Kareköklü Sayılar

23Yukarıdaki sayının 3 üssü 2 veya 3’ün 2. kuvveti diye okunduğunu biliyoruz.

Bunun yanı sıra bir sayının 2. kuvveti o sayının karesi olarak ifade edilebilir.

Bu anlamda yukarıdaki sayı 3’ün karesi şeklinde ifade edilebilir.

YAZMADAN İNCELE ÇIKAN SONUCUDEGERLENDİR

24 4 ün karesi

27 7 nin karesi

16

49

-Dedem dedi ki bizim kökümüz çok eskilere dayanırmış.

Yukarıdaki cümlede altı çizili k

elime

hangi anlamda kullanılmıştır?

Bir sayının kökünü bulmak, o sayıya ulaşmak için kuvveti alınan değeri (geçmiş değeri) bulmaktır.

ÖRNEK: 16 sayısı hangi sayının karesi alınarak elde edilmiştir?

İşte burada 16 sayısının kare alınmadan önceki geçmiş değerin bulunması isteniyor.

Hangi sayının karesi 16 dır?

Hangi sayının karesi 4 tür?

Hangi sayının karesi 9 dur?

Hangi sayının karesi 36 dır?

Hangi sayının karesi tür?4 =2

Yukarıda görüldüğü gibi sembolü “hangi sayının karesi?” sorusunu sorar. Bu sembol “Karekök” diye okunur.

16ifadesinin nasıl okunduğunu ve ne anlama geldiğini söyleyiniz.

İleride yapacağımız işlemlerde kolaylık sağlaması açısından aşağıdaki tabloyu inceleyelim.

02=0 42=16 82=64 122=144

12=1 52=25 92=81 132=169

22=4 62=36 102=100 142=196

32=9 72=49 112=121 152=225

?3655213 Örnek:

KAREKÖKLÜ SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA

3 ELMA + 2 ELMA = 5

ETKİNLİK:

5 5

5

5

5

3 5 + 2 5 = 5

Verilen bir işlemde toplama çıkarma varsa öncelikle toplanabilirlik durumu incelenmelidir. Şöyle ki:

3 ELMA + 2 ARMUT= 5

Burada görüldüğü gibi sonuçta ne elde ettiğimiz belli değildir. Bu durumda yukarıdaki gibi bir toplama işlemi yapılamaz.

Toplama işlemi yaparken toplanacak olan ifadelerin aynı cins olmasına dikkat edilir aksi halde toplama yapılamaz. Aynı durum çıkarma işlemi için de geçerlidir.

3 ELMA + 2 ELMA = 5

Toplama-çıkarma işlemi yaparken toplanacak-çıkarılacak ortak cinslerin miktarını anlatan sayılar (katsayılar) toplanır-çıkarılır.

Kareköklü sayılarla toplama yapılırken:

Kök içlerinin aynı olmasına dikkat edilir.

Katsayılar toplanır-çıkarılır katsayı olarak yazılır.

Ortak kök, elde edilen katsayının yanına yazılır.

ÖRNEK:

242723 26

(3+7-4)=6 Katsayılar toplanıp katsayı olarak yazılır.

ÖRNEK:

34335

(5-1+4)=8

38Burada 2. terimin katsayısı görülmemektedir. Bir ifadenin katsayısı görülmüyorsa çarpmada etkisiz eleman olan

1 o ifadenin katsayısıdır.

ÖRNEK:

6368 25+ - + 2

65 26+ÖRNEK:

?752072518

Kareköklü sayılarla çarpma yaparken katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır. Kök içleri çarpılır kök olarak yazılır. Bölmede de aynı mantık geçerlidir.

ÖRNEKLER:

3565273 1.)

2.) 12435

3.) 392

6

3

2723627

4.) 24

25

6

12

4

25641225

Kareköklü Sayıyı Şeklinde Yazma ca

144 1212 12 12=

99981 29299281162 2626623672

Her zaman için verilen ifade bu kadar kolay çarpanlarına ayrılamayabilir. Bu durumda kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak işlemimize devam edebiliriz.

768768

2

384 2

192 2

96 2

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1

3. . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2

3=16

?12 ÖRNEK:

ÖRNEK:

?720 ÖRNEK:

?75227312

Gerçek Sayılar

Sınıftan seçeceğimiz 4 gruptan kırmızı bölgede bulunan bir rasyonel sayı yazması istenecektir.

Gruplar sayıyı bir kağıda yazıp süre (20 sn) bitiminde kağıdı kaldırarak cevabı verecektir.

Her grup doğru yazdığı sayı için 12 puan alacaktır.

