Upload
buikien
View
292
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Uji Integral
Teorema 3
Jika 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 adalah deret dengan suku-suku tak
negatif, dan jika ada suatu konstanta 𝑀 sedemikian
hingga
𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯+ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀
untuk setiap 𝑛, maka deret konvergen, dan jumlahan
𝑆 memenuhi 𝑆 ≤ 𝑀. Jika 𝑀 seperti di atas tidak ada,
maka deret divergen.
Uji Integral
Contoh 3
a. Gunakan uji integral untuk menentukan apakah deret berikut ini konvergenatau divergen.
𝑘=1
∞1
2𝑘 − 1
Solusi
Jika 𝑘 diganti dengan 𝑥 pada suku umum1
2𝑘−1, didapatkan 𝑓 𝑥 =
1
2𝑥−1.
Fungsi tersebut turun dan kontinu pada interval [1, +∞).
1
+∞1
2𝑥 − 1𝑑𝑥 = lim
𝑙→+∞
1
𝑙1
2𝑥 − 1𝑑𝑥 = lim
𝑙→+∞
1
2ln(2𝑥 − 1)
𝑥=1
𝑙
= +∞
Integral tersebut divergen. Hal ini mengakibatkan bahwa deret 𝑘=1∞ 1
2𝑘−1juga divergen.
Uji Integral
b. Gunakan uji integral untuk menentukan apakah deret berikut inikonvergen atau divergen.
𝑘=1
∞1
𝑘2
Solusi
Penggantian 𝑘 dengan 𝑥 pada suku umum1
𝑘2, didapatkan 𝑓 𝑥 =1
𝑥2.
Fungsi tersebut turun dan kontinu pada interval [1,+∞).
1
+∞1
𝑥2𝑑𝑥 = lim
𝑙→+∞
1
𝑙1
𝑥2𝑑𝑥 = lim
𝑙→+∞−
1
𝑥 𝑥=1
𝑙
= lim𝑙→+∞
1 −1
𝑙= 1
Integral tersebut konvergen. Hal ini mengakibatkan bahwa deret
𝑘=1∞ 1
𝑘2 juga konvergen.
Uji Integral
Sebelum dibahas mengenai uji integral untuk melihat
apakah suatu barisan konvergen atau tidak,
diberikan dua ekspresi berikut ini:
𝑘=1+∞ 1
𝑘2 dan 1+∞ 1
𝑥2 𝑑𝑥
Kedua ekspresi tersebut saling berhubungan karena
integran dari integral tak wajar diperoleh dari suku
umum deret tersebut dengan mengganti 𝑘 dengan 𝑥dan batas jumlahan dalam deret diganti dengan
batas integrasi yang bersesuaian.
Uji Integral
Teorema 2 (Hubungan konvergensi deret dan
integral)
Misalkan 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 adalah deret dengan suku-suku
positif, dan 𝑓(𝑥) adalah fungsi yang dihasilkan jika 𝑘diganti dengan 𝑥 dalam rumus 𝑢𝑘 . Jika 𝑓 adalah
deret turun dan kontinu pada interval [𝑎, +∞), maka
𝑘→+∞𝑢𝑘 dan 𝑎+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
keduanya konvergen atau keduanya divergen.
Deret-p
Teorema 4
Deret-𝒑 atau Deret Hyperharmonik
𝑘=1
+∞1
𝑘𝑝 = 1 +1
2𝑝 +1
3𝑝 + ⋯+1
𝑘𝑝 + ⋯
konvergen jika 𝑝 > 1 dan divergen jika 0 < 𝑝 ≤ 1.
Deret-p
Contoh 4
Diberikan contoh Deret-𝑝 berikut.
a. Deret
𝑘=1
+∞1
𝑘3= 1 +
1
23+
1
33+ ⋯+
1
𝑘3+ ⋯
konvergen karena 𝑝 = 3 > 1
b. Deret
𝑘=1
+∞1
3𝑘2
= 1 +1
322
+1
332
+ ⋯+1
3𝑘2
+ ⋯
divergen karena 𝑝 =2
3< 1.
