MATEMATIKA

VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA JE 120 MINUTA

Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba digitrona nije dozvoljena. Pažljivo pročitajte uputstvo. Ne okrećite stranice i ne rješavajte zadatke dok to ne dozvoli dežurni nastavnik. Test sadrži 20 zadataka. Tokom rada možete koristiti formule koje su date na stranama 4 i 5. Uz test je dat i list za odgovore za zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da na odgovarajuće mjesto pažljivo prepišete svoje odgovore za prvih 8 zadataka. Očekuje se da je kod zadataka otvorenog tipa detaljno napisan postupak rješavanja, da je krajnji rezultat sveden (npr. izvršeno je skraćivanje razlomaka, sabiranje članova iste vrste) i da je napisana odgovarajuća jedinica mjere (kod zadataka iz stereometrije). Zadatak će se vrednovati sa 0 bodova ako je:

netačan zaokruženo više ponuđenih odgovora nečitko i nejasno napisan rješenje napisano grafitnom olovkom

Grafike i geometrijske slike možete crtati grafitnom olovkom. Ukoliko pogriješite, prekrižite i rješavajte ponovo. Ako ste zadatak riješili na više načina, nedvosmisleno označite koje rješenje ocjenjivač boduje. Kad završite sa rješavanjem, provjerite svoje odgovore. Želimo vam puno uspjeha!

JANUAR 2016.

PRAZNA STRANA

4

,,12 biazi Rbabiaz ,,

,33)( 32233 babbaaba ))(( 2233 babababa

nmnm aaa , nmnm aaa : , )0(,1

aa

am

m , m

n

m n aa

a

acbbxacbxax

2

40,0

2

2,1

2

Vietova pravila: a

cxx

a

bxx 2121 ,

Tjeme parabole: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bT

cbbc aaa loglog)(log , cbc

baaa logloglog , brb a

r

a loglog , a

bb

c

ca

log

loglog

bk

b aak log1

log

cossin22sin , 22 sincos2cos cossincossin)sin( ,

sinsincoscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1

)(

2

cos2

sin2sinsin

, 2

sin2

cos2sinsin

2

cos2

cos2coscos

, 2

sin2

sin2coscos

Sinusna teorema: Rcba

2sinsinsin

Kosinusna teorema : cos2222 bccba

Trougao: 2

aahP ,

2

sinabP ,

))()(( csbsassP , 2

cbas

, srP ,

R

abcP

4

Paralelogram: ahaP , Romb: 2

21 ddP

Trapez: h

baP

2

Prizma: MBP 2 , HBV

Piramida: MBP , HBV 3

1

Zarubljena piramida: MBBP 21 , )(3

2211 BBBBH

V

FORMULE

5

R – oznaka za poluprečnik

Valjak: )(22 HRRMBP , HRHBV 2

Kupa: )( lRRMBP , HRHBV 2

3

1

3

1

Zarubljena kupa : ))(( 21

2

2

2

1 lRRRRP , )(3

1 2

221

2

1 RRRRHV

Sfera: 24RP Lopta: 3

3

4RV

Rastojanje između dvije tačke: 2

12

2

12 )()( yyxxAB

Površina trougla: )()()(2

1213132321 yyxyyxyyxP

Ugao između dvije prave: 21

12

1 kk

kktg

Rastojanje između tačke i prave: 22

00

BA

CByAxd

Kružna linija: 222 )()( Rbyax

Uslov dodira kružne linije sa centrom u koordinantnom početku i prave

222 )1( nkR

Elipsa: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF

Uslov dodira prave i elipse: 2222 nbka

Hiperbola: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF , asimptote hiperbole

by x

a

Uslov dodira prave i hiperbole: 2222 nbka

Parabola: pxy 22 , )0,2

(p

F

Uslov dodira prave i parabole: knp 2

Aritmetički niz: dnaan )1(1 , naa

S nn

2

1

Geometrijski niz: 1

1

n

n qbb , 1,1

)1(1

q

q

qbS

n

n

6

2.

3.

1.