Eğer farklı gruplar aynı sayıyı bulursa 12 puan bu gruplara bölünerek verilecektir. (Örneğin 3 grup aynı sayıyı bulursa 12:3=4 er puan alacaktır.)

Sayı bulma işlemi 3 defa tekrarlanacak sonunda kazanan grup belli olacaktır.

ETKİNLİK:

Sayı doğrusunda iki rasyonel sayı arasına sonsuz rasyonel sayı yazılabilir.

Ancak her ne kadar sonsuz rasyonel sayı yazılsa da sayı doğrusunu rasyonel sayılarla tam olarak dolduramayız. Bu anlamda sayı doğrusunda boş kalan noktalara karşılık irrasyonel sayılar gelmektedir.

Böylece Q ile Qı elemanları bir araya gelerek sayı doğrusunu hiç boşluk kalmayacak şekilde doldururlar.

Bu iki kümenin birleşimi reel sayılar kümesini verir.

Q U Qı =R olur.N Z

R

QıQN Z Q RQı R

Qı ∩ Q=Ø

Standart Sapma

Bir örnekle standart sapmayı ele alalım.

İki öğrencinin 3 yazılı sonunda aldığı notlar aşağıdaki gibidir:

1. Öğrenci1.yazılı 2.

yazılı3. yazılı

70 65 72

2. Öğrenci1.Yazılı 2.

yazılı3. yazılı

30 90 42

Bu öğrencilerden hangisi daha tutarlı notlar almıştır?

Standart sapma değerlerini hesaplayarak tutarlılıklarını değerlendirelim.

1. Öğrenci1. yazılı

2. yazılı

3. yazılı

70 65 72

2. Öğrenci1. yazılı

2. yazılı

3. yazılı

30 90 42

ARİTMETİK ORTALAMA

693

726570

54

3

429030

ARİTMETİK ORTALAMA

NOTLAR İLE ORTALAMA ARASINDAKİ FARKIN KARELERİ TOPLAMI

269161

93)6972(

16)4()6965(

11)6970(

22

22

22

20161441296576

144)12()5442(

1296)36()5490(

576)24()5430(

22

22

22

Standart Sapma

Standart Sapma

5,31313

26

7,311008

13

2016

Şimdi elde ettiğimiz bu standart sapma değerlerini yorumlayalım:

Bir veri grubunun standart sapması 0’a ne kadar yakınsa bu veri grubu o kadar tutarlıdır. Bu durumda 1. öğrencinin standart sapması 2. öğrencinin standart sapmasından küçük olduğundan 1. öğrencinin daha tutarlı notlar aldığı sonucuna ulaşılır.

Neden verilerin aritmetik ortalamaya olan uzaklıklarını direk toplamak yerine karelerini topluyoruz?Bir adamın Salı ve Çarşamba günleri 3’er saat süresince her saat tuttuğu balık sayısı aşağıdaki gibidir:Salı:1. saat6 tane Çarşamba:1. saat6 tane 2. saat5 tane 1. saat5 tane 3. saat 4 tane 1. saat1 tane

Burada ortalamaları alıp ortalamaya olan uzaklıkları direk toplarsakSalı Günü Ortalaması: 5 Çarşamba Günü Ortalaması:4Ortalamaya olan uzaklıklar1.Saat +1 1. Saat +2 2.Saat 0 2. Saat +13.Saat -1 3. Saat -3TOPLAMLARI0 TOPLAMLARI0

Bu durumda her iki gündeki tutarlılığın aynı olduğunu söylemek gerekecekti.

Sizce her iki günün tutarlılığı aynı mı?

YAZMADAN İNCELE ÇIKAN SONUCUDEGERLENDİR

5,31313

26

Neden veri sayısının 1 eksiği alınıyor?

Yazılıdan 70 alan bir çocuğun aldığı bu tek not için tutarlılığı hakkında ne söylersiniz?

Şimdi bu çocuğun aldığı tek not için standart sapmayı hesaplayalım.

Aritmetik ortalama: 70Aritmetik ortalamaya uzaklıkların kareleri toplamı: (70-70)2=0

Şimdi bulduğumuz bu değeri veri sayısına bölüp karekök alarak standart sapmayı bulalım:

01

0

Bu durumda bu çocuğun çok tutarlı olduğu söylenebilir. Oysa ki tek notla bir çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.Şimdi de veri sayısının 1 eksiğine bölüp karekök alarak standart sapmayı hesaplayalım.

TANIMSIZ0

0Bu durumda bu çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.

Buradan çıkardığınız sonucu tartışınız.