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Plano tangente a uma superficie: G(f).
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.
Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) RRAf 2:
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)
0)0.(1)()(00 00 zzfyyfxx yx
),( 000yx
x
ff x
),( 000
yxy
ff y
Plano tangente a uma curva.
A interseção do plano eA curva z=f(x,y) é justamente o ponto (x0,y0)
http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html
h
rfuhrfDf hu
)()(lim 00
0
Derivada direcional
Definição: Seja RRAf n : uma função realde variável vetorial
Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de Rn.A derivada direcional de f no ponto r é
Se o limite existe. Define uma reta LQue passa por r0 na direção u .
ruhr 0
Derivada direcional
)),,(
-
),,((lim
000
3020100
h
zyxf
h
huzhuyhuxfDf hu
RRAf 3:Seja , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3)
Conforme h0, r r0
Derivada direcional
)),(),(
(lim 0020100
h
yxfhuyhuxfDf hu
RRAf 2:Seja , e ro=(x0,y0), e u=(u1,u2)
ro
ro+ h u = r
u
Conforme h0, r r0
Derivada direcional
Derivada direcional
u
ffD
u
É a taxa de variação de f em relação à
distancia no ponto r0, ao longo do vetor unitário u .
Particularizando para u = e1= (1,0) = i
Particularizando para u = e1 = (0,1) = j
01
|)()(
lim 0100 rhe x
f
h
rfehrffD
02
|)()(
lim 0200 rhe y
f
h
rfehrffD
Derivada parcial como taxa de variação.
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
),( 00 yxx
f
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
),( 00 yxy
f
Notemos que na definição de derivada direcional o vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional nãodependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor.
Exemplos
1.- Seja f(x,y)= x2+y2+1, determine a derivada direcional dafunção f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitáriou=(u1,u2).
2.- Seja f(x,y,z)= x2 + 2 y2 – z, determine a derivada direcional de f no ponto (1,1,1) na direção v=(1,2,1)
3.- Determine a taxa de variação do potencial elétricoV = k (x2+y2+z2)-1/2 no ponto (1,2,0) na direção v=(1,2,0),K é uma constante, assuma k=1.
Gradiente de uma função real de variável vetorial.
Definição: Seja )uf( )x,..,x,(xu
:
n21
RRAf n
uma função real de variável vetorial , sendo u um vetor arbitrário de A subconjunto de Rn
)f
,...,f
,f
()( f
:
n21 xxx
fgrad
RRfgrad n
Existe uma transformação linear que leva f a um vetor Rn
chamado de vetor gradiente “grad f”
“grad” Operador gradiente grad (f) vetor gradiente
n
x
2
x
1
x
ef
...ef
ef
)(
n21
fgrad
)1,....,0,0(
.
)0,...,1,0(
)0,....,0,1(
2
1
ne
e
e
Caso f: R3 R, f=f(x,y,z)
)f
,f
,f
()f
,f
,f
()(yxxxx 321 z
fgrad
Operador Gradiente
À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce ficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem.
F(x,y)= x2- y2, grad(f) = (2x, -2y)
costuma se pensar em grad (f) como um campo devetores no domínio de f
Propriedades algébricas do vetor gradiente
.g
grad(g) )( )(
),( )() (
, ) (
2
ffgradg
g
fgrad
ggradfgfgradgfgrad
grad(g)grad(f)gfgrad
α, β são constantes.
Exemplos:1.- seja f(x,y,z)= x + yz, g(x,y,z)= x2+y2+ xy + z,determine grad(f/g) e grad( f+g) utilizando as propriedades anteriores.
Propriedade importante
ufgradfDu
).(
Exemplo:Determine o vetor gradiente da função f(x,y)=x2+y2+1,Verifique a relação anterior
u é um vetor unitário
gradiente de f
Z=f(x,y)=x2+y2+1
grad(f) = (2x,2y)
Propriedade importante
1|| , ).( uufgradfDu
)cos(|)(| fgradfDu
fDu
Varia com o ângulo ϴ,sendo esta variação máxima quando ϴ = 00
Dado um ponto r =(x1,x2,...,xn) de Rn, sendo f=f(x1,x2,...,xn)
Propriedades importantes
1) A taxa máxima de crescimento de f no ponto r ocorre na direção do gradiente.
2) O valor máximo de no ponto r é |grad(f)|
3) Se grad(f)=(0,...,0)= 0 então para todo u
4) Se a função é z=f(x,y), então as curvas de nívelsão perpendiculares em qualquer ponto ao vetorgrad(f).
5.- Se a função é w=f(x,y,z), então a superfície de nível é perpendicular ao grad(f).
fDu
0fDu
exercícios
1) Seja a função real de variável vetorialz=f(x,y)= 2sin(x+y)
a) Determine o gradiente de f no ponto (pi/4,pi/4)=P0.b) Determine a derivada direcional de f(x,y) no ponto P0
na direção u=(1,2), v=(0,1), w=(1,0), respectivamente.c) Em que direção a derivada direcional de f no ponto P0
tem a taxa máxima de variação.d) Qual é a taxa máxima de variação de f no ponto P0
e) Mostre que as curvas de nível são ortogonais ao vetorgradiente de f em cada ponto do dominio.
Seja f: R3 R, w = f(x,y,z),Consideremos a superfície de nível “S” c = f(x,y,z). Seja r(t) o vetor que parametrisa uma curva αque descansa na superfície S. Logo
Vetor gradiente numa superfície de nível
0 ).( Vfgrad Eles são perpendiculares
),,( zyxrV Ele é tangente à superfície “S”
))(),(),(()( tztytxtr e a velocidade V é :
Equação do plano tangente à superfície de nível S
Dado o ponto P0=(x0,y0,z0) ϵ S, e seja
),,(| 0000zyx
x
f
x
fP
),,(| 0000
zyxy
f
y
fP
),,(| 0000zyx
z
f
z
fP
000|)0(|)(|)( 00 PPP
z
fzz
y
fyy
x
fxx
Equação do plano tangente à superfície S
ExemplosExemplo1.- Seja a superfície de nível c = f(x,y,z), onde f(x,y,z) =x2+y2 - z; ou dito de uma forma diferente, temos uma superfície definida pela equação x2+y2-z = c. Sendo c uma constante real. Determine a equação do plano tangente a dita superfície no ponto P0=(1,1,-2)Exemplo 2.- Seja a superfície S definida pela equação 4cos(x+y) – z = 0. a) Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto P0=( pi/4,pi/4,0).b) Seja uma curva α parametrizada do seguinte modo r(t)=(t,t,g(t)), determine g(t) para que a curva descanse na superfície S. Determine o vetor unitário tangenteá curva para t=pi/4.