Kako je to moguc ´e?

Trodimenzionalni efekt, odnosno osje-caj dubine koji dobijete�uspijete li savladatitehniku gledanja�, moguce je postici zahva-ljujuci nacinu na koji funkcionira ljudski vid.

Napravite mali eksperiment — gledaj-te donje slovo naizmjence lijevim pa desnimokom.

A

S obzirom da su nam oci razmaknute,svako oko vidjet ce slovo u razlicitim polozˇa-jima. Imat cete dojam kako se ono “pomicˇe”lijevo-desno.

Korak dalje bio bi pokusate li postavitidva predmeta na stol,�oznacimo ih sA i B�, ineka je predmetA lijevo i ispred predmetaB.

Cucnete li tako da vam se oni nalaze u vi-sini ociju i promatrate li ih naizmjence lijevimpa desnim okom, primijetit cete da predmetA, koji je blizi vasim ocima, ima veci pomakod predmetaB koji je udaljeniji.

Upravo ti “pomaci” informacija su moz-gu na temelju koje covjek dobiva osjecaj tre-ce dimenzije, dubine. Ocˇi salju mozgu dvijegotovo jednake slike, lijevu i desnu. Mozaksparuje svaku tocˇku A s lijeve slike s odgo-varajucom tocˇkom A s desne slike, i svakutocku B sa slike lijevog oka s tocˇkom B saslike desnog oka. Usporedujuci pritom samoone tocke koje se nalaze na istoj visini, mozak“izracunava” pomake i tako stvara trodimen-zionalnu sliku prostora.

A bas zbog toga stereogrami su moguc´i.Specijalno slozene dvodimenzionalne slike,promatrane na pravi nacin, odjednom dobi-vaju i trecu dimenziju: dubinu!

Mozak se da zavarati. Na sljedecoj slicipravci pogleda povezuju kljucne tocˇke na 2Dslici sa sredistem lijevog i desnog oka pro-matraca. Svaka tocka u prostoru u kojoj se tipravci sijeku predstavlja mjesto na kojem sespajaju slike lijevog i desnog oka pa je mo-guce postici iluziju da promatrana tocˇka napapiru lezi ispred pozadine, kao da se nalaziu prostoru.

No, zato postoje i ogranicenja. Naime,iluziju nije moguce postici bez konvergencijepogleda, a stereogrami moraju biti sastavljeniod ponavljajuceg uzorka.

14, 2002 175

Malo povijesti...

U pocetku — dvije slike

Trodimenzionalni vid predmet je prou-cavanja vec vise od dvije tisuce godina. Eu-klid, Leonardo da Vinci, Descartes samo suneki od velikih umova koji su pokusavali tre-cu dimenziju prikazati na ravnoj dvodimen-zionalnoj plohi.

No, tek je 1838. godine Sir Charles Whe-atstone otkrio stereoskopsku tehniku gleda-nja. Promatrate li dvije skoro identicne slike�stereo par� nekog predmeta na pravi nacˇin�svaka slika prikazuje taj predmet onako ka-ko ga vidi samo jedno oko�, vidjet cete tajpredmet i u trecoj dimenziji.

Samo godinu dana kasnije rodena je fo-tografija i od tada je razvoj stereoskopije uskovezan uz razvoj fotografije. Fotografija da-je dvodimenzionalnu�x� y� sliku prostora iobjekata. Pokusate li snimiti dvije fotografi-je istog predmeta, jednu koja bi prikazivalakako taj predmet vidi lijevo oko, a drugu zadesno oko�imitirajuci razmak izmedu ociju�,i gledate li zatim te dvije fotografije tako da

svako oko gleda “svoju” fotografiju, vidjelibiste trecu, trodimenzionalnu sliku tog pred-meta. Dvije fotografije stopile bi se u jednuna kojoj se “vidi” i dubinaz.

Stereografija je postala popularna i me-du umjetnicima. Tako je na primjer SalvadorDali slikao svoje slike u parovima, po jednusliku za svako oko. Gledate li ih na pravinacin, slika dobiva i trecu dimenziju.

