J. C. Izquierdo - PROBLEMAS DE DIBUJOjcizquierdo.netai.net/pdf/apuntes/apuntes13.pdf · Una superficie puede engendrarse de dos ... El plano tangente lo es solo para un punto de

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

Página nº 78

Superficies.

Llamamos superficie a una lámina, infinitamente delgada, que recubre un cuerpo oque separa dos regiones del espacio.

Una superficie puede engendrarse de dos maneras distintas:

a). Como lugar geométrico de las posiciones de una línea cualquiera, que semueve en el espacio de acuerdo a una ley determinada.b). Como envolvente de otra superficie , que se mueve a su vez en el espaciocon arreglo a una ley determinada.

Clasificación de las superficies.

Regladas: Son aquellas que se engendran por una recta.Regladas desarrollables:

a). Se pueden superponer sobre un plano.b). Dos generatrices infinitamente próximas se cortan.c). El plano tangente lo es a lo largo de toda la generatriz.

Regladas alabeadas:a). Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan.b). El plano tangente lo es solo para un punto de cada generatrizy para cada generatriz existe un haz de planos tangentes.

Curvas: Son aquellas que se engendran por una línea curva.Poliédricas: Son superficies limitadas por caras planas.Radiadas: Son superficies engendradas por el movimiento de una recta que se

apoyan en un punto llamado vértice y en una directriz.Distinguiremos cuatro casos:

Directriz Vértice Superficie

Polígono Propio Pirámide

Curva Propio Cono

Polígono Impropio Prisma

Curva Impropio Cilindro


Página nº 79

Alabeadas: Cuando no es desarrollable.De tres directrices: Cuando las generatrices se apoyan en tres

rectas directrices.De plano director: Cuando las generatrices s e mantienen

paralelas a un plano.De cono director: Cuando las generatrices se mantienen

paralelas a un cono.De revolución: Las engendradas por el giro de una línea alrededor de un eje.

Cuádricas.

Llamamos cuádrica a la superficie cuya expresión matemática es una ecuación desegundo grado. Geométricamente es aquella superficie cuya sección plana siemprees una cónica y una recta la corta, a lo máximo, en dos puntos.Las cuádricas son las siguientes:

Regladas Cono

Cilindro

Hiperboloide elíptico

Hiperboloide reglado o de una hoja

Paraboloide hiperbólico o paraboloide reglado

Curvas Esfera

Elipsoide

Paraboloide elíptico o de revolución

Hiperboloide hiperbólico o hiperboloide de dos hojas

Todas estas superficies quedan reflejadas en el cuadro siguiente, y de ellasrealizaremos el estudio de las que están resaltadas en “negrita”, es decir:

Superficies regladas, desarrollables, poliédricas, radiadas.Superficies regladas, desarrollables, poliédricas, regulares.Superficies regladas, desarrollables, radiadas.Superficies curvas, revolución.


Página nº 80

Regladas Desarrollables Poliédricas Radiadas Pirámide

Prisma

Regulares Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Exaedro

Dodecaedro

Irregulares

Radiadas Cono de revolución

Cilindro de revolución

Polares

De igual pendiente

Rectificantes

Tangenciales: Helizoide desarrollable

Alabeadas De 3 directrices Hiperboloide elíptico

Cuerno de vaca

De plano director Paraboloide elíptico

Conoide

Helizoide de plano director

De cono director Helizoide de cono director

Curvas Revolución Esfera

De segundo gradoElipsoide

Paraboloide elíptico

Hiperboloide hiperbólico

Varias Toro

Escocia

Helizoide curvo

Serpentín

Compuestas


4 Leonhard Euler , matemático suizo nacido en Basilea (1.707-1.783).

Página nº 81

Estudio y representación de los poliedros regulares convexos.

Un poliedro regular convexo es aquel cuyas caras son polígonos regulares todosiguales, en cuyos vértices concurren el mismo número de caras, sus ángulos diedrosson iguales y existen dos esferas una que es tangente interiormente a las caras delpoliedro y otra que pasa por los vértices del mismo.

Condiciones que se han de cumplir para la existencia de estos poliedros regulares:

1. En cada vértice deben concurrir, al menos, tres caras, ya que dos planosdeterminan una recta y tres un vértice.2. La suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice tiene queser menor de 360º. Si fuese igual a 360º tendríamos un plano y si fueramayor se solaparían.

Según estos puntos y analizando los polígonos regulares podemos obtener:

a). Con el triángulo equilátero:Uniendo tres caras suman 180º dando lugar al TETRAEDRO.Uniendo cuatro caras suman 240º dando lugar al OCTAEDRO.Uniendo cinco caras suman 300º dando lugar al ICOSAEDRO.b). Con el cuadrado:Uniendo tres caras suman 270º dando lugar al CUBO o EXAEDRO.c). Con el pentágono:Uniendo tres caras suman 324º dando lugar al DODECAEDRO.d). Con el resto de los polígonos regulares, o suman 360º o suman mas de360º.