Latihan
1. Gunakan Uji Integral untuk menentukan konvergensi atau divergensi masing-masing deret berikut:
a. 𝑘=0+∞ 1
𝑘+3
b. 𝑘=0+∞ 𝑘
𝑘2+3
c. 𝑘=1+∞ −2
𝑘+2
d. 𝑘=1+∞ 𝑘2
𝑒𝑘
e. 𝑘=5+∞ 1000
𝑘 ln 𝑘 2
Uji Rasio
Teorema 1 (Uji rasio)
Jika diberikan deret dengan suku-suku positif, 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 ,
dan diasumsikan bahwa
𝜌 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘+1
𝑢𝑘
maka:
a. Jika 𝜌 < 1, maka deret konvergen.
b. Jika 𝜌 > 1 atau 𝜌 = +∞, maka deret divergen.
c. Jika 𝜌 = 1 , maka deret mungkin konvergen ataudivergen, sehingga diperlukan uji yang lain.
Uji Rasio
Contoh 1
a. Gunakan uji rasio untuk menentukan apakah deret berikut konvergenatau tidak.
𝑘=1
+∞3𝑘
𝑘!
Solusi
Rasio dari deret ini adalah
𝜌 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘+1
𝑢𝑘= lim
𝑘→+∞
3𝑘+1/(𝑘 + 1)!
3𝑘/𝑘!= lim
𝑘→+∞
3𝑘+1 𝑘!
𝑘 + 1 ! 3𝑘
= lim𝑘→+∞
3 3𝑘 𝑘!
𝑘 + 1 𝑘! 3𝑘= lim
𝑘→+∞
3
𝑘 + 1= 3 lim
𝑘→+∞
1
𝑘 + 1= 0 < 1
Karena 𝜌 < 1, maka deret ini konvergen.
Uji Rasio
b. Gunakan uji rasio untuk menentukan apakah deret berikut konvergen atautidak
𝑘=1
+∞𝑘
𝑘2 + 1
Solusi
Rasio dari deret ini adalah
𝜌 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘+1
𝑢𝑘= lim
𝑘→+∞
𝑘 + 1 / (𝑘 + 1)2+1
𝑘/ 𝑘2 + 1= lim
𝑘→+∞
𝑘 + 1 𝑘2 + 1
(𝑘 + 1)2+1 𝑘
= lim𝑘→+∞
𝑘3 + 𝑘2 + 𝑘 + 1
𝑘2 + 2𝑘 + 2 𝑘= lim
𝑘→+∞
𝑘3 + 𝑘2 + 𝑘 + 1
𝑘3 + 2𝑘2 + 2𝑘= lim
𝑘→+∞
𝑘3
𝑘3= 1
Karena 𝜌 = 1, maka deret ini mungkin konvergen atau divergen. sehinggadiperlukan uji konvergensi yang lain.
Uji Rasio
Contoh 2
Tentukan apakah deret berikut ini konvergen atau divergen.
1 +1
3+
1
5+
1
7+ ⋯+
1
2𝑘 − 1+ ⋯
Solusi
Deret ini memiliki rasio
𝜌 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘+1
𝑢𝑘= lim
𝑘→+∞
1/(2 𝑘 + 1 − 1)
1/(2𝑘 − 1)
= lim𝑘→+∞
2𝑘 − 1
2𝑘 + 1= lim
𝑘→+∞
2𝑘
2𝑘= lim
𝑘→+∞1 = 1
Karena 𝜌 = 1, maka deret ini mungkin konvergen ataudivergen, sehingga diperlukan uji konvergensi lainnya.
Uji Perbandingan Limit
Teorema 5
Diberikan deret dengan suku-suku positif 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 dan
𝑘=1+∞ 𝑦𝑘 , diasumsikan bahwa
𝑝 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘
𝑦𝑘
Jika 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, maka kedua deret
tersebut konvergen atau
Uji Perbandingan Limit
Contoh 5
a. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan apakah deret berikutkonvergen atau divergen.
𝑘=1
∞4𝑘2 − 2𝑘 + 6
8𝑘7 + 𝑘 − 8
Solusi
a. Deret yang diberikan memiliki kemiripan dengan deret-𝑝 berikut
𝑘=1
∞4𝑘2
8𝑘7=
𝑘=1
∞1
2𝑘5
Sehingga, dipilih
𝑘=1
+∞
𝑦𝑘 =
𝑘=1
∞1
2𝑘5
yang konvergen.
