BOSNA I HERCEGOVINAFEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE

KANTON SARAJEVOMINISTARSTVO ZA OBRAZOVANJE, NAUKU I MLADE

PROSVJETNO - PEDAGOSKI ZAVOD

OSAMNAESTO KANTONALNO TAKMICENJE UMATEMATICI

ZA UCENIKE OSNOVNIH SKOLA17. 04. 2013.GODINE

,IX razredl

ZADACI

1. Od diti .. le broi koie vaii 3n2

+ lIn + 17 Zre itt sve elje e rojeve n za oje vazt E .n+2

2. Neka paralelogram ABCD i prava p imaju zajednicku samo tacku D. Aka suM,N,O podnoija normala spustenih na p iz A,B,C, ondaje AM +OC = BN.Dokazati!

3. Aka je 2x + 4 y = 1, dokazati da je x2 + y2 ~ _1 . Kada vrijedi jednakost?20

4. Farukov pradjed je roden u XIX ( devetnaestom )vijeku. Koje godine je on slaviosvoj sezdeseti rodendan , aka je one godine , ciji je redni broj bio jednak x2

,

imao tacna x godina ? Odgovor detaljno obrazloiiti !

• Svaki zadatak je vrednovan sa 25 bodova.

• Vrijeme za izradu zadataka je 120 minuta.

• Nije dozvoljena upotreba digitrona,mobitela i ostalib pomagala osim pribora za geometriju !

SRETNO!

Takmicarska komisija

www.infima.ba

XVIII KANTONALNO TAKMICENJE U MATEMATICI ZA UCENIKE OSNOVNIH SKOLAKANTONA SARAJEVO - 17 . I 18. APRIL 2013.

ZADACI I RJESENJA

IX - RAZRED - 17. 04. 2013.

1. Odrediti sve cijele brojeve n za koje vazi 3n2

+ lIn + 17 E Z.n+2

Rjesenje:3n2 + lIn + 17 3n2 + 6n + Sn + 10+ 7 3n(n + 2) + S(n + 2) + 7 7

Imamo ----- = = = 3n + S + -- a odavden+2 n+2 n+2 n+2

77.=>3n+S+ n+2 EZ=> n+2 EZ =>(n+2)E{-7,-I,I,7}=>nE{-9,-3,-I,S}.

3n2 +lln+17 EZn+2

2. Neka paralelogram ABCD iprava p imaju zajednicku samo tacku D. Aka su M,N,O podnoijanormala spustenih na p iz A,B,C, ondaje AM + OC = BN. Dokazati!

Rjesenje: Neka tacka R E BN tako da je RC II p. Sada imamo:LM = LR = 90°, La = La, , LfJ = LfJJ (sa paraiel. kracima) i AD = Be,paje I1MAD == I1RBC => BR = AM (1)Kako je DC ..L p i NR ..L P => DC IIRN , a sa druge strane je RC IINO,pa je cetverougao NRCO pravougaonik odakle je OC = RN (2).Sada irnamo (zbog (1) i (2») daje: AM + OC = Bi? + RN = BN.

13. Akoje 2x+4y = 1, dokazati daje x2 + y2 ::::-. Kada vrijedijednakost?20

R· V • I 2 4 I 1- 4y .lesenle: z x + y = => x = --, paJe:2

( )2 () ()22 2 1-4y 2 I 2 2 2 I 2 2 III 1 1 1x + y = -2 - + Y ="4 - 2y + 4y + y = 5y - 2y + "4 = 5 y - "5 y + 25 - "5+ "4 = 5 y -"5 + 20 ::::20 .

d k .. di 1 1Je na ost vnje Iza y = -, x = - ,S 10

4. Farukov pradjed je roden u XIX ( devetnaestom) vijeku. Koje godine je on slavio svoj sezdesetirodendan , ako je one godine , ciji je redni broj bio jednak x2

, imao tacna x godina ?Odgovor detaljno obrazloiiti !

Rjesenje: Po uslovu zadatka mora biti 1900 < x2 < 2000, a to je moguce sarno za x = 44, jer je 442= 1936.Dakle , pradjed je 1936 godine imao 44 godine , sto znaci da je roden 1892 , pa je sezdesetirodendan slavio 1952 godine !

www.infima.ba