Características geométricas de los poliedros regulares.

Teniendo presente la fórmula de Euler4, las características de los poliedrosregulares son:

Fórmula de Euler para los poliedros: VÉRTICES + CARAS = ARISTAS + 2


Página nº 82

POLIEDRO CARAS VÉRTICES ARISTAS

TETRAEDO 4 4 6

OCTAEDRO 8 6 12

ICOSAEDRO 20 12 30

CUBO o EXAEDRO 6 8 12

DODECAEDRO 12 20 30

Vamos a representar diédricamente estos cuerpos.

Poliedros conjugados.

Se entiende por poliedro conjugado de otro al poliedro que se obtiene al unir loscentros de las caras del primero.

Los poliedros conjugados de los anteriormente enumerado son los del siguientecuadro:

POLIEDRO CONJUGADO

TETRAEDRO TETRAEDRO

OCTAEDRO CUBO O EXAEDRO

ICOSAEDRO DODECAEDRO

CUBO O EXAEDRO OCTAEDRO

DODECAEDRO ICOSAEDRO

Sección principal de un poliedro.

Se llama sección principal de un poliedro a toda sección plana de simetría en la cualquedan definidas las siguientes magnitudes fundamentales del poliedro:


Página nº 83

Figura 114

a). Arista.b). Radio de la esfera circunscrita.c). Radio de la esfera inscrita.d). Radio de la esfera tangente a las aristas.

Consideraciones sobre la representación de figuras.

Como norma general siempre que un cuerpo tenga un plano de simetría haremos surepresentación sobre un plano paralelo a él ya que la representación es la massencilla posible por coincidir en él sus elementos.

TETRAEDRO.

El tetraedro es el poliedro compuesto por cuatro caras triángulos equiláteros, tienecuatro vértices y seis aristas. Figura 114.

Antes de proceder a su representación y ya que tres vértices forman una cara,vamos a calcular la altura del cuarto vértice respecto de esta cara. Observando lafigura 114 vemos que al unir el vértice 4 con el centro O de la cara 123 y este conuno de los vértices de esta cara, por ejemplo el 3, se forma un triángulo rectángulo


Página nº 84

Figura 115

4O3 donde el ángulo en O es recto, los catetos son O4 la altura que buscamos, O3son los dos tercios de la altura de una cara del tetraedro y la hipotenusa es el ladodel tetraedro, si construimos este triángulo podemos determinar el valor de laaltura del poliedro. Para ello vamos a abatir el triángulo 4O3 alrededor de O3 hastaque el vértice 4 esté en PH, obteniéndose el triángulo (4)O3 que a estar en PH estáen verdadera magnitud. En la figura de la dcha. se ve el proceso de cálculo de laaltura partiendo de un triángulo equilátero.

La forma mas simple de representar el tetraedro es teniendo una cara apoyada enuno de los planos de proyección y que una de sus aristas sea una recta perpendiculara uno de los planos de proyección. Figura 115.

En la figura 115 tenemos representado el tetraedro con la cara 123 apoyada en elPH y con la arista 12 perpendicularal PV. Para determinar laproyección vertical del vértice 4,podemos hacerlo de dos formasuna es calculando la altura comohemos expuesto anteriormente y laotra es teniendo en cuenta que laarista 34 es una recta frontal,esto quiere decir que, enproyección vertical, estará enverdadera magnitud, describiendoun arco de circunferencia decentro 3' y radio el lado deltetraedro cortaremos a laperpendicular trazada por 4 a LT,lugar donde estará 4'.

Si la cara 123 no tuviera ningún lado perpendicular a LT podemos realizar dosopciones, una de ellas es realizar un cambio de plano y poner una de las aristas deesta cara perpendicular a la nueva LT o simplemente colocar en la perpendicular por4 a LT la altura del tetraedro. Figura 116.

El estudio de las partes vistas y ocultas no representa una gran complejidad.Siempre será visto el contorno de la figura. Una vez marcado el contorno, vemos que


Página nº 85

Figura 116

en proyección horizontal nos quedapor determinar las tres aristas queconcurren en el vértice 4 y no haymas que dos opciones, o las tresson vistas o las tres son ocultas. Simiramos la proyección verticalvemos que el vértice 4' tienemayor cota que los vértices 1',2' y3' por tanto, el vértice 4 es visto yen proyección vertical solotenemos una arista, la 1'4', o esvista o es oculta, examinando laproyección horizontal observamosque a l mirar la f iguraperpendicularmente a LT la arista14 es la primera que se ve, portanto, en proyección vertical será vista.