Uji Perbandingan Limit
Berdasarkan uji perbandingan limit, diperoleh
𝑝 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘
𝑦𝑘= lim
𝑘→+∞
4𝑘2 − 2𝑘 + 68𝑘7 + 𝑘 − 8
12𝑘5
= lim𝑘→+∞
8𝑘7 − 4𝑘6 + 12𝑘5
8𝑘7 + 𝑘 − 8= lim
𝑘→+∞
8𝑘7
8𝑘7 =1
Karena 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, berdasarkan Teorema
5, maka deret ini konvergen karena 𝑘=1+∞ 𝑦𝑘
konvergen.
Uji Perbandingan Limit
b. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan apakah deret berikut konvergenatau divergen.
𝑘=1
∞1
𝑘 + 6
Solusi
Deret yang diberikan memiliki kemiripan dengan deret harmonik berikut
𝑘=1
∞1
𝑘
Sehingga, dipilih 𝑘=1+∞ 𝑦𝑘 = 𝑘=1
∞ 1
𝑘
yang telah diketahui bersifat divergen. Berdasarkan uji perbandingan limit, diperoleh
𝑝 = lim𝑘→+∞
𝑢𝑘
𝑦𝑘= lim
𝑘→+∞
1𝑘 + 6
1𝑘
= lim𝑘→+∞
𝑘
𝑘 + 6= lim
𝑘→+∞
𝑘
𝑘=1
Karena 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, berdasarkan Teorema 5, maka deret ini divergenkarena 𝑘=1
+∞ 𝑦𝑘 divergen.
Latihan
1. Gunakan Uji Rasio untuk menentukan konvergensi atau divergensi
a. 𝑛=1∞ 8𝑛
𝑛!b. 𝑛=1
∞ 𝑛!
𝑛100
c. 𝑛=1∞ 5𝑛
𝑛5 d. 𝑛=1∞ 𝑛
1
3
2
2. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan konvergensi atau divergensi
a. 𝑛=1∞ 𝑛
𝑛2+2𝑛+3b. 𝑛=1
∞ 3𝑛+1
𝑛3−4
c. 𝑛=1∞ 1
𝑛 𝑛+1b. 𝑛=1
∞ 2𝑛+1
𝑛2
Deret Berganti Tanda
Pada subbab ini, dibahas mengenai deret dengan
suku-suku positif maupun negatif. Deret yang memiliki
suku-suku positif dan negatif bergantian disebut Deret
Berganti Tanda. Secara umum, suatu deret berganti
tanda mempunyai salah satu dari dua bentuk berikut:
1. 𝑘=1∞ (−1)𝑘+1𝑎𝑘 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯
2. 𝑘=1∞ (−1)𝑘𝑎𝑘 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯
Deret Berganti Tanda
Teorema 6 (Konvergensi deret berganti tanda)
Suatu deret berganti tanda konvergen jika dua
kondisi berikut terpenuhi:
1. 𝑎1 > 𝑎2 > 𝑎3 > ⋯ > 𝑎𝑘 > ⋯
2. lim𝑘→+∞
𝑎𝑘 = 0
Deret Berganti Tanda
Contoh 6
a. Gunakan uji deret berganti tanda untuk menunjukkan bahwa deretberikut konvergen.
−1 +1
2!−
1
3!+
1
4!− ⋯+ −1 𝑘
1
𝑘!+ ⋯
Solusi
Dari deret tersebut, diketahui bahwa
𝑎𝑘 =1
𝑘!>
1
𝑘 + 1 != 𝑎𝑘+1
dan
lim𝑘→+∞
𝑎𝑘 = lim𝑘→+∞
1
𝑘!= 0
Jadi, deret tersebut konvergen.
Deret Berganti Tanda
b. Gunakan uji deret berganti tanda untuk menunjukkan bahwa deret berikutkonvergen.
𝑘=1
∞
−1 𝑘+1𝑘 + 3
𝑘(𝑘 + 1)
Solusi
Deret ini konvergen karena dua kondisi berikut terpenuhi.