Za koliko je veća od sume brojeva – 1, 2 i – 3, suma kvadrata istih brojeva?

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

3 boda

Najmanji zajednički sadržalac polinoma 212 xx , 13 xx , 12 x je:

A. 2

6 1 1x x x

B. 22 26 1 1x x x

C. 26 1x x

D. 226 1 1x x x

3 boda

U planinskom centru, žičara preveze prosječno 5500 turista tokom vikenda u

vrijeme sezone skijanja. Ljeti se tokom vikenda preveze prosječno 1760 turista.

Za koliko je procenata manji broj prevezenih turista tokom ljetnjeg vikenda u

odnosu na zimski vikend?

A. 17%

B. 32%

C. 55%

D. 68%

3 boda

U sljedećim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.

7

6.

5.

4. Sređivanjem razlomka

1

91 1

3 9

a

a

a

dobija se:

A. 1a

B. 3a

C. 1

3

a

D. 9

9

a

a

3 boda

Neka je uređeni par 0 0,x y rješenje sistema jednačina 5 2 3

2 0

x y

x y

.

Koliko je 0 0x y ?

A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

3 boda

Koja od datih jednačina ima korijene ,i i ( i je imaginarna jedinica)?

A. 2 1 0x

B. 2 1 0x

C. 2 1 0x x

D. 2 1 0x x

3 boda

8

7.

8.

Vlasnik lanca motela želi da napravi novi motel na najbližem mjestu koje je jednako udaljeno od tri puta a, b i c koji izgledaju kao na slici.

Koju značajnu tačku trougla treba da sadrži lokacija na kojoj će se naći motel?

A. Centar opisanog kruga

B. Centar upisanog kruga

C. Ortocentar

D. Težište

3 boda

Koja od navedenih funkcija je monotono rastuća?

A. ( ) 3logf x x

B. ( ) 0,1 0,1f x x

C. ( ) 3 ( )f x tg x

D. ( ) 10 xf x

3 boda

9

9.

Dokažite jednakost 2 2 2 2 2 2ad bc ac bd a b c d .

Rješenje:

2 boda

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.

10

10.

Koje vrijednosti može uzeti ,x x R tako da proizvod binoma 3 – x i 2x + 6 bude

pozitivan.

Rješenje: 3 boda

11

11.

Koja je najveća vrijednost parametra a za koju jednačina

2 23 4 0x a x a ima rješenje 3x ?

Rješenje:

3 boda

12

12.

Izračunajte:

a) log 4

b) 2 2sin 1 cos 1o o

c) cos2

d) 3 3log log 27

Rješenje:

4 boda

13

13.

Riješiti jednačinu 2 7

3 3 3 723 9

x x x .

Rješenje:

3 boda

14

14.

U datom koordinantnom sistemu nacrtajte grafik funkcije ctgxy na intervalu

2, .

Rješenje:

3 boda

15

15.

Koristeći podatke sa crteža odredite dužinu duži AD , ako je poznato da je 2DC i

da je 30oCAB .

Rješenje: 3 boda

16

16.

U trouglu ABC su poznate stranice 2 3b , 3 2c i ugao 60o . Odredite

mjeru ugla .

Rješenje: 3 boda

17

17.

Svijeću oblika valjka prečnika 40 cm i visine 60 cm treba pretopiti u 100 jednakih

svijeća prečnika 4 cm. Aako se u procesu topljenja izgubiti 10% voska kolike će biti

visine dobijenih svijeća.

Napomena: Uz rješenje je neophodno da nacrtate i skicu koja odgovara tekstu zadatka.

Rješenje: 3 boda

18

18.

Kružna linija sa centrom u tački 6, 5 sadrži tačku 2,1 .

a) Odrediti dužinu prečnika te kružne linije.

2 boda

b) Napisati jednačinu te kružne linije. 1 bod

Rješenje:

19

19.

Odredite jedanaesti član geometrijskog niza 2, 2 2, 4,...

Rješenje: 3 boda

20

20.

Odrediti domen funkcije ( ) ln(cos ).f x x

Rješenje: 2 boda

21

22

23

24

25

26