Otra forma muy normal de construir el tetraedro es cuando nos dan una carasituada en un plano P. La construcción es fácil, abatiremos el plano P y construiremosel triángulo equilátero. Calcularemos el centro O del mismo y por él trazaremos unarecta T perpendicular al plano, la giraremos para ponerla en verdadera magnitud ysituaremos sobre ella el valor de la altura, previamente calculada, una vez obtenidoel cuarto vértice tan solo queda unirlo con los otros tres y estudiar las partes vistasy ocultas.

Vamos a realizar esta construcción. Dado el plano P y la recta R perteneciente almismo construir un triángulo equilátero estando en R un lado, uno de los vértices queestá en R no tiene altura el triángulo está en el primer cuadrante y el lado mide 5cms. Construir el tetraedro por encima de P y estudiar las partes vistas y ocultas.Figura 117.

Para abatir el plano P hemos usado el punto A y hemos aplicado el método de abatirla traza vertical P’. Una vez encontrado (A) hemos abatido R, obtenida (R) hemosconstruido el triángulo equilátero, al decir que un vértice no tiene altura tiene queestar en la intersección de P y (R), vértice (3). Para construir el triángulo hay dosposibilidades, a la izda de (R), (que no vale por cortar a (P’) y estaría en el segundo


Página nº 86

Figura 117

cuadrante) y a la dcha de (R) (que está en el primer cuadrante integro). Obtenidolos vértices (1), (2) y (3) procedemos a desabatirlos, 3 coincide con (3) por estar enel eje de giro, 2 está sobre r y para situar el vértice 1 hemos prolongado el lado(1)(2) hasta cortar a P en x, el lado 12 también debe cortar a P en x. Obtenida laproyección horizontal determinamos la vertical. Procedemos al cálculo del centro deltriángulo punto (O), lo desabatimos y obtenemos o y o’. Por O trazamos unaperpendicular T al plano P, por conservarse la perpendicularidad entre rectas yplanos, simplemente trazamos perpendicular por o’ a P’ y por o a P, obteniendo larecta T. Fijamos un punto B en ella y mediante un giro la colocamos en frontal.Sobre o’bg’ obtenemos el punto 4g’ siendo o’4g’ el valor de la altura del vérticebuscado. Deshacemos el giro y obtenemos 4'-4 proyecciones del cuarto vértice.Una vez marcado los contornos de ambas proyecciones, nos quedan por determinar


Página nº 87

Figura 118

la visibilidad en proyección vertical de las aristas 2'3' y 1'4', mirando en proyecciónhorizontal la arista 14 se ve antes que la 23 (14 mayor distancia que 23), luego 1'4'será vista y 2'3' oculta; y en proyección horizontal las aristas 13 y 24, mirando enproyección vertical la arista 2'4' se ve antes que la 1'3' (2'4' mayor cota que 1'3'),

luego 1'3' será oculta y 2'4' vista.

En la figura 118 vemos la sección principal del tetraedro que pasa por una arista yel punto medio de la arista opuesta y el poliedro conjugado que es otro tetraedro.La sección principal es el triángulo isósceles 34m, los lados 3m y 4m son alturas decaras y el lado 34 es el lado del tetraedro. El punto C, bisectriz del ángulo en m, esel centro de la esfera inscrita y circunscrita, cuyos radios son CO y C3respectivamente. El tetraedro dispone de seis secciones principales.

OCTAEDRO.

Poliedro compuesto por ocho triángulos equiláteros, seis vértices y doce aristas.

Antes de proceder a su representación vamos a calcular la distancia que hay entre


Página nº 88

Figura 119

Figura 120

dos vértices opuestos. Figura 119.

Observando la figura vemos que alunir el vértice 5 con el centro deloctaedro y este con otro vértice,como por ejemplo el 4, se forma untriángulo 5O4 rectángulo en O,cuyos lados son, el cateto O5 es laaltura del octaedro, el otro catetoO4 es media diagonal del cuadrado1234 y la hipotenusa 54 es el ladodel octaedro. Si comparamos estetriángulo con el 1O4, vemos queson iguales pues los ángulos en Oson rectos, las hipotenusas O5 y14 son iguales y tienen por valor ellado del octaedro y los catetos O4coinciden, por tanto los triángulos4O5 y 1O4 son iguales, en conclusión los lados O5 y O1 también son iguales y si O1

vale media diagonal delcuadrado 1234 implica que htiene el mismo valor. Luego laseparación entre dos vérticesopuestos del octaedro vale ladiagonal del cuadrado 1234.

Vamos a representarlo conuna cara apoyada en PH y unaar i s t a de e sa c a raperpendicular al PV.

Puesto el octaedro de estamanera la proyección verticales un rombo de lados la alturade una de las caras y pordiagonal menor la arista deloctaedro. Esta proyección es


Página nº 89

Figura 121

Figura 122

precisamente la sección principal del octaedro, esta pasa por una diagonal y esperpendicular a dos aristas opuestas. Dispone de seis secciones principales.