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘=
𝑘 + 4
𝑘 + 1 𝑘 + 2∙𝑘 𝑘 + 1
𝑘 + 3=
𝑘2 + 4𝑘
𝑘2 + 5𝑘 + 6=
𝑘2 + 4𝑘
(𝑘2+4𝑘) + (𝑘 + 6)< 1
sehingga 𝑎𝑘 > 𝑎𝑘+1 dan
lim𝑘→+∞
𝑎𝑘 = lim𝑘→+∞
𝑘 + 3
𝑘(𝑘 + 1)= lim
𝑘→+∞
1𝑘
+3𝑘2
1 +1𝑘
=0
Uji Rasio Mutlak
Teorema (Uji Rasio Mutlak)
Misalkan 𝑢𝑛 adalah deret yang suku-sukunya bukan nol dan andaikan bahwa
lim𝑛→∞
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛= 𝜌
maka:
a. Jika 𝜌 < 1 , maka deret konvergen secara mutlak(karenanya konvergen).
b. Jika 𝜌 > 1, maka deret divergen.
c. Jika 𝜌 = 1 , pengujian ini tidak dapat memberikankepastian.
Uji Rasio Mutlak
Contoh:
Perlihatkan bahwa 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 3𝑛
𝑛!konvergen secara
mutlak.
Solusi
𝜌 = lim𝑛→∞
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛= lim
𝑛→∞
3𝑛+1
𝑛 + 1 !3𝑛
𝑛!
= lim𝑛→∞
3
𝑛 + 1= 0
Kita simpulkan dari uji rasio mutlak bahwa deret ini konvergen secara mutlak (dan karenanya konvergen)
Deret Pangkat
Deret pangkat dalam x berbentuk
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯
Himpunan tempat suatu deret pangkat konvergen disebut himpunan konvergensi
Teorema
Himpunan konvergensi untuk deret pangkat 𝑎𝑛𝑥𝑛 selalu berupa
salah satu interval dari ketiga jenis berikut.
a. Titik tunggal 𝑥 = 0
b. Interval (−𝑅, 𝑅), mungkin ditambah salah satu atau kedua titik ujungnya.
c. Keseluruhan garis bilangan real
Dalam a, b, dan c, deret dikatakan memiliki jari-jari konvergensi masing-masing 0, 𝑅, dan ∞
Deret Pangkat
Contoh
Apakah himpunan konvergensi untuk
𝑛=0
∞𝑥𝑛
𝑛 + 1 2𝑛= 1 +
1
2
𝑥
2+
1
3
𝑥2
22+
1
4
𝑥3
23+ ⋯
Solusi
Perhatikan bahwa beberapa suku mungkin negatif (jika 𝑥 negatif). Kita uji menggunakan uji rasio mutlak untuk konvergensi mutlak
𝜌 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛+1
𝑛 + 2 2𝑛+1
𝑥𝑛
𝑛 + 1 2𝑛
= lim𝑛→∞
𝑥
2.𝑛 + 1
𝑛 + 2=
𝑥
2
Deret konvergen secara mutlak (oleh karenanya konvergen) apabila 𝜌 = 𝑥 2 < 1 dan divergen apabila 𝜌 = 𝑥 2 > 1. Akibatnya, deret konvergen
ketika 𝑥 < 2 dan divergen ketika 𝑥 > 2
Latihan
1. Perlihatkan bahwa masing-masing deret berganti tanda berikut konvergen
a. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 2
3𝑛+1b. 𝑛=1
∞ −1 𝑛+1 1
𝑛
2. Perlihatkan bahwa deret-deret berikut konvergen secara mutlak
a. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 𝑛
2𝑛 b. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 2𝑛
𝑛!3. Carilah himpunan konvergensi untuk deret pangkat yang diberikan. Petunjuk: pertama carilah rumus untuk suku ke-n; kemudian gunakan Uji Rasio mutlak
a. 𝑥
1.2−
𝑥2
2.3+
𝑥3
3.4−
𝑥4
4.5+
𝑥5
5.6− ⋯
b. 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+
𝑥3
3!+
𝑥4
4!+ ⋯
Deret Taylor dan Maclaurin
Diketahui suatu fungsi 𝑓 (misalnya, sin 𝑥 atau ln cos2 𝑥 ), dapatkah kita menyatakan 𝑓 sebagai suatu deret pangkat dalam 𝑥 atau, secara lebih umum, dalam 𝑥 − 𝑎? Secara lebih presisi, dapatkan kita mencari bilangan-bilangan 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … sedemikian rupa sehingga
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯
Untuk 𝑥 yang termasuk pada suatu interval di sekitar 𝑎?