Vertikalne konture — ovaj neobican stereogram moze se vidjeti i vertikalno i horizontalno

176 14, 2002

Srce

Tockica do tockice� � �

Mnogi znanstvenici su, proucavajuci ljud-ski vid, sami kreirali stereo parove. 1959.godine dr. Bela Julesz nacinio je prvi tocka-sti stereogram�RDS — random dot stereog-ram�.

No, pravi preokret u razvoju stereogra-fije nacinio je Christopher W. Tyler, engleskipsiholog i psihofizicar, izumivsˇi autostereo-gram — stereogram koji se sastoji od samojedne slike u kojoj su ukomponirani podaci zaoba oka. Bilo je to 1979. godine, i u kreiranjutog autostereograma sudjelovala je MaureenClarke, kompjutorski programer.

Na prvi pogled RDS izgleda kao besmis-leni niz tockica na papiru, ali svaki u sebi ipakskriva smislenu sliku. Evo nekoliko lijepihtockastih stereograma.

Boja i zidne tapete!

Korak dalje bio je zamjena tockica naRDS-u bojom. Tako su nastali bojom ispu-njeni stereogrami�CFS — Color Field Stere-ogram�. Jedan lijepi CFS mozete vidjeti nastranicama panoptikuma.

S obzirom da je iluziju dubine na stere-ogramima moguce postici ponavljanjem jed-nog te istog uzorka�s time da postoji razli-ka u razmacima, velicini i obliku elemenata

Video igra, San-ei Karino

14, 2002 177

Avantura gospodina Q., Naoyuki i Miyuki Kato

na uzorku�, postoji i vrsta stereograma ko-ji, “obicno” gledani, podsjecaju na zivopisnezidne tapete, s jasno vidljivim slicicama. No,gledate li ih stereoskopski, dobivate i trec´udimenziju.

A za racunalo nema jednostavnijeg pro-blema od ponavljajuceg uzorka! Od 1980.godine, kada su Bela Julesz i Peter Burt na-pravili prvi takav stereogram uz pomoc ra-cunala, nastaje prava eksplozija stereograma— od onih kojima je svrha zabava, do pravihumjetnickih djela. Prireduju se izlozbe 3Dslika, tiskaju se posteri, knjige, a neke firmeoblikuju svoj logo kao stereogram.

Sve vise se za njih zanimaju i mladi ma-tematicari, programeri koji otkrivaju nove na-cine stvaranja stereograma i smisljaju noveprograme.

Poster

Pogledajte na donjoj slici i jedan ASCII-stereogram. Skinut je s interneta, a namije-njen je onima koji na racunalu nemaju dobrugrafiku.

Na internetu mozete pronaci skoro sve ostereogramima, dovoljno je u trazilicu upisa-ti pojam “stereogram”. Neki od stereogramakriju odgovore onima koji ih ne vide, klikneteli na njega, otvara se crno bijela slicica kojace vam otkriti sto biste trebali vidjeti. Mozˇe-te pronaci i top listu najboljih stereograma, anude se cak i programi za njihovu izradu.

178 14, 2002

I na kraju...

Najnovije doba virtualne stvarnosti za-pocelo je kada je racunalna grafika napredo-vala toliko da su se mogle proizvesti pokret-ne slike za stereoskopske projekcije. Danasu nekim zabavnim parkovima postoje prava3D kina. Postoje i specijalni displeji koje“montirate” na glavu kao naocale, a svakooko gleda svoj film i tako zavarava mozakpa ste uvjereni kako vidite trodimenzionalnuscenu.

Stereogrami su oblik nekompjuterizira-ne virtualne stvarnosti, imaju jednu prednost:vidljivi su golim okom. No, treca dimenzi-ja se ipak nije potpuno dala ukrotiti. Nijemoguce dobiti stereoskopsku dubinu na pro-izvoljnim 2D slikama. Uzorak od kojeg se

radi stereogram moze biti obojen na razlicitenacine, no nije moguce postici da promatraniobjekt bude razlicite boje od podloge. Gra-nice postoje, a na buducim generacijama jeda ih probiju — mozˇda ce bas jedan od va-sih malih genijalaca napraviti pomak u tomsmjeru.