Obsérvese que en proyección horizontal, el contorno del poliedro es un exágonoregular. Las partes vistas yocu ltas no presentancomplicaciones, en proyecciónvertical todo es visto y enhorizontal vemos que eltriángulo 1'6'4' está mas altoque el 2'3'5', este último esel oculto.

Otra forma de representar eloctaedro es teniendo ladiagonal como una rectavertical o de punta. Figura121. Obsérvese que la diagonal5'6' y las diagonales 13 y 24miden lo mismo y están enverdadera magnitud.

Otra forma de representarlo es cuando nosdan el cuadrado 1234 situado en un plano Pcualquiera. Su construcción es fácil,procederemos a abatir el plano P,construiremos el cuadrado y calcularemos lasproyecciones del mismo. Determinaremos sucentro O y por él trazaremos unaperpendicular T al plano P. Giraremos estarecta y situaremos sobre ella la diagonal delcuadrado dándonos los dos vértices quefaltan los cuales uniremos con los vérticesdel cuadrado. Figura 123.

En la figura 122, vemos el poliedro conjugado del octaedro que es el cubo o exaedro.


Página nº 90

Figura 123

Nos dan un plano P de canto y en él el segmento 12, lado de un cuadrado contenidoen P y sección de un octaedro regular. Figura 123. Abatimos el plano P ydeterminamos el cuadrado cuyo lado es (1)(2), lo desabatimos y obtenemos lasproyecciones de los puntos 1, 2, 3 y 4. Calculamos el centro O y por él trazamos larecta perpendicular al plano P, como la perpendicularidad entre recta y plano seconserva, simplemente trazamos perpendicular a P’ por o’ y a P por o. Sobre estaperpendicular hay que colocar la diagonal del cuadrado, obsérvese que laperpendicular que hemos trazado es una recta frontal y por tanto se ve enverdadera magnitud en proyección vertical, entonces a partir de o’ situaremos media

diagonal hacia arriba, punto 5', y media hacia abajo, punto 6'. Una vez marcado loscontornos de ambas proyecciones, vamos a estudiar los puntos 4' y 2' en proyecciónvertical, vemos que en proyección horizontal 4 tiene mas distancia que 2 luego 2'será oculto y 4' será visto, entonces las aristas 5'2' y 6'2' serán ocultas y las 5'4'


Página nº 91

Figura 124

y 6'4' serán vistas.En proyección horizontal, vamos a estudiar los puntos 5 y 6 que son los vérticesexteriores al cuadrado 1234. Vemos en proyección vertical que el vértice 5' es masalto que el 6', luego las aristas que pasan por 5' serán vistas y las que pasan por 6'serán ocultas.

ICOSAEDRO.

Poliedro compuesto por veinte triángulos equiláteros, doce vértices y treintaaristas. Figura 124.

Vamos a representarlo con una diagonal vertical, recta que une dos vérticesopuestos. Figuras 125 y 126.

Vamos a abatir los cinco triángulos que concurren en el vértice 12 sobre el PH.Observemos los triángulos 12(3)(1) y 12(9)(1), cuando estos triángulos estén en suposición final los vértices (1) deben de coincidir en uno solo. Girando los vértices (1)

alrededor de los ejes (1)(3) y (1)(9)respectivamente, describirán arcos decircunferencias que los veremos como rectasy se cortarán en el punto 1. Teniendo encuenta la simetría de la figura, unimos estepunto con el centro y nos permite encontrarlos vértices 3-5-7-9, que unidos nos dan unpentágono regular de vértices 1-3-5-7-9.Ahora vamos a construir el poliedroempezando por el vértice 11 de la diagonal.Realizando la misma construcción, obtenemosotro pentágono regular centrado con elanterior pero simétrico respecto de un ejeperpendicular a LT y que pase por los vértices11-12 de vértices 2-4-6-8-10. El lado del

pentágono es el lado del icosaedro. Cerramos el poliedro con un decágono regular.Para determinar la proyección vertical, primeramente fijemos el vértice 12' en LT,observamos que el lado 12-1 es una arista frontal por lo que 12'-1' estará enverdadera magnitud, levantando una perpendicular por 1 donde la circunferencia decentro 12' y radio el lado del icosaedro corte a esta perpendicular, ahí tendremos