Andaikan pernyataan yang demikian ada. Maka menurut teorema pada diferensiasi deret,
𝑓′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 + 4𝑐4 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯𝑓′′ 𝑥 = 2! 𝑐2 + 3! 𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 4.3𝑐4 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯𝑓′′′ 𝑥 = 3! 𝑐3 + 4! 𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 5.4.3𝑐5 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯
⋮
Deret Taylor dan Maclaurin
Ketika kita substitusikan 𝑥 = 𝑎 dan menyelesakan untuk 𝑐𝑛, kita peroleh
𝑐0 = 𝑓 𝑎𝑐1 = 𝑓′ 𝑎
𝑐2 =𝑓′′ 𝑎
2!
𝑐3 =𝑓′′′ 𝑎
3!Dan, secara lebih umum,
𝑐𝑛 =𝑓 𝑛 𝑎
𝑛!Dengan 𝑓 0 𝑎 = 𝑓 𝑎 dan 0! = 1
Deret Taylor dan Maclaurin
Teorema (Teorema ketunggalan)
Andaikan 𝑓 memenuhi
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯
Untuk semua 𝑥 dalam suatu interval di sekitar 𝑎. Maka,
𝑐𝑛 =𝑓 𝑛 𝑎
𝑛!
Koefisien-koefisien 𝑐𝑛 ditentukan oleh fungsi 𝑓. Jadi,
sebuah fungsi tidak dapat dinyatakan oleh lebih dari satu
deret pangkat dalam 𝑥 − 𝑎. Pernyataan deret pangkat
suatu fungsi dalam 𝑥 − 𝑎 disebut Deret Taylor. Jika 𝑎 =0, deret yang berpadanan disebut Deret Maclaurin.
Deret Taylor dan Maclaurin
Teorema (Rumus Taylor dengan Sisa)
Misalkan 𝑓 fungsi yang turunan ke- 𝑛 + 1 , 𝑓 𝑛+1 𝑥 ada untuk masing-masing 𝑥 dalam interval terbuka 𝐼 yang mengandung 𝑎. Maka untuk masing-masing 𝑥 dalam 𝐼,
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +𝑓′′ 𝑎
2!𝑥 − 𝑎 2 + ⋯
+𝑓 𝑛 𝑎
𝑛!𝑥 − 𝑎 𝑛 + 𝑅𝑛 𝑥
Dengan sisa atau galat 𝑅𝑛 𝑥 diberikan oleh rumus
𝑅𝑛 𝑥 =𝑓 𝑛+1 𝑎
𝑛 + 1 !𝑥 − 𝑎 𝑛+1
Dan 𝑐 suatu titik diantara 𝑥 dan 𝑎
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh:
carilah deret MacLaurin untuk sin 𝑥, cos 𝑥, sinh 𝑥, cosh 𝑥
Solusi
sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3!+
𝑥5
5!−
𝑥7
7!+ ⋯
cos 𝑥 = 1 −𝑥2
2!+
𝑥4
4!−
𝑥6
6!+ ⋯
sinh 𝑥 = 𝑥 +𝑥3
3!+
𝑥5
5!+
𝑥7
7!+ ⋯
cosh 𝑥 = 1 +𝑥2
2!+
𝑥4
4!+
𝑥6
6!+ ⋯
Deret Binomial
Teorema
Untuk sebarang bilangan real 𝑝 dan untuk 𝑥 < 1,
1 + 𝑥 𝑝 = 1 +𝑝1
𝑥 +𝑝2
𝑥2 +𝑝3
𝑥3 + ⋯
Contoh:
Nyatakan 1 − 𝑥 −2 dalam deret MacLaurin untuk −1 < 𝑥 < 1.
Solusi
1 + 𝑥 −2 = 1 + −2 𝑥 +−2 −3
2!𝑥2 +
−2 −3 −4
3!𝑥3 + ⋯
= 1 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + ⋯
Jadi,
1 − 𝑥 −2 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + ⋯