JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ...Harita (Jeodezi ve Fotogrametri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan geometrik ölçmelerden oluşur. Çoğunlukla bulunmak

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ

JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ

Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT

Ders Notu

KOCAELĐ Eylül, 2011

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ

JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ


Ders Notu

KOCAELĐ Eylül, 2011

ii

ĐÇĐNDEKĐLER

Sayfa

ĐÇĐNDEKĐLER........................................................................................................................... ii

SĐMGE LĐSTESĐ ....................................................................................................................... iv

KISALTMA LĐSTESĐ ................................................................................................................ v

ŞEKĐL LĐSTESĐ ........................................................................................................................vi

ÇĐZELGE LĐSTESĐ ..................................................................................................................vii

ÖNSÖZ....................................................................................................................................viii

ÖZET......................................................................................................................................... ix

ABSTRACT ............................................................................................................................... x

1. MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA................................................................ 1

2. MATEMATĐK MODEL TESTĐ.............................................................................. 3

2.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 3 2.2 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 3

3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ ......................................................................... 4

3.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 4 3.2 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 4

4. PARAMETRE TESTĐ ............................................................................................. 5

4.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 5 4.2 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 5 4.3 Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi....................................... 6

5. UYGULAMALAR.................................................................................................. 7

5.1 Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi......................................... 7 5.2 Parametrelerin Anlamlılık Testi .............................................................................. 8 5.3 Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri ........................................................... 11 5.4 Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri ................. 14 5.4.1 1B Dönüşümler...................................................................................................... 14 5.4.2 2B Dönüşümler...................................................................................................... 14 5.4.2.1 Bilineer Dönüşüm.................................................................................................. 15 5.4.2.2 Afin Dönüşümü ..................................................................................................... 16 5.4.2.3 Benzerlik (Helmert) Dönüşümü ............................................................................ 18 5.4.3 Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü.................................................... 20 5.4.4 Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi ................................................................... 20

3

5.4.4.1 Matematik Model Testi.......................................................................................... 21 5.4.4.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi ...................................................................................... 21 5.4.4.3 Parametre Anlamlılık Testi.................................................................................... 22 5.4.5 Uygulama............................................................................................................... 22 5.4.5.1 Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi ............................................. 25

6. ÖDEVLER............................................................................................................. 38

KAYNAKLAR......................................................................................................................... 42

EKLER ..................................................................................................................................... 43

Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri ..................................................................................... 44 Ek 2 χ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı) ........................................................ 45 Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı) .......................................................... 46 Ek 4 τ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı).......................................................... 47 Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%5)................................................................................ 48 Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α=%975)..................................................................... 49 Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%1)................................................................................ 50

iv

SĐMGE LĐSTESĐ

A Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi x Bilinmeyenler vektörü σ2 Kuramsal varyans Σ Kuramsal varyans-kovaryans matrisi λ Dalga boyu

v

KISALTMA LĐSTESĐ

GNSS Global Navigation Satellite System HGK Harita Genel Komutanlığı IERS International Earth Rotation Service KOÜ Kocaeli Üniversitesi TKGM Tapu Kadastro Genel Müdürlüğü

vi

ŞEKĐL LĐSTESĐ

Sayfa

vi

ÇĐZELGE LĐSTESĐ

Sayfa

ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları. ................................................................ 8

vii

ÖNSÖZ

Harita (Jeodezi ve Fotogrametri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan geometrik ölçmelerden oluşur. Çoğunlukla bulunmak istenen bilgiye ulaşmak için gereğinden fazla ölçü yapılır. Bu ölçülerin planlanması aşamasında; kalite ve güven ölçütlerinden yararlanılırken, değerlendirme aşamasında hipotez testlerinden yararlanılır.

Jeodezik verilerin irdelenmesi dersi; yapılan ölçülerin değerlendirilmesi ve yorumlamasını aşamalarını kapsamaktadır. Bu ders kapsamında öğrencinin;

• Jeodezik ölçülerin modellenmesi,

• Bilinmeyenlerin ve ölçülerin EKK (En Küçük Kareler) yöntemine göre kestirlmesi,

• Matematik modelin test edilmesi,

• Uyuşumsuz ölçülerin test edilmesi ve ayıklanması,

• Parametrelerin test edilmesi,

yetilerini geliştirmesi öngörülür.


Eylül 2011, Kocaeli

ix

ÖZET

Anahtar Sözcükler: Matematik Model Testi, Uyuşumsuz Ölçüler Testi, Parametre Testi.

x

ABSTRACT

(ANALYSIS of GEODEDIC DATA)

Keywords: Mathematical Model Test, Outlier Test, Parameter Test.

Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (1 / 62)

1. MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA

Jeodezik ölçülerin EKK yöntemine göre değerlendirilmesinde kullanılan en önemli

dengeleme yöntemi dolaylı ölçüler yöntemidir. Nokta koordinatlarının yada nokta

yüksekliklerinin bilinmeyen seçildiği bir çok jeodezik problemin çözümünde, bilinmeyen

nokta koordinatları ve yükseklikler arasındaki ilişkiler jeodezik ölçüler ile sağlanır.

b Jeodezik ölçülerin ve ağın boyutu ( b=1,2,3 )

m Ölçü grubu sayısı

p Nokta sayısı

s Sabit nokta sayısı ( Serbest ağlarda s=0 )

n=b*m Ölçü sayısı

u=n-b*(p-s) Bilinmeyen sayısı ( Serbest ağlarda u=b*p )

d Datum parametre sayısı ( Serbest ağlarda d>0 )

f=n-u+d Serbestlik derecesi

σ0 Birim ölçünün karesel ortalama hatasının öncül değeri

L Ölçüler

v Düzeltmeler

lK Ölçülerin Varyan-Kovaryans Matrisi

12 KP −σ=l Ölçülerin ağırlık matrisi

xxx 0 += Bilinmeyenler

)x(vLL Φ=+= Fonksiyonel model

K+∂

Φ∂+Φ=+

=

xx

)x()x(vL

0xx

0 Bilinmeyenlere göre doğrusallaştırma


)x(L 0Φ−=l , v+= ll , 0xxx

)x(A

=∂Φ∂

=

xA=l P Matematik model

l−= xAv P Matematik model

lPAxAPA TT = Normal denklemler

xQ Bilinmeyenlerin ters ağırlığı

=><

=><

==

=+

−

−

minve0dveu}{rank)(

minve0dveu}{rank)(

0dveu}{rank)(

TTD

TD

T

1T

x

xxAAPA

xxAAPA

AAPA

Q

lPAQx T

x= Normal denklemlerin çözümü (dengeleme bilinmeyenleri)

xxx 0 += Dengeli bilinmeyenler

v+= ll Dengeli ötelenmiş gözlemler

vLL += Dengeli ölçüler

f

vPvm

T

0 ±= Birim ölçünün soncul duyarlığı

T

xAQAQ =

l Dengeli ölçülerin ters ağırlığı

lll

QPQQQ 1

v−=−= −

Düzeltmelerin ters ağırlığı

)x(h ϕ= Bilinmeyenlerin fonksiyonları

dxHdxx

)x(dh

x

=∂

ϕ∂=

T

xhHQHQ = Bilinmeyenlerin fonksiyonunun ters ağırlığı


2. MATEMATĐK MODEL TESTĐ

Foksiyonel ve stokastik modelin her ikisinin birden testini kapsar.

2.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa

Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer

kuramsal varyans olarak seçilir.

{ } 20

200 mE:H σ= Sıfır hipotezi

{ } 20

20S mE:H σ≠ Seçenek hipotezi

20

20

20

T mf

vPvT

σ=

σ= ~

2)1,f( α−χ

2.2 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa

Kuramsal varyans bilinmiyorsa, denetlenmiş benzer bir problemin sonuçları yada kendi

problemimizden yararlanarak elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağıntısı) model

testi yapılabilir.

{ } { } 20

20

200 mEmE:H σ== Sıfır hipotezi

{ } { }20

20S mEmE:H ≠ Seçenek hipotezi

20

20

m

mT = ~ )1,f,f(

F α− (20

20 mm > )

20

20

m

mT = ~ )1,f,f(

F α− (20

20 mm < )


3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ

Model testi geçersiz ise uyuşumsuz ölçüler araştırılır. i. ölçü grubunun kaba hata kestirim

değeri ve onun ters ağırlığı,

ii )vPQ(∆

=∆ b boyutlu i. ölçü grubu

1iiv

)PQP(Qi

−∆

= b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı

ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.

i1

iiv

Tii )vP()PQP()vP(R −= = i

1Ti

iQ ∆∆ −

∆

∆

∆

∆

==∆∆

×

m

2

1

1n

vPQL

,

=×

m

2

1

1n

)vP(

)vP(

)vP(

vPL

,

=×

mmv2mv1mv

m2v22v21v

m1v12v11v

nnv

)PQP()PQP()PQP(

)PQP()PQP()PQP(

)PQP()PQP()PQP(

PQP

L

LLLL

L

L

Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.

{ } 0E:H i0 =∆ Sıfır hipotezi

{ } 0E:H iS ≠∆ Seçenek hipotezi

Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla

gerçekleştirilir. Yanılma olasılığı α ise α0=α/n>0.001 olarak bulunursa α0=0.001 alınabilir.




20

iRT

σ= ~

2)1,b( 0α−χ


Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi

aşağıdaki gibi yapılır.

20

i

mb

RT = ~ )1,f,b( 0

F α−


4. PARAMETRE TESTĐ

Parametre testi; bilinmeyenler yada bilinmeyenlerin bir fonksiyonunun (örneğin deformasyon

analizinde) anlamlık testi şeklinde olmak üzere, kuramsal varyansın bilinmesi yada

bilinmesine göre aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir.

iT

xi )PAQ(x l= b boyutlu i. parametre grubu

iixxx)Q(Q

i= b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı

ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.

i1

x

Tii xQxR

i

−=

==×

p

2

1

T

x1u

x

x

x

PAQxL

l ,

=×

ppx2px1px

p2x22x21x

p1x12x11x

uux

)Q()Q()Q(

)Q()Q()Q(

)Q()Q()Q(

Q

L

LLLL

L

L

Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.

{ } 0xE:H i0 = Sıfır hipotezi

{ } 0xE:H iS ≠ Seçenek hipotezi

Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla

gerçekleştirilir.



kuramsal varyans olarak seçil

20

iRT

σ= ~

2)1,b( α−χ


Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi

aşağıdaki gibi yapılır.

20

i

mb

RT = ~ )1,f,b(F α−


4.3 Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi

Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonlarından oluşan vektör )x(h ϕ= biliniyor ise bu

fonksiyon grubunun anlamlılığı aşağıdaki şekilde test edilir.

)x(h ϕ= Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonu

T

xhHQHQ = Fonksiyonların ters ağırlık matrisi

}Q{rankrh

=

hQhR 1

h

T −= Fonksiyonların modele etkisi



20

RT

σ= ~ 2

1r ),( αχ − Kuramsal varyans biliniyorsa

20mr

RT = ~ ),,( α−1frF Kuramsal varyans bilinmiyorsa


5. UYGULAMALAR

5.1 Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi

SV11 numaralı uydunun bir güne ait uydu saat hataları 2 saat aralıklı olarak belirlenmiştir.

Verilenlerden yararlanarak; uydu saat hatası için kurulacak olan modeli belirleyiniz. Aşağıda

verilen modellerden hangisi uygundur. Bulunuz. Saat hatalarının -102.000µµµµs ötelenmiş

değerleri kulanılmıştır.

i ti [h] δδδδi [µµµµs] δδδδi [ns] A x b v [ns] 1 0 -0.755 -755 1.00 0.00 0.00 a0 -755 -0.052 2 2 -0.775 -775 1.00 2.00 4.00 a1 -775 0.301 3 4 -0.794 -794 1.00 4.00 16.00 a2 -794 -0.375 4 6 -0.814 -814 1.00 6.00 36.00 -814 -0.080 5 8 -0.834 -834 1.00 8.00 64.00 -834 0.185 6 10 -0.854 -854 1.00 10.00 100.00 -854 0.421 7 12 -0.873 -873 1.00 12.00 144.00 -873 = -0.372 8 14 -0.893 -893 1.00 14.00 196.00 -893 -0.194 9 16 -0.913 -913 1.00 16.00 256.00 -913 -0.046 10 18 -0.933 -933 1.00 18.00 324.00 -933 0.073 11 20 -0.953 -953 1.00 20.00 400.00 -953 0.163 12 22 -0.973 -973 1.00 22.00 484.00 -973 0.223 13 23.75 -0.990 -990 1.00 23.75 564.06 -990 -0.248

vTv= 0.773410 ns2

bTb–bTx=0.773410 ns2

ATA ATb 13.00 155.75 2588.06 -11354.00 m0= 0.278 ns 155.75 2588.06 48244.48 -143180.50 2588.06 48244.48 957750.50 -2431197.88

Bütün parametreler %95 güvenle ANLAMLI bulunmuştur. Đkinci derece model uygundur.