Página nº 92

Figura 125

el vértice 1' y a la misma altura los vértices 3'-5'-7'-9'. Ahora vamos a calcular ladiferencia de altura que existe entre la arista 57 y el vértice 6. En las figuras 125y 126, se ha representado aparte el triángulo 567, el segmento m6 en realidad esla altura de una cara del icosaedro, construyendo el triángulo rectángulo de catetom6 e hipotenusa la altura de una cara, nos dará el segmento h1, diferencia de alturaentre la arista 57 y el vértice 6. Seguidamente llevamos este segmento a partir dela línea 1'-3'-5'-7'-9' y nos dará la línea de los vértices 2'-4'-6'-8'-10'. Por últimoel lado 6'-11' es una arista frontal y en proyección vertical veremos verdaderamagnitudes, donde la circunferencia de centro 6' y radio el lado del icosaedro cortea la perpendicular trazada por 11, tendremos el vértice 11'. En proyección verticaltodo es visto pues coinciden vértices y caras por ser el plano 1-6-11-12 de simetríapara el icosaedro y en proyección horizontal tengamos en cuenta que el pentágonode vértices 1-3-5-7-9 y las aristas 12-1, 12-3, 12-5, 12-7 y 12-9 serán ocultas y enel otro pentágono serán vistas. Véase que el pentágono 1-3-5-7-9 tiene menor cotaque el pentágono 2-4-6-8-10 por tanto, este último será el visto.


Página nº 93

Figura 126

Otra forma de representar el icosaedro es teniendo una cara apoyada en el PH.Figura 129.

Observando la figura vemos que las caras que forman parte del vértice 3 formanuna pirámide de base pentagonal de vértices 1-2-5-7-4, si abatimos este pentágonosobre PH obtenemos los vértices (4), (5) y (7). Procedamos a desabatir elpentágono, el vértice (7) describirá, en proyección horizontal, una recta y enproyección vertical, un arco de circunferencia; por otro lado, la arista 37, por serfrontal, se verá en verdadera magnitud siendo 3'7' el lado del icosaedro, asítenemos fijado el punto 7' y por consiguiente los vértices 4' y 5', pues el pentágonose verá como la recta 7'1'. Obtenido el vértice 7, obtenemos el 8 y el 9. Dándole ungiro de 180º a la figura obtenida, tenemos la otra mitad del icosaedro, los triángulos


Página nº 94

Figura 127

Figura 128

1-2-3 y 10-11-12 quedarán centrados entre sí, lo único que falta es cerrar elpoliedro. En proyección vertical tenemos los vértices 1'-2'-3', 4'-5' y 7', asociadospor cotas. El 6' tiene la misma cota que los 4'-5' y el 8' y 9' la misma que el 7'. Nosfaltan por determinar las cotas de los vértices 10'-11'-12'. Observando la arista 6-12 vemos que es frontal por tanto, 6'-12' se verá en verdadera magnitud, trazandocon centro en 6' una circunferencia de radio el lado del icosaedro hasta cortar a laperpendicular a LT trazada por 12, tendremos el vértice 12'. Obtenido 12' quedandeterminados el 10' y el 11'. Para el estudio de las partes vistas y ocultas enproyección vertical todo es visto mientras que en proyección horizontal, una vezmarcado el contorno, todas las aristas que parten de los vértices de la cara 1-2-3son ocultas y todas las que parten de la cara de vértices 10-11-12 son vistas.Obsérvese que la cara 1-2-3 es la apoyada en PH y es la mas baja mientras que la 10-11-12 es la cara mas alta.

La sección principal del icosaedro es un exágonoirregular pasando por dos aristas opuestas, tienedos lados iguales a las aristas del icosaedro y losotros cuatros lados son iguales a las alturas decada cara. El icosaedro posee quince sesionesprincipales. Figura 127.

En la figura 128 está representado el poliedroconjugado del icosaedro que es el dodecaedro.


Página nº 95

Figura 129

CUBO O EXAEDRO.

El cubo es el poliedro que estar formado por seis caras cuadradas, ocho vértices ydoce aristas. Las aristas son paralelas y perpendiculares dos a dos a igual que lascaras.

La forma mas simple de representar el cubo es teniendo una cara apoyada en PH,esta se verá en verdadera magnitud y las aristas que pasan por sus vértices seránrectas verticales y también se verán en verdadera magnitud. Figura 130.


Página nº 96

Figura 130

Figura 131

Otra manera de representar el cubo es cuando la diagonal principal es una rectavertical. Llamamos diagonal principal a la que une dos vértices opuestos. Figura 131.


Página nº 97

Figura 132

Observando la figura 131, el cubo queda inscrito en una esfera de diámetro ladiagonal principal 1'-5'. Dividiendo esta diagonal en tres partes iguales obtenemoslos vértices 2' y 6' que unidos con 1' y 5' nos da el contorno del poliedro, lo únicoque faltan son las aristas 3'-7' y 4'-8' que por ser el plano 2-1-5-8 de simetría parael cubo hace que las aristas coincidan en proyección vertical. Para determinar laproyección horizontal, el contorno de la figura será un exágono regular de ladoinscrito en la circunferencia de radio o2'-6'. Las demás aristas se ven en el gráfico.En proyección vertical todo es visto, mientras que en proyección horizontal lasaristas se va alternándose la visibilidad. Obsérvese que la arista 1'-2' es la más altay será vista mientras que la 5'-6' es la mas baja y será oculta.

