplo : Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano.[pic]Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En elcaso de la figura anterior, las coordenada del punto A son : coordenada x=7, coordenaday= 5 y escribimos A(7, 5).Vectores en el planoLlamamosvector al par ordenado de puntos AB . Es idéntico al segmento rectilineoorientado, o sea, recorrido desde A hasta B. Al primer punto lo llamamos origen; alsegundo, extremo. Para distinguirlos, en el dibujo, se pone una flecha. Entre los vectoresse cuentan los pares de puntos idénticos AA, que son los vectores nulos.Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud (módulo), dirección ysentido. De forma que todos los vectores que tengan la misma magnitud, dirección ysentido, los agrupamos en una clase, que origina un nuevo objeto, al que llamamosvector libre y que podemos representar por cualquiera de sus elementos, cualquiera deellos representa a la clase.A los vectores libres los representamos por letras minúsculas del alfabeto, en ocasiones



coronadas por una flecha. Dado un sistema de referencia los vectores libres quedandeterminados por un par de números reales, llamados sus componentes.[pic]Observar en la figura como el vector v tiene las mismas componentes,independientemente de que en cada uno el punto origen y el punto extremo, sondistintos. En adelante cuando nos refiramos a un vector, nos referimos a un vector libre.Como se puede observar en la figura, un vector queda determinado dando su origen y suextremo o dando suscomponentes, mediante la siguiente fórmula:[pic]Observación :No hay que confundir un punto con un vector, ambos se determinan por un par denúmeros reales, pero conceptualmente son muy diferentes.

Rectas en el plano.Una recta en el plano queda determinada por dos puntos o por un punto y una dirección(vector).Como ejemplo, vamos a determinar, en la figura siguiente, la recta dada por el punto A(2,3) y el vector v (1, 2).Las coordenadas P(x, y) de los puntos que pertenecen a la recta se obtienen sumando alvector OA, el vector v multiplicado por un número real.Puede ser motivo de confusión, que las coordenadas del punto P(x, y) coinciden con lascomponenetes del vector OP. Esta circustancia permite utilizar métodos vectoriales ométodos paramétricos para obtener las coordenadas de los puntos P(x, y) quepertenecen a la recta.[pic]Observación: El vector de componenets (b, a) es el vector que determina la dirección dela recta y se llama vector director. Todas las rectas con un mismo vector director sonparalelas.Ejemplo: Sea la recta de ecuación:x 2y = 5Para dibujarla en un sistema de referencia , sólo tenemos que determinar dos puntos o elvector director y un punto. El vector director es (2, 1) y para determinar puntosquepertenezcan a la recta, despejamos una de las variables en función de la otra, porejemplo, la x en función de la y.x = 5 + 2yY dando valores a y, obtenemos valores para x.[pic]Semiplano: Una recta divide al plano en dos regiones, cada una de las cuales se conoce



como semiplano.Si la ecuación de la recta es :ax + by = cLos semiplanos en que divide al plano esta ecuación vienen dados por las soluciones delas inecuaciones :ax+by < c ; ax+by > cEjemplo: Sea la recta de ecuación :3x 2y = 5Los semiplanos que define son :[pic]El semiplano determinado por cada inecuación es su conjunto de soluciones. Una vezdibujada la recta en un sistema de referencia, si no pasa por el origen, la forma máspractica de determinar el semiplano solución de cada inecuación, consiste en probar conel punto (0, 0) en la ecuación de la recta y cmprobar qué inecuación satisface; si la rectapasa por el origen, se prueba con cualquier otro punto de coordenadas sencillas.Sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.Es el conjunto de dos o másinecuaciones que se deben satisfacer a la vez.Conjunto solución del sistema o región factible es la región formada por la intersección delos semiplanos solución de cada una de lasinecuaciones de un sistema.Polígono convexo o región convexa . Es toda región del plano tal que para dos puntoscualesquiera de la región , el segmento que los une está contenido en su interior.La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no acotado y vacío, esdecir, que no haya ni un solo punto que verifique todas las restricciones al mismo tiempo.[pic]Programación lineal Es una parte de las matemáticas que trata de optimizar (maximizar ominimizar) una función lineal en un conjunto definido por unas restricciones que estándadas por inecuaciones lineales.Función objetivo Es la función que deseamos optimizar, es decir, maximizar o minimizar.En el caso bidimensional, que es el que nos interesa, la representamos por :f(x,y)=ax+by+cRectas de nivel Son las rectas que pasan por los puntos de la región factible y sonparalelas al vector director de la función objetivo.[pic]Solución óptima Es el punto o conjunto de puntos de la región factible donde la funciónobjetivo alcanza el valor máximo o el valor mínimo. La solución óptima siempre sealcanza en uno de los vértices o en el segmento que une dos vértices de la regiónfactible.Planteamiento del problema



1. Se localizan las variables. Como en la programación de la asignatura,sólo entraprogramación lineal bidimensional, existen únicamente dos variables. Ayuda a encontrarcuáles son las variables considerar cual es la función objetivo.2. Se plantean como inecuaciones las restricciones que impone el enunciado3. Se determina la región factible correspondiente al sistema de inecuaciones planteado.4. Se determina la función objetivo y el vector director que le corresponde.5. Se determina la solución óptima, bien gráficamente, trazando las rectas de nivel quepasan por los vértices de la región factible, o bien analíticamente probando la funciónobjetivo en cada uno de los vértices de la región factible.Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales en dos variablesUna ecuación lineal con dos variables x y y, es de la forma: ax+by+c=0, a,b ambos no iguales a cero Donde tiene un conjunto solución que se puede exhibir en forma gráfica como los puntosde una línea recta en el plano xy. Ahora se mostrará que también existe unarepresentación gráfica sencilla de las desigualdades lineales con dos variables: ax+by+c0 ax+by+c(0Antes de ver un procedimiento general para graficar tales desigualdades, se analizará, unejemplo específico. Supóngase que hay que graficar2x+ 3y

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