Qxx x mx Tx KARAR t 0.51943 -0.08352 0.00280 -755.052 0.20 3767.10 ANLAMLI > 2.23 -0.08352 0.01976 -0.00077 -9.816 0.04 251.07 ANLAMLI 0.00280 -0.00077 0.00003 -0.004 0.00 2.32 ANLAMLI

Açıklama:

Parametre grubunun test edilen boyutu b=1 dir. Yukarıda tanımlanan test büyüklüğü

i

i

x20

2i

20

i1

xTi

qm

x

mb

xqxT ==

−

~ )1,f,1(F α− yada ix0

ix

qm

xTT == ~ )1,f,1()1,f( Ft α−α− =

Eğer kuramsal varyans bilinseydi aşağıdaki bağıntılar kullanılacaktı.

i

i

x20

2i

20

i1

xTi

q

xxqxT

σ=

σ=

−

~2

)1,1( α−χ yada ix0

ix

q

xTT

σ== ~

2)1,1()2/1(Z α−α− χ=


5.2 Parametrelerin Anlamlılık Testi

ŞEKĐL 1 Elektronik uzunluk ölçerlerde (EUÖ) kalibrasyon.

Sik : Ölçülen Uzunluk xik : Verilen ya da gerçek uzunluk

a=a1+a2 : Ek sabite (Sıfır Noktası Eki) b : Ölçek düzeltmesi

AD : Alet düzeltmesi

I. Gerçek Uzunlukları Bilinen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası Ekinin)

ve Ölçek Düzeltmesinin Belirlenmesi:

Sayısal Uygulama : 5 noktalı bir EUÖ kalibrasyon bazında ölçülmüş olan kenarlar, gerçek

değerleri ile birlikte aşağıda verilmiştir. Ölçü yapılan aletin, alet düzeltmesini bulunuz.

ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları.

j

i-k

Sik (m)

xik (m)

I vik (mm)

II vik (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1-2 1-3 1-4 1-5 2-3 2-4 2-5 3-4 3-5 4-5

30.0235 100.0121 180.0029 300.0033 69.9931

149.9844 269.9823 79.9959

199.9959 120.0060

30.0191 100.0073 179.9986 299.9971 69.9882

149.9795 269.9780 79.9913

199.9898 119.9985

0.40 0.25 0.68 -0.42 0.05 0.34 1.37 0.38 -0.68 -2.37

0.77 0.00 -0.16 -0.61 0.01 -0.64 1.40 0.03 -0.02 -0.77

vTv = 9.1045 3.9672

Alet

a1

a2 a1

a2

Reflektör


Çözüm :

n = 10 Ölçü sayısı

u = 2 Bilinmeyen sayısı

a = a0 + da a0 = 0 b = b0 + db b0 = 1

ikS = a + b xik xik = -(a/b) + (1/b) ikS Gerçek Uzunluk

Sik + vik = (a0 + da) + (b0 + db) xik

vik = da + xik db – (Sik – a0 - b0 xik)

v = A x - l ATA x = ATl

[ ]mm

7.5

6.1

4.6

4.3

4.9

4.9

6.2

4.3

4.8

4.4

db

da

0.1199985 1

0.1999898 1

0.0799913 1

0.2699780 1

0.1499795 1

0.0699882 1

0.2999971 1

0.0799986 1

0.1000073 1

0.0300191 1

v

−

=

=

7.5427

0000.52

db

da

.2684 1.3999

1.3999 10.0000

x = (ATA)-1 ATl

[ ]

[ ]

=

=

km/mm

mm

6331.3

6914.4

7.5427

0000.52

13.8141 1.9339-

1.9339- .3707

db

da

a = a0 + da = 4.69

b= b0 + db = 1.00000363

S = a + b x = 4.69 mm + 1.00000363 x

x = -4.69mm + 0.99999637 S Gerçek uzunluk

AD = -4.69mm – 3.63 (S[m]/1000)= -4.69mm – 3.63ppm Alet düzeltmesi


II. Gerçek Uzunlukları Bilinmeyen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası

Ekinin) Belirlenmesi:

Çözüm :

n=10 u = 5 (Bir ek sabite + 4 adet baz uzunluğu)

a0 = 0 x1(0) = S12 x2(0) = S13 x3(0) = S14 x4(0) = S15

Sik + vik = (a0 + da) + (x(k-1)(0)+ dx(k-1))

vik = da + dx(k-1) – (Sik – a0 – x(k-1)(0))

v = A x - l

[ ]mm

4

3

2

1

5.6

4.7

5.1

2.5

5.0

4.5

0.0

0.0

0.0

0.0

dx

dx

dx

dx

da

1 1- 0 0 1

1 0 1- 0 1

0 1 1- 0 1

1 0 0 1- 1

0 1 0 1- 1

0 0 1 1- 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

v

−

=

−

−

=

−−−

−−−

−−−

−−−−

−

8.12

5.4

3.5

0.12

4.27

dx

dx

dx

dx

da

41114

14112

11410

11142

420210

4

3

2

1

x = (ATA)-1 ATl

−

−

−

−

−

−

−−−−

=

8.12

5.4

3.5

0.12

4.27

68.116.184.052.080.0

16.112.168.044.060.0

84.068.072.036.040.0

52.044.036.048.020.0

80.060.040.020.050.0

dx

dx

dx

dx

da

4

3

2

1

−

−

−

−

=

888.5

436.5

284.5

512.4

280.5

m0 = ± 0.89 mm

a = a0 + da = 5.28 mm

xik = (-0.00528 + Sik)[m] Gerçek uzunluk


5.3 Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri

Şekildeki nivelman ağında 1, 2, 3 numaralı noktaların yükseklikleri bilinmektedir. Nokta

yükseklikleri ve ölçü değerleri verilen bu ağda; a) Ölçüler uyuşumlu mudur, b) Dayanak

noktaları ağ ile uyumlu mudur, c) 4, 5 noktalarının yüksekliklerini bulunuz.

ŞEKĐL 2 Nivelman ağının kanavası.

i Hi [m] j hj [m] Sj[km] 1 5.316 1 0.247 0.8 2 11.295 2 5.984 0.9 3 5.172 3 6.220 1.2 4 0.369 0.6 5 0.122 0.5 6 0.730 0.4 7 0.480 1.0 8 0.618 1.1

ÇÖZÜM :

a) Serbest Dengeleme ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi :

v = A x −−−− llll P

v1 1 0 -1 0 0 δH1 [mm] -103 [mm] 1.25 0 0 0 0 0 0 0 [ ]

v2 -1 1 0 0 0 δH2 -5 boşk 1.11 0 0 0 0 0 0

v3 0 1 -1 0 0 δH3 -97 0.83 0 0 0 0 0

v4 = -1 0 0 0 1 δH4 −−−− 0 1.67 0 0 0 0

v5 0 0 0 1 -1 δH5 -11 2.00 0 0 0

v6 0 0 -1 1 0 -106 2.50 0 0 v7 -1 0 0 1 0 0 1.00 0 v8 0 0 -1 0 1 -105 0.91

4

5

1

3

2

h1

h2 h3

h6

h4

h5

h7 h8


N=ATP A x n=ATP llll G GT

5.03 -1.11 -1.25 -1.00 -1.67 δH1 -123.19 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

1.94 -0.83 0.00 0.00 δH2 -86.39 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

5.49 -2.50 -0.91 δH3 = 570.04 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

5.50 -2.00 δH4 -287.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

4.58 δH5 -73.46 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

Qx=(N+G GT)−−−−1−−−−G GT

x=Qx n

0.13 -0.04 -0.03 -0.03 -0.02 [ ]

-19.36 [mm]

0.36 -0.07 -0.12 -0.13 -20.31 0.13 0.00 -0.03 boşluk 82.09 0.14 0.01 -24.80 0.17 -17.63

v = A+x −−−− llll , Qv = P-1 −−−− A Qx A

T ττττ-Dağılımı t-Dağılımı

v [mm] (Qv)ii [ ]

mv [mm]

ττττ{αααα;f} s0 [mm]

sv [mm]

T [ ]

t{αααα;f−−−−1}

1.55 0.48 4.06 0.38 1.76 6.63 4.60 0.34 3.18 4.05 0.33 3.34 1.21 5.37 3.07 1.32

-5.40 0.58 4.46 1.21 5.37 4.10 1.32

1.73 0.27 3.03 0.57 6.47 3.36 0.51

3.83 0.21 2.65 1.45 4.66 2.11 1.82

-0.89 0.14 2.18 0.41 6.61 2.47 0.36

-5.44 0.66 4.75 1.15 5.53 4.49 1.21

5.27 0.75 5.07 1.04 5.77 5.00 1.05 vTPv = 136.77 mm2

m0 = 5.85 mm �� Uyuşumsuz Ölçü Yoktur

b) Dayanak Noktalarının Testi :

Global Test Lokal Test QD xD[mm] i xTQ-1x T [ ] F{3f} xi

TQi-1xi Ti [ ] F{1f}

0.13 -0.04 -0.03 -19.36 1 56107.9 546.98 6.59 2915.06 85.25 7.7086 0.36 -0.07 -20.31 2 1153.04 33.72 0.13 82.09 3 53890.11 1576.07

* Yaklaşık yükseklikler ve ötelenmiş gözlemler tekrar belirlenerek, ağ tekrar serbest olarak dengelenir.

i Hi [m] j hj [m] Sj[km]

pj [ ] l [mm]

1 5.316 1 0.247 0.8 1.25 -6 2 11.295 2 5.984 0.9 1.11 -5 3 5.075 3 6.220 1.2 0.83 0 4 5.796 4 0.369 0.6 1.67 0 5 5.685 5 0.122 0.5 2.00 -11 n= 8 d= 1 6 0.730 0.4 2.50 -9 m= 5 f= 4 7 0.480 1.0 1.00 0 u= 5 8 0.618 1.1 0.91 -8

* Serbest ağ dengeleme sonuçları datumdan bağımsız olduğundan serbest ağ dengelemesi ve uyuşumsuz ölçü sonuçları değişmez. Yeni dayanak noktaları, en son belirlenen serbest ağ datumuna göre test edilir.

vTPv = 136.77 mm2

m0 = 5.85 mm �� Uyuşumsuz Ölçü Yoktur


Global Test Lokal Test QD xD[mm] i xTQ-1x T [ ] F{23f} xi

TQi-1xi Ti [ ] F{21f}

0.13 -0.04 0.04 1 2.34 0.03 6.94 0.01 0.0004 7.7086 0.36 -0.91 2 2.30 0.0672

�� 1 ve 2 dayanak noktaları serbest ağ sonuçları ile uyumludur

c) Dayalı Dengeleme :

v = A x llll P

1.32 -1 0 0 δH3 [mm] -6 [mm] 1.25 0 0 0 0 0 0 0 [ ]

5.00 0 0 0 δH4 -5 boşlu 1.11 0 0 0 0 0 0

-4.68 -1 0 0 δH5 0 0.83 0 0 0 0 0

1.83 = 0 0 1 − 0 1.67 0 0 0 0

3.87 0 1 -1 -11

2.00 0 0 0

-0.98 -1 1 0 -9 2.50 0 0

-5.30 0 1 0 0 1.00 0 5.15 -1 0 1 -8 0.91

vTPv = 138.34 mm2

m0 = 5.88 mm

Dengeli Yükseklikler ve Duyarlıkları

i Hi [m] Hi [m] mHi[mm] Fark[m] 1 5.316 5.316 0.00 0.000 Qx ATP llll x [mm] 2 11.295 11.295 0.00 0.000

0.29 0.18 0.14 37.27 4.68 boşluk 3 5.075 5.07968 3.14 -0.092 0.33 0.18 -44.5 = -5.30 4 5.796 5.79070 3.37 0.32 14.73 1.83 5 5.685 5.68683 7.96

Dengeli Ölçüler ve Duyarlıkları

Qh j h+v [m] mh [mm] 0.29 0.00 0.29 -0.14 -0.04 0.11 -0.18 0.15 1 0.24832 3.14

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 5.98900 0.00 0.29 -0.14 -0.04 0.11 -0.18 0.15 3 6.21532 3.14 0.32 -0.14 0.04 0.18 0.19 boşluk 4 0.37083 3.35 0.29 0.11 0.15 -0.19 5 0.12587 3.19 0.26 0.15 0.15 6 0.72902 2.98 0.33 0.00 7 0.47470 3.37 0.34 8 0.62315 3.43

Ödev: Bu ağı, yönetmelikte istenilen soncul KOH ±5mm/km değerine eşdeğer olmalı

koşuluna göre değerlendiriniz.