Otra representación del cubo es teniendo una arista en uno de los planos deproyección. Consideremos un cubo que tiene una arista en el PH. Figura 132.


Página nº 98

Figura 133

Sea la arista 1-2 la situada en PH, si realizamos un cambio de plano y la colocamosde punta veremos las caras que son perpendiculares a esta arista en verdaderamagnitud, dibujamos el cuadrado con las condiciones que nos fije el problema yprocedemos a obtener la proyección horizontal. Las caras que pasan por los vértices1 y 2 por ser perpendiculares a la arista 1-2 serán planos verticales y se verán comolíneas, obteniendo del cambio de plano la correspondencia de los vértices queforman el cubo. En proyección vertical situaremos los vértices con la misma cota quetienen en el cambio de plano. Veamos ahora la visibilidad del poliedro. En proyecciónhorizontal la arista 1-2 es oculta pues es la mas baja y la 3-4 es vista por ser la masalta, en proyección vertical, después de marcar el contorno nos quedan dos vérticespor determinar que son el 5' y el 8', mirando en proyección horizontal vemos que elvértice 8 está mas alejado del PV que el 5 por tanto, el 5 y las tres aristas queconcurren en él serán ocultas y las que concurren en el 8 vistas.

La última representación que nos queda del cubo es cuando nos dan una cara situadaen un plano P cualquiera. El proceso para su construcción es el mismo que el quehemos expuesto en el tetraedro y octaedro, determinaremos las proyecciones delcuadrado, trazaremos por sus vértices cuatro rectas perpendiculares al plano delcuadrado, elegiremos una de ellas y la giraremos para ponerla en verdaderamagnitud, sobre esta colocaremos el valor del lado del cubo y procederemos arealizar el giro al revés, determinándose así los vértices restantes. Figura 134.

La sección principal del cubo es la que pasa por dos aristas opuestas y es unrectángulo. El cubot i e n e s e i ss e c c i o n e sprincipales. Elpoliedro conjugadoes el octaedro.Figura 133.


Página nº 99

Figura 134


Página nº 100

Vamos a comentar la construcción de la figura 134. El problema nos da la trazahorizontal P de un plano y su abatida (P’) así como el cuadrado abatido. Una vezencontrada la traza vertical P’, desabatimos el cuadrado y determinamos suproyección vertical. Para ello vemos que el vértice (2) al estar sobre (P’) suproyección vertical estará sobre P’ y la horizontal sobre LT, así determinamos elvértice 2. Las rectas (2)(3) y (3)(4) cortan a P en z y x respectivamente, aplicandoafinidad, obtenemos los vértices 3 y 4 ya que las aristas 23 y 34 se cortarán en Pen los puntos z y x respectivamente. Una vez conocida la proyección horizontal delcuadrado determinamos la proyección vertical mediante rectas del plano P.Obsérvese que la arista 2'3' está sobre la recta 2'z’ y la arista 3'4' sobre la recta3'x’. Para determinar la cara superior, trazamos cuatro rectas perpendiculares a P’-P por cada vértice del cuadrado, como la perpendicularidad entre rectas y planos seconserva, basta con trazar perpendiculares a P’ y P por los vértices 1'-2'-3'-4' y 1-2-3-4 respectivamente. Elegimos la arista que pasa por el vértice 1'-1 y en ellatomamos un punto auxiliar Y, giramos este punto hasta poner la arista frontal, enla recta 1'-yg’ se ven verdaderas magnitudes y a partir del vértice 1' llevamos sobreella el lado del cuadrado, obteniéndose el punto vg’, deshaciendo el giro obtenemosv’ y v, trazando por estos puntos paralelas a las aristas del cuadrado obtenemos losvértices restantes. Para estudiar las partes vistas y ocultas, previamentemarcaremos los contornos y después analizaremos los vértices que quedan dentrode estos. En proyección vertical quedan los vértices 2' y 8', los localizamos enproyección horizontal y vemos que el vértice 8 tiene mayor distancia que el 2 luego,las aristas que pasan por 8' serán vistas y las que lo hacen por 2' ocultas. Enproyección horizontal vemos los vértices 4 y 7 que localizados en proyecciónvertical, el 7' tiene mayor cota que el 4', por tanto serán vistas las aristas quepasan por el vértice 7 y ocultas las que lo hacen por el 4.

DODECAEDRO.

Poliedro compuesto por doce caras pentágonos regulares, veinte vértices y treintaaristas. Figura 135.

La representación mas fácil del dodecaedro es teniendo una cara apoyada en uno delos planos de proyección. Consideremos que está apoyado sobre el PH. Figura 137.