I jos nesto... ovih dana otisla sam nakontrolu vida koja je pokazala da mi naocalevise ne trebaju! Iako moja dioptrija nije bilavelika, je li moguce da je zurenje u stereog-rame razlog poboljsanja vida? Na internetusam, naime, pronasla podatak da je to mogu-ce, iako je nekako vjerojatnije da su me prviputa presli, samo da kupim naocale i istre-sem 700 kn?! Tko zna? U svakom slucaju,sada tu i tamo posegnem za knjigom i malko“zurim”, ako nista drugo, zanimljivo je i re-

laksirajuce. Mozˇda cete i Vi ovaj broj -adrzati u ruci cesce od ostalih.

Kameleon

14, 2002 179

Pozutjele stranice

Prva konferencija skolskih nadzornika kraljevina Hrvatske i Slavonije odrzana je u Zagrebu od 1. do15. ozujka 1894. na poticaj Izidora Krsnjavija, predstojnika Kraljevskog zemaljsko–vladnoga odjela zabogostovlje i nastavu.

U Izvjescu s te konferencije nalazi se i odjeljak u kojem je rijec o nadzoru skola a iz njega donosimoizvadak u kojem se govori o “racunstvu”. Napominjemo da nam je na ovaj izvor ukazao visi nadzornikVinko Bajrovic.

180 14, 2002

Iz svijeta

Studij za nastavnikamatematike u Njemacˇkoj

Franka Miriam Br uckler i Mladen Vukovic, Zagreb

Vec vise od godinu dana na Matemati-ckom odjelu PMF-a u Zagrebu u tijeku je iz-rada novog plana i programa studija za profilnastavnika matematike. Navest cemo glavnerazloge za to.

Najvazniji razlog reforme studija je zˇe-lja za osuvremenjivanjem i uvodenjem novihoblika ucenja u nastavu matematike. Tu prijesvega mislimo na primjenu racunala u nastavimatematike.

U Bologni je 1999. godine odrzana kon-ferencija o visokom obrazovanju u Euro-pi. Na njoj je sudjelovala vecina zapadno-europskih ministara za obrazovanje i znanost.Na kraju konferencije donesena je deklaraci-ja. Jedan od najvaznijih zakljucaka koji senavodi u Bolonjskoj deklaraciji je nastojanjeda do 2010. godine Europa ima ujednacenisistem visokog skolstva koji bi omoguc´avaolaki protok studenata i nastavnika.

Vjerojatno vam je poznato da se buduc´inastavnici matematike u Republici Hrvatskojskoluju na fakultetima u Rijeci, Osijeku, Spli-tu i Zagrebu. Na Uciteljskim akademijama uPetrinji i Zagrebu skoluju se buduci nastavni-ci razredne nastave s pojacanim predmetommatematike. Odlukom ministra prosvjete i

sporta, iz lipnja prosle godine, diplomiranistudenti Uciteljskih akademija mogu izvoditinastavu matematike u svim visim razredimaosnovne skole. To nas je navelo na razmislja-nje o razdvajanju studija za ucitelja matema-tike�za osnovnu, te moguce nizu srednju sko-lu� i profesora matematike�za srednju sˇkolu�.U hrvatskim osnovnim skolama zaposleno jeoko 2300 ljudi koji predaju matematiku, a usrednjim skolama oko 1200. Manje od 10%zaposlenih u osnovnim skolama su diplomi-rali na PMF–MO.

Jedna vazna aktivnost na pocetku je bilaprouciti programe studija za nastavnike ma-tematike na europskim sveucilistima. Ljuba-znoscu Goetheovog instituta u Zagrebu dobi-li smo neke materijale iz Njemacke, te smoodrzali predavanje na tematskoj sjednici Fa-kultetskog vijeca PMF–MO o studiju za na-stavnika matematike u Njemackoj. U ovomclanku dajemo skraceni prikaz tog predava-nja.

Zeljeli bismo istaknuti da se nismo osob-no upoznali s njemackim obrazovnim susta-vom, te nismo studirali na nekom njemacˇkomsveucilistu. Biti cemo zahvalni svakome tkonas upozori na uocenu pogresku.

14, 2002 181