5.4 Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri

5.4.1 1B Dönüşümler

5.4.2 2B Dönüşümler

Uygulamada yaygın olarak kullanılan 2B benzerlik (Helmert) ve afin dönüşüm modelleri her

bir koordinat çifti için yazılan polinomsal fonksiyonun özel halleridir. Dönüştürülen

koordinatlar (xy) ve dönüşen koordinatlar (XY) olacak şekilde gösterilirse, polinomsal model

aşağıdaki gibi yazılır (ŞEKĐL 2).

∑ ∑== =

d

0j

d

0i

jk

ikijk yxaX (3a)

∑ ∑== =

d

0j

d

0i

jk

ikijk yxbY (3b)

(3) bağıntılarındaki d polinomun derecesini göstermektedir. Bu bağıntılarda d=1 alınırsa,

bilineer dönüşüm modeli, ek olarak i+j≤d koşulu eklenirse afin dönüşüm modeli ve bunlara

ek olarak a10=b01 ve –a01=b10 alınırsa benzerlik (Helmert) dönüşüm modeli elde edilir.

ŞEKĐL 2 Afin (α≠β, kx≠ky, a11=b11=0) ve benzerlik (α=β, kx=ky, a11=b11=0) dönüşümü.

Yukarıda genel şekli verilen ve özetlenen 2B dönüşümlerin fonksiyonel modelleri, ayrı

başlıklar altında ayrıntılı olarak incelenecektir (ŞEKĐL 2).

Ayrıca bu dönüşüm modellerinin geometrik yapısı, ÇĐZELGE 1’de verilen ve kenarı 5 birim

olan bir karenin kenarları üzerindeki yer alan nokta koordinatları üzerinden incelenecektir.

y

xk

Yk

Xk

yk

b00

a00

Y

X

(xk ,yk ) (Xk ,Yk )

ββββ

αααα

x


ÇĐZELGE 1 Bir karenin kenarlarına ait nokta koordinatları.

NN x y NN x y NN x y NN x y

A 1 1 B 1 6 C 6 6 D 6 1 1 2 2 6 6 5 5 1 1 3 3 6 6 4 4 1 1 4 4 6 6 3 3 1 1 5 5 6 6 2 2 1

5.4.2.1 Bilineer Dönüşüm

Bilineer dönüşüm modelinin kapalı bağıntıları olan (3) bağıntılarında d=1 alınarak doğrudan

elde edilir. Nokta sayısı n olmak üzere, bilineer dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki

şekilde verilir.

kk11k01k1000k yxayaxaaX +++= (4a)

kk11k01k1000k yxbybxbbY +++= (4b)

n21k ,,, K=

Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812, a11=0.2 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871,

b11=0.1 olan bir bilineer dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL 3’de

verilen herhangi bir dörtgene dönüştürür.

A B

CD

AB

C

D

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y

x

ŞEKĐL 3 Karenin bilineer dönüşümü.

Bilineer dönüşümün geometrisinin anlaşılabilmesi için, ŞEKĐL 3 de uygulanan bilineer

dönüşüm parametreleri abartılı olarak seçilmiştir.


Uygulamada bilineer dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli

olarak elde edilir. u=8 bilinmeyen parametreli olan bilineer dönüşümde tek anlamlı çözüm

için en az 4 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥4 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model

aşağıdaki şekilde kurulur.

kk

k

kY

X

Y

X

v

v

−

=

b

a

x0

0x (5a)

[ ]kkkkTk yxyx1=x , [ ]11011000

T aaaa=a , [ ]11011000T bbbb=b

kkk laAv −= n21k ,,, K= (5b)

Bilineer dönüşümde a11 ve b11 parametreleri sırasıyla x ve y yönlerindeki koordinatların

sünmelerine neden olurken; diğer parametrelerin öteleme, ölçek ve dönüklükle ilişkileri

vardır. Bu ilişkiler afin ve benzerlik dönüşümlerinde gösterilecektir.

5.4.2.2 Afin Dönüşümü

Afin dönüşümünde temel özelliği paralelliği korumasıdır. Afin modeli (3) kapalı bağıntısında

d=1 ve i+j≤d koşulu ile yada (4) bağıntılarından a11=b11=0 alınarak elde edilir. Nokta sayısı

n olmak üzere, afin dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki şekilde yazılır.

kk00k01k1000k yxayaxaaX βµαλ sincos −+=++= (6a)

kk00k01k1000k yxbybxbbY βµαλ cossin ++=++= (6b)

n21k ,,, K=

Ayrıca (6) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi ile ilgili bağıntıları

da verilmiştir (ŞEKĐL 2).

(6) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla x-X eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü,

µ ve β parametreleri de sırasıyla y-Y eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü göstermektedir.

λ, µ, α, β biliniyorken a10, a01, b10, b01 polinom katsayıları (6) bağıntılarından hesaplanır.

Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan

bulunur.

210

210 ba +=λ , 2

01201 ba +=µ (7a)


=10

10

a

barctanα ,

−

=01

01

b

aarctanβ (7b)

Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871 (bilineer

dönüşümden farkı a11=b11=0) olan bir afin dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare

koordinatlarını ŞEKĐL 4’de verilen bir paralel kenara dönüştürür.

A B

CD

A

B

C

D

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

ŞEKĐL 4 Karenin afin dönüşümü.

Örnekte verilen polinomsal katsayılar (7) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük

parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm

bağıntıları Xk=2+0.9cos27°xk−0.7sin33°yk ve Yk=1+0.9sin27°xk+0.7cos33°yk olarak elde

edilir.

Uygulamada afin dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli

olarak elde edilir. u=6 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı çözüm için en

az 3 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥3 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model

aşağıdaki şekilde kurulur.

kk

k

kY

X

Y

X

v

v

−

=

b

a

x0

0x (8a)

[ ]kkTk yx1=x , [ ]011000

T aaa=a , [ ]011000T bbb=b

kkk laAv −= n21k ,,, K= (8b)


(8) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (7) bağıntıları yardımıyla ölçek ve

dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir.

5.4.2.3 Benzerlik (Helmert) Dönüşümü

Benzerlik dönüşümü afin dönüşümün özel bir halidir. Benzerlik dönüşümü hem paralelliği

hem de dikliği korur. Dönüşüm sonucunda geometrik şeklin ötelenmişi, ölçeklendirilmişi ve

döndürülmüşü elde edilirken benzerliği korunur. Afin dönüşümünde 0110 ba = ve 1001 ba −=

alınarak benzerlik dönüşüm modeli elde edilir.

kk00k10k1000k yxaybxaaX αλαλ sincos −+=−+= (9a)

kk00k10k1000k yxbyaxbbY αλαλ cossin ++=++= (9b)

n21k ,,, K=

Ayrıca (9) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi (λ=µ ve α=β) ile

ilgili bağıntıları da verilmiştir (ŞEKĐL 2).

(9) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla her iki eksen yönündeki ölçek ve dönüklüğü,

göstermektedir. λ, α biliniyorken a10, b10 polinom katsayıları (9) bağıntılarından hesaplanır.

Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan

bulunur.

210

210 ba +=λ (10a)

=10

10

a

barctanα (10b)

Sözgelimi a00=2, a10=0.6928 ve b00=1, b10=0.4000 (afin dönüşümden farkı a01=b10 ve

b01=a10) olan bir benzerlik dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL

4’de verilen bir kareye dönüştürür.


A B

CD

A

B

C

D

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

ŞEKĐL 5 Karenin benzerlik dönüşümü.

Örnekte verilen polinomsal katsayılar (10) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük

parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm

bağıntıları Xk=2+0.8cos30°xk−0.8sin30°yk ve Yk=1+0.8sin30°xk+0.8cos30°yk olarak elde

edilir.

Uygulamada benzerlik dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak

dengelemeli olarak elde edilir. u=4 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı

çözüm için en az 2 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥2 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel

model aşağıdaki şekilde kurulur.

k

10

00

10

00

kk

kk

kY

X

Y

X

b

b

a

a

x1y0

y0x1

v

v

−

−=

(11a)

kkk laAv −= n21k ,,, K= (11b)

(11) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (10) bağıntıları yardımıyla ölçek

ve dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir.


5.4.3 Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü

Yukarıda ilgili başlıklar altında verilen bilineer, afin ve benzerlik dönüşüm modellerinin

fonksiyonel modeller (5), (8) ve (11) bağıntıları ile verilmiştir. Uygulamada her bir nokta çifti

için eşit ağırlıklı ve korelasyonsuz alındığından stokastik model P=I matris olur. Bu koşullar

altında bütün dönüşüm modelleri için genel matematik model aşağıdaki bağıntı ile verilir.

lxAv −= IP = (12)

Bilinmeyen sayısından fazla olan denklemler arasındaki tutarsızlıkları gidermek için EKK (En

Küçük Kareler) amaç fonksiyonuna yararlanılarak bilinmeyenlerin ve istenen diğer

parametrelerin (sözgelimi düzeltmeler, bilinmeyenlerin fonksiyonları vb.) en olasılıklı

değerleri hesaplanır.

lAAAx T1T −= )( (13)

Bilinmeyenler hesaplandıktan sonra (12) bağıntısından düzeltmeler elde edilir. Düzeltmeler

ve istenen parametrelerin ters ağırlıklarından yararlanarak duyarlık hesapları yapılır. Bir

koordinatın karesel ortalama hatası, bilinmeyenlerin ters ağırlığı ve düzeltmelerin ters

ağırlıkları aşağıdaki bağıntılarla hesaplanır.

fm

T

0

vv±= un2f −= (14a)

1Tx

−= )( AAQ (14b)

Tv AQAIQ −= (14c)

Bilinmeyenlerin fonksiyonlarının ters ağırlıkları hata yayılma kuralı ile elde edilir.

)(xΦf = (15a)

Txf FQFQ =

x

xΦF

∂∂

=)(

(15b)

(15) bağıntıları polinomsal dönüşüm katsayılarından ölçek, dönüklük parametreleri ve bu

parametrelerin ters ağırlıklarına ulaşabilmek için kullanılır.

5.4.4 Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi

Dönüşüm sonuçları kuramsal varyansın bilinip bilinmemesine göre farklılık gösterir.

Matematik model, uyuşumsuz ölçüler ve parametre anlamlılık testleri kuramsal varyansa


bağımlı olarakbu durumlara göre değişmektedir.irme çalışmasında seçilen örnek uygulamada

üç dönüşüm modeli incelenmiştir. Bu dönüşüm modelleri üzerinde uyuşumsuz ölçüler testi ve

parametre testi gerçekleştirilmiş ve genelde deneysel birim ölçünün soncul değeri

kullanılmıştır.

5.4.4.1 Matematik Model Testi

Kuramsal varyansın biliniyorsa, bilinen birim ölçünün kuramsal varyans ile istatistiksel

eşdeğeri deneysel varyans karşılaştırlır.

20

20

20

Tm

fTσσ

==vPv

~ 2

f1 },{ αχ

−= },,{ ∞− f1F α (16a)

Aynı türden deneysel iki sonucun karşılaştırılmasında kullanılır.

220

210

m

mT = ~ },,{ 21 ff1F α− ( 1Tk ≥ olmalı) (16b)

Test büyüklükleri (T), ilgili dağılımın sınır değerinden küçük ise matematik model 1-α

güvenle geçersiz sayılamaz. T sınır değerden büyük ise önce stokastik model gözden geçirilir,

hala geçersiz ise uyuşumsuz ölçü testi yapılır.