Página nº 101

Figura 135

Figura 136

Sea la cara apoyada en PH la 1-2-3-4-5,consideremos las dos caras que comparten lasaristas 1-5 y 1-2, abatámoslas sobre PH,tendremos los pentágonos 1-2-(10)-(15)-(6) yel 1-5-(7)-(11)-(6), observamos que losvértices (6), en cada pentágono, tienen queser el mismo vértice cuando los pentágonosestén en su posición. Giremos los vértices (6)alrededor de los ejes 1-5 y 1-2respectivamente, estos vértices describiránarcos de circunferencias que lo veremoscomo rectas perpendiculares a susrespectivos ejes de giros, donde estas rectasse corten tendremos el vértice 6. Por

simetría obtenemos los vértices 7-8-9-10 que unidos con los vértices 5-4-3-2 nosda medio dodecaedro. Girando la figura obtenida 180º tenemos la otra mitad delpoliedro, de tal manera que lo pentágonos 1-2-3-4-5 y 16-17-18-19-20 quedaráncentrados entre sí.Lo único que nosqueda es cerrar laf igura por e lcontorno, aristas 6-11-7-12-8-13-9-14-10-15-6. Todas lasaristas que partende l pentágonoinferior, el 1-2-3-4-5, son ocultas y lasdel 16-17-18-19-20serán vistos. Paradeterm ina r l aproyección verticalvamos a situar elvértice 6', vemosque la arista 1-6 es frontal, por tanto, en proyección vertical se verá en verdaderamagnitud, haciendo centro en 1' y con radio el lado del dodecaedro hasta cortar ala perpendicular trazada por 6 a LT, donde obtendremos el vértice 6'. Los vértices


Página nº 102

Figura 137

7'-8'-9'-10' tienen la misma altura que el 6'. Vamos a determinar, ahora, las alturasde los vértices 11'-12'-13'-14'-15'. Vamos a calcular la altura del vértice 13. Vertambién la figura 136. En la figura 137, hemos separado la cara 3-4-8-13-9 para untrazado mas claro. El segmento m-13en realidad es la distancia de un vértice al ladoopuesto de un pentágono, si construimos el triángulo rectángulo cuyo cateto sea m-13 y la hipotenusa la distancia antes enunciada, obtenemos la altura h del vértice 13'en el otro cateto. Fijado este tenemos determinados también los 11'-12'-14'-15'.


Página nº 103

Figura 138

Por último vamos a fijar los vértices 16'-17'-18'-19'-20'. Observando la arista 13-19vemos que es frontal, por tanto, en proyección vertical estará en verdaderamagnitud, trazando una circunferencia de centro 13' y radio el lado del dodecaedrohasta cortar a la perpendicular a LT por el vértice 19, obtenemos la posición delvértice 19' y con él la de los 16'-17'-18'-20'. En esta proyección todo es visto yaque al ser el plano 1-6-13-19 de simetría para la figura, las aristas coincidirán unascon otras.La sección principal del dodecaedro pasa por dos aristas opuestas y es un exágonoirregular con dos lados iguales a la arista del dodecaedro y los otros cuatro son ladistancia que hay desde un vértice de una cara al lado que está enfrente en la mismacara. Figura 138.El poliedro conjugado del dodecaedro es el icosaedro. Figura 138.

Determinación de secciones planas.

Para determinar la sección que un plano le produce a una figura, sea cual sea lafigura, si el plano que no dan es un plano oblicuo a los de proyección, procederemosa colocar el plano en un plano de canto, de esta manera, la sección que produce elplano se verá como una recta y su determinación es inmediata. En las figuras 139,140, 141 y 143 se han planteado secciones planas producidas a poliedros.


Página nº 104

Figura 139

Figura 139. Sección plana de un cubo por un plano de canto.Por estar el plano de canto la sección es la línea 1'-2'-3'-4' lo que tenemos quehacer es colocar cada punto en su arista en proyección horizontal. Para el estudiode las partes vistas y ocultas se ha tenido en cuenta la existencia del plano P, enproyección vertical la visibilidad es la misma que si no estuviera el plano P y en


Página nº 105

Figura 140

proyección horizontal es visto desde el corte hacia arriba.

Figura 140. Sección plana de un octaedro por un plano paralelo a LT.Realizamos un cambio de plano para poner el plano dado en un plano de canto,tomamos una nueva LT perpendicular a la traza horizontal P del plano, cambiamos elplano y el octaedro, el corte se ve como la línea a’‘-b’‘-c’‘-d’‘-e’‘-f’‘, situamos estospuntos en proyección horizontal y proyección vertical cada uno a su arista, si hayalgún punto que al situarlo sea impreciso, piénsese que las alturas del diedro original


Página nº 106

Figura 141

y el del cambio de plano, son iguales. Visibilidad de la figura, observando el cambiode plano, es visto desde el corte hacia arriba y hacia adelante, determinado el corteen ambas proyecciones las partes vistas serán, en proyección vertical del cortehacia arriba y en horizontal del corte hacia adelante.