5.4.4.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi

Çalışmanın temel konusunu oluşturan dönüşüm modellerinde bir noktaya ait koordinat çiftleri

kullanılmaktadır. Bir noktanın üretilmesinde yapılan hata iki koordinatı birlikte

etkileyeceğinden, uyuşumsuz ölçüler testi koordinat çiftlerini birlikte test edebileceğimiz,

koordinat çiftlerinde uyuşumsuz ölçüler testi şeklinde gerçekleştirilmiştir. Tek bir koordinat

çifti için uyuşumsuz ölçüler test büyüklüğü aşağıdaki bağıntı ile elde edilir.

20

kvTk

kkT

σ

vPv= ~ 2

f01 },{ αχ

− (17a)

20

kvTk

kmr

T kvPv

= ~ },,{ fr1 0F α− (17b)

n21k ,,, K= , [ ]kYX

Tk vv=v , 1

kvvk

−= )(QP , n

0

αα = , }{

kvrankr P=

(16) bağıntısında; α yanılma olasılığı, α0 tek bir nokta çiftinin yanılma olasılığı, vk ve kv

P

k’ıncı noktaya ait koordinatların düzeltmeler vektörü ve bu düzeltmeler vektörünün 2×2


boyutlu ağırlık matrisi, r test edilen düzeltme grubunun boyutu ve },,{ fr1 0F α− Fisher

dağılımının sınır değeridir. α0≈0 ise α0≈0.01 alınabilir. Çalışmada iki boyutlu dönüşümler

incelendiğinden daima r=2’dir.

5.4.4.3 Parametre Anlamlılık Testi

Parametre testi, tek bir parametre yada bir grup parametrenin testi şeklinde olabileceğinden

aşağıdaki test büyüklüğü genellenerek verilmiştir. Bir grup parametrenin anlamlılık testi

aşağıdaki bağıntı ile elde edilir.

20

kxTk

kkT

σ

xPx= ~ 2

r1 },{ αχ

−= },,{ ∞− r1F α (18a)

20

kxTk

kmr

T kxPx

= ~ },,{ fr1F α− (18b)

1kxxk

−= )(QP , }{kx

rankr P=

(17) bağıntısında; xk ve kx

P k’ıncı grup parametre ve bu parametrelerin ağırlık matrisi, r test

edilen parametre grubunun boyutu, 2

r1 },{ αχ

− Ki-kare ve },,{ fr1F α− Fisher dağılımının sınır

değerleridir. Genellikle α=0.05 alınır.

5.4.5 Uygulama

Aşağıda ortak nokta koordinatları verilen iki farklı sistem arasındaki uygun dönüşüm

modelini belirleyiniz.

KOORDINATLAR == ==== =========== =========== =========== =========== i NN x [m] y [m] X [m] Y [m] == ==== =========== =========== =========== =========== 1 1 22644.3300 18214.3000 13802.9000 26549.3700 2 2 12910.4900 18011.6900 4823.4300 22786.1300 3 3 18047.3900 16776.6700 10055.0500 23523.9400 4 4 15932.9400 15231.9600 8655.6300 21310.5900 5 5 18350.3400 11587.6400 12242.4800 18808.6400 6 6 16048.4600 25654.1800 4935.5500 31047.2200 7 7 10586.0300 6135.8000 7022.7200 10886.0700 8 8 25220.8000 19608.8700 15687.2500 28792.7400 9 9 16048.6200 22850.6500 5965.2400 28439.5900 10 10 12295.5400 15852.5900 5044.3900 20552.0100 == ==== =========== =========== =========== ===========


a) Bilineer Dönüşüm modeli: Qx 21.862 -0.00152276 -0.0012461 8.5177e-08 0 0 0 0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12 0 0 0 0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12 0 0 0 0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16 0 0 0 0 0 0 0 0 21.862 -0.00152276 -0.0012461 8.5177e-08 0 0 0 0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12 0 0 0 0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12 0 0 0 0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16

a00 -570.468 a10 0.930145 a01 -0.367245 x= a11 = -4.83107e-11 b00 1290.88 b10 0.367272 b01 0.930165 b11 -1.04962e-09

UYUSUM TESTI ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 1 1 0.58 0.7069 -0.0000 1.36 0.43 0.0002 0.33 0.94 -0.0000 0.7069 1.36 0.69 ------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 1.37 0.7564 -0.0000 1.40 0.98 0.0005 0.90 1.29 -0.0000 0.7564 1.40 0.92 ------------------------------------------------------------------------------------ 3 3 0.45 0.8606 -0.0000 1.50 0.30 0.0001 0.11 -0.52 -0.0000 0.8606 1.50 0.35 ------------------------------------------------------------------------------------ 4 4 -3.01 0.8427 -0.0000 1.48 2.03 1.92 0.0011 2.13 -0.55 -0.0000 0.8427 1.48 0.37 ------------------------------------------------------------------------------------ 5 5 1.03 0.3850 -0.0000 1.00 1.03 0.0003 0.53 -0.11 -0.0000 0.3850 1.00 0.11 ------------------------------------------------------------------------------------ 6 6 -1.38 0.5276 -0.0000 1.17 1.17 0.0004 0.70 0.14 -0.0000 0.5276 1.17 0.12 ------------------------------------------------------------------------------------ 7 7 0.65 0.0598 -0.0000 0.39 1.65 0.0007 1.36 -0.01 -0.0000 0.0598 0.39 0.03 ------------------------------------------------------------------------------------ 8 8 -0.72 0.3551 -0.0000 0.96 0.75 0.0002 0.29 -0.15 -0.0000 0.3551 0.96 0.16 ------------------------------------------------------------------------------------ 9 9 2.90 0.7309 -0.0000 1.38 2.10 1.92 0.0013 2.41 -0.89 -0.0000 0.7309 1.38 0.64 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 10 -1.87 0.7750 -0.0000 1.42 1.32 0.0005 0.87 -0.12 -0.0000 0.7750 1.42 0.09 ------------------------------------------------------------------------------------ t(0.025,11)=2.2016 Tau(0.025,12)=1.9158 F(0.050,2,12)=3.8976 vv= 0.0031 m2 f=12 m0= 1.61 cm *****Bilineerlik Katsayilari***** Qf f 3.65831e-016 0 -4.83107e-011 0 3.65831e-016 -1.04962e-009 Bilineerlik Testi : R= 30.1789 cm2 T= 5.7993 ~ F(0.978,2,12)= 5.8082


b) Afin Dönüşüm modeli:

*****Donusum Parametreleri***** 2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05 0 0 0 -570.457 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09 0 0 0 0.930144 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09 0 0 0 -0.367245 0 0 0 2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05 1291.12 0 0 0 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09 0.367254 0 0 0 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09 0.93015

a00 -570.457 a10 0.930144 x= a01 = -0.367245

b00 1291.12 b10 0.367254 b01 0.93015 UYUSUM TESTI ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 1 1 0.59 0.7087 -0.0000 1.76 0.33 0.0002 0.28 1.17 -0.0000 0.7087 1.76 0.67 ------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 1.33 0.7869 -0.0000 1.86 0.71 0.0002 0.27 0.33 -0.0000 0.7869 1.86 0.18 ------------------------------------------------------------------------------------ 3 3 0.41 0.8893 -0.0000 1.97 0.21 0.0003 0.29 -1.45 -0.0000 0.8893 1.97 0.74 ------------------------------------------------------------------------------------ 4 4 -3.06 0.8877 -0.0000 1.97 1.55 0.0014 1.58 -1.72 -0.0000 0.8877 1.97 0.87 ------------------------------------------------------------------------------------ 5 5 0.88 0.7309 -0.0000 1.79 0.49 0.0016 1.86 -3.34 -0.0000 0.7309 1.79 1.87 ------------------------------------------------------------------------------------ 6 6 -1.33 0.5542 -0.0000 1.56 0.86 0.0005 0.59 1.03 -0.0000 0.5542 1.56 0.66 ------------------------------------------------------------------------------------ 7 7 0.80 0.4074 -0.0000 1.34 0.60 0.0027 3.09 3.22 -0.0000 0.4074 1.34 2.41 1.92 ------------------------------------------------------------------------------------ 8 8 -0.62 0.5130 -0.0000 1.50 0.41 0.0009 1.00 2.03 -0.0000 0.5130 1.50 1.35 ------------------------------------------------------------------------------------ 9 9 2.91 0.7346 -0.0000 1.79 1.62 0.0012 1.36 -0.55 -0.0000 0.7346 1.79 0.31 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 10 -1.90 0.7871 -0.0000 1.86 1.02 0.0005 0.60 -0.72 -0.0000 0.7871 1.86 0.39 ------------------------------------------------------------------------------------ t(0.025,13)=2.1609 Tau(0.025,14)=1.9235 F(0.050,2,14)=3.7819 vv= 0.0061 m2 f=14 m0= 2.09 cm *****Afinlik Parametreleri***** Qf f 1.04364e-008 -1.03398e-024 -6.69273e-006 -1.03398e-024 1.04364e-008 8.43903e-006 Afinlik Testi : R= 111.1587 cm2 T= 12.6724 ~ F(0.990,2,14)= 7.8371

Afin Donusum Parametreleri L= 1.000021 M= 1.315427 A= 23.939859 g B= 23.939203 g


c) Benzerlik Dönüşüm modeli: *****Donusum Parametreleri***** 1.35503 -3.69269e-005 9.38817e-016 3.7331e-005 -570.47 -3.69269e-005 2.19692e-009 -3.7331e-005 9.3906e-027 0.930149 1.14904e-015 -3.7331e-005 1.35503 -3.69269e-005 1291.21 3.7331e-005 3.48563e-025 -3.69269e-005 2.19692e-009 0.36725 UYUSUM TESTI ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ==== ====== ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 1 1 3.21 0.8219 0.0000 2.98 1.08 0.0014 0.66 -1.22 0.0000 0.8219 2.98 0.41 ------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 -1.27 0.8643 0.0000 3.05 0.42 0.0005 0.24 1.70 0.0000 0.8643 3.05 0.56 ------------------------------------------------------------------------------------ 3 3 1.18 0.8965 -0.0000 3.11 0.38 0.0006 0.26 -1.90 -0.0000 0.8965 3.11 0.61 ------------------------------------------------------------------------------------ 4 4 -2.73 0.8915 -0.0000 3.10 0.88 0.0010 0.46 -1.16 -0.0000 0.8915 3.10 0.38 ------------------------------------------------------------------------------------ 5 5 4.21 0.8306 -0.0000 2.99 1.41 0.0034 1.58 -3.26 -0.0000 0.8306 2.99 1.09 ------------------------------------------------------------------------------------ 6 6 -5.73 0.7339 0.0000 2.81 2.04 1.93 0.0045 2.08 0.25 0.0000 0.7339 2.81 0.09 ------------------------------------------------------------------------------------ 7 7 2.40 0.5560 -0.0000 2.45 0.98 0.0097 4.52 3.70 6.96 -0.0000 0.5560 2.45 2.84 1.93 ------------------------------------------------------------------------------------ 8 8 2.76 0.7295 -0.0000 2.80 0.99 0.0014 0.63 -1.53 -0.0000 0.7295 2.80 0.54 ------------------------------------------------------------------------------------ 9 9 -0.20 0.8233 0.0000 2.98 0.07 0.0001 0.06 -0.99 0.0000 0.8233 2.98 0.33 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 10 -3.83 0.8524 0.0000 3.03 1.26 0.0019 0.87 1.15 0.0000 0.8524 3.03 0.38 ------------------------------------------------------------------------------------ t(0.025,15)=2.1320 Tau(0.025,16)=1.9290 F(0.050,2,16)=3.6970 vv= 0.0173 m2 f=16 m0= 3.28 cm Benzerlik Donusum Parametreleri L= 1.000025 A= 23.939505 g

5.4.5.1 Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi

Đki koordinat sistemi arasındaki afin dönüşüm parametrelerinin, dönüşüm parametrelerine göre

doğrudan kurulan modele göre hesaplanması ve sonuçların test edilmesi.

Afin dönüşüm modeli

−+

=

y

x

b

a

Y

X

µλ

βαβα

cossin

sincos

Bilinmeyenlerin Kesin değerleri

+

=

b

a

b

a

b

a

δδ

0

0

ˆˆ

+

=

δβδα

βα

βα

0

0

ˆˆ

+

=

δµδλ

µλ

µλ

0

0

ˆ

ˆ


Matematik Model

[ ]][][

4

0

4

0

4

0

4

0][

][

00

][

00

][

00

][

00][][

10

cos

10

sin10

sin

10

cos

sincos

cossin

10

01cm

Y

X

ppmcc

cc

cc

cmcm

Y

X

ppm

cm

cc

cm

yx

yx

yx

yx

b

a

v

v

=

−

+

−

−−

+

=

l

l

δµδλ

βα

βα

δβδα

ρ

βµ

ρ

αλρ

βµ

ρ

αλ

δδ

{ }{ }

++−

−+−=

)cossin(10

)sincos(10

00002

00002

][

yxbY

yxaX

cm

Y

X

βµαλβµαλ

l

l P=I=

10

01

UYGULAMA:

NN x [m] y [m] X [m] Y [m] 01 14225.86 3828.95 8126.42 7171.86 02 13052.18 10671.37 3389.21 12246.98 03 21332.87 21561.02 4332.73 25895.26 04 18092.88 13925.07 5816.39 17733.84 05 12052.39 18338.34 -1655.32 18106.78 06 3189.38 14178.25 -6779.90 9763.83 07 22587.71 7634.80 13026.50 14943.57 08 13925.94 13476.90 2579.40 15071.73 09 8324.06 16999.09 -4036.58 14940.50 10 13245.95 28633.85 -6309.45 27367.77

ÇÖZÜM: ********************** Yaklasik Degerler ************************ a0 = -454.3133 m b0 = -4011.1127 m

α0 = 40.791973 g β0 = 40.791973 g λ0 = 1.00000000 µ0 = 1.00000000 ************************ 1. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============

1.3857 -0.0000 0.1963 0.1927 -0.4134 0.2257 -120822.3029 δδδδa [cm] 1.3857 -0.2632 0.1437 -0.3083 -0.3027 17278.1850 δδδδb [cm] 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 -37941.9271 δδδδαααα [cc] 0.0918 -0.0179 0.0000 -37957.5544 δδδδββββ [cc] 0.3383 -0.0000 -1756.4091 δδδδλλλλ [ppm] 0.2266 -1757.4145 δδδδµµµµ [ppm] ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m α = 36.997780 g β = 36.996217 g λ = 0.99824359 µ = 0.99824259 ************************ 2. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============ 1.3857 0.0000 0.1806 0.2013 -0.4311 0.2073 -0.0000 1.3857 -0.2749 0.1322 -0.2831 -0.3156 -0.0000 0.1376 0.0000 -0.0000 0.0179 -21.7324 0.0922 -0.0179 -0.0000 -21.7425 0.3383 0.0000 1777.5644 0.2266 1779.0295 ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m

α = 36.995607 g β = 36.994043 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162


************************ 3. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============ 1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073 -0.0000 1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156 -0.0000 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 0.0386 0.0918 -0.0179 -0.0000 0.0387 0.3383 0.0000 0.0006 0.2266 0.0006 ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m

α = 36.995611 g β = 36.994047 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162 ************************ 4. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============ 1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073 0.0000 1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156 -0.0000 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 0.0000 0.0918 -0.0179 0.0000 -0.0000 0.3383 0.0000 0.0000 0.2266 0.0000 ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m

α = 36.995611 g β = 36.994047 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162 UYUSUM TESTI ==== ====== ====== ====== ====== ====== v'Q^v ====== SN NN v[cm] mv[cm] Tv[] Tau 2m0^2 F ==== ====== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 1 01 -1.49 2.33 0.64 0.24 0.67 2.33 0.29 ------------------------------------------------------------ 2 02 -3.16 2.73 1.15 0.85 -1.65 2.73 0.60 ------------------------------------------------------------ 3 03 2.55 2.27 1.12 0.87 1.56 2.27 0.69 ------------------------------------------------------------ 4 04 -1.73 2.72 0.64 1.46 4.31 2.72 1.59 ------------------------------------------------------------ 5 05 -2.21 2.75 0.81 1.18 -3.60 2.75 1.31 ------------------------------------------------------------ 6 06 0.52 2.09 0.25 0.05 0.46 2.09 0.22 ------------------------------------------------------------ 7 07 1.91 2.22 0.86 0.77 -2.00 2.22 0.90 ------------------------------------------------------------ 8 08 0.80 2.80 0.29 0.19 -1.52 2.80 0.54 ------------------------------------------------------------ 9 09 5.52 2.63 2.10 1.92 2.83 2.94 2.63 1.12 ------------------------------------------------------------ 10 10 -2.70 2.05 1.32 1.03 -1.16 2.05 0.57 ------------------------------------------------------------ Tau(0.975, 14) = 1.92 F(0.950, 2, 14)= 3.78


5.4.5.2 3B Benzerlik Dönüşümünün Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi

3B benzerlik dönüşümü genellikle yersel datumlar arasında uygulanır. Bu tür datumlar arasındaki

dönüşümlerde sırasıyla X, Y ve Z eksenleri etrafındaki dönüklükler α≈β≈γ≈0 ve ölçek katsayısı k≈1

dir.

Şekil 3B Dönüşümlerin Geometrik Yapısı

[ ]Tjjjj wvu=u , [ ]Tjjjj zyx=x , },,,{ n21j K∈

[ ]Tzyx ttt=t ,

−

−

−

=

1

1

1

αβαγβγ

R , ∆λ += 1

jj uRtx λ+= Bursa-Wolf

[ ]Tγβα=α ,

−

−

−

=

0uv

u0w

vw0

jj

jj

jj

jD

[ ]

=−

∆α

t

uDIux jjjj Bursa-Wolf Çözüm


j0j uRtx λ+= Molodensky-Badekas

sjj uuu −= , sjj xxx −= , s00 utt −= ,

−

−

−

=

0uv

u0w

vw0

jj

jj

jj

jD

[ ]

=−

∆α

t

uDIux0

jjjj Molodensky-Badekas 1. Çözüm { s0s uRtut λ−+= }

[ ]

=−

∆α

t

uDIux0

jjjj Molodensky-Badekas 2. Çözüm { s0 uRtt λ−= }

jsj uRtx λ+= Merkeze Ötelenmiş Model { 0t ≈s }

[ ]

=−

∆α

t

uDIuxs

jjjj Merkeze Ötelenmiş Çözüm { sss uRtxt λ−+= }

)()()( γβα 321 RRRR =

−+

+−

−

=

βαγαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβα

βγβγβ

coscoscossinsinsincossinsincossincos

cossincoscossinsinsinsincoscossinsin

sinsincoscoscos

R

∑==

n

1jjs

n

1χχ },,,,,{ wvuzyx∈χ

uRtx λ+= 3B benzerlik dönüşüm bağıntısı

uRRRtx )()()( γβαλ 321+= 3B benzerlik dönüşüm bağıntısı

0≈≈≈ γβα olduğundan bu açıların kosinüsleri ~1, sinüsleri de açıların raydan değerlerine eşit ve

0≈≈≈ γβγβαβα olur.


−

−

−

==

100

01

01

10

010

01

10

10

001

321 γ

γ

β

β

ααγβα )()()( RRRR

−

−

−

=

1

1

1

αβαγ

βγ

R

Yukarıdaki kapalı 3B-benzerlik dönüşüm bağıntısı açık olarak yazılırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir.

−

−

−

+

=

W

V

U

1

1

1

t

t

t

Z

Y

X

Z

Y

X

αβαγ

βγ

λ

−

−

−

=

λγβαz

Y

X

j

j

j

jj

jj

jj

j

j

j t

t

t

W

V

U

0UV

U0W

VW0

100

010

001

Z

Y

X

Yukarıdaki model her bir datum parametre grubunun (ötelemeler, dönüklükler ve ölçek) katsayılar

matrisleri modelin katsayılar matrislerinin alt matrisleri şeklinde yeniden düzenlenirse aşağıdaki

bağıntılar elde edilir.

[ ]

=

λα

t

uDIx λuαDt ++=

Bu modelde ∆λ += 1 olarak alınırsa )( ∆+++= 1uαDtx olarak elde edilir. Denklem birimlere

göre yeniden düzenlenerek;

−

−

−

=

−

ppm

cc

cc

cc

Z

Y

X

6j

6j

6j

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

j

j

j

j

j

jt

t

t

10W

10V

10U

0UV

U0W

VW0

100

010

001

W

V

U

Z

Y

X

∆γβα

ρρ

ρρ

ρρ

/

/

/

//

//

//


modeli elde edilir. Bu model hem ilk koordinatlara göre yazılmış ve hem de yuvarlatma

hatalarının hesaplanan parametrelerdeki etkileri azaltılmış olur. Ağırlık merkezine ötelenmiş

koordinatlar kullanılırsa, orijinal modele göre korelasyon kayıpları olmasına rağmen,

yuvarlatma hatalarının etkilerinin daha da azaltılmasına yardımcı olacağı açıktır.


Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Bursa-Wolf dönüşüm katsayılarını,

bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini

hesaplayınız (Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σσσσ0=±±±±3cm‘dir).

WGS84 ITRF08

NN U [m] V [m] W [m] X [m] Y [m] Z [m] N1 4242664.7158 2445911.5376 4072699.6496 4242741.4383 2445896.7885 4072677.1848 N2 4241932.2373 2466461.2238 4061241.3849 4242009.1742 2466446.4146 4061218.6811 N3 4240592.4087 2446096.5011 4074739.9490 4240669.1224 2446081.6574 4074717.5254 N4 4237589.8400 2451171.9849 4074848.9157 4237666.6161 2451157.2501 4074826.4581 N5 4239778.5272 2435273.7728 4081959.4385 4239855.1148 2435259.0062 4081937.1407

ÇÖZÜM

Bursa-Wolf

jj uRtx λ+= �

−

−

−

++

=

j

j

j

Z

Y

X

j

j

j

W

V

U

1

1

1

1

t

t

t

Z

Y

X

αβαγβγ

∆ )(

−

−

−

=

−

ppm

cc

cc

ccZ

Y

X

6j

6j

6j

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

j

j

j

j

j

j t

t

t

10W

10V

10U

0UV

U0W

VW0

100

010

001

W

V

U

Z

Y

X

∆γβα

ρρ

ρρ

ρρ

/

/

/

//

//

//

Düzeltme Denklemleri

y A x [m] [ ] [m/cc] [m/ppm]

76.72 1 0 0 0 -6.3974 3.8420 4.2427 tX [m] -14.75 0 1 0 6.3974 0 -6.6644 2.4459 tY

-22.46 0 0 1 -3.8420 6.6644 0 4.0727 tZ 76.94 1 0 0 0 -6.3794 3.8743 4.2419 __ α [cc] -14.81 0 1 0 6.3794 0 -6.6632 2.4665 β -22.70 0 0 1 -3.8743 6.6632 0 4.0612 γ 76.71 1 0 0 0 -6.4006 3.8423 4.2406 ∆ [ppm] -14.84 _=_ 0 1 0 6.4006 0 -6.6611 2.4461 -22.42 0 0 1 -3.8423 6.6611 0 4.0747 76.78 1 0 0 0 -6.4008 3.8503 4.2376 -14.73 0 1 0 6.4008 0 -6.6564 2.4512 -22.46 0 0 1 -3.8503 6.6564 0 4.0748 76.59 1 0 0 0 -6.4119 3.8253 4.2398 -14.77 0 1 0 6.4119 0 -6.6598 2.4353 -22.30 0 0 1 -3.8253 6.6598 0 4.0820


Normal Denklemler

ATA x ATy

5.00 0.00 0.00 0.00 -31.99 19.23 21.20 tX 383.74 0.00 5.00 0.00 31.99 0.00 -33.30 12.24 tY -73.90 0.00 0.00 5.00 -19.23 33.30 0.00 20.37 tZ -112.35 0.00 31.99 -19.23 278.67 -128.12 -213.08 0.00 α = -40.64

-31.99 0.00 33.30 -128.12 426.52 -123.06 0.00 β -3203.49 19.23 -33.30 0.00 -213.08 -123.06 295.84 0.00 γ 1968.46 21.20 12.24 20.37 0.00 0.00 0.00 202.85 ∆ 988.65

Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi

908593.67 -451715.34 -618527.32 5449.01 99431.74 -64641.49 -5603.60

-451715.34 293641.08 325961.62 -6424.92 -50667.62 36722.65 -3236.19

-618527.32 325961.62 501573.77 -1809.94 -73054.30 45218.62 -5382.37 Q= (ATA)-1= 5449.01 -6424.92 -1809.94 580.68 607.08 -406.81 0.00

99431.74 -50667.62 -73054.30 607.08 11318.10 -7023.52 0.00 -64641.49 36722.65 45218.62 -406.81 -7023.52 5122.35 0.00 -5603.60 -3236.19 -5382.37 0.00 0.00 0.00 1321.44

Bilinmeyenler ve Duyarlıkları

x Birim qX mX

tX 14.7350 908593.67 35.51

tY -13.6289 m 293641.08 20.19

tZ -13.0108 501573.77 26.38

α 5.6676 580.68 0.90

β -1.4872 cc 11318.10 3.96

γ 7.6252 5122.35 2.67

∆ 5.4626 ppm 1321.44 1.35

Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi

v [m] Qv [ ] R [m2] T [ ] F{r,f,αααα} [ ] P(F{T,1,f})

-0.0011 0.6278 -0.0882 -0.1487 4.07 95.00%

-0.0777 -0.0882 0.7304 -0.0856 0.0085 2.03 81.21%

0.0154 -0.1487 -0.0856 0.6370 -0.0001 0.1931 -0.0083 -0.0140 0.0014 -0.0083 0.2032 -0.0079 0.0006 0.14 6.88% 0.0106 -0.0140 -0.0079 0.1946 0.0034 0.7837 -0.0011 -0.0018 0.0609 -0.0011 0.7848 -0.0011 0.0049 1.18 62.29% -0.0114 -0.0018 -0.0011 0.7836 -0.0144 0.5097 -0.1526 -0.2575 0.0167 -0.1526 0.6917 -0.1463 0.0016 0.39 23.96% -0.0150 -0.2575 -0.1463 0.5315 0.0123 0.4416 -0.0032 -0.0053 -0.0013 -0.0032 0.4454 -0.0030 0.0003 0.08 3.24% 0.0004 -0.0053 -0.0030 0.4421


Model Testi

vTv= 0.0111 [m2] m0= 0.0373 [m] σ0= 0.0300 [m]

Test Tablo T= 12.34 15.51

P(T)= 86.32% 95.00%

Bursa-Wolf Dönüşüm Parametreleri

xj = t + λ R uj Xj 14.7350 1 1.19776E-05 2.33605E-06 Uj Yj = -13.6289 + 1.000005463 -1.19776E-05 1 8.90271E-06 Vj Zj -13.0108 -2.33605E-06 -8.90271E-06 1 Wj


Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Moledensky-Badekas dönüşüm katsayılarını,

bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini hesaplayınız

(Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σσσσ0=±±±±3cm‘dir)

WGS84 ITRF08 NN u v w x y z N1 4242664.7158 2445911.5376 4072699.6496 4242741.4383 2445896.7885 4072677.1848 N2 4241932.2373 2466461.2238 4061241.3849 4242009.1742 2466446.4146 4061218.6811 N3 4240592.4087 2446096.5011 4074739.9490 4240669.1224 2446081.6574 4074717.5254 N4 4237589.8400 2451171.9849 4074848.9157 4237666.6161 2451157.2501 4074826.4581 N5 4239778.5272 2435273.7728 4081959.4385 4239855.1148 2435259.0062 4081937.1407

Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezi Koordinatları NN uS vS wS S 4240511.5458 2448983.0040 4073097.8675

Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezine Ötelenmiş Koordinatları NN u-uS v-vS w-wS N1 2153.1700 -3071.4664 -398.2179 N2 1420.6915 17478.2198 -11856.4826 N3 80.8629 -2886.5029 1642.0815 N4 -2921.7058 2188.9809 1751.0482 N5 -733.0186 -13709.2312 8861.5710

ÇÖZÜM

[ ]

=−

∆α

t

uDIux0

jjjj Molodensky-Badekas 1. Çözüm { s0s uRtut λ−+= }

Sjj UUU −= , Sjj VVV −= , Sjj WWW −=

s00 utt −= ; Modelden Kestirilen Ötelemeler s0s uRtut λ−+= (Kurt, 2015).

−

−

−

=

−

ppm

cc

cc

cc

z0

y0

x0

6j

6j

6j

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

ccj

j

j

j

j

j

jt

t

t

10W

10V

10U

0UV

U0W

VW0

100

010

001

W

V

U

Z

Y

X

∆γβα

ρρ

ρρ

ρρ

/

/

/

//

//

//


Düzeltme Denklemleri

y A x

[cm] [ ] [cm/cc] [cm/ppm] 7672.25 1 0 0 0 0.0626 -0.4825 0.2153 t0x [cm] -1474.91 0 1 0 -0.0626 0 -0.3382 -0.3071 t0y -2246.48 0 0 1 0.4825 0.3382 0 -0.0398 t0z 7693.69 1 0 0 0 1.8624 2.7455 0.1421 α [cc] -1480.92 0 1 0 -1.8624 0 -0.2232 1.7478 β -2270.38 0 0 1 -2.7455 0.2232 0 -1.1856 γ 7671.37 1 0 0 0 -0.2579 -0.4534 0.0081 ∆ [ppm] -1484.37 = 0 1 0 0.2579 0 -0.0127 -0.2887 -2242.36 0 0 1 0.4534 0.0127 0 0.1642 7677.61 1 0 0 0 -0.2751 0.3438 -0.2922 -1473.48 0 1 0 0.2751 0 0.4589 0.2189 -2245.76 0 0 1 -0.3438 -0.4589 0 0.1751 7658.76 1 0 0 0 -1.3920 -2.1534 -0.0733 -1476.66 0 1 0 1.3920 0 0.1151 -1.3709 -2229.78 0 0 1 2.1534 -0.1151 0 0.8862

Dönüşüm Parametreleri ve Ters Ağırlık Matrisi

x Q

7674.7360 0.2000 0 0 0 0 0 0

-1478.0680 0 0.2000 0 0 0 0 0

-2246.9520 0 0 0.2000 0 0 0 0 -5.6676 0 0 0 0.0581 0.0607 -0.0407 0 1.4872 0 0 0 0.0607 1.1318 -0.7024 0

-7.6252 0 0 0 -0.0407 -0.7024 0.5122 0 5.4626 0 0 0 0 0 0 0.1321

Dönüşüm Parametreleri, Duyarlıkları ve Anlamlılık testleri

±±±± mX R T F{1-αααα,1,f} P(F{T,1,f}) P(F{F,1,f})

x x [cm] [cm2] [ ] [ ] [ ] Karar

t0x [cm] 7674.7360 1.67 294507863.35 21220069.41 5.32 100.00% 95.00% Anlamlı

t0y -1478.0680 1.67 10923425.06 787061.63 100.00% Anlamlı

t0z -2246.9520 1.67 25243966.45 1818894.46 100.00% Anlamlı

α 5.6676 0.90 553.18 39.86 99.98% Anlamlı

β [cc] -1.4872 3.96 1.95 0.14 28.28% Anlamsız

γ 7.6252 2.67 113.51 8.18 97.88% Anlamlı

∆ [ppm] 5.4626 1.35 225.82 16.27 99.62% Anlamlı


Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçü Testi NN v Qv R T F{r,f,a} P(F{T,1,f})

[cm] [ ] [cm2] [ ] [ ] [ ]

-0.11 0.6278 -0.0882 -0.1487 4.07 95.00%

N1 -7.77 -0.0882 0.7304 -0.0856 84.64 2.03 81.21%

1.54 -0.1487 -0.0856 0.6370 -0.01 0.1931 -0.0083 -0.0140

N2 0.14 -0.0083 0.2032 -0.0079 5.96 0.14 6.88% 1.06 -0.0140 -0.0079 0.1946 0.34 0.7837 -0.0011 -0.0018

N3 6.09 -0.0011 0.7848 -0.0011 49.06 1.18 62.29% -1.14 -0.0018 -0.0011 0.7836 -1.44 0.5097 -0.1526 -0.2575

N4 1.67 -0.1526 0.6917 -0.1463 16.44 0.39 23.96% -1.50 -0.2575 -0.1463 0.5315 1.23 0.4416 -0.0032 -0.0053

N5 -0.13 -0.0032 0.4454 -0.0030 3.44 0.08 3.24% 0.04 -0.0053 -0.0030 0.4421

vTv= 111.03 [cm2]

m0= 3.73 [cm] σσσσ0= 3.00 [cm]

Model Testi

Test Tablo T= 12.34 15.51

P(T)= 86.32% 95.00%

Bursa-Wolf Ötelemeleri (t)

1 1.19776E-05 2.33605E-06

λ = 1.00000546 R = -1.19776E-05 1 8.90271E-06

-2.33605E-06 -8.90271E-06 1

76.7474 m 4240511.5458 m

t0 = -14.7807 us = 2448983.0040

-22.4695 4073097.8675

14.7348 m

t=us+t0-λ R us = -13.6288

-13.0106


6. ÖDEVLER

Aşağıda, konuların pekiştirilebilmesine katkı sağlayacak ödevler yer almaktadır.

Ödev 1: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit

noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını

hesaplamak için kurulan matematik model ile oluşturulan normal denklemler

( lPAxAPA TT = ) ve düzeltmelerin kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; (a) kurulan

matematik modeli şartnamede istenen σσσσ0=±±±±15mm değerine göre test ediniz, (b)

hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin ve (c) dengeleme bilinmeyenlerinin

fonksiyonlarının u=x−−−−y+z ve w=2x+3y−−−−z/2 anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz.

30,2 -8,2 16,2 x 56,0 mm α=%5 alınız. 29,5 -6,8 y = 48,0 Sim. 40,4 z 15,0 vTP v = 4526,00 mm2

Ödev 2: Ölçü sayısı 8 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan, 2B (iki boyutlu) bir ağ dengelemesi

sırasında oluşturulan normal denklemler ( lPAxAPA TT = ) aşağıda verilmiştir; (a) kurulan

matematik modeli şartnamede istenen σσσσ0=±±±±15mm değerine göre test ediniz, (b) her bir

noktaya ait koordinat çiftlerinin anlamlılıklarını şartnameye göre test ediniz, (c) her bir

noktanın konum değişiminin {δδδδsk=(δδδδxk2+δδδδyk

2)1/2,k=1,2} anlamlılığını test ediniz.

18.2 -8.2 10.2 9.1 [ ] δδδδx1 51.0 [mm] α=%5 alınız. 27.5 -26.8 -15.6 δδδδy1 = 45.0 vTP v = 1476.00 mm2

36.4 21.1 δδδδx2 32.0

Sim. 29.6 δδδδy2 27.0

Ödev 3: Aşağıda şekli verilen kalibrasyon bazının 1,2,3,4 noktaları arasındaki gerçek

uzunlukları bilinmektedir. Kalibre edilmek istenen bir EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) ile bu

kalibrasyon bazında ölçüler yapılmış, gerçek uzunlukları ile birlikte aşağıdaki tabloda

verilmiştir. Ölçülen uzunluklar ile gerçek uzunluklar arasında xik=a+bSik şeklinde kurulacak

olan doğrusal ilişki katsayılarında anlamlı bir değişim olmuş mudur? (E{a}=0, E{b}=1

midir?) (Not:llllik=xik−−−−Sik=a+bSik, modelini a[mm] ve b[mm/km] olacak şekilde kurunuz).

i-k 1-2 1-3 1-4 2-3 2-4 3-4 xik 30.020 100.005 180.000 69.985 149.980 79.995 Sik 30.030 100.019 180.028 69.998 149.984 80.011

Ödev 4: Ölçü sayısı 15 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan 3B (Üç Boyutlu) bir ağın

1 2 3 4


dengelemesi sırasında oluşturulan normal denklemler ( lPAxAPA TT = ) aşağıda verilmiştir;

(a) kurulan matematik modeli, (b) her bir noktaya ait koordinat üçlülerinin anlamlılıklarını,

(c) her bir noktanın konum değişiminin {δδδδsk=(δδδδxk2+δδδδyk

2+δδδδzk2)1/2,k=1,2} anlamlılığını

şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dengeleme sonucunda elde edilen birim ölçünün

duyarlığı σσσσ0=±±±±10mm olmalı. Sonuçları 1/100 mm’ye kadar yazınız.)

15 -8 9 4 -3 5 [ ] δδδδx1 23 [mm] α=%10 alınız.

-8 27 3 3 -2 9 δδδδy1 51 vTP v = 1687,00 mm2

9 3 24 1 8 6 δδδδz1 -36

4 3 10 35 21 10 δδδδx2 =

-48

-3 -2 8 21 48… -9 δδδδy2 15

5 9 6 10 -9 37 δδδδz2 -36

Ödev 5: Başlangıçları aynı (ötelemeleri sıfır) olan iki koordinat sistemi arasında öngörülen

AFĐN dönüşümü için kurulan matematik model aşağıda verildiğine göre; (a) Matematik

model testini, (b) uyuşumsuz nokta çiftleri testini, (c) E{a}=E{d} ve E{b}=E{c} olup

olmadığını, şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dönüşüm sonucunda birim ölçünün

soncul duyarlığı σσσσ0=±±±±4cm olmalı.)

[m] [km] [m/km] [m] vXj xk -yk 0 0

a - Xk α=%10 vYj 0 0 xk yk

Yk

vX1 5.763 -13.153 0 0 a 7131.21 vY1 0 0 5.763 13.153 b 12463.65 vX2 = 22.031 15.632 0 0 c - 23570.82 vY2 0 0 22.031 15.632 d 13196.43 vX3 11.824 2.419 0 0 12014.49 vY3 0 0 11.824 2.419 1146.36

Çözüm:

A [km] L [m] ================================ ========= 5.763 -13.153 0.000 0.000 7131.21 0.000 0.000 5.763 13.153 12463.65 22.031 -15.632 0.000 0.000 23570.82 0.000 0.000 22.031 15.632 13196.43 11.824 -2.419 0.000 0.000 12014.49 0.000 0.000 11.824 2.419 1146.36 ================================ ========= Qx [] x [m/km] ================================ ========== 0.0055 0.0058 0.0000 0.0000 994.3191 a 0.0085 0.0000 0.0000 -106.5112 b 0.0055 -0.0058 -106.4567 c 0.0085 994.2311 d ================================ ==========


Qv [] v [m] ================================================ ========== 0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401 -0.0000 -0.0069 0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401 -0.0390 0.2596 -0.0000 -0.3661 -0.0000 0.0074 0.2596 -0.0000 -0.3661 0.0420 0.5164 -0.0000 -0.0104 0.5164 -0.0592 ================================================ ========== (a) s0= 4.00 cm m0= 5.92 cm f= 2 α=0.10, 1-α/2=0.95 T= 4.38 X2(0.95,2) = 5.99 GECERLI p' = [ 994.3191 -106.5112 -106.4567 994.2311 ] m/km (b) NN | v[cm] Pv[] v

TPvv[cm2] vTPvv/σσσσo

2 χχχχ2{0.95,2} KARAR

==== | ======= ============ ======= ======= ====== ========= 1 | -0.69 4.46 0.00 70.05 4.38 5.99 ANLAMSIZ | -3.90 0.00 4.46 ----------------------------------------------------------------- 2 | 0.74 3.85 0.00 70.05 4.38 ANLAMSIZ | 4.20 0.00 3.85 ----------------------------------------------------------------- 3 | -1.04 1.94 0.00 70.05 4.38 ANLAMSIZ | -5.92 0.00 1.94 ----------------------------------------------------------------- (c) Ho

| f[cm/km] σσσσf[cm/km] Tf[] Z(0.95) KARAR

===== | ======== ========== ======= ======= ======== |a-d| | 8.80 0.4734 18.60 1.6450 ANLAMLI |b-c| | 5.45 0.4734 11.52 ANLAMLI

Ödev 6: Bir nirengi ağındaki açılardan biri 30 kez ölçülmüştür ve aşağıdaki değerler elde

edilmiştir. Ölçülerin normal dağılımlı olup olmadığını MANN-WALLD uyum testi ile

belirleyiniz ve verilerin histogramını çiziniz (30).

x [g] = 64,76 135g 131 133 138 134 126 129 127 133 136 139 141 124 118 142 132 137 133 131 158 124 132 133 135 145 102 122 137 129 134

Ödev 7: Yukarıdaki tabloda verilen verilerin ortalama değerinin ve ortalama değerin standart

sapmasının s=%90 a karşılık gelen güven bölgelerini belirleyiniz.

Ödev 8: Yukarıdaki verilerin normal dağılımlı olup olmadığını, Çarpıklık ve Basıklık testi ile

irdeleyiniz.

Ödev 9: Bir vadinin iki yamacında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzunluk aynı aletle,

aynı atmosfer koşullarında, aynı ölçme ekibince t1 zamanda 6 kez, t2 zamanda 8 kez

ölçülmüştür. Đki zaman arasında geçen süre içinde bölgede anlamlı bir deformasyon oluşup


oluşmadığını irdeleyiniz.

t1 t2

i Si[m] i Si[m] 1 1023 ,5242 1 1023 ,5162 2 ,5240 2 ,5175 3 ,5223 3 ,5137 4 ,5250 4 ,5153 5 ,5263 5 ,5146 6 ,5233 6 ,5137 ,5128 ,5152

Ödev 10: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit

noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını

hesaplamak için kurulan matematik model ile oluşturulan normal denklemler ve düzeltmelerin

kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; kurulan matematik modeli şartnamede istenen

σ0=±15mm değerine göre test ediniz ve hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin

anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz.

12,2 -8,2 16,2 x 51,2 mm

-8,2 21,5 -26,8 y = 43,7 16,2 -26,8 35,4 z 34,8

vTP v = 4289,00 mm2


KAYNAKLAR

RÜEGER, J., M. (1990), Electronic Distance Measurment, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany.

KOCH, Karl-Rudolf (1999), Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4.

ÖZTÜRK, Ergün ve ŞERBETÇĐ, Muzaffer (1992), Dengeleme Hesabı Cilt 3, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144, Trabzon.

ULSOY, Ekrem (1974), Dengeleme Hesabı, En Küçük kareler Metodu, ĐDMMA yayınları, Sayı: 87, Đstanbul.

ULSOY, Ekrem (1980), Pratik Matris Hesabı, ĐDMMA yayınları, Sayı: 91, Đstanbul.


EKLER

Ek 1 Normal dağılım tablo değerleri. Ek 2 χ2-Dağılımı tablo değerleri. Ek 3 t-Dağılımı tablo değerleri. Ek 4 τ-Dağılımı tablo değerleri. Ek 5 F-Dağılımı tablo değerleri (α=%5). Ek 6 F-Dağılımı tablo değerleri (α=%2.5). Ek 7 F-Dağılımı tablo değerleri (α=%1).

44

Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

3.00 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000


Ek 2 χχχχ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-αααα:Güven aralığı)

s f

0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 s

f

1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 1

2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965 2

3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381 3

4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602 4

5 0.4118 0.5543 0.8312 1.1455 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 5

6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475 6

7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777 7

8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549 8

9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893 9

10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881 10

11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569 11

12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997 12

13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193 13

14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194 14

15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015 15

16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671 16

17 5.6973 6.4077 7.5642 8.6718 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184 17

18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3904 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564 18

19 6.8439 7.6327 8.9065 10.1170 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821 19

20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969 20

21 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009 21

22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957 22

23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814 23

24 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584 24

25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280 25

26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898 26

27 11.8077 12.8785 14.5734 16.1514 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450 27

28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936 28

29 13.1211 14.2564 16.0471 17.7084 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355 29

30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 43.7730 46.9792 50.8922 53.6719 30

40 20.7066 22.1642 24.4331 26.5093 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660 40

50 27.9908 29.7067 32.3574 34.7642 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898 50

60 35.5344 37.4848 40.4817 43.1880 79.0820 83.2977 88.3794 91.9518 60

70 43.2753 45.4417 48.7575 51.7393 90.5313 95.0231 100.4251 104.2148 70

80 51.1719 53.5400 57.1532 60.3915 101.8795 106.6285 112.3288 116.3209 80

90 59.1963 61.7540 65.6466 69.1260 113.1452 118.1359 124.1162 128.2987 90

100 67.3275 70.0650 74.2219 77.9294 124.3421 129.5613 135.8069 140.1697 100


Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-αααα:Güven aralığı)

s f

0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 s

f

1 0.0079 0.0157 0.0393 0.0787 12.7062 25.4519 63.6559 127.3211 1

2 0.0071 0.0141 0.0354 0.0708 4.3027 6.2054 9.9250 14.0892 2

3 0.0068 0.0136 0.0340 0.0681 3.1824 4.1765 5.8408 7.4532 3

4 0.0067 0.0133 0.0333 0.0667 2.7765 3.4954 4.6041 5.5975 4

5 0.0066 0.0132 0.0329 0.0659 2.5706 3.1634 4.0321 4.7733 5

6 0.0065 0.0131 0.0327 0.0654 2.4469 2.9687 3.7074 4.3168 6

7 0.0065 0.0130 0.0325 0.0650 2.3646 2.8412 3.4995 4.0294 7

8 0.0065 0.0129 0.0323 0.0647 2.3060 2.7515 3.3554 3.8325 8

9 0.0064 0.0129 0.0322 0.0645 2.2622 2.6850 3.2498 3.6896 9

10 0.0064 0.0129 0.0321 0.0643 2.2281 2.6338 3.1693 3.5814 10

11 0.0064 0.0128 0.0321 0.0642 2.2010 2.5931 3.1058 3.4966 11

12 0.0064 0.0128 0.0320 0.0640 2.1788 2.5600 3.0545 3.4284 12

13 0.0064 0.0128 0.0319 0.0639 2.1604 2.5326 3.0123 3.3725 13

14 0.0064 0.0128 0.0319 0.0638 2.1448 2.5096 2.9768 3.3257 14

15 0.0064 0.0127 0.0319 0.0638 2.1315 2.4899 2.9467 3.2860 15

16 0.0064 0.0127 0.0318 0.0637 2.1199 2.4729 2.9208 3.2520 16

17 0.0064 0.0127 0.0318 0.0636 2.1098 2.4581 2.8982 3.2224 17

18 0.0064 0.0127 0.0318 0.0636 2.1009 2.4450 2.8784 3.1966 18

19 0.0063 0.0127 0.0318 0.0635 2.0930 2.4334 2.8609 3.1737 19

20 0.0063 0.0127 0.0317 0.0635 2.0860 2.4231 2.8453 3.1534 20

21 0.0063 0.0127 0.0317 0.0635 2.0796 2.4138 2.8314 3.1352 21

22 0.0063 0.0127 0.0317 0.0634 2.0739 2.4055 2.8188 3.1188 22

23 0.0063 0.0127 0.0317 0.0634 2.0687 2.3979 2.8073 3.1040 23

24 0.0063 0.0127 0.0317 0.0634 2.0639 2.3910 2.7970 3.0905 24

25 0.0063 0.0127 0.0317 0.0633 2.0595 2.3846 2.7874 3.0782 25

26 0.0063 0.0127 0.0316 0.0633 2.0555 2.3788 2.7787 3.0669 26

27 0.0063 0.0126 0.0316 0.0633 2.0518 2.3734 2.7707 3.0565 27

28 0.0063 0.0126 0.0316 0.0633 2.0484 2.3685 2.7633 3.0470 28

29 0.0063 0.0126 0.0316 0.0633 2.0452 2.3638 2.7564 3.0380 29

30 0.0063 0.0126 0.0316 0.0632 2.0423 2.3596 2.7500 3.0298 30

40 0.0063 0.0126 0.0315 0.0631 2.0211 2.3289 2.7045 2.9712 40

50 0.0063 0.0126 0.0315 0.0630 2.0086 2.3109 2.6778 2.9370 50

60 0.0063 0.0126 0.0315 0.0630 2.0003 2.2990 2.6603 2.9146 60

70 0.0063 0.0126 0.0315 0.0629 1.9944 2.2906 2.6479 2.8987 70

80 0.0063 0.0126 0.0314 0.0629 1.9901 2.2844 2.6387 2.8870 80

90 0.0063 0.0126 0.0314 0.0629 1.9867 2.2795 2.6316 2.8779 90

100 0.0063 0.0126 0.0314 0.0629 1.9840 2.2757 2.6259 2.8707 100


Ek 4 ττττ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-αααα:Güven aralığı)