Figura 141. Sección plana de un icosaedro por un plano vertical.

Algunas veces nos encontramos con puntos como el 3 que a la hora de determinarsu proyección vertical no podemos hacerlo por estar situado en una recta de perfil,para solucionarlo hemos realizado un cambio de plano, hemos situado el punto 3'’ ymedimos la altura que tiene, esta altura es la misma que la del punto 3'. En otrasocasiones después de calcular los distintos puntos que forman la línea de la secciónnos encontramos con el problema de ¿cómo se unen?, ¿en que orden?. Parasolucionarlo basta con mirar en la proyección donde el corte se ve como una recta,


Página nº 107

Figura 142

siempre que la figura sea convexa y no tenga entrantes ni salientes, podemos usarel siguiente criterio, mirando la proyección horizontal, hay que partir del punto 1 yllegar al punto 2 por dos caminos, uno por los puntos vistos y otro por los puntosocultos, de esta manera obtendremos el orden de unión de la proyección vertical.Figura 142.

Figura 143. Sección plana de un cubo por un plano oblicuo a los de proyección.

Para poder ver la sección que el plano P le produce al cubo hemos realizado uncambio de plano para poner el plano P de canto, en el cambio de plano vemos el cortecomo la recta 1'’-2'’-3'’-4'’. Situamos los puntos citados sobre sus correspondientes


Página nº 108

Figura 143


Página nº 109

aristas en proyección horizontal y vertical respectivamente. Obsérvese que la caradel cubo que pasa por los puntos 1 y 3 es un plano vertical y la que pasa por lospuntos 2 y 4 también. El corte que el plano P le produce a estos dos planos se puedenresolver como intersecciones de planos. La intersección de P con la cara que pasapor los puntos 1 y 3 es la recta AB y de ella nos quedamos con el trozo que estádentro de la cara del cubo, asimismo una paralela trazada por el punto C nos darála intersección con el otro plano, quedándonos con el trozo de recta que quedadentro de la cara del cubo. Para la visibilidad hemos considerado la existencia delplano P, mirando en el cambio de plano vemos que será visto en proyección verticaldesde el corte hacia arriba y en proyección horizontal desde el corte haciaadelante.

Intersección de una recta con un poliedro.

Para calcular la intersección de una recta R con un poliedro tomaremos un plano Pproyectante (vertical o de canto) que contenga a la recta y determinaremos lasección que este plano le produce al poliedro, una vez obtenida la sección, esta y larecta están en el plano P y pueden ocurrir, cuatro cosas, figura 144:

a). La recta corta a la sección en dos puntos.b). La recta toca a la sección en un punto.c). La recta coincide con una linea de la sección.d). La recta es exterior a la sección.

Esto quiere decir que la recta y el poliedro serán:

a). Que tenga dos puntos en común con él, punto de entrada y punto de salida.b). Que toque a una arista en un punto.c). Que coincida con una cara del poliedro.d). Que sea exterior al poliedro, es decir, no lo toca.


Página nº 110

Figura 144

En la figura 145 se ha resuelto la intersección de una recta R con un cubo.

El plano P’-P le produce al cubo la sección 1-2-4-3 y vemos que la proyecciónhorizontal r corta a la sección en los puntos A y B, puntos de entrada y salida en elcubo.

Para estudiar la visibilidad, en proyección vertical, la recta queda dividida en lassiguientes zonas yendo de izda. a dcha., antes del punto 1', del 1' al a’, del a’ al b’, delb’ al 4' y del 4' hacia la dcha., tanto el punto a’ como el b’ son vistos (se ve enproyección horizontal que el segmento 1-2 y el segmento 2-4 están en caras vistas),entonces será visto desde la izda. hasta a’ y desde b’ hacia la dcha. La zona a’-b’serán oculta por estar dentro del cubo.

En proyección horizontal la recta queda dividida en las siguientes zonas, desde laizda. hasta x, desde x hasta a, desde a hasta b, desde b hasta y y desde y hacia laizda. El punto a es visto mientras que el b es oculto (se ve en proyección vertical queel segmento 1'-2' esta en cara vista y el segmento 2'-4' esta en cara oculta),entonces será visto desde la izda. hasta a y oculto desde a hasta el punto y el restohacia la dcha. es visto.


Página nº 111

Figura 145

Documents

J. C. Izquierdo - PROBLEMAS DE DIBUJOjcizquierdo.netai.net/pdf/apuntes/apuntes13.pdf · Una superficie puede engendrarse de dos ... El plano tangente lo es solo para un punto de