s f

0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 s

f

2 0.0111 0.0222 0.0555 0.1110 1.4099 1.4140 1.4140 1.4142 2

3 0.0087 0.0173 0.0433 0.0866 1.6454 1.7147 1.7147 1.7234 3

4 0.0079 0.0157 0.0393 0.0786 1.7567 1.9175 1.9175 1.9481 4

5 0.0075 0.0149 0.0373 0.0746 1.8143 2.0509 2.0509 2.1057 5

6 0.0072 0.0144 0.0361 0.0722 1.8481 2.1421 2.1421 2.2182 6

7 0.0071 0.0141 0.0353 0.0706 1.8698 2.2075 2.2075 2.3011 7

8 0.0069 0.0139 0.0347 0.0695 1.8848 2.2562 2.2562 2.3643 8

9 0.0069 0.0137 0.0343 0.0686 1.8957 2.2938 2.2938 2.4138 9

10 0.0068 0.0136 0.0340 0.0679 1.9039 2.3236 2.3236 2.4536 10

11 0.0067 0.0135 0.0337 0.0674 1.9103 2.3478 2.3478 2.4862 11

12 0.0067 0.0134 0.0335 0.0670 1.9155 2.3678 2.3678 2.5133 12

13 0.0067 0.0133 0.0333 0.0666 1.9196 2.3846 2.3846 2.5363 13

14 0.0066 0.0133 0.0332 0.0663 1.9231 2.3989 2.3989 2.5560 14

15 0.0066 0.0132 0.0330 0.0661 1.9261 2.4113 2.4113 2.5730 15

16 0.0066 0.0132 0.0329 0.0658 1.9286 2.4220 2.4220 2.5879 16

17 0.0066 0.0131 0.0328 0.0656 1.9308 2.4315 2.4315 2.6010 17

18 0.0065 0.0131 0.0327 0.0655 1.9327 2.4398 2.4398 2.6126 18

19 0.0065 0.0131 0.0326 0.0653 1.9343 2.4472 2.4472 2.6230 19

20 0.0065 0.0130 0.0326 0.0652 1.9358 2.4539 2.4539 2.6323 20

21 0.0065 0.0130 0.0325 0.0651 1.9371 2.4599 2.4599 2.6408 21

22 0.0065 0.0130 0.0325 0.0649 1.9383 2.4654 2.4654 2.6485 22

23 0.0065 0.0130 0.0324 0.0648 1.9394 2.4703 2.4703 2.6555 23

24 0.0065 0.0129 0.0324 0.0648 1.9403 2.4749 2.4749 2.6619 24

25 0.0065 0.0129 0.0323 0.0647 1.9412 2.4790 2.4790 2.6678 25

26 0.0065 0.0129 0.0323 0.0646 1.9420 2.4829 2.4829 2.6732 26

27 0.0064 0.0129 0.0322 0.0645 1.9428 2.4864 2.4864 2.6782 27

28 0.0064 0.0129 0.0322 0.0644 1.9434 2.4897 2.4897 2.6829 28

29 0.0064 0.0129 0.0322 0.0644 1.9441 2.4928 2.4928 2.6872 29

30 0.0064 0.0129 0.0321 0.0643 1.9447 2.4956 2.4956 2.6912 30

40 0.0064 0.0128 0.0319 0.0639 1.9488 2.5161 2.5161 2.7205 40

50 0.0064 0.0127 0.0318 0.0637 1.9512 2.5282 2.5282 2.7379 50

60 0.0063 0.0127 0.0317 0.0635 1.9527 2.5363 2.5363 2.7495 60

70 0.0063 0.0127 0.0317 0.0634 1.9538 2.5420 2.5420 2.7578 70

80 0.0063 0.0127 0.0316 0.0633 1.9546 2.5462 2.5462 2.7640 80

90 0.0063 0.0126 0.0316 0.0632 1.9552 2.5496 2.5496 2.7688 90

100 0.0063 0.0126 0.0316 0.0632 1.9557 2.5522 2.5522 2.7726 100


Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (αααα=%5)

P(T≤F{f1f20.95})=%95

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 161.4462 6.6079 4.9646 4.5431 4.3513 4.2417 4.1709 4.0847 3.9778 3.9362

5 230.1604 5.0503 3.3258 2.9013 2.7109 2.6030 2.5336 2.4495 2.3456 2.3053

10 241.8819 4.7351 2.9782 2.5437 2.3479 2.2365 2.1646 2.0773 1.9689 1.9267

15 245.9492 4.6188 2.8450 2.4034 2.2033 2.0889 2.0148 1.9245 1.8117 1.7675

20 248.0156 4.5581 2.7740 2.3275 2.1242 2.0075 1.9317 1.8389 1.7223 1.6764

25 249.2598 4.5209 2.7298 2.2797 2.0739 1.9554 1.8782 1.7835 1.6638 1.6163

30 250.0965 4.4957 2.6996 2.2468 2.0391 1.9192 1.8409 1.7444 1.6220 1.5733

40 251.1442 4.4638 2.6609 2.2043 1.9938 1.8718 1.7918 1.6928 1.5661 1.5151

70 252.4976 4.4220 2.6095 2.1472 1.9323 1.8069 1.7240 1.6205 1.4857 1.4303

100 253.0433 4.4051 2.5884 2.1234 1.9066 1.7794 1.6950 1.5892 1.4498 1.3917

P(T≤F{f1f20.05})=%5

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 0.0062 0.0043 0.0041 0.0041 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040

5 0.1513 0.1980 0.2112 0.2165 0.2194 0.2212 0.2224 0.2240 0.2261 0.2270

10 0.2014 0.3007 0.3358 0.3515 0.3605 0.3663 0.3704 0.3758 0.3832 0.3863

15 0.2201 0.3447 0.3931 0.4161 0.4296 0.4386 0.4451 0.4537 0.4657 0.4709

20 0.2298 0.3689 0.4259 0.4539 0.4708 0.4822 0.4904 0.5015 0.5175 0.5245

25 0.2358 0.3842 0.4471 0.4787 0.4981 0.5114 0.5211 0.5342 0.5534 0.5620

30 0.2398 0.3947 0.4620 0.4963 0.5177 0.5324 0.5432 0.5581 0.5801 0.5900

40 0.2448 0.4083 0.4814 0.5196 0.5438 0.5607 0.5733 0.5907 0.6171 0.6292

70 0.2514 0.4263 0.5079 0.5520 0.5806 0.6010 0.6165 0.6385 0.6731 0.6897

100 0.2541 0.4338 0.5190 0.5658 0.5965 0.6187 0.6356 0.6600 0.6992 0.7185


Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-αααα=%975)

P(T≤F{f1f20.975})=%97.5

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 647.7931 10.0069 6.9367 6.1995 5.8715 5.6864 5.5675 5.4239 5.2470 5.1786

5 921.8347 7.1464 4.2361 3.5764 3.2891 3.1287 3.0265 2.9037 2.7537 2.6961

10 968.6337 6.6192 3.7168 3.0602 2.7737 2.6135 2.5112 2.3882 2.2374 2.1793

15 984.8736 6.4277 3.5217 2.8621 2.5731 2.4110 2.3072 2.1819 2.0277 1.9679

20 993.0809 6.3285 3.4185 2.7559 2.4645 2.3005 2.1952 2.0677 1.9100 1.8486

25 998.0868 6.2678 3.3546 2.6894 2.3959 2.2303 2.1237 1.9943 1.8334 1.7705

30 1001.4046 6.2269 3.3110 2.6437 2.3486 2.1816 2.0739 1.9429 1.7792 1.7148

40 1005.5955 6.1751 3.2554 2.5850 2.2873 2.1183 2.0089 1.8752 1.7069 1.6401

70 1011.0089 6.1074 3.1819 2.5064 2.2045 2.0319 1.9195 1.7810 1.6038 1.5320

100 1013.1625 6.0800 3.1517 2.4739 2.1699 1.9955 1.8816 1.7405 1.5581 1.4833

P(T≤F{f1f20.025})=%2.5

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 0.0015 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010

5 0.0999 0.1399 0.1511 0.1556 0.1580 0.1595 0.1606 0.1619 0.1637 0.1645

10 0.1442 0.2361 0.2690 0.2840 0.2925 0.2981 0.3020 0.3072 0.3143 0.3173

15 0.1613 0.2796 0.3268 0.3494 0.3629 0.3718 0.3783 0.3868 0.3990 0.4042

20 0.1703 0.3040 0.3605 0.3886 0.4058 0.4174 0.4258 0.4372 0.4536 0.4608

25 0.1759 0.3196 0.3826 0.4148 0.4347 0.4484 0.4584 0.4721 0.4921 0.5011

30 0.1796 0.3304 0.3982 0.4334 0.4555 0.4709 0.4822 0.4978 0.5210 0.5315

40 0.1844 0.3444 0.4187 0.4583 0.4836 0.5014 0.5147 0.5333 0.5615 0.5745

70 0.1906 0.3631 0.4470 0.4932 0.5236 0.5454 0.5620 0.5859 0.6235 0.6418

100 0.1931 0.3709 0.4589 0.5081 0.5410 0.5648 0.5831 0.6097 0.6527 0.6742


Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (αααα=%1)

P(T≤F{f1f20.99})=%99

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 4052.1845 16.2581 10.0442 8.6832 8.0960 7.7698 7.5624 7.3142 7.0114 6.8953

5 5763.9554 10.9671 5.6364 4.5556 4.1027 3.8550 3.6990 3.5138 3.2907 3.2059

10 6055.9250 10.0511 4.8491 3.8049 3.3682 3.1294 2.9791 2.8005 2.5852 2.5033

15 6156.9735 9.7223 4.5582 3.5222 3.0880 2.8502 2.7002 2.5216 2.3055 2.2230

20 6208.6619 9.5527 4.4054 3.3719 2.9377 2.6993 2.5487 2.3689 2.1504 2.0666

25 6239.8612 9.4492 4.3111 3.2782 2.8434 2.6041 2.4526 2.2714 2.0503 1.9651

30 6260.3503 9.3794 4.2469 3.2141 2.7785 2.5383 2.3860 2.2034 1.9797 1.8933

40 6286.4274 9.2912 4.1653 3.1319 2.6947 2.4530 2.2992 2.1142 1.8861 1.7972

70 6320.8863 9.1763 4.0577 3.0224 2.5822 2.3373 2.1808 1.9911 1.7537 1.6594

100 6333.9248 9.1300 4.0137 2.9772 2.5353 2.2888 2.1307 1.9383 1.6954 1.5977

P(T≤F{f1f20.01})=%1

f2 f1

1 5 10 15 20 25 30 40 70 100

1 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

5 0.0615 0.0912 0.0995 0.1029 0.1047 0.1058 0.1066 0.1076 0.1090 0.1095

10 0.0996 0.1774 0.2062 0.2194 0.2270 0.2320 0.2355 0.2401 0.2464 0.2491

15 0.1152 0.2195 0.2628 0.2839 0.2966 0.3050 0.3111 0.3193 0.3309 0.3359

20 0.1235 0.2437 0.2969 0.3238 0.3404 0.3517 0.3599 0.3711 0.3873 0.3944

25 0.1287 0.2594 0.3195 0.3509 0.3705 0.3840 0.3940 0.4077 0.4278 0.4369

30 0.1322 0.2703 0.3357 0.3703 0.3924 0.4077 0.4191 0.4349 0.4586 0.4693

40 0.1367 0.2846 0.3571 0.3966 0.4221 0.4403 0.4538 0.4730 0.5022 0.5159

70 0.1426 0.3039 0.3868 0.4337 0.4650 0.4877 0.5051 0.5302 0.5702 0.5898

100 0.1450 0.3119 0.3995 0.4498 0.4839 0.5089 0.5282 0.5564 0.6026 0.6259


ÖZGEÇMĐŞ

Doğum tarihi 14.02.1967 Doğum yeri Đstanbul Lise 1981-1984 Vakfıkebir Lisesi Lisans 1987-1991 KTÜ Mühendislik Fakültesi Jeodezi ve Fotog. Mühendisliği Bölümü Akademik ve Mesleki Deneyimler 1996-2004 ZKÜ-Müh.Fak.-Jeodezi ve Fotog.Müh.Bölümü 2004-Devam KOÜ-Müh.Fak.-Harita.Müh.Bölümü

Documents

JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ...Harita (Jeodezi ve Fotogrametri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan geometrik ölçmelerden oluşur. Çoğunlukla